Какие матрицы можно складывать: Как складывать матрицы разных размеров. Действия с матрицами

Содержание

2 на 2 и 3 на 3, когда это возможно, можно ли разной размерности

Мы уже знаем, что матрица – это объект, который представляет собой совокупность взаимосвязанных строк (m) и столбцов (n). С ней можно проводить различные действия, от обычного вычитания до транспортирования. Разберёмся с самой простой матричной операцией – сложением.

Сложение матриц — теория

Сложение матриц – это алгоритм вычисления новой матрицы С при помощи попарного суммирования соответствующих элементов матриц А и В.

Формула:

\(с_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)

где i – номер строки, а j – номер столбца.

 

То есть, чтобы получить, например, элемент \(с_{11}\), нужно сложить \(а_{11}\) и \(b_{11}\). 

Когда это возможно, можно ли складывать матрицы разной размерности

Как сложение, так и вычитание матриц возможно только в том случае, когда они равны по размеру.

 

Также подметим, что нельзя складывать матрицы с обычными целыми числами и дробями.

Порядок элементов в таблице менять нельзя.

Экономический смысл сложения матриц

Матрица имеет прикладное значение, так как часто используется в экономике для систематизации информации и облегчения вычислений. К примеру, с помощью неё можно предоставить отчёт о продажах:

 

Пусть \(х_{ij}\) – это количество определённого товара, проданного в определённом магазине за первый год. Матрица У – отчёт о продажах за второй год. Тогда, чтобы посчитать сумму продаж за оба года, нужно сложить отчёты Х и У.

Свойства операции сложения матриц

Свойств немного, и все они легки для запоминания:

  1. Свойство коммутативности: AB = B + A.
  2. Свойство ассоциативности: (AB) + CA + (B + C).
  3. Свойство дистрибутивности: (AB) * CAC + BC
    .

При сложении А с нулевой матрицей 0, у которой все элементы равны нулю, исходная матрица не меняется:

А + О = А

При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю:

А + (-А) = О

Примеры с решением на нахождение суммы матриц

Задача №1

Даны слагаемые:

 

Найти: С

Решение

\(с_{11} = а_{11} + б_{11} = 2 + 1 = 3\)

\(с_{12} = а_{12} + б_{12} = 3 + (-3) = 0\)

\(с_{21} = а_{21} + б_{21} = (-1) + 2 = 1\)

\(с_{22} = а_{22} + б_{22} = 4 + 5 = 9\)

Ответ:  

 

Задача №2

Даны слагаемые:

 

Найти: С

Решение: так как матрицы разного размера (А = 2 × 3; В = 3 × 2), данная операция невозможна.

Ответ: нет решения.

Не справляетесь с заданиями по учебе? Обращайтесь в ФениксХелп за помощью!

Сложение матриц – Энциклопедия по экономике

Таким образом, сложение матриц сводится к сложению соответствующих элементов матриц-слагаемых. Не все матрицы можно складывать, а только матрицы одинакового размера, и матрица-сумма будет того же размера, что и матрицы-слагаемые. В этом случае говорят, что матрицы согласованы для сложения.  [c.378]

Сложение матриц обладает обычными свойствами аддитивности и коммутативности  [c.378]

Вычитание матриц также сводится к вычитанию соответствующих элементов матриц. Как и в случае сложения матрицы должны быть согласованы для действия вычитания, т. е. должны иметь одинаковый размер.  [c.379]

Предложение. Операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам  [c.489]

С перечисленными выше операциями связаны некоторые законы матричной алгебры. Так, сложение матриц ассоциативно, если матрицы согласованы для сложения. Операция умножения матриц также ассоциативна, если только матрицы согласованы для умножения. Сложение матриц коммутативно в том случае, если матрицы согласованы для сложения. Операции с матрицами удовлетворяют требованиям дистрибутивного закона А(В + Q =AB +A в том случае, если матрицы В и С согласованы для сложения, а матрицы А и В согласованы для умножения.

В общем случае умножение матриц не коммутативно. В трех случаях умножение матриц коммутативно — при умножении матрицы на нулевую матрицу, при умножении матрицы на диагональную матрицу, при умножении матрицы на скалярную величину.  [c.10]

Из правил сложения матриц и умножения матрицы на скаля – следует А – В = [al – btj].  [c.76]

След матрицы 80 Сложение матриц 75 Случайная переменная 20 Смешанные оценки 219 Собственные векторы 105  [c.441]

Умножение матрицы на число и сложение матриц  [c.53]

Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц(Л,5, С”—матрицы, k, I—числа)  [c.53]

Операции сложения и умножения блочных матриц проводятся по правилам соответствующих операций над матрицами, если заменить их элементы блоками  [c.275]

Таким образом, модель B G представляет собой матрицу 2×2, на которой области бизнеса изображаются окружностями с центрами на пересечении координат, образуемых соответствующими темпами роста рынка и величинами относительной доли фирмы на соответствующем рынке (рис.

7-2). Каждая нанесенная на матрицу окружность отражает только одну область бизнеса, характерную для исследуемой фирмы. Величина окружности пропорциональна общему размеру всего рынка или, иными словами, учитывается не только размер бизнеса у конкретной фирмы, а вообще его размер как отрасли в масштабах всей экономики. Чаще всего этот размер определяется простым сложением бизнеса фирмы и соответствующего бизнеса ее конкурентов. Иногда на каждой окружности (бизнес-области) выделяется сегмент, характеризующий относительную долю бизнес-области фирмы на данном рынке, хотя для получения стратегических выводов в данной модели это необязательно. Размеры рынка, как и бизнес-области, чаще всего оцениваются по объемам продаж, а иногда и по стоимости активов.  [c.174]

Основными матричными операциями являются умножение матрицы на число, сложение и перемножение двух матриц.  [c.54]

Матрицы сложение и умножение  [c.23]

МАТРИЦЫ СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ  [c.23]

Пусть число вершин в S равно п. Определим последовательность матриц Гт = у /0 (т = 1. …. п + 2) с помощью следующего рекуррентного соотношения Гт (-1 =. = Tm-Qm (операции сложения при умножении матриц — булевы), где Qm = qTf ,  [c.35]

Матрицы складываются друг с другом посредством сложения каждого элемента из одной матрицы с соответствующим элементом другой матрицы. Вычитание матриц достигается вычитанием каждого элемента второй матрицы из соответствующего элемента первой. В обобщенном виде это записывается так  [c.303]

Далее исходная матрица должна быть преобразована в единичную через сложение, вычитание, умножение или деление каждой строки. Когда матрица слева превратится в единичную, матрица, полученная справа, будет представлять собой обратную к исходной матрице. Это показано ниже.  [c.305]

Назовем эту таблицу для краткости таблицей выигрышей и обозначим ее буквой S, что понадобится нам при дальнейшем изложении. В математике таблицы чисел называются матрицами и над ними определены операции сложения, вычитания, умножения и транспонирования.

Нам понадобятся только операции вычитания (сложения) и транспонирования матриц.  [c.15]

Сложение и вычитание матриц  [c.377]

Аддитивность А + В = В + А, т. е. матрицы согласованные для сложения можно складывать в любом порядке.  [c.378]

Коммутативность А + (В + С) = (А + В) + С, т. е., как и в обычной алгебре, можно вначале сложить матрицы В и С, а затем прибавить к ним А, или же вначале сложить А и В, а к ним прибавить С. Результат же сложения будет один и тот же.  [c.378]

Отметим, что матрицы S и S всегда согласованы для вычитания (сложения), поскольку при. транспонировании размер квадратной матрицы не изменяется.  [c.379]

Под матрицей в математике принято понимать прямоугольную таблицу чисел, состоящую из т строк и я столбцов. Если число строк и столбцов в матрице одинаковое (т = п), матрица называется квадратной. Действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение) производятся по разработанным математикой методам матричного исчисления.  [c.506]

Суммируются объемы продажи прибылей по СЗХ, находящимся в одной фазе жизненного цикла, и результаты фиксируются в верхних ячейках клеток ( экстраполяция ) в обоих блоках матрицы — краткосрочном и долгосрочном. Производится сложение по горизонтали, и полученные суммы вписываются в последние ячейки клеток каждой строки (прогнозируемые объемы продаж и прибылей по всем СЗХ в краткосрочной и долгосрочной перспективе).  [c.267]

Графоаналитический метод трудно записать в виде программы для ЭВМ в силу трудности формализации пожелания “зачеркнуть нули минимальным количеством прямых”. Поэтому если размерность задачи большая и требуется процесс оптимизации автоматизировать, чаще всего применяют метод Мака. Он также основан на идее выбора в каждой строке минимального элемента. Чтобы распределить элементы по строкам и столбцам, здесь также используется идея сложения или вычитания одного и того же значения со всеми элементами строк или столбцов. По-прежнему будем рассматривать уже сбалансированную задачу, пользуясь понятиями “невыбранного” — Ml и “выбранного” — М2 подмножеств столбцов платежной матрицы.  [c.165]

Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры  [c.188]

Определение операций с матрицами (сложение, умножение и т. п.) следует из определения операций с линейными операторами.  [c.489]

В настоящее время в зарубежной литературе разработан алгоритм решения целочисленной задачи, но алгоритм этот очень сложен и при больших матрицах не решается на существующих ЭВМ. Подобные задачи решаются приближенным методом.  [c.252]

Оператор сложения (клавиша + ) А + В или А + х. А, В – матрицы (или векторы) одной размерности х — скаляр. Если складываются  [c.176]

Сложение двух матриц. Если А и В — две матрицы одного порядка, [c.75]

V. А (В + С) = АВ + АС и (В + С) А = ВА + СА, т. е. имеет место дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения. Элемент i/ матрицы А (В + С) равен  [c.78]

Основные операции сложения и умножения применимы также и к матрицам, подвергшимся разбиению, если процесс разбиения осуществлен подходящим образом. Например, если разбиение матрицы В порядка 3×4 имеет вид  [c.94]

М. м., с помощью к-рых моделируются последоват. звенья нар. х-ва, на основе использования правил сложения матриц образуют единый взаимосвязанный комплекс, наз. системой М. м. Так, М. м. экономики отрасли создаётся путём объединения М. м. предприятий с помощью т. п. вариантных матриц, отражающих разные технологич. варианты произ-ва продукции и услуг на разных предприятиях. Эти вариантные матрицы имеют самостоят, значение для межзаводского и межотраслевого анализа, организации нормативного х-ва отрасли. Вычитание и деление матриц обеспечивают процесс развёрстки плана отрасли по предприятиям, а представление их в виде систем линейных уравнении — применение методов математич. программирования д >я оптимального отраслевого планирования. Межотраслевые балансы экономики республики и нар. х-ва и целом могут строиться на основе объединения отраслевых матриц.  [c.421]

Определение. Суммой двух матриц А = ( iij) и В = (bij) размерностей m х п называется матрица А + В = С = (е -) размерности т х п с элементами ij = a + bij, т. е. при сложении матриц складываются соответствующие элементы.  [c.489]

I. А + В= В + А, т.е. для сложения имеет место комму тати ный закон. Матрицы А и В должны быть, конечно, одного и того я порядка. Этот закон выводится непосредственно из определени действия сложения матриц.  [c.77]

III, (А + В) 4- С = А + (В + С), т. е. для сложения матриц име ет место ассоциативный закон. Справедливость этого закона следуе из того, что сложение матриц выполняется поэлементно, а для элемек тов (чисел) не существенно, в каком порядке их складывать.  [c.77]

Расчет полных затрат весьма сложен, требует значительной вычислительной работы. Есть два основных споооЫреше-нж этой задачи, первый — подсчет кос венных затрат и их суммирование с прямыми, второй—непосредственное получение К,п,з. из матрицы коэффициентов прямых затрат с помощью операции, называемой обращением матрицы, В последнем случае решение системы уравнений МОБ приводит к матрице (таблице) коэффициентов полных затрат  [c.158]

Сложение, умножение и транспортирование матриц, основные свойства этих операций. Определение линейного оператора, его простейшие свойства. Изоморфные векторные пространства. Изоморфы евклидовых пространств. Матрица линейного оператора, ее преобразование при смене базиса. Подобные матрицы.  [c.11]

Действия с матрицами – Высшая математика

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Начнем.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:
Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:
Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:
Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу необходимо, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Пример:
Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Будет время, распишу подробнее

6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы.

Данная тема достаточно обширна, и я вынес данный вопрос на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

Матрицы сложения и вычитания

Добавление и матрицы вычитания


Матрица сложена справедливо простой, и делается по входу.

  • Добавьте следующие матрицы:

    Мне нужно добавить пары записей, а затем упростите для окончательного ответа:

    Итак, ответ:


До сих пор вы были возможность добавлять любые две вещи, которые вам нравятся: числа, переменные, уравнения, и так далее.Но сложение не всегда работает с матрицами.

  • Выполните указанные операции, или объясните, почему это невозможно.

    Так как матрицы складываются по умолчанию, я должен добавить 1 и 4, 2 и 5, 0 и 7, и 3 и 8. Но что мне добавить к 6 а к 9? В первой матрице нет соответствующих записей, которые можно добавить к этим элементам второй матрицы.Итак, ответ:

      Я не могу добавить эти матрицы, потому что они не одного размера .

Это всегда так: Чтобы можно было добавить две матрицы, они должны быть одинакового размера. Если они разного размера (если у них разные «размеры»), тогда сложение “не определено” (не делает математических смысл).


Вычитательные работы начальные, тоже.авторское право Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

  • Учитывая следующее матрицы, найти A B и А С , или объяснить почему нельзя.

    А и B одинакового размера, по 2 3 матрицы, так что я могу вычесть, рабочий начальный:

    Однако A и C не одинакового размера, так как A это 2 3 и C равно 2 2.Итак, это вычитание не определено.

      А К не определено, потому что A и C не одинакового размера.


Сложение и вычитание матриц, где определено (то есть, где матрицы имеют одинаковый размер, поэтому добавление и вычитание имеет смысл), можно превратить в домашние задания.

  • Найдите значения x и y дано следующее уравнение:

    Во-первых, упрощу левую часть немного, добавив по записи:

    Поскольку матричное равенство работает по умолчанию, Я могу сравнивать записи и составлять простые уравнения, которые я могу решить.В этом случае 1,2-записи скажите мне, что x + 6 = 7, а 2,1-элементы скажи мне, что 2 л 3 = 5. Решая, я получаю:

      х + 6 = 7
      х = 1

      2 y 3 = 5
      2 y = 2
      л = 1

Верх | Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Сложение и вычитание матриц». Purplemath . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/mtrxadd.htm . Проверено [Дата] [Месяц] 2016


Добавление матриц – Как обсудить

Добавление матриц

Какие матрицы можно складывать? Вы можете сложить две матрицы (сложение матриц) или умножить их (умножение матриц), чтобы создать новую матрицу.Другими распространенными операциями с одной матрицей являются диагонализация матрицы, инверсия матрицы и транспонирование.

Что такое матрицы сложения и вычитания?

Сложение и вычитание матриц Матрица может быть добавлена ​​(или вычтена) из другой матрицы только в том случае, если две матрицы имеют одинаковый размер. Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующую запись и поместите эту сумму в правильную позицию в результирующей матрице.

Как вычитаете матрицы?

Чтобы вычесть матрицы, вычтите каждый член в той же позиции.(Например, член в 3-й строке 1-го столбца одной матрицы вычитается из 3-й строки 1-го столбца другой матрицы. См. Следующий пример: Примечание: _ используется для хранения пробелов в матрице.

Можете ли вы перемножить матрицы 2×2?

Убедитесь, что количество столбцов в 1-м равно количеству строк во 2-м. Умножьте элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы. Добавьте товары.

Можно ли добавить одну матрицу к другой матрице?

Два массива можно добавить, только если они имеют одинаковую размерность.Их сумма получается добавлением каждого элемента одного массива к соответствующему элементу другого массива. Ниже приводится формальное определение.

Как сложить две матрицы в Excel?

Чтобы сложить две матрицы, просто добавьте соответствующую запись и поместите эту сумму в правильную позицию в результирующей матрице. Пример 1: Добавление матриц.

Какая сумма двух матриц A и B?

Сумма A + B двух матриц A, B (которые должны иметь одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов) представляет собой матрицу (также таким же образом), полученную путем сложения соответствующих элементов A и B вместе .

Каковы свойства матричного сложения?

Свойства сложения матрицы. Матричное сложение имеет те же свойства, что и более популярное реальное сложение. Предложение (свойство коммутативности) Сумма матриц коммутативна, то есть для каждой матрицы и такой, что предыдущие добавления определены осмысленным образом.

Какие матрицы можно сложить вместе для получения

Точно так же, как сложение двух или более целых чисел, вы можете добавить два или более массивов таким же образом.Это называется сложением матриц. Давайте узнаем об этом подробнее. Сложение матриц – это операция добавления двух матриц или добавления соответствующей записи для каждой матрицы.

Можно ли перемножить матрицу A и B?

Следующие ниже матрицы A и B не могут быть умножены, потому что количество столбцов в A равно количеству строк в B. В этом случае умножение этих двух матриц не определено. Следующие матрицы C и D не могут быть перемножены. Можно ли перемножить следующие две матрицы?

Как правильно перемножить две матрицы?

Ну как две матрицы перемножить?
Шаг 1 : Убедитесь, что количество столбцов 1 равно количеству строк 2.(Требуется для воспроизведения)
Шаг 2 : Умножьте элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы.
Шаг 3 : Добавьте продукты.

Можно ли складывать или вычитать матрицу?

Прямая ссылка на статью Анны «Да, матрица не возможна». Да, матрицы можно складывать или вычитать только в том случае, если они одного размера. Ответ на статью Энса «Да, матрица только возможна» был опубликован 8 лет назад.

Какие матрицы можно сложить вместе для создания

В первом массиве нет соответствующих элементов, которые можно было бы добавить к этим элементам во втором массиве. Итак, ответ: я не могу добавлять эти массивы, потому что они не одного размера.

Какой пример сложения матрицы?

Помните, что Xβ + ε, которое появляется в функции регрессии: это пример сложения матриц. Опять же, есть некоторые ограничения – вы не можете просто сложить два старых куба вместе.Два массива могут быть добавлены только в том случае, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов.

Что произойдет, если вы умножите две матрицы вместе?

Две матрицы можно перемножить, только если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. Затем, если вы перемножаете две матрицы: количество строк в результирующей матрице равно количеству строк в первой матрице, и.

Как называются записи в матрице?

Массив – это прямоугольный набор чисел, обычно называемый заглавной буквой: A, B, C, A, B, C и т. Д.Каждый элемент в массиве называется aij aij, поэтому ii представляет строку, а jj представляет столбец. Массивы часто называют мерами: m × n m × n обозначает миллиметровые строки и n n столбцов.

Когда возможно произведение двух матриц?

Возможно найти произведение двух матриц, только если внутренние размеры совпадают, что означает, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. Если это матрица, и это матрица, тогда матрица продукта является матрицей.

Зачем им нужно складывать и вычитать матрицы?

Поскольку входные данные являются числами, они могут выполнять операции с массивами. складывать или вычитать матрицы, добавляя или вычитая соответствующие записи. Для этого записи должны совпадать. Следовательно, сложение и вычитание матриц возможно только в том случае, если матрицы одинакового размера.

Что происходит при умножении двух матриц в Excel?

Тогда, если перемножить две матрицы: количество строк в результирующей матрице равно количеству строк в первой матрице, а количество столбцов в результирующей матрице равно количеству столбцов во второй матрице.Например, если A – матрица 2 × 3, а B – матрица 3 × 5, то возможно умножение AB.

Какие матрицы можно сложить вместе для завершения?

На данный момент вы можете добавить две вещи, которые хотите: числа, переменные, уравнения и т. Д. Но сложение не всегда работает с матрицами. Следуйте указанной процедуре или объясните, почему это невозможно. Поскольку матрицы добавляются путем ввода, мне нужно сложить 1 и 4, 2 и 5 и 7, а также 3 и 8.

Как умножать и складывать матрицы в алгебре?

Например, предположим, что матрицы A и B, где A – 2 × 3, а B – 3 × 3, произведение AB равно 2 × 3.Умножьте и сложите, чтобы получить первую запись в массиве продуктов AB. Чтобы получить входные данные для строки 1, столбца 1 AB, умножьте первую строку A на первый столбец B и сложите.

Когда две матрицы должны быть одинакового размера?

Два массива должны быть одинакового размера, строки должны быть одинакового размера, а столбцы должны быть одинакового размера. Пример: матрицу с 3 строками и 5 столбцами можно добавить к другой матрице с 3 строками и 5 столбцами.

Какие матрицы можно сложить вместе с помощью

Два массива можно добавить, только если они имеют одинаковое количество строк и столбцов.Чтобы добавить две матрицы позже, достаточно сложить соответствующие элементы двух матриц. Это означает: добавить запись в первую строку, первый столбец первой матрицы с записью в первой строке, первый столбец второй матрицы.

Можно ли перемножить две матрицы?

(ссылка на столбец и строку) На приведенном выше изображении матрицы можно перемножать, поскольку количество столбцов в первой матрице A равно количеству строк во второй матрице B.Матрицы A и B ниже не могут быть умножены, потому что количество столбцов в A равно количеству строк в B.

Как складывать матрицы в безграничной алгебре?

Добавлять массивы очень просто. Просто добавьте каждый элемент первого массива к соответствующему элементу второго массива. Обратите внимание, что элемент в первом массиве, 11, добавляется к элементу x11 x 11 во втором массиве, 10 10, чтобы получить элемент x11 x 11 в результирующем массиве 11 11.

Когда нужно перемножать две матрицы?

Перемножение двух матриц возможно только в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.В противном случае произведение двух матриц не определяется. Размер серии товаров: $$ стрелка вправо $$ (строки первой серии) × (столбцы второй серии).

Какая матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов?

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной матрицей. В некоторых контекстах, например в программах компьютерной алгебры, полезно рассматривать матрицу без строк или столбцов, называемую пустой матрицей. Сложение, вычитание и скалярное умножение матриц – это типы операций, которые можно использовать для изменения матриц.

Какие матрицы можно сложить, чтобы найти

Сложить и вычесть матрицы. Матрица может быть добавлена ​​(или вычтена) к другой матрице только в том случае, если две матрицы имеют одинаковый размер. Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующую запись и поместите эту сумму в правильную позицию в результирующей матрице.

Как найти произведение двух матриц?

Умножьте каждый ввод на скаляр 3. Помимо умножения матрицы на скаляр, вы также можете умножить две матрицы.Найти произведение двух матриц возможно только в том случае, если внутренние размеры совпадают, что означает, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.

Какие матрицы можно сложить вместе, чтобы помочь?

Чтобы добавить два массива: Добавьте числа в правильные позиции: Это вычисления: два массива должны быть одинакового размера, строки должны быть одинакового размера, а столбцы должны быть такого же размера. Пример: матрицу из 3 строк и 5 столбцов можно добавить к другой матрице из 3 строк и 5 столбцов.

Что нужно знать о матрицах?

С ним можно многое. Чтобы добавить два массива: Добавьте числа в нужные места: Вот вычисления: два массива должны быть одинакового размера, строки должны быть одинакового размера, а столбцы должны быть одинакового размера.

Сумма складывается или вычитается?

В математике сумма может быть определена как результат или ответ, полученный путем сложения двух или более чисел или членов. Здесь, например, сложение 8 и 5 дает в сумме 13.

Что такое матричное сложение и вычитание?

Сложение и вычитание матриц. Массивы можно складывать или вычитать только в том случае, если они одного размера, то есть они должны иметь одинаковое количество строк и столбцов. Фактически, при сложении или вычитании матриц операторы воздействуют на соответствующие элементы матриц, поэтому требуется тот же размер.

Что такое матричное сложение?

Матрица сложения. В математике сумма матриц – это сумма двух матриц, складывающих соответствующие элементы.Однако есть и другие операции, которые также можно рассматривать как своего рода матричную сумму, прямую сумму и сумму Кронекера.

Как заниматься математикой с матрицами?

Часть 2 из 4. Изучите операции для решения матричной системы. Распознайте форму матрицы решений. Прежде чем приступить к решению вашей системы уравнений, вам нужно знать, что вы хотите сделать. Используйте скалярное умножение. Первый доступный инструмент для решения матричной системы – это скалярное умножение. Используйте сложение или вычитание строк.

Для чего именно используются матрицы?

В геологии матрицы используются для проведения сейсмических исследований. Они используются для рисования графиков, статистики, а также для научных исследований и исследований практически в разных областях. Матрицы также используются для получения реальных данных, таких как численность населения, уровень младенческой смертности и т. Д.

Как работают матрицы?

Массивы представляют собой линейные карты относительно определенных оснований, так же как десятичные и шестнадцатеричные числа являются представлениями целых чисел в определенных основаниях.Операции с массивами точно определены, чтобы соответствовать соответствующим операциям в соответствующих линейных присвоениях.

Сколько существует типов матриц?

Существует несколько типов матриц, но наиболее часто используемые: Линейные матрицы. Матрица столбцов. Прямоугольная матрица. Квадратичная матрица. Диагональная матрица. скалярная матрица. Унитарная матрица.

Какова формула определителя матрицы 3×3?

Определитель матрицы 3×3 равен 21 | A 21 | до 22 | A 22 | + 23 | 23 |, если члены 22 и 23 оба равны 0, ваша формула принимает вид 21 | A 21 | 0 * | A 22 | + 0 * | A 23 | = 21 | A 21 | + = 21 | 21 |,Теперь все, что вам нужно сделать, это вычислить кофактор элемента.

Как решить матричную систему?

Существует два способа решения систем уравнений: путем подстановки и путем исключения. Это все равно работает, но иногда один метод проще другого. Но решение систем уравнений методом исключения – это процесс, основанный на использовании матриц.

Что такое единичная матрица для вычитания?

Предполагая, что речь идет о матрицах 2×2, единичная матрица для вычитания такая же, как и для сложения, а именно: (0,0) (0,0) Идентификационная матрица для умножения и деления: (1,0) (0, 1) Существуют аналогичные более крупные матрицы, состоящие из всех или всех s, кроме диагонали 1 s.

Почему они умножают матрицы?

Умножение матриц очень полезно для решения систем уравнений. Фактически, вы можете умножить матрицу на обратную ей по обе стороны от знака равенства, возможно, чтобы получить переменную матрицу с одной стороны и решение системы с другой.

Как мне умножать матрицы?

Для умножения матриц необходимо умножить элементы (или числа) в строке первой матрицы на элементы в строках второй матрицы и сложить их произведения.Вы можете умножать матрицы за несколько простых шагов, которые требуют сложения, умножения и правильного размещения результатов.

Какой лучший алгоритм умножения матриц?

Алгоритм умножения матриц – принцип Объявите переменные и инициализируйте необходимые переменные. Введите элемент массива для каждой строки, используя циклы. Проверьте количество строк и столбцов в первой и второй матрице. Если количество строк в первой матрице равно количеству столбцов во второй матрице, перейдите к шагу 6
.Умножайте массивы с помощью вложенных циклов.

Как перемножать матрицы разного размера?

Для умножения матриц,
Шаг 1 : Убедитесь, что количество столбцов 1 равно количеству строк 2. (Требуется для воспроизведения)
Шаг 2 : Умножьте элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы.
Шаг 3 : Добавьте продукты.

Когда вы складываете или вычитаете две матрицы?

Вы можете сложить или вычесть две матрицы, если они одного размера.Чтобы добавить или вычесть, добавьте или вычтите соответствующую запись и поместите результат в правильную позицию в итоговой матрице. Сложение и вычитание матриц Сложение и вычитание матриц – Пример 1 :.

Каковы критерии добавления матрицы?

Есть два основных критерия для добавления массива. Они заключаются в следующем: Рассмотрим две матрицы A и B. Эти матрицы могут быть добавлены только в том случае, если) порядок матриц одинаковый, две матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов.

Когда невозможно определить вычитание матрицы?

Вычитание матриц возможно, только если обе матрицы имеют одинаковый размер. Невозможно определить вычитания для матриц разного размера. Математически, как вы знаете, сложение и вычитание матриц проходят через один и тот же процесс, сумма матриц данной матрицы элементов записывается следующим образом:

Можно ли складывать или вычитать матрицу в реальной жизни?

Да, матрицы можно складывать или вычитать только в том случае, если они одного размера.Реакция на статью Энса «Да, матрица только возможна» была опубликована 8 лет назад. Прямая ссылка на статью Noble Cheas «Для чего нужны коврики? Я действительно не понимаю, как бы вы использовали это в реальной жизни.

Коммутативно ли вычитание матриц?

Матричное вычитание не коммутативно, потому что вам нужно вычесть две из ваших матриц член за членом и в порядке количества вычитаний.

Как мне создать матрицу в MATLAB?

Матрица MATLAB.Массив – это массив двумерных чисел. В MATLAB вы создаете массив, вводя элементы в каждой строке как числа, разделенные запятыми или пробелами, и отмечая конец каждой строки точкой с запятой.

Можно ли складывать матрицы разных размеров?

Добавьте тарелки разных размеров. Массивы (или тензоры) разных размеров могут быть добавлены к numpy и tensorflow, если форма самой маленькой матрицы является суффиксом самой большой матрицы. Это пример :.

Как вычитаете в Google Таблицах?

Вычитание использует знак минус или, как его еще называют, скрипт для формул вычитания в Google Таблицах.Если у вас есть данные, требующие формулы вычитания, используйте «для вычитания данных».

Как вычитать матрицы в Python

Чтобы вычесть две матрицы в Python, сначала выберите три матрицы. Первая матрица, вторая матрица и третья матрица (для сохранения результата вычитания в третьей / этой матрице). Во-первых, все содержимое третьего массива равно 0. Другими словами, третий массив изначально является пустым.

Как вычитать элементы матриц в Python?

Вычитание элементов из массивов В приведенном выше коде элементы были вычтены из двух массивов.Возвращает разницу между arr1 и arr2 по элементам. Внимание урод! Укрепите свои основы и изучите основы с помощью базового курса программирования Python.

Что такое матричная операция в Python с использованием NumPy?

Матричная операция с матричной операцией, которая может выполняться, – это сложение, вычитание, умножение, транспонирование, чтение строк, столбцов матрицы, деление матрицы и т. Д. Во всех примерах используется метод массива.

Есть ли способ создать матрицу в Python?

Нет простого способа реализовать массив данных в Python.В массиве Python используются массивы, и они могут быть реализованы. В Python массивы представлены типом данных списка. Теперь давайте воспользуемся списком для создания массива Python.

Какой метод умножения матриц в Python?

Чтобы умножить их, вы можете использовать метод числа точек. – точечное произведение матриц M1 и M2. управляет 2D-матрицами и выполняет матричное умножение.

Как написать матричное уравнение?

Вы можете записать любую систему уравнений в виде матрицы.Взгляните на следующую систему: Чтобы выразить эту систему в матричной форме, выполните три простых шага: Сначала запишите все коэффициенты в матрицу. Это называется матрицей коэффициентов. Умножьте эту матрицу на системные переменные, указанные в другой матрице.

Как могут быть равны две матрицы?

Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер или порядок и соответствующие элементы идентичны. Матрицы P и Q равны. Матрицы A и B не совпадают, потому что их размер или порядок различаются.вы можете использовать матричное равенство для поиска переменных.

Что означает, что матрицы коммутируют с матрицами?

Говорят, что набор матриц изменяется, когда они чередуются попарно, что означает, что каждая пара матриц в наборе чередуется друг с другом.

Как я могу инвертировать матрицу матриц?

Метод обратной матрицы Метод 1: Вы также можете найти обратную матрицу 3 × 3, найдя значение определения данной матрицы. Метод 2: Один из основных способов найти обратную матрицу – найти наименьшие значения и кофакторы элементов в данной матрице.Метод 3: Рассмотрим три матрицы X, A и B с X = AB.

Каким образом эти матрицы эквивалентны строкам?

Поскольку элементарные строковые операции обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности. Обычно обозначается тильдой (~). Аналогичное понимание эквивалентности столбцов определяется базовыми операциями с столбцами. Две матрицы эквивалентны по столбцам тогда и только тогда, когда их транспонированные матрицы эквивалентны по строкам.

Как я могу разделить две матрицы вместе python

Вы можете добавлять массивы в Python следующими способами.В этой программе они использовали вложенные циклы for для повторения каждой строки и столбца. В каждой точке он добавляет элементы, соответствующие двум массивам, и сохраняет их в результате.

Можно ли разделить две матрицы вместе?

Строго говоря, матричное деление невозможно. Но вы можете избежать этого, помня, что деление также можно рассматривать как умножение на противоположное. Например, чтобы разделить A ÷ B, они сначала находят обратное к B – 1, а затем умножают A × B – 1.

Как разделить массив в Python с помощью NumPy?

на Python. Последнее обновление: 29 ноября 2018 г. (arr1, arr2, out = None, where = True, Casting = ‘same_kind’, order = ‘K’, dtype = None): элемент первого массива заменяется элементами. разделить второй элемент (все происходит поэлементно).

Как использовать маску в Python 2?

2 Вы можете использовать маску, выбирать между случаем, когда A и B оба нуля, в противном случае генерировать 0 или деление по элементам, или импортировать деление из __future__ # Для маски Python = (A == B) & (A == 0) C = (маска, 0, A / B).

Как я могу разделить две матрицы вместе в c

Деление одной матрицы на другую является неопределенной функцией. Следующий эквивалент – умножение на обратную другую матрицу. Другими словами, пока он не установлен, вы можете решить проблему * 1.

Есть ли способ перемножить две матрицы вместе?

Проверьте, можно ли перемножить две матрицы. Чтобы перемножить две матрицы, количество столбцов в первой матрице должно соответствовать количеству строк во второй матрице.Если это не работает ни в одной из настроек (* 1 или 1 *), значит, решения проблемы нет.

Есть ли способ разделить ячейку в Excel?

В Excel нет функции РАЗДЕЛЕНИЕ. Просто используйте косую черту (/) для разделения чисел в Excel. 1. Следующая формула делит числа в ячейке.

Как рассчитать размер матрицы в Excel?

Поскольку вы умножаете строки матрицы A на столбцы матрицы B, результирующая матрица C будет 2 x 2.Или, в более общем смысле, произведение матрицы имеет такое же количество строк, что и матрица A, и такое же количество столбцов, как матрица B.

Какой второй способ умножить матрицу?

Это называется скалярным умножением. Второй вариант – умножить одну матрицу на другую матрицу. Это известно как матричное умножение. Скалярное умножение – это на самом деле очень простая матричная операция.

Может ли матрица делителей быть квадратной матрицей?

Убедитесь, что матрица расстояний квадратная.Чтобы вычислить обратную матрицу, она должна быть квадратной матрицей с тем же количеством строк и столбцов. Если матрица, которую вы хотите инвертировать, не является квадратной, у проблемы нет единого решения. Термин «матрица деления» немного расплывчат, потому что технически это не проблема деления.

Умножаете ли вы обратную матрицу на исходную?

Чтобы доказать свою работу, умножьте обратное на исходное. Если происходит обратное, произведение всегда является единичной матрицей (1001) {\ displaystyle {\\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end {pmatrix))}. Если расчет верен, перейдите к следующему разделу, чтобы решить вашу проблему.

Как я могу разделить две матрицы вместе с помощью

Посчитав обратную матрицу деления, а затем умножив матрицу деления на эту инверсию. Строго говоря, матричное деление невозможно. Но вы можете избежать этого, помня, что деление также можно рассматривать как умножение на противоположное.

Как сложить две матрицы в программе на языке Си?

Программа на языке C для сложения двух матриц с многомерными матрицами. Эта программа берет две матрицы порядка r * c и сохраняет их в двумерной матрице.Затем программа складывает две матрицы и отображает их на экране.

Как я могу разделить две матрицы вместе в таблицах Google

Если вы хотите разделить два числа в Google Таблицах (или две ячейки с числами), есть несколько способов сделать это в Google Таблицах. Использование функции РАЗДЕЛЕНИЕ Выполнение деления в Google Таблицах настолько распространено, что существует встроенная функция для разделения двух чисел или чисел на две ячейки.

Есть ли способ разбить ячейку в Google Таблицах?

К счастью, в Google Таблицах довольно легко разделить содержимое ячейки.И есть несколько способов разбить ячейки и разбить их на несколько столбцов (или строк, если ваши данные организованы в виде строки, а не столбца).

Как добавить более двух ячеек в Google Таблицы?

Я покажу вам, как складывать, используя обычные числа и ссылки на ячейки, а затем я покажу вам, как добавить более двух ячеек. Чтобы добавить что-либо в Google Таблицы, поставьте знак равенства в ячейку (=), затем введите числа или ячейки (ссылки), которые вы хотите добавить, разделенные знаком плюса (+), затем нажмите Enter.

Как делать математику в электронной таблице Google?

Выполните следующие действия, чтобы выполнить вычисления в электронной таблице Google: Введите знак равенства в ячейку (=) Введите число или ссылку на ячейку (ячейка, содержащая число) Затем используйте один из следующих математических операторов + (Плюс ), – (Минус), * (Умножить), / (Разделить) Введите другое число или ссылку на ячейку. Нажмите Ввод.

Как поднять матрицу в степень?

Увеличьте квадратную матрицу до (целой) степени n.Для положительных целых чисел n мощность вычисляется путем повторения возведения матрицы в квадрат и умножения матриц. Если n == 0, единичная матрица возвращается так же, как M. Если не <0, вычисляется обратная матрица, а затем увеличивается до абс (n).

Какое матричное умножение возможно?

Другими словами, при умножении матриц количество столбцов в левой матрице должно быть равно количеству строк в правой матрице. Например, поскольку A является матрицей 3 x 3, B должно быть 3 x m, чтобы умножить AB, где m может быть любым количеством столбцов.

Что должно быть правдой для добавления матриц?

Матрица может быть добавлена ​​(или вычтена) к другой матрице только в том случае, если две матрицы имеют одинаковый размер. Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующую запись и поместите эту сумму в правильную позицию в результирующей матрице.

Что такое правила сложения и вычитания?

Некоторые правила сложения и вычитания целых чисел включают: «Сумма целого и противоположного числа равна нулю». Резюме: сложение двух положительных целых чисел всегда дает положительную сумму.Добавление двух отрицательных целых чисел всегда приводит к отрицательной сумме.

Как компьютеры решают матрицы?

Чтобы решить систему уравнений с матрицами, вы должны сначала убедиться, что переменные находятся в одном порядке (переменные x и y выровнены) и что они равны константам. Запишите две матрицы A и B, которые будут введены в ваш калькулятор. Матрица A – это коэффициенты двух уравнений, а матрица B – константы.

Как вычислить определитель матрицы?

Найдите определитель.Напишите 3 x 3. Выберите строку или столбец. Вычеркните строку и столбец в своей первой статье. Найдите определитель матрицы 2 x 2 и умножьте ответ на выбранный элемент. Определите знак своего ответа. Повторите этот процесс для второго элемента в указанной строке или столбце.

Как вы разделяете матрицы?

Разберитесь в матричном распределении. Технически матричного распределения нет. Деление одной матрицы на другую – неопределенная функция. Следующий эквивалент – умножение на обратную другую матрицу.Другими словами, пока он не установлен, вы можете решить проблему * 1.

Как вы вычисляете обратную матрицу?

Вы можете вычислить обратную матрицу:
Шаг 1 : Расчет матрицы миноров,
Шаг 2 : затем преобразовать его в матрицу кофактора,
Шаг 3 : чем наркоман, и .
Шаг 4 : умножьте это на 1 / определитель.

Объяснитель урока: сложение и вычитание матриц

В этом пояснителе мы узнаем, как складывать и вычитать матрицы, используя свойства их сложения и вычитания.

Если 𝐴 матрица размера 𝑛 ×, он состоит из 𝑛 строк и 𝑚 колонны 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 𝑎⎞⎟⎟⎠,  а квадратная матрица – это 𝑛 × 𝑛 матрица, содержащая одинаковое количество строк и столбцов (𝑚 = 𝑛), 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠.

Для этого пояснителя мы будем посмотреть на матрицы вверх до матриц 3 × 3 включительно (𝑛, 𝑚≤3), но действуют те же правила для большего количества строк и столбцов. Чтобы сложить или вычесть матрицы, вам нужно добавить или вычесть их соответствующие элементы.

Мы можем складывать или вычитать только матрицы одного порядка (т.е. обе матрицы имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов друг у друга). Это имеет смысл, потому что вы не можете выполнять эти операции с соответствующие элементы, если обе матрицы не имеют одинаковое количество строк и столбцов.

Сложение и вычитание 𝑛 × 𝑚 Матрицы:

⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠ + ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋯ 𝑏𝑏𝑏 ⋯ 𝑏 ⋮⋮ ⋮ 𝑏𝑏 ⋯ 𝑏 ⎞⎟⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 ⋯ 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 ⋯ 𝑎 + 𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 ⋯ 𝑎 + 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠ − ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋯ 𝑏𝑏𝑏 ⋯ 𝑏 ⋮⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑎 − 𝑏𝑎 − 𝑏 ⋯ 𝑎 − 𝑏𝑎 − 𝑏𝑎 − 𝑏 ⋯ 𝑎 − 𝑏 ⋮⋮ − 𝑏𝑎 − 𝑏 ⋯ 𝑎 − 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠   

Чтобы увидеть это в действии, рассмотрим матрицы 2 × 2 𝐴 = 8207, 𝐵 =  − 559−8.

Чтобы добавить эти матрицы, мы добавляем соответствующие элементы: 𝐴 + 𝐵 = 8207 +  − 559−8 = 8 + (- 5) 2 + 50 + 97 + (- 8)  = 379−1.

Чтобы вычесть матрицу 𝐵 из матрицы 𝐴, мы вычитаем каждый элемент в матрице из соответствующего ему элемента в матрица 𝐴: 𝐴 − 𝐵 = 8207 −  − 559−8 = 8 – (- 5) 2−50−97 – (- 8)  = 13−3−915.

Теперь рассмотрим матрицы 3 × 2 𝐴 = 673−25−1, 𝐵 = 2380−49.

Опять же, давайте сложим и вычтем эти матрицы, выполнив каждую операцию над соответствующими элементами: 𝐴 + 𝐵 = 673−25−1 + 2380−49 = 6 + 27 + 33 + 8−2 + 05 + (- 4) −1 + 9 = 81011−218, 𝐴 − 𝐵 = 673−25−1 − 2380−49 = 6−27−33−8−2−05 – (- 4) −1−9 = 44−5−29−10.

Наконец, рассмотрим матрицы 3 × 3 𝐴 = 5622−334−1−5, 𝐵 = 1207−19−58−1.

Повторим те же операции с этими матрицами, завершая каждую операцию над соответствующими элементами, как и раньше: 𝐴 + 𝐵 = 5622−334−1−5 + 1207−19−58−1 = 5 + 16 + 22 + 02 + 7−3 + (- 1) 3 + 94 + (- 5) – 1 + 8−5 + (- 1)  = 6829−412−17−6, 𝐴 − 𝐵 = 5622−334−1−5 − 1207−19−58−1 = 5−16 −22−02−7−3 – (- 1) 3−94 – (- 5) −1−8−5 – (- 1)  = 442−5−2−69−9−4.

Есть также свойства сложения матриц, о которых мы должны знать:

  1. Матричное сложение коммутативно, что означает, что если 𝐴 и 𝐵 – две матрицы одного порядка такие, что 𝐴 + 𝐵 определено, то 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴, это означает, что порядок, в котором вы выполняете добавление, не имеет значения.Это возникает из-за коммутативного закона сложения чисел, так как мы производим сложение соответствующих элементов каждой матрицы.
  2. Сложение матрицы ассоциативно, что означает, что если 𝐴, 𝐵 и 𝐶 – три матрицы одного порядка такие, что 𝐵 + 𝐶, 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) и 𝐴 + 𝐵, (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 определены, то 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶, означает, что сумма трех матриц остается той же независимо от того, как они сгруппированы. Ты сначала можно найти 𝐴 + 𝐵, а затем добавить результат к 𝐶 или добавить 𝐴 к 𝐵 + 𝐶 и получите тот же результат.
  3. Сложение матрицы удовлетворяет аддитивному тождеству, что означает, что если 𝐴 матрица, то 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴, где 𝑂 – нулевая (или нулевая) матрица того же порядка, что и 𝐴 состоящий из нулей в каждом элементе. Нулевая матрица 𝑂 называется аддитивной единицей для матриц.
  4. Сложение матрицы удовлетворяет аддитивному обратному к матрице, что означает, что если 𝐴 матрица, то 𝐴 + (- 𝐴) = (- 𝐴) + 𝐴 = 𝑂, где 𝑂 – аддитивная единица, а −𝐴 называется аддитивным обратным к.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание, начиная с добавления две матрицы размером 1 × 3.

Пример 1: сложение трех матриц

Найти (12−1) + (282).

Ответ

В этом примере мы должны выполнить сложение двух матриц 1 × 3.

Чтобы добавить эти матрицы, мы добавляем соответствующие элементы каждой матрицы: (12−1) + (282) = (1 + 22 + 8−1 + 2) = (3101).

Одинаковый способ выполнения операций со всеми соответствующими элементами двух матриц одного порядка применяется к добавлению более крупных матриц, как мы можем видеть в нашем следующем примере.

Пример 2: сложение матриц два на два

Оценить 811−37 + 10−131.

Ответ

В этом примере мы должны выполнить сложение двух матриц 2 × 2.

Чтобы сложить эти матрицы, мы добавляем соответствующие элементы каждой матрицы: 811−37 + 10−131 = 8 + 1011 + (- 1) −3 + 37 + 1 = 181008.

В следующем примере мы вычитаем одну матрицу из другой.

Пример 3: Нахождение разницы между двумя заданными матрицами

Найти 79−50 − 8−520.

Ответ

В этом примере мы должны найти разницу между матрицами 2 × 2.

Чтобы вычесть эти матрицы, мы вычитаем соответствующие элементы каждой матрицы: 79−50 − 8−520 = 7−89 – (- 5) −5−20−0 =  − 114−70.

Далее, давайте рассмотрим пример, который требует от нас переставить и решить матричное уравнение, используя наши знания. свойств сложения и вычитания матриц.

Пример 4: Сложение и вычитание матриц

Рассмотрим матрицу 𝐴 =  − 1−1513−10.

Предположим, что сумма матриц и 𝐵 это 𝐴 + 𝐵 = 10−1012.

Найдите матрицу 𝐵.

Ответ

В этом примере мы должны найти неизвестную матрицу 𝐵 применяя операции над матрицами 2 × 3. Поскольку мы можем складывать или вычитать только матрицы того же порядка, в котором мы применяем операции к соответствующим элементам и как заданная матрица, так и 𝐴 являются матрицами 2 × 3, 𝐵 также должна быть матрицей 2 × 3.

Чтобы найти, перепишем уравнение сделать 𝐵 предметом и вычесть соответствующие элементы каждая матрица: 𝐴 + 𝐵 = 10−1012.

Поскольку сложение матриц коммутативно, мы знаем, что 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴. Затем мы можем вычесть матрицу 𝐴 из каждого часть нашего уравнения, оставив 𝐵 = 10−1012 − 𝐴.

Следовательно, после замены 𝐴 имеем 𝐵 = 10−1012 −  − 1−1513−10 = 1 – (- 1) 0 – (- 1) −1−50−131 – (- 1) 2−0 = 21−6 −1322.

Теперь давайте воспользуемся нашими знаниями о сложении и вычитании матриц в пример, который требует от нас выполнения обратная операция, чтобы найти ответ.

Пример 5: Нахождение неизвестной матрицы путем применения операций к матрицам, включающим нулевая матрица

Учитывая, что 𝑋 +  − 6−865 = 𝑂, где 𝑂 – 2 × 2 нулевая матрица, найдите значение 𝑋.

Ответ

В этом примере мы должны найти неизвестную матрицу 𝑋 по применение операций над матрицами 2 × 2. С тех пор, как мы может складывать или вычитать только матрицы того же порядка, в котором мы применяем операции над соответствующими элементами и как заданная матрица, так и нулевая матрица равны Матрицы 2 × 2, 𝑋 также должна быть матрицей 2 × 2.

Чтобы найти неизвестную матрицу, мы изменим уравнение, чтобы сделать 𝑋 объектом исследования, а затем вычесть соответствующие элементы данной матрицы из нулевая матрица: 𝑋 +  − 6−865 = 𝑂.

Поскольку сложение матриц коммутативно, мы можем вычесть данную матрицу из каждой части нашего уравнения. Как первая матрица – нулевая матрица, это имеет эффект переключения знаки на каждом элементе второй матрицы: 𝑋 = 𝑂 −  − 6−865 = 0000 −  − 6−865 = 0 – (- 6) 0 – (- 8) 0−60−5 = 68−6−5.

В нашем последнем примере мы будем использовать наши знания о коммутативности сложения матриц, чтобы помочь нам выполнить расчет, включающий сложение и вычитание трех матриц.

Пример 6: Коммутативные и ассоциативные свойства операций над матрицами

При условии, что 𝐴 = 43−13, 𝐵 =  − 1023, 𝐶 =  − 5107, найти 𝐴 + 𝐵 − 𝐶.

Ответ

В этом примере мы должны выполнить операции сложения и вычитания для трех матриц 2 × 2.

Для этого мы выполняем каждую операцию на соответствующем элементы каждой матрицы: 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 = 43−13 +  − 1023 −  − 5107 = 4 + (- 1) – (- 5) 3 + 0−1−1 + 2−03 + 3−7 = 821−1.

Матричное сложение коммутативно, поэтому, если мы рассматриваем вычитание матрицы как эквивалент сложения отрицательного матрицы, мы видим, что можем выполнить расчет несколькими разными способами и при этом получить то же самое ответ:

Матрица сложения также ассоциативна, поэтому мы можем сгруппировать элементы разными способами и при этом получить тот же ответ:

Ключевые точки

  • Чтобы добавить две матрицы, нам нужно добавить каждый соответствующий элемент.
  • Чтобы вычесть одну матрицу из другой, нам нужно вычесть соответствующие элементы.
  • Для выполнения этих операций порядок каждой матрицы должен быть одинаковым.
  • Матричное сложение коммутативно и ассоциативно.
  • Добавка матрицы удовлетворяет аддитивной идентичности и аддитивным обратным свойствам.

Часть 2: Операции с матрицами. Матрица A порядка 3 × 3 может быть… | Авниш | Линейная алгебра

Матрица A порядка 3 × 3 может быть представлена ​​как

Здесь элемент в строке 1 и столбце 1 обозначен как a11 , элемент в строке 2 и столбце 1 как a21 и т. Д. .

Чтобы матрицы были равны

  1. Порядок матриц должен быть одинаковым
  2. Все элементы должны быть одинаковыми
Матрицы будут равны, только если они имеют одинаковый порядок и все элементы одинаковы (Здесь 81 не равно 18 )

Для сложения двух матриц элементы, соответствующие одной строке и столбцу, складываются вместе, как в примере ниже, добавляются матрица A порядка 3 × 2 и матрица B того же порядка.

Две матрицы, A и B, добавляются для создания матрицы C

Элемент a11 из матрицы A и элемент b11 из матрицы B будут добавлены таким образом, что c11 матрицы C будет произведено.

Обратите внимание, что A и B имеют одинаковый порядок. Итак, для добавления матриц порядок всех матриц (добавляемых) должен быть одинаковым. Кроме того, итоговая матрица будет того же порядка, что и ее составляющие.

Матрица C имеет порядок 3 × 2, такой же, как у матриц A и B

Вычитание матрицы аналогично сложению матрицы. В приведенном ниже примере

матрица D – матрица E = матрица F

Вычитание матрицы E из DMatrix F – это матрица разностей E из D

. Здесь скаляр – это величина, которая не является матрицей или просто константа (скаляры будут даны более точное определение в будущей статье о векторах).

Когда мы умножаем 2 (Скаляр) на матрицу G , результирующая матрица H просто умножается на 2 на каждый элемент матрицы G .

2 × матрица G – это матрица H

Деление со скаляром очень похоже на умножение со скаляром, поскольку деление матрицы J на 3 (скаляр) аналогично умножению матрицы J на 1/3.

As, J / 3 = (1/3) × J = K

Деление матрицы J на ​​3 дает матрицу K

Умножение матриц поначалу довольно сложно понять, потому что, в отличие от сложения и вычитания, умножение не выполняется путем умножения соответствующих элементов той же строки и столбца.

Один из способов умножения матрицы описан на примере ниже (а еще два способа будут описаны в следующих статьях). Матрица

U и матрица M будут умножены для получения матрицы N

Для нахождения элементов матрицы N

  1. Элемент в строке 1 и столбце 1 матрицы U будет умножен на элемент в строке 1 и столбце 1 матрицы M ( u11 × m11 ).
  2. Элемент в строке 1 и столбце 2 матрицы U будет умножен на элемент в строке 2 и столбце 1 матрицы M ( u12 × m21 ).
  3. Сложение обоих вычисленных выше произведений даст элемент в строке 1 и столбце 1 матрицы N ( n11 = u11 × m11 + u12 × m21 ).

Подставляем значения из матрицы U и матрицы M .

n11 = 1 × 3 + 6 × 1 = 9

Итак, строка 1 матрицы U и столбец 1 матрицы M дали элемент в первой строке и первом столбце матрицы N ( n11 ).

Применение аналогичных операций к строке 1 матрицы U и столбцу 2 матрицы M даст элемент в первой строке и втором столбце матрицы N ( n12 ). Дальнейшие вычисления для элементов матрицы N производятся ниже.

Вычисление матрицы N Матрица произведения U и M

Аналогичные операции могут быть применены путем выбора столбца 1 из матрицы U и строки 1 из матрицы M , так что

n11 = u11 × m11 + u21 × m12 + u31 × m13

, и результирующая матрица будет такой же, как матрица N .

Итак, умножение матриц может быть выполнено либо путем умножения и добавления элементов строк первой матрицы ( U ) и столбцов второй матрицы ( M ) или столбцов первой матрицы ( U ) и строк второй матрицы. матрица ( M ), и результат будет таким же.

Обратите внимание, что матрица N имеет порядок 3 × 3, матрица U имеет порядок 3 × 2, а матрица M имеет порядок 2 × 3. Следовательно, порядок результирующей матрицы в результате умножения равен (количество строк первой матрицы) × (количество столбцов второй матрицы).

Также, если количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы, умножение невозможно (потому что не будет достаточного количества элементов для применения операций).

Условия для выполнения матричного умножения

Матричное умножение не коммутативно

Произведение матрицы U и матрицы M не будет равно произведению матрицы M и матрицы U .

матрица U × матрица M ≠ матрица M × матрица U

Умножение матрицы M на матрицу U дает матрицу N * (N звездочка) Как мы уже можем сделать вывод, что N * имеет порядок 2 × 2 , не совпадает с порядком N (= U × M) Матрица N * не равна матрице N

Следовательно, умножение матриц не коммутативно.

Матричное деление возможно, но оно не похоже на скалярное деление, о котором говорилось выше.

Деление матрицы B на матрицу A (B / A) , также может быть записано как B × A⁻¹ .

Здесь A⁻¹ – это матрица, обратная A (обратные значения будут рассмотрены позже).

A⁻¹ – это просто матрица, которая при умножении на матрицу A дает I (матрица идентичности, также будет обсуждаться в будущих статьях).Так же, как 2 × 2⁻¹ = 1.

Сложить и вычесть матрицы – пример 1

Стенограмма видео

Хорошо, это будет ее первый пример. Сложите и вычтите матрицы, Siri, и вопрос гласит: добавьте следующие матрицы и обязательно остановите это видео и попробуйте это на себе, прежде чем смотреть на мои объяснения, что вы на самом деле активно тестируете себя. Итак, что касается этих двух матриц, мы знаем, что когда мы хотели складывать и вычитать матрицы, самый первый шаг, который мы должны сделать, – это даже не выполнять никаких математических расчетов.На самом деле. Просто понаблюдайте и посмотрите, есть ли у нас симметричные матрицы одинакового размера. Если мы это сделаем, тогда мы сможем продолжить. А если нет, мы не можем складывать и вычитать их, потому что нам разрешено складывать и вычитать только матрицы, которые имеют одинаковый размер строки и столбца. Итак, очевидно, что первая – это матрица два на три, а вторая – тоже матрица два на три. И мы знаем это, потому что это идет Строка Столбец написал столбец Итак, у нас есть поднятие и от 1 до 3 столбцов. То же самое и со вторым 112 и 123 Итак, мы знаем, что они одного размера.Итак, нам просто нужно добавить все одинаковые позиции. Итак, это самый первый. И это самая первая из второй Матрицы. Так что мы просто сделаем два с плюсом. Почему именно в этом первом месте? Итак, для следующего мы получили отрицательные единицы плюс восемь, потому что это были вторые. Итак, один плюс восемь во втором. Тем же. Просто продолжай. Итак, у нас есть семь и отрицательное 14. И затем мы получаем семь плюс отрицательное 14. И затем даже для этого следующего, первый, первый из низов будет X.Первый из низов будет отрицательным. Четыре Так X минус четыре. И затем у нас есть 3, 11, 23 плюс 11. И тогда последним будет ноль и три. Итак, ноль плюс три. Итак, мы просто должны упростить то, что мы можем. Итак, чтобы этот первый опубликовал то, что больше не может быть упрощено, так что вы можете просто оставить это в таком виде. Отрицательный один плюс восемь будет семь, семь плюс отрицательный, 14 будет отрицательным, семь x минус четыре, дальнейшее упрощение невозможно. Три плюс 11 превратятся в 14, а ноль плюс три превратятся в три.Вот и будет ваш окончательный ответ. Так что имейте в виду, что ваш первый шаг – это наблюдение, чтобы увидеть, есть ли даже тот же размер, если они нет, вы не можете этого сделать. Гм, дополнительное вычитание. Если они есть, то вы можете их добавить. И это довольно просто. Во-первых, вам просто нужно сохранять все те же позиции. Таким образом, первый столбец первой верхней строки будет добавлен к первому столбцу верхней строки второй матрицы состояния и так далее, и так далее.

Давайте упростим сложение и вычитание матриц!

Любите вы математику или ненавидите, от нее никуда не деться.Самый верный способ добиться успеха в математике – это получить четкое представление о самых сложных ее концепциях, которые необходимо изучить. Давайте попробуем взять его под контроль, пока вы стремитесь хорошо освоить этот предмет.

«Матрицы» – это одна из математических тем, которую вы должны тщательно изучить, чтобы преуспеть в ней. Применение арифметических операций, таких как сложение и вычитание, к нормальным целым числам – это нормально, но когда речь идет о сложении и вычитании матриц, это может сильно сбить с толку любого.Итак, если вы один из тех, кто хочет получить более полное представление о матрицах, прежде чем переходить непосредственно к операциям с матрицами, давайте начнем с понимания того, что означает матрица.

Что такое матрица?

Матрица (во множественном числе – матрицы) – это прямоугольный массив символов, чисел и выражений, которые организованы в виде строк и столбцов. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, известна как матрица m x n. Его также можно представить как матрицу размером m на n, в которой m и n будут размерами матрицы.

Нанять репетитора по математике онлайн прямо сейчас!

Концепция матриц используется для записи и компактной работы с множественными линейными уравнениями, которые называются системой линейных уравнений. Когда речь идет о линейных преобразованиях, матрицы и умножение матриц, как правило, выявляют важные особенности, которые затем называются линейными картами.

Матрица обычно записывается в виде квадратных скобок. Размер матрицы известен по количеству содержащихся в ней строк и столбцов.Для лучшего понимания взгляните на пример ниже:

Здесь размеры матрицы 2 x 3, учитывая, что в матрице две строки и три столбца.

Отдельные элементы, которые даны внутри матрицы, известны как элементы или записи матрицы. Каждый элемент, указанный в матрице, обозначается переменной, состоящей из двух нижних индексов. Для лучшего понимания элемент a 2,1 имеет тенденцию представлять конкретное значение, которое было добавлено во второй строке и первом столбце матрицы A.

Научитесь исчислению онлайн от экспертов!

Если матрицы имеют одинаковый размер, то есть их количество строк и количество столбцов одинаковы, тогда две матрицы могут быть добавлены или вычтены, что будет выполняться поэлементно. Но в случае умножения матриц правило иное, поскольку количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк в другой матрице.

Матрицы, которые обычно имеют только одну строку, называются векторами-строками, в то время как матрицы, в которых есть только один столбец, называются векторами-столбцами.Матрица, которая включает такое же количество строк, как и количество столбцов, называется квадратной матрицей.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание – это операции, которые могут быть реализованы с матрицами. Для проведения операций сложения или вычитания необходимо, чтобы матрицы были одинаковой размерности. Это причина того, что результирующая матрица может иметь одинаковые размеры. Использование сложения и вычитания матриц – это аспекты, которые можно использовать и в реальной жизни.Его можно использовать для оценки продаж за последний месяц и продаж в этом месяце или даже для оценки средних продаж любого конкретного продукта в заданное время.

Мы можем использовать матрицы для перечисления данных или также для представления систем. Поскольку элементы матрицы являются числами, мы можем легко выполнять арифметические операции с матрицами. Другими словами, мы можем просто складывать или вычитать две заданные матрицы, просто добавляя или вычитая соответствующие записи, что будет возможно только в том случае, если размеры обеих матриц будут одинаковыми.

Добавление матриц

Для тех, кто впервые видит матрицу, это может быть ужасно, но если вы изучили вышеупомянутые основы работы с матрицей, выполнение добавления будет для вас таким простым. Чтобы провести сложение, вам просто нужно добавить каждый элемент первой матрицы к соответствующему элементу второй данной матрицы.

Обратите внимание, что первый элемент первой матрицы, 1, добавляется к первому элементу второй матрицы, 10, в результате получается всего 11, которые записываются в результирующую матрицу.Тот же процесс выполняется с остальными элементами матриц до тех пор, пока не будет сформирована результирующая матрица, которая будет иметь те же размеры, что и добавленные матрицы.

Вычитание матриц

Теперь можно просто догадаться, что вычитание матриц будет происходить таким же образом, как и сложение, с той лишь разницей, что вам нужно вычитать элементы, а не складывать их друг с другом.

В приведенном выше примере вычитания матриц первый элемент второй матрицы, 1, представляет собой вычитание из первого элемента первой матрицы, 10, что дает результат 9, который представлен в результирующей матрице.Тот же процесс выполняется с другими элементами, пока у нас не будет результирующая матрица с теми же размерами, что и матрицы, к которым мы применили вычитание. Еще раз, важно убедиться, что результирующая матрица должна иметь те же размеры, что и оригиналы, и вы не можете выполнить операцию вычитания, когда две матрицы имеют разные размеры. Также необходимо уделить необходимое внимание при вычитании чисел со знаком.

С помощью этого полного руководства по основам матрицы, а также сложению и вычитанию матриц учащиеся могут получить значительную помощь в этой главе, которая поможет им быстро выполнять арифметические операции с матрицами и получать правильные ответы.

Советы по изучению математики для старшеклассников

Сложение векторов и матриц

Термин вектор применяется к элементам пространства, для которых определены две операции – сложение и умножение на скаляр. Определение кажется круглым, но на самом деле это не так. Сначала устанавливаются аксиомы векторного пространства для двух операций, определенных для его элементов. Потом, когда-нибудь позже (и мимоходом 🙂 упоминается, что принято называть элементы векторного пространства векторов.

Существенная часть изучения векторных пространств посвящена существованию базисов и представлению векторов в различных базисах. Для данного векторного пространства все базы имеют одинаковую мощность. Когда базисы конечны (и, следовательно, имеют одинаковое количество элементов), пространство называется конечномерным, а его элементы можно отождествить с $ n- \ mbox {tuples} $ $ (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}).

долларов США.

Было бы гораздо менее интересно, но все же возможно, начать с n -элементов и определить сложение покомпонентно, как это было сделано для комплексных чисел.При таком определении сразу становится очевидным, что комплексные числа могут быть отождествлены с $ 2- \ mbox {vectors}. $ Компонентное сложение имеет очень простую физическую и геометрическую интерпретацию. Если вектор рассматривается как стрелка, исходящая из одной из его конечных точек, то для добавления вектора к вектору нужно сдвигать один вектор до тех пор, пока его начало не совпадет с концом другого вектора. Их сумма – это вектор, соединяющий их свободные концы – от начала одного до конца другого. Это называется правилом параллелограмма.Правило параллелограмма подразумевает, что сложение векторов коммутативно.

Матрицы – это векторы, компоненты которых расположены в прямоугольном массиве, а не в одной строке или столбце. Матрица $ m \ times n $ (читается как “$ m $ by $ n $”), таким образом, представляет собой массив $ (a_ {ij}) $, где $ i $ изменяется от $ 1 $ до $ m $, тогда как $ j $ колеблется от От $ 1 $ до $ n. $ Более подробно:

$ \ begin {массив} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & \ ldots & a_ {2n} \\ a_ {31} и a_ {32} и a_ {33} & \ ldots & a_ {3n} \\ & \ ldots \\ a_ {m1} и a_ {m2} и a_ {m3} & \ ldots & a_ {mn} \ end {array} $

, в котором есть $ m $ строк и $ n $ столбцов.Понятно, что если мы снова определим сложение матриц покомпонентно, операция будет как ассоциативной, так и коммутативной. Нулевая матрица – это матрица со всеми компонентами $ 0. $

Определение только сложения векторов и матриц делает несправедливость как для векторных, так и для матричных пространств. Оба имеют гораздо более глубокую алгебраическую структуру. Как я уже упоминал, векторы можно умножать на скаляры. Кроме того, существует скалярных , векторных и тензорных произведений. Для матриц у нас есть матричные и тензорные произведения, а также умножение на вектор.


Прямая сумма векторных пространств

Сбор чисел в n-кортежи можно абстрагировать еще одним способом. Пусть это два векторных пространства $ X_ {1} $ и $ X_ {2}. $ Тогда мы можем рассматривать пары элементов $ (x_ {1}, x_ {2}) $ с первым компонентом из первого пространства и вторым со второго. Набор всех таких кортежей известен как прямая сумма пробелов $ X_ {1} $ и $ X_ {2}. $ Количество пробелов может конечно быть произвольным. Если мы решим рассматривать кортеж кортежей как один длинный кортеж, полученный путем исключения скобки от «внутренних» кортежей, операция прямой суммы станет ассоциативной.Если, кроме того, мы соглашаются идентифицировать векторные пространства, базы которых имеют одинаковую мощность, операция прямой суммы станет коммутативным. В другом месте мы рассмотрели прямую сумму Булевы алгебры.


Добавление функций

Функция – это соответствие $ f $ между элементами пространства $ X $ и элементами пространства $ Y $, такое, что любой элемент $ x $ из $ X $ имеет уникальный соответствующий элемент $ y $ из $ Y $, который обозначается $ y = f (x). $ Если $ Y $ – это набор чисел, функция называется numeric .Если $ Y = \ mathbb {R}, $ набор всех действительных чисел, функция называется вещественным . Ниже приводится широко используемое сокращение для «функции $ f $ от $ X $ до $ Y $»

.

$ f: X \, \ rightarrow Y. $

Две функции $ f $ и $ g $ равны, если они определяют одно и то же соответствие, $ f (x) = g (x), $ для всех $ x \ in X. $ Можно добавлять числовые функции. Например, пусть

$ f, g: \, X \ rightarrow \ mathbb {R} $

– две действительные функции. Тогда

$ f + g: \, X \ rightarrow \ mathbb {R} $

по определению является другой реальной функцией $ (f + g) $ такой, что

$ (е + д) (х) = е (х) + д (х).$

Значение суммы – это сумма значений. Обратите внимание, что, как правило, для произвольной функции $ f, $ ее значение в одной точке никоим образом не зависит от ее значений в других точках. Говорят, что сумма функций определяется поточечно . Из-за этого некоторые свойства сложения чисел наследуются добавлением функций. Коммутативность является одним из примеров:

$ (е + г) (х) = е (х) + г (х) = г (х) + е (х) = (г + е) (х) $.

Следовательно,

$ f + g = g + f $.

Ассоциативность показана аналогичным образом. Также легко определить $ -f $, обратный элемент для $ f $. В самом деле, если $ (- f) (x) = -f (x), $, то $ f + (-f) = 0, $, где $ 0 $ – это функция zero , т.е. функция, которая принимает одно значение $ 0 $ для всех $ x: $ 0 $ (x) = 0 $

Стоит отметить, что векторы – это функции, определенные на конечных множествах. Если $ \ mathbf {f} = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}), $, тогда

$ \ mathbf {f}: \ {1, \ ldots, n \} \ rightarrow Y, $

, и мы можем рассматривать $ f_ {i}, $ $ i = 1, \ ldots, n $, как более распространенное в этом контексте, чем $ f (i) $.(Существует Java-апплет, иллюстрирующий операции сложения и вычитания функций.)

Стоит отметить, что определения точечно, и , покомпонентно, на самом деле совпадают. Действительно, предположим, что $ X = {1, 2, \ ldots, n}. $ Тогда функция $ f: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ однозначно определяется своими $ n $ значениями $ f (1), f (2), \ ldots, f (n). $ Мы должны обозначить их как $ f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n} $ и записать их в строке как вектор $ (f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n}).{X}.

долларов США

Следует также отметить, что функции становятся интересными, когда пространства $ X $ и $ Y $ топологичны. В этом случае можно указать, что значения, которые функция принимает в около точек в $ X $, равны около друг к другу в $ Y. $ Функции, удовлетворяющие этому условию, называются непрерывными . Для непрерывных функций значения $ f (x) $ больше не являются независимыми. Сумма двух непрерывных функций снова непрерывна.

Функции

Что можно добавить?

  1. Что такое дополнение?
  2. Добавление цепей
  3. Сложение уравнений
  4. Добавление функций
  5. Сложение чисел
  6. Добавление наборов
  7. Добавление форм
  8. Добавление мест
  9. Добавление строк
  10. Добавление векторов

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный .

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *