Как вычислить предел: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Теория пределов

Вариант 3

Задача 1.1. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.2. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.3. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.4. Вычислить предел последовательности.

Задача 1.5. Вычислить предел функции.

Задача 1.6. Вычислить предел функции.

Задача 1.7. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при :

, , . Тогда получим:

Задача 1.8. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при : , Тогда получим:

Задача 1.9. Вычислить предел функции.

Использовали эквивалентности бесконечно малых величин при :

~x,

Задача 1.10. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер и построить график функции.

Решение

Построим график заданной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

, , . Так как , следовательно, функция в этой точке непрерывна/

, . Так как , то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок

Задача 1.11. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер.

Решение

Возможная точка разрыва

В точке :

,

Следовательно, в т. функция имеет разрыв второго рода.

Задача 2.1. Вычислить производную

Решение

Задача 2.2. Вычислить производную

Решение

Задача 2.3. Вычислить производную

Решение

Задача 2.4. Вычислить производную

Решение

Задача 2.5. Вычислить производную

Решение

Задача 2. 6. Вычислить производную

Решение

Задача 2.7. Вычислить производную

Решение

Прологарифмируем данную функцию:

Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

Отсюда:

Задача 2.8. Вычислить производную функции, заданной параметрически.

Решение

Находим

и

. Отсюда

Задача 2.9. Вычислить производную Неявно заданной функции.

Решение

Дифференцируем обе части равенства по х:

Разрешаем равенство относительно :

, тогда

Задача 2.10. Вычислить производную функции при указанном значении аргумента.

,

Решение

Тогда:

Задача 2.11. Вычислить предел функции используя правило Лопиталя.

Задача 2.12. Вычислить вторую производную .

Решение

Вычислим сначала первую производную:

Теперь вторую:

< Предыдущая		Следующая >

Вычисление предела рациональных и иррациональных функций без использования правила Лопиталя — NovaInfo 47

1. org/Person”>Саразов А.В.

   Волгоградский государственный технический университет

2. Чехута В.А.

   Волгоградский государственный технический университет

NovaInfo 47, с.3-5, скачать PDF
Опубликовано 10 июня 2016
Раздел: Физико-математические науки
Язык: Русский
Просмотров за месяц: 21
CC BY-NC

Аннотация

В данной статье рассмотрены несколько методов математического анализа без использования правила Лопиталя.

Ключевые слова

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЙ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Текст научной работы

Математический анализ является для студентов самым пугающим предметом на первом курсе. {1}+7} }=\frac{2}{3}

Ответ: \frac{2}{3}

Читайте также

Список литературы

1. [Электронный ресурс] // Что такое предел функции и как его найти. URL: http://function-x.ru/lim1.html (Дата обращения 13.05.2016)
2. Электронный ресурс] // Лекции – Предел функции и непрерывность. URL: http://www.studmed.ru/docs/document1157/content (Дата обращения 13.05.2016)

Цитировать

Саразов, А.В. Вычисление предела рациональных и иррациональных функций без использования правила Лопиталя / А.В. Саразов, В.А. Чехута. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 47. — С. 3-5. — URL: https://novainfo.ru/article/6765 (дата обращения: 30.12.2022).

Поделиться

Как рассчитать предел жидкости

••• amenic181/iStock/GettyImages

Петра Уэйкфилд

Предел жидкости описывает приблизительное содержание воды, при котором почва начинает вести себя как жидкость, один из нескольких пределов, используемых для определения механического свойства почвы. Устройство Casagrande является основным лабораторным инструментом для проверки предельных значений жидкости. Тестер помещает образцы почвы с разным содержанием воды в чашу прибора, затем прорезает в образце канавку. Чашку бросают несколько раз, пока почва не заполнит канавку. Используйте количество капель вместе с содержанием воды в образцах для расчета предела жидкости.

Нарисуйте диаграмму с двумя столбцами и таким количеством строк, сколько у вас есть точек данных. Обозначьте столбцы «Количество ударов» и «Процентное содержание воды». В качестве альтернативы создайте такую ​​же диаграмму с помощью программного обеспечения для работы с электронными таблицами.

Запишите количество ударов, необходимое для каждого образца, в первой колонке таблицы.

Вычтите вес образца сухой почвы из веса образца влажной почвы и умножьте на 100. Разделите результат на вес влажного образца, чтобы получить процентное содержание воды в этом образце. Выполните этот расчет для каждого образца почвы и запишите результаты во второй столбец таблицы рядом с количеством ударов по образцу.

Используйте логарифмическую шкалу миллиметровки в качестве оси X и обозначьте ее как «Количество ударов». Пометьте арифметическую шкалу по оси Y «Процентное содержание воды». Нанесите каждый набор точек данных из диаграммы на этот график. В качестве альтернативы создайте тот же график с помощью программного обеспечения для работы с электронными таблицами, убедившись, что ось X настроена на логарифмическую шкалу.

Проведите прямую через точки данных. Если прямая линия не соединит все точки, нарисуйте прямую линию, которая проходит как можно ближе к каждой точке.

Нарисуйте прямую линию вверх от 25 по оси X, пока она не достигнет линии на графике. Нарисуйте еще одну линию от этой точки влево до оси Y. Прочтите значение по оси Y: это предел жидкости вашей почвы.

Вещи, которые вам понадобятся

• Экспериментальные данные
• Калькулятор
• Диаграммная бумага или программное обеспечение для работы с электронными таблицами

• Рассчитайте предел текучести только для одного образца почвы, разделив количество ударов на 25 результат в степени 0,121 и умножение на процент содержания воды. Этот метод не так точен, как тест с несколькими образцами.

Похожие статьи

Ссылки

• “Геотехнические лабораторные измерения для инженеров”; Джон Джермейн и др.; 2009

Советы

• Рассчитайте предел текучести только на одном испытании образца почвы, разделив количество ударов на 25, возведя результат в степень 0,121 и умножив на процентное содержание воды. Этот метод не так точен, как тест с несколькими образцами.

Об авторе

Петра Уэйкфилд — профессиональный писатель, чьи работы публикуются на различных веб-сайтах, в основном посвященные науке, фитнесу и мероприятиям на свежем воздухе. Она имеет степень магистра наук в области сельскохозяйственного машиностроения Техасского университета A&M.

Статистический расчет пределов трех сигм на примере

К

Уилл Кентон

Полная биография

Уилл Кентон — эксперт в области экономики и инвестиционного законодательства. Ранее он занимал руководящие должности редактора в Investopedia и Kapitall Wire, имеет степень магистра экономики Новой школы социальных исследований и степень доктора философии по английской литературе Нью-Йоркского университета.

Узнайте о нашем редакционная политика

Обновлено 31 мая 2022 г.

Рассмотрено

Эми Друри

Рассмотрено Эми Друри

Полная биография

Эми является членом ACA, генеральным директором и основателем OnPoint Learning, финансовой обучающей компании, проводящей обучение финансовых специалистов. Она имеет почти двадцатилетний опыт работы в финансовой отрасли и в качестве финансового инструктора для профессионалов отрасли и частных лиц.

Узнайте о нашем Совет по финансовому обзору

Факт проверен

Кирстен Рорс Шмитт

Факт проверен Кирстен Рорс Шмитт

Полная биография

Кирстен Рорс Шмитт — опытный профессиональный редактор, писатель, корректор и специалист по проверке фактов. У нее есть опыт в области финансов, инвестиций, недвижимости и всемирной истории. На протяжении всей своей карьеры она писала и редактировала контент для многочисленных потребительских журналов и веб-сайтов, составляла резюме и контент для социальных сетей для владельцев бизнеса, а также создавала материалы для академических кругов и некоммерческих организаций. Кирстен также является основателем и директором Your Best Edit; найдите ее на LinkedIn и Facebook.

Узнайте о нашем редакционная политика

Инвестопедия / Джули Бэнг

Что такое предел трех сигм?

Пределы трех сигм — это статистический расчет, при котором данные находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. В бизнес-приложениях три сигмы относятся к процессам, которые работают эффективно и производят товары высочайшего качества.

Пределы трех сигм используются для установки верхнего и нижнего контрольных пределов в диаграммах статистического контроля качества.

Контрольные карты используются для установления ограничений для производственного или бизнес-процесса, находящегося в состоянии статистического контроля.

Основные выводы:

• Пределы трех сигм (пределы трех сигм) — это статистический расчет, который относится к данным в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.
• Пределы по трем сигмам используются для установки верхнего и нижнего контрольных пределов в диаграммах статистического контроля качества.
• На колоколообразной кривой данные, лежащие выше среднего и за линией трех сигм, представляют менее 1% всех точек данных.

Понимание пределов трех сигм

Контрольные карты, также известные как карты Шухарта, названы в честь Уолтера А. Шухарта, американского физика, инженера и статистика (1891–1967). Контрольные карты основаны на теории о том, что даже идеально спроектированным процессам присуща определенная степень изменчивости выходных измерений.

Контрольные карты определяют, есть ли контролируемые или неконтролируемые изменения в процессе. Говорят, что изменения в качестве процесса, вызванные случайными причинами, находятся под контролем; К неконтролируемым процессам относятся как случайные, так и особые причины изменчивости. Контрольные карты предназначены для определения наличия особых причин.

Для измерения вариаций статистики и аналитики используют показатель, известный как стандартное отклонение, также называемое сигмой. Сигма — это статистическое измерение изменчивости, показывающее, насколько сильно отличается среднестатистическое значение.

Sigma измеряет, насколько сильно наблюдаемые данные отклоняются от среднего или среднего; инвесторы используют стандартное отклонение для оценки ожидаемой волатильности, известной как историческая волатильность.

Чтобы понять это измерение, рассмотрим нормальную кривую нормального распределения, которая имеет нормальное распределение. Чем дальше вправо или влево точка данных записана на кривой нормального распределения, тем выше или ниже, соответственно, данные, чем среднее значение.

С другой точки зрения, низкие значения указывают на то, что точки данных близки к среднему; высокие значения указывают на то, что данные широко распространены и не близки к среднему значению.

Пример расчета предела трех сигм

Давайте рассмотрим производственную фирму, которая проводит серию из 10 тестов, чтобы определить, есть ли различия в качестве ее продукции. Точки данных для 10 тестов: 8,4, 8,5, 9,1, 9,3, 9,4, 9,5, 9,7, 9,7, 9,9 и 9,9.

1. Сначала вычислите среднее значение наблюдаемых данных.
   (8,4 + 8,5 + 9,1 + 9,3 + 9,4 + 9,5 + 9,7 + 9,7 + 9,9 + 9,9) / 10, что равно 93,4 / 10 = 9,34.
2. Второй, вычислить дисперсию набора. Дисперсия — это разброс между точками данных, который рассчитывается как сумма квадратов разницы между каждой точкой данных и средним значением, деленная на количество наблюдений. Первый квадрат разности будет рассчитан как (8,4 – 9,34) ² = 0,8836, второй квадрат разности будет равен (8,5 – 9,34) ² = 0,7056, третий квадрат может быть рассчитан как (9,1 – 9,34) ² = 0,0576 и так далее. Сумма различных квадратов всех 10 точек данных равна 2,564. Таким образом, дисперсия составляет 2,564/10 = 0,2564.
3. В-третьих, вычислите стандартное отклонение, которое представляет собой просто квадратный корень из дисперсии. Итак, стандартное отклонение = √0,2564 = 0,5064.
4. В-четвертых, вычислить три сигмы, что на три стандартных отклонения выше среднего. В числовом формате это (3 x 0,5064) + 9,34 = 10,9. Поскольку ни один из данных не находится на таком высоком уровне, процесс производственного тестирования еще не достиг уровня качества «три сигмы».

Особые указания

Термин «три сигмы» указывает на три стандартных отклонения. Шухарт установил пределы трех стандартных отклонений (3 сигмы) в качестве рационального и экономичного ориентира для минимальных экономических потерь. Пределы трех сигм устанавливают диапазон для параметра процесса на уровне контрольных пределов 0,27%. Контрольные пределы по трем сигмам используются для проверки данных, полученных в процессе, и проверки того, находятся ли они в пределах статистического контроля. Это делается путем проверки того, находятся ли точки данных в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. Верхний контрольный предел (UCL) устанавливается на три сигма выше среднего, а нижний контрольный предел (LCL) устанавливается на три сигма ниже среднего.

Поскольку около 99,73% контролируемого процесса будет происходить в пределах плюс-минус три сигмы, данные процесса должны аппроксимировать общее распределение вокруг среднего значения и в заранее определенных пределах. На колоколообразной кривой данные, лежащие выше среднего и за линией трех сигм, представляют менее 1% всех точек данных.

Источники статей

Investopedia требует, чтобы авторы использовали первоисточники для поддержки своей работы. К ним относятся официальные документы, правительственные данные, оригинальные отчеты и интервью с отраслевыми экспертами. Мы также при необходимости ссылаемся на оригинальные исследования других авторитетных издателей. Вы можете узнать больше о стандартах, которым мы следуем при создании точного и беспристрастного контента, в нашем редакционная политика.