Главная
Как в матрице получить нули: Найти определитель матрицы | Онлайн калькулятор

Как в матрице получить нули: Найти определитель матрицы | Онлайн калькулятор

Содержание

03. Пример решения Заданий из раздела №1

Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.

I = 1, J = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам :

Алгебраические дополнения элементов соответственно равны:

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

В) Вычисли определитель , Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число.

Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом опредЕЛитель по элемЕНтам первой строки и вычислим его:

В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по свойству тому же свойству определителей.

Задание 2.

Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле . ИмеЕМ:

Б) Вычислим

ОчЕВидНО, что ;

В) Обратная матрица матрицы А имеет виД

,

Где – алгебраическое дополнение, -минор, т. е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.

,

Т. е. матрица A – Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица . Находим:

Тогда

;

Г) Проверка

;

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

Данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

.

Следовательно, (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

А) По формулам Крамера

,

Где -главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника

,

Аналогично найдем

,

,

,

Находим: .

Б) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим .

Задание 4

Решить матричное уравнение

Пусть ,

решение матричного уравнения находим по формуле

Х=А -1В, где А -1 обратная матрица

– алгебраическое дополнение, где

– определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца, – определитель матрицы.

Найдем обратную матрицу.

(-1)1+14=4

А12=(-1)1+23=-3

А21= (-1)2+12=-2

А22=(-1)2+21=1

DetA==1*4-2*3=4-6=-2

Итак,

Задание 5

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице .

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл.

ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

Сапог

Кроссовок

Ботинок

S1

S2

S3

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 – единиц продукции первого вида, x2 – единиц продукции второго вида, x3 – единиц продукции третьего вида. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

˜˜

Вернемся к системе

Т. е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических

Уравнений.

Решение: Так как определитель системы

,

То система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку , , возьмем любые два уравнения системы (наПРИМЕР, ПЕрвое И второе) и найдем ее рЕШение. ИмЕеМ:

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:

РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :

Где

,

,

.

Отсюда находим, что Полагая , где K—Произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: .

< Предыдущая   Следующая >

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.


Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Слишком сложно?

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. {1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.


Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй – пять третьих и от четвертой – три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. {2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$

$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$

Ответ. $\Delta=-80$


Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $\Delta$ – определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки – вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$

$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Вычисляем определитель матрицы на Хаскелле / Хабр

Решил выложить код вычисления определителей. Код рабочий, хотя и не претендует на виртуозность. Просто было интересно решить эту задачу именно на Хаскелле. Рассмотрены два подхода к решению задачи: простая рекурсия и метод Гаусса.
Немного теории

Как известно, определитель квадратной матрицы n*n — это сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение, содержащее ровно по одному элементу матрицы из каждого столбца и ровно по одному из каждой строки. Знак очередного произведения:


определяется чётностью подстановки:
\begin{pmatrix}1 & 2 &… & n \\ {i}_{1} & {i}_{2} &… & {i}_{n} \end{pmatrix}

Прямой метод вычисления определителя состоит в разложении его по элементам строки или столбца в сумму произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. В свою очередь, алгебраическое дополнение элемента матрицы

есть

при этом

— есть минор элемента (i,j), т.е. определитель, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Такой метод порождает рекурсивный процесс, позволяющий вычислить любой определитель. Но производительность этого алгоритма оставляет желать лучшего — O(n!). Поэтому применяется такое прямое вычисление разве что при символьных выкладках (и с определителями не слишком высокого порядка).

Гораздо производительнее оказывается метод Гаусса. Его суть основывается на следующих положениях:

1. Определитель верхней треугольной матрицы \begin{pmatrix}{a}_{1,1} & {a}_{1,2} &… & {a}_{1,n} \\ 0 & {a}_{2,2} &… & {a}_{2,n} \\ 0 & 0 &… & …\\ 0 & 0 &… & {a}_{n,n} \\\end{pmatrix} равен произведению ее диагональных элементов. Этот факт сразу же следует из разложения определителя по элементам первой строки или первого столбца.

2. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

3. Если в матрице поменять местами две строки (или два столбца), то значение определителя изменит знак на противоположный.

Мы можем, подбирая коэффициенты, складывать первую строку матрицы со всеми остальными и получать в первом столбце нули во всех позициях, кроме первой. Для получения нуля во второй строке, нужно прибавить ко второй строке первую, умноженную на

Для получения нуля в третьей строке, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на

и т.д. В конечном итоге, матрица приведется к виду, в котором все элементы

при n>1 будут равны нулю.

Если же в матрице элемент

оказался равным нулю, то можно найти в первом столбце ненулевой элемент (предположим, он оказался на k-м месте) и обменять местами первую и k-ю строки. При этом преобразовании определитель просто поменяет знак, что можно учесть. Если же в первом столбце нет ненулевых элементов, то определитель равен нулю.

Далее, действуя аналогично, можно получить нули во втором столбце, затем в третьем и т.п. Важно, что при сложении строк полученные ранее нули не изменятся. Если для какой-либо строки не удастся найти ненулевой элемент для знаменателя, то определитель равен нулю и процесс можно остановить. Нормальное завершение процесса Гаусса порождает матрицу, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Как говорилось выше, определитель такой матрицы равен произведению диагональных элементов.

Перейдем к программированию.

Мы работаем с данными с плавающей точкой. Матрицы представляем списками строк. Для начала определим два типа:
type Row    = [Double]
type Matrix = [Row]

Простая рекурсия

Ничтоже сумняшеся, мы будем раскладывать определитель по элементам первой (т.е. нулевой) строки. Нам понадобится программа построения минора, получающегося вычеркиванием первой строки и k-го столбца.
-- Удаление k-го элемента изо всех строк матрицы
deln :: Matrix -> Int -> Matrix
deln matrix k = map (\ r -> (take (k) r)++(drop (k+1) r)) matrix

А вот и минор:
-- Минор k-го элемента нулевой строки
minor :: Matrix -> Int -> Double
minor matrix k = det $ deln (drop 1 matrix) k

Обратите внимание: минор — это определитель. Мы вызываем функцию det, которую еще не реализовали. Для реализации det, нам придется сформировать знакочередующуюся сумму произведений очередного элемента первой строки на определитель очередного минора. Чтобы избежать громоздких выражений, создадим для формирования знака суммы отдельную функцию:
sgn :: Int -> Double
sgn n = if n `rem` 2 == 0 then 1.0 else (-1.0)

Теперь можно вычислить определитель:
-- Определитель квадратной матрицы
det :: Matrix -> Double
det [[a,b],[c,d]] = a*d-b*c
det matrix = sum $ map (\c -> ((matrix !! 0)!!c)*(sgn c)*(minor matrix c))  [0. .n]
             where n = length matrix - 1

Код очень прост и не требует особых комментариев. Чтобы проверить работоспособность наших функций, напишем функцию main:
main = print $ det [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,(-9)]]

Значение этого определителя равно 54, в чем можно убедиться.
Метод Гаусса

Нам понадобится несколько служебных функций (которые можно будет использовать и в других местах). Первая из них — взаимный обмен двух строк в матрице:
-- Обмен двух строк матрицы
swap :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
swap matrix n1 n2 = map row [0..n]
                    where n=length matrix - 1
                          row k | k==n1 = matrix !! n2
                                | k==n2 = matrix !! n1
                                | otherwise = matrix !! k

Как можно понять по приведенному выше коду, функция проходит строку за строкой. При этом, если встретилась строка с номером n1, принудительно подставляется строка n2 (и наоборот). Остальные строки остаются на месте.

Следующая функция вычисляет строку r1 сложенную со строкой r2, умноженной поэлементно на число f:

-- Вычислить строку r1+f*r2
comb :: Row -> Row -> Double -> Row
comb r1 r2 f = zipWith (\ x y -> x+f*y) r1 r2

Здесь все предельно прозрачно: действия выполняются над строками матрицы (т.е. над списками [Double]). А вот следующая функция выполняет это преобразование над матрицей (и, естественно, получает новую матрицу):
-- прибавить к строке r1 строку r2, умноженную на f
trans :: Matrix -> Int -> Int -> Double -> Matrix
trans matrix n1 n2 f = map row [0..n]
                       where n=length matrix - 1
                             row k | k==n1 = comb (matrix !! n1) (matrix !! n2) f
                                   | otherwise = matrix !! k

Функция getNz ищет номер первого ненулевого элемента в списке. Она нужна в случае, когда очередной диагональный элемент оказался равным нулю.
-- Номер первого ненулевого в списке
getNz :: Row -> Int
getNz xs = if length tmp == 0 then (-1) else snd $ head tmp
           where tmp=dropWhile (\ (x,k) -> (abs x) <= 1.0e-10) $ zip xs [0..]

Если все элементы списка равны нулю, функция вернет -1.

Функция search проверяет, подходит ли матрица для очередного преобразования (у нее должен быть ненулевым очередной диагональный элемент). Если это не так, матрица преобразовывается перестановкой строк.

-- Поиск ведущего элемента и перестановка строк при необходимости
search :: Matrix -> Int -> Matrix
search matrix k | (abs ((matrix !! k) !! k)) > 1.0e-10 = matrix
                | nz < 0 = matrix  -- матрица вырождена    
                | otherwise = swap matrix k p 
                           where n   = length matrix
                                 lst = map (\ r -> r !! k) $ drop k matrix
                                 nz  = getNz lst
                                 p   = k + nz

Если ведущий (ненулевой) элемент найти невозможно (матрица вырождена), то функция вернет ее без изменений. Функция mkzero формирует нули в очередном столбце матрицы:
-- получение нулей в нужном столбце
mkzero :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
mkzero matrix k p | p>n-1 = matrix
                  | otherwise = mkzero (trans matrix p k (-f)) k (p+1)
                    where n = length matrix
                          f = ((matrix !! p) !! k)/((matrix !! k) !! k)

Функция triangle формирует верхнюю треугольную форму матрицы:
-- Получение верхней треугольной формы матрицы
triangle :: Matrix -> Int -> Matrix
triangle matrix k | k>=n = matrix
                  | (abs v) <= 1.0e-10 = [[0.0]] -- матрица вырождена
                  | otherwise = triangle (mkzero tmp k k1) k1 
                    where n   = length matrix
                          tmp = search matrix k
                          v   = (tmp !! k) !! k -- диагональный элемент
                          k1  = k+1

Если на очередном этапе не удалось найти ведущий элемент, функция возвращает нулевую матрицу 1-го порядка. Теперь можно составить парадную функцию приведения матрицы к верхней треугольной форме:
-- Парадная функция
gauss :: Matrix -> Matrix
gauss matrix = triangle matrix 0

Для вычисления определителя нам нужно перемножить диагональные элементы. Для этого составим отдельную функцию:
-- Произведение диагональных элементов
proddiag :: Matrix -> Double
proddiag matrix = product $ map (\ (r,k) -> r !!k) $ zip matrix [0,1..]

Ну, и «бантик» — собственно вычисление определителя:
-- Вычисление определителя
det :: Matrix -> Double
det matrix = proddiag $ triangle matrix 0

Проверим, как работает эта функция:
main = print $ det  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,-9]]

[1 of 1] Compiling Main             ( main.hs, main.o ) 
Linking a.out ...                                                                                 
54.0

Спасибо тем, кто дочитал до конца!

Код можно скачать здесь

Вычисление определителей 2 – 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т. д. – одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ – математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. “Высшая математика”. Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

——————————————–

Примеры.

1) (1.4)

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

2) (1.6)

Выполним вычисления согласно правилу

3) (1.8)

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

4) (1.14)

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

6) (1.19)

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

7) (1.21)

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

8) (1.58)

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого – третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

9) (1.72)

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

———————————————-

Как найти дискриминант матрицы

Страницы работы

Содержание работы

Методические указания для выполнения лабораторных работ по дисциплине

ст. преп. каф. Информатика

Лабораторная работа №5

Обработка матриц. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Цель работы: Получить практические навыки по возможностям обработки матриц в MCAD и решению систем уравнений с использованием матриц.

Задание к лабораторной работе.

1. Загрузить среду MCAD и набрать там пояснения

а) Включить русский шрифт. б) Установить тип шрифта Courier New Cyr. в) В появившемся окне набрать рекомендуемый текст.

a. Лабораторная работа №5 в среде MathCAD

b. Выполнил студент(ка) ФИО, группа, шифр

2. Скопировать задание из таблицы 6 и вставить в среду MathCAD

а) Нажать левую кнопку мыши и выделить вариант задания из таблицы 1. б) Скопировать задание в буфер обмена (Правка->копировать).в) Установить курсор( красный крестик) в нужное место и вставить из буфера (Правка->вставить).

3. Задать данную матрицу.

a) Набрать имя матрицы и установить с панели инструментов знак присваивания :=

b) Открыть панель векторов и матриц (значок есть на панели Математика)

c) Выбрать там шаблон матрицы

d) Указать нужное количество строк и столбцов

e) Заполнить шаблон значениями из своего варианта

4. Для получения матрицы B, умножим матрицу A на число, равное номеру вашего варианта + 1, так для 14 варианта матрицу A надо умножить на 15.

5. Для получения D умножим имеющиеся матрицы между собой.

6. Для нахождения дискриминантов матриц выбираем значок модуля на панели матриц, указываем имя и ставим знак равенства.

7. Для решения системы линейных уравнений необходимо задать матрицу коэффициентов (коэффициенты брать со знаком, если переменной нет в уравнении, значит коэффициент равен 0), вектор-столбец свободных членов

8. Решение будет найдено по формуле:

Таблица 6

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т. е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т. е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

1. Решить с применением операций над матрицами.

Задача. Дана матрица А:

Получите матрицу В, умножив матрицу А на число, равное вашему варианту (т.е. № варианта) плюс 1.

Получите матрицу D, умножив матрицы А и В друг на друга.

Найти дискриминант матриц A, B, D.

2. Решить систему уравнений матричным способом. Провести проверку правильности решения.

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Определение

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A – это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

$det(A) = left|A
ight| = egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

Свойства определителя

  1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

Пример 12
$egin 1 & 4 & 2\ 0 & 0 & 0\ 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin1 & 4 & 0\ 4 & 2 & 0\ 3 & 9 & 0 end=0$
Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.

Пример 13
$egin 1 & 4 & 2\ 1 & 4 & 2\ 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin1 & 4 & 1\ 4 & 2 & 4\ 3 & 9 & 3 end=0$
Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.

Пример 14
$egin 1 & 4 & 2\ 2 & 8 & 4\ 3 & 9 & 5 end= 0$ (две первые строки пропорциональны)
или
$egin8 & 4 & 7\ 4 & 2 & 3\ 18 & 9 & 8 end=0$ (два первых столбца пропорциональны)
Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.

Пример 15
$egin 1 & 4 & 2\ 7 & 2 & 3\ 8 & 6 & 5 end= 0$ $R_ <1>+R_ <2>=R_<3>$ или

$ egin 9 & 12 & 3\ 1 & 8 & 7\ 5 & 7 & 2 end=0$ $C_<1>+C_<3>=C_<2>$
При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.

Пример 17
$egin 1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal+R_<2>> egin1>4 & 13\ 3 & 8 end$
Пример 18
$egin1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal+C_<2>> egin1>6 & 5\ 11 & 8 end$
При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент .

Пример 20
$egin 1 & 5\ 3 & 8 end$ $xlongequal<5C_<1>-C_<2>> egin0 & 5\ 7 & 8 end$

  • Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
  • Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

    • Минор матрицы

    Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

    Пример 21
    $A=egin 1 & 4 & 2 \ 5 & 3 & 7 \ 6 & 2 & 1 end$

    Один из миноров матрицы A есть $egin 1 & 2\ 5 & 3 end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

    Другим минором является $egin 1 & 2 \ 6 & 1 end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

    Пример 22
    $B=egin 2 & 5 & 1 & 3\ 4 & 1 & 7 & 9\ 6 & 8 & 3 & 2\ 7 & 8 & 1 & 4 end$

    Один из миноров матрицы B есть $ egin 1 & 7 & 9\ 8 & 3 & 2\ 8 & 1 & 4 end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

    Другим минором является $egin 1 & 7 \ 8 & 3 end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

    Пусть $A= egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n>\ a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n>\ a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n>\ . & . & . & . & .& .\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$

    Можно определить минор $Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

    Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_<2,1>$.

    Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

    Минор, дополнительный к элементу 2, есть $Delta_ <2,1>= 7$.

    Пример 24
    $B=egin 1 & 4 & 2\ 5 & 3 & 7\ 6 & 2 & 1\ end$

    Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_<2,3>$. <7>cdotDelta_<2,5>= -Delta_ <2,5>$ соответствует элементу $a_<2,5>$.

    Порядок определителя

    Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

    Пример 26
    $egin 1 & 4\ 6 & 2\ end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

    Пример 27
    $egin 4 & 7 & 9\ 6 & 3 & 2\ 7 & 1 & 4\ end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

    Вычисление определителя матрицы

    Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

    $left| A
    ight| = egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n>\ a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n>\ a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n>\ . & . & . & . & .& .\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_\ end$

    Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

    Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

    Вычисление определителя матрицы 2×2

    Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

    Заметим, что $ Delta_<1,1>= a_ <2,2>$ и $ Delta_<1,2>=a_<2,1>$

    $ left| A
    ight| =a_ <1.1>cdot a_<2,2>- a_ <1.2>cdot a_<2,1>$

    $color < egina & b\ c & d end=a cdot d – b cdot c>$

    Пример 28
    $egin 2 & 5\ 3 & 8 end=2 cdot 8 – 3 cdot 5 = 16 -15 =1$

    Пример 29
    $egin -4 & 7\ -2 & 9 end=-4 cdot 9 – 7 cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = – 22$

    Вычисление определителя матрицы 3×3

    Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

    Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

    Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

    Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
    $colorcdot a_<2,2>cdot a_<3,3>+ a_<2,1>cdot a_<3,2>cdot a_<1,3>+a_<3,1>cdot a_<1,2>cdot a_<2,3>>$

    Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

    Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

    Пример 30
    $A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1\ end$

    Пример 31
    $A=egin 3 & 5 & 1 \ 1 & 4 & 2\ 7 & 1 & 9\ end$

    $= 3cdot4cdot9 + 1cdot1cdot1 + 7cdot5cdot2 -(1cdot4cdot7 + 2cdot1cdot3 + 9cdot5cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

    Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов). <2>end$

    Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.

    Вычисление определителя матрицы 4×4

    Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

    Но сначала надо использовать свойства определителей:

    1. Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
    2. Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
    3. Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

    В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение – это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

    Пример 33
    $egin 1 & 3 & 9 & 2\ 5 & 8 & 4 & 3\ 0 & 0 & 0 & 0\ 2 & 3 & 1 & 8 end$

    Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

    Пример 34
    $egin 1 & 3 & 1 & 2\ 5 & 8 & 5 & 3\ 0 & 4 & 0 & 0\ 2 & 3 & 2 & 8 end$
    Замечаем, что $C_<1>$ равно $C_<3>$, следовательно, определитель равен 0.

    Пример 35
    $egin 1 & 3 & 9 & 2\ 5 & 8 & 4 & 3\ 10 & 16 & 18 & 4\ 2 & 3 & 1 & 8 end$
    Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

    Пример 36
    $egin color <4>& 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & -3 & 3\ 0 & -1 & 3 & 3\ 0 & 3 & 1 & 1 end$

    Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

    =
    $=4(1cdot3cdot1 +(-1)cdot1cdot3+3cdot(-3)cdot3$ $-(3cdot3cdot3+3cdot1cdot1 +1cdot(-3)cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4cdot(-60)=-240$

    Пример 37
    $egin 4 & 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & 0 & -2\ 1 & -1 & 3 & 3\ 2 & 3 & 1 & 1 end$

    Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.

    Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.

    $egin 4 & 3 & 2 & 2\ 0 & 1 & 0 & -2\ 1 & -1 & 3 & 3\ 2 & 3 & 1 & 1 endxlongequal+2C_<2>>$ $egin4>4 & 3 & 2 & 8\ 0 & color <1>& 0 & 0\ 1 & -1 & 3 & 1\ 2 & 3 & 1 & 7 end=$ $=$br />

    $= 1cdot(-1)^<2+2>cdot egin 4 & 2 & 8\ 1 & 3 & 1\ 2 & 1 & 7 end=$
    $=4cdot3cdot7 + 1cdot1cdot8 + 2cdot2cdot1$ $-(8cdot3cdot2 + 1cdot1cdot4 + 7cdot2cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

    Пример 38
    $egin 1 & -2 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & -1\ 3 & 3 & 3 & 3\ -1 & 4 & 2 & 1\ end$

    Можно вынести множитель 3 из строки 3:
    $3cdot egin 1 & -2 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & -1\ 1 & 1 & 1 & 1\ -1 & 4 & 2 & 1\ end$

    Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули. <4+1>cdot egin5 & -3 & -4\ 1 & -2 & -13\ 3 & -3 & -18 end=$ $(-1)cdot egin5 & -3 & -4\ 1 & -2 & -13\ 3 & -3 & -18 end$

    Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
    $ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 5 & 3 & 4\ 1 & 2 & 13\ 3 & 3 & 18 end=$ $(-1)cdot egin5 & 3 & 4\ 1 & 2 & 13\ 3 & 3 & 18 end=$ $-[5cdot 2cdot 18 + 1cdot 3cdot 4+ 3cdot 3cdot 13 – (4cdot 2cdot 3cdot + 13cdot 3cdot 5 + 18cdot 3cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

    Пример 40
    $egin 4 & 7 & 2 & 3\ 1 & 3 & 1 & 2\ 2 & 5 & 3 & 4\ 1 & 4 & 2 & 3 end$

    Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

    $egin 4 & 7 & 2 & 3\ 1 & 3 & 1 & 2\ 2 & 5 & 3 & 4\ 1 & 4 & 2 & 3 end$ $xlongequal-C_<3>, C_<2>-3C_<3>,C_<4>-2C_<3>> egin1>2 & 1 & 2 & -1\ 0 & 0 & color <1>& 0 \ -1 & -4 & 3 & -2\ -1 & -2 & 2 & -1 end=$ $=1cdot(-1)^<2+5>cdot egin2 & 1 & -1\ -1 & -4 & -2\ -1 & -2 & -1 end$

    Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
    $ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 2 & 1 & -1\ 1 & 4 & 2\ 1 & 2 & 1 end=$ $(-1)cdot egin2 & 1 & -1\ 1 & 4 & 2\ 1 & 2 & 1 end=$ $-[2cdot 4cdot 1 + 1cdot 2cdot (-1)+ 1cdot 1cdot 2 – ((-1)cdot 4cdot 1 + 2cdot 2cdot 2 + 1cdot 1cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

    Пример 41
    $egin 2 & 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3\ end$

    Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

    $egin 2 & 1 & 3 & 4\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal+L_<2>+L_<3>+L_<4>> egin1>10 & 10 & 10 & 10\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end=$ $10cdot egin1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 3 & 4 & 2\ 3 & 4 & 2 & 1\ 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal – C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>>10cdot egin1>0 & 0 & 0 & color<1>\ -1 & 1 & 2 & 2\ 2 & 3 & 1 & 1\ 1 & -1 & -2 & 3 end=$

    $=10cdot1cdot(-1)^<1+4>$

    $ = (-10)cdot egin -1 & 1 & 2\ 2 & 3 & 1\ 1 & -1 & -2 end=$ $(-10)cdot((-1)cdot 3cdot (-2) +2 cdot (-1)cdot2 + 1cdot 1cdot 1$ $-(2cdot 3cdot 1 + 1cdot (-1)cdot (-1) + (-2)cdot1cdot2))$ $= -10cdot(6 -4 +1 -6 – 1 + 4) =0$

    МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

    1.

    Линейные системы и матрицы

    1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

    Подробнее

    Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

    Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

    Подробнее

    Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

    Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

    Подробнее

    РАЗДЕЛ 1.

    Линейная алгебра.

    -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

    Подробнее

    ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.

    ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

    Подробнее

    2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

    Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

    Подробнее

    Глава 1.

    Начала линейной алгебры

    Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

    Подробнее

    Практикум по линейной алгебре

    Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

    Подробнее

    Примеры решений контрольных работ

    Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

    Подробнее

    Тема: Системы линейных уравнений

    Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

    Подробнее

    1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

    ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

    Подробнее

    МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

    Подробнее

    Теорема Кронекера-Капелли

    Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

    Подробнее

    ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

    ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в – учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

    Подробнее

    Алгебра и аналитическая геометрия

    Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

    Подробнее

    ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

    Б. Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

    Подробнее

    1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

    1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

    Подробнее

    Математика (БкПл-100)

    Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

    Подробнее

    АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

    Подробнее

    С.

    Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

    Подробнее

    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

    Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    Подробнее

    ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

    А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

    Подробнее

    ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

    Подробнее

    ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

    I часть

    Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

    Подробнее

    Матрицы и определители Индивидуальные задания

    Федеральное агентство по образованию
    Государственное образовательное учреждение
    высшего профессионального образования
    ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
    Матрицы и определители
    Индивидуальные задания
    Пособие разработано ст.
    преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С..

    Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

    © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

    Пермь 2007

    Задание к работе

    1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

    2. Вычислить определитель высшего порядка.

    3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.

    4. Выполнить действия с матрицами.

    5. Вычислить значение многочлена от матрицы .

    6. Найти неизвестную матрицу из уравнения.

    Образец решения варианта.

    1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве

    .

    Таким образом,

    2) Второе правило вычисления называется разложением по элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой строки имеет вид

    .

    Определитель

    разложим по элементам третьего столбца, т.е.

    .

    Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе

    умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим

    .

    2. Вычислить определитель высшего порядка

    .

    Решение :

    Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой целью прибавим пятый столбец к первому :

    ;

    в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем

    .

    Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному виду.

    3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы

    .

    Решение.

    Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы , , равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.

    В первом столбце данной матрицы ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

    .

    В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (), или поделив на (–5) , а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем

    .

    Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9 , четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем

    .

    Отсюда заключаем, что .

    4. Выполнить действия с матрицами

    .

    Решение. Обозначим

    , , , .

    Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

    .

    Произведение имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

    .

    Разность имеет смысл, так как матрицы и имеют одинаковую размерность . Находим искомую матрицу , элементы которой , . Имеем

    .

    Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица

    .

    5. Вычислить значение многочлена от матрицы , где

    , .

    Решение.

    При вычислении значения многочлена от матрицы вместо подставляем данную матрицу , а свободный член многочлена записываем в матричной форме, т.е. в виде , где единичная матрица того же порядка, что и данная матрица . Таким образом,

    ,

    1)

    ,

    2) ,

    3) .

    Имеем

    .

    Ответ : .

    6. 1) Найти неизвестную матрицу из уравнения

    .

    Решение.

    Исходное уравнение запишем в матричной форме

    , где , .

    Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и матрица – невырожденная, т.е. . В этом случае для матрицы существует обратная матрица . Умножая слева обе части уравнения на , получим

    , где единичная матрица,

    искомая матрица.

    Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле , где алгебраическое дополнение элемента матрицы . Для данной матрицы : . Тогда

    и

    .

    Ответ : .

    2) Найти неизвестную матрицу из уравнения

    .

    Решение.

    Исходное уравнение запишем в матричной форме

    , где , .

    Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и , т.е. для матрицы существует обратная матрица . Умножая справа обе части уравнения на , получим , где единичная матрица, или , или

    искомая матрица.

    Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле, указанной в примере 1), имеем и

    .

    Тогда

    .

    Ответ : .

    Индивидуальные задания

    Вариант № 1

    1.1. 1.2. 1.3.

    1.4.

    1.5. , 1.6.

    Вариант № 2

    2.1. 2.2. 2.3.

    2.4.

    2.5. , 2.6.

    Вариант № 3

    3.1 3.2. 3.3.

    3.4.

    3.5. , 3.6.

    Вариант № 4

    4. 1. 4.2. 4.3.

    4.4.

    4.5. , 4. 6.

    Вариант № 5

    5.1. 5.2. 5.3.

    5.4.

    5.5. , 5.6.

    Вариант № 6

    6.1. 6.2. 6.3.

    6.4.

    6.5. , 6.6.

    Вариант № 7

    7.1. 7.2. 7.3.

    7.4.

    7.5. , 7. 6.

    Вариант № 8

    8.1. 8. 2. 8.3.

    8.4.

    8.5. , 8.6.

    Вариант № 9

    9.1. 9.2. 9.3.

    9.4.

    9.5. , 9.6.

    Вариант № 10

    10.1. 10.2. 10.3.

    10.4.

    10.5. , 10.6.

    Вариант № 11

    11.1. 11.2. 11.3.

    11.4.

    11.5. , 11. 6.

    Вариант № 12

    12.1. 12.2. 12.3.

    12.4.

    12.5. , 12.6.

    Вариант № 13

    13.1. 13.2. 13.3.

    13.4.

    13.5. , 13.6.

    Вариант № 14

    14.1. 14.2. 14.3.

    14.4.

    14.5. , 14.6.

    Вариант № 15

    15.1. 15.2. 15.3.

    15.4.

    15.5. , 15.6.

    Вариант № 16

    16.1. 16.2. 16.3.

    16.4.

    16.5. , 16.6.

    Вариант № 17

    17.1. 17.2. 17.3.

    17.4.

    17.5. , 17.6.

    Вариант № 18

    18.1. 18.2. 18.3.

    18.4.

    18.5. , 18.6.

    Вариант № 19

    19. 1. 19.2. 19.3.

    19.4.

    19.5. , 19.6.

    Вариант № 20

    20.1. 20.2. 20.3.

    20.4.

    20.5. , 20.6.

    Вариант № 21

    21.1. 21.2. 21.3.

    21.4.

    21.5. , 21.6.

    Вариант № 22

    22.1. 22.2. 22.3.

    22.4.

    22.5. , 22.6.

    Вариант № 23

    23.1. 23.2. 23.3.

    23.4.

    23.5. , 23.6.

    Вариант № 24

    24.1. 24.2. 24.3.

    24.4.

    24.5. , 24.6.

    Вариант № 25

    25.1. 25.2. 25.3.

    25.4.

    25.5. , 25.6.

    Вариант № 26

    26.1. 26.2. 26.3.

    26.4.

    26.5. , 26.6.

    Вариант № 27

    27.1. 27.2. 27.3.

    27.4.

    27.5. , 27.6.

    Вариант № 28

    28.1. 28.2. 28.3.

    28.4.

    28.5. , 28.6.

    Вариант № 29

    29.1. 29.2. 29.3.

    29.4.

    29.5. , 29. 6. .

    Вариант № 30

    30.1. 30.2. 30.3.

    30.4.

    30.5. , 30.6. .

    матриц – Создание нулевой матрицы посредством умножения матриц

    матрицы – Создание нулевой матрицы посредством умножения матриц – Mathematics Stack Exchange
    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange
    2. 0
    3. +0
    6. Авторизоваться Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено 28к раз

    $ \ begingroup $

    Из поручения:

    Пусть $ A = \ left [\ begin {matrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \ end {matrix} \ right] $ Построит матрицу $ 2 * 2 $ $ B $ такую, что $ AB $ является нулем. матрица.Используйте два разных ненулевых столбца для $ B $.

    Стоимость $ AB $ будет:

    $ AB = \ left [ \ begin {matrix} 3b_ {11} -6b_ {12} и 3b_ {21} -6b_ {22} \\ -2b_ {11} + 4b_ {12} и -2b_ {21} + 4b_ {22} \ end {matrix} \ right]

    $

    Я думал об использовании подстановки, но следующие уравнения просто приводят к переменным, равным $ 0 $:

    $$ \ begin {align *} 3b_ {11} -6b_ {12} & = 0 \\ -2b_ {11} + 4b_ {12} & = 0 \ end {align *} $$

    Есть подсказки, как я могу решить эту проблему?

    Артуро Маджидин

    331k4646 золотых знаков701701 серебряный знак10321032 бронзовых знака

    Создан 24 янв.

    $ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

    Ваши уравнения $$ 3b_ {11} -6b_ {12} = 0, \ qquad -2b_ {11} + 4b_ {12} = 0 $$ оба говорят вам $ b_ {11} = 2b_ {12} $, что означает, что вы можете позволить $ b_ {12} $ быть вашим любимым ненулевым числом, и тогда вы также знаете, что $ b_ {11} $. Вы также получите два уравнения для $ b_ {21} $ и $ b_ {22} $; вы можете позволить $ b_ {22} $ быть вашим вторым любимым ненулевым числом и вычислить $ b_ {21} $. Тогда все готово.

    • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки предыдущий ряд.
    • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули под ведущими.
    • Метод исключения Гаусса переводит матрицу в форму строки-эшелон, а затем выполняется обратная подстановка. требуется, чтобы завершить поиск решений системы.
    • Строковая форма матрицы не обязательно уникальна.

    Форма Row-Echelon уменьшенная

    Матрица находится в сокращенной форме строка-эшелон, когда все условия формы строка-эшелон выполнены и все элементы выше и ниже, ведущие равны нулю.

    1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
    2. Первый ненулевой элемент любой строки – это единица. Этот элемент называется ведущим.
    3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
    4. Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
    Банкноты
    • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки предыдущий ряд.
    • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули как над, так и под ведущими.
    • Метод исключения Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную форму строки-эшелон.
    • Для завершения поиска решений в системе не требуется обратной замены.
    • Уменьшенная строчно-эшелонированная форма матрицы уникальна.

    Исключение по Гауссу

    • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
    • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строки
    • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
    • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

    Гаусс-Джордан Ликвидация

    • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
    • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму строки-эшелона
    • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
    • Обратной замены не требуется

    Поворотный

    • Поворот – это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядный эшелон или сокращенный рядный эшелон форма
    • В частности, поворот превращает элементы выше или ниже ведущей единицы в нули

    Типы решений

    Существует три типа решений, которые возможны при решении системы линейных уравнений.

    Независимая
    • Согласованный
    • Уникальное решение
    • Матрица с сокращенной строкой имеет такое же количество ненулевых строк, что и переменные
    • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
    • Для получения независимого решения должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
    х y z справа
    1 0 0 3
    0 1 0 1
    0 0 1 2

    Когда вы конвертируете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x = 3, y = 1 и z = 2.

    Зависимые
    • Согласованный
    • Множество решений
    • Запишите ответ в параметрической форме
    • Матрица с сокращенной строкой имеет больше переменных, чем ненулевых строк
    • Ряд нулей быть не обязательно, но обычно он есть.
    • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
    х y z справа
    1 0 3 4
    0 1 -2 3
    0 0 0 0

    Первое уравнение будет x + 3z = 4. Решение относительно x дает x = 4 – 3z.

    Второе уравнение будет y – 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

    Столбец z не очищается (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, z будет параметром t и решение …

    x = 4 – 3t, y = 3 + 2t, z = t

    Несоответствие
    • Нет решения
    • Матрица с сокращенной строкой имеет строку нулей с левой стороны, но правая часть не равна нулю.
    х y z справа
    1 0 3 4
    0 1 -2 3
    0 0 0 2

    Здесь нет решения. Вы можете записать это как нулевой набор Ø, пустой набор {} или нет решения.

    Создание матрицы нулей в R

    Язык программирования R предлагает нам множество способов создания матрицы и заполнения ее таким образом, чтобы все значения элементов были эквивалентны 0. Давайте посмотрим на эти способы –

    Использование матрицы ( ) метод

    Встроенный метод matrix () в R может использоваться для создания матрицы с заданным набором значений, то есть размером nxm, и инициализировать ее заданным значением.Все элементы инициализируются одним и тем же значением. Если один из параметров m или n не указан, делается попытка вывести отсутствующее значение из длины данных и других заданных параметров. Если ни один из них не указан, то в качестве вывода возвращается матрица с одним столбцом. Затем эту матрицу можно сохранить в переменной, а затем можно будет обращаться к ее элементам и манипулировать ими.

    Синтаксис: matrix (0, n, m)

    Параметры:

    • 0 – значение для инициализации матрицы
    • n – номер. рядов
    • м – шт. столбцов

    Тип возврата: матрица или скаляр из нулей



    Пример:

    R

    mat = матрица 2, 3

    печать (мат)

    Выход

    [, 1] [, 2] [, 3]

    [1,] 0 0 0

    2,] 0 0 0

    Использование метода replicate ()

    Метод replicate () используется для создания копии второго аргумента метода vec путем добавления его n раз.Он повторно применяет один и тот же указанный вектор для формирования 2D-матрицы. Метод принадлежит к набору функций apply, используемых в R, и использует его в качестве родительского или базового класса. Второй аргумент указывается заключением в числовое (целое) значение. Также числовой метод создает реальный вектор указанной длины. Все элементы вектора равны 0 в числовом приложении.

    Синтаксис: replicate (n, numeric (m))


    Параметр:

    • n – нет.рядов
    • числовое (м) – шт. столбцов в матрице, заданной как числовой параметр

    Тип возвращаемого значения: матрица или скаляр нулей

    Пример:

    R

    4 (мат) 5 Выход

    [, 1] [, 2] [, 3] [, 4] [, 5] [, 6]

    [1,] 0 0 0 0 0 0

    [2,] 0 0 0 0 0 0

    [3,] 0 0 0 0 0 0

    Использование метода rep ()

    Метод rep () в R может использоваться для создания матрицы из одной строки, которая создает эквивалентное количество столбцов к значению во втором аргументе метода. Первый аргумент определяет вектор, который будет повторяться и складываться вместе y раз, в данном случае это 0. Мы можем указать 0L вместо 0.

    Синтаксис: rep (0, y)

    Аргументы: y - количество столбцов в матрице

    Тип возврата: Однострочная матрица из нулей

    Пример:

    R

    mat = реплика ( 6, числовой (3))

    печать ( "Матрица:" )

    печать 9077

    печать ( "Матрица:" )

    представитель (0, 10)

    Выход

    [1] «Матрица:«

    [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    Использование Numeric () и integer ()

    Есть несколько других методов, таких как numeric () или integer (), которые можно использовать для создания вектора нулей.Все эти методы принимают аргумент длины, указывающий количество нулей для объединения. Поведение методов integer () и numeric () практически одинаково.

    Синтаксис:

    числовой (размер)

    целочисленный (размер)

    Пример:

    R

    печать (Матрица) с использованием метода () " )

    числовой (8)

    печать ( " Матрица с использованием целочисленного () метода: " )

    целое число

    Выход

    [1] «Матрица с использованием метода numeric ():»

    [1] 0 0 0 0 0 0 0 0

    [1] «Матрица с использованием метода integer () : ”

    [1] 0 0 0 0 0

    Нулевая матрица - обзор

    5.2 Статистический вывод для RSS

    Предположим, что необходимо измерить общее количество n единиц из основной совокупности по интересующей переменной. Пусть n наборов единиц, каждый размером k, случайным образом выбирается из совокупности с использованием метода простой случайной выборки (SRS). Единицы каждого набора ранжируются любым способом, кроме фактического количественного определения переменной. Наконец, по переменной измеряется одна единица в каждом упорядоченном наборе с заранее заданным рангом. Пусть mr будет количеством измерений на блоках ранга r, r = 1,…, k, таких, что n = ∑r = 1kmr.Пусть X (r) j обозначает измерение на j-й единице измерения с рангом r. Это приводит к URSS размера n из основной популяции как {X (r) j; r = 1,…, k, j = 1,…, mr}. Когда mr = m, r = 1,…, k, URSS сводится к сбалансированному RSS. Стоит отметить, что в схемах выборки ранжированных наборов X (1) j,…, X (k) j являются статистикой независимого порядка (поскольку они получены из независимых наборов), и каждый X (r) j предоставляет информацию о различных слой населения. Структуру URSS можно представить следующим образом:

    Xr = {X (r) 1, X (r) 2,…, X (r) mr} ~ i. i.d.F (r), r = 1,…, k1,

    где F (r) - функция распределения (df) статистики r-го порядка. Второй образец может быть создан с использованием той же процедуры. Мы предполагаем, что вторая выборка сгенерирована с использованием k2, которое может отличаться от k = k1

    Yr = {Y (r) 1, Y (r) 2,…, Y (r) mr} ~ iidG (r), r = 1,…, к2.

    Интересно проверить H0: F (x) = dG (x − Δ). В частности, нас интересует нулевая гипотеза H0: μx = μy + Δ по сравнению с H0: μx ≠ μy + Δ. Обычно используются два выборочных теста, чтобы определить, происходят ли образцы из одного и того же неизвестного распределения.В нашей настройке мы предполагаем, что X и Y собраны с разными размерами рангов. Следовательно, даже при одних и тех же родительских распределениях дисперсия оценки не будет одинаковой.

    Следующее предложение может быть использовано для установления асимптотической нормальности статистики при нулевой гипотезе.

    Утверждение 1

    Пусть F обозначает cdf члена семейства с ∫x2dF (x) <∞ и Fˆ (r) - эмпирическая функция распределения (edf) r-й строки. .Если ϑi = (X¯ (i) −μ (i)) , то (ϑ1,…, ϑk) сходится по распределению к многомерному нормальному распределению с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей diag (σ (1) 2 / m1,…, σ (k) 2 / mk) , где σ (i) 2 = ∫ (x − μ (i)) 2dF (i) (x) и μ (i) = ∫xdF ( i) (x).

    Предложение 1 предлагает следующую статистику для проверки H0: µ = µ0,

    Z = 1k∑r = 1kX¯ (r) −µ0σˆ → dN (0,1),

    , где σˆ2 - оценка плагина для V (1k∑r = 1kX¯ (r)),

    σˆ2 = 1k2∑r = 1kσˆ (r) 2mr,

    и σ (r) 2 - оценка V (X¯ (r)).Используя центральную предельную теорему, получаем доверительный интервал, где

    P (μ∈ (X¯ + tα / 2, n − 1σn, X¯ + t1 − α / 2, n − 1σn)) ≈1 − α.

    Для оценки дисперсии среднего требуется σ (r) 2. Следовательно, необходимо, чтобы mr≥2. Оценка дисперсии для небольших размеров выборки была бы очень неточной, что наводит на мысль о том, что основная статистика может быть ненадежной. В разделе 5.4 мы покажем, что параметрическая статистика очень консервативна. Bootstrap предоставляет непараметрическую альтернативу для оценки дисперсии.Метод начальной загрузки может использоваться для получения выборочного распределения интересующей статистики и позволяет оценить стандартную ошибку любого четко определенного функционала. Следовательно, бутстрап позволяет нам делать выводы, когда точное или асимптотическое распределение интересующей статистики недоступно. Процедура генерации повторной выборки для вычисления дисперсии обсуждается в разделе 5.3.

    Утверждение 1 можно использовать для получения тестовой статистики для двух выборок {X1,…, Xk1} и {Y1,…, Yk2}.Можно показать, что

    T (X, Y) = (1k1∑r = 1k1X¯ (r) −1k2∑r = 1k2Y¯ (r)) - (μ1 − μ2) σˆ → dN (0,1),

    , где

    σˆ2 = 1k12∑r1 = 1k1σˆ (r1) 2mr1 + 1k22∑r2 = 1k2σˆ (r2) 2mr2.

    Мы можем рассмотреть параметрический статистический вывод для асимметричного распределения: пусть X1,…, Xn равны i.i.d. случайная величина со средним значением μ и конечной дисперсией σ2. Поскольку характеристическая функция Sn сходится к e − t2 / 2, характеристическая функция стандартной нормали nSn = n (μ − μ) / σ асимптотически нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией. Чтобы учесть асимметрию выборки, следующее предложение получает разложение Эджворта для nSn.

    Предложение 2

    Если EYi6 <∞ и условие Крамера выполняется, асимптотическая функция распределения nSn равна

    P (nSn≤x) = Φ (x) + 1nγ (ax2 + b) ϕ (x) + O (n − 1),

    где a и b - известные константы, γ - оцениваемая константа, а Φ и ϕ обозначают стандартное нормальное распределение и функции плотности соответственно.

    Холл (1992) предложил две функции:

    S1 (t) = t + aγˆt2 + 13a2γˆ2t3 + n − 1bγˆ, S2 (t) = (2an − 12γˆ) −1 {exp (2an − 12γˆt) −1} + n − 1bγˆ,

    , где a = 1/3 и b = 1/6.Чжоу и Динь (2005) предложили

    S3 (t) = t + t2 + 13t3 + n − 1bγˆ.

    Используя Si (t), для i = 1,2,3, можно построить новые доверительные интервалы для μ как

    (μˆ − Si (n − 1 / 2t1 − α / 2, n − 1) σˆ, μˆ− Si (n − 1 / 2tα / 2, n − 1) σˆ),

    , где t1 − α / 2, n − 1 - квартиль 1 − α / 2 распределения t. Однако использование асимптотического распределения выборки делает вывод менее надежным, особенно для параметрических методов.

    Оставить комментарий