Как взять производную: Сообщество Экспонента

2

Содержание

взять производную, пожалуйста помогите срооооочно

Помогитеее пожалуйстаааааа((((

Петя выписал на доску все положительные числа, на которые делится некоторое натуральное число N. Оказалось, что сумма двух наибольших выписанных чисел … равна 3201. Найдите все такие N. Если чисел несколько, в ответ запишите их сумму.​

В начале действий в коробке было 20 шаров трех цветов: белые, синие и красные. Если мы удвоим количество синих шаров, то вероятность вытащить белый ша … р станет на 1/25 меньше, чем была изначально. Если мы уберем все белые шары, то вероятность вытащить синий шар станет на 1/16 больше, чем вероятность вытащить синий шар в начале. Сколько белых шаров лежало в коробке?

Три золотодобытчика — Вася, Миша и Гриша — накопали по мешку золота (каждый себе). По пути домой они встретили старика Хоттабыча. Он предложил им на в … ыбор: Увеличить на 10% добычу Васи и на 20% добычу Миши; Увеличить на 10% добычу Миши и уменьшить на 10% добычу Гриши; Увеличить на 40% добычу Гриши и на 20% добычу Васи.

{2} – 25 [/te … x]имеют общие корни. Найдите сумму этих корней. Дам 30 баллов ​

%d0%b1%d1%80%d0%b0%d1%82%d1%8c%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b8%d0%b7%d0%b2%d0%be%d0%b4%d0%bd%d1%83%d1%8e%20%d0%bf%d0%be — со всех языков на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

 

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАлтайскийАрабскийАварскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийКаталанскийЧеченскийЧаморроШорскийЧерокиЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийДатскийНемецкийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГалисийскийКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнгушскийИсландскийИтальянскийИжорскийЯпонскийЛожбанГрузинскийКарачаевскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийЛатинскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийМонгольскийМалайскийМальтийскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПуштуПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийРусскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиТамильскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВодскийВьетнамскийВепсскийИдишЙорубаКитайский

Производная в физике

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Ж.Даламбер

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.
Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Установление межпредметных связей в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.
В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.


Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, развития техники, но если он не показывает, как физика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении её проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

  • о разыскании касательной к произвольной линии;
  • о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг.

) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввел в1797 году Ж. Лагранж (1736-1813).
И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой.

Некоторые применения производной в физике

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Таким образом,

Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 по определению, нужно:

Рассмотрим несколько физических задач, при решении которых применяется эта схема.

Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения. Материальная точка движется по координатной прямой. Координата х этой точки есть известная функция

x(t) времени t. За промежуток времени от t0 до t0 + перемещение точки равно x(t0 + )x(t0) – а её средняя скорость такова: .
Обычно характер движения бывает таковым, что при малых , средняя скорость практически не меняется, т.е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при  стремится к некоторому вполне определённому значению, которое называют мгновенной скоростью
v(t0)
материальной точки в момент времени t0.

Итак,

Но по определению
Поэтому считают, что мгновенная скорость в момент времени t0

Коротко говорят: производная координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

Задача о теплоемкости тела

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры t, до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t0 до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение  есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается сср.
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры Т, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t0 (в данной точке t0).
Теплоемкостью при температуре t0 (в данной точке) называется предел

Коротко говорят: производная от количества тепла, получаемого телом, по температуре есть теплоемкость.

Задача о линейной плотности стержня

Рассмотрим неоднородный стержень.

Стержень называют неоднородным, если на два участка одинаковой длины приходятся различные массы.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность  масса стержня есть функция его длины х.

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Коротко говорят: линейная плотность стержня в точке есть производная массы по длине.

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам. Некоторые из них приведены в таблице.

Практические задания:

№1.

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t2 + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

№2.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

№3.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0o до toС, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t2 + 0,0000003t3. Вычислите теплоемкость воды, если t = 100o.

№4.

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t2 (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

№ 5.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t2 – 4t4 (м), при t = 3 с.

№ 6.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t2 + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Заключение

Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел и назвали производной функции.

Итак, на ряде примеров мы показали, как различные физические процессы описываются с помощью математических задач, каким образом анализ решений позволяет делать выводы и предсказания о ходе процессов.
Конечно, число примеров такого рода огромно, и довольно большая часть из них вполне доступна интересующимся учащимся.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Список литературы :

  1. Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
  2. Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: Просвещение,1996.
  3. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Функция, её предел и производная. – М: Просвещение, 1969.
  4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М: Просвещение, 2010.
  5. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. – М: Учпедгиз, 1963.
  6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч.1 – М: Наука, 1955.
  7. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, ч.1 – М: Наука, 1987.

определение, как найти, примеры решений. Как найти производную от дроби

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f”(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1’ = / cos? (x) = / cos? (x) = / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. (-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.

Вычисление производной – одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:
  • Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена “шпаргалка” основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)” = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).


4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|” = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)”= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)” = 2x
(x 3)” = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)” = – 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)” = (x -1)” , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)” = -1x -2 = – 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)” = – c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)” = – 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)” = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)” = (х 1/2)” значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)” = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)” = 1 / (n n √x n-1)

Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X .

По определению производной

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1 . Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.

Пример.

Найти производную функции , где a – положительное действительное число.

Решение.

А теперь по порядку.

Первое слагаемое .

Второе слагаемое

Третье слагаемое

Собираем все вместе:

4. Вопрос.Производные Основных элементарных функций.

Задание. Найти производную функции

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

Ответ.

5.Вопрос.Производная сложной функции примеры

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция u=φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную u′x=φ′(x0), 2) функция y=f(u) имеет в соответствующей точке u0=φ(x0) производную y′u=f′(u). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций f(u) и φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

или, в более короткой записи: y′x=y′u⋅u′x.

В примерах этого раздела все функции имеют вид y=f(x) (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной x). Соответственно, во всех примерах производная y′ берётся по переменной x. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной x, часто вместо y′ пишут y′x.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

Пример №1

Найти производную функции y=ecosx.

Решение

Нам нужно найти производную сложной функции y′. Так как y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Чтобы найти производную (ecosx)′ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае u=cosx. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения cosx вместо u:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Теперь нужно найти значение выражения (cosx)′. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя u=x в формулу №10, имеем: (cosx)′=−sinx⋅x′. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Так как x′=1, то продолжим равенство (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Итак, из равенства (1.3) имеем: y′=−sinx⋅ecosx. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : y′=−sinx⋅ecosx.

Пример №2

Найти производную функции y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Решение

Нам необходимо вычислить производную y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Теперь обратимся к выражению (arctg12(4⋅lnx))′. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. В эту формулу подставим u=arctg(4⋅lnx) и α=12:

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2)

Примечание: показать\скрыть

Теперь нужно найти (arctg(4⋅lnx))′. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Немного упростим полученное выражение, учитывая (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Равенство (2.2) теперь станет таким:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Осталось найти (4⋅lnx)′. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Для того, чтобы найти (lnx)′ используем формулу №8, подставив в нее u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Так как x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

Ответ : y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Пример №3

Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Решение

Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′

Продолжим равенство (3. 1), используя полученный результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Ответ : y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.

Пример №5

Найти y′, если y=arcsin2x.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Ответ : y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Пример №6

Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Ответ : y′=21⋅ctgx.

Пример №7

Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Решение

6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

Используя производную степенной функции:

2. Шаги и учебное пособие – видео и стенограмма урока

Шаги по использованию правила мощности

Шаг 1. Определите, какое у нас значение n для использования правила мощности. В случае x 2 n равно 2.

Шаг 2: Упростите показатель степени вашего решения.

Решение

Мы находим, что производная x 2 равна 2 x .

Проверка вашей работы

Чтобы проверить нашу работу, мы можем взять неопределенный интеграл, также известный как первообразная 2 x . Хотя в предыдущем разделе нам нужно было использовать только одно правило для дифференциации x 2, использование неопределенного интеграла 2 x фактически потребует двух разных правил.

Первое необходимое нам правило расскажет, как интегрировать функцию ( f (x) ), умноженную на константу ( c ).

В случае 2 x ; наша функция – x , а наша константа – 2.

Теперь мы можем приступить к использованию нашего второго правила. Чтобы решить неопределенный интеграл x , нам нужно использовать правило мощности для интегрирования .

Мы можем использовать это правило для x , даже если кажется, что оно не возведено в степень, потому что x = x 1. Таким образом, наше значение n для этого правила фактически равно 1.

При выполнении этого неопределенного интеграла вы получите некоторую константу c , добавленную в конец вашего уравнения. Когда константа c равна нулю, мы обнаруживаем, что ответ на этот интеграл совпадает с функцией начальной производной, полученной ранее в уроке.

Это означает, что наш исходный ответ 2 x для производной x 2 был правильным.

Найти первую производную функции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Производная полинома – Бесплатная математическая справка

Взяв производную:

Самый простой способ понять производную – это формула для определения наклона кривой. 2 + 1 + 0 \)

Вот и все, что нужно для вычисления производной многочлена!

Цепное правило – подход к исчислению

7

Производная функции от функции

Цепное правило

Доказательство цепного правила

Производная функции от функции

Пусть

f ( x ) = x 5 и г ( x ) = x 2 + 1.

Если теперь мы позволим g ( x ) быть аргументом f , то f будет функцией g .

f ( г ( x )) = ( x 2 + 1) 5 .

(Тема 3 Precalculus.)

Какая производная от f ( g ( x ))?

Во-первых, обратите внимание, что

d f ( x )
dx
= 5 x 4 .

То есть: производная f по аргументу (который в данном случае составляет x ) равна 5-кратной четвертой степени аргумента.

Это означает, что если g – или любая переменная – является аргументом f , применяется та же форма :

d f ( g )
dg
= 5 г 4 .
d f ( h )
dh
= 5 ч 4 .
d f ( v )
dv
= 5 v 4 .

Другими словами, мы действительно можем взять производную функции аргумента только по этому аргументу.

Следовательно, поскольку g = x 2 + 1,

d f ( g )
dg
= 5 г 4 = 5 ( x 2 + 1) 4 .

Затем производная g равна 2 x . То, что называется цепным правилом, гласит следующее:

df ( г ( x ))
dx
= df ( г )
dg
· dg ( x )
dx

“Если f является функцией g и g является функцией x ,

, то производная f относительно x
равна производной f ( g ) относительно g
раз больше производной g ( x ) относительно до x

Следовательно, согласно цепному правилу производная от

( x 2 + 1) 5

это

5 ( x 2 + 1) 4 · 2 x .

Примечание: In ( x 2 + 1) 5 , x 2 + 1 – это «внутри» 5-й степени, то есть «снаружи». Берем производную снаружи внутрь.Когда мы берем внешнюю производную, мы не меняем то, что находится внутри. Затем мы умножаем на производную того, что находится внутри.

Чтобы решить, какая функция является внешней, решает, какую из них вы должны оценить последний .

Оценить

( x 2 + 1) 5 ,

, вам сначала нужно оценить x 2 + 1. Затем вы должны взять его 5-ю степень.Таким образом, пятая сила находится снаружи. Вот почему мы сначала берем эту производную.

Когда мы пишем f ( g ( x )), f выходит за пределы g . Сначала возьмем производную f по g .

Пример 1. f ( x ) = . Какая его производная?

Решение .Это имеет вид f ( g ( x )). Какая функция у f , то есть что снаружи, и что у g , что внутри?

g равно x 4 – 2, потому что это внутри функции квадратного корня, которая равна f . Производная квадратного корня приведена в примере урока 6. Для любой аргумент g функции квадратного корня,

Здесь г равно x 4 – 2.Следовательно, поскольку производная x 4 -2 равна 4 x 3 ,

d
dx
= ½ ( x 4 – 2) −½ · 4 x 3 = 2 x 3 ( x 4 – 2) −½ .

Пример 2.Какова производная от y = sin 3 x ?

Решение . Это 3-я степень греха x . Чтобы решить, какая функция находится снаружи, как бы вы это оценили?

Сначала вы оцените sin x , а затем возьмете его 3-ю степень. sin x находится внутри третьей степени, которая находится снаружи.

Теперь производная 3-й степени – г 3 – 3 г 2 . Следовательно, принимая на данный момент, что производная sin x равна cos x (Урок 12), производная sin 3 x – снаружи внутрь – равна

3 sin 2 x · cos x .

Пример 3. Какая производная от 1
x 3 + 1
?
Решение . x 3 + 1 находится внутри функции 1
x
= х -1 ,

, производная которого равна – x −2 ; (Задача 4, Урок 4). Итак, у нас есть

1
x 3 + 1
= ( x 3 + 1) -1 .

Следовательно, его производная –

– ( x 3 + 1) −2 · 3 x 2

Пример 4. Предположим, что y является функцией x . y = y ( x ). Примените цепное правило к

Решение . dy 2
dx
= dy 2
dy
· dy
dx
= 2 л dy
dx
.

y , который, как мы предполагаем, является функцией x , находится внутри функции y 2 . Производная y 2 по отношению к y равна 2 y . Что касается производной от

y относительно x , мы указываем это как dy
dx
.(См. Урок 5.)

Задача 1. Вычислить производную от ( x 2 −3 x + 5) 9 .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

9 ( x 2 −3 x + 5) 8 (2 x – 3)

Проблема 2.Вычислите производную от ( x 4 -3 x 2 + 4) 2/3 .

2/3 ( x 4 – 3 x 2 + 4) −1/3 (4 x 3 – 6 x )

Задача 3. Вычислить производную sin 5 x .

5 sin 4 x cos x

Проблема 4.Вычислить производную sin x 5 .

Внутренняя функция – x 5 – вы бы оценили это последнее. Внешняя функция – sin x . (Это синус x 5 .) Следовательно, производная равна

cos x 5 · 5 x 4 .

Задача 5. Вычислить производную sin (1 + 2).

cos (1 + 2) х −1/2 .

Задача 6. Вычислить производную

¼ (sin x ) −3/4 cos x .

Пример 5. Более двух функций. Цепное правило может быть расширено до более чем двух функций. Например, пусть

f ( x ) = .

Внешняя функция – это квадратный корень. Внутри это (1 + 2-я степень). А внутри – sin x .

Следовательно, производная –

½ (1 + sin 2 x ) −1/2 · 2 sin x · cos x = sin x cos x
.
Задача 7. Вычислить производную

(Сравните Пример 3.)

– [sin ( x 2 + 5)] −2 · cos ( x 2 + 5) · 2 x = 2 x cos ( x 2 + 5)
sin 2 ( x 2 + 5)
Проблема 8.Вычислить производную от

Задача 9. Предположим, что y является функцией x , и применим правило цепочки, чтобы выразить каждую производную относительно x .

а) d
dx
y 3 = 3 y 2 dy
dx
б) d
dx
sin y = cos y dy
dx
в) d
dx
= ½ y −½ dy
dx

Доказательство цепного правила

Чтобы доказать цепное правило, вернемся к основам. Пусть f является функцией g , которая, в свою очередь, является функцией x , так что у нас есть f ( g ( x )). Затем, когда значение g изменится на величину Δ g , значение f изменится на величину Δ f . У нас будет соотношение

Опять же, поскольку г является функцией x , тогда, когда x изменяется на величину Δ x , г изменится на величину Δ г .У нас будет соотношение

Но изменение x влияет на f , потому что оно зависит от g . У нас будет

Δ f
Δ x
. Это будет произведение этих соотношений:
Δ f
Δ x
= Δ f
Δ г
· Δ г
Δ x
.

Давайте теперь возьмем предел, поскольку Δ x приближается к 0. Тогда изменение в g ( x ) – Δ g – также приблизится к 0. Следовательно, начиная с предел a продукт равен произведению пределов (Урок 2), и по определению производной:

df
dx
= df
dg
· dg
dx

Это цепное правило.

Следующий урок: правило частного

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Вторые производные

Вторая производная явной функции

Пусть функция \ (y = f \ left (x \ right) \) имеет конечную производную \ (f ‘\ left (x \ right) \) в некотором интервале \ (\ left ({a, b} \ справа), \) i. {\ prime \ prime} _ {xx}} = \ frac {{{\ left ({{y’_x}} \ right)} ‘_ t}} {{{x’_t}}}.2 x $$ $$ (Ax + B) (Ax + B) $$ $$ A (Ax + B) + (Ax + B) A = 2A (Ax + B) $$ $$ g (x) \ cdot h (x) $$ ?

Вы догадались? Сравните свой результат с правилом продукта, изложенным ниже.

Производная произведения двух функций – это производная первой функции, умноженная на вторую, плюс первая, умноженная на производную второй.

Математически $$$ f (x) = g (x) h (x) \ Rightarrow f ‘(x) = g’ (x) h (x) + g (x) h ‘(x) $$$

Еще несколько примеров:

$$ f (x) = 5x $$

Мы хотим получить предыдущее выражение, поэтому нам нужно распознать функции $$ g (x) $$ и $$ h (x) $$, которые должны позволить нам использовать правило продукта. В этом случае $$ g (x) = 5 $$ и $$ h (x) = x $$. 2 $$

Мы можем взять, что $$ g (x) = x $$ и $$ h (x) = x $$, и использовать правило произведения.

Тогда, $$$ f ‘(x) = 1 \ cdot x + x \ cdot 1 = 2x $$$ Очевидно, результат такой же, как и тот, который мы уже знали.

Учебное пособие по

calc

Большинство школ требует, чтобы учащиеся имели графический калькулятор TI. к тому времени, когда они достигнут исчисления. Таким образом, учебник по калькулятору будет охватывать основы производных на калькуляторах серии TI.

TI-82, TI-83, TI-83 Plus, TI-83 Silver

Чтобы оценить производную функции в известной точке:
1.Перейдите к MATH, затем 8 (это должно быть nDeriv (…)
2. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной, затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная при, затем закрытый парантез.
Пример: nDeriv (x² + 3x + 4, x, 3) берет производную x² + 3x + 4 по x, когда x = 3.

Чтобы оценить производную функции на графике:
1. Постройте график функции.
2. На экране графика нажмите 2nd TRACE (CALC), затем 6 (dy / dx).
3. На этом этапе на графике функции должен появиться значок. проследите функцию, чтобы приблизиться к значению x, по которому берется производная.
4. Нажмите ввод.
Внизу экрана появится скажем, dy / dx = какое-то число. Это число является производной при данном значении x.

TI-85, TI-85

Чтобы оценить производную функции в известной точке:
1. Нажмите 2nd, затем ÷. Это должно быть меню CALC.
2. Нажмите F2 или F3. Они должны соответствовать nDer и der1. Обе эти функции выполняют одну и ту же задачу.
3. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной, затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная при, затем закрытый парантез.
Пример: nDer (x² + 3x + 4, x, 3) берет производную x² + 3x + 4 по x, когда x = 3.
der1 (x² + 3x + 4, x, 3) принимает производную x² + 3x + 4 по x, когда x = 3.

Чтобы оценить производную функции на графике:
1. Постройте график функции.
2. Нажмите MORE, затем F1 (MATH), затем F4 (dy / dx).
3. На этом этапе на графике функции должен появиться значок. проследите функцию, чтобы приблизиться к значению x, по которому берется производная.
4. Нажмите ввод.
Внизу экрана появится скажем, dy / dx = какое-то число. Это число является производной при данном значении x.

TI-89

Чтобы оценить производную функции в известной точке:
1. Нажмите 2-ю, затем 8. ( d )
2. Введите функцию для получения производной от использования x в качестве переменной, затем запятая, затем x, затем запятая, затем значение x для оценки функции производная при, затем закрытый парантез.
Пример: d (x² + 3x + 4, x, 3) принимает производную x² + 3x + 4 по x, когда x = 3.

Чтобы оценить производную функции на графике:
1.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *