Как решить матрицу методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

1.3. Метод Крамера

Отыскание решения системы по теореме Крамера называют методом Крамера решения системы линейных уравнений.

Теорема Крамера. Пусть  – определитель матрицы системы А; _j – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j– го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если   0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, j = 1, 2, …, n

Эти формулы называются формулами Крамера.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение.

Найдем общий определитель системы:

∆ = = 3∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙2 + 1∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙2 –

– 2∙(–3) ∙3 – 1∙1∙(–5) = 30 – 4 – 6 – 8 + 18 + 5 = 35.

Вычислим определители переменных ∆₁, ∆

2, ∆₃, которые получаются из общего определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов (правых частей каждого уравнения):

∆₁ = = 5∙(–2) ∙(–5) + 1∙(–3) ∙(–3) + 4∙2∙(–2) – (–2) ∙(–2) ∙(–3) –

– 2∙(–3) ∙5 – 1∙4∙(–5) = 50 + 9 – 16 + 12 + 30 + 20 = 105.

∆₂ = = 3∙4∙(–5) + 1∙(–3)∙(–2) + 5∙(–3)∙2 – (–2)∙4∙2 – (–3)∙(–3)∙3 –

– 1∙5∙(–5) = – 60 + 6 – 30 + 16 – 27 + 25 = – 70.

∆₃ = = 3∙(–2) ∙(–3) + 1∙2∙5 + 1∙4∙2– 5∙(–2)∙2 – 2∙4∙3 – 1∙1∙(–3) = = 18 + 10 + 8 + 20 – 24 + 3 = 35.

Решение системы линейных уравнений найдем по формулам Крамера:

x₁ = ; x₂ = ;

x₃ = .

1.4. Метод Гаусса

Универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.

Он заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого или треугольного вида (прямой ход Гаусса). Из этой системы последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, определяются остальные переменные (обратный ход Гаусса).

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

Система линейных уравнений записывается в виде расширенной матрицы системы, в которой кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов В:

.

Разновидностью метода Гаусса является метод полного исключения переменных. Расширенная матрица с помощью элементарных преобразований приводится к матрице вида:

.

По последней расширенной матрице восстанавливается система линейных уравнений и находится ее решение.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к единичной матрице в основной части.

× 2

× (-3)

:(-4)

× (-1)

Восстанавливая последнюю расширенную матрицу системы, получим решение системы линейных уравнений:

Ответ: х₁ = 2, х₂ = –4, х₃ = –3.

1.5. Вопросы для самоконтроля

1. Что называется матрицей?

2. Какие бывают виды матриц?

3. Каковы основные действия над матрицами?

4. Какая матрица называется невырожденной?

5. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице?

6. Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.

7. Что называется рангом матрицы?

8. Как найти ранг матрицы?

9. Что называется определителем второго, третьего, п-го порядков?

10. Перечислите основные свойства определителей.

11. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

12. В чем заключается теорема Лапласа?

13. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений.

14. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

15. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

16. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

17. Опишите схему решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

18. Как найти решение системы линейных однородных уравнений?

19. Какова геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств?

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 12.03.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Верификация и валидация

Добрый день! Есть люди, которые смогут построить модель электродвигателя из библиотеки Simscape Electrical? Не за бесплатно, или хотя бы подсказать из каких уравнений можно ее построить

Добрый день! Есть люди, которые смогут построить модель электродвигателя из библиотеки Simscape Electrical? Не за бесплатно, или хотя бы подсказать из каких уравнений можно ее построить

• MATLAB
• Simscape Electrical
• модель

12. 03.2023

• вопрос
• 09.03.2023

Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Изображения и видео, Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Цифровая обработка сигналов

Коллеги, добрый день.   Необходимо в приложении создать одинаковую структуру вкладок, кнопок, лампочек и т.д. Пытаюсь сделать это так:  f function startupFcn(app) fc_createTab(app,’WCT’,’…

Коллеги, добрый день.   Необходимо в приложении создать одинаковую структуру вкладок, кнопок, лампочек и т.д. Пытаюсь сделать это так:  f function startupFcn(app) fc_createTab(app,’WCT’,’…

• appdesigner

09.03.2023

• вопрос
• 06.03.2023

Цифровая обработка сигналов

Всем привет! Кто-нибудь может помочь мне скачать дополнение поддержки микроконтроллеров “Тексас инструментс” для “Матлаба 2016b”? Требуется такое дополнение: “Embedded Coder Support Package for TI C20.

..

Всем привет! Кто-нибудь может помочь мне скачать дополнение поддержки микроконтроллеров “Тексас инструментс” для “Матлаба 2016b”? Требуется такое дополнение: “Embedded Coder Support Package for TI C20…

1 Ответ

• вопрос
• 04.03.2023

Изображения и видео

Здравствуйте!Имеется двумерный массив значений, который я визуализирую через imagesc и есть скриншот поверх которого я хотел бы наложить изображение этого массива. Кто-нибудь может подсказать как это…

Здравствуйте!Имеется двумерный массив значений, который я визуализирую через imagesc и есть скриншот поверх которого я хотел бы наложить изображение этого массива. Кто-нибудь может подсказать как это…

• обработка изображений

04.03.2023

• вопрос
• 03.03.2023

Цифровая обработка сигналов, Изображения и видео

Для решения обратной задачи расшифровки видео изображения капиллярных волн (оптика океана) нужно решить систему 2-х нелинейных уравнений (с 2 неизвестными) , в которых  параметры также зависят от.

..

Для решения обратной задачи расшифровки видео изображения капиллярных волн (оптика океана) нужно решить систему 2-х нелинейных уравнений (с 2 неизвестными) , в которых  параметры также зависят от…

• нелинейные алгебраические уравнения
• обработка изображений

03.03.2023

• вопрос
• 24.02.2023

Электропривод и силовая электроника

Здравствуйте, столкнулся с непонятным поведением трехфазного инвертора. Какие бы сигналы я не подавал на затворы ключей, итог один и тотже. Напряжение на фазах инвертора всегда равно половине напряжен…

Здравствуйте, столкнулся с непонятным поведением трехфазного инвертора. Какие бы сигналы я не подавал на затворы ключей, итог один и тотже. Напряжение на фазах инвертора всегда равно половине напряжен…

• вопрос
• 14.02.2023

Другое, Системы управления

Гидроцилиндр

Гидроцилиндр

3 Ответа

• Гидравлика

14. 02.2023

• вопрос
• 12.02.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое

Есть модель двигателя https://www.mathworks.com/help/sps/ref/bldc.html Мне необходимо построить такую же модель только из стандартных блоков. Mask -> Look under mask не работает. Как можно заглянут…

Есть модель двигателя https://www.mathworks.com/help/sps/ref/bldc.html Мне необходимо построить такую же модель только из стандартных блоков. Mask -> Look under mask не работает. Как можно заглянут…

5 Ответов

• Электропривод
• BLDC

12.02.2023

• вопрос
• 11.02.2023

Автоматизация испытаний

Как из MatLab опрашивать датчики, подключённые через переходник USB <-> I2C на основе микросхемы Ch441A ? Какие драйвера или библиотеки в ОС Windows необходимо установить для такой работы ? Датч…

Как из MatLab опрашивать датчики, подключённые через переходник USB <-> I2C на основе микросхемы Ch441A ? Какие драйвера или библиотеки в ОС Windows необходимо установить для такой работы ? Датч.