Как умножить число на определитель: Линейная алгебра

Курс высшей математике, Т.3. Ч.1

Курс высшей математике, Т.3. Ч.1

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.3. Ч.1: Изд-во “Наука”. 1974. Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей. Для студентов университетов и технических вузов. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 1. Понятие об определителе. 2. Перестановки. 3. Основные свойства определителя. 4. Вычисление определителя. 5. Примеры. 6. Теорема об умножении определителей. 7. Прямоугольные таблицы. § 2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 8. Теорема Крамера. 9. Общий случай систем уравнений. 10. Однородные системы. 11. Линейные формы. 12. n-мерное векторное пространство. 13. Скалярное произведение. 14. Геометрическая интерпретация однородных систем. 15. Случай неоднородной системы. 16. Определитель Грамма. Неравенство Адамара. 17. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18. Функциональные определители. 19. Неявные функции. ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 20. Преобразование координат в трехмерном пространстве. 21. Общие линейные преобразования вещественного трехмерного пространства. 22. Ковариантные и контравариантные афинные векторы. 23. Понятие тензора. 24. Примеры афинных ортогональных тензоров. 25. Случай n-мерного комплексного пространства. 26. Основы матричного исчисления. 27. Характеристические числа матриц и приведение матриц к каноническому виду. 28. Унитарные и ортогональные преобразования. 29. Неравенство Коши — Буняковского. 30. Свойства скалярного произведения и нормы. 31. Процесс ортогонализации векторов. § 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 32. Преобразование квадратичной формы к сумме квадратов. 33. Случай кратных корней характеристического уравнения. 35. Классификация квадратичных форм. 36. Формула Якоби. 37. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов. 38. Малые колебания. 39. Экстремальные свойства собственных значений квадратичной формы. 40. Эрмитовские матрицы и формы Эрмита. 41. Коммутирующие эрмитовские матрицы. 42. Приведение унитарных матриц к диагональной форме. 43. Матрицы проектирования. 44. Функции от матриц. 45. Пространство с бесчисленным множеством измерений. 46. Сходимость векторов. 47. Ортонормированные системы. 48. Линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных. 49. Функциональное пространство L2. 50. Связь между пространствами l2 и L2. 51. Линейные операторы в L2. ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 52. Группы линейных преобразований. 53. Группы правильных многогранников. 54. Преобразования Лоренца. 55. Перестановки. 56. Абстрактные группы. 57. Подгруппа. 58. Классы и нормальный делитель. 59. Примеры. 60. Изоморфные и гомоморфные группы. 61. Примеры. 62. Стереографическая проекция. 63. Унитарная группа и группа движения. 64. Общая линейная группа и группа Лоренца. § 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 65. Представление группы линейными преобразованиями. 66. Основные теоремы. 67. Абелевы группы и представления первого порядка. 68. Линейные представления унитарной группы с двумя переменными. 69. Линейные представления группы вращения. 70. Теорема о простоте группы вращения. 71. Уравнение Лапласа и линейные представления группы вращения. 72. Прямое произведение матриц. 73. Композиция двух линейных представлений группы. 74. Прямое произведение групп и его линейные представления. 75. Разбиение композиции линейных представлений группы вращения. 76. Свойство ортогональности. 77. Характеры. 78. Регулярное представление группы. 79. Примеры представления конечных групп. 80. Представления линейной группы с двумя переменными. 81. Теорема о простоте группы Лоренца. § 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 82. Непрерывные группы. Структурные постоянные. 83. Бесконечно малые преобразования. 84. Группа вращения. 85. Бесконечно малые преобразования и представления группы вращения. 86. Представления группы Лоренца. 87. Вспомогательные формулы. 88. Построение группы по структурным постоянным. 89. Интегрирование на группе. 90. Свойство ортогональности. Примеры.

Вычисление определителей

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n.
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов a_ij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная. Здесь [i ₁, i₂, …, i_n ] – число инверсий в перестановке индексов i₁, i₂, …, i_n.

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель матрицы методом треугольников
3. Определитель матрицы методом понижения порядка
4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
5. Определитель матрицы методом декомпозиции

Свойство определителей

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.
9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

• транспонировать матрицу;
• прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение в MS Word. Решение в MS Excel.
Пример 2 в MS Word. Решение в xls.

Перейти к онлайн решению

Задание 2. Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение.
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2•0•0 – 2•4•2 – (-1)•2•0 + (-1)•1•2 + (-2)•2•4 – (-2)•1•0 = -34
б) Запишем матрицу в виде:

A =

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

Главный определитель:
∆ = 2 • (0 • 0-2 • 4)-(-1 • (2 • 0-2 • 1))+(-2 • (2 • 4-0 • 1)) = -34

Задание 3. Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

Умножение двух определителей

Детерминанты также могут быть определены как масштабные коэффициенты для матриц. Матрица может быть определена как массив/расположение чисел в строках и столбцах. Однако существуют определенные правила умножения определителей. Многие математические операции выполняются над матрицами. Определитель — это скалярное число, связанное с каждой матрицей. Многие важные свойства определителей будут обсуждаться впоследствии в следующих темах. Детерминанты используются и в других целях, поскольку они помогают вычислять обратную и сопряженную матрицы, что имеет первостепенное значение в сложных физических расчетах. Поэтому жизненно важно понять смысл умножения на определитель.

Определить определители

Определитель можно определить как скалярное значение, связанное с квадратной матрицей. Это всего лишь цифра. Это помогает найти решения линейных уравнений. Определитель может быть действительным или комплексным числом для каждой матрицы N x N. Символ для определителей – это где A – любая квадратная матрица. Таким образом, для каждой матрицы A с элементами [aij] можно найти определитель матрицы. Детерминанты полезны как в математических, так и в физических расчетах, поскольку они облегчают нашу работу. Вопросы на умножение определителя имеют решающее значение с точки зрения экзамена, поэтому крайне важно понять правила его умножения.

Умножение определителей

1. В этом разделе мы узнаем, как определить определитель для квадратной матрицы 2 x 2 и 3 x 3. После этого мы увидим, как выбрать умножение двух определителей с вопросами умножения определителей. Порядок двух определителей должен быть одинаковым.

2. Чтобы найти определитель матрицы, рассмотрим матрицу A порядка 2 x 2, записанную как

3. Определитель A можно записать как det A= ad – bc. Решение ad-bc дает скалярную величину, известную как определитель матрицы.

4. Возьмем пример, рассмотрим матрицу A1=

Определитель матрицы A1 будет, (2)(3)- (1)(-9) = (6) – (-9) = 6 + 9 = 15, что является скалярным числом.

5. Давайте теперь научимся определять определители для матрицы 3 x 3.

Рассмотрим матрицу A2 =

Определитель этой матрицы 3 x 3 будет,

Det (A2) = ((2) х (10 х 1 – 6 х 1)) – ((5) х (-1 х 1 – 3 х 1)) + ((8) х (-1 х 6 – 3 x 10))

Отсюда следует, ((2) x (10-6)) – ((5) x (-1-3)) + ((8)) x (-6-30)

Итак , (2 x 4) – (5 x -4) + (8 x -36)

Следовательно, (8 + 20 – 288) = -260

6. Теперь, если мы имеем два определителя второго порядка, выраженные как

D1=

и D2 =

Умножение определителей D1 и D2 будет выполняться как

Правила работы

При расчете умножения определителя следует помнить об определенных правилах. Они следующие:

1. Порядок двух определителей должен быть одинаковым.

2. Если задаться вопросом, что произойдет со значением определителя, если мы поменяем местами строки и столбцы, то ответ таков: окончательный ответ не изменится при условии, что вычисления выполнены правильно.

3. Основная концепция заключается в том, что мы следуем правилу умножения определителей по столбцам. Каждый элемент каждой строки определителя умножается на каждый элемент каждого столбца другого определителя. Это правило такое же, как и при перемножении двух матриц.

4. Поскольку мы уже установили, что окончательный ответ не меняется при перестановке, таким образом, можно также следовать правилу столбца за строкой, правилу строки за строкой или правилу столбца за столбцом для умножения.

5. Смысл умножения определителей состоит в том, что для двух определителей матриц A и B мы можем сказать, что AB = AB.

Заключение

Здесь, в этой статье, читатель теперь вооружен знаниями о матрицах их определителей. Они могут вычислить определитель матрицы, и если даны два определителя, читатель может их перемножить. Правила работы также описаны в тексте. Приведенные в статье вопросы об умножении определителя помогают более точно понять это понятие. Тем не менее, эта тема важна с точки зрения экзамена, поэтому необходима отработка большого количества вопросов, поскольку небольшая ошибка в расчетах может сделать окончательный результат неверным.

3.2: Свойства определителей – Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

14511

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx

Свойства определителей I: Примеры

Есть много важных свойств определителей. Поскольку многие из этих свойств связаны с операциями со строками, которые обсуждались в главе 1, мы сейчас вспомним это определение.

Определение \(\PageIndex{1}\): Операции со строками

Операции со строками состоят из следующих

1. Переключение двух строк.
2. Умножить строку на ненулевое число.
3. Заменить строку числом, кратным другой строке, добавленной к самой себе.

Теперь рассмотрим влияние операций над строками на определитель матрицы. В следующих разделах мы увидим, что использование следующих свойств может сильно помочь в поиске определителей. В этом разделе теоремы будут использоваться в качестве мотивации для предоставления различных примеров полезности свойств.

Первая теорема объясняет влияние на определитель матрицы перестановки двух строк.

Теорема \(\PageIndex{1}\): переключение строк

Пусть \(A\) — матрица \(n\times n\), а \(B\) — матрица, полученная в результате перестановки двух строк \(A. \). Тогда \(\det \left( B \right) = – \det \left( A\right).\)

Когда мы переставляем две строки матрицы, определитель умножается на \(-1\). Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): переключение двух строк

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \) и пусть \(B=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right]\). Зная, что \(\det \left( A \right) = -2\), найдите \(\det \left( B \right)\).

Решение

По определению 3.1.1, \(\det \left(A\right) = 1 \times 4 – 3 \times 2 = -2\). Обратите внимание, что строки \(B\) являются строками \(A\), но перепутаны. По теореме \(\PageIndex{1}\), так как две строки \(A\) были переставлены местами, \(\det \left(B\right) = – \det \left(A\right) = – \left (-2\справа) = 2\). Вы можете убедиться в этом, используя Определение 3.1.1.

Следующая теорема демонстрирует влияние на определитель матрицы, когда мы умножаем строку на скаляр.

Теорема \(\PageIndex{2}\): умножение строки на скаляр 9п \дет(А)\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{2}\): умножение строки на 5

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \ right] ,\ B=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 3 & 4 \end{array} \right].\) Зная, что \(\det \left( A \right) = -2\), найти \(\det \left( B \right)\).

Решение

По определению 3.1.1, \(\det \left( A\right) = -2.\) Мы также можем вычислить \(\det \left(B\right)\), используя определение 3.1.1 , и мы видим, что \(\det \left(B\right) = -10\).

Теперь давайте вычислим \(\det \left(B\right)\), используя теорему \(\PageIndex{2}\), и посмотрим, получим ли мы тот же ответ. Обратите внимание, что первая строка \(B\) в \(5\) раз больше первой строки \(A\), а вторая строка \(B\) равна второй строке \(A\) . По теореме \(\PageIndex{2}\), \(\det \left( B \right) = 5 \times \det \left( A \right) = 5 \times -2 = -10.\)

Вы можете видеть, что это соответствует нашему ответу выше.

Наконец, рассмотрим следующую теорему для последней операции со строками — прибавления числа, кратного одной строке, к другой строке.

Теорема \(\PageIndex{4}\): добавление кратного строки к другой строке

Пусть \(A\) – матрица \(n\x n\), матрица, которая получается в результате прибавления числа, кратного одной строке, к другой строке. Тогда \(\det \left( A\right) =\det \left( B \right)\).

Следовательно, когда мы прибавляем кратное одной строки к другой строке, определитель матрицы не меняется. Обратите внимание, что если матрица \(A\) содержит строку, кратную другой строке, \(\det \left(A\right)\) будет равно \(0\). Чтобы убедиться в этом, предположим, что первая строка \(A\) равна \(-1\), умноженной на вторую строку. По теореме \(\PageIndex{4}\) мы можем добавить первую строку ко второй строке, и определитель не изменится. Однако эта операция строки приведет к строке нулей. Используя разложение Лапласа по ряду нулей, мы находим, что определитель равен \(0\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{3}\): добавление строки к другой строке

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\) и пусть \(B=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} \right] . \) Найти \(\det \left(B \верно)\).

Решение

По определению 3.1.1, \(\det \left(A\right) = -2\). Обратите внимание, что вторая строка \(B\) в два раза больше первой строки \(A\), добавленной ко второй строке. По теореме \(\PageIndex{1}\), \(\det \left( B\right) = \det \left( A \right) = -2\). Как обычно, вы можете проверить этот ответ, используя Определение 3.1.1.

Пример \(\PageIndex{4}\): Несколько строк

Пусть \(A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right ]\). Покажите, что \(\det \left( A \right) = 0\).

Решение

Используя определение 3.1.1, определитель задается как \[\det \left( A \right) = 1 \times 4 – 2 \times 2 = 0\nonumber \]

Однако обратите внимание, что второй строка равна \(2\), умноженной на первую строку. Тогда по приведенному выше обсуждению в соответствии с теоремой \(\PageIndex{4}\) определитель будет равен \(0\).

До сих пор основное внимание уделялось операциям со строками. Однако мы можем выполнять те же операции со столбцами, а не со строками. Три операции, описанные в определении \(\PageIndex{1}\), можно выполнять со столбцами, а не со строками. В этом случае в теоремах \(\PageIndex{1}\), \(\PageIndex{2}\) и \(\PageIndex{4}\) слово “строка” можно заменить словом “столбец”. “.

Есть несколько других важных свойств определителей, которые не включают операции со строками (или столбцами). Первым является определитель произведения матриц.

Теорема \(\PageIndex{5}\): определитель произведения

Пусть \(A\) и \(B\) – две матрицы \(n\times n\). Тогда \[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Чтобы найти определитель произведения матриц, мы можно просто взять произведение определителей.

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{5}\): определитель произведения

Сравните \(\det \left( AB\right)\) и \(\det \left( A\right) \det \left ( B\right)\) для \[A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right], B=\left[ \begin{array }{rr} 3 и 2 \\ 4 и 1 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

Первое вычисление \(AB\), которое задается как \[AB=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] \ left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end {array} \right]\nonumber \] и, следовательно, по определению 3. 1.1 \[\det \left( AB\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end{массив} \right] = -40\nonumber \]

Теперь \[\det \left( A\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{массив} \right] = 8\nonumber \] и \[\det \left( B\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{массив} \right] = -5\nonumber \] 9{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\nonumber \]

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{7}\): Определитель обратимой матрицы

Пусть \(A = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} \ справа], B = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} \right]\). Для каждой матрицы определите, является ли она обратимой. Если да, то найти определитель обратного.

Решение

Сначала рассмотрим матрицу \(A\). Используя определение 3.1.1, мы можем найти определитель следующим образом: \[\det \left( A \right) = 3 \times 4 – 2 \times 6 = 12 – 12 = 0\nonnumber \] {7}\) \(А\) необратима. 9n a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,i}. \] Если \(n=1\), то \(\det A=a_{1,1}\).

Следующий пример является простым и настоятельно рекомендуется в качестве средства для привыкания к определениям.

Пример \(\PageIndex{8}\):

(1) Пусть \(E_{ij}\) — элементарная матрица, полученная перестановкой \(i\)-й и \(j\)-й строк матрицы \ (Я\). Тогда \(\det E_{ij}=-1\).

(2) Пусть \(E_{ik}\) — элементарная матрица, полученная умножением \(i\)-й строки \(I\) на \(k\). Тогда \(\det E_{ik}=k\). 9Т\).

Многие доказательства в этом разделе используют принцип математической индукции. Эта концепция обсуждается в Приложении A.2 и для удобства рассмотрена здесь. Сначала проверим, что утверждение верно для \(n=2\) (случай \(n=1\) либо совсем тривиален, либо бессмыслен).

Далее предположим, что утверждение верно для \(n-1\) (где \(n\geq 3\)) и докажем его для \(n\). Как только это будет выполнено, по принципу математической индукции мы можем заключить, что утверждение верно для всех матриц \(n\times n\) для каждого \(n\geq 2\).

Если \(A\) является \(n\times n\) матрицей и \(1\leq j \leq n\), то матрица, полученная удалением \(1\)st столбца и \(j\ )-я строка из \(A\) является матрицей \(n-1\times n-1\) (ниже мы будем обозначать эту матрицу через \(A(j)\)). Поскольку эти матрицы используются при вычислении кофакторов \(\mathrm{cof}(A)_{1,i}\), для \(1\leq i\neq n\), к этим матрицам применимо предположение индукции.

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма \(\PageIndex{1}\):

Если \(A\) – матрица \(n\times n\) такая, что одна из ее строк состоит из нулей, то \(\det A=0 \).

Доказательство

Мы докажем эту лемму с помощью математической индукции.

Если \(n=2\) это просто (проверьте!).

Пусть \(n\geq 3\) таково, что каждая матрица размера \(n-1\times n-1\) со строкой, состоящей из нулей, имеет определитель, равный нулю. Пусть \(i\) таково, что \(i\)-я строка \(A\) состоит из нулей. Тогда мы имеем \(a_{ij}=0\) для \(1\leq j\leq n\).

Исправьте \(j\in \{1,2, \dots ,n\}\) так, чтобы \(j\neq i\). Тогда матрица \(A(j)\), используемая при вычислении \(\mathrm{cof}(A)_{1,j}\), имеет строку, состоящую из нулей, и по нашему индуктивному предположению \(\mathrm{cof }(A)_{1,j}=0\). 9n a_{1,j} \mathrm{cof}(A)_{1,j}=0\nonumber \], так как каждое из слагаемых равно 0,

Лемма \(\PageIndex{2}\):

Предположим, что \(A\), \(B\) и \(C\) являются \(n\×n\) матрицами, которые для некоторого \(1\ leq i\leq n\) удовлетворяют следующему.

1. \(j\)-е строки всех трех матриц одинаковы, для \(j\neq i\).
2. Каждая запись в \(j\)-й строке \(A\) является суммой соответствующих записей в \(j\)-х строках \(B\) и \(C\).

Затем \(\det A=\det B+\det C\).

Доказательство

Это несложно проверить на \(n=2\) (проверьте!).

Теперь предположим, что утверждение леммы верно для \(n-1\x n-1\) матриц, и зафиксируем \(A,B\) и \(C\), как в утверждении. Предположения утверждают, что мы имеем \(a_{l,j}=b_{l,j}=c_{l,j}\) для \(j\neq i\) и для \(1\leq l\leq n \) и \(a_{l,i}=b_{l,i}+c_{l,i}\) для всех \(1\leq l\leq n\). Поэтому \(A(i)=B(i)=C(i)\), а \(A(j)\) обладает тем свойством, что его \(i\)-я строка является суммой \(i\) строки \(B(j)\) и \(C(j)\) для \(j\neq i\), а остальные строки всех трех матриц идентичны. Следовательно, согласно нашему индуктивному предположению, мы имеем \(\mathrm{cof}(A)_{1j}=\mathrm{cof}(B)_{1j}+\mathrm{cof}(C)_{1j}\) для \(j\neq i\). 9n a_{1,l} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\\ &=\sum_{l\neq i} a_{1,l}(\mathrm{cof}(B)_{ 1,l}+\mathrm{cof}(C)_{1,l})+ (b_{1,i}+c_{1,i})\mathrm{cof}(A)_{1,i} \\ &= \det B+\det C\end{aligned}\] Это доказывает, что утверждение верно для всех \(n\), и завершает доказательство.

Теорема \(\PageIndex{8}\):

Пусть \(A\) и \(B\) – матрицы \(n\times n\).

1. Если \(A\) получается перестановкой \(i\)-й и \(j\)-й строк \(B\) (с \(i\neq j\)), то \(\det А=-\det В\).
2. Если \(A\) получается умножением \(i\)-й строки \(B\) на \(k\), то \(\det A=k\det B\).
3. Если две строки \(A\) идентичны, то \(\det A=0\).
4. Если \(A\) получается умножением \(i\)-й строки \(B\) на \(k\) и прибавлением его к \(j\)-й строке \(B\) (\( i\neq j\)) затем \(\det A=\det B\).

Доказательство

Все утверждения докажем по индукции. Случай \(n=2\) легко проверить напрямую (и настоятельно рекомендуется проверить его).

Мы предполагаем, что \(n\geq 3\) и (1)–(4) верны для всех матриц размера \(n-1\times n-1\).

(1) Докажем случай, когда \(j=i+1\), т. е. мы меняем местами две последовательные строки.

Пусть \(l\in \{1, \dots, n\}\setminus \{i,j\}\). Тогда \(A(l)\) получается из \(B(l)\) перестановкой двух его строк (рисунок) и по нашему предположению \[\label{E2} \mathrm{cof}(A) _{1,l}=-\mathrm{cof}(B)_{1,l}.\]

Теперь рассмотрим \(a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\). n b_{1l} B_{1l} =\det B.\nonumber \]

Таким образом, мы доказали случай (1), когда \(j=i+1\). Для доказательства общего случая понадобится следующий факт. Если \(i

(2) Это как (1)… но гораздо проще. Предположим, что (2) верно для всех \(n-1\times n-1\) матриц. У нас есть это \(a_{ji}=k b_{ji}\) для \(1\leq j\leq n\). В частности \(a_{1i}=kb_{1i}\), а при \(l\neq i\) матрица \(A(l)\) получается из \(B(l)\) умножением одного из его строки на \(k\). Поэтому \(\mathrm{cof}(A)_{1l}=k\mathrm{cof}(B)_{1l}\) для \(l\neq i\), и для всех \(l\) мы имеют \(a_{1l} \mathrm{cof}(A)_{1l}=k b_{1l}\mathrm{cof}(B)_{1l}\). По \(\eqref{E1}\) имеем \(\det A=k\det B\).

(3) Это следствие (1). Если две строки \(A\) идентичны, то \(A\) равна матрице, полученной путем перестановки этих двух строк и, следовательно, согласно (1) \(\det A=-\det A\). Отсюда следует \(\det A=0\).

(4) Предположим, что (4) верно для всех \(n-1\times n-1\) матриц, и зафиксируем \(A\) и \(B\) так, что \(A\) получается умножением \ (i\)-я строка \(B\) на \(k\) и добавление ее к \(j\)-й строке \(B\) (\(i\neq j\)) затем \(\det А=\дет Б\). Если \(k=0\), то \(A=B\) и доказывать нечего, поэтому можно считать \(k\neq 0\).

Пусть \(C\) — матрица, полученная заменой \(j\)-й строки \(B\) на \(i\)-ю строку \(B\), умноженной на \(k\). По лемме \(\PageIndex{2}\) мы имеем, что \[\det A=\det B+\det C\nonumber \], и нам «всего лишь» нужно показать, что \(\det C=0\). Но \(i\)-я и \(j\)-я строки \(C\) пропорциональны. Если \(D\) получается умножением \(j\)-й строки \(C\) на \(\frac 1k\), то по (2) имеем \(\det C=\frac 1k\det D\) (напомним, что \(k\neq 0\)!). Но \(i\)-я и \(j\)-я строки \(D\) идентичны, поэтому по (3) мы имеем \(\det D=0\) и, следовательно, \(\det C=0\ ).

Теорема \(\PageIndex{9}\):

Пусть \(A\) и \(B\) две матрицы \(n\times n\). Тогда \[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Proof

Если \(A\) является элементарной матрицей любого типа, то умножение на \(A\) слева имеет тот же эффект, что и выполнение соответствующей операции с элементарной строкой. Поэтому равенство \(\det (AB) =\det A\det B\) в этом случае следует из примера \(\PageIndex{8}\) и теоремы \(\PageIndex{8}\).

Если \(C\) является редуцированной ступенчатой ​​формой \(A\), то мы можем написать \(A=E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m\cdot C\) для некоторых элементарных матриц \( E_1,\точки, E_m\).

Теперь рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что \(C=I\). Затем \(A=E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m\) и \(AB= E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m B\). Применяя приведенное выше равенство \(m\) раз, а затем \(m-1\) раз, мы получаем, что \[\begin{aligned} \det AB&=\det E_1\det E_2\cdot \det E_m\cdot \det B\\ &=\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) \det B\\ &=\det A\det B. \end{aligned}\]

Теперь предположим \(C\neq I\). Поскольку он находится в редуцированной строчно-эшелонной форме, его последняя строка состоит из нулей, а по (4) примера \(\PageIndex{8}\) последняя строка \(CB\) состоит из нулей. По лемме \(\PageIndex{1}\) имеем \(\det C=\det (CB)=0\) и, следовательно, \[\det A=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \ det (C) = \det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot 0=0\nonumber \], а также \[\det AB=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \det (C B ) =\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) 0 =0\nonnumber \] следовательно \(\det AB=0=\det A \det B\). 9Т\).

Приведенные выше рассуждения позволяют нам теперь доказать теорему 3.