Как взять частную производную – .

1)  Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные)

Решение

Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:

.

Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:

.

2)  Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом

Решение

Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

;

,

,

; .

Подставляя в формулу , найдем

.

Ответ:

3)  Исследовать на максимум и минимум следующую функцию ,

Решение

Найдем частные производные и :

,

.

Решим систему уравнений Которая в данном случае примет вид:

Решения и не удовлетворяют условию

Получили точку возможного экстремума:

Определим частные производные второго порядка:

, , .

Найдем значение в точке :

, , .

Тогда . и функция в точке имеет экстремум.

Так как , то в точке функция имеет минимум и .

Ответ: т. – точка минимума,

4)  Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ,

Решение

Функция непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.

Найдём все решения системы уравнений:

Имеем

Все решения находятся в области

Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:

На границе области

А) . Отсюда

Б) . Отсюда ,

С) . Отсюда

D) . Отсюда ,

Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .

Выберем наибольшее и наименьшее значения:

5)  Найти условные экстремумы функции при

Решение

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет единственное решение

Далее

Найдём дифференциал второго порядка в точке :

Тогда

Из уравнения ограничения

При поэтому функция в точке имеет условный минимум,

Ответ: в точке имеет условный минимум,

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

12. Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в некоторой областиD

частную производную по одной из переменных(она называется также частной производной первого порядка). Тогда эта производная, сама являясь функцией тех же переменных, может иметь в некоторой точкеDчастные производные по той жеили по любой другой переменной. Для исходной функцииэти производные будут ужепроизводными второго порядка (иливторыми частными производными). Производнаявторого порядка функции по аргументамив точке
обозначается одним из следующих символов:

Если , точастная производная второго порядка называется смешанной. Если , то частная производная второго порядка обозначается

Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т.д.

Следует отметить свойство смешанных частных производных:

Теорема. Если в точкеDсмешанные частные производныеи

непрерывны, то они равны между собой в этой точке, т.е.

,

или значение смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование.

Это свойство верно и для смешанных производных любого порядка.

Теорема. Если функция определена в некоторой областиDи имеет в этой области всевозможные частные производные до го порядка включительно инепрерывные в Dсмешанные производные го порядка, то значение любой той смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для этой функции мы нашли раньше, рассматривая пример 1:

Найдем теперь частные производные от частных производных первого порядка, получим тем самым частные производные второго порядка заданной функции:

На примере убеждаемся, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому в дальнейшем будем находить только одну из них.

13. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция определена в некоторой областиD и имеет в этой области непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она имеет и полный дифференциал

:

,

который, в свою очередь, является некоторой функцией от тех же переменных. Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для функции , то в этом случае функциябудет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно будет говорить о дифференциале от этого дифференциала:, который называетсядифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции и обозначается.

Замечание. Приращения при этом рассматриваются какпостоянные и остаются одними и теми же

при переходе от одного дифференциала к следующему. Следовательно, дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю, т.е.

,. (7)

Поэтому, применяя правила дифференцирования и помня о равенстве смешанных производных по одному и тому же набору переменных, получим:

Здесь и далее ,.

Аналогично определяются дифференциалы третьего ,четвертого и т.д.порядков.

Если определен дифференциал го порядка, то дифференциалго порядка определяется как полный дифференциал от дифференциалаго порядка:

.

Сложность выражения для дифференциала зависит как от количества переменных, так и от его порядка. Поэтому проще запомнить символическое равенство

,

которое нужно понимать следующим образом: сначала многочлен, стоящий в скобках, формальнопо правилам алгебры возводится в степень, затем все полученные члены «умножаются» на, т.е.

дописывается в числителе каждой дроби при, а после этого всем символам возвращается их значение производных и дифференциалов.

Например, если , то

т.е.

(8)

таким образом,

(9)

и т.д.

Пример 6. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Для нахождения дифференциалов функции воспользуемся свойствами дифференциала, выраженными формулами (6) (дифференциал суммы, разности, произведения двух функций и т.д.) и определением дифференциала второго, третьего и т.д. порядков:

Теперь дифференцируем полученное выражение, помня, что дифференциалы независимых переменных есть константы, т.е. дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю (см. формулу (7)):

Дифференцируя третий раз, применяя те же правила, получим:

Здесь

.

Для дифференциалов второго и третьего порядка данной функции мы получили бы те же самые выражения, если бы воспользовались для их нахождения формулами (8) и (9), т.е. если бы сначала нашли все частные производные нужных порядков, а потом подставили их в эти формулы. Проверьте и сравните.

Из полученных выражений для дифференциалов заданной функции мы можем теперь записать выражения для частных производных этой функции любого порядка, по любым независимым переменным, сопоставляя полученное с формулами (8) и (9), например:

,

, .

Пример 7. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Так как все частные производные данной функции по переменной, начиная со второй, равны нулю, то здесь легко сразу воспользоваться формулами (3) и (4):

.

studfiles.net

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.

Как уже отмечали, что производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные, так называемые повторные, производные по

x, и y или смешанные частные производные.

Так, частные производных второго обозначаются следующим образом:

или ; или ;

или ; или ;.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции z=f(x, y) имеем:

, Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

 

Дифференцируя и по переменным х и y, получим

,

;

;

.

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называютсявторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx , zyy’ , zxy или. Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная . Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности

вычислялись частные производные по x и по y.

 


Похожие статьи:

poznayka.org

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *