Как взять частную производную – .

1)  Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные)

Решение

Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:

.

Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:

.

2)  Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом

Решение

Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

;

,

,

; .

Подставляя в формулу , найдем

.

Ответ:

3)  Исследовать на максимум и минимум следующую функцию ,

Решение

Найдем частные производные и :

,

.

Решим систему уравнений Которая в данном случае примет вид:

Решения и не удовлетворяют условию

Получили точку возможного экстремума:

Определим частные производные второго порядка:

, , .

Найдем значение в точке :

, , .

Тогда . и функция в точке имеет экстремум.

Так как , то в точке функция имеет минимум и .

Ответ: т. – точка минимума,

4)  Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ,

Решение

Функция непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.

Найдём все решения системы уравнений:

Имеем

Все решения находятся в области

Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:

На границе области

А) . Отсюда

Б) . Отсюда ,

С) . Отсюда

D) . Отсюда ,

Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .

Выберем наибольшее и наименьшее значения:

, 

5)  Найти условные экстремумы функции при

Решение

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет единственное решение

Далее

Найдём дифференциал второго порядка в точке :

Тогда

Из уравнения ограничения

При поэтому функция в точке имеет условный минимум,

Ответ: в точке имеет условный минимум,

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

12. Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в некоторой областиD частную производную по одной из переменных

(она называется также частной производной первого порядка). Тогда эта производная, сама являясь функцией тех же переменных, может иметь в некоторой точкеDчастные производные по той жеили по любой другой переменной. Для исходной функцииэти производные будут ужепроизводными второго порядка (иливторыми частными производными). Производнаявторого порядка функции по аргументами в точкеобозначается одним из следующих символов:

Если , точастная производная второго порядка называется смешанной. Если , то частная производная второго порядка обозначается

Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т.д.

Следует отметить свойство смешанных частных производных:

Теорема

. Если в точкеDсмешанные частные производныеинепрерывны, то они равны между собой в этой точке, т.е.

,

или значение смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование.

Это свойство верно и для смешанных производных любого порядка.

Теорема. Если функция определена в некоторой областиDи имеет в этой области всевозможные частные производные до

го порядка включительно инепрерывные в Dсмешанные производные го порядка, то значение любой той смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для этой функции мы нашли раньше, рассматривая пример 1:

Найдем теперь частные производные от частных производных первого порядка, получим тем самым частные производные второго порядка заданной функции:

На примере убеждаемся, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому в дальнейшем будем находить только одну из них.

13. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция определена в некоторой областиD и имеет в этой области непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она имеет и полный дифференциал

:

,

который, в свою очередь, является некоторой функцией от тех же переменных. Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для функции , то в этом случае функциябудет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно будет говорить о дифференциале от этого дифференциала:, который называетсядифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции и обозначается.

Замечание. Приращения при этом рассматриваются какпостоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Следовательно, дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю, т.е.

,. (7)

Поэтому, применяя правила дифференцирования и помня о равенстве смешанных производных по одному и тому же набору переменных, получим:

Здесь и далее ,

.

Аналогично определяются дифференциалы третьего ,четвертого и т.д.порядков. Если определен дифференциал го порядка, то дифференциалго порядка определяется как полный дифференциал от дифференциалаго порядка:

.

Сложность выражения для дифференциала зависит как от количества переменных, так и от его порядка. Поэтому проще запомнить

символическое равенство

,

которое нужно понимать следующим образом: сначала многочлен, стоящий в скобках, формальнопо правилам алгебры возводится в степень, затем все полученные члены «умножаются» на, т.е.дописывается в числителе каждой дроби при, а после этого всем символам возвращается их значение производных и дифференциалов.

Например, если , то

т.е.

(8)

таким образом,

(9)

и т.д.

Пример 6. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Для нахождения дифференциалов функции воспользуемся свойствами дифференциала, выраженными формулами (6) (дифференциал суммы, разности, произведения двух функций и т.д.) и определением дифференциала второго, третьего и т.д. порядков:

Теперь дифференцируем полученное выражение, помня, что дифференциалы независимых переменных есть константы, т.е. дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю (см. формулу (7)):

Дифференцируя третий раз, применяя те же правила, получим:

Здесь

.

Для дифференциалов второго и третьего порядка данной функции мы получили бы те же самые выражения, если бы воспользовались для их нахождения формулами (8) и (9), т.е. если бы сначала нашли все частные производные нужных порядков, а потом подставили их в эти формулы. Проверьте и сравните.

Из полученных выражений для дифференциалов заданной функции мы можем теперь записать выражения для частных производных этой функции любого порядка, по любым независимым переменным, сопоставляя полученное с формулами (8) и (9), например:

,

, .

Пример 7. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Так как все частные производные данной функции по переменной, начиная со второй, равны нулю, то здесь легко сразу воспользоваться формулами (3) и (4):

.

studfiles.net

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.

Как уже отмечали, что производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные, так называемые повторные, производные по x, и y или смешанные частные производные.

Так, частные производных второго обозначаются следующим образом:

или ; или ;

или ; или ;.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции z=f(x, y) имеем:

, Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

 

Дифференцируя и по переменным х и y, получим

,

;

;

.

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называютсявторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются z_xx , z_yy’ , z_xy или. Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная . Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности

вычислялись частные производные по x и по y.

 

Похожие статьи:

poznayka.org