Пределы вида 0делить на 0 Примеры решения задач
Вычисление пределов функций y = f(x), значение которых в точке при х = х0 определено f(x) = А не вызывает затруднений:
Затруднения возникают, когда в точке х = х0 при вычислении значения функции получаем неопределенности вида В этом случае для вычисления пределов нужно преобразовать исходную функцию, чтобы неопределенность исчезла, либо в результате преобразования привести исходную функцию к первому или второму замечательному пределу.
Пример 1.
Вычислить при
Решение. Так как определена в точке , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е.
;
Пример 2.
Вычислить при
Решение. В точке функция также определена. Тогда получим:
.
Пример 3.
Вычислить
при .
Решение. При получили неопределенность . Для решения разложим числитель и знаменатель на множители, сократим дробь:
; ; ;
.
; ; ;
;
После сокращения дроби опять в предел подставляем и вычисляем предел.
Пример 4.
Найти предел:
Решение. .
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и разделив дробь на выражение , сопряженное знаменателю, и применим формулу
.
Выделим множитель и сократим на него дробь.
Примечание.
Аналогично избавляются от иррациональности в числителе.
Пример 5.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подставке х = –1 получаем неопределенность . Для ее исключения проведем преобразование функции:
При х = –1 знаменатель обращаться в
ноль за счет сомножителя х + 1.
разделим
числитель на этот сомножитель:
В результате предел преобразуется к виду:
Пример 6.
Решение. При непосредственной подставке х = –2 получаем неопределенность . Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель на сомножители. Так как и числитель, и знаменатель при х = 2 обращаются в ноль, то они содержат общий сомножитель х – 2. найдем вторые сомножители числителя и знаменателя:
В результате разложения на сомножители числителя и знаменателя предел преобразуется к виду:
При подстановке х = 2 опять получаем
неопределенность
.
Еще раз разделим числитель и знаменатель
на х – 2 и в результате получим:
Пример 7.
Вычислить предел:
Решение. При непосредственной подстановке х = 0 получаем неопределенность . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, на
В результате мы избавимся от иррациональности в числителе:
пример вычисления пределов с использованием расширения Тейлора
Проблема.
Оценка
| limx→-∞(x+x2+23x). |
На курсах математического анализа для начинающих обычно говорят
рационализируйте приведенное выше выражение, умножив на (x-x2+23x)/(x-x2+23x).
Такой подход несколько неудовлетворителен, поскольку зависит
на конкретном алгебраическом трюке, который работает только для квадратных корней
— например, это было бы труднее или невозможно рационализировать, если бы вместо этого у нас был кубический корень или даже трансцендентная функция —
и этот трюк не обращается к нашей интуиции, что
x2+23x должно быть примерно
|х| для больших |x|.
Правило Лопиталя (http://planetmath.org/LHpitalsRule) представляет собой один из аналитических подходов, но во многих случаях использовать разложение Тейлора даже проще и прямолинейный. По существу, разложение Тейлора аппроксимирует сложные функции полиномами, пределы которых легко вычислить. Мы иллюстрируем метод ниже.
Первая перезапись
| limx→-∞(x+x2+23x)=limx→+∞(x2-23x-x), |
, чтобы нам больше не приходилось беспокоиться о надоедливых негативах. Тогда с помощью биномиальной формулы:
| (1+y)1/2=1+12y+o(y), как y→0, |
(«о» — обозначение Ландау) получаем:
| x2-23x-x | =x(1-23x-1) | ||
| =x(1-1223x+o(23x)-1), поскольку x→∞ (так что y=-23x→0) | |||
| =-232+xo(23x) | |||
=-232+о(1). |
Поэтому
| limx→-∞(x+x2+23x)=limx→∞(x2-23x-x)=-232. |
Проблема.
Оценка
| limx→0(1ln(1+x)-1tanx). |
Этот пример, по общему признанию, искусственный; это было сделано, чтобы раздражать, чтобы решить, используя Одно лишь правило Лопиталя, но гораздо проще, если знать, как им пользоваться. расширения Тейлора:
| л(1+x) | =x-12x2+o(x2), | при x→0 и | ||
| коричневыйx | =х+о(х2), | как х→0. |
Итак, мы вычисляем:
| 1ln(1+x)-1tanx=tanx-ln(1+x)ln(1+x)tanx | =(x+o(x2))-(x-12x2+o(x2))ln(1+x)tanx | ||
| =12x2+o(x2)(x+o(x))(x+o(x)) | |||
| =12+о(1)(1+о(1))(1+о(1)) |
Следовательно,
limx→0(1ln(1+x)-1tanx)=12. |
Читатель может резонно спросить, как знали ли мы правильное количество терминов для использования в разложениях Тейлора. Ответ – угадать. Это не так проблематично, как кажется. Во-первых, никакого вреда в использовании большего количества терминов, чем необходимо в расширении (только в том, что написано больше). И если бы мы использовали слишком мало терминов, мы бы знали, когда позже встретим в наших выводах неопределенные формы, такие как o(1)/x (при x→0). Если это произойдет, нетрудно вернуться назад и добавить необходимые термины.
Обратите внимание, что вся необходимая информация для оценки предела содержится в первых нескольких производных от
функции, задействованные в определенных точках – в приведенном выше примере,
только при х=0.
Эту информацию можно получить, манипулируя рядом,
в отличие от правила Лопиталя
что требует вычисления производной функций во всех точках.
Так что даже такие чудовищные выражения, как это, податливы.
| limx→0(1ln(1+tan(sinx))-1esin(tanx)-1). |
С другой стороны, определенно бывают ситуации, когда Правило Лопиталя работает, а разложение Тейлора — нет: например,
| limx→0+xlnx=limx→0+x1/lnx, |
, потому что 1/lnx нельзя разложить в ряд Тейлора относительно x=0.
Проблема.
Вот задача с ограничением другого рода: сходится ли следующий ряд?
| ∑n=1∞arctan(n-1) |
Наша интуиция подсказывает, что нет, потому что arctan(n-1) должно быть приблизительно равно n-1, а ∑nn-1 расходится. Однако стандартный сравнительный тест не работает потому что arctanx≤x (для x≥0) имеет неравенство в неправильном направлении. Но с расширением Тейлора решение несложно. Расширив
| arctgx=x+O(x3), так как x→0. |
и суммируя обе части, получаем
∑n=1∞arctan(n-1)=∑n=1∞n-1+∑n=1∞O(n-3). |
Поскольку ∑nO(n-3) сходится (доминируя над C∑nn-3 для некоторой константы C), ∑narctan(n-1) должен расходиться (к ∞).
(Конечно, эту проблему можно решить с помощью интегрального теста, но кто на самом деле хочет интегрировать ∫arctan(1/x)𝑑x?)
Вот несколько примеров применения ограничений в реальной жизни – святые математические формулы
Вы когда-нибудь слышали об ограничениях? Нет, это не те пределы или ограничения, которые мы знаем вообще, это пределы исчисления. Студенты, изучающие математику, должны быть хорошо знакомы с этим термином.
Теперь для начинающих предел является неотъемлемой частью исчисления и определяется как значение, к которому приближается функция или последовательность, когда индекс или вход приближаются к некоторому значению.
Калькулятор интегрирования по частям является важным понятием в математике, и учащиеся должны изучить интегрирование, чтобы получить лучшие результаты на экзаменах.
Есть несколько калькуляторов интеграции, которые можно найти в Интернете для обучения и практики.
Интегралы подразделяются на два основных класса, а именно:
· Определенные интегралы
· Неопределенные интегралы
Определенные интегралы и неопределенные интегралы — это несколько разные понятия, и их формулы отличаются. Вы можете найти определенные интегралы и неопределенные интегралы с помощью онлайн-калькулятора определенного интегрирования и калькулятора неопределенного интегрирования.
Предел обычно выражается как:
В этих обозначениях по мере приближения x к числу c функция f(x) приближается к L.
Теперь давайте перейдем к применению этого инструмента исчисления в повседневной жизни. Пределы не ограничиваются только вычислительными операциями для определения производных и интегралов, они также имеют широкий спектр практического применения в физических науках.
Примеры ограничений:
Например, ограничением является измерение температуры кубика льда, погруженного в стакан с теплой водой.
Другие примеры, такие как измерение силы электрического, магнитного или гравитационного поля.
Реальные ограничения используются в любое время, реальное приложение приближается к устойчивому решению. Одним из примеров предела является химическая реакция, начатая в химическом стакане, в которой два разных соединения реагируют с образованием нового соединения. Теперь, когда время приближается к бесконечности, количество образовавшегося нового соединения является пределом.
В случае ограничений , когда мы связываем это с бесконечностью, это означает, как числа ведут себя по мере их увеличения или серии, где постоянно добавляются новые числа.
Одно из основных преимуществ бесконечных пределов заключается в том, что они позволяют нам рассматривать большие сложные функции и позволяют нам выяснить, какие фрагменты информации важны. Другими словами, это дает нам знать ту часть информации, которая больше всего способствует получению ответов. Это позволяет нам упростить задачи, чтобы легко их решать.
На картинке выше художник смешивает границы между реальной жизнью и смартфоном. Здесь художник приближается к некоторой степени приближения к реальности.
Для лучшего понимания давайте будем проще. Простой пример предела — это когда мы что-то измеряем, например, мы измеряем длину объекта или линии, проведенной с помощью такого устройства, как весы. Предположим, что длина была 20 см, но уверены ли мы, что наши измерения точны, это может быть 19,899 или 20,011.
Мы очень близко подходим к измерению чего-либо с помощью прибора, если будем осторожны, но мы не можем добиться точных измерений. Чтобы объявить что-то на пределе 20.014, нам нужна последовательность связанных измерений.
Понятие предела важно для понимания реальной системы счисления и ее разнообразных атрибутов. С одной точки зрения, действительные числа можно описать как числа, связанные с пределами сходящихся последовательностей рациональных чисел.
Одним из понятий является производная, это скорость изменения, которую можно оценить на основе пределов.