Как умножить матрицу на единичную матрицу: IIS 7.0 Detailed Error – 404.11

Умножение на единичную матрицу

На основании правила умножения матриц получаем:

т.е. АЕ = ЕА = А (11)

Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.

Понятие обратной матрицы

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем

А^-1А = АА^-1 = Е (12)

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется

Нахождение матрицы, обратной данной

Пусть дана невырожденная матрица

Обратной матрицей А^-1 будет матрица

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij определителя D_A

Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А^-1. Например, элементы с₁₁ и с₂₃ определяются так:

···

c₂₃=a₂₁···=

== 0

В итоге

Матрица

называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение ). Обратная матрица А^-1 через присоединённую выражается так:

Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:

1. Находим определитель матрицы А.

2. Находим алгебраическое дополнение всех элементов а_ij матрицы и записываем новую матрицу.

3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).

4. Умножаем полученную матрицу на 1/D_A.

Пример 6. (Лена Иванова, КШ-061).

Дана матрица

Найти обратную матрицу.

1. Вычисляем определитель матрицы А:

Так как D_A ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А^-1.

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Следовательно,

Лекция 4.

определение, свойства и примеры решения задач

Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right) $

Решение. Так как $ A=A_{3 \times 2} $ , а $ B=B_{2 \times 2} $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_{3 \times 2} $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin{array}{ll}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right) $ .

Вычислим элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{32}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right)_{3 \times 2} \cdot \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{ccc}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $

Найдем теперь произведение $ D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2} $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

как найти произведение двух или трех разных размеров, условия и формулы

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.

Индексы показывают координаты равных элементов.

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю.  Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

1. Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2. Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
3. Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
4. Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

1. Найти АВ и умножить на С
2. Найти ВС и умножить на А

(АВ) С = А (ВС)

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

Решение: 

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 – 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ответ: 

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

Решение: 

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3

c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8

c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0

Ответ:

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.

двух матриц умножение

Вы искали двух матриц умножение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и двух умножение матриц, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «двух матриц умножение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как двух матриц умножение,двух умножение матриц,единичную матрицу умножить на матрицу,как матрицу умножить на дробь,как матрицу умножить на матрицу,как матрицу умножить на столбец,как найти произведение матриц,как перемножать матрицы,как перемножать матрицы 3х3,как перемножаются матрицы,как перемножить две матрицы,как перемножить матрицы разных размеров,как перемножить три матрицы,как умножать матрицы 2 на 2,как умножать матрицы друг на друга,как умножать матрицы разных размеров,как умножить две матрицы,как умножить единичную матрицу на матрицу,как умножить матрицу,как умножить матрицу 2х3 на 2х3,как умножить матрицу на единичную матрицу,как умножить матрицу на матрицу,как умножить матрицу на матрицу 3 на 3,как умножить матрицу на обратную матрицу,как умножить матрицы,как умножить на матрицу столбец,как умножить столбец на матрицу,как умножить три матрицы,какие можно матрицы складывать,матриц двух умножение,матриц умножение двух,матрица примеры умножение,матрица умножение,матрица умножение на матрицу,матрицу умножить на единичную матрицу,матрицы примеры умножение,матрицы произведение,матрицы умножение,матрицы умножение примеры,матричное умножение,перемножение двух матриц,перемножение матриц примеры,правила перемножения матриц,правила умножения матриц,правила умножения матрицы на матрицу,правило перемножения матриц,правило умножение матриц,правило умножения матриц,правило умножения матрицы на матрицу,примеры матриц умножения,примеры матрицы умножение,примеры произведение матриц,примеры умножение матрицы,примеры умножение матрицы на матрицу,примеры умножения матриц,произведение матриц примеры,произведение матриц примеры и решения,произведение матриц формула,произведение матрицу на матрицу,произведение матрицы,произведения матриц,свойства матриц умножение,свойства умножение матриц,свойства умножения матриц,сложение и умножение матриц,умножение 2х2 матриц,умножение двух матриц,умножение и сложение матриц,умножение квадратных матриц,умножение матриц 2х2,умножение матриц 2х2 на 2х2,умножение матриц 3 на 3,умножение матриц 3х3,умножение матриц двух,умножение матриц друг на друга,умножение матриц квадратных,умножение матриц на матрицу,умножение матриц правила,умножение матриц правило,умножение матриц пример,умножение матриц примеры,умножение матриц примеры с решением,умножение матриц разных размеров,умножение матриц свойства,умножение матриц третьего порядка,умножение матриц формула,умножение матрица на матрицу,умножение матрицы,умножение матрицы 2х2 на 2х2,умножение матрицы на матрицу,умножение матрицы на матрицу примеры,умножение матрицы на столбец,умножение матрицы примеры,умножение на единичную матрицу,умножения матриц,умножения матриц правила,умножения матриц примеры,умножения матриц свойства,умножения матриц формула,умножить матрицу на единичную матрицу,умножить матрицу на матрицу столбец,формула произведение матриц,формула умножение матриц,формула умножения матриц,формула умножения матрицы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и двух матриц умножение. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, единичную матрицу умножить на матрицу).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же двух матриц умножение Онлайн?

Решить задачу двух матриц умножение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

5

5. Умножение матриц.

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С= А В, элементы которой составляются следующим образом:

Как видим, элемент матрицы-произведения, находящийся на пересечении i-й строки и k-го столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы k-го столбца второй матрицы.

Например, элемент, стоящий во второй строке и первом столбце матрицы произведения АВ, равен сумме парных произведений элементов второй строки матрицы А на элементы первого столбца матрицы В.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Пример1

Пример2

Пример3.

С другой стороны, как установлено выше,

Следовательно, произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону:

АВ ВА.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону:

А(ВС) = (АВ)С.

Отметим любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример 4. Если

то

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

При умножении любой квадратной матрицы

второго порядка на матрицу Е снова получается матрица А.

Действительно,

Аналогично EA =A.

Матрица Е называется единичной матрицей. Единичная матрица n-го порядка имеет вид

Если в матрице (1), обозначаемой буквой А, сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу

называемую транспонированной к матрице А.

Понятие о матрице | Сложение матриц | Вычитание матриц и умножение матриц на число |

Умножение матриц |   Контакты первого и второго порядков в эпидемиологии | Матрицы и сети |

Главная

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A – 2, число столбцов в матрице B – 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB – 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A – 2, число столбцов в матрице B – 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB – 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A – 3, число столбцов в матрице B – 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB – 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A – 1, число столбцов в матрице B – 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB – 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке “Компьютеры и программирование”.

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

–
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :

Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Поделиться с друзьями

Начало темы “Матрицы”

Продолжение темы “Матрицы”

Другие темы линейной алгебры

Умножение матриц » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

Пример.

Определение. Произведением матрицы  размера  на матрицу  размера  называют матрицу  размера , где элемент  является результатом произведения – й строки матрицы А на – й столбец матрицы В для всех значений индексов , , т.е.

или

.

Обозначение: .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и т.д.

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк)

Пример.

.

Определение. Квадратную матрицу – го порядка называют единичной матрицей n-го порядка и обозначают буквой Е, если для любой квадратной матрицы А – го порядка справедливо равенство: .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через .

Теорема. Множество  содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица

.

Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.

Теорема. Единичная матрица Е является единственной в множестве .

Доказательство. Пусть  еще одна единичная матрица. Тогда, по определению, . Положим , тогда . Далее, по определению,  . Положим здесь . Получаем равенство, отсюда имеем , ч.т.д.

Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что никакая другая матрица, кроме матрицы  не является единичной.

Теорема. (Свойства умножения матриц.)

Умножение матриц подчиняется следующим законам:

9) ассоциативность:

;

10) существование единичной матрицы:

:  ;

дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

11)  дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:

 и

12)  умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом:  и  верно равенство:

.

Замечание. Для квадратных матриц одного порядка выполняются все 12 свойств. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебру матриц над полем К.

Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.

Пусть , . Тогда , .

Аналогичный пример можно привести для квадратных матриц любого порядка.

Последнее равенство говорит о том, что квадратные матрицы имеют делители нуля.

Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.

Доказательство. На множестве  всех квадратных матриц n-го порядка над полем K определены две операции: сложение матриц и их умножение, которые подчиняются законам 1) – 4) и 9) – 11), откуда и следует, по определению, что  является кольцом с единицей (см. лекцию 1, п.14 и п.15). Пример, приведенный перед формулировкой данного следствия, показывает, что кольцо  имеет делители нуля.

Следствие доказано.

Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица  .

Нулевую степень квадратной матрицы А – го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка: .

Еще записи по теме

Умножение матриц

Вы можете умножить только два матрицы если их Габаритные размеры являются совместимый , что означает, что количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Если А знак равно [ а я j ] является м × п матрица и B знак равно [ б я j ] является п × п матрица, продукт А B является м × п матрица.

А B знак равно [ c я j ] , куда c я j знак равно а я 1 б 1 j + а я 2 б 2 j + . .. + а я п б п j .

(Запись в я th ряд и j th столбец обозначается двойным индексом а я j , б я j , и c я j .Например, запись а 23 – запись во второй строке и третьем столбце.)

Определение матричного умножения указывает на построчное умножение, где записи в я th ряд А умножаются на соответствующие записи в j th столбец из B а затем добавляем результаты.

Умножение матриц НЕ коммутативно. Если ни то, ни другое А ни B – единичная матрица, А B ≠ B А .

Умножение строки на столбец

Мы начнем с того, что покажем вам, как умножить 1 × п матрица п × 1 матрица. Первый – это всего лишь одна строка, а второй – один столбец. По приведенному выше правилу товар является 1 × 1 матрица; другими словами, одно число.

Сначала назовем записи в строке р 1 , р 2 , … , р п , а записи в столбце c 1 , c 2 , … , c п . Тогда произведение строки и столбца – это 1 × 1 матрица

[ р 1 c 1 + р 2 c 2 + … + р п c п ] .

Пример:

Найдите товар.

[ 1 4 0 ] ⋅ [ 2 – 1 5 ]

Мы должны умножить 1 × 3 матрица 1 × 3 матрица. Количество столбцов в первом равно количеству строк во втором, поэтому они совместимы.

Товар есть:

[ ( 1 ) ( 2 ) + ( 4 ) ( – 1 ) + ( 0 ) ( 5 ) ] знак равно [ 2 + ( – 4 ) + 0 ] знак равно [ – 2 ]

Умножение больших матриц

Теперь, когда вы знаете, как умножать строку на столбец, умножать матрицы большего размера очень просто. Для входа в я th ряд и j th столбец матрицы продукта, умножьте каждую запись в я th строку первой матрицы на соответствующую запись в j th столбец второй матрицы и складываем результаты.

Возьмем следующую задачу, умножая 2 × 3 матрица с 3 × 2 матрица, чтобы получить 2 × 2 матрица как продукт.Элементы матрицы продукта называются е я j когда они в я th ряд и j th столбец.

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 – 1 0 2 – 1 ] знак равно [ е 11 е 12 е 21 год е 22 ]

Получить е 11 , умножить строку 1 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 11 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 3 – 1 2 ] знак равно 1 ( 3 ) + 0 ( – 1 ) + 1 ( 2 ) знак равно 5

Получить е 12 , умножить строку 1 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 12 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 5 0 – 1 ] знак равно 1 ( 5 ) + 0 ( 0 ) + 1 ( – 1 ) знак равно 4

Получить е 21 год , умножить строку 2 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 21 год знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 3 – 1 2 ] знак равно 0 ( 3 ) + 1 ( – 1 ) + 2 ( 2 ) знак равно 3

Получить е 22 , умножить строку 2 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 22 знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 5 0 1 ] знак равно 0 ( 5 ) + 1 ( 0 ) + 2 ( – 1 ) знак равно – 2

Записывая матрицу продуктов, получаем:

[ е 11 е 12 е 21 год е 22 ] знак равно [ 5 4 3 – 2 ]

Таким образом, мы показали:

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 – 1 0 2 – 1 ] знак равно [ 5 4 3 – 2 ]

4.Умножение матриц

Важно: Мы можем перемножать матрицы, только если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Пример 1

a) Умножение матрицы 2 × 3 на матрицу 3 × 4 возможно, и это дает матрицу 2 × 4 в качестве ответа.

b) Допускается умножение матрицы 7 × 1 на матрицу 1 × 2; это дает матрицу 7 × 2

c) НЕЛЬЗЯ умножить матрицу 4 × 3 на матрицу 2 × 3.

Как умножить 2 матрицы

Сначала мы используем буквы, чтобы увидеть, что происходит. Позже мы увидим пример чисел.

В качестве примера возьмем обычную матрицу 2 × 3, умноженную на матрицу 3 × 2.

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]`

Ответом будет матрица 2 × 2.

Умножаем и складываем элементы следующим образом. Мы обрабатываем по 1-й строке первой матрицы, поэлементно умножая на 1-го столбца второй матрицы.Складываем к полученным продуктам . Наш ответ находится в позиции a ₁₁ (вверху слева) матрицы ответов.

Мы делаем аналогичный процесс для 1-й строки первой матрицы и 2-го столбца второй матрицы. Результат помещается в позицию a ₁₂ .

Теперь перейдем к 2-й строке первой матрицы и 1-му столбцу второй матрицы. Результат помещается в позицию a ₂₁ .

Наконец, мы делаем вторую строку первой матрицы и второй столбец второй матрицы. Результат помещается в позицию a ₂₂ .

Итак, результат умножения наших двух матриц будет следующим:

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]` `= [(au + bw + cy, av + bx + cz), (du + ew + fy, dv + ex + fz)] `

Теперь давайте посмотрим на числовой пример.

Телефонные пользователи

ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любую матрицу шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример 2

Умножить:

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

Ответ

Это 2 × 3 умножить на 3 × 2, что даст нам 2 × 2 отвечать.

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((0xx3 + -1xx1 + 2xx6,0xx-1 + -1xx2 + 2xx1), (4xx3 + 11xx1 + 2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`

`= ((0-1 + 12,0-2 + ​​2), (12 + 11 + 12, -4 + 22 + 2))`

`= ((11,0), (35,20))`

Наш ответ – матрица 2 × 2.

Умножение матриц 2 × 2

Процесс одинаков для матрицы любого размера. Мы умножаем на строки первой матрицы и на столбца второй матрицы поэлементно. Затем мы добавляем продукты:

`((a, b), (c, d)) ((e, f), (g, h))` `= ((ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh )) `

В этом случае мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 2 и в результате получаем матрицу 2 × 2.

Пример 3

Умножить:

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

Ответ

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

`= ((8 xx -2 + 9xx4,8xx3 + 9xx0), (5xx-2 + -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

`= ((-16 + 36,24 + 0), (- 10+ -4,15 + 0))`

`= ((20,24), (- 14,15))`

Матрицы и системы одновременных линейных уравнений

Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя умножение матриц.

Пример 4

Система уравнений

−3 x + y = 1

6 x -3 y = −4

можно записать как:

`((-3,1), (6, -3)) ((x), (y)) = ((1), (- 4))`

идеальны для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко формируют массивы . Мы можем опустить алгебраические символы. Компьютеру требуются только первая и последняя матрицы для решения системы, как мы увидим в разделе «Матрицы и линейные уравнения».

Примечание 1 – Обозначение

Care с записью и умножением матриц .

Следующие выражения имеют различное значение:

AB – это матричное умножение

A × B – это перекрестное произведение , которое возвращает вектор

A * B используется в компьютерной нотации, но не на бумаге

A • B точечное произведение , которое возвращает скаляр .

[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. В главе «Вектор».]

Примечание 2 – Коммутативность умножения матриц

Есть ли `AB = BA`?

Посмотрим, правда ли это на примере.

Пример 5

Если

`A = ((0, -1,2), (4,11,2))`

и

`B = ((3, -1), (1,2), (6,1))`

найдите AB, и BA.

Ответ

Мы выполнили AB выше, и ответ был:

`AB = ((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((11,0), (35,20))`

Теперь BA – это (3 × 2) (2 × 3), что даст 3 × 3:

`BA = ((3, -1), (1,2), (6,1)) ((0, -1,2), (4,11,2))`

`= ((0-4, -3-11,6-2), (0 + 8, -1 + 22,2 + 4), (0 + 4, -6 + 11,12 + 2))`

`= ((-4, -14,4), (8,21,6), (4,5,14))`

Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.

Фактически, для большинства матриц нельзя изменить порядок умножения и получить тот же результат.

В общем случае при умножении матриц закон коммутативности не выполняется, т.е. AB ≠ BA . Есть два распространенных исключения:

• Идентификационная матрица: IA = AI = A .?
• инверсия матрицы: A ^-1 A = AA ^-1 = I.

В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.

Пример 6 – Умножение на идентификационную матрицу

Учитывая, что

`A = ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

найдите AI .

Ответ

`AI = ((-3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5)) ((1,0,0), (0,1,0), (0 , 0,1)) `

`= ((- 3 + 0 + 0,0 + 1 + 0,0 + 0 + 6), (3 + 0 + 0,0 + -1 + 0,0 + 0 + 0), (4 + 0 + 0,0 + 2 + 0,0 + 0 + 5)) `

`= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

`= A`

Мы видим, что умножение на единичную матрицу не меняет значения исходной матрицы.

То есть

AI = A

Упражнения

1. Если возможно, найдите BA и AB .

`A = ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`B = (4 \ \ -1 \ \ \ 5)`

Ответ

`BA = (4 \ \ -1 \ \ \ 5) ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`= (-8 + (- 3) +0 \ \ \ 4 + 1 + 10 \ \ \ 28 + 0 + (- 5))`

`= (- 11 \ \ 15 \ \ 23)`

AB невозможно.(3 × 3) × (1 × 3).

2. Определите, если B = A ^-1 , учитывая:

`A = ((3, -4), (5, -7))`

`B = ((7,4), (5,3))`

Ответ

Если B = A ^-1 , то AB = I.

`AB = ((3, -4), (5, -7)) ((7,4), (5,3))`

`= ((21-20,12-12), (35-35,20-21))`

`= ((1,0), (0, -1))`

`! = I`

Таким образом, B НЕ является инверсией A.2 + 0)) `

`= ((1,0), (0,1))`

`= I`

4. Оцените следующее умножение матриц, которое используется для управления движением роботизированного механизма.

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

Ответ

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

`= ((2 (0,5) -4 (0,866) +0), (2 (0,866) +4 (0,5) +0), (0 + 0 + 0))`

`= ((- 2,464), (3,732), (0))`

Интерпретация этого заключается в том, что рука робота движется из позиция (2, 4, 0) в позицию (-2.46, 3.73, 0). То есть это перемещается в плоскости x-y , но его высота остается на уровне z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят, на сколько градусов нужно переместиться.

Интерактивные элементы умножения матриц

6.2 – Операции с матрицами

  n <- 5 л
диаг (п)
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1
  

  x <- матрица (rnorm (n * n), n, n)
x% *% решить (x)
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] 1.000000e + 00 -1.387779e-16 -1.196959e-16 -2.498002e-16 -3.330669e-16
[2,] 0.000000e + 00 1.000000e + 00 2.775558e-17 0.000000e + 00 2.220446e-16
[3,] 0.000000e + 00 0.000000e + 00 1.000000e + 00 0.000000e + 00 0.000000e + 00
[4,] -2.220446e-16 5.551115e-17 -6.938894e-18 1.000000e + 00 0,000000e + 00
[5,] -5.551115e-16 1.387779e-16 -3.816392e-17 0.000000e + 00 1.000000e + 00
  

  раунд (x% *% решить (x))
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1
  

  .col (c (n, n)) == .row (c (n, n))
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ
[2,] FALSE TRUE FALSE FALSE
[3,] FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE
[4,] FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE
[5,] FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE
  

  x <- матрица (nrow = n, ncol = n)
1 * (столбец (x) == строка (x))
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1
  

  Ошибка в .col (c (5, 5)):
  объект, подобный матрице, требуется в качестве аргумента для 'col'
  

  внешний (1: n, 1: n, '==') + 0
  

  внешний (БУКВЫ [1: 5], 1: 5, paste0)
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] «A1» «A2» «A3» «A4» «A5»
[2,] «B1» «B2» «B3» «B4» «B5»
[3,] «C1» «C2» «C3» «C4» «C5»
[4,] «D1» «D2» «D3» «D4» «D5»
[5,] «E1» «E2» «E3» «E4» «E5»
  

  x <- матрица (nrow = n, ncol = n)
для (я в 1: п)
  для (j в 1: n)
    если (я == j)
      x [i, j] <- 1
  

  sapply (1: n, функция (i) as.integer (1: n == i))
  

  data.frame (значение = 1, row_index = 1: n, column_index = 1: n)
  

  row_index column_index значение
1 1 1 1
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
5 5 5 1
  

  unname (xtabs (data.frame (1, 1: n, 1: n)))
  

  таблица (data.frame (1: n, 1: n))
  

  библиотека (матрица)
как (1: n, 'pMatrix')
  

  5 x 5 разреженная матрица класса "pMatrix"
              
[1,] | . . . .
[2,]. | . . .
[3,]. . | . .
[4,]. . . | .
[5,]. . . . |
  

  матрица (c (rep (c (1, rep (0, n)), n - 1), 1), n)
  

  x <- rep (0, n * n)
x [seq (1, n * n, n + 1)] <- 1
dim (х) <- с (п, п)
  

  [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1
Предупреждение:
В матрице (c (1, rep (0, n)), nrow = n, ncol = n):
  длина данных [6] не является кратной или кратной количеству строк [5]