Как решать системы линейных уравнений методом гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце.

Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей – три первых:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)$$

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right)$$

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right)$$

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю.

Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Полученной матрице соответствует система

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Теория

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса (метод исключений Гаусса).

Суть метода – это последовательное исключение неизвестных, т.е. когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Матрица, составленная из все a_i,j, называется основной матрицей системы. Если к этой матрице добавить вектор столбец, составленный из b_i, то такая матрица называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли (условие совместности системы): системат совместна тогда и только тогда, ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

На первом этапе (прямой ход) система приводится ступенчатой или треугольной форме. Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы обнулился коэффициент при x₁. Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключаются все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной даигонали.

На втором этапе (обратный ход) выражаем все получившиеся базисные переменные через небазисные и построим фундаментальную систему решений. Если все переменные являются базисными, то получим единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гауса.

Линейными называются такие уравнения, в которых все переменные находятся в первой степени. Так же в высшей математике переменные могут обозначаться не просто x, y, z и т.д., а переменными с индексами –

Решить систему уравнений означает найти такие значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Это правило применимо к любым системам уравнений с любым количеством неизвестных.

Существует несколько

методов решения систем линейных уравнений:

метод подстановки («школьный метод»), или, как его еще называют, методом исключения неизвестных;
метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы;
метод Гаусса;
метод Крамера;
метод обратной матрицы.

Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов.

Pешение системы уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса является самым универсальным и эффективным и заключается в последовательном исключении переменных.

Пример.

Необходимо решить систему:

Решение:

Прямой ход.

Представим исходную систему в следующем виде:

На каждом этапе решения будем располагать с правой стороны расширенную матрицу,
эквивалентную системе уравнений. Расширенная матрица представляет собой несколько иную
форму записи исходной системы уравнений. Это позволит нам вести решение более наглядно.

Исключим переменную x₁ из последнего уравнения.

Для удобства переведем систему уравнений в целые числа, для этого умножим коэффициенты
первого уравнения на 3, а коэффициенты второго уравнения на -2:

Умножим коэффициенты первого уравнения на -1.

Обычно, данное преобразование системы выполняется в уме и не указывается при решении.

Прибавим получившееся уравнение ко второму уравнению.

Первое уравнение при этом не изменится в исходной системе.

Обратный ход. i + ai2X2 H —— h alnxn = bi a22 x2 t ‘• * T a2n xn- » am2®2 + •• + GmUn = bn • Где (t, j = 2, m) — новое значение коэффициента, Правильная часть получена после первого шага. Аналогичным образом исключают неизвестные X2 из всех уравнений системы, учитывая основной элемент <4UФ0, исключая первое и второе.

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

Продолжайте этот процесс как можно больше.

Если процесс приведения системы (1) к постепенной форме показывает нулевые уравнения, то есть уравнения вида 0 = 0, они отбрасываются. Если отображается уравнение вида 0 = aΦ0>, это указывает на несовместимость системы. Второй шаг (обратный) — это решение ступенчатой системы. В общем, существует множество решений системы градуированных уравнений. В последнем уравнении этой системы первое неизвестное xb представлено оставшимися неизвестными (£ fc + 1, …, xn). Затем подставьте значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выразите Xk- \ через a: n).

Тогда найди Xk-2> … Примечания: 1. Если система ступеней представляет собой треугольник, то есть k = 7i, исходная система имеет единственное решение. Найти xn из последнего уравнения и из второго уравнения xn-1) из последнего далее в систему всех остальных неизвестных [xn — 2? ••• yXi). 2.

Прибавьте произвольные значения к свободным неизвестным …, xn), получите бесконечное число решений для системы. Людмила Фирмаль

На практике удобнее выполнять все базовые преобразования для строк, используя матрицу расширения, а не систему (1). Удобно, если коэффициент aj равен 1 (переместить уравнение на место или отделить обе стороны уравнения все ф 1). Пример: 1) Решить систему, используя метод Гаусса. 2x \ -x-2 + 3×3-5 # 4 = 1, X \ -X2-bx3 = 2 3xi-2×2-2hz-5×4 = 3, 7xi-5×2-9hz-10×4 = 8.

♦ В результате базового преобразования в расширенную матрицу системы / 2-1 3 «-5 1 \ 1-1-5 0 2 3 -2 -2 -5 3 \ 7-5-9-10 8 / 1 -1 -5 0 2 \ 0 1 13 -5 -3 0 1 13 -5 -3 х0 2 26-10-6 / ^ 1 -1 -5 0 2 \ 2-13 -5 1 3 -2 -2 -5 3 ^ 7-5-9-10 8J -1 О 1 Ах ах \ 0 O -5 0 ‘2 л 13-5-3 LLC O O O y Оригинальная система была уменьшена до ступенчатой системы. xi-x2-5xs = 2 x2 + 13 Гц + 5×4 = -3. Итак, общее решение системы: x2 = -5×4-13x-X \ = -5×4-8×3-1. 1, x2 = x3 = 0, x4 = 0. 2) Решить систему, используя метод Гаусса. — = О, -3, ♦ X1 + x2 + x3 = 3, 2xi + 3×2 + 3×3 = 7, 3X] + X2 + x3 = 5, 5xi-x2-. Xs = 3. ♦ Выполнять базовые преобразования в строках расширенной матрицы системы.

/ 11 1 3 \ / 11 1 3 \ / 1 1 1 3 \ / 1 1 1 3 \ 2337 010 1 0101 0101 31 15 ~ 0-2—2-4 ~ 0112 ~ 0011 \ 5 -1 -1 3 / \ 0 -b -6 -12 / \ 0 I 1 2 / \ 0 0 0 0 / Полученная матрица соответствует системе + X-2 + xs = 3, X-2 = 1 Xb = 1. Выполнение обратного хода приводит к £ 3 = 1, x2-1, Xj = 1.

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее – находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

——————————————–

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

—————————————–

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

—————————————–

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

—————————————————–

Посмотреть материалы:

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Решение систем линейных уравнений

Аннотация: В лекции рассматривается задача решения систем линейных уравнений. Приводятся необходимые определения и постановка задачи. Описывается последовательный и параллельный варианты одного из прямых методов решения линейных систем общего вида – метода Гаусса. Далее дается описание последовательного и параллельного алгоритмов, реализующих итерационный метод сопряженных градиентов

Системы линейных уравнений возникают при решении ряда прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений. Они могут появляться также в задачах математического программирования, статистической обработки данных, аппроксимации функций, при дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных разностей или методом конечных элементов и др.

Матрицы коэффициентов систем линейных уравнений могут иметь различные структуру и свойства. Матрицы решаемых систем могут быть плотными, и их порядок может достигать несколько тысяч строк и столбцов. При решении многих задач могут появляться системы, обладающие симметричными положительно определенными ленточными матрицами с порядком в десятки тысяч и шириной ленты в несколько тысяч элементов. И, наконец, при рассмотрении большого ряда задач могут возникать системы линейных уравнений с разреженными матрицами с порядком в миллионы строк и столбцов.

8.1. Постановка задачи

Линейное уравнение с n неизвестными x0, x1, ѕ, xn-1 может быть определено при помощи выражения

( 8.1)

где величины a₀,a₁,.

..,a_n-1 и b представляют собой постоянные значения.

Множество из n линейных уравнений

( 8.2)

называется системой линейных уравнений или линейной системой. В более кратком ( матричном ) виде система может представлена как

где A=(a_i,j) есть вещественная матрица размера nxn, а векторы b и x состоят из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b обычно понимается нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.

8.2. Алгоритм Гаусса

ru/2010/edi”>Метод Гаусса – широко известный прямой алгоритм решения систем линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов являются плотными. Если система линейных уравнений невырожденна, то метод Гаусса гарантирует нахождение решения с погрешностью, определяемой точностью машинных вычислений. Основная идея метода состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований (не меняющих решение системы (8.2)) к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены непосредственно в явном виде.

В подразделе дается общая характеристика метода Гаусса, достаточная для начального понимания алгоритма и позволяющая рассмотреть возможные способы параллельных вычислений при решении систем линейных уравнений. Более полное изложение алгоритма со строгим обсуждением вопросов точности получаемых решений может быть получено, например, в работах [ [ 6 ] , [ 22 ] , [ 47 ] ] и др.

8.2.1. Последовательный алгоритм

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных ). К числу таких преобразований относятся:

умножение любого из уравнений на ненулевую константу;
перестановка уравнений;
прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов. На первом этапе – прямой ход метода Гаусса – исходная система линейных уравнений при помощи последовательного исключения неизвестных приводится к верхнему треугольному виду

где матрица коэффициентов получаемой системы имеет вид

intuit.ru/2010/edi”>На обратном ходе метода Гаусса (второй этап алгоритма) осуществляется определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение переменной x_n-1, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной x_n-2 и т.д.

8.2.1.1. Прямой ход алгоритма Гаусса

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений. На итерации i, 0<=i<n-1, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами k, большими i (т.е. i<k<=n-1 ). Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i, умноженной на константу ( a_ki/a_ii ), с тем чтобы результирующий коэффициент при неизвестной x_i в строках оказался нулевым – все необходимые вычисления могут быть определены при помощи соотношений:

(следует отметить, что аналогичные вычисления выполняются и над вектором b ).

Поясним выполнение прямого хода метода Гаусса на примере системы линейных уравнений вида:

На первой итерации производится исключение неизвестной x0 из второй и третьей строки. Для этого из этих строк нужно вычесть первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1. После этих преобразований система уравнений принимает вид:

В результате остается выполнить последнюю итерацию и исключить неизвестную x₁ из третьего уравнения. Для этого необходимо вычесть вторую строку, и в окончательной форме система имеет следующий вид:

На рис. 8.1 представлена общая схема состояния данных на i -й итерации прямого хода алгоритма Гаусса. Все коэффициенты при неизвестных, расположенные ниже главной диагонали и левее столбца i, уже являются нулевыми. На i -й итерации прямого хода метода Гаусса осуществляется обнуление коэффициентов столбца i, расположенных ниже главной диагонали, путем вычитания строки i, умноженной на нужную ненулевую константу. После проведения (n-1) подобной итерации матрица, определяющая систему линейных уравнений, становится приведенной к верхнему треугольному виду.

Рис. 8.1. Итерация прямого хода алгоритма Гаусса

При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая используется для исключения неизвестных, носит наименование ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим элементом. Как можно заметить, выполнение вычислений является возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение. Более того, если ведущий элемент a_i,i имеет малое значение, то деление и умножение строк на этот элемент может приводить к накоплению вычислительной погрешности и вычислительной неустойчивости алгоритма.

Возможный способ избежать подобной проблемы может состоять в следующем: при выполнении каждой очередной итерации прямого хода метода Гаусса следует определить коэффициент с максимальным значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем исключаемой неизвестной, т. е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент располагается (данная схема выбора ведущего значения носит наименование метода главных элементов).

Вычислительная сложность прямого хода алгоритма Гаусса с выбором ведущей строки имеет порядок O(n³).

8.2.1.2. Обратный ход алгоритма Гаусса

После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному виду становится возможным определение значений неизвестных. Из последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение переменной x_n-1, после этого из предпоследнего уравнения становится возможным определение переменной x_n-2 и т.д. В общем виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут быть представлены при помощи соотношений:

Поясним, как и ранее, выполнение обратного хода метода Гаусса на примере рассмотренной в п. 8.2.1.1 системы линейных уравнений

Из последнего уравнения системы можно определить, что неизвестная x₂ имеет значение 3. В результате становится возможным разрешение второго уравнения и определение значение неизвестной x₁=13, т.е.

На последней итерации обратного хода метода Гаусса определяется значение неизвестной x₀, равное -44.

С учетом последующего параллельного выполнения можно отметить, что вычисление получаемых значений неизвестных может выполняться сразу во всех уравнениях системы (и эти действия могут выполняться в уравнениях одновременно и независимо друг от друга). Так, в рассматриваемом примере после определения значения неизвестной x₂ система уравнений может быть приведена к виду

Вычислительная сложность обратного хода алгоритма Гаусса составляет O(n²).

Как решить систему линейных уравнений методом Гаусса: принцип, пример

В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).

Но для начала напомним, что СЛАУ может:

иметь одно единственное решение;
иметь бесконечное множество решений;
быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает следующие этапы:

прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т. е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
обратный – в полученной матрице элементы над главной диагональю также обнуляются (нижний треугольный вид).

Пример решения СЛАУ

Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

4. Прибавим к третьей строке вторую.

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

8. Ей соответствует система уравнений:

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.

Систем линейных уравнений: исключение Гаусса

Системы линейных уравнений:
Решение методом исключения Гаусса (стр. 6 из 7)

Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере, на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный. Вам нужно будет очень аккуратно работать, и вам следует планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и может использовать его последовательно правильно.

Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы.Этот метод называется «исключением по Гауссу» (с уравнения заканчиваются так называемой «строковой формой»).

Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.

Решите следующие проблемы система уравнений.

Достаточно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто подставлю обратно значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для л , г. а затем подключите z и y в первое уравнение и решите результат для x .

10 л 3 (3) = 11
10 y 9 = 11
10 y = 20
y = 2

5x + 4 (2) (3) = 0
5 x + 8 3 = 0
5 x + 5 = 0
5 x = 5
x = 1

Тогда решение ( х , y , z ) = (1, 2, 3).

Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.

Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссовское исключение – это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.

Решите следующие проблемы система уравнений с использованием исключения Гаусса.

Уравнение не решается для переменной, поэтому мне нужно будет выполнить умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я сделаю свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:

Первое, что нужно сделать состоит в том, чтобы избавиться от ведущих x -термов в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в “верхний треугольной “формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x – срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку. Я делаю вычисления на бумаге для заметок:

… а потом записываю результатов:

(Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.)

Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.Я б / у третий ряд, но я на самом деле не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».

Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку пополам:

Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:

Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.

Хорошо, теперь x – столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать над колонкой и .

Предупреждение: Начиная с третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с уравнением, но не с Это.

Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду. Я не буду избавились от ведущего y -терм во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:

… а потом записываю результатов:

Теперь могу использовать второй ряд, чтобы убрать и -семестр в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:

… а потом записываю результатов:

Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды, чтобы придать им верхнетреугольную форму:

Теперь я могу начать процесс обратного решения:

Тогда решение ( х , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .

Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал при решении указанной выше системы; там ничего не было Особо о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, “как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось простейшим, или как пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на пути верен, вы придумаете тот же ответ.

В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, очищая все термины и кроме этого во второй строке и во всех терминах z кроме того, что в первой строке. Это то, что процесс тогда посмотрели так:

Таким образом, я могу просто прочитать от значений x , л , г. и z , и мне не нужно возиться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, попадающие в так называемый “пониженный ряд-эшелон” форма”).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.

Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работая с и работая на в той же строке на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочая по второй и третий ряды.

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений, решаемые методом исключения Гаусса». Purplemath
Доступно по телефону https: // www.purplemath.com/modules/systlin6.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Решающие системы с исключением Гаусса – алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
Выполняет операции со строками в матрице.
Решите систему линейных уравнений, используя матрицы.

Рисунок 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика. Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные. В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

имеет матрицу коэффициентов

и представлена расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термы идут в первый столбец, – -термы во втором столбце и z -термы в третьем столбце.Очень важно, чтобы каждое уравнение было написано в стандартной форме, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.

Как сделать

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

Запишите коэффициенты членов x как числа в первом столбце.
Запишите коэффициенты членов y в виде чисел во втором столбце.
Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

[show-answer q = ”fs-id1165137727716 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137727716 ″]

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

[/ скрытый-ответ]

Попробуй

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

[show-answer q = ”fs-id1165134301343 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134301343 ″]

[/ hidden-answer]

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из расширенной матричной формы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165137737608 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137737608 ″]

Когда столбцы представляют переменные [latex] y, \, [/ latex] и

[/ скрытый-ответ]

Попробуй

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165135528897 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135528897 ″]

[/ hidden-answer]

Выполнение операций со строками в матрице

Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение строковых операций над матрицей – это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1.Он называется ведущим 1.
Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

Поменять местами ряды.(Обозначение 🙂
Умножить строку на константу. (Обозначение 🙂
Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание:

Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными. С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения многоуровневой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу с номером 1 в качестве записи по главной диагонали и иметь все нули внизу.

Первый шаг стратегии Гаусса включает получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Как сделать

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Попробуй

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[show-answer q = ”fs-id1165137732121 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137732121 ″]

[/ hidden-answer]

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса для решения данной системы уравнений
.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелон.

Попробуй

Запишите систему уравнений в виде строк.

[show-answer q = ”fs-id1165134189887 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134189887 ″]

[/ hidden-answer]

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы. Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Попробуй

Решите систему, используя матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165135172200 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165135172200 ″]
[/ hidden-answer]

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как сделать

Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая – 12%.Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5%, другой – 8%, а третий – 9%. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

[show-answer q = ”fs-id1165134589597 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134589597 ″]

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными.Пусть будет сумма, вложенная под 5%, пусть будет сумма, вложенная под 8%, пусть будет сумма, вложенная под 9%. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

В третьей строке указано usthus

Вторая строка сообщает нам Подставляя, мы получаем

Первая строка говорит нам о подстановке и получаем

Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.[/ hidden-answer]

Попробуй

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть – под 8%, часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

[show-answer q = ”fs-id1165137547014 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137547014 ″]

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

[/ hidden-answer]

Ключевые понятия

Расширенная матрица – это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений.См. (Рисунок).
Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена как исходная система уравнений. См. (Рисунок).
Операции со строками включают в себя умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и замену строк местами.
Мы можем использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
Операции со строками выполняются над матрицами для получения формы «строка-эшелон». См. (Рисунок).
Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в форме дополненной матрицы.Выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк. Обратно-заменитель, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту расширенную матрицу.

[show-answer q = ”fs-id1165134155093 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134155093 ″]

Да. Для каждой строки коэффициенты переменных записываются поперек соответствующей строки и помещается вертикальная черта; затем константы помещаются справа от вертикальной полосы.

[/ hidden-answer]

Можно ли записать любую матрицу в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.

Есть только один правильный метод использования операций со строками в матрице? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно выполнить для расширенной матрицы

. [show-answer q = ”fs-id1165134036654 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134036654 ″]

Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций над матрицей.Есть два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Разделить строку 1 на 9.

[/ hidden-answer]

Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

[show-answer q = ”fs-id1165137639609 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137639609 ″]

№Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

[show-answer q = ”fs-id1165133145058 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133145058 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137418199 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137418199 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

[show-answer q = ”fs-id1165137

4 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137

4 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137836994 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165137836994 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135440480 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135440480 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

[show-answer q = ”fs-id1165135151213 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135151213 ″]

Нет решений

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134329612 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134329612 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135473768 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135473768 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135580980 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135580980 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137843205 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id1165137843205 ″]
[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133243532 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133243532 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137501549 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137501549 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135551136 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135551136 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165133141313 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133141313 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135620833 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135620833 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134188796 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134188796 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135496208 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135496208 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134138496 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134138496 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135407366 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135407366 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135665476 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135665476 ″]

[/ hidden-answer]

Расширения

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

[show-answer q = ”fs-id1165137471175 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137471175 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135263629 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135263629 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135354918 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135354918 ″]

Решения отсутствуют.

[/ hidden-answer]

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 долларов.Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата – 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

[show-answer q = ”fs-id1165137767240 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” fs-id1165137767240 ″] 860 красный бархат, 1340 шоколад [/ hidden-answer]

Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой – с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283 доллара.50, сколько было на каждом счете по прошествии года?

Вы инвестировали 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

[show-answer q = ”fs-id1165134254294 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134254294 ″]

4% на счет 1, 6% на счет 2

[/ hidden-answer]

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов.Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать плату за пылесосы?

[show-answer q = ”fs-id1165135456730 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135456730 ″]

$ 126

[/ hidden-answer]

Три самых популярных вкуса мороженого – это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого.Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге выросли вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы – на 20%.Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.

[show-answer q = ”fs-id1165135255463 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135255463 ″]

Банан – 3%, тыква – 7%, а каменистая дорога – 2%

[/ hidden-answer]

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль. Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек.Кешью весит 3 г, фисташки – 4 г, миндаль – 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

[show-answer q = ”fs-id1165133294879 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133294879 ″]

100 миндальных орехов, 200 кешью, 600 фисташек

[/ hidden-answer]

Глоссарий

дополненная матрица: матрица коэффициентов, примыкающая к столбцу констант, разделенному вертикальной линией в скобках матрицы

матрица коэффициентов: матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений

Гауссово исключение: с использованием элементарных операций со строками для получения матрицы в виде эшелона строки

главная диагональ: записей из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы

рядная форма: после выполнения строковых операций матричная форма, содержащая единицы по главной диагонали и нули в каждом пробеле ниже диагонали

эквивалент строки: две матрицы и эквивалентны строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками

строковые операции: : добавление одной строки к другой, умножение строки на константу, перестановка строк и т. Д. С целью получения формы «строка-эшелон»

Решающих систем с исключением Гаусса – College Algebra

Цели обучения

В этом разделе вы:

Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
Выполняет операции со строками в матрице.
Решите систему линейных уравнений, используя матрицы.

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но он по-прежнему считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика.Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, например

имеет матрицу коэффициентов

и представлена расширенной матрицей

Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.

Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
Запишите коэффициенты членов y в виде чисел во втором столбце.
Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными.Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

Выполнение операций со строками в матрице

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме.Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.

В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Поменять местами ряды. (Обозначение 🙂
Умножить строку на константу. (Обозначение 🙂
Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание:

Исключение по Гауссу

Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».

Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте метод исключения Гаусса для решения данной системы уравнений.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon

Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелон.

Запишите систему уравнений в виде строк.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.

Решите систему, используя матрицы.

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.

Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 фунтов стерлингов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая – 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 фунтов стерлингов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 фунтов стерлингов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой – 8%, а третий – 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 евро. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть будет сумма, вложенная под 5%, пусть будет сумма, вложенная под 8%, пусть будет сумма, вложенная под 9%. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

В третьей строке указано usthus

Вторая строка сообщает нам Подставляя, мы получаем

Первая строка говорит нам о подстановке и получаем

Ответ: 3000 евро вложены под 5%, 1000 евро вложены под 8% и 6000 евро инвестированы под 9%.

Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 фунтов стерлингов для расширения своих запасов. Часть денег была взята под 7%, часть – под 8%, часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 евро. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

? 150 000 при 7%, 750 000 фунтов стерлингов при 8%, 600 000 фунтов стерлингов при 10%

Ключевые понятия

Расширенная матрица – это матрица, которая содержит коэффициенты и константы системы уравнений.См. (Рисунок).
Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена как исходная система уравнений. См. (Рисунок).
Операции со строками включают в себя умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и замену строк местами.
Мы можем использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
Операции со строками выполняются над матрицами для получения формы «строка-эшелон». См. (Рисунок).
Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в форме дополненной матрицы.Выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк. Обратно-заменитель, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

Расширения

Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

Реальные приложения

Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 фунтов стерлингов.Шоколадные кексы стоят 2,25 евро, а кексы из красного бархата – 1,75 евро. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?

860 красный бархат, 1340 шоколадный

Вы вложили 10 000 евро в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой – с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283,50 фунтов стерлингов, какая сумма была на каждом счете по истечении года?

Вы вложили 2300 евро на счет 1 и 2700 евро на счет 2.Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 евро, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.

4% на счет 1, 6% на счет 2

Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 фунтов стерлингов. Производитель обошелся в 180 фунтов стерлингов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 фунтов стерлингов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя.Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 фунтов стерлингов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 фунтов стерлингов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать плату за пылесосы?

Три самых популярных вкуса мороженого – это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге выросли вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы – на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.

Банан – 3%, тыква – 7%, а каменистая дорога – 2%

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки – 4 г, миндаль – 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.

В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.

100 миндальных орехов, 200 кешью, 600 фисташек

Глоссарий

дополненная матрица: матрица коэффициентов, примыкающая к столбцу констант, разделенному вертикальной линией в скобках матрицы

матрица коэффициентов: матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений

Гауссово исключение: с использованием элементарных операций со строками для получения матрицы в виде эшелона строки

главная диагональ: записей из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы

рядная форма: после выполнения строковых операций матричная форма, содержащая единицы по главной диагонали и нули в каждом пробеле ниже диагонали

эквивалент строки: две матрицы и эквивалентны строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками

строковые операции: : добавление одной строки к другой, умножение строки на константу, перестановка строк и т. Д. С целью получения формы «строка-эшелон»

Как использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений?

ПРИМЕР:
Используйте метод исключения Гаусса для решения следующей системы уравнений.
# x + 2y + 3z = -7 #
# 2x-3y-5z = 9 #
# -6z-8y + z = -22 #
Раствор:
Настроить расширенную матрицу формы.
# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) #
Цель 1. Получите 1 в верхнем левом углу.
Уже сделано.
Цель 2a: Получите ноль под 1 в первом столбце.
Умножьте строку 1 на # -2 #, чтобы получить
# ((- 2, -4, -6, |, 14)) #
Добавьте результат в строку 2 и поместите результат в строку 2.
Обозначим операции как # -2R_2 + R_1 → R_2 #.
# ((1,2,3, |, -7), (2,3, -5, |, 9), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (-2R_1 + R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) #
Цель 2b: Получите еще один ноль в первом столбце.
Для этого нам понадобится операция # 6R_1 + R_3 → R_3 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (- 6, -8,1, |, 22)) stackrel (6R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) #
Цель 2c. Получите оставшийся ноль.
Умножьте строку 2 на # -1 / 7 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0, -7, -11, |, 23), (0,4,19, |, -64)) stackrel (- (1/7 ) R_2 → R_2) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64 )) #
Теперь используйте операцию # -4R_2 + R_3 → R_3 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,4,19, |, -64)) stackrel (-4R_2 + R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356/7)) #
Умножьте третью строку на # 7/89 #.
# ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,89 / 7, |, -356 / 7)) stackrel (7 / 89R_3 → R_3) (→) ((1,2,3, |, -7), (0,1,11 / 7, |, -23 / 7), (0,0,1, | , -4)) #
Цель 3. Используйте обратную подстановку, чтобы получить значения # x #, # y # и # z #.
Цель 3а. Рассчитайте # z #.
#z = -4 #
Цель 3b. Рассчитайте # y #.
# y + 11 / 7z = -23 / 7 #
# y-44/7 = -23 / 7 #
# y = 44 / 7-23 / 7 = 21/7 #
# y = 3 #
Цель 3c. Вычислить x.
# x + 2y + 3z = -7 #
# x + 6-12 = -7 #
# x-6 = -7 #
# х = 1 #
Решение: # x = 1, y = 3, z = -4 #
Гауссовское УСТРАНЕНИЕ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: ПРИМЕРЫ И РЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ: ВЫСШАЯ ШКОЛА
Содержимое этой страницы:
Введение
Система уравнений (линейная) – это группа (линейных) уравнений с различные неизвестные факторы.Вообще говоря, неизвестные факторы появляются в различных уравнениях.
Уравнение с различными неизвестными факторами связывает их друг с другом.
Решение системы состоит в нахождении значения неизвестных факторов способом, который проверяет все уравнения, составляющие систему.
Если существует одно решение (одно значение для каждого неизвестного фактора), мы будем говорить, что система – Согласованная независимая система (СНГ) .
Если существуют различные решения (система имеет бесконечно много решений), мы говорим, что система является Согласованная зависимая система (CDS). .
Если решения нет, а это произойдет, если есть два или несколько уравнений, которые нельзя проверить одновременно, мы говорим, что это несовместимая система (IS) .Например, следующая система уравнений
$$ \ begin {case} \ begin {array} {lcl} y & = & 0 \\ 2x + y & = & 0 \\ 2x + y & = & 2 \ end {array} \ end {cases} $ $
несовместимо, потому что мы получаем решение x = 0 из второго уравнения и, из третьего, x = 1 .
В этом разделе мы собираемся решать системы с использованием метода исключения Гаусса , который заключается в простом выполнении элементарных операций в строке или столбце расширенной матрицы, чтобы получить свой эшелон из или его сокращенный эшелон форма (Гаусс-Джордан).
Метод разрешения
Применяем метод исключения Гаусса-Джордана : получаем сокращенная форма эшелона строки из расширенной матрицы систему уравнений, выполняя элементарные операции в строках (или столбцах).
Когда у нас есть матрица, мы применяем теорему Руше-Капелли , чтобы определить тип системы и получить решение (я), а именно:
Пусть A · X = B будет системой из m линейных уравнений с n неизвестными факторы, m и n натуральные числа (не ноль):
AX = B соответствует тогда и только тогда, когда
$$ ранг (A) = ранг (A | B) $$
AX = B – это непротиворечивый независимый тогда и только тогда, когда
$$ ранг (A) = n = ранг (A | B) $$
Примечание: Элементарные операции в строках или столбцах позволяют получить системы, эквивалентные исходной, но с формой, упрощающей получение решений (если они есть).Также есть более быстрые инструменты для выработки решений в СНГ, такие как правило Крамера.
Система 1
Показать решение
Расширенная матрица системы
того же размера, что и система (2×3). Вертикальная линия, отделяющая матричные коэффициенты от вектора независимых членов.
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк:
Умножаем первую строку на 1/5 а вторую на 1/3
Добавляем вторую строку с первой
Вторую строку умножаем на 5/7
Складываем первую строку со второй, умноженной на -2/5
Эта последняя эквивалентная матрица представлена в сокращенной форме эшелона строк. и это позволяет нам быстро увидеть рейтинг матрица коэффициентов и дополненная.
Рассчитываем ранги:
По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независимая. Полученная матрица представляет собой систему
, который является решением исходной системы.

Система 2
Показать решение
Расширенная матрица системы
Проводим элементарные операции в строках для получения приведенных форма эшелона строки:
Вторую строку умножаем на 1/2
Складываем первую строку со второй
Умножаем первую строку на 1/3
Эта последняя эквивалентная матрица находится в форме сокращенного эшелона строк и имеет нулевую строку, что означает, что строки в исходной системе линейно зависимы. (любой из них может быть получен умножением другого на скаляр, не равный нулю).
Рассчитываем ранги
По теореме Руше-Капелли система непротиворечива. Кроме того, он является зависимым, поскольку ранг (1) ниже количества неизвестных факторов (2).
Полученная матрица представляет собой систему
Решения

Система 3
Показать решение
Расширенная матрица системы
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Изменяем порядок строк (так у нас уже будет 1 в первой строке без необходимости умножать)
Складываем вторую строку с первой, умноженной на 5 :
Вторую строку умножаем на -1/15
Последняя матрица имеет эшелонированную форму (не сокращена).
Мы можем непосредственно заметить, что система несовместима, потому что у нас следующее равенство (вторая строка):
$$ 0x + 0y = 1 $$
, это невозможное равенство.
Рассчитываем ранги матрицы коэффициентов и дополненной:
По теореме Руше-Капелли система несовместна (решения нет). Полученная матрица представляет собой систему
Система непоследовательна из-за невозможного равенства
$$ 0 = 1 $$

Система 4
Показать решение
Расширенная матрица системы
(размер 3х4).
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Умножаем первую строку на 1/5
Складываем вторую и третью строки, умножив первую на -2
Вторую и третью строки умножаем на 5
Складываем вторую строку с третьей, умноженной на -1
Умножаем вторую строку на -1/10 , а третью на 1/11
Складываем первую строку со второй, умноженной на -2/5 , а третью со второй, умноженной на -1
Третью строку умножаем на -11/5
Эта последняя эквивалентная матрица находится в сокращенной форме эшелона строк (мы знаем ее, потому что это единичная матрица).Имея единичную матрицу, мы знаем, что это непротиворечивая независимая система, и можем получить единственное решение.
Рассчитываем ранги
По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независимая. Полученная матрица представляет собой систему
, который является решением системы.

Система 5
Показать решение
Расширенная матрица системы
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Мы вычитаем первую строку из второй и добавляем третью строку с первой.
Умножаем первую строку на 1/2 , а вторую на 1/3
Мы складываем первую строку со второй, умноженной на 1/2 , и третью строку со второй, умноженной на -2
Третью строку умножаем на 1/3
Складываем первую строку с третьей, умноженной на -3/2
Эта последняя матрица представляет собой эшелонированную матрицу с сокращенным числом строк (мы знаем это, потому что у нас есть единичная матрица).
Рассчитываем ранги
По теореме Руше-Капелли система непротиворечива Независимая. Полученная матрица представляет собой систему

Система 6
Показать решение
Расширенная матрица системы
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Умножаем вторую строку на -1/3 а третью на 1/4
Складываем вторую и третью строки, умножив первую на -1
Умножаем вторую строку на -3/4 и третью на -1
Третью строку складываем со второй, умноженной на -1
Эта последняя матрица имеет эшелонированную форму (но не сокращена) и мы не продолжаем выполнять операции по строкам, потому что можем видим, что последняя строка делает систему непоследовательной.Эта строка сообщает нам:
$$ 0x + 0y + 0z = -1 $$
И все это невозможное равенство.
Фактически у нас есть ранги
По теореме Руше-Капелли система несовместна.

Система 7
Показать решение
Расширенная матрица системы
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Умножаем первую и вторую строки на 1/3 и 1/6 соответственно
Вторую строку вычитаем из третьей
Складываем первую строку со второй
Третью строку умножаем на 3
Эта последняя матрица находится в сокращенном эшелоне строк формы , поэтому мы можем легко вычислить ранги:
Рассчитываем ранги
По теореме Руше-Капелли система непротиворечива.Но он не является независимым, потому что количество неизвестных факторов (3) отличается от ранга. Полученная матрица представляет собой систему
Решения

Система 8
Показать решение
Расширенная матрица системы
Примечание: перед тем, как мы начнем, мы должны прокомментировать, что процедура будет таким же, как и до сих пор.Но у нас есть корни в матрице, а это значит, что операции в строках будут длинными и утомительно. Эта задача не очень интересна в дидактическом смысле, помимо расчетов.
Проводим элементарные операции в строках, чтобы получить форма пониженного ряда
Мы складываем вторую строку с первой, умноженной на -√5 и, с третья, умноженная на -2/5
Умножаем вторую строку на 1 / √5 и третью на 5/17
Складываем первую строку с третьей и со второй вычитаем третью
Переписываем матрицу
Умножаем вторую строку на (√5 / 5-5) ^-1
Складываем первую строку со второй, умноженной на -5
В этой последней матрице он (почти) в строке уменьшен форма эшелона (надо поменять второй и третий ряды так что это правда).Из последней матрицы получаем решения:

Система 9
Показать решение
Расширенная матрица системы
Выполняем элементарные операции в строках, чтобы получить сокращенную форму эшелона строк
Складываем третью и четвертую строки, умножая первую на 3 и -2 соответственно
Складываем первую, вторую и третью строки с четвертой, умноженной на 2 , -3 и 5 соответственно
Умножаем четвертую строку на -1 и меняем на вторую
Умножаем третью и четвертую строки на 1/34 и -1/22 соответственно
Вычитаем третью строку из четвертой
Четвертую умножаем на -187/42
Добавляем в первую строку третью умноженную на -13 и вторую на 8
К первой строке прибавляем четвертую, умноженную на 5/34 , ко второй прибавляем первую, умноженную на 5/17 и к третьему добавляем первое, умноженное на -3/34
По теореме Руше-Капелли, система является непротиворечивой Независимой, и решением является

Система 10
Показать решение
Расширенная матрица системы
Примечание: Эта система была включена в цель отметить, что теория матрицы применима к комплексным числам.Единственное отличие от предыдущих систем в том, что теперь нам нужно действовать путем умножения и деления комплексные числа.
Выполняем элементарные операции в строках для получения приведенной формы эшелона строк
Умножаем вторую строку на 1/2 и меняем ее на первую
Добавляем вторую строку с первой, умноженной на – (1 + i)
Вторую строку умножаем на
Добавляем первую строку ко второй умноженной на -i / 2
Эта последняя матрица имеет сокращенную форму, потому что это единичная матрица.
По теореме Руше-Капелли, система является непротиворечивой Независимой, и решением является

Matesfacil.com от J. Llopis под лицензией творческий Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.0.

Системы линейных уравнений: исключение Гаусса
Системы линейных уравнений: исключение Гаусса
Решать нелинейные системы уравнений довольно сложно, а линейные системы довольно легко изучать.Существуют численные методы, которые помогают аппроксимировать нелинейные системы линейными в надежде, что решения линейных систем достаточно близки к решениям нелинейных систем. Мы не будем здесь обсуждать это. Вместо этого мы сосредоточим наше внимание на линейных системах.
Для простоты мы ограничимся тремя, максимум четырьмя неизвестными. Читатель, интересующийся случаем большего количества неизвестных, может легко развить следующие идеи.
Определение. Уравнение
a x + b y + c z + d w = h

где a , b , c , d и h – известные числа, а x , y , z и w – неизвестные числа. называется линейным уравнением . Если h = 0, линейное уравнение называется однородным . Линейная система представляет собой набор линейных уравнений, а однородная линейная система представляет собой набор однородных линейных уравнений.
Например,

и

линейные системы, а

является нелинейной системой (из-за y ²). Система

является однородной линейной системой.
Матричное представление линейной системы
Матрицы помогают переписать линейную систему в очень простой форме. Затем для решения систем можно использовать алгебраические свойства матриц. Сначала рассмотрим линейную систему

Установите матрицы

Используя матричное умножение, мы можем переписать линейную систему выше как матричное уравнение

Как видите, это намного лучше, чем уравнения.Но иногда стоит решить систему напрямую, минуя матричную форму. Матрица A называется матричным коэффициентом линейной системы. Матрица C называется неоднородным членом . Когда , линейная система однородна. Матрица X – это неизвестная матрица. Его записи являются неизвестными линейной системы. Расширенная матрица , связанная с системой, является матрицей [ A | C ], где
В общем, если линейная система имеет n уравнений с m неизвестными, то матричный коэффициент будет матрицей nxm, а расширенная матрица – матрицей nx (m + 1).Теперь обратим внимание на решения системы.
Определение. Две линейные системы с n неизвестными считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый набор решений.
Это определение важно, поскольку идея решения системы состоит в том, чтобы найти эквивалентную систему, которую легко решить. Вы можете спросить, как мы сможем создать такую систему? Легко, мы делаем это с помощью элементарных операций . Действительно, ясно, что если мы поменяем местами два уравнения, новая система все равно будет эквивалентна старой.Если мы умножим уравнение на ненулевое число, мы получим новую систему, по-прежнему эквивалентную старой. И, наконец, заменив одно уравнение суммой двух уравнений, мы снова получим эквивалентную систему. Эти операции называются элементарными операциями в системах. Посмотрим, как это работает в конкретном случае.
Пример. Рассмотрим линейную систему
Идея состоит в том, чтобы сохранить первое уравнение и поработать над двумя последними. Поступая так, мы попытаемся убить одного из неизвестных и решить два других.Например, если мы сохраним первое и второе уравнение и вычтем первое из последнего, мы получим эквивалентную систему

Затем мы сохраняем первое и последнее уравнение и вычитаем первое из второго. Получаем эквивалентную систему

Теперь мы сосредоточимся на втором и третьем уравнениях. Повторяем ту же процедуру. Попробуйте убить одного из двух неизвестных ( y или z ). Действительно, мы сохраняем первое и второе уравнение и добавляем второе к третьему, умножив его на 3.Мы получили

Это, очевидно, означает z = -2. Из второго уравнения мы получаем y = -2, и, наконец, из первого уравнения получаем x = 4. Следовательно, линейная система имеет одно решение.

Переход от последнего уравнения к первому при решении для неизвестных называется обратным решением .
Имейте в виду, что линейные системы, для которых матричный коэффициент является верхнетреугольным, легко решить. Это особенно верно, если матрица имеет эшелонированную форму.Таким образом, фокус состоит в том, чтобы выполнить элементарные операции по преобразованию исходной линейной системы в другую, для которой матрица коэффициентов имеет эшелонированную форму.
Используя наши знания о матрицах, можем ли мы как-нибудь переписать то, что мы сделали выше, в матричной форме, которая упростит нашу нотацию (или представление)? Действительно, рассмотрим расширенную матрицу

Выполним над этой матрицей несколько элементарных операций со строками. Действительно, если мы сохраним первую и вторую строки и вычтем первую из последней, мы получим

Затем мы сохраняем первую и последнюю строки и вычитаем первую из второй.Мы получили

Затем мы сохраняем первую и вторую строки и добавляем вторую к третьей, умножив ее на 3, чтобы получить

Это треугольная матрица, не имеющая эшелонированной формы. Линейная система, для которой эта матрица является расширенной, есть

Как видите, мы получили ту же систему, что и раньше. Фактически, мы следовали тем же элементарным операциям, что и выше. На каждом этапе новая матрица была в точности расширенной матрицей, связанной с новой системой.Это показывает, что вместо того, чтобы писать системы снова и снова, легко поиграться с элементарными операциями со строками, и как только мы получим треугольную матрицу, напишем связанную линейную систему, а затем решим ее. Это известно как исключения по Гауссу . Подведем итоги процедуры:
Исключение Гаусса. Рассмотрим линейную систему.
1.
Построить расширенную матрицу для системы;
2.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в треугольную;
3.
Запишите новую линейную систему, для которой треугольная матрица является связанной с ней расширенной матрицей;
4.
Решите новую систему. Возможно, вам потребуется присвоить некоторые параметрические значения некоторым неизвестным, а затем применить метод обратной подстановки для решения новой системы.
Пример. Решите следующую систему методом исключения Гаусса

Расширенная матрица

Мы используем элементарные операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в треугольную.Мы сохраняем первую строку и используем ее для получения всех нулей в любом месте первого столбца. У нас есть

Далее мы сохраняем первую и вторую строки и стараемся, чтобы во втором столбце были нули. Мы получили

Далее сохраняем первые три ряда. Добавляем последний к третьему, чтобы получить

Это треугольная матрица. Связанная с ним система

Очевидно, что v = 1. Установите z = s и w = t , тогда мы имеем

Из первого уравнения следует Используя алгебраические манипуляции, получаем
x = – – с – т .
Собрав все вместе, у нас есть
Пример. Используйте метод исключения Гаусса для решения линейной системы

Соответствующая расширенная матрица

Сохраняем первую строку и вычитаем первую строку, умноженную на 2, из второй строки. Мы получили

Это треугольная матрица. Связанная система

Ясно, что второе уравнение означает, что эта система не имеет решения. Следовательно, эта линейная система не имеет решения.
Определение. Линейная система называется непоследовательной или переопределенной , если у нее нет решения. Другими словами, набор решений пуст. В противном случае линейная система называется согласованной .
Следуя приведенному выше примеру, мы видим, что если мы выполним элементарные операции со строками над расширенной матрицей системы и получим матрицу с одной из строк, равной , куда , тогда система несовместима.
[Назад] [Следующий] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]
С.O.S MATH: Домашняя страница
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор : М.А.Хамси
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
пользователей онлайн за последний час
7.6 Решение систем с исключением Гаусса – Колледжская алгебра
Задачи обучения
В этом разделе вы:
Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
Выполняет операции со строками в матрице.
Решите систему линейных уравнений, используя матрицы.
Рисунок 1 Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).
Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18 – начале 19 века, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика.Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.
Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные. В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.
Написание расширенной матрицы системы уравнений
Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства. Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.
Например, рассмотрим следующую систему уравнений 2 × 22 × 2.
3x + 4y = 74x − 2y = 53x + 4y = 74x − 2y = 5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2 | 75] [344−2 | 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.
Система уравнений три на три, например
3x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 23x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3] [3−1−111020−3]
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3 | 052] [3−1−111020−3 | 052]
Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идут в первый столбец, – -термы во втором столбце и z -термы в третьем. столбец.Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax + by + cz = dax + by + cz = d, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.
How To
Для данной системы уравнений напишите расширенную матрицу.
Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
Запишите коэффициенты членов y в виде чисел во втором столбце.
Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.
Пример 1
Написание расширенной матрицы для системы уравнений
Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.
x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4 x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4
Решение
Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33 | 364] [12−12−121−33 | 364]
Попробуй # 1
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x − 3y = 113x + 2y = 44x − 3y = 113x + 2y = 4
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.
Пример 2
Написание системы уравнений из расширенной матричной формы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−3−52−5−4−354 | −256] [1−3−52−5−4−354 | −256]
Решение
Когда столбцы представляют переменные x, x, y, y и z, z,
[1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6 [1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6
Попробуй # 2
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−112−13011 | 51−9] [1−112−13011 | 51−9]
Выполнение операций со строками в матрице
Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.
Выполнение строковых операций над матрицей – это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.
Форма строки-эшелон [1ab01d001] Форма строки-эшелон [1ab01d001]
Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.
В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
Любой столбец, в котором в начале стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.
Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.
Поменять ряды местами. (Замечание: Ri↔RjRi↔Rj)
Умножить строку на константу. (Замечание: cRicRi)
Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание: Ri + cRj) Ri + cRj)
Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными.С помощью этих операций есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.
Исключение по Гауссу
Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения многоуровневой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу AA с номером 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули внизу.
A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001] A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001]
первый шаг может быть использован в качестве первого шага из 1-й строки по Гауссу. чтобы изменить строки ниже.
Как к
Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».
Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1.При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
Используйте операции со строками, чтобы получить нули в нижнем столбце 2, ниже записи 1.
Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.
Пример 3
Решение системы 2 × 22 × 2 методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
2x + 3y = 6 x − y = 122x + 3y = 6 x − y = 12
Решение
Во-первых, мы запишем это как расширенную матрицу.
[231−1 | 612] [231−1 | 612]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
R1↔R2 → [1−123 | 126] R1↔R2 → [1−123 | 126]
Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на −2, −2 и затем добавив результат к строке 2.
−2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125 | ] −2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125]
У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15,15.
15R2 = R2 → [1−101 | 121] 15R2 = R2 → [1−101 | 121]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y = 1. y = 1. Подставьте обратно y = 1y = 1 в первое уравнение.
x− (1) = 12 x = 32x− (1) = 12 x = 32
Решением является точка (32,1).(32,1).
Попробуй # 3
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
4x + 3y = 11 x − 3y = −14x + 3y = 11 x − 3y = −1
Пример 4
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
Используйте метод исключения Гаусса для решения заданной 2 × 22 × 2 система уравнений.
2x + y = 14x + 2y = 6 2x + y = 14x + 2y = 6
Решение
Запишите систему как расширенную матрицу.
[2142 | 16] [2142 | 16]
Получить 1 в строке 1, столбце 1.Этого можно добиться, умножив первую строку на 12,12.
12R1 = R1 → [11242 | 126] 12R1 = R1 → [11242 | 126]
Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножим строку 1 на −4−4 и прибавим строку 1 к строке 2.
−4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124] −4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124]
Вторая строка представляет уравнение 0 = 4,0 = 4. Следовательно, система непоследовательна и не имеет решения.
Пример 5
Решение зависимой системы
Решите систему уравнений.
3x + 4y = 126x + 8y = 243x + 4y = 126x + 8y = 24
Решение
Выполните операции со строками в расширенной матрице, чтобы попытаться получить форму строки-эшелона.
A = [3468 | 1224] A = [3468 | 1224] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔R2 → [6800 | 240] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔ R2 → [6800 | 240]
Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: 0y = 0,0y = 0. Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите относительно y.y.
3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x
Итак, решение этой системы – (x, 3−34x).(x, 3−34x).
Пример 6
Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon
Выполнить операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелон.
[1−342−56−334 | 366] [1−342−56−334 | 366]
Решение
В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом будет умножение строки 1 на −2−2 и прибавление ее к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.
−2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306] −2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306]
Затем получите ноль в строке 3, столбце 1.
3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015] 3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015]
Затем получаем ноль в строке 3, столбце 2.
6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015] 6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015]
Последний шаг – получить 1 в строке 3, столбце 3.
14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154] 14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154]
Попробуй # 4
Запишите систему уравнений в виде строк.
x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17 x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
Пример 7
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9
Решение
Сначала мы пишем расширенную матрицу.
[1−1123−13−2−9 | 8−29] [1−1123−13−2−9 | 8−29]
Затем мы выполняем строковые операции для получения формы “строка-эшелон”.
−2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15] −2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбец 1 предназначен для замены R2R2 и R3.R3.
Обмен R2 и R3 → [1−11801−12−1505−3−18] Обмен R2andR3 → [1−11801−12−1505−3−18]
Затем
−5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8−1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151] −5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8− 1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151]
Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4, −3,1) . (4, −3,1).
Пример 8
Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц
Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.
−x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0 − x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0
Решение
Запишите расширенную матрицу.
[−1−2123001−2 | −120] [- 1−2123001−2 | −120]
Сначала умножьте строку 1 на −1−1, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1.Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк.
−R1 → [12−123001−2 | 120] −R1 → [12−123001−2 | 120] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210]
Последняя матрица представляет следующая система.
x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0
Мы видим из тождества 0 = 00 = 0, что это зависимая система с бесконечным числом решений.Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для yy и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для zz через x.x.
x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3
Теперь мы подставляем выражение для zz во второе уравнение, чтобы решить относительно yy через xx
y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2x3y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2×3
Общее решение: ( x, 2−2×3,1 − x3).(х, 2−2×3,1 − x3).
Попробуй # 5
Решите систему, используя матрицы.
x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1
Вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как к
Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.
Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [A], [B], [C],….[A], [B], [C],….
Используйте в калькуляторе функцию ref (, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример 9
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1 5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1
Решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[539−23−1−1−45 | −1−2−1] [539−23−1−1−45 | −1−2−1]
На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].[А].
[A] = [539−1−23−1−2−1−451] [A] = [539−1−23−1−2−1−451]
Используйте ref (функцию в калькуляторе, вызов матричной переменной [A]. [A].
Оценить.
[1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187 [1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187
Использование обратная подстановка, решение будет (61187, −
, −24187). (61187, −
, −24187).
Пример 10
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10.5% годовых, а другой – 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x = x = сумма, инвестированная под 10,5%, а y = y = сумма, инвестированная под 12%.
x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335 x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335
В качестве матрицы мы имеем
[110.1050.12 | 12,0001,335] [110.1050.12 | 12,0001,335]
Умножьте строку 1 на −0,105−0,105 и прибавьте результат к строке 2.
[1100.015 | 12,00075] [1100.015 | 12,00075]
Затем,
0,015y = 75 y = 5,0000,015y = 75 y = 5,000
Итак, 12,000-5,000 = 7,000. 12,000-5,000 = 7,000.
Таким образом, 5 000 долларов США были инвестированы под 12% годовых и 7 000 долларов США – под 10,5% годовых.
Пример 11
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5%, другой – 8%, а третий – 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть xx будет суммой, инвестированной под 5%, пусть yy будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть zz будет суммой, инвестированной под 9%. Таким образом,
x + y + z = 10,0000,05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0 x + y + z = 10,0000.05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0
В качестве матрицы имеем
[1110.050.080.0920−1 | 10,0007700] [1110.050.080.0920−1 | 10,0007700]
Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.
−0.05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] −2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2 −3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000] −0,05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] – 2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2−3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000]
В третьей строке указано −13z = −2,000; −13z = −2,000; таким образом, z = 6000. z = 6000.
Вторая строка говорит нам, что y + 43z = 9000.y + 43z = 9000. Подставляя z = 6000, z = 6000, мы получаем
y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000
. х + у + г = 10,000. х + у + г = 10,000. Подставляя y = 1,000y = 1,000 и z = 6,000, z = 6,000, мы получаем
x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000
Ответ: 3,000 долларов, вложенных под 5% годовых, 1000 долларов инвестировано под 8%, а 6000 долларов – под 9%.
Попробуй # 6
Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть – под 8%, часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.
7.6 Упражнения по разделам
Устные
1.
Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет.Объясните, как написать эту расширенную матрицу.
2.
Можно ли любую матрицу записать в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.
3.
Есть только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы [931−2 | 06]. [931−2 | 06].
4.
Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
5.
Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.
Алгебраический
Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.
6.
8x − 37y = 82x + 12y = 38x − 37y = 82x + 12y = 3
7.
16y = 49x − y = 2 16y = 49x − y = 2
8.
3x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 183x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 18
9.
x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7 x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7
10.
6x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −86x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −8
Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.
11.
[−256−18 | 526] [- 256−18 | 526]
12.
[341017 | 10439] [341017 | 10439]
13.
[320−1−94857 | 3−18] [320−1−94857 | 3−18]
14.
[8291−175003 | 433810] [8291−175003 | 433810]
15.
[45−2015887−3 | 122−5] [45−2015887−3 | 122−5]
Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.
16.
[1000 | 30] [1000 | 30]
17.
[1010 | 12] [1010 | 12]
18.
[1245 | 36] [1245 | 36]
19.
[−124−5 | −36] [- 124−5 | −36]
20.
[−2002 | 1−1] [- 2002 | 1−1]
21.
2x − 3y = −95x + 4y = 58 2x − 3y = −95x + 4y = 58
22.
6x + 2y = −43x + 4y = −176x + 2y = −43x + 4y = −17
23.
2x + 3y = 12 4x + y = 142x + 3y = 12 4x + y = 14
24.
−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13
25.
−5x + 8y = 310x + 6y = 5−5x + 8y = 310x + 6y = 5
26.
3x + 4y = 12−6x − 8y = −24 3x + 4y = 12−6x − 8y = −24
27.
−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4
28.
11x + 10y = 4315x + 20y = 6511x + 10y = 4315x + 20y = 65
29.
2x − y = 23x + 2y = 172x − y = 23x + 2y = 17
30.
−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5.40−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5,40
31.
34x − 35y = 414x + 23y = 134x − 35y = 414x + 23y = 1
32.
14x − 23y = −112x + 13y = 314x − 23y = −112x + 13y = 3
33.
[100011001 | 314587] [100011001 | 314587]
34.
[101110011 | 5020−90] [101110011 | 5020−90]
35.
[123056008 | 479] [123056008 | 479]
36.
[−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0.20.8−0.8] [- 0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0,20,8−0,8]
37.
−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6
38.
x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30 x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30
39.
2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5 2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5
40.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5
41.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3
42.
x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3 x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3
43.
x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25.
44.
14x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 2914x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 29
45.
−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315
46.
−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = −4945−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = – 4945
Расширения
Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.
47.
x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x + 23 + 2y + z − 33 = 5x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x. + 23 + 2у + г – 33 = 5
48.
x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74 − z = 4 x + y − z − 22 = 1x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74-г = 4 х + у-г-22 = 1
49.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1
50.
x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32
51.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1
Реальные приложения
Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.
52.
Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?
53.
В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата – 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?
54.
Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой – с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая сумма процентов по истечении одного года составила 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?
55.
Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2.Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.
56.
Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов. Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?
57.
Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, с оплатой доставки в размере 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано.Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать плату за пылесосы?
58.
Три самых популярных вкуса мороженого – это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?
59.
В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге выросли вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы – на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового мороженого, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.
60.
В пакете ореховой смеси кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки – 4 г, миндаль – 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.
61.
Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.
.