ОглавлениеВВЕДЕНИЕ§ 1.2. Физика и техника. § 1.3. Понятие о величине и измерении. Физические величины. § 1.4. Прямое и косвенное измерения. § 1.5. Звездное небо и его видимое вращение. § 1.6. Угловые измерения на небе. § 1.7. Определение расстояний до небесных тел на основе измерения параллаксов. § 1.8. Основные единицы времени и их связь с движением Земли. § 1.9. Правило вывода единиц физических величин из формул. Международная система единиц СИ. § 1.10. Плотность вещества. Раздел I. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕПЛОТА Глава 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТРОЕНИЯ ВЕЩЕСТВА § 2.2. Диффузия. § 2.3. Силы молекулярного взаимодействия. § 2.5. Агрегатное состояние вещества. § 2.6. Понятие о температуре и внутренней энергии тела. Глава 3. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗООБРАЗНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА § 3.  2. Броуновское движение.§ 3.3. Измерение скорости движения молекул газа. Опыт Штерна. § 3.4. Распределение молекул по скоростям их хаотического движения. § 3.5. Размеры и массы молекул и атомов. § 3.6. Постоянная Авогадро и постоянная Лошмидта. § 3.7. Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газе. § 3.8. Давление газа. Манометры. § 3.10. Межзвездный газ. Глава 4. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. АБСОЛЮТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА И ЕЕ СВЯЗЬ С ЭНЕРГИЕЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА § 4.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. § 4.3. Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме. § 4.4. Абсолютный нуль. § 4.5. Термодинамическая шкала температур. Абсолютная температура. § 4.6. Связь между температурой и кинетической энергией молекул газа. Постоянная Больцмана. Глава 5. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА § 5.2. Объединенный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным условиям. § 5.3. Молярная газовая постоянная.  § 5.4. Уравнение Клапейрона — Менделеева. Плотность газа. § 5.5. Зависимость средней квадратичной скорости молекул газа от температуры. § 5.6. Изохорический процесс. § 5.7. Изобарический процесс. § 5.8. Изотермический процесс. § 5.9. Внутренняя энергия идеального газа. § 5.10. Работа газа при изменении его объема. Физический смысл молярной газовой постоянной. Глава 6. ИЗМЕНЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ § 6.2. Теплообмен. § 6.3. Виды теплообмена. § 6.4. Изменение внутренней энергии при нагревании и охлаждении. § 6.5. Уравнение теплового баланса при теплообмене. § 6.7. Изменение внутренней энергии при выполнении механической работы. Опыт Джоуля. § 6.8. Закон сохранения и превращения энергии в механике. § 6.9. Закон сохранения и превращения энергии в механических и тепловых процессах.  § 6.10. Первое начало термодинамики. § 6.11. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе. § 6.12. Адиабатный процесс. § 6.13. Понятие о строении Солнца и звезд. Глава 7. ПЕРЕХОД ВЕЩЕСТВА ИЗ ЖИДКОГО СОСТОЯНИЯ В ГАЗООБРАЗНОЕ И ОБРАТНО § 7.3. Теплота парообразования. Глава 8. СВОЙСТВА ПАРОВ. КИПЕНИЕ. КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА § 8.2. Свойства паров, насыщающих пространство. § 8.3. Свойства паров, не насыщающих пространство. § 8.4. Процесс кипения жидкости. § 8.5. Зависимость температуры кипения жидкости от внешнего давления. Точка кипения. § 8.6. Уравнение теплового баланса при парообразовании и конденсации. § 8.7. Перегретый пар и его использование в технике. § 8.8. Критическое состояние вещества. § 8.9. Сжижение газов и использование жидких газов в технике. Глава 9. ВОДЯНОЙ ПАР В АТМОСФЕРЕ § 9.2. Абсолютная и относительная влажность воздуха. Точка росы.  § 9.4. Понятие об атмосферах планет. Глава 10. СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ § 10.2. Поверхностный слой жидкости. § 10.3. Энергия поверхностного слоя жидкости. Поверхностное натяжение. § 10.4. Сила поверхностного натяжения. § 10.5. Смачивание. Краевой угол. § 10.6. Мениск. Давление, создаваемое искривленной поверхностью жидкости. § 10.7. Капиллярность. Капиллярные явления в природе и технике. § 10.8. Понятие о вязкости среды. Ламинарное течение жидкости. § 10.9. Закон Ньютона для внутреннего трения. Динамическая вязкость. Глава 11. СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ. ДЕФОРМАЦИИ § 11.2. Анизотропия кристаллов. Пространственная решетка и ее дефекты. § 11.3. Виды кристаллических структур. § 11.4. Виды деформаций. § 11.5. Механическое напряжение. § 11.6. Упругость, пластичность, хрупкость и твердость. § 11.7. Закон Гука. Модуль упругости. § 11.8. Энергия упруго деформированного тела. Глава 12. ПЛАВЛЕНИЕ И КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ.  СУБЛИМАЦИЯ. ДИАГРАММА СОСТОЯНИЙ ВЕЩЕСТВА§ 12.2. Удельная теплота плавления. § 12.3. Изменение объема и плотности вещества при плавлении и отвердевании. § 12.5. Уравнение теплового баланса при плавлении и кристаллизации. § 12.6. Растворы и сплавы. Охлаждающие смеси. § 12.7. Испарение твердых тел (сублимация). § 12.8. Диаграмма состоянии вещества. Тройная точка. Глава 13. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТЕЛ § 13.2. Линейное расширение твердых тел при нагревании. § 13.3. Объемное расширение тел при нагревании. Зависимость плотности вещества от температуры. § 13.4. Особенности теплового расширения твердых тел. § 13.5. Некоторые особенности теплового расширения жидкостей. § 13.6. Значение теплового расширения тел в природе и технике. Глава 14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ. ЗАКОН КУЛОНА § 14.2. Явления, подтверждающие сложное строение атома.  § 14.3. Опыты Резерфорда. Ядерная модель строения атома. § 14.4. Понятие о строении атомов различных химических элементов. § 14.5. Электризация при соприкосновении незаряженных тел. § 14.6. Сила взаимодействия электрических зарядов. Закон Кулона. § 14.7. Диэлектрическая проницаемость среды. § 14.8. Международная система единиц СИ в электричестве. Электрическая постоянная. § 14.9. Электроскоп. Глава 15. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ § 15.2. Напряженность электрического поля. § 15.4. Однородное поле. Поверхностная плотность заряда. § 15.5. Работа электрического поля при перемещении заряда. Потенциальная энергия заряда. § 15.6. Потенциал. Разность потенциалов и напряжение. Эквипотенциальные поверхности. § 15.7. Связь между напряженностью поля и напряжением. Градиент потенциала. § 15.8. Проводник в электрическом поле. § 15.9. Электрометр. § 15.10. Диэлектрик в электрическом поле. Поляризация диэлектрика.  § 15.11. Понятие о сегнетоэлектриках. § 15.12. Пьезоэлектрический эффект. § 15.14. Условия, от которых зависит электроемкость проводника. § 15.15. Конденсаторы. § 15.16. Соединение конденсаторов в батарею. § 15.17. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электрического поля. § 15.18. Опыт Милликена. Глава 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА § 16.2. Сила тока и плотность тока в проводнике. § 16.3. Замкнутая электрическая цепь. § 16.4. Электродвижущая сила источника электрической энергии. § 16.5. Внешняя и внутренняя части цепи. § 16.6. Закон Ома для участка цепи без э. д. с. Сопротивление проводника. Падение напряжения. § 16.7. Зависимость сопротивления от материала, длины и площади поперечного сечения проводника. § 16.9. Сверхпроводимость. § 16.10. Эквивалентное сопротивление. § 16.11. Последовательное соединение потребителей энергии тока.  § 16.12. Параллельное соединение потребителей энергии тока § 16.13. Закон Ома для всей цепи. § 16.14. Соединение одинаковых источников электрической энергии в батарею. § 16.15. Закон Ома для участка цепи с э. д. с. и для всей цепи при нескольких э. д. с. Глава 17. РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ТЕПЛОВОЕ ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА § 17.2. Мощность электрического тока. § 17.3. Тепловое действие электрического тока. Закон Джоуля — Ленца. § 17.4. Короткое замыкание. Практическое применение теплового действия тока. Глава 18. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ § 18.2. Контактная разность потенциалов. § 18.3. Термоэлектродвижущая сила. § 18.4. Явление Пельтье. § 18.5. Применение термоэлектрических явлений в науке и технике. Глава 19. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ § 19.2. Электролиз. § 19.3. Электролиз, сопровождающийся растворением анода. § 19.4. Количество вещества, выделяющегося при электролизе. Первый закон Фарадея. § 19.5. Второй закон Фарадея.  Определение заряда иона.§ 19.6. Использование электролиза в технике. § 19.7. Гальванические элементы. § 19.8. Аккумуляторы. § 19.9. Применение гальванических элементов и аккумуляторов в технике. Явление электрокоррозии. Глава 20. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ И В ВАКУУМЕ § 20.2. Зависимость силы тока в газе от напряжения. § 20.3. Электрический разряд в газе при атмосферном давлении. § 20.4. Электрический разряд в разреженных газах. Газосветные трубки и лампы дневного света. § 20.5. Излучение и поглощение энергии атомом. § 20.6. Катодные лучи. § 20.7. Понятие о плазме. § 20.8. Электрический ток в вакууме. § 20.9. Двухэлектродная лампа (диод). § 20.10. Трехэлектродная лампа (триод). § 20.11. Электронно-лучевая трубка. Глава 21. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ § 21.2. Чистые (беспримесные) полупроводники. Термисторы. § 21.3. Примесные полупроводники. § 21.4. Электронно-дырочный переход. § 21.5. Полупроводниковый диод.  § 21.6. Полупроводниковый триод (транзистор). Глава 22. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ § 22.2. Магнитное поле как особый вид материи. § 22.3. Магниты. § 22.4. Линии магнитной индукции. Понятие о вихревом поле. § 22.5. Магнитное поле прямолинейного тока, кругового тока и соленоида. § 22.6. Сравнение магнитных свойств соленоида и постоянного магнита. § 22.7. Сила взаимодействия параллельных токов. Магнитная проницаемость среды. § 22.8. Определение ампера. Магнитная постоянная. § 22.9. Действие магнитного поля на прямолинейный проводник с током. § 22.10. Однородное магнитное поле. § 22.11. Магнитный момент контура с током. § 22.12. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле. Магнитный поток. § 22.13. Индукция магнитного поля, создаваемая в веществе проводниками с током различной формы. § 22.14. Напряженность магнитного поля и ее связь с индукцией и магнитной проницаемостью среды. § 22.15. Парамагнитные, диамагнитные и ферромагнитные вещества.  § 22.16. Намагничивание ферромагнетиков. Электромагнит. § 22.17. Работа и устройство амперметра и вольтметра. § 22.18. Сила Лоренца. Движение заряда в магнитном поле. § 22.19. Постоянное и переменное магнитные поля. Глава 23. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ § 23.2. Явление электромагнитной индукции. § 23.3. Э. д. с. индукции, возникающая в прямолинейном проводнике при его движении в магнитном поле. Правило правой руки. § 23.4. Опыты Фарадея. § 23.5. Закон Ленца для электромагнитной индукции. Объяснение диамагнитных явлений. § 23.6. Величина э. д. с. индукции. § 23.7. Вихревое электрическое поле и его связь с магнитным полем. § 23.8. Вихревые токи. § 23.9. Роль магнитных полей в явлениях, происходящих на Солнце и в космосе. § 23.10. Явление самоиндукции. Э. д. с. самоиндукции. § 23.11. Энергия магнитного поля. Раздел III. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Глава 24. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ § 24.2. Условия возникновения колебаний. § 24.  3. Классификация колебательных движений тела в зависимости от действующей на него силы.§ 24.4. Параметры колебательного движения. § 24.5. Величины, характеризующие мгновенное состояние колеблющейся точки. § 24.6. Гармоническое колебание. § 24.7. Уравнение гармонического колебания и его график. § 24.8. Математический маятник. § 24.9. Законы колебания математического маятника. Формула маятника. § 24.10. Физический маятник. § 24.11. Практические применения маятников. § 24.12. Упругие колебания. Превращение энергии при колебательном движении. § 24.13. Распространение колебательного движения в упругой среде. § 24.14. Перенос энергии бегущей волной. § 24.15. Поперечные и продольные волны. § 24.16. Волна и луч. Длина волны. § 24.17. Скорость распространения волн и ее связь с длиной волны и периодом (частотой) колебаний. § 24.18. Сложение колебаний, происходящих по одной прямой. § 24.19. Отражение волн. § 24.20. Стоячие волны.  § 24.21. Интерференция волн. § 24.22. Сложение колебаний с кратными частотами. Разложение сложного колебания на гармонические составляющие. § 24.23. Вынужденные колебания. Механический резонанс и его роль в технике. Глава 25. ЗВУК И УЛЬТРАЗВУК § 25.3. Громкость и интенсивность звука. § 25.4. Высота тона и тембр звука. § 25.5. Интерференция звуковых волн. § 25.6. Отражение и поглощение звука. § 25.7. Звуковой резонанс. § 25.8. Ультразвук и его применение в технике. Глава 26. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК § 26.2. Понятие об устройстве индукционных генераторов. § 26.3. Действующие значения э. д. с., напряжения и силы переменного тока. § 26.4. Индуктивность и емкость в цепи переменного тока. § 26.5. Преобразование переменного тока. Трансформатор. § 26.6. Индукционная катушка. § 26.7. Трехфазный ток. § 26.8. Получение, передача и распределение электрической энергии в народном хозяйстве СССР. Глава 27. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ § 27.  2. Затухающие электромагнитные колебания. Электрический резонанс.§ 27.3. Получение незатухающих колебаний с помощью лампового генератора. § 27.4. Токи высокой частоты и их применение. § 27.5. Электромагнитное поле как особый вид материи. § 27.6. Открытый колебательный контур. Излучение. § 27.7. Электромагнитные волны. Скорость их распространения. § 27.8. Опыты Герца. § 27.9. Изобретение радио А С. Поповым. Радиотелеграфная связь. § 27.10. Радиотелефонная связь. Амплитудная модуляция. § 27.11. Устройство простейшего лампового радиоприемника с усилителем низкой частоты. § 27.12. Понятие о радиолокации. Раздел IV. ОПТИКА. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Глава 28. ПРИРОДА СВЕТА. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА § 28.2. Понятие об электромагнитной теории света. Диапазон световых волн. § 28.3. Понятие о квантовой теории света. Постоянная Планка. § 28.4. Источники света. § 28.5. Принцип Гюйгенса. Световые лучи. § 28.6. Скорость распространения света в вакууме.  Опыт Майкельсона.§ 28.7. Скорость распространения света в различных средах. Глава 29. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА § 29.2. Законы отражения света. § 29.3. Зеркальное и диффузное отражение. Плоское зеркало. § 29.4. Сферические зеркала. § 29.5. Построение изображений, получаемых с помощью сферических зеркал. Формула сферического зеркала. § 29.6. Законы преломления света. § 29.7. Абсолютный показатель преломления и его связь с относительным показателем преломления. § 29.8. Полное отражение света. Предельный угол. § 29.9. Прохождение света через пластинку с параллельными гранями и через трехгранную призму. Призма с полным отражением. Глава 30. ЛИНЗЫ. ПОЛУЧЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЗ § 30.2. Главные фокусы и фокальные плоскости линзы. § 30.3. Оптическая сила линзы. § 30.4. Построение изображения светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы. § 30.5. Вывод формулы для сопряжеппых точек тонкой линзы. § 30.  6. Построение изображения светящейся точки, расположенной на побочной оптической оси линзы.§ 30.7. Построение изображений предмета, создаваемых линзой. § 30.8. Линейное увеличение, полученное с помощью линзы. § 30.9. Недостатки линз. Выясним, какие существенные недостатки встречаются у линз. Глава 31. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. ГЛАЗ § 31.2. Фотографический аппарат. § 31.3. Глаз как оптическая система. § 31.4, Длительность зрительного ощущения. § 31.5. Угол зрения. § 31.6. Расстояние наилучшего зрения. Оптические дефекты глаза. § 31.7. Увеличение оптического прибора. Лупа. § 31.8. Микроскоп. § 31.9. Труба Кеплера. Телескопы. § 31.10. Труба Галилея. Бинокль. Глава 32. ЯВЛЕНИЯ, ОБЪЯСНЯЕМЫЕ ВОЛНОВЫМИ СВОЙСТВАМИ СВЕТА § 32.2. Цвета тонких пленок. § 32.3. Интерференция в клинообразной пленке. Кольца Ньютона. § 32.4. Интерференция света в природе и технике. § 32.5. Дифракция света. § 32.6. Дифракционная решетка и дифракционный спектр.  Измерение длины световой волны.§ 32.7. Поляризация волн. § 32.8. Поляризация света. Поляроиды. § 32.9. Поляризация при отражении и преломлении света. Глава 33. ФОТОМЕТРИЯ § 33.2. Световой поток. § 33.3. Сила света. Единицы силы света и светового потока. § 33.4. Освещенность. § 33.5. Яркость. § 33.6. Законы освещенности. § 33.7. Сравнение силы света двух источников. Фотометр. Люксметр. Глава 34. ИЗЛУЧЕНИЕ И СПЕКТРЫ. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ § 34.2. Разложение белого света призмой. Сплошной спектр. § 34.3. Сложение спектральных цветов. Дополнительные цвета. § 34.4. Цвета тел. § 34.5. Ультрафиолетовая и инфракрасная части спектра. § 34.6. Роль ультрафиолетовых и инфракрасных лучей в природе. Их применение в технике. § 34.7. Приборы для получения и исследования спектров. § 34.8. Виды спектров. § 34.9. Спектры поглощения газов. Опыты Кирхгофа. § 34.10. Закон теплового излучения Кирхгофа. § 34.11. Законы теплового излучения Стефана — Больцмана, Вина, Планка.  § 34.12. Спектры Солнца и звезд. Их связь с температурой. § 34.13. Спектральный анализ. § 34.14. Понятие о принципе Доплера. § 34.15. Рентгеновские лучи и их практическое применение. § 34.16. Шкала электромагнитных волн. § 34.17. Виды космического излучения. Глава 35. ЯВЛЕНИЯ, ОБЪЯСНЯЕМЫЕ КВАНТОВЫМИ СВОЙСТВАМИ ИЗЛУЧЕНИЯ § 35.2. Давление световых лучей. Опыты П. Н. Лебедева. § 35.3. Тепловое действие света. § 35.4. Химическое действие света. § 35.5. Использование химического действия света при фотографировании. Понятие о квантовой природе химического действия излучения. § 35.6. Внешний фотоэлектрический эффект. Опыты Столетова. § 35.7. Законы внешнего фотоэффекта. § 35.8. Объяснение фотоэффекта на основе квантовой теории. § 35.9. Фотоэлементы с внешним фотоэффектом. § 35.10. Внутренний фотоэффект. § 35.11. Фотосопротивления. § 35.12. Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом. § 35.13. Использование фотоэлементов в науке и технике.  § 35.14. Понятие о телевидении. § 35.15. Понятие о теории Бора. Строение атома водорода. § 35.16. Излучение и поглощение энергии атомами. § 35.17. Явление люминесценции. § 35.18. Понятие о квантовых генераторах. Глава 36. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 36.2. Экспериментальные основы специальной теории относительности Эйнштейна. Постулаты Эйнштейна. § 36.3. Понятие одновременности. § 36.4. Относительность понятий длины и промежутка времени § 36.5. Теорема сложения скоростей Эйнштейна. § 36.6. Масса и импульс в специальной теории относительности. § 36.7. Связь между массой и энергией. Уравнение Эйнштейна. § 36.8. Связь между импульсом и энергией. Импульс и энергия фотонов. Раздел V. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА Глава 37. СТРОЕНИЕ АТОМНОГО ЯДРА § 37.2. Радиоактивность. § 37.3. Понятие о превращении химических элементов. § 37.4. Понятие об энергии и проникающей способности радиоактивного излучения. § 37.5. Эффект Вавилова — Черенкова.  § 37.6. Открытие искусственного превращения атомных ядер. § 37.7. Открытие нейтрона. § 37.8. Состав атомного ядра. Запись ядерных реакций. § 37.9. Изотопы. § 37.10. Понятие о ядерных силах. § 37.11. Дефект массы атомных ядер. Энергия связи. Глава 38. КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ § 38.2. Открытие позитрона. § 38.3. Нейтрино. § 38.4. Открытие новых элементарных частиц. § 38.5. Классификация элементарных частиц. § 38.6. Античастицы. Взаимные превращения вещества и поля. § 38.7. Гипотеза кварков. Глава 39. АТОМНАЯ ЭНЕРГИЯ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ § 39.2. Деление тяжелых атомных ядер. § 39.3. Цепная реакция деления. Ядерный взрыв. § 39.4. Ядерный реактор. § 39.5. Развитие ядерной энергетики в СССР. § 39.6. Понятие о термоядерной реакции. Энергия Солнца и звезд. § 39.7. Понятие об управляемой термоядерной реакции. § 39.8. Получение радиоактивных изотопов и их применение. Раздел VI. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО АСТРОНОМИИ Глава 40.  СТРОЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ВСЕЛЕННОЙ§ 40.2. Происхождение и развитие небесных тел. § 40.3. Понятие о космологии. |
Как выразить одну переменную через другую? Как выразить переменную из формулы?
Этот урок — полезное дополнение к предыдущей теме “Тождественные преобразования уравнений”.
Умение делать такие вещи — штука не просто полезная, она — необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях — как базовом, так и профильном.
Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.
Удивляемся, но запоминаем:
Любое равенство с буквами, любая формула — это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!
А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений.
Вот и применяем их в удобном нам порядке и — готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка — для вас.
Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.
Начнём с простого.
Как выразить одну переменную через другую?
Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:
3x – 2y = 5
Здесь две переменные — икс и игрек.
Допустим, нас просят выразить x через y.
Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа — что уж получится.
И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.
Анализируем левую часть уравнения:
3x – 2y = 5
Здесь нам мешаются тройка перед иксом и –2y. Начнём с –2у, это попроще будет.
Перекидываем –2у из левой части в правую. Меняя минус на плюс, разумеется. Т.е. применяем первое тождественное преобразование:
3x = 5 + 2y
Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.
Вот и делим:
Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева — чистый икс, а справа — что уж получилось в результате “очищения” икса.
Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем — переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно.
А так, дробь появилась лишь в самом конце.
Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное — не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!
А можно из этого же равенства
3x – 2y = 5
выразить y через x?
А почему — нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.
Первым делом избавляемся от выражения 3х. Перебрасываем его в правую часть:
–2y = 5 — 3x
Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):
И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.
Как выразить переменную из формулы?
Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула — тоже уравнение.
Например, такое задание:
Из формулы
выразить переменную с.
Формула — тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа — что уж получится, то и получится…
Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?
Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.
Получим:
Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби — нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:
Осталась элементарщина.
Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:
Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и — ответ готов:
Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле
где с = 1500 м/с — скорость звука в воде,
f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц),
f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).
Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.
“Многа букафф”, да… Но буквы — это лирика, а общая суть всё равно та же самая.
Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:
Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там — видно будет. Для этого применяем второе преобразование — умножаем обе части на знаменатель.
Получим:
А вот тут — очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)
Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…
Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с.
Что и выражается скобками в правой части.)
А вот теперь скобки и раскрыть можно:
Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f — справа. Займёмся переносом:
Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:
Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (v–c) и — дело в шляпе!
В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно “причесать” полученное выражение — вынести f0 за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:
Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:
Ответ: 751 МГц
Вот и всё.
Надеюсь, общая идея понятна.
Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь – не последовательность действий (она может быть любой), а их правильность.
В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.
Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.
Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…
Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.
А здесь и сейчас – примеры для тренировки по элементарным базовым преобразованиям.
Простенькая задачка:
Из формулы
выразить переменную а и найти её значение при S=300, V0=20, t=10.
Задачка посложнее:
Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:
где V1 и V2 — средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?
Задача на основе реального варианта ОГЭ:
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a=ω2R, где ω — угловая скорость (в с-1), а R — радиус окружности.
Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 289 м/с2.
Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:
К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:
При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.
Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.
А уж где числа, километры в час, метры, омы — это как-нибудь сами…)
Как ученые формулируют новые уравнения? | by Nicolus Rotich
Этот вопрос наверняка приходил вам в голову хотя бы раз, даже если вы не являетесь большим поклонником математики. Если вы любознательный человек с неподдельным интересом, все становится еще хуже — или лучше, если уж на то пошло.
Что касается меня, то этот вопрос не покидал меня более 19 лет, и идея появилась у меня только после окончания учебы в аспирантуре. Если вы никогда не думали об этой теме критически и собираетесь получить степень доктора философии. в какой-то момент, особенно в любой области STEM, пришло время проявить интерес. Это необходимость, по крайней мере, если вы хотите, чтобы ваша жизнь была легче в этот важный период вашей жизни.
Где есть число, там и красота — Прокл
Так как же, черт возьми, Альберт Эйнштейн придумал уравнение E = mc² или как, например, Исаак Ньютон нашел F=ma ? Что ж, хотя я и не претендую на то, что я того же калибра, что и известные ученые, успешно подтвердившие такого рода уравнения, я поделюсь несколькими советами, которые помогут вам немного понять, как возникают такие уравнения.
Фото JESHOOTS.COM на Unsplash Вы будете удивлены, как легко можно составить уравнения из ab initio — или из первых принципов, особенно если у вас есть предварительная информация о физической системе, которую вы пытаетесь смоделировать или представить на языке математики.
Есть один пример, который мне нравится использовать, когда я пытаюсь объяснить эту тему тому, кто прошел курс математики в средней школе и прошел хотя бы один курс по математическому анализу, и я повторю здесь. На самом деле, давайте обернем все это аббревиатурой понятия: РАДИКАЛЬНЫЙ, что означает R egression A nalysis, DI mensional A nalysis и CAL culus — без каламбура, но это те методы, с которыми вы захотите ознакомиться, чтобы в полной мере понять, о чем мы будем говорить. Вам не нужно углубляться в каждую из них, но просто знайте, что они из себя представляют.
Уравнение(я) линейного движения
Начнем с некоторых из самых простых случаев прямолинейного движения, также известного как линейного движения . Итак, предположим, вы вступили в контакт с разумным пришельцем с другой планеты. Этот инопланетянин понимает только размеры всех наших физических единиц, но не знает, как мы проводим нашу математику, например, он знает, что перемещение или расстояние, s каким-то образом связано или является функцией скорости или скорости, v , а скорость, в свою очередь, является функцией времени, t .
К сожалению, он не знает точного соотношения для оценки скорости движущегося объекта, как мы. Мы знаем, например, что в течение заданного времени скорость определяется формулой:
. Первый член в правой части (RHS) представляет собой начальную скорость, а второй кратен ускорению, и со временем. Эта информация недоступна Чужому. Как пришел бы Чужой к приведенной выше формуле, мы тоже задаем себе вопрос в этой ситуации. Таким образом, математически (как инопланетяне) мы должны начать с представления данной информации в терминах двух других функций 9.0009 f и g , такие, что:
Ур. (2)Это позволяет нам записать производную расстояния, s в форме дифференциалов следующим образом:
Уравнение. (3) Что мы только что сделали? Мы выразили первую часть уравнения. (2) в форме дифференциалов. Это означает, что небольшое изменение смещения s прямо пропорционально его частной производной по скорости v. Константа пропорциональности — это дельта — аналог s.
Затем мы делаем то же самое для второй функции в уравнении. (2), и теперь возьмем пределы, поскольку это малое деление (дельта) стремится к нулю, чтобы получить следующие формы:
Как видите, наше уравнение начинает выглядеть знакомым. Теперь давайте одновременно введем регрессионный и размерный анализ. Это означает, что мы смотрим на подразделения обеих сторон, чтобы определить, что, черт возьми, происходит. Левая часть (LHS) — это просто единицы длины, L, деленные на время, T. Следуя этой процедуре, мы можем переписать все уравнение. (4) следующим образом:
экв. (5)Где бета-члены представляют собой не что иное, как коэффициенты регрессии. Конечно, нам любопытно узнать, каковы на самом деле коэффициенты, и ответом является размерный анализ. Единицы в левой части должны быть такими же, как и в правой, и поэтому β_0 должен иметь единицы скорости, м/с и β_1 должны быть определены делением — это дает секунды или просто с и готово. Теперь нам просто нужно установить коэффициенты β и записать окончательное уравнение следующим образом:
Eq.
(6)Обратите внимание, что нам не нужно было знать эту окончательную форму, но в конце концов нам удалось ее переписать. Наконец, вы можете вернуться назад и найти формулу для мгновенного расстояния, с. Это просто означает переписывание s, но на этот раз как непрерывную функцию времени, что достигается путем интегрирования уравнения (6) по времени. Это приведет к одной из самых известных форм, в которой обычно представляются уравнения линейного движения, s = 1/2 at². Кстати, знаете ли вы, что коэффициенты регрессии также являются частными производными этой функции по переменным, которые они представляют ? Вот еще один пример:
Вывод первого закона Ньютона
Итак, предположим, что в ходе ваших исследований вы заметили, что импульс P объекта, скажем, камня, катящегося с холма, является функцией его массы и скорости, но вы не знаете наверняка, что P=mv — это окончательная форма, которую мы хотим получить . Затем вы будете следовать той же процедуре, чтобы прийти к утверждению, что:
Если P является функцией m и v , а m и v являются функциями другой переменной t , то P также должно быть функцией 1 0 t .
На самом деле, есть более распространенное название для преобразования таких утверждений в математические формулы . Это называется цепным правилом . Даже не записывая дифференциалы, можно сразу написать следующее:
Уравнение (7) Затем вы переходите к следующему шагу — регрессионному анализу. Будет еще лучше, если вы привыкли к некоторым правилам исчисления, в этом случае правило произведения дифференцирования немедленно даст вам отношение между P , m и v , в этом случае импульс должен быть задан как : Р = мн. Как видите, просто представив заданные переменные в виде функций, вы можете получить ответ. Проблема, конечно, в том, что в этот момент вы не обращаете внимания на форму, которую ищете, поскольку мы предполагаем полное начало без предварительного знания уравнения, которое вы ищете. Поэтому мы предполагаем, что как только вы получите многообещающую форму, вы приступите к проведению экспериментов.
Таким образом, вы не только снижаете затраты на эксперименты, но и ускоряете свой рабочий процесс, тем самым сокращая время, затрачиваемое на проект в целом.
Замените частные производные коэффициентами β и перейдите к размерному анализу. Вы поймете, что LHS не что иное, как сила, F . Это означает, что во всем, что мы делаем, правая шкала также должна давать единицы, эквивалентные единицам силы, то есть кгм/с². Итак, мы обновляем уравнение. (7) следующим образом:
экв. (8)Затем вы можете легко определить единицы измерения каждого коэффициента β, применив правило, согласно которому единицы измерения с обеих сторон должны совпадать. Первый коэффициент должен иметь единицы скорости, а второй должен быть массой, поэтому полуокончательная форма может быть записана следующим образом:
Уравнение (9) Приведенная выше система представляет первый закон движения Ньютона с учетом изменения массы. Обычно это происходит, когда вы пытаетесь представить систему, в которой масса уменьшается или увеличивается по мере движения объекта, например катящегося по склону шара ледника или снега.
Он может накапливать больше массы или отрываться, и, таким образом, вы должны скорректировать знаки в уравнении. (9) соответствующим образом. Я бы сравнил это с ракетой, поскольку топливные баки выбрасываются, когда они заканчиваются, но это излишнее излишество, которое может отпугнуть большинство читателей.
Итак, давайте остановимся на снеге, ледниках или камнях, которые являются объектами, которые мы все знаем и с которыми можем иметь дело. В случае, если не происходит никакого изменения массы, уравнение (9) еще больше упрощается до той формы, о которой знает большинство из нас: F = ma . Это означает, что вы игнорируете член с dm/dt , устанавливая его равным нулю и заменяя dv/dt производной уравнения. (6) по времени.
Фото Уилла Тернера на Unsplash Теперь, в качестве заключительного замечания, я, возможно, не создал здесь новое уравнение, но это возможно, и я утверждаю, что мне приходилось создавать одно или два совершенно новых уравнения в прошлом, когда это было совершенно необходимо.
Я призываю вас попробовать это в своей повседневной жизни, и вы получите множество нюансов. В математике скрыта скрытая красота, которая может одновременно удивлять и радовать. Может быть, и правда, что где число, там и красота — «Прокл 9».0003
Это эссе является частью серии рассказов на темы, связанные с математикой, опубликованных в Cantor’s Paradise, еженедельном издании Medium. Спасибо за чтение!
Вывод физических формул – CoolGyan
Здесь представлены некоторые важные выводы физических формул. Выводы физических формул даны в подробной форме, чтобы учащиеся могли более четко понять концепцию. Физика – это область науки, наполненная различными интересными понятиями и формулами. Учащиеся должны детально понимать вывод всех физических формул, чтобы преуспеть в предмете.
Проверьте список формул вывода по физике, приведенный ниже.
List of Derivations of Physics Formulas
| Stokes Law Derivation | Law of Conservation of Momentum Derivation |
| Kinetic Gas Equation Derivation | Bending Equation Derivation |
| Derivation Of Moment Of Инерция | Получение эффекта Комптона |
| Adiabatic Process Derivation | Hall Effect Derivation |
| Derivation Of Phase Rule | Terminal Velocity Derivation |
| Maxwell Boltzmann Distribution Derivation | Derivation of Prism Formula |
| Young Double Вывод эксперимента со щелями | Вывод формулы объемного модуля |
| Вывод силы Кориолиса | Orbital Velocity Derivation |
| Darcy Weisbach Equation Derivation | One Dimensional Wave Equation Derivation |
| Kinetic Theory Of Gases Derivation | Amplitude Modulation Derivation |
| Derivation Of Reynolds Number | Вывод теоремы об энергии работы |
| Вывод уравнения теплопроводности | Вывод формулы изготовителя линз |
| Lorentz Transformation Derivation | Derivation Of Kinetic Energy |
| Van der Waals Equation Derivation | Derivation Of Mirror Formula |
| Drift Velocity Derivation | Derivation Of Schrodinger Wave Equation |
| Вывод формулы линзы | Вывод центростремительного ускорения |
| Derivation of Potential Energy | Derivation Of Continuity Equation |
| Doppler Effect Derivation | Derivation Of Equation Of Motion |
| Time Period of Simple Pendulum Derivation | Derivation of Escape Velocity |
| Вывод уравнения кручения | Вывод закона Ламберта Бера |
Преимущества вывода физических формул
- Вопросы, связанные с выводом формул, часто встречаются практически при любом медицинском осмотре.
