Главная
Как умножать двузначные числа в уме: Математическая мастерская «Интересное умножение двузначных чисел»

Как умножать двузначные числа в уме: Математическая мастерская «Интересное умножение двузначных чисел»

натуральные числа, двузначные числа, распечатать фото в хорошем качестве с крупными цифрами

Мы составили таблицу квадратов натуральных чисел до 10 и двузначных чисел, которой удобно пользоваться: благодаря ей не нужно в уме возводить число во вторую степень. Достаточно распечатать таблицу и найти в ней подходящее значение

Анна Стрельцова

Автор КП

Александр Мельников

Преподаватель информатики и математики онлайн-школы «Коалиция», эксперт ЕГЭ и ОГЭ

Квадратом числа называют произведение на самого себя один раз или возведение во вторую степень. В школе это действие проходят в 5 классе. Например, чтобы вычислить квадрат числа 5, нужно умножить его на 5: в итоге получится 25. С натуральными числами до 10 вычисления довольно просты, а посчитать квадрат двузначного числа в уме уже сложнее. Поэтому для удобства можно пользоваться таблицами: это облегчает вычисления.

Таблица квадратов натуральных чисел

Натуральные числа — те числа, которые мы используем при счете или при перечислении вещей, объектов. К натуральным относятся только полные и неотрицательные числа. В математике их много: поэтому мы сделали таблицу квадратов натуральных чисел от 1 до 10.

Таблица квадратов двузначных чисел

Чтобы вычислить квадрат двузначного числа, умножить число на самого себя. В результате получается уже четырехзначное число. Если при вычислении квадратов чисел до 10 достаточно вспомнить таблицу умножения, то посчитать квадрат двузначного числа в уме уже сложнее. Проще всего для таких вычислений использовать таблицу.

Скачать таблицу двузначных чисел

Таблица квадратов до 100

В таблице мы собрали квадраты чисел от 1 до 100: она пригодится как школьникам, так и студентам. Вы можете распечатать таблицу или пользоваться ей онлайн.

Скачать таблицу квадратов до 100

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Александр Мельников, преподаватель информатики и математики онлайн-школы «Коалиция», эксперт ЕГЭ и ОГЭ, сертифицированный преподаватель проекта «Математическая вертикаль».

Как пользоваться таблицей квадратов?

— Таблица квадратов — это таблица, содержащая квадраты чисел. Квадрат числа — это результат умножения какого-либо числа на самого себя, то есть число, возведенное во вторую степень.

В таблице пересечение цифр слева в столбце и сверху в строке дает квадрат искомого числа. Например, нужно найти квадрат числа 15. В столбце слева берем первую цифру данного числа «1». В самой верхней строке берем вторую цифру данного числа «5». На пересечении данных цифр получаем квадрат числа 15, то есть 225.

Таблицу квадратов также можно использовать для извлечения квадратного корня — обратной операции возведения в квадрат. Например, √225=15.

В ТЕМУ

Как быстро выучить таблицу квадратов?

— Если мы говорим о сдаче ОГЭ и ЕГЭ базового уровня по математике, то учить таблицу квадратов необязательно, так как она будет в справочном материале. А вот для ЕГЭ по профильной математике это делать нужно: справочные материалы не предоставляются. Пригодится таблица квадратов и позже, при обучении в вузе. Вот несколько советов, как это сделать.

1. Если число заканчивается на 0, его легко возвести в квадрат — необходимо только дописать пару нулей: 60 х 60 = 3600.

2. Если число заканчивается на 5, то следует умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к полученному числу «25». 65 х 65 = 6 х 7 = 42 приписываем 25 и получаем 4225.

3. Можно воспользоваться формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Как мы уже выяснили, возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 0, очень просто. Следовательно, а — это число, которое делится на 10, а b — остаток от деления на 10. Приведем пример. Возведем в квадрат 32. 32 можно представить как 30 (число делится на 10) и 2 (остаток от деления на 10): (30+2)2 = 302 + 2 х 30 х 2 + 22 = 900 + 120 + 4 =1024.

Для начала нужно выучить таблицу квадратов первого десятка, так как она используется чаще всего: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361. И важно запомнить, что не бывает квадратов, последняя цифра в которых 2, 3, 7, 8. Также часто используются квадраты таких чисел как 21, 24, 25, 26: они встречаются чаще других.

Выучить данные значения квадратов можно довольно быстро: попробуйте просто ежедневно выписывать значения в тетрадь.

Как извлечь корень числа без таблицы квадратов?

— Число необходимо разложить на простые множители, например 1225 = 5 х 5 х 7 х 7 = 5272. Значит, √1225 = √(5272) = 5 х 7 = 35. Благодаря разложению на множители можно извлечь корень из многозначного числа, выходящего за рамки таблицы квадратов.

Фото на обложке: shutterstock.com

Как решить один и тот же пример разными способами: китайский метод умножения, египетский, метод решетки – 20 января 2023

Привычные нам способы решения примеров далеко не единственно верные

Поделиться

Складывать, вычитать, умножать и делить мы все научились еще в школьные годы. Многие даже неплохо сохранили эти навыки и до сих пор могут что-нибудь да умножить. В уме. Но что, если приходится умножать многозначные числа? Понятно, что проще всего воспользоваться калькулятором. Но мы не ищем легких путей — вместо них мы нашли несколько способов решить одни и те же примеры. Ими до сих пор пользуются в разных странах, и это не привычное нам умножение столбиком.

В качестве примера, решить который мы попробуем семью разными методами, мы взяли не самый сложный, но и не самый простой: 223 х 304. Произведение этих множителей равняется 67 792. Нам было важно, чтобы числа были не двузначные и чтобы хотя бы в одном из них был ноль (потом объясним зачем). А теперь давайте посчитаем.

Чтобы решить наш пример этим способом, сперва запишем множители. После этого нужно представить число 223 в виде суммы степеней двоек — начинаем с единицы и умножаем на два, пока не получим число, которое будет больше, чем 223. Получится 256. Это уже много. А раз много, значит нам это не нужно. Остается 128.

Поделиться

Дальше нужно число 304 умножить на все получившиеся числа. Но понадобятся нам не все. Из чисел левого столбца нам нужно собрать число 223. Идем снизу вверх. Берем 128, прибавляем к нему 64. Получается 192. Если прибавить к этой сумме 32, получится 224, а это уже перебор. Поэтому 32 пропускаем и прибавляем все остальные. Выйдет наше 223. На те числа, что остались (а это все, кроме 32), мы и будем умножать наше 304. Теперь суммируем всё, что у нас получилось. Сумма этих чисел окажется 67 792.

Поделиться

Если вам кажется, что умножать 304 на 128 в такой ситуации будет полнейшим безумием, воспользуйтесь хитростью и просто умножайте каждое предыдущее число на два — так будет проще.

Всё, что вам понадобится, чтобы решить любой пример с умножением этим крестьянским методом, — это уметь умножать и делить на два.

Для начала будем последовательно делить на два первое число, пока оно не превратится в единицу. Думаете, не получится в случае с числом 223? Только не в древнерусском способе! Если в результате будет получаться число с остатком, отбрасываем эти остатки куда подальше — они нам не пригодятся.

Поделиться

После этой нехитрой процедуры беремся за второй множитель — его будем на два умножать. Столько же раз, сколько делили первый множитель, пока он не достиг единицы. Умножили? Теперь вычеркивайте все строчки, в которых в левом столбце есть четное число. У нас такая строчка одна — с цифрой шесть.

Поделиться

Дальше — самая нелегкая задача этого метода: суммировать все числа, что стоят справа (включая 304). Сложно, но у древнерусских счетоводов не было другого выбора, и им приходилось всё считать вручную. У нас, к счастью, есть калькуляторы, так что мы с удовольствием воспользуемся этой возможностью. И калькулятор покажет 67 792. Если вы хотите проверить, действительно ли работает этот метод, можете поменять множители местами и всё пересчитать, но, забегая вперед, мы вам скажем, что от перестановки мест множителей произведение не меняется даже в этом случае.

Первым дело запишем наши числа одно над другим и подведем под ними черту. И умножим каждую цифру верхнего числа на каждую цифру нижнего. Если будут получаться двузначные числа, пишем их как есть, а вот однозначные пишем в виде «ноль и цифра» — например, 08 вместо просто 8.

Поделиться

Получив эту хитрую комбинацию, умножаем соседние цифры (2 на 0, 2 на 4) и в обратную стороны (2 на 3 и 3 на 0). Идем еще дальше и стараемся не запутаться — перемножаем первую верхнюю цифру на третью нижнюю, а третью верхнюю — на первую нижнюю. Умножение закончилось.

Поделиться

Давайте складывать то, что у нас получилось. А получилось у нас 67 792.

Выписываем наших героев и подводим под ними черту, как делали это в методе треугольника. Затем перемножим крайние цифры — 2 и 4. Результат (его мы записываем как 08) будет первой строкой нашего решения. Следом за ними умножаем вторую цифру левого множителя на первую и третью — правого. Запишем их во вторую строку. Начало ромбу положено.

Поделиться

Ну а дальше умножаем друг на друга цифры из разряда сотен, десятков и единиц и так же записываем их в одну строку. Результат заносим в третью строчку.

Теперь берем вторую цифру во втором множителе и умножаем на первую и третью из первого. Четвертая строка решения готова. Последней, пятой строкой записываем произведение последней цифры первого множителя и первой цифры второго. Наш ромб готов. Осталось только суммировать цифры, расположенные друг над другом. Метод, конечно, красивый, но совсем не простой в применении.

Поделиться

Вот мы и добрались до того момента, где объясним, зачем нам понадобились трехзначные числа, да еще и с нулем. В китайском методе нам придется считать, чертить и рисовать. Так что для начала разберем принцип его работы на простом примере и умножим 34 на 62. Для этого нарисуем черты. Сперва три горизонтальные, потом, через промежуток, еще четыре. Это три десятка и четыре единицы нашего первого числа. А число 62 по такому же принципу превращается в шесть и две вертикальные черты. Теперь нам нужно разграничить зоны единиц, десятков и сотен.

Поделиться

После этого считаем точки пересечения всех черточек. В зоне единиц их восемь, в зоне десятков — 30, в зоне сотен — 18. Теперь нужно это сложить: 1800+300+8 = 2 108. На калькуляторе, умножая 34 на 62, получится тот же результат.

Переходим к нашему изначальному примеру и умножим 223 на 304. Рисуем две, две и три горизонтальные линии, три вертикальные слева и четыре справа. Место посередине оказывается пустым, поэтому здесь у нас будет воображаемая линия. (Цифры у нас стали крупнее, поэтому и зон будет больше.) И считаем точки пересечения.

Поделиться

Складываем, начиная с единиц. Там, где получились двузначные числа, оставляем единицы, а десятки перекидываем в соседнюю область. То есть там, где стояли рядом 8 и 12, оказались 9 и 2, а соседство 6 и 17 превратилось в 7 и 7. Считаем, что у нас получилось, справа налево: 67 792.

Чтобы решить наш пример методом решетки (его еще называют древнеиндийским методом), первым делом надо нарисовать таблицу, у которой будет три столбца и три строки — по количеству цифр в умножаемых числах. Потом делим каждую ячейку по диагонали на две части. Решетка готова.

Теперь по горизонтали выписываем цифры числа 223, а по вертикали — числа 304. И перемножаем каждое число сверху на каждое число справа. Результат вписываем в наши ячейки таким образом: сверху — десятки, снизу — единицы (если десятков нет, пишем ноль).

Поделиться

Теперь складываем цифры, которые получились в наших диагоналях. По периметру, начиная с правого нижнего угла и поднимаясь до левого верхнего. Если число вышло двузначным, оставляем только единицу, а десятки плюсуются к единицам числа предыдущего — совсем как в сложении, к которому мы привыкли.

Поделиться

Выписываем ответ, начиная с левой стороны: 67 792. Что и требовалось доказать.

Этот метод похож на метод решетки, но есть отличия. Здесь мы снова рисуем таблицу на три столбца и три строки, но ни на какие ячейки не делим. А наши числа записываем не в виде отдельных цифр, а сотнями, десятками и единицами.

Поделиться

Дальше начинаем умножать те цифры, что сверху, на те, что справа.

Поделиться

Умножили? Осталось только всё сложить: 60 000 + 6000 + 900 + 800 + 80 + 12 = 67 792. Тот результат, который и получится, если умножить 223 на 304.

Разные способы решить один и тот же пример, к слову, далеко не единственная математическая причуда. На днях одна несложная на первый взгляд задачка рассорила весь интернет — скандал разгорелся из-за простого примера для 6-классников. И мы попробовали решить его с математиком.

Умственные математические трюки для детей

Амина Решма

2 мин чтения

Многих пугают математические задачи, особенно когда они содержат большие числа и сложные вычисления. Многим детям трудно понять основные принципы математики, что делает тему слишком монотонной для них, и многие просто отказываются прилагать усилия.

Хотя не все умеют жонглировать числами, этот предмет не так сложен, как кажется, когда вы применяете простые математические стратегии, которые позволяют с легкостью решить любую математическую задачу! Математические трюки для детей могут помочь им понять эти процедуры, улучшить свои вычислительные навыки и даже удивить некоторых других своими якобы магическими способностями.

Вот несколько простых математических трюков, которые могут помочь детям быстрее и легче выполнять вычисления. Эти математические стратегии могут помочь детям изучить методы быстрого решения задач и развить уверенность в математике.

Начнем!

  1. Умножить любое заданное число на 5

Просто разделите число на два и умножьте его на десять, чтобы умножить его на пять.

     2.  Умножить любое заданное число на 6

Решение закончится той же цифрой, если умножить 6 на четное число. Число в разряде десятков будет половиной числа в разряде единиц. Эту уловку легко выполнить, и дети могут добавить ее в свой репертуар математических трюков!

   3. Быстрое умножение любого числа на 9

Умножение любого числа на 9 может быть намного быстрее с помощью этого трюка с умножением. Чтобы быстро получить первую цифру ответа при умножении любого числа на 9, от полученного значения отнимите 1. Вычтите это число из десяти, чтобы получить вторую цифру ответа.

4. Правило умножения 11

Это трюк, используемый для мысленного умножения двузначных чисел на 11 за короткий промежуток времени. Просто сложите два числа вместе и установите сумму посередине.

5. Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5

Возведение в квадрат — сложная операция. Это может быть намного проще для набора чисел, оканчивающихся на 5. Числа с двумя цифрами можно вычислить быстро, но номера с более чем двумя цифрами могут потребовать использования дополнительных таблиц. Все, что вам нужно сделать, это просто добавить 1 к первой цифре числа в квадрате и умножить результат на первую цифру исходного числа. Теперь поставьте 25 рядом с полученным числом, чтобы получить ответ.

То, что вы узнали об умножении, можно применить и к делению, а также к множителям и множителям, которые помогут вам понять дроби. Математические приемы помогают обнаружить такие связи между понятиями, а также ускорить расчеты. Умственные математические приемы могут сделать предмет более увлекательным, а основные правила — более легкими для понимания. Математическую задачу можно решить разными способами, и знание этих приемов поможет вам решить ее за несколько шагов. Математика логична, даже если ее трудно освоить. В результате математические трюки могут помочь ребенку быстрее учиться.

Выученные в раннем возрасте математические трюки работают как по волшебству, позволяя детям преуспеть в учебе, а также в продвинутых курсах, открывая мир возможностей для будущего.

Ссылки:

  1. https://www.hopscotch.in/blog/here-are-5-mental-math-tricks-i-taught-my-kids/

Учись с математикой, математика

Вам также может понравиться

Наука и математика: идеальное сочетание

Естествознание и математика — очень взаимосвязанные темы. Импликация одного автоматически подразумевает подразумеваемые части другого. Другими словами, если наука Подробнее…

Как исчисление используется в реальном мире?

Исчисление – это математическая отрасль, которая занимается изучением изменений. Он играет важную роль в выводе последствий в системах количественного моделирования, связанных с изменениями. Подробнее…

Как компьютеры повлияли на математику?

Более широкое применение компьютеров в математике повлияло на математическое мышление и рассуждения. В 1960-х люди начали осознавать потенциал интеграции компьютеров в Подробнее…

Математические фокусы, Счет в уме

Умножьте в уме до 19×19.

Это полезная часть арифметики в уме, которую стоит запомнить, она позволяет умножать до 19 x 19 без использования калькулятора, бумаги и карандаша.

Например, рассмотрим 19 x 17. Представьте большее число в верхней строке и возьмите последнюю цифру нижнего числа, т.е. 7 и прибавьте к 19. 19 + 7 = 26.

Умножьте 26 x 10 = 260.

Возьмите единицы измерения (9 x 7) = 63 и добавьте их к 260

260 + 63 = 323.

Умножение больших чисел

Этот трюк позволяет вам умножать большие числа вместе с помощью простого умножения и сложения. Возьмем простой пример, если мы хотим умножить 26 на 72. Мы записываем числа обычным способом.

26
72

Можно представить, что каждое из чисел находится в одной из четырех ячеек, расположенных в виде квадрата.

Первый шаг — умножить цифры в первом столбце. (6 x 2 = 12)

Если там больше 9, запомните значение десятков цифр. В этом случае запишите 2 и запомните 1.

Умножьте две диагонали и сложите их вместе. Итак, слева вверху, справа внизу, слева внизу и справа вверху. (2 х 2) + (6 х 7) = 4 + 42 = 46. Прибавляем с последней ступени = 47. Итак, пишем 7 и запоминаем 4.

Наконец, мы умножаем правый столбец. (2 x 7) = 14 и добавьте 4 из последнего шага. = 18.

Наш ответ затем 1872.

Три цифры номера

4 6 8
5 2 6

1111101201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201201206 2

6. x 8 = 48. Запишите, 8 и запомните, 4.

(6 x 6) + (2 x 8) = 36 + 16 = 52. Не забудьте добавить 4 = 56. Запишите 6 и запомните 5.

Теперь для третьей цифры у нас есть три маленьких числа, которые нужно умножить и сложить. Начиная с (4 x 6) + (2 x 6) + (5 x 8) = 24 + 12 + 40 = 76. И 5 из предыдущего шага, 81. Запишите 1 и запомните 8.

Идем вернуться к использованию ячеек 2 x 2, но на этот раз слева. Итак, (4 x 2) + (5 x 6) = 8 + 30 = 38 и 8 из предыдущего шага = 46. Итак, напишите 5 и запомните 4.

Наконец, крайний левый столбец, (4 x 5) = 20 , Плюс 4 = 24.

Тогда ответ: 246168.

Аналогичным образом можно продолжить и умножить четыре числа.

Четырехзначные числа

Теперь вы должны уловить идею, мы используем этот довольно надуманный пример для четырехзначных чисел, чтобы было ясно, какие числа перемножаются, и просто покажем вычисление. Мы также вводим обозначение w для обозначения номера, который вы записываете, и c для обозначения номера, который вы носите с собой.

1 2 3 4
5 6 7 8

(4 x 8) = 32 = W 2, C 3.

(3) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8) (3 x 8).

Оставить комментарий