Как решать производную функции: как найти, вычислить и понять с нуля

Содержание

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Как найти производную. Таблица производных.

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить

производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

В этом равенстве  – функция, от которой мы берем производную,

– функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

2. Производная степенной функции:

Заметим, что  может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1.

2. 

3.

3. Производная показательной функции:

Пример.

Частный случай этой формулы:

4. Производная логарифма:

Частный случай этой формулы:

5. Производные тригонометрических функций:

6. Производные обратных тригонометрических функций:

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

2. Производная произведения двух функций:

3. Производная дроби:

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число “выносится” за знак производной):

Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

Так как по условию , следовательно,

Таким образом:

Пример 2. Найти производную функции:

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

Пример 3. Найти производную функции

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

Теперь легко найти производную:

Пример 4. Найти производную функции:

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции  по формуле производной дроби:

В нашем случае:

Отсюда:

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок “Производная сложной функции” смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

примеры решения производных

Производная функции является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим наукам, в особенности при изучении скорости различного рода процессов. Именно поэтому мы собрали на сайте более 200 примеров решения производных и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления производных советуем изучить теоретический материал по теме: прочитать определения, правила дифференцирования, таблицу производных и другой материал по производным.


Таблица производных и правила дифференцирования

Основные ссылки – таблица производных, правила дифференцирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

Ответ.

Больше примеров решений →


Производные сложных функций

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

Больше примеров решений →


Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Геометрический смысл производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Механический смысл производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

Решение. Найдем скорость точки как первую производную от перемещения:

В момент времени скорость равна

Ответ.

Больше примеров решений →


Уравнение касательной, нормали и угол между прямыми

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Записать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Найдем значение функции в заданной точке:

Найдем производную заданной функции по правилу дифференцирования произведения:

Вычислим её значение в заданной точке

Используя формулу

запишем уравнение касательной:

Ответ. Уравнение касательной:

Больше примеров решений →


Производные высших порядков

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную второго порядка от функции

Решение. Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель – – есть сложной функцией:

Ответ.

Больше примеров решений →


Механическое смысл второй производной

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид (м). Найти ускорение точки в момент времени c.

Решение. Ускорение заданной точки найдем, взяв вторую производную от перемещения по времени:

Первая производная

(м/с)

вторая производная

(м/с2)

В момент времени c

(м/с2)

Ответ. (м/с2)

Больше примеров решений →


Дифференциалы высших порядков

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.

Больше примеров решений →


Производная функции, заданной неявно

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Производная функции, заданной параметрически

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →


Логарифмическое дифференцирование

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что

Ответ.

Больше примеров решений →


Формулы Маклорена и Тейлора

Основные ссылки – теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Элементы математического анализа

      Пример 1. Найти производную функции

y = cos 2x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   = 2,   = 0,   получим

(cos 2x)’ = – 2sin 2x .

      Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

(cos 2x)’ = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

      Перепишем верный ответ еще раз:

(cos 2x)’ = – 2sin 2x .

      Приведем также верные ответы в похожих примерах:

      Пример 2. Найти производную функции

y = sin3x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда   (x) = sin x ,   а   = 3,   получим

Ответ:

      Пример 3. Найти производную функции

y = (3x – 7)5 .

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   = 3,   = – 7,   а   = 5,   получим

y’ = 15(3x – 7)4 .

Ответ:

      Пример 4 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

,

то исходную функцию можно переписать в виде

      Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда

,

а   = 8,   получим

Ответ:

      Пример 5 . Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   = 3,   = 0,   получим

Ответ:

.

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   = 5,   = 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   = 3,   = 2,   = 0,   получим

Ответ:

      Пример 7 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   = 7,   = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Примеры решений производных

  • Попробуйте найти производные от приведенных ниже функций.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Примеры решений производных от явных функций

Найти производную функции , используя определение производной:
  Решение > > >;    > > >;    > > >.

Найдите производные    следующих функций, зависящих от переменной x:
  Решение > > >
  Решение > > >
  Решение > > >
  > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >
  > > > Здесь , , , – постоянные.
  > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >

Примеры решений производных высших порядков от явных функций

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Найти производную третьего порядка:
.
Решение > > >

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Вычислить n-ю производную функции
.
Решение > > >

Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.
Решение > > >

Примеры решения производных от функций, заданных параметрическим способом

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Решение > > >

Найдите производную , где и выражены через параметр :

Решение > > >

Найдите производные второго    и третьего    порядка от функции, заданной параметрическим способом:

Решение > > >

Примеры решений производных от неявных функций

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
.
Решение > > >

Найти производную второго порядка от неявно заданной функции:
.
Решение > > >

Найти производную третьего порядка при от функции, заданной уравнением:
.
Решение > > >

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Урок 11. правила дифференцирования – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • разбор основных правил дифференцирования функций;
  • примеры вычисления производной линейной функции;
  • правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) – g(x))’ = f ‘(x) – g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

Решение:

f(x)=8x3+3x2-x

f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x3) ‘=8(x3) ‘=8·3x2=24x2

(3x2) ‘=3(x2) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x3) ‘+(3x2) ‘-x’=24x2+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x2+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)2

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

Как найти производную функции с примерами решения и готовыми ответами

Содержание:

  1. Определение производной
  2. Вычисление производной
  3. Основные правила дифференцирования
  4. Таблица производных основных элементарных и сложных функций
  5. Примеры с решением
  6. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл 

Определение производной

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует, называется производной функции в точке (рис. 117).

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Рис. 117

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Вычисление производной

Основные правила дифференцирования

— постоянный множитель можно выносить за знак производной.

— производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле .

Производная отношения двух функций вычисляется по формуле .

Таблица производных основных элементарных и сложных функций

Уравнение касательной к графику функции в точке :

.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение:

Вынесем постоянный множитель за знак производной.

Применим формулу . Здесь .

.

Ответ: .

Пример 2.

Решите уравнение

.

Решение:

Область определения функции .

.

Уравнение имеет вид .

Ответ: 0.

Пример 3.

.

Решение:

Область определения функции: .

.

Уравнение имеет вид области определения

Ответ: 2.

Пример 4.

Решение:

Воспользуемся формулой

уравнение:

Ответ: -2.

Запомните!

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (рис. 118, 119).

В уравнении прямой линии число — угловой коэффициент.

Рис. 118 Рис. 119

Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл 

Пусть дана функция . Фиксируем произвольную точку из области определения функции . Пусть — другая точка из , тогда разность называется приращением аргумента и обозначается а разность значений функции называется приращением функции и обозначается

Производной функции в точке называется предел отношения ее приращения в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует). Производная обозначается или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Итак, . В физическом смысле отношение является средней скоростью изменения функции на отрезке — Мгновенной скоростью изменения этой функции в точке .

Например, если функция задает зависимость пути , пройденного некоторым телом, от времени , то производная является скоростью движения; если функция дает зависимость количества производимой кем-то продукции от времени, то ее производная является производительностью труда.

Рис. 1

Геометрически отношение является тангенсом угла (рис. 1), который образует секущая, проходящая через точки и с осью . Если то точка стремится к точке , а угол стремится к углу который образует касательная к графику функции в точке с осью и, следовательно, . Отсюда получаем (геометрический смысл производной), где — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке . Следовательно, уравнение касательной к графику функции в точке есть .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где — константа, а — бесконечно малая функция (б.м.ф.) при .

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием дифференцирования функции в некоторой точке является существование ее производной в этой точке.

Доказательство необходимости. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда , где — б.м.ф. при . . Отсюда по обратной лемме (см. п. 3, раздел 4.3) , т.е. производная функции существует.

Доказательство достаточности. Пусть существует производная функции . Согласно лемме (см. также п. 3 раздела 4,3) , где — б.м.ф. при , т.е. функция дифференцируема в точке .

Замечание. В ходе доказательства также получено, что для дифференцируемой функции равенство (1) можно записывать в виде , где — б.м.ф, при .

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство. Если функция дифференцируема в точке , то , где — б.м.ф. при . Откуда , т.е. функция непрерывна в точке .

Правила дифференцирования (нахождения производных функций). Производные основных элементарных функций:

  1. постоянная величина: ;
  2. степенная функция: ;
  3. показательная функция: ;
  4. показательная функция с основанием ;
  5. логарифмическая функция с натуральным логарифмом: ;
  6. логарифмическая функция: ;
  7. тригонометрические функции: .

Структурные правила дифференцирования:

  1. производная суммы: ;
  2. производная произведения: ;
  3. производная частного: ;
  4. производная сложной функции: ;
  5. производная обратной функции: . Вывод этих правил можно посмотреть в учебниках.

Производные неявных и параметрических функций. Пусть функция задана неявно при помощи уравнения . Чтобы найти её производную, нужно это равенство продифференцировать по с учетом зависимости от и затем решить полученное уравнение относительно .

Пример 5.

Найти , от неявной функции .

Решение:

Продифференцируем данное равенство по , затем найдем откуда .

Функция называется параметрической, если значения функции и значения аргумента задаются при помощи функций от вспомогательной величины , называемой параметром: и .

Правило нахождения производной параметрической функции: если существуют .

Пример 6.

Найти от функции , заданной параметрически: .

Решение:

, значит, .

Производные высших порядков. Производная функции является новой функцией того же аргумента . Производная этой функции называется производной 2-го порядка по отношению к исходной функции и она обозначается или . Аналогично определяются производная 3-го порядка, производная 4-го порядка и дальнейшие производные.

Пример 7.

Функция в точке 0 не имеет производной. Надо заменить ее параболой на некотором интервале, содержащем нуль, чтобы получившаяся функция всюду имела производную, как доказано на рис. 2. У Крылова в качестве функции было сопряжение круга с прямой.

Рис. 2

Решение:

Будем искать параболу в виде . Тогда в точке сопряжения параболы и правой половины графика выполнены уравнения (точка принадлежит обоим графикам и в этой точке равны производные):

Решая систему, получаем: , откуда искомая функция есть

Замечание.

В последние годы большую популярность в теории приближений в некоторых прикладных исследованиях приобрели сплайны.

Так называются функции, представленные на разных участках многочленами и имеющие непрерывные производные до какого-то порядка включительно. Крылов и мы, при решении задачи Крылова, как раз построили сплайн — составленную из параболы и двух прямых лучей функцию, имеющую непрерывную 1-ю производную (у Крылова сплайн имел непрерывную 2-ю производную).

3.2: Производная как функция

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) – функция. Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция – это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.

Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

\ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} \)
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} – \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе. 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) – разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Построение графика производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f ‘(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f ‘(x) \) положителен, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) – функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x – a \), то \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a)) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) не дифференцируем в \ (0 \).

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

    Решение

    Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в \ (3 \).

    Подсказка

    Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

    Производные инструменты высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \)

Упростим числитель.
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель.
\ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

Затем найдите \ (f ” (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

\ (f ” (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \) Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

Подсказка

Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

Ответ

\ (а (т) = 6т \)

Ключевые понятия

  • Производная функции \ (f (x) \) – это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \).

Ключевые уравнения

\ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

Глоссарий

производная функция
дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
с дифференциацией при \ (a \)
функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \)
дифференцируемые на \ (S \)
функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
дифференцируемая функция
функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией
производная высшего порядка
производная от производной, от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка

Авторы и авторство

  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

  • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость подразумевает непрерывность.

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Наклон = Изменение Y Изменение X

Мы можем найти среднего уклона между двумя точками.

Но как найти наклон в точке ?

Измерять нечем!

Но с производными мы используем небольшую разницу …

… затем уменьшите до нуля .

Давайте найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в Y Изменение в X = Δy Δx

И (из схемы) видим, что:

С С
x отличается от х по х + Δx
г отличается от f (x) по f (x + Δx)

Теперь выполните следующие действия:

  • Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) – f (x) Δx
  • Упростите как можно лучше
  • Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция

f (x) = x 2

Мы знаем f (x) = x 2 , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 2
Развернуть (x + Δx) 2 : f (x + Δx) = x 2 + 2x Δx + (Δx) 2

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положим f (x + Δx) и f (x) : x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 – x 2 Δx

Упростить (x 2 и −x 2 отменить): 2x Δx + (Δx) 2 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: = 2x

Результат: производная от x 2 равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо “Δx голов в сторону 0” .

И «производная от» обычно пишется d dx вот так:

d dx x 2 = 2x
“Производная от x 2 равна 2x
или просто “d dx от x 2 9059 2x равно x 2 9059 2x


Итак, что означает

d dx x 2 = 2x ?

Это означает, что для функции x 2 наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f ’(x) также может использоваться как« производная от »:

f ’(x) = 2x
” Производная f (x) равна 2x “
или просто ” f-тире x равно 2x “

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

d dx x 3 ?

Мы знаем f (x) = x 3 и можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 3
Развернуть (x + Δx) 3 : f (x + Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3

Формула наклона: f (x + Δx) – f (x) Δx

Положим f (x + Δx) и f (x) : x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 – x 3 Δx

Упростить (x 3 и −x 3 отменить): 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): 3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: 3x 2

Результат: производная от x 3 равна 3x 2

Поиграйте с этим с помощью плоттера производных.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Но пользоваться правилами бывает непросто!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Мы получим неправильных ответа , если попытаемся умножить производную cos (x) на производную sin (x)…!

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И фактически получается, что cos 2 (x) – sin 2 (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:

f ’(x) = lim Δx → 0 f (x + Δx) – f (x) Δx

«Производная от f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f (x + Δx) – f (x) по Δx»

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

dy dx = f (x + dx) – f (x) dx

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы выполняете дифференциацию … до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

Исчисление I – Определение производной

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Определение производного инструмента

В первом разделе главы «Пределы» мы увидели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в \ (x = a \) требует от нас вычислить следующий предел.

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) – f \ left (a \ right)}} {{x – a}} \]

Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел можно также записать как,

\ [\ begin {уравнение} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({a + h} \ right) – f \ left (a \ right)}} {h } \ label {eq: eq1} \ end {формула} \]

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, поэтому мы даем ему название. Мы называем это производной . Вот официальное определение производной.

Определение производного инструмента

Производная от \ (f \ left (x \ right) \) относительно x является функцией \ (f ‘\ left (x \ right) \) и определяется как, \ [\ begin {уравнение} f ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) – f \ left (x \ right)}} {h} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что мы заменили все a в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на x , чтобы признать тот факт, что производная на самом деле также является функцией. 2} – 16x + 35} \ right)}} {h} \ end {align *} \]

Будьте осторожны и убедитесь, что вы правильно используете скобки при вычитании.2} – 16h}} {h} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждый член в числителе, в котором не было h , был сокращен, и теперь мы можем вынести h из числителя, что сократит h в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

\ [\ begin {align *} f ‘\ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({4x + 2h – 16} \ right )}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} 4x + 2h – 16 \\ & = 4x – 16 \ end {align *} \]

Итак, производная:

\ [f ‘\ left (x \ right) = 4x – 16 \] Пример 2 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [g \ left (t \ right) = \ frac {t} {{t + 1}} \] Показать решение

Этот будет немного запутаннее в плане алгебры. Однако в остальном он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Сначала мы подставляем функцию в определение производной,

\ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({t + h} \ right) »- g \ left (t \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{t + h }} {{t + h + 1}} – \ frac {t} {{t + 1}}} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали данной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подключить \ (h = 0 \). Итак, нам нужно будет немного упростить. В этом случае нам нужно будет объединить два члена числителя в одно рациональное выражение следующим образом.

\ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{\ left ({t + h} \ right) \ left ({t + 1} \ right) – t \ left ({t + h + 1} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1}) \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({ \ frac {{{t ^ 2} + t + th + h – \ left ({{t ^ 2} + th + t} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac { h} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \ end {align *} \]

Прежде чем закончить, отметим пару вещей. 2}}} \] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [R \ left (z \ right) = \ sqrt {5z – 8} \] Показать решение

Сначала подключитесь к определению производной, как мы делали с предыдущими двумя примерами.

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{R \ left ({z + h} \ right) »- R \ left (z \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} – \ sqrt {5z – 8}}} {h} \ end {align *} \]

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры? На уроках алгебры вы, вероятно, только рационализировали знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем числитель и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализация этой проблемы,

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} – \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} {h} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5z + 5h – 8 – \ left ({5z – 8} \ right)}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5h}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}}) \ right)}} \ end {align *} \]

Опять же, после упрощения в числителе осталось только х .Итак, отмените h и оцените предел.

\ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {5} {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) – 8} + \ sqrt {5z – 8}}} \\ & = \ frac {5} {{\ sqrt {5z – 8} + \ sqrt {5z – 8}}} \\ & = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z – 8}}} \ end {align *} \]

Итак, мы получаем производную от

. \ [R ‘\ left (z \ right) = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z – 8}}} \]

Давайте поработаем еще один пример.Этот будет немного другим, но нужно сказать о нем.

Пример 4 Определите \ (f ‘\ left (0 \ right) \) для \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \). Показать решение

Поскольку эта проблема запрашивает производную в определенный момент, мы продолжим и будем использовать ее в своей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, включите определение и упростите.

\ [\ begin {align *} f ‘\ left (0 \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({0 + h} \ right) »- f \ left (0 \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | {0 + h} \ right | – \ left | 0 \ right |}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \ end {align *} \]

Мы видели подобную ситуацию, когда смотрели на пределы бесконечности.+}} 1 \\ & = 1 \ end {выровнять *} \]

Два односторонних ограничения различны, поэтому

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \]

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которую мы ищем.

Если предел не существует, значит, не существует и производной.

В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой не существует производной в точке.Это жизненный факт, о котором мы должны знать. Деривативы будут существовать не всегда. Также обратите внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. Фактически, производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \ (x = 0 \).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \ (f \ left (x \ right) \) называется дифференцируемой в точке \ (x = a \), если существует \ (f ‘\ left (a \ right) \) и \ (f \ left ( x \ right) \) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошее соотношение между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \).

См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этой теоремы.

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном направлении. Рассмотрим \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) и посмотрите,

\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ left | х \ право | = 0 = е \ влево (0 \ вправо) \]

Итак, \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) непрерывно в \ (x = 0 \), но мы только что показали выше в примере 4, что \ (f \ left ( x \ right) = \ left | x \ right | \) не дифференцируем в \ (x = 0 \).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной – это «простое» обозначение. Однако иногда используются и другие обозначения, поэтому давайте остановимся на этом.

Для функции \ (y = f \ left (x \ right) \) все нижеследующие эквивалентны и представляют собой производную от \ (f \ left (x \ right) \) по отношению к x .

\ [f ‘\ left (x \ right) = y’ = \ frac {{df}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (y \ right) \]

Поскольку нам также необходимо иногда оценивать производные, нам также нужна запись для оценки производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную в \ (x = a \), все следующие утверждения эквивалентны.

\ [е ‘\ влево (а \ вправо) = {\ влево. {y ‘} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{df}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} \]

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \ (\ left (x \ right) \) в функции, чтобы несколько упростить обозначения. В этих случаях следующие варианты эквивалентны.

\ [е ‘\ влево (х \ вправо) = е’ \]

В заключение в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных прямо из определения – довольно сложный (а иногда и болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок.В нескольких разделах мы начнем разрабатывать формулы и / или свойства, которые помогут нам взять производную от многих общих функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.

Распознавайте функции с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Нахождение производной от

включает в себя вычисление следующих предел:


Мягко говоря, этот расчет неприятен. Мы хотели бы найти способы вычисления производных без явного использования определения производная как предел разностного частного. Полезный предварительный результат: следующее:

Производная константы
lf c – любое действительное число, и если f (x) = c для всех x, то f ‘(x) = 0 для всех x.То есть производная постоянной функции – это нулевая функция.

Это легко увидеть геометрически. Обращаясь к рисунку 1, мы видим, что График постоянной функции f (x) = c представляет собой горизонтальную линию. Поскольку горизонтальный линия имеет наклон 0, а линия является собственной касательной, отсюда следует, что наклон касательная везде равна нулю.
Далее мы дадим правило дифференцирования f (x) = x n , где n – любое действительное число. Некоторые из следующих результатов уже были проверены в предыдущем разделе, а
другие можно проверить, используя определение производной.


Этот шаблон предлагает следующую общую формулу для степеней n, где n – это положительное число.

Правило питания

Фактически, правило мощности действительно для любого действительного числа n и, таким образом, может использоваться для дифференцировать множество неполиномиальных функций. Следующий пример иллюстрирует некоторые применения правила мощности.

Пример 1

Различайте каждую из следующих функций:


(a) Поскольку f (x) = 5, f – постоянная функция; следовательно, f ‘(x) = 0.

(b) При n = 15 в правиле мощности f ‘(x) = 15x 14

(c) Обратите внимание, что f (x) = x 1/2 . Следовательно, при n = 1/2 в правиле мощности


(d) Поскольку f (x) = x -1 , из правила мощности следует, что f ‘(x) = -x -2 = -1 / x 2

Правило дифференцирования постоянных функций и правило мощности явное правила дифференциации. Следующие правила говорят нам, как находить производные от комбинации функций в терминах производных составляющих их части.В каждом случае мы предполагаем, что f ‘(x) и g’ (x) существуют, а A и B суть константы.

Четыре перечисленных выше правила вместе с правилом дифференцирования константы функции и правило мощности, предоставляют нам техники для различения любых функция, которая выражается как степень или корень частного многочлена функции. Следующая серия примеров иллюстрирует это. Правило линейности и товарное правило будет обосновано в конце раздела; доказательство расширенное правило мощности появляется в разделе цепного правила.2 + 2bx + c

Пример 3 можно обобщить следующим образом:

Многочлен степени n всюду имеет производную, а производная есть многочлен степени (n – 1).

Пример 4 Пусть

Найдите f ‘(x).

Сначала мы используем правило произведения, поскольку f (x) задается как произведение x 2 и x 2 – х + 1:

Формулы первой производной функции

y является функцией y = y (x)
C = константа, производная (y ‘) константы равна 0

у = С => у ‘= 0

Пример: y = 5, y ‘= 0

Если y является функцией типа y = x n формула производной:

y = x n => y ‘= nx n-1

Пример: y = x 3 y ‘= 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y’ = -3x -4

Из верхней формулы для производной y ‘функции y = x = x 1 можно сказать, что:

если y = x, то y ‘= 1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x)… =>
y ‘= f’ 1 (x) + f ‘ 2 (x) + f’ 3 (x) …

Эта формула представляет собой производную функции, которая является суммой функций.
Пример: если у нас есть две функции f (x) = x 2 + x + 1 и g (x) = x 5 + 7 и y = f (x) + g (x), тогда y ‘= f’ (x) + g ‘(x) =>
y’ = (x 2 + x + 1) ‘+ (x 5 + 7)’ = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Если функция является кратной из двух функций, производная определяется следующим образом:

у = f (х).g (x) => y ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x)

Если f (x) = C (C – константа) и y = f (x) g (x)
y = Cg (x) y ‘= C’.g (x) + C.g’ (x) = 0 + C.g ‘(x) = C.g’ (x)

у = Cf (x) => y ‘= C.f’ (x)

В разделе задач есть примеры следующих формул.

y = г ‘=
f ‘(x) g (x) – f (x) g’ (x)
g 2 (x)

y = ln x => y ‘= 1 / x

y = e x => y ‘= e x

у = грех х => у ‘= соз х

y = cos x => y ‘= -sin x

y = tan x => y ‘= 1 / cos 2 x

y = детская кроватка x => y ‘= – 1 / sin 2 x

Когда функция является функцией функции: u = u (x)

y = f (u) => y ‘= f’ (u).ты

Пример: давай y = sin (x 2 )
Здесь u = x 2 , f (u) = sin (u), производные f ‘(u) = cos (u), u’ = 2x
y ‘= (sin (u))’ ⋅u ‘= cos (x 2 ) ⋅2x = 2⋅x⋅cos (x 2 )

Проблемы с деривативами

1) f (x) = 10x + 4y, Какая первая производная f ‘(x) =?
Решение: Мы можем использовать формулу для производной функции, которая является суммой функции
f (x) = f 1 (x) + f 2 (x), f 1 (x) = 10x, f 2 (x) = 4y для функции f 2 (x) = 4y, y является константой, поскольку аргумент f 2 (x) равен x поэтому f ‘ 2 (x) = (4y)’ = 0.Следовательно, производная функция f (x) равна: f ‘(x) = 10 + 0 = 10.


2) Вычислить производную f (x) =

Решение: У нас есть две функции: h (x) = x 10 и g (x) = 4,15 + cos x
, функция f (x) – это h (x), деленная на g (x). h ‘(x) = 10x 9 g’ (x) = 0 – sin x = -sin x

f ‘(x) =
h ‘(x) .g (x) – h (x) .g’ (x)
(g (x)) 2
f ‘(x) =
10x 9 (4.15 + cos x) – x 10 (-sin x)
(4,15 + cosx) 2
=
x 10 sin x + 10 (60 + cos x) x 9
(60 + cosx) 2

3) f (x) = ln (sinx). какова производная функции f (x)?
Решение: Для решения задачи необходимо использовать последнюю формулу. Как мы видим, f (x) является функцией функции функции f (x) = h (g (x)), где h = ln и g = sin x

Калькулятор производных
Подробнее о производных на математическом форуме

Регистрация на форуме

Взятие производных на Python.Узнайте, как работать с исчисляемой частью… | Дарио Радечич

Это будет что-то, что рассматривается в вашем классе Calc 1 или онлайн-курсе, включая только функции, которые имеют дело с отдельными переменными, например, f (x) . Цель состоит в том, чтобы пройти через некоторые основные правила дифференциации, пройти их вручную, а затем на Python. Давайте начнем.

Правило мощности

Правило мощности утверждает следующее:

Что довольно очевидно, если вы слушали какой-нибудь класс calc раньше.Если нет, давайте рассмотрим простой пример. Ваша функция f (x) равна x до пятой. Теперь используйте правило мощности, чтобы вычислить производную. Это довольно просто:

Теперь давайте посмотрим, как вычислить это в Python. Во-первых, необходимо импортировать библиотеку, а затем объявить переменную, которую вы будете использовать в качестве буквы в своих функциях. Вот как это сделать для функции с одной переменной:

После того, как эти ячейки выполнены, становится тривиальным взять производную ( та же функция, что и выше ):

Обратите внимание на это красивое форматирование печати – выглядит как уравнение написано в LaTeX!

Правило продукта

Правило произведения гласит, что если f (x) и g (x) являются двумя дифференцируемыми функциями, то производная вычисляется как первая функция, умноженная на производную второй плюс второй раз производная от первого.Это могло показаться немного запутанным, если выразить это словами, поэтому вот обозначение:

Давайте посчитаем один пример вручную. У нас есть следующее:

Как видите, квадрат x плюс 1 будет f (x) , а косинус x будет g (x) . А вот как это сделать на Python:

Также просто. Обязательно посмотрите, где вы ставите эти скобки. Также обратите внимание, что вы не можете использовать косинус из библиотек math или numpy , вам нужно использовать один из sympy .

Цепное правило

Если вы решите глубже погрузиться в алгоритмы машинного обучения, вы увидите, что цепное правило появляется повсюду – градиентный спуск , обратное распространение , что угодно. Он имеет дело с вложенными функциями, например, f (g (x)) , и заявляет, что производная вычисляется как производная внешней функции, умноженная на внутреннюю функцию, а затем все умноженные на производную внутренней функции. . Вот обозначение:

А вот простой пример, рассчитанный вручную:

Реализация Python снова настолько проста, насколько это возможно:

Цепное правило – проблема 1

Напомним, что составная функция f (g (x)) – это функция, которая имеет другую функцию «внутри».«Когда берется производная от такой функции, мы используем цепное правило. Цепное правило гласит, что вы сначала берете производную« внешней »функции, а затем умножаете ее на производную« внутренней функции ». Так что для a функции h (x) = f (g (x)), ее производная будет h ‘(x) = f’ (g (x)) * g ‘(x).

Чтобы определить, какая функция является внутренней, посмотрите, какая функция «содержится» в другой функции. Например, для экспоненциальных функций посмотрите на степень возведения е.Для логарифмических функций это будет то, что находится в скобках логарифма.

Например, пусть h (x) = e -5x 2 -6 . Функция «снаружи» – e x , а функция «внутри» – -5x 2 -6. Сначала возьмем производную внешней функции. Помните, что производная от e x сама по себе, e x . Итак, первая часть нашей производной – e -5x 2 -6 . Затем найдите производную внутренней функции -5x 2 -6.Из правила мощности мы знаем, что его производная равна -10x. Умножая их вместе, получаем h ‘(x) = – 10xe -5x 2 -6 .

Давайте займемся задачей, связанной с цепным правилом. Напомним, что цепное правило – это метод дифференцирования составных функций. А чтобы подчеркнуть, что такое составная функция и как ее соединять, я закодировал внутреннюю и внешнюю части цветом.

Помните, что составная функция похожа на помещение одной функции в другую. Итак, здесь внутренняя функция – это g (x), а внешняя функция – это f (x). Когда вы различаете эти вещи, вы в первую очередь различаете внешнюю функцию. Оставьте внутреннюю функцию в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

Одна из вещей, которые вы должны сделать при решении проблемы, – это определить внешние и внутренние функции. Здесь меня просят дифференцировать h (x), равное e, на 2x³ минус 5.Давайте определим внутреннюю и внешнюю функции.

У нас есть экспоненциальная функция; e к x, а затем 2x³ минус 5. Одна из них – внутренняя; одна из них – внешняя функция. Я думаю, что способ определения внутренней функции – это подумать о том, вычисляли ли вы значения для этой функции. Что бы вы сделали в первую очередь? Если у вас есть значение x, например, 2, вы сначала кубите его, умножаете на 2 и вычитаете 5. Итак, ясно, что это внутренняя часть функции.

Вы можете просто сделать внутреннюю функцию x³.Но я думаю, вы хотите сделать все это равным 2x³ минус 5, потому что тогда внешняя функция будет просто e к x, что приятно и легко отличить. Я закодирую это цветом. Внешняя функция – это e для x, я поставлю здесь круглые скобки, или e для чего-то. И тогда внутренняя функция равна 2x³ минус 5.

Теперь она имеет цветовую кодировку, и должно быть действительно ясно, как различать h (x). Итак, h ‘(x) будет производной внешней функции. Производная e от x – это просто e от x.Итак, я напишу e для something, а внутреннюю функцию оставим в покое. 2x³ минус 5-кратная производная внутренней функции. Вот что означает эта часть. И производная внутренней функции является производной этой. Это будет 6x².

Вот и все, цепное правило. Сначала дифференцируйте внешнюю функцию, оставьте внутреннюю в покое, а затем умножьте на производную внутренней функции.

.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *