Как решать сложные функции: Производная сложной функции (u(v(x))’

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1.7: Комплексные числа

Последняя тема в этом разделе на самом деле не связана с большей частью того, что мы сделали в этой главе, хотя, как мы увидим, она в некоторой степени связана с разделом радикалов. Нам также не понадобится этот материал так часто в оставшейся части этого курса, но есть пара разделов, в которых он нам понадобится, поэтому лучше убрать его с дороги на этом этапе.

В разделе радикалов мы отметили, что мы не получим действительное число из квадратного корня из отрицательного числа. Например, \(\sqrt { – 9} \) не является действительным числом, поскольку не существует действительного числа, которое мы могли бы возвести в квадрат и получить ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ 9.

Теперь мы также увидели, что если \(a\) и \(b\) оба положительны, то \( \sqrt {ab} = \sqrt a \,\sqrt b \). На секунду забудем об этом ограничении и сделаем следующее.

\[\ sqrt { – 9} = \ sqrt {\ влево ( 9 \ вправо) \ влево ( { – 1} \ вправо)} = \ sqrt 9 \ sqrt { – 1} = 3 \ sqrt { – 1} \]

Итак, \(\sqrt { – 1} \) не является действительным числом, но если подумать, мы можем сделать это для любого квадратного корня из отрицательного числа. Например,

\[\begin{align*}\sqrt { – 100} & = \sqrt {100} \sqrt { – 1} = 10\sqrt { – 1} \\ \sqrt { – 5} & = \sqrt 5 \, \,\sqrt { – 1} \\ \sqrt { – 290} & = \sqrt {290} \,\,\sqrt { – 1} \hspace{0.25in}и т. д.\end{align*}\]

Таким образом, даже если число не является полным квадратом, мы всегда можем уменьшить квадратный корень из отрицательного числа до квадратного корня из положительного числа (с которым мы или калькулятор можем справиться), умноженное на \(\sqrt {- 1} \).

Итак, если бы у нас был способ работать с \(\sqrt { – 1} \), мы могли бы работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что ж, реальность такова, что на этом уровне просто нет способа справиться с \(\sqrt { – 1} \), поэтому вместо того, чтобы иметь дело с ним, мы, так сказать, «заставим его уйти», используя следующее определение.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px сплошной черный]{{i = \sqrt { – 1} }}\]

Обратите внимание, что если возвести в квадрат обе стороны, мы получим 92} = – 1}}\]

Это важно запомнить позже. Это показывает, что в некотором роде \(i\) — единственное «число», которое мы можем возвести в квадрат и получить отрицательное значение.

Используя это определение, все приведенные выше квадратные корни становятся

\[\begin{align*}\sqrt { – 9} & = 3\,i & \hspace{0.5in}\sqrt {- 100} & = 10\,i\\ \sqrt {- 5} & = \ sqrt 5 \,i & \hspace{0. 5in} \sqrt {- 290} & = \sqrt {290} \,i\end{align*}\]

Это все примеры комплексных чисел .

В этот момент возникает естественный вопрос: зачем нам это? Ответ заключается в том, что, как мы увидим в следующей главе, иногда мы будем сталкиваться с квадратными корнями из отрицательных чисел, и нам понадобится способ с ними справиться. Итак, чтобы разобраться с ними, нам нужно будет обсудить комплексные числа.

Итак, давайте начнем с некоторых основных определений и терминологии комплексных чисел. стандартная форма комплексного номера

\[а + би\]

где \(a\) и \(b\) — действительные числа, и они могут быть любыми, положительными, отрицательными, нулями, целыми числами, дробями, десятичными, это не имеет значения. Когда в стандартной форме \(a\) называется действительной частью комплексного числа, а \(b\) называется мнимой частью комплексного числа.

Вот несколько примеров комплексных чисел.

\[3 + 5i\hspace{0.25in}\,\,\,\,\sqrt 6 – 10i\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5} + i\, \,\,\,\,\,\,16i\,\,\,\,\,\,\,\,\,113\]

Последние два, вероятно, нуждаются в небольшом пояснении. Вполне возможно, что \(а\) или \(b\) могут быть равны нулю, и поэтому в 16\(i\) действительная часть равна нулю. Когда действительная часть равна нулю, мы часто будем называть комплексное число чисто мнимым числом . В последнем примере (113) мнимая часть равна нулю, а на самом деле мы имеем действительное число. Итак, думая о числах в этом свете, мы можем видеть, что действительные числа — это просто подмножество комплексных чисел.

Конъюгат комплексного числа \(a + bi\) является комплексным числом \(a – bi\). Другими словами, это исходное комплексное число с измененным знаком мнимой части. Вот несколько примеров комплексных чисел и их сопряженных.

\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mbox{комплексное число}}}&{\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{сопряженное}}}\\{3 + \frac{ 1}{2}i}&{\hspace{0. 25in}3 – \frac{1}{2}i}\\{12 – 5i}&{\hspace{0.25in}12 + 5i}\\{1 – i}&{\hspace{0.25in}1 + i}\\{45i}&{\hspace{0.25in} – 45i}\\{101}&{\hspace{0.25in}101}\end{массив }\hspace{0,25 дюйма}\]

Обратите внимание, что сопряженное вещественное число представляет собой само себя без изменений.

Теперь нам нужно обсудить основные операции над комплексными числами. Начнем со сложения и вычитания. Самый простой способ думать о сложении и/или вычитании комплексных чисел — думать о каждом комплексном числе как о многочлене и выполнять сложение и вычитание так же, как мы складываем или вычитаем многочлены.

Пример 1 Выполните указанную операцию и запишите ответы в стандартной форме.

1. \(\влево( { – 4 + 7i} \вправо) + \влево( {5 – 10i} \вправо)\)
2. \(\влево( {4 + 12i} \вправо) – \влево( {3 – 15i} \вправо)\)
3. \(5i – \влево({- 9 + i} \вправо)\)

Показать решение

Здесь действительно нечего делать, кроме добавления или вычитания. Обратите внимание, что круглые скобки в первых терминах нужны только для того, чтобы указать, что мы думаем об этом термине как о комплексном числе, и в общем случае не используются.

a \(\left( { – 4 + 7i} \right) + \left( {5 – 10i} \right) = 1 – 3i\)

b \(\left( {4 + 12i} \right ) – \left( {3 – 15i} \right) = 4 + 12i – 3 + 15i = 1 + 27i\)

c \(5i – \left( { – 9 + i} \right) = 5i + 9 – i = 9 + 4i\)

Далее рассмотрим умножение. Опять же, с одним небольшим отличием, вероятно, проще всего думать о комплексных числах как о многочленах, поэтому умножайте их, как многочлены. Единственное отличие появится на последнем шаге, как мы увидим.

Пример 2 Умножьте каждое из следующих чисел и запишите ответы в стандартной форме.

1. \(7i\влево( { – 5 + 2i} \вправо)\)
2. \(\влево( {1 – 5i} \вправо)\влево( { – 9 + 2i} \вправо)\)
3. \(\влево({4+i}\вправо)\влево({2+3i}\вправо)\)
4. \(\влево( {1 – 8i} \вправо)\влево( {1 + 8i} \вправо)\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(7i\left( { – 5 + 2i} \right)\) Показать решение 92} = – 1\]

Используя это, мы получаем,

\[7i\влево( { – 5 + 2i} \вправо) = – 35i + 14\влево( { – 1} \вправо) = – 14 – 35i\]

Мы также изменили порядок, чтобы реальная часть шла первой. 2}\). 92}}}\]

Теперь мы привели эту формулу с комментарием, что она будет удобна при делении комплексных чисел, так что давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 3 Запишите каждое из следующих утверждений в стандартной форме.

1. \(\displaystyle \frac{{3 – i}}{{2 + 7i}}\)
2. \(\displaystyle \frac{3}{{9 – i}}\)
3. \(\displaystyle \frac{{8i}}{{1 + 2i}}\)
4. \(\displaystyle \frac{{6 – 9я}}{{2i}}\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Итак, в каждом случае мы действительно рассматриваем деление двух комплексных чисел. Однако основная идея здесь заключается в том, что мы хотим записать их в стандартной форме. Стандартная форма не позволяет никаким \(i\) стоять в знаменателе. Итак, нам нужно получить \(i\) из знаменателя.

На самом деле это довольно просто, если вспомнить, что комплексное число, умноженное на его сопряженное, является действительным числом. Итак, если мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, мы сможем исключить \(i\) из знаменателя. 92}}} = \frac{{16 + 8i}}{5} = \frac{{16}}{5} + \frac{8}{5}i\]

d \(\displaystyle \frac{{6 – 9i}}{{2i}}\) Показать решение

Этот немного отличается от предыдущих, так как знаменатель является чисто мнимым числом. Это можно сделать так же, как и предыдущие, но есть немного более простой способ решить задачу.

Сначала разбейте дробь следующим образом.

\[\фракция{{6 – 98} & = 1\конец{выравнивание*}\]

Вы видите узор? Все степени if \(i\) можно свести к одному из четырех возможных ответов, и они повторяются через каждые четыре степени. Это может быть удобным фактом для запоминания.

Теперь нам нужно решить проблему с квадратными корнями из отрицательных чисел. Из раздела о радикалах мы знаем, что можем сделать следующее.

\[6 = \sqrt {36} = \sqrt {\left( 4 \right)\left( 9 \right)} = \sqrt 4 \,\sqrt 9= \влево( 2 \вправо)\влево( 3 \вправо) = 6\]

Другими словами, мы можем разложить произведение квадратного корня на произведение квадратных корней, если оба числа положительны.

Оказывается, мы можем сделать то же самое, если одно из чисел будет отрицательным. Например,

\[6i = \sqrt { – 36} = \sqrt {\left( { – 4} \right)\left( 9 \right)} = \sqrt { – 4} \,\sqrt 9 = \left( {2i } \вправо)\влево( 3 \вправо) = 6i\] 92} = – 6\]

Мы можем обобщить это как набор правил. Если \(a\) и \(b\) оба положительные числа, то

\[\begin{align*}\sqrt a \,\sqrt b & = \sqrt {ab} \\ \sqrt { – a} \,\sqrt b & = \sqrt { – ab} \\ \sqrt a \ , \ sqrt { – b} & = \ sqrt { – ab} \\ & \\ \ sqrt { – a} \, \ sqrt { – b} & \ ne \ sqrt {\ left ( { – a} \ right) \left( { – b} \right)} \end{align*}\]

Почему это так важно, чтобы об этом беспокоиться? Рассмотрим следующий пример.

Пример 4 Умножьте следующие числа и запишите ответ в стандартной форме. \[\left( {2 – \sqrt { – 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { – 36} } \right)\]

Показать решение

Если бы мы умножили это в его нынешнем виде, мы бы получили

\[\left( {2 – \sqrt { – 100} } \right)\left( {1 + \sqrt { – 36} } \right) = 2 + 2\sqrt { – 36} – \sqrt { – 100 } – \sqrt { – 36} \, \sqrt { – 100} \]

Теперь, если бы мы не были осторожны, мы, вероятно, объединили бы два корня в последнем члене в один, что невозможно!

Итак, есть общее практическое правило при работе с квадратными корнями из отрицательных чисел. Столкнувшись с ними, первое, что вы всегда должны делать, это преобразовать их в комплексные числа. Если мы будем следовать этому правилу, мы всегда получим правильный ответ.

Итак, давайте решим эту задачу так, как надо.