Калькулятор матричный метод гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Помогите решить методом Гаусса( только не через калькулятор)

Ответ:

Матричный вид записи: Ax=b, где

A=

2

0

2

2

3

0

2

2

4

9

2

2

0

4

3

3

5

5

2

9

0

3

0

2

3

, b=

3

1

1

3

3

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

2

2

0

4

3

1

3

5

5

2

9

3

0

3

0

2

3

3

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 1, умноженной на -1,-3/2 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

2

−2

2

0

−2

0

5

2

−1

9

2

−

3

2

0

3

0

2

3

3

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4,5 со строкой 2, умноженной на -1,-5/2,-3/2 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

−3

−11

−18

−4

0

0

−3

−4

−

21

2

3

2

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строки 4,5 со строкой 3, умноженной на -3/4,-3/4 соответственно:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

0

−

19

2

−

45

4

−

7

4

0

0

0

−

5

2

−

15

4

15

4

Исключим элементы 4-го столбца матрицы ниже элемента a4,4. Для этого сложим строку 5 со строкой 4, умноженной на -5/19:

2

0

2

2

3

3

0

2

2

4

9

1

0

0

−4

−2

−9

−3

0

0

0

−

19

2

−

45

4

−

7

4

0

0

0

0

−

15

19

80

19

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

1

0

1

1

3

2

3

2

0

1

1

2

9

2

1

2

0

0

1

1

2

9

4

3

4

0

0

0

1

45

38

7

38

0

0

0

0

1

−

16

3

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

1  x1

+

0  x2

+

1  x3

+

1  x4

+

3

2

 x5

=

3

2

0  x1

+

1  x2

+

1  x3

+

2  x4

+

9

2

 x5

=

1

2

0  x1

+

0  x2

+

1  x3

+

1

2

 x4

+

9

4

 x5

=

3

4

0  x1

+

0  x2

+

0  x3

+

1  x4

+

45

38

 x5

=

7

38

0  x1

+

0  x2

+

0  x3

+

0  x4

+

1  x5

=

−

16

3

Базисные переменные x1, x2, x3, x4, x5.

Имеем:

x1=

3

2

−1

· x3

−1

· x4

−

3

2

· x5

x2=

1

2

−1

· x3

−2

· x4

−

9

2

· x5

x3=

3

4

−

1

2

· x4

−

9

4

· x5

x4=

7

38

−

45

38

· x5

x5=

−

16

3

Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.

x1=

−

13

2

x2=

2

x3=

19

2

x4=

13

2

x5=

−

16

3

Решение в векторном виде:

x=

x1

x2

x3

x4

x5

=

−

13

2

2

19

2

13

2

−

16

3

Решение матриц онлайн методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

Укажите количество уравнений в системе m=2345678910

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
2. Приводим матрицу к “треугольному” виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
   переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aⁱ_i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a¹ ₁ отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K_j=a^j_i/aⁱ_i;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a^j_kнов. =a^j_k-K_j*aⁱ_k;
   После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaⁱ_i, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет

(C^k_n)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

• если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
• если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
• если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

   

Подробнее

Финансовая математика.

12 задач решены с помощью финансовых функций MS EXCEL

Решение задач, Финансовый менеджмент

Выполнил: user387341

Экономико-математические методы Задача 16 (решение через поиск решения в Excel)

Решение задач, Высшая математика

Выполнил: Мудрый Тушканчик

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки
работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 

Метод Гаусса для решения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса :: SYL.ru

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант — все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x₁, x₂… x_n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему — означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами — и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) – это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

• Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
• Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся — нулями.
• Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 — получившиеся ответы в процессе решения.

1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ — решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую — уже в измененном.
2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду.
   Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья — уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

• В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

• Далее меняются все строки местами, чтобы можно было выразить по главной диагонали единичные элементы.

• И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений — это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком «равно». Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика – это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй — второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

Простой онлайн-калькулятор матриц

Этот калькулятор матриц позволяет вам вводить свои собственные матрицы 2×2, а также складывать и вычитать их, находить умножение матриц (в обоих направлениях) и обратные значения для вас.

Вывод

Вот результаты с заданными числами.

Наши две матрицы:

A =		−1	−3
		6	−6

и Б =		4	4
		−1	0

Добавление матрицы

A + B

=		−1	−3
		6	−6

+		4	4
		−1	0

=		3	1
		5	−6

Вычитание матрицы

A − B

=		−1	−3
		6	−6

−		4	4
		−1	0

=		−5	−7
		7	−6

Умножение матриц

В общем, если

X =		и	б
		с	д

и Y =		и	ф
		г	ч

, тогда произведение матриц X и Y равно:

XY

=		и	б
		с	д

	и	ф
	г	ч

=		( а × е + б × г )	( a × f + b × h )
		( c × e + d × г )	( с × ж + г × ч )

Используя этот процесс, мы умножаем наши 2 заданные матрицы A и B следующим образом:

АВ

=		−1	−3
		6	−6

	4	4
	−1	0

=		(−1 × 4 + −3 × −1)	(−1 × 4 + −3 × 0)
		(6 × 4 + −6 × −1)	(6 × 4 + −6 × 0)

=		−1	−4
		30	24

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:

ВА

=		4	4
		−1	0

	−1	−3
	6	−6

=		(4 × −1 + 4 × 6)	(4 × −3 + 4 × −6)
		(−1 × −1 + 0 × 6)	(−1 × −3 + 0 × −6)

=		20	−36
		1	3

Умножение матриц не является коммутативным

В общем случае, когда мы умножаем матрицы, AB не равно BA . Мы говорим, что матричное умножение «не коммутативно».

Иногда это работает, например AI = IA = A , где I — матрица идентичности, и мы увидим еще несколько случаев ниже.

Обратная матрица 2×2

Обычно обратная матрица 2×2

9-1 = 1/(«det»(X))[(d,-b),(-c,a)]`

Напомним, что

det( X ) = ad − bc

Примечание: Эта формула работает только для матриц 2 × 2.

Итак, для матриц A и B , приведенных выше, мы имеем следующие результаты.

Инверсия

A =		−1	−3
		6	−6 9-1 Б =[(0,-1),(0,25,1)] [(4,4),(-1,0)]` `=[(1,0),(0,1)]` Попробуй другой? Посмотрите другой пример или попробуйте свой. матричный калькулятор | Ваш All-in-One Matrix Solution Calculator Знакомство с Matrix Calculator Матричный калькулятор один к одному — это удобный инструмент, специально разработанный для учащихся и преподавателей всех направлений. Он разработан с максимальным вниманием к деталям, поэтому вы можете без проблем использовать его во всех современных браузерах. Онлайн-калькулятор матриц позволяет рассчитать значения матрицы 2×2, матрицы 3×3, матрицы 4×4 и так далее. Это полезно, если вы работаете с матрицами и хотите попробовать кое-что самостоятельно. Вы можете решить матрицу онлайн с помощью калькулятора Гаусса-Джордана и всех возможных методов решения, доступных для матриц Что такое калькулятор матриц? Матричный математический калькулятор очень полезен во многих аспектах математики. Он используется в различных функциях, таких как определение площади данного участка, измерение двусторонней формы или ее окружности, а также в других, таких как нахождение разницы между двумя числами. Почти все наши математические знания проистекают из использования матриц и функций и других аспектов теории чисел и комбинаций. Зачем использовать матричный калькулятор? Калькуляторы матричных решений обычно используются для решения системных уравнений, которые чрезвычайно трудно решить вручную. Чтобы выполнить матричный расчет, вам необходимо ввести ряд величин, которые должны идеально сочетаться друг с другом. Затем полученное значение сравнивается со всеми ранее сгенерированными значениями и отмечаются любые расхождения. Это может занять очень много времени и утомительно, особенно при работе с огромными объемами данных. Тем не менее, калькуляторы для решения матриц были разработаны, чтобы облегчить пользователям эту задачу за счет автоматизации процесса. Процессы автоматизированы для каждого матричного метода. Например, вы можете выполнять транспонирование и инверсию матриц с помощью калькулятора транспонирования матриц и калькулятора инверсии матриц Преимущества использования Калькулятора матриц Калькулятор сложения и вычитания матриц помогает решать матрицы онлайн, что ускоряет процесс обучения. Онлайн-калькулятор матричных решений — лучший способ научиться чему-то во время практики. Помимо этого, он также имеет много других преимуществ, таких как: Его можно использовать для решения множества сложных математических задач. Некоторым людям может быть интересно использовать его в возможных областях математики, таких как инженерия и геология. Его также можно использовать для поиска ответа на любое уравнение, включая гипотезу Римана. Может также использоваться в методе решения квадратного уравнения и некоторых других методах, где значение может быть определено в некоторой точке уравнения. Это один из самых ценных инструментов для изучения математики в старших классах и колледжах. Он также часто используется персоналом финансовой помощи при принятии решений о финансовой помощи для студентов. Преимущества использования матричного онлайн-калькулятора заключаются в том, что он позволяет учащимся рассчитать общую стоимость своего образования, включая плату за обучение, книги, расходные материалы и другие необходимые расходы. Затем он разбивает эти категории, чтобы учащиеся могли точно видеть, какой будет их счет каждый месяц. Как найти матричный калькулятор? Калькулятор матриц — это онлайн-инструмент, который вы можете найти в Интернете. alexxlab

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана

Добро пожаловать в калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni! Если вы пришли сюда, потому что вам нужно научиться решать линейную систему с помощью алгоритма исключения Гаусса-Жордана, или вместо этого вы хотите инвертировать матрицу, используя этот метод, вы находитесь в правильном месте!

Мы объясним, что на самом деле представляет собой исключение Гаусса-Жордана и чем оно отличается от исключения Гаусса , с которым вы могли столкнуться ранее в своем математическом путешествии. Тогда мы расскажем вам как выполнить исключение Гаусса-Жордана вручную или, если вы предпочитаете сэкономить усилия, как наиболее эффективно использовать этот калькулятор исключения Гаусса-Жордана.

🙋 Алгоритм исключения Гаусса-Жордана особенно популярен в контексте решения систем линейных уравнений . В нашем специальном инструменте, а именно в калькуляторе формы эшелона с уменьшенной строкой, мы подходим к методу исключения Гаусса-Жордана с этой конкретной точки зрения.

Что такое метод исключения Гаусса-Жордана?

Метод исключения Гаусса-Жордана — это процедура, в которой мы преобразуем матрицу в ее сокращенную эшелонированную форму строк , используя только три определенные операции, называемые элементарными операциями со строками .

Целью метода исключения Гаусса-Жордана чаще всего является:

• Решить систему линейных уравнений;
• Инверсия матрицы;
• Вычислить ранг матрицы; или
• Вычислить определитель матрицы.

Как видите, появилось несколько новых понятий: эшелон строк , элементарных операций и т. д. Давайте сначала обсудим их, а затем перейдем к обсуждению того, как делать исключение Гаусса-Жордана.

Что такое (редуцированная) ступенчатая форма матрицы?

Матрица находится в форме эшелона из строк , когда:

• Для нулевых строк: все они находятся внизу матрицы; и
• Для ненулевых строк: самая левая ненулевая запись в строке (называемая 9-й строкой). 0036 стержень или ведущий коэффициент ) находится справа от стержня строки выше.

Матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму строки , если дополнительно:

• Каждый стержень равен 1; и
• Каждый опорный элемент является единственным ненулевым коэффициентом в своем столбце (выше и ниже опорного столбца только нули).

Примеры

Матрицы в форме эшелона строк (но не в форме редуцированного эшелона строк):

[123056007][450300120001]\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 0 &5 &6 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 4 &5 &0 & 3\\ 0 и 0 и 1 и 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 100 250 367 ⎦

⎤ ⎣

⎡ 400 500 010 321 ⎦

⎤

[113014] [200101010000] \ begin { bматрица} 1 и 1 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bматрица} 2 и 0 и 0 и 1\\ 0 &1 &0& 1\\ 0 &0 &0&0 \end{bmatrix} [10​11​34​]⎣

⎡​200​010​000​110​⎦

⎤​

Матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме строк:

[103014][100300160000]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bматрица} 1 и 0 и 0 и 3\\ 0 &0 &1& 6\\ 0 &0 &0& 0 \end{bmatrix} [10​01​34​]⎣

⎡​100​000​010​360​⎦

⎤​

Что такое операции со строками при исключении Гаусса?

Здесь мы перечисляем допустимые операции со строками в методе исключения Гаусса (и Гаусса-Жордана):

1. Перестановка любых двух строк.

2. Сложение/вычитание скалярного множителя одной строки в/из другой строки.

3. Умножение любой из строк на любой (ненулевой!) скаляр.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Поменяйте местами 1-й ^-й -й ряд со 2-м ^-м -м рядом:

[123456789]  →  [456123789]\quad \begin{bматрица} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bматрица} 4 &5 &6 \\ 1 и 2 и 3 \\ 7 и 8 и 9 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 417 528 639 ⎦

⎤

2. Умножьте 1 ^ST ROW на 222 :

[123456789]  →  [246456789]\quad \begin{bматрица} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bматрица} 2 и 4 и 6 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 247 458 669 ⎦

⎤

3. Добавить 1 ^ST -2 на 2 ^-й ряд:

[123456789]  →  [123210789]\quad \begin{bматрица} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bматрица} 1 и 2 и 3 \\ 2 и 1 и 0 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} ⎣

⎡​147​258​369​⎦

⎤​ →  ⎣

⎡​127​218​309​⎦

⎤​

🙋 Если вам нужно напомнить, как выполнять математические операции (сложение, умножение и т.  д.) над строками матрицы , посетите наш векторный калькулятор.

Вы видите, как каждая из этих операций помогает нам выполнить исключение Гаусса-Жордана? Посмотрим:

1. Поменяв строки местами, мы можем легко поместить нулевые строки в конец матрицы.

2. Цель добавления/вычитания скалярного множителя строки в/из другой строки состоит в том, чтобы превратить записи выше и ниже опорных точек в нули.

3. Умножая строку на скаляр, вы легко сделаете опорные точки равными 1 — просто умножьте опорную точку, равную некоторому p, на скаляр ¹ / _p .

Исключение Гаусса-Жордана: пример 3×3

Чтобы увидеть, как представленные выше операции над строками работают на практике, давайте используем их для решения следующего примера 3×3 методом исключения Гаусса-Жордана:

{x+2y− 2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4\влево\{ \начать{выравнивать*} х+2у-2г = 1\\ 2х+4у-5з = 4\\ 2x+2y+3z=4\\ \конец{выравнивание*} \правильно. ⎩

⎨

⎧​x+2y−2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4

Расширенная матрица этой системы выглядит следующим образом:

[12−2124−542234]\begin{bmatrix } 1 и 2 и -2 и 1\\ 2 и 4 и -5 и 4\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​122​242​−2−53​144​⎦

⎤​

Вычтем 1 ^st строку, умноженную на 222, из 2 ^{nd 3 строки:} 0 12−2100−122234]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix} ⎣

⎡​102​202​−2−13​124​⎦

⎤​

Нам удалось получить ноль во 2-й ^-й -й строке и 1 ^-й -м столбце! Делаем то же самое для строки 3 ^rd и столбца 1 ^st :

[12−2100−120−272] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​20−2​−2−17​122​⎦

⎤​

Отлично! На самом деле, как вы можете видеть, нам удалось получить два нуля в 2 ^-й -й ряд! Воспользуемся этим неожиданным подарком: поменяем местами 2 ^nd и 3 ^rd ряды:

[12−210−27200−12]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−27−1​122​⎦

⎤​

Таким образом, мы уже получили эшелонированную форму строк. Отсюда вы можете легко решить систему. Однако давайте придерживаться метода исключения Гаусса-Жордана и попробуем создать сокращенную ступенчатую форму строки.

Во-первых, мы умножаем последнюю строку на -1-1-1 так, чтобы ось равнялась 111:

[12-210-272001-2] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−271​12−2​⎦

⎤​

И мы умножаем 2 ^-й -й ряд на −12-\frac 12−21​, поэтому что точка опоры равна 111:

[12−2101−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​210​−2−27​1​1−1−2​⎦

⎤​

Далее мы хотим удалить ненулевой элемент в 1 ^st строке и 2 ^nd колонка. Для этого из 1-й ^-й -й строки вычитаем 2-ю ^-ю -ю строку, умноженную на 222:

[105301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 5 и 3\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​5−27​1​3−1−2​⎦

⎤​

Еще две записи, которые необходимо исключить: элементы над диагональю в 3 ^рд колонка. Вы знаете, что делать, верно? Из строки 1 ^st вычитаем 3 ^rd строку, умноженную на 555:

[1001301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​0−27​1​13−1−2​⎦

⎤​

И ко 2 ^-й -й строке мы добавляем 3 ^-ю -ю строку, умноженную на по 72\frac 7227​:

[10013010−8001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 и 0 и -8\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​001​13−8−2​⎦

⎤​

Ура, мы закончили! Наша матрица имеет форму редуцированного эшелона строк. В последнем столбце мы видим решение нашей линейной системы:

{x=13y=−8z=−2\left\{ \начать{выравнивать*} х = 13\\ у = -8\\ г =-2\\ \конец{выравнивание*} \right. ⎩

⎨

⎧​x=13y=−8z=−2​

Как выполнить метод исключения Гаусса-Жордана вручную?

Выполните исключение Гаусса-Жордана следующим образом:

1. Поменять местами строки так, чтобы в 1 9 была опорная точка (ненулевое число).0127 ст ряд и 1 ^ст столбик.

2. Умножьте на первую строку так, чтобы стержень стал равен 1.

3. Добавить/вычесть t множителей из строки 1 ^st в/из других строк, чтобы превратить все оставшиеся записи в столбце 1 ^st в нули.

4. Поменять местами строк, чтобы получить опорную точку в 2-й ^-й -й строке и 2 ^-й -м столбце. Примените шаги 2 и 3.

5. Повторить шагов 2-4, двигаясь по главной диагонали.

Хммм…. так много шагов! Выполнение алгоритма исключения Гаусса-Жордана, даже если оно простое, может занять много времени. У вас наверняка есть идеи получше, как использовать свободное время, не так ли? 😉 Используйте наш калькулятор исключения Гаусса-Джордана, чтобы быстро выполнить домашнее задание, а затем перейти к… другим вещам.

Как пользоваться этим калькулятором исключения Гаусса-Жордана?

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni очень прост в использовании. Выполните следующие шаги:

1. Введите коэффициентов вашей матрицы.

2. Сообщите нам, хотите ли вы в результате эшелонированную форму строки или уменьшенную форму эшелона строки. Мы рекомендуем последний вариант, так как первый не уникален!

3. Расчеты выполняются немедленно, и результат отображается под полями коэффициентов.

4. Обратите внимание, что вы можете использовать этот калькулятор для создания любого количества примеров исключения Гаусса-Жордана 2×2 и 3×3.

Часто задаваемые вопросы

Является ли исключение Гаусса-Жордана таким же, как исключение Гаусса?

Почти. Исключение Гаусса-Жордана требует, чтобы мы исключили коэффициенты выше и ниже каждой опорной точки и убедились, что каждая опорная точка равна 1. Как следствие:

В эшелонированной форме строки матрицы уникальна?

Эшелонная форма строк , а не уникальна: она зависит от последовательности операций над строками, используемых для получения этой формы. Однако все эшелонированные формы строк имеют опорные точки в одних и тех же местах и ​​одинаковое количество строк со всеми нулевыми элементами.

Сокращенная форма эшелона строк уникальна : она не зависит от последовательности операций.

Как инвертировать матрицу методом исключения Гаусса-Жордана?

Для получения обратной матрицы n × n A с помощью исключения Гаусса-Жордана:

1. Запишите блочную матрицу [A | I] , где I — единичная матрица.

2. Используйте алгоритм исключения Гаусса-Жордана, чтобы преобразовать эту матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк.

3. Матрица, сгенерированная в правой части, обратна A .

4. Проверьте результат, убедившись, что инверсия исходной матрицы A дает тождество.

Калькулятор значений P

Как мне интерпретировать значения P?

Если значение P меньше этого критического значения, вы отвергаете нулевую гипотезу. Если оно эквивалентно или превышает критическое значение, вы не можете отвергнуть нулевую гипотезу.

Имейте в виду, что чем меньше, тем лучше, когда дело доходит до интерпретации значений P для значимости. Чем он ближе к 0, тем сильнее свидетельство того, что вы должны отвергнуть нулевую гипотезу.

Что такое оценка Z?

Показатель Z — это мера того, на сколько стандартных отклонений точка данных отличается от среднего значения. Z-баллы основаны на стандартном нормальном распределении (или гауссовском), имеющем среднее значение 0 и стандартное отклонение 1. Он в основном используется для проверки различий между средними значениями для больших выборок.

Наиболее распространенная формула для расчета Z-показателя включает наблюдение (X), гипотетическое среднее значение (μ) и гипотетическое стандартное отклонение (σ):

Введите любое число для Z, чтобы вычислить значение P из статистики Z-показателей. Если вы введете положительную или отрицательную оценку Z, вы получите одно и то же значение P, поскольку этот тест является двусторонним.

Что такое Т-балл?

T-показатели (или T-статистика) используются для проверки разницы между средним значением выборки и средним значением другой выборки или некоторым теоретическим значением.

Их часто путают с Z-показателями, а при больших размерах выборки эти два теста сходятся. Хотя есть много общего, ключевое отличие состоит в том, что в то время как z-показатели стандартизируют и проверяют различия в пропорциях, T-показатели используются для проверки средних различий по небольшим выборкам. Основная форма статистической формулы T:

Вы можете использовать эту страницу для расчета значения P из статистики T (и правильных степеней свободы). Как положительные, так и отрицательные значения T дадут одинаковый результат, а значения P интерпретируются одинаково для всех тестов T.

Что такое F-статистика?

F-статистика чаще всего используется как часть ANOVA. Они рассчитываются (обычно с помощью программного обеспечения) как отношение двух компонентов дисперсии в исследовании. С помощью дисперсионного анализа они используются для анализа того, влияет ли какой-либо потенциально прогностический фактор на переменную отклика.

Вы можете использовать эту страницу для расчета значения P из статистики F (и правильных степеней свободы). Подходят только положительные значения F. Используйте структуру ANOVA для помощи в интерпретации значений P из F-статистики.

Что такое р?

Коэффициент Пирсона r более известен как коэффициент корреляции. Он количественно определяет силу корреляции между двумя переменными, а также направление связи.

R всегда находится между -1 и 1, при этом 0 означает отсутствие корреляции. Совершенно линейная отрицательная связь будет равна -1 («когда x растет, y снижается»), в то время как 1 представляет собой идеальную положительную линейную зависимость («когда x растет, y также растет»).

Статистический тест на корреляцию использует нулевую гипотезу о том, что корреляция равна 0, что указывает на отсутствие корреляции, поэтому значение P меньше порога отсечки указывает на то, что переменные коррелированы.

Введите любое число для r от -1 до 1 и степени свободы (то есть n-2) для вашего исследования, чтобы вычислить значение P на основе r.

Что такое хи-квадрат?

Хи-квадрат используется для сравнения количества сгруппированных данных. Двумя наиболее распространенными вариантами использования являются таблицы непредвиденных обстоятельств и сравнение наблюдаемых данных с любым заданным ожидаемым распределением.

Формула хи-квадрат включает несколько шагов, суммируя результаты выражения для сравнения наблюдаемых (O) и ожидаемых (E) значений.

Вот пример калькулятора хи-квадрат для сравнения ожидаемых и наблюдаемых частот.

Вы можете использовать эту страницу для расчета значения P из значений хи-квадрат по вашему выбору (и правильных степеней свободы). Подходят только положительные значения хи-квадрата. Узнайте больше об интерпретации значений P для хи-квадрата (прокрутите ссылку до конца).

Ограничения значений P

Как бы ни был удобен порог значения «значимый или нет», он не всегда дает полную картину анализа по нескольким причинам:

• Они могут сбить с толку интерпретацию. Иногда небольшой размер выборки исследования приводит к незначительному результату, когда нулевую гипотезу следует отвергнуть.
• Значения P можно «взломать», чтобы получить значительный результат, когда его на самом деле не существует, что приводит к невоспроизводимым исследованиям.