Функция может быть полностью упрощенной или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если это необходимо, прежде чем вычислить ее производную.
Однажды действующая функция уже предоставлен, вам нужно просто нажать кнопку “Рассчитать”, подождать несколько секунд, и вам будут представлены все этапы расчета.
Дифференцирование – это основной инструмент, используемый в Calculus (наряду с интегрированием), и это важнейшая операция, которая широко используется в более продвинутой математике.
Как вычислить производную функции?
Процесс вычисления производной функции называется
дифференциация
и заключается в определении мгновенной скорости изменения точки, в каждой точке области функции.
Что такое мгновенная скорость изменения функции? Что ж, давайте начнем с определения скорость изменения : Рассмотрим функцию \(f\) и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция имеет значение \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\)
Тогда изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) – f(x_0)\) (которое также называется изменением y). Также изменение x определяется как \(\Delta x = x_1 – x_0)\). Простыми словами, \(\Delta x\) – это изменение x, а \(\Delta y\) – это изменение значения функции, вызванное изменением x.
Графически:
Производная формула
Так, если \(\Delta x\) представляет изменение x, а\(\Delta y\) представляет изменение значения функции, обусловленное изменением x, то соответствующее скорость изменения
\[\text{Rate of Change} = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Итак, какова же тогда будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким.
Можно ожидать, что \(\Delta y\) также станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)?
Итак, в данном контексте мгновенная скорость изменения определяется как
\[\text{Instant Rate of Change} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Итак, говоря простым языком, мы задаем фиксированное значение \(x_0\) и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\). Используя эту идею о мгновенной скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} \]
Если указанный выше предел существует, то мы говорим, что функция f дифференцируема на \(x_0\).
Также мы будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция дифференцируема в каждой точке этого множества.
Шаги для использования формулы производной
- Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать
- Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе нахождение требуемого предела может быть неоправданно усложнено
- Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0, или вы задаете конкретную числовую точку для x0
-
Шаг 4:
То есть, подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как алгебраически выглядит формула
- Шаг 5: Упростите все, что можно, ДО того, как взять лимит
- Шаг 6: Иногда проще задать x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0
То есть, подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как алгебраически выглядит формула
Обратите внимание, что шаг 6 – это шаг, который некоторым людям нравится по умолчанию.
Действительно, альтернативная формула производной, которая может показаться более простой для целей упрощения, такова:
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \]
это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой.
Правила производных
Вычисление производной по формуле может показаться чертовски трудоемким занятием. И действительно, это может быть трудоемким процессом, если мы решим каждый процесс дифференцирования проводить по формуле производной.
К счастью, существует ряд функций (а именно
полиномы
,
Тригонометрические функции
), для которых мы точно знаем их производные.
Кроме того, у нас есть правила дифференциации которые позволяют нам найти производную функции, которая является Составная функция и/или комбинацию элементарных функций (для которых известна их производная), в терминах элементарных производных.
Каковы этапы вычисления производной?
-
Шаг 1:
Определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать. Упростите как можно больше перед вычислением ее производной
- Шаг 2: Определите, должны ли вы использовать формулу производной или нет
- Шаг 3: Если вы должны использовать формулу производной, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} \), или вы можете использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} \), если это кажется более простым подходом
- Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете воспользоваться основными правилами дифференцирования: Линейность, Правило Продукта , Правило Квоты и Правило Цепи , что поможет вам свести вычисление производной к использованию основных известных производных
Упростите как можно больше перед вычислением ее производной
Часто бывает так, что функция, которую вы пытаетесь
найти производную
for не является простой функцией, а представляет собой базовую комбинацию нескольких простых функций.
Например, функция
\[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\]
не является элементарной функцией сама по себе, но является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\).
Применение деривативов
Можно подумать: “Ну, производные связаны с пределами, а это супертеоретически, поэтому они не должны иметь слишком много применений”, но вы будете совершенно неправы. Магия производных заключается в том, что они, по сути, представляют собой скорость изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов.
Именно поэтому дифференциация позволяет изучить процесс изменения и сравнить изменяющиеся переменные, что имеет широкое применение.
2\right)\)
Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\):
Пример: калькулятор производных
Найдите производную от \( f(x) = \displaystyle \frac{4}{x}\). Определена ли она везде? Постройте график.
Отвечать: Функция, для которой требуется производная, – \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\).
Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной:
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right)\)
Using the Power Rule for a polynomial term with negative exponent: \(\frac{d}{dx}\left( \frac{4}{x} \right) = -\frac{4}{x^2}\)
\( \displaystyle = \,\,\)
\(\displaystyle -\frac{4}{x^2}\)
Графически:
Подробнее о производных и функциях
Функции являются чрезвычайно важными конструкциями в математике.
Вам необходимо уметь
упростить функцию
обычно в качестве преамбулы других, более специализированных вычислений. Существуют специальные типы функций, которые позволяют выполнять конкретные операции, например, то, что вы делаете с
Полиномиальные операции
.
Интересно, что многие важные элементы, такие как нахождение координат
вершина параболы
которые можно вывести хитрым способом, используя геометрические аргументы, можно тривиально получить с помощью дифференцирования.
Построение графиков функций онлайн
Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.
Просто введите формулу функции в поле “Графики:” и нажмите кнопку “Построить”.
Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.
Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.
Дополнительно на нашем сайте вы можете воспользоваться калькулятором матриц, с помощью которого можно производить различные преобразования и действия с матрицами онлайн.
(1/n)
()
| |
Список функций
| Имя | Описание | |
|---|---|---|
log2(x)
|
логарифм по основанию 2 от x | |
lg(x) или log10(x)
|
логарифм по основанию 10 от x | |
log(x;b)
|
логарифм x по основанию b log(x;3) | |
ln(x)
|
натуральный логарифм (логарифм по основанию e (2. x
|
экспонента от х (e в степени x) |
sqrt(x)
|
квадратный корень из x | |
sign(x)
|
функция знака: -1 если x<0, 1 если x>0 и 0 если x=0 | |
| Тригонометрические функции | ||
sin(x)
|
синус х | |
cos(x)
|
косинус х | |
tg(x) или
tan(x)
|
тангенс х | |
ctg(x) или
cot(x)
|
котангенс х | |
arcsin(x) или
asin(x)
|
арксинус х | |
arccos(x) или
acos(x)
|
арккосинус х | |
arctg(x) или
atan(x)
|
арктангенс х | |
arcctg(x) или
acot(x)
|
арккотангенс х | |
sinh(x) или
sh(x)
|
гиперболический синус х | |
cosh(x) или
ch(x)
|
гиперболический косинус х | |
tanh(x) или
th(x)
|
гиперболический тангенс х | |
coth(x) или
cth(x)
|
гиперболический котангенс х | |
asinh(x)
|
гиперболический арксинус х | |
acosh(x)
|
гиперболический арккосинус х | |
atanh(x)
|
гиперболический арктангенс х | |
acoth(x)
|
гиперболический арккотангенс х | |
Встроенные константы
| Имя | Описание |
|---|---|
pi
|
Пи = 3,14. ..
|
e
|
e = 2,71828… число Эйлера |
Калькулятор производных – MathCracker.com
Инструкции: Используйте этот калькулятор производной, чтобы найти производную функции, которую вы предоставляете, показывая все этапы процесса. Пожалуйста, введите функцию, для которой вы хотите вычислить производную, в поле ниже. 93).
Предоставленная функция может быть полностью упрощена или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если
необходимо перед вычислением его производной.
После того, как действительная функция была предоставлена, вам просто нужно нажать «Рассчитать», подождать несколько секунд, и вам будут представлены все этапы расчета.
Дифференциация является основным инструментом, используемым в исчислении (наряду с интегрированием), и это важная операция, которая широко используется в более сложной математике.
Как вычислить производную функции?
Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием и состоит в определении мгновенной скорости изменения точки в точке каждой точке области определения функции.
Какова мгновенная скорость изменения функции? Итак, начнем с определения скорости изменения: Рассмотрим функцию \(f\), и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция равна \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\)
Затем изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) – f(x_0)\) (что также называется изменением y).
Кроме того, изменение x определяется как
\(\Дельта х = х_1 – х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.
Графически:
Производная формула
Таким образом, если \(\Delta x\) представляет собой изменение x, а \(\Delta y\) представляет собой изменение значения функции из-за изменения в x соответствующие скорость изменить это:
\[\text{Скорость изменения} = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Тогда какой будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким. Можно было бы ожидать, что \(\Delta y\) тоже станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)?
Итак, в этом контексте мгновенная скорость изменения определяется как
\[\text{Мгновенная скорость изменения} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Итак, с точки зрения непрофессионала, мы устанавливаем \(x_0\) фиксированным и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\).
Используя эту идею мгновенного
скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\).
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f (x_0)}{x_1 – x_0} \]
Если указанный выше предел выходит за пределы, мы говорим, что функция f дифференцируема в точке \(x_0\). Также будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция дифференцируема в каждой точке множества.
Этапы использования формулы производной
- Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать
- Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе поиск требуемого предела может быть излишне сложным
- Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0 или вы задаете конкретную числовую точку для x0
- Шаг 4: На основе определения функции используйте формулу \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – х_0}\). Это,
подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически
- Шаг 5: Упростите как можно больше, ПРЕЖДЕ ЧЕМ использовать лимит
- Шаг 6: Иногда проще установить x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0
Это,
подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраическиОбратите внимание, что шаг 6 — это шаг 6, который некоторым нравится по умолчанию. Действительно, альтернативная производная формула, которая может показаться более простой для упрощения:
\[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \]
, это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой.
Производные правила
Казалось бы, чертовски много работы, чтобы вычислить производную, используя формулу. И действительно, это мог бы быть трудоемкий процесс, если бы мы решили проработать каждый процесс дифференцирования по формуле производной.
К счастью, есть ряд функций (а именно полиномы, тригонометрические функции)
для которых мы точно знаем, каковы их производные.
Кроме того, у нас есть правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции, которая является составной функцией и/или комбинацией элементарных функций (для которых мы знаем их производную), в терминах элементарных производных.
Каковы шаги для вычисления производной?
- Шаг 1: Определите функцию f, которую вы хотите выделить. Упростите, насколько это возможно, ПЕРЕД вычислением производной
- Шаг 2: Определите, требуется ли вам использовать производную формулу или нет
- Шаг 3: Если необходимо использовать производную формулу, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0 } \), или ты можно использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} \), если кажется, что проще приблизиться к
- Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете использовать основные правила дифференцирования: Линейность, Правило продукта, правило частного и Цепное правило, которое поможет вам свести расчет производной к использованию основных известных производных
Часто функция, для которой вы пытаетесь найти производную, не является простой функцией, а является базовой комбинацией нескольких простых функций.
Например,
функция
\[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\]
сама по себе не является элементарной функцией, а является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\).
Применение производных
Кто-то может подумать: «Ну, производные предполагают пределы, и это сверхтеоретически, поэтому у них не должно быть слишком много применений», но вы совершенно ошибаетесь. Магия производных в том, что они, по сути, связаны со скоростью изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов. 92\справа)\)
Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\):
Пример: Калькулятор производных
Найдите производную от \( f(x) = \displaystyle \ дробь{4}{х}\). Везде ли он четко определен? График это.
Решение. Функция, для которой требуется производная, имеет вид \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\).
Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной: 92}\)
Графически:
Подробнее о производных и функциях
Функции являются чрезвычайно важными конструкциями в математике.
Обычно вам нужно иметь возможность упростить функцию в качестве преамбулы других более специализированных вычислений.
Существуют специальные типы функций, которые позволяют вам выполнять определенные операции, например, то, что вы делаете с полиномиальными операциями.
Интересно, что множество важных элементов, таких как нахождение координат вершины параболы, которые можно вывести умным способом, используя геометрические аргументы, можно легко получить с помощью дифференцирования.
синтаксический анализ — Калькулятор производных с использованием LinkedList C++
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 677 раз
Я пытаюсь сделать производный калькулятор (я должен использовать связанный список).