Калькулятор матрица метод крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решение методом Крамера системы линейных уравнений 3-4-го порядка

Решать системы линейных алгебраических уравнений второго, третьего, изредка четвертого порядка методом Крамера достаточно часто придется студентам младших курсов учебы при изучении основ линейной алгебры. Для большинства студентов стационарной формы учебы такие задания не являются сложными, однако кто выбрал заочную учебу или дистанционную, или пропустил по определенным причинам практические занятия, вычисления выглядят непонятными и тяжелыми. Чтобы исправить такую ситуацию в данной статье будут приведены наиболее распространены примеры данной темы и схема их решения. Если Вы хорошо поймете принцип их решения, то на практике у Вас не будет трудностей с подобными заданиями.

Для начала выберем задание из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. “Высшая математика”.

———————————–

Примеры

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 153)

2) (4. 165)

3) (4. 174)

Решение.

1) В случае двух уравнений решение можно получить более простым способом. Выражаемый из второго уравнения

и подставим в первое

Раскрыв скобки, сгруппируем подобные слагаемые

Отсюда получим решение

Переменнуюнайдем подстановкой в любое из уравнений

Таким образом решением системы двух уравнений будут следующие значения

Поскольку цель статьи научить студентов решать по методике Крамера то решим данный пример и етим методом.

Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде

Найдем детерминант основной части

Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для и на место второй для . В результате получим

Подставим найденные значения в формулы Крамера

и найдем неизвестные

Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.

2) Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде

Найдем детерминант системы по правилу треугольников

Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим

Вычисляем неизвестные за формулами Крамера

Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.

3) Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде

Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой

и найдем соответствующие детермиінанты третьего порядка

Подставим найденные значения в определитель

По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом). Я не буду приводить детальных излаганий, однако Вы можете проверить, что детерминанты примут значение

Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь

На этом пример решено.

Системы четырех линейных уравнений наиболее трудоемкие в вычислениях, для вычисления их решения нужно решать 5*4 определители третьего порядка, в то время как системы трех уравнений лиш 4. Будьте внимательные при вычислениях ведь самая малая ошибка может иметь следствием неверный результат.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Геслау

Пользователи также искали:

методы решения слау, общее решение слау определение, разрешимость слау, решение слау методом крамера, слау онлайн, слау с параметром, виды слау, слау, решение, разрешимость, слау с параметром, виды слау, методы решения слау, разрешимость слау, примеры, слау онлайн, онлайн, определение, методом, крамера, параметром, виды, методы, решения, общее, слау примеры, Геслау, общее решение слау определение, решение слау методом крамера, геслау, населённые пункты по алфавиту.

геслау,

…

Решить заданную систему уравнений методом крамера. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера – весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2. 5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

9.8: Решение систем с помощью правила Крамера

Мы узнали, как решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными и с помощью нескольких методов: подстановки, сложения, исключения Гаусса, использования обратной матрицы и построения графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель – это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Вычисление определителя матрицы требует следования определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2, учитывая

\ (A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \)

определяется как

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая \ (\ det (A) \) и замену скобок в матрице прямыми линиями, \ (| A | \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск определителя матрицы \ (2 × 2 \)

Найдите определитель заданной матрицы.

\ (A = \ begin {bmatrix} 5 & 2 \\ – 6 & 3 \ end {bmatrix} \)

Решение

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ – 6 & 3 \ end {vmatrix} \\ & = 5 (3) – (- 6) (2) \\ & = 27 \ end {align *} \]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера – это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных, при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное число решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) \ label {eq1} \\ a_2x + b_2y & = c_2 (2) \ label {eq2} \\ \ end {align} \]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим найти \ (x \). Если уравнение \ ref {eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \ (y \) в уравнении \ ref {eq1}, уравнение \ ref {eq1} умножается на коэффициент при \ (y \) в уравнении \ ref {eq2}, и мы добавляем два уравнения, переменная \ (y \) будет удалена.

\ [\ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} b_2 \\ – & \ underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ text {by} −b_1 \\ & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 \ end {align *} \]

Теперь решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x & = \ dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align *} \]

Аналогичным образом, чтобы найти \ (y \), мы исключим \ (x \).

\ [\ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} a_2 \\ – & \ underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ текст {by} −a_1 \\ & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 \ end {align *} \]

Решение относительно \ (y \) дает

\ [\ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y & = \ dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = \ dfrac {a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align * } \]

Обратите внимание, что знаменатель для \ (x \) и \ (y \) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения относительно \ (x \) и \ (y \), но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• \ (D \): определитель матрицы коэффициентов
• \ (D_x \): определитель числителя в решении \ (x \)

  \ [x = \ dfrac {D_x} {D} \]

• \ (D_y \): определитель числителя в решении \ (y \)

  \ [y = \ dfrac {D_y} {D} \]

Ключ к правилу Крамера заключается в замене интересующего столбца переменных столбцом констант и вычислении детерминантов. Тогда мы можем выразить \ (x \) и \ (y \) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРЕМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \ (2 × 2 \)

Правило Крамера – это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\ [\ begin {align *} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x + b_2y & = c_2 \ end {align *} \]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

\ [\ begin {align} x & = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end { bmatrix}} \; , D \ neq 0 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix }} \; , D \ neq 0 \ end {align} \]

Если мы решаем для \ (x \), столбец \ (x \) заменяется постоянным столбцом.Если мы решаем для \ (y \), столбец \ (y \) заменяется постоянным столбцом.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование правила Крамера для решения системы \ (2 × 2 \)

Решите следующую систему \ (2 × 2 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} 12x + 3y & = 15 \\ 2x-3y & = 13 \ end {align *} \]

Решение

Решите относительно \ (x \).

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 15 & 3 \\ 13 & -3 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {-45-39} {- 36-6} \\ & = \ dfrac {-84} {- 42} \\ & = 2 \ end {align *} \]

Решите относительно \ (y \).

\ [\ begin {align *} y & = \ dfrac {D_y} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 12 & 15 \\ 2 & 13 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {156-30} {- 36-6} \\ & = – \ dfrac {126} {42} \\ & = -3 \ end {align * } \]

Решение: \ ((2, −3) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений \ (2 × 2 \).

\ [\ begin {align *} x + 2y & = -11 \\ -2x + y & = -13 \ end {align *} \]

Ответ

\ ((3, −7) \)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее.Один из способов – увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на по каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на по каждой из трех диагоналей (от нижнего левого угла к верхнему правому). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} \)

1. Дополнение \ (A \) с первыми двумя столбцами.

   \ (\ det (A) = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \ end {array} \ right | \)

2. С верхнего левого угла в нижний правый: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. От левого нижнего угла до правого верхнего: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали.Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\ (| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы \ (3 × 3 \) при

\ (A = \ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

\ [\ begin {align *} | А | & = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 4 & 0 & 1 & 4 & 0 \ end {array} \ right | \\ & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) \\ & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 \\ & = 6 \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

\ (\ det (A) = \ begin {vmatrix} 1 & −3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 3 \ end {vmatrix} \)

Ответ

\ (- 10 \)

Q&A: Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \ (3 × 3 \), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера простое и соответствует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц \ (2 × 2 \). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \ (3 × 3 \) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = \ color {blue} d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = \ color {blue} d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = \ color {blue} d_3 \\ \ end {align} \]

\ (x = \ dfrac {D_x} {D} \), \ (y = \ dfrac {D_y} {D} \), \ (z = \ dfrac {D_z} {D} \), \ (D ≠ 0 \)

где

\ [D = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_x = \ begin {vmatrix} \ color {blue} d_1 & b_1 & c_1 \\ \ color {blue} d_2 & b_2 & c_2 \\ \ color {blue} d_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_y = \ begin {vmatrix} a_1 & \ color {blue} d_1 & c_1 \\ a_2 & \ color {blue} d_2 & c_2 \\ a_3 & \ color {blue} d_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_z = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & \ color {blue} d_1 \\ a_2 & b_2 & \ color {blue} d_2 \\ a_3 & b_3 & \ color {blue} d_3 \ end {vmatrix} \]

Если мы записываем определитель \ (D_x \), мы заменяем столбец \ (x \) постоянным столбцом. Если мы пишем определитель \ (D_y \), мы заменяем столбец y на столбец констант. Если мы пишем определитель \ (D_z \), мы заменяем столбец \ (z \) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение системы \ (3 × 3 \) с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \), используя правило Крамера.

\ [\ begin {align *} x + y-z & = 6 \\ 3x-2y + z & = -5 \\ x + 3y-2z & = 14 \ end {align *} \]

Решение

Используйте правило Крамера.

\ (D = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 \\ 3 & −2 & 1 \\ 1 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_x = \ begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 \\ – 5 & −2 & 1 \ \ 14 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_y = \ begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 \\ 3 & −5 & 1 \\ 1 & 14 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_z = \ begin {vmatrix } 1 & 1 & 6 \\ 3 & −2 & −5 \\ ​​1 & 3 & 14 \ end {vmatrix} \)

Затем,

\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} & = \ dfrac {-3} {- 3} & = 1 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} & = \ dfrac {-9} {- 3} & = 3 \\ z & = \ dfrac {D_z} {D} & = \ dfrac {6} {- 3} & = -2 \\ \ end {align *} \]

Решение: \ ((1,3, −2) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу \ (3 × 3 \).

\ [\ begin {align *} x-3y + 7z & = 13 \\ x + y + z & = 1 \\ x-2y + 3z & = 4 \ end {align *} \]

Ответ

\ (\ left (−2, \ dfrac {3} {5}, \ dfrac {12} {5} \ right) \)

Пример \ (\ PageIndex {5A} \): использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

\ [\ begin {align} 3x-2y & = 4 \ label {eq3} \\ 6x-4y & = 0 \ label {eq4} \ end {align} \]

Решение

Начнем с нахождения определителей \ (D \), \ (D_x \) и \ (D_y \).

\ (D = \ begin {vmatrix} 3 & −2 \\ 6 & −4 \ end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 \)

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель – исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq3} на \ (- 2 \).
2. Добавьте результат в уравнение \ ref {eq4}.

\ [\ begin {align *} & −6x + 4y = −8 \\ & \; \; \; \ underline {6x − 4y = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; 0 = −8 \ end {align *} \]

Получаем уравнение \ (0 = −8 \), которое неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Пример \ (\ PageIndex {5B} \): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

\ [\ begin {align} x-2y + 3z & = 0 \ label {eq5} \\ 3x + y-2z & = 0 \ label {eq6} \\ 2x-4y + 6z & = 0 \ label {eq7} \ end {align} \]

Решение

Давайте сначала найдем определитель. Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\ (\ left | \ begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & −2 & 3 & 1 \\ 2 & −4 & 6 & 2 & -4 \ end {array} \ right | \)

Затем,

\ (1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) – (- 4) (- 2) (1 ) −6 (3) (- 2) = 0 \)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq5} на \ (- 2 \) и добавьте результат к уравнению \ ref {eq7}:

\ [\ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 \\ & \; \; \ underline {2x − 4y + 6z = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0 = 0 \ end {align *} \]

2. Получение ответа \ (0 = 0 \), утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы можем увидеть, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой. См. Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Понимание свойств детерминантов

Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ

1. Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{−1} \) – величина, обратная определителю матрицы \ (A \).
3. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): иллюстрация свойств детерминантов

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.

\ (A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \ end {bmatrix} \)

Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.

\ (A = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \ end {array} \ right] \)

Затем

\ [\ begin {align *} \ det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 (1) (1) +1 (0) (2) \\ & = -2 \ end {align *} \]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая

\ [\ begin {align *} B & = \ begin {bmatrix} 4 & -3 \\ – 1 & 5 \ end {bmatrix} \\ \ det (B) & = (4) (5) – (- 1) (- 3) \\ & = 20-3 \\ & = 17 \ end {align *} \]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\ [\ begin {align *} A & = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ – 1 & 2 & 2 & -1 & 2 \ end {array} \ right] \\ \ det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) \ \ & = 4-4 + 8 + 4-4-8 \\ & = 0 \ end {align *} \]

Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1}) & = – 2 \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) – \ dfrac {3} {2} (1) \\ & = – \ dfrac {1} {2} \ конец {выравнивание *} \]

Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

Пример \ (\ PageIndex {7} \): использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы

Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \).

Решение

Используя правило Крамера, имеем

\ (D = \ begin {bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {bmatrix} \)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны.Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение \ ref {eq10} на \ (- 2 \) и добавьте результат в уравнение \ ref {eq8}.

Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

Детерминанты и правило Крамера | Безграничная алгебра

Определители квадратных матриц 2 на 2

Определитель квадратной матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс] – это математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

Цели обучения

Попрактикуйтесь в нахождении определителя матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс]

Основные выводы

Ключевые точки

• Определитель [latex] 2 \ times 2 [/ latex] матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [ /латекс].
• Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.
• Любая матрица имеет уникальную обратную, если ее определитель отличен от нуля.

Ключевые термины

• определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной при умножении матриц, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура – «[латекс] \ det [/ latex]».

Что такое определитель?

Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правило замены переменных для интегралов от функций нескольких переменных. Определители также используются для определения характеристического полинома матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии детерминанты выражают подписанные [латекс] n [/ латекс] -мерные объемы [латекс] n [/ латекс] -мерных параллелепипедов. Иногда детерминанты используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы неудобно записывать.

Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную матрицу, если ее определитель отличен от нуля. Также могут быть доказаны различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действительный.

Определитель матрицы [латекс] [A] [/ латекс] обозначается [латекс] \ det (A) [/ latex], [латекс] \ det \ A [/ latex] или [латекс] \ left | А \ правый | [/ латекс]. В случае, когда элементы матрицы записаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

Например, определитель матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ d & e \ end {bmatrix} [/ latex] записывается [latex] \ begin {vmatrix} a & b \\ d & e \ end {vmatrix} [/ латекс].

Определитель матрицы 2 на 2

В линейной алгебре определитель – это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

Для матрицы [latex] 2 \ times 2 [/ latex], [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex],

определитель [латекс] \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [/ latex].

Пример 1: Найдите определитель следующей матрицы:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {bmatrix} [/ latex]

Определитель [латекс] \ begin {vmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {vmatrix} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} (4 \ cdot 5) – (-2 \ cdot 7) & = 20 – (-14) \\ & = 34 \ end {align} [/ latex]

Кофакторы, второстепенные и другие детерминанты

Кофактор записи [latex] (i, j) [/ latex] матрицы [latex] A [/ latex] является минорным знаком этой матрицы.

Цели обучения

Объясните, как использовать вспомогательные матрицы и матрицы сомножителей для вычисления определителей

Основные выводы

Ключевые точки

• Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] – целое число с [latex] 0

Ключевые термины

• кофактор : минор со знаком записи матрицы.
• второстепенный : определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы [латекс] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

Кофактор и младший: определения

Кофактор

В линейной алгебре сомножитель (иногда называемый дополнительным) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.{i + j} M_ {ij} [/ латекс]

Незначительный

Чтобы узнать, что такое минор со знаком, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы [латекс] A [/ latex] является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления сомножителей матрицы .

Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] – целое число с [latex] 0

Вычислить определитель

Определитель любой матрицы можно найти с помощью миноров со знаком. Определитель – это сумма минорных значений со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабируемая элементами в этой строке или столбце.

Вычисление несовершеннолетних

Для нахождения определителя заданного минора матрицы A используются следующие шаги:

1. Выберите запись [латекс] a_ {ij} [/ latex] из матрицы.
2. Вычеркните записи в соответствующей строке [latex] i [/ latex] и столбце [latex] j [/ latex].
3. Перепишите матрицу без отмеченных записей.
4. Получите определитель этой новой матрицы.

[латекс] M_ {ij} [/ latex] называется второстепенным для входа [latex] a_ {ij} [/ latex].

Примечание. Если [latex] i + j [/ latex] – четное число, кофактор совпадает со своим младшим числом: [latex] C_ {ij} = M_ {ij} [/ latex]. В противном случае он равен аддитивной инверсии своего минорного значения: [latex] C_ {ij} = – M_ {ij} [/ latex]

Вычисление определителя

Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, крайнего правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \ end {bmatrix} [/ latex]

В качестве примера мы вычислим определитель второстепенного [латекса] M_ {23} [/ latex], который является определителем матрицы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], образованной удалением [латекса] 2 [/ latex] -й ряд и [latex] 3 [/ latex] -й столбец. Черная точка представляет собой удаляемый элемент.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ begin {vmatrix} 1 & 4 & \ bullet \\ \ bullet & \ bullet & \ bullet \\ -1 & 9 & \ bullet \ end {vmatrix} & = \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \ end {vmatrix} \\ & = (9 – (- 4)) \\ & = 13 \ end {align} [/ latex]

Поскольку [latex] i + j = 5 [/ latex] является нечетным числом, кофактор является аддитивным, обратным его второстепенному значению: [latex] – (13) = – 13 [/ latex]

Умножаем это число на [latex] a_ {23} = 5 [/ latex], получая [latex] -65 [/ latex].

Тот же самый процесс выполняется для нахождения детерминантов [латекса] C_ {13} [/ latex] и [latex] C_ {33} [/ latex], которые затем умножаются на [latex] a_ {13} [/ латекс] и [латекс] а_ {33} [/ латекс] соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всего этого:

[латекс] \ begin {align} \ det {A} & = a_ {13} \ det {C_ {13}} + a_ {23} \ det {C_ {23}} + a_ {33} \ det {C_ {33}} \\ & = 7 \ cdot27-5 \ cdot13 + 11 \ cdot-12 \\ & = – 8 \ end {align} [/ latex]

Правило Крамера

Правило Крамера использует определители для решения уравнения [латекс] Ax = b [/ latex], когда [latex] A [/ latex] представляет собой квадратную матрицу.

Цели обучения

Используйте правило Крамера, чтобы найти единственную переменную в системе линейных уравнений

Основные выводы

Ключевые точки

• Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и уникальное решение.
• Рассмотрим линейную систему [латекс] \ left \ {\ begin {matrix} ax + by & = {\ color {Red} e} \\ cx + dy & = {\ color {Red} f} \ end {matrix} \ right. [/ latex], который в формате матрицы имеет вид [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex].Предположим, что определитель не равен нулю. Затем [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера: [latex] x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex] и [latex] y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ латекс ].
• Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых детерминантов может быть утомительным.

Ключевые термины

• определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной при умножении матриц, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение [latex] 1 [/ latex] для единичной матрицы. Его аббревиатура – «[латекс] \ det [/ latex]».
• квадратная матрица : матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

«Правило Крамера» – еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами.Он использует формулу для вычисления решения системы с использованием определения определителей.

Правило Крамера: определение

Правило Крамера – это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, то есть квадратная матрица, действительная во всех случаях, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

Правило Крамера: формула

Правила для [латекса] 2 \ times 2 [/ latex] Матрицы

Рассмотрим линейную систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex]

Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ latex]

Правила для [латекса] 3 \ times 3 [/ latex] Матрицы

Дано:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color { Красный} j} \\ {\ color {Red} k} \\ {\ color {Red} l} \ end {bmatrix} [/ latex]

Тогда значения [latex] x [/ latex], [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex] могут быть найдены следующим образом:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} j} & b & c \\ {\ color {Red} k} & e & f \\ {\ color {Red} l} & h & i \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad z = \ frac { \ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \ \ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} [/ латекс]

Использование правила Крамера

Пример 1. Решите систему, используя правило Крамера:

[латекс] \ displaystyle \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y & = 10 \\ -6x + 4y & = 4 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

В матричном формате:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 3 & 2 \\ – 6 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 10 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ 4 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ – 6 & 4 \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {10 \ cdot 4-2 \ cdot 4} {(3 \ cdot 4) – [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {32} {24} = \ frac {4 } {3} \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} – {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} 3 & 10 \\ – 6 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ – 6 & 4 \ end {vmatrix}} \ \ & = \ frac {(3 \ cdot 4) – [10 \ cdot (-6)]} {(3 \ cdot 4) – [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {72} {24} = 3 \ end {align} [/ латекс]

Решение системы – [latex] (\ frac {4} {3}, 3) [/ latex].

nirmalpaul383 / Project-Cramer-s-Rule-Matrix-Calculator: Это приложение для решения уравнений, основанное на правиле Крамера.

О: Это приложение для решения уравнений, основанное на правиле Крамера.

Описание: Мы можем использовать несколько методов для решения линейного уравнения. Одно из них – правило Крамера. В этом методе находятся значения двух или более неизвестных переменных. Коэффициенты переменных используются для формирования матрицы и с помощью их определителей значения переменных решаются.Дополнительную информацию об этом правиле можно найти на https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule этой странице. Эта программа помогает пользователю решать линейные уравнения и находить значения неизвестных переменных. Это приложение поддерживает данные линейных уравнений 2×2 и 3×3 (2×2 для двух неизвестных переменных, например X, Y и 3X3 для трех неизвестных переменных, например X, Y, Z). Эта программа также показывает полный метод обработки (по формулам) для лучшего понимания происходящего …

О совместимости приложения:
Значок и содержимое этого приложения разработаны и разработаны мной (Н. Пол).Эта программа лучше всего подходит для стокового android с разрешением экрана FullHD + (1080 * 2160 p). Это проект с открытым исходным кодом (изначально созданный мной, Н. Полом), и любой может просмотреть, изменить и перестроить его. Чтобы загрузить исходный файл проекта, посетите мой профиль GitHub https://www.github.com/nirmalpaul383/ Если вы хотите поддержать меня, поставьте лайк на нашей странице в Facebook https://www.facebook.com/a.new.way.technical/

О исходном проекте: Это приложение создано с помощью Tasker (https://play.google.com / store / apps / details? id = net.dinglisch.android.taskerm) и с фабрикой приложений Tasker (https://play.google.com/store/apps/details?id=net.dinglisch.android.appfactory). Чтобы установить и запустить «Cramer’s Rule Calc», вам «не понадобится» ни одно из этих приложений. Однако, если вы хотите «просмотреть или изменить» исходный файл вам «понадобится» приложение Tasker, и если вы хотите «экспортировать свою собственную модификацию», то вам «понадобится» как Tasker, так и его расширение, приложение Tasker app factory.

Вот руководство по каталогам и файлам: есть 3 папки (1) Папка «Apk file» [содержит предварительно созданный / экспортированный Cramer_s_Rule_Calc.apk ‘файл приложения для Android] (2) Папка «Assets» [содержит несколько файлов ресурсов (изображений) для проекта (в основном изображения руководства и логотип / значок. для приложения), и вы даже можете изменить их через фотошоп.] (3) Папка «Исходный файл проекта» [содержит основной файл проекта. Загрузите его и импортируйте в приложение Tasker, измените или просмотрите это и наслаждайтесь …]

Если вы хотите поддержать, поставьте лайк на моей странице в facebook https://www.facebook.com/a.new.way.Technical/

Калькулятор системы уравнений

3×3

В этом разделе мы кратко рассмотрим, как распространить идеи, которые мы обсуждали для решения систем дифференциальных уравнений 2 x 2, на системы размера 3 x 3.Воспользовавшись этим онлайн-калькулятором, вы получите подробное пошаговое решение вашей задачи, которое поможет вам понять алгоритм решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы. Решение: x = 5, y = 3, z = −2. Особенности: Показывает пошаговое решение. a21. • Системный решатель 2×2. Решает системы двух линейных уравнений с двумя переменными путем подстановки или использования правила Крамера. Теория линейных уравнений – основная и фундаментальная часть линейной алгебры. Решающая программа вычисляет решение системы уравнений шаг за шагом с помощью правила Крамера и метода Гаусса.Решение уравнений. Очень легко понять! На всякий случай, если вам потребуется руководство по выражениям или умножению многочленов, Polymathlove. Решение системы с тремя переменными Матричный метод Решение системы уравнений с тремя переменными. Решение уравнений. а12. a11. Простой в использовании калькулятор для решения систем из n линейных уравнений от n переменных. Введите свои уравнения через запятую в поле и нажмите «Рассчитать»! Наш калькулятор способен решать системы с одним уникальным решением, а также неопределенные системы, которые имеют бесконечное множество решений.Обработка почвы. Калькулятор для решения систем линейных уравнений (2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 9×9 10×10 11×11). Существует несколько методов решения системы двух уравнений с двумя неизвестными: метод подстановки, метод комбинации, графический метод, метод Крамера. Факторинговые полиномы. Два метода решения + подробные шаги. Калькулятор – это программа для решения систем уравнений, которая использует очень простой синтаксис для решения систем линейных уравнений, допускающих единственное решение. Пример: 4x + 2y – 2z = 10 2x + 8y + 4z = 32 30x + 12y – 4z = 24.а22. Освоение Hp 39gs 40gs. Решите систему 3×3 с помощью исключения по Гауссу 2 You. В случае двух переменных эти системы можно рассматривать как линии, проведенные в двухмерном пространстве. Калькуляторы полиномов. Калькулятор сокращения строки гауссова исключения вы решаете систему 3×3 с 2 графическими справочными листами системы уравнений, как 3 переменных с помощью метода одновременной подстановки гаусса casio fx 991es плюс навыки решения дробей или десятичных решений. Системный решатель 3×3 TRIAL Удобный калькулятор, который позволяет вам решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.Калькуляторы. Калькулятор правила Крамера решает систему трех линейных уравнений с действительными коэффициентами. Линейное уравнение относится к уравнению линии. a31. Этот калькулятор предназначен для студентов, инженеров и всех, кому необходимо решать системы линейных уравнений, содержащие до 11 неизвестных. Этот онлайн-калькулятор поможет вам решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. Если вы используете приложение на своем телефоне, вам следует повернуть телефон в альбомную ориентацию, чтобы ввести три уравнения.Опять же на практике это проще, чем кажется на бумаге! Поддерживает до 5 функций, 2×2, 3×3 и т. Д. Вы также можете проверить свою линейную систему уравнений на непротиворечивость, используя наш Калькулятор исключения Гаусса-Жордана. Это важно, когда матрица используется для решения системы линейных уравнений (например, Решение системы из 3-х линейных уравнений). Или щелкните пример. Это системный калькулятор линейных уравнений с 3-мя переменными. Очень легко понять! Введите десятичные дроби или дроби. Решатель системы уравнений 3×3.Показать пошаговые решения. Определитель матрицы 3×3 определяется как. Джозеф П. Превайт Департамент математики Пенн Стейт Эри, Беренд Колледж Стейшн Роуд Эри, Пенсильвания 16563 (814) -898-6091 Эл. Почта [email protected]. Решатель системы уравнений 3×3 Калькулятор решает систему трех уравнений с тремя неизвестными (система 3×3). Калькулятор будет использовать метод исключения Гаусса или правило Крамера для создания пошагового объяснения. Решение дифференциальных уравнений рассчитывается численно.Этот калькулятор вычисляет определитель матриц 3×3. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Решение системы уравнений с помощью правила Крамера, метода Гаусса и подхода Гаусса-Жордана. а32. Наш онлайн-калькулятор системы уравнений поможет вам найти любые неизвестные переменные x, z, n, m и y. Вышеупомянутый калькулятор одновременных уравнений поможет вам решить одновременные линейные уравнения с двумя, тремя неизвестными. Система из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными x. , y, z – классический пример.Калькулятор решает системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными. 1 x + 5 y + 9 z = 2. Калькуляторы. Калькулятор системы уравнений. x + y + z = x + y + z = x + y + z = x = y = z = Ограничить размер дробных решений цифрами в числителе или знаменателе. Решатель уравнений 3 x 3 решает систему линейных уравнений 3 x 3 Направления: введите коэффициенты 3 линейных уравнений, затем нажмите «Решить». Калькуляторы. Система трех уравнений и трех неизвестных. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными Системы трех линейных уравнений с тремя переменными 3×3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3, где x 1, x 2, x 3 – неизвестные, a 11 ,…, a 33 – коэффициенты системы, b 1, b 2, b 3 – постоянные члены 3×3 программа для решения системы линейных уравнений Онлайн калькулятор для систем линейных уравнений 3×3 Калькулятор линейных уравнений. Калькуляторы. Вы можете использовать этот калькулятор исключения, чтобы попрактиковаться в решении систем. Калькулятор для систем дифференциальных уравнений 3×3 1. заказ. В противном случае система называется несовместимой, не имеющей решений. Калькулятор Row Reduction Gaussian Elimination You. Решатель системы уравнений 3×3 с подробным объяснением.а13. Используя Матричный Калькулятор, мы получаем следующее: (Я оставил определитель 1 / вне матрицы, чтобы упростить числа) Затем умножьте A-1 на B (мы снова можем использовать Матричный Калькулятор): И все готово! Самые популярные песни в Mp4 скачать бесплатно на телугу. Это калькулятор уравнений типа: После заполнения формы нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ, чтобы просмотреть результаты. Система уравнений относится к набору двух или более линейных уравнений, работающих вместе с одним и тем же набором переменных. • Системный решатель 3×3 Решает системы трех линейных уравнений с тремя переменными, используя матрицы R… Крамера и одновременные линейные уравнения.Как мы увидим, они в основном являются естественным продолжением того, что мы уже знаем, кому делать. Помощь. Это онлайн-инструмент алгебры, запрограммированный для определения упорядоченной тройки как решения системы трех линейных уравнений. Калькулятор решает системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными. – /. Помощники Коника. Классная математика и алгебра Справочные уроки: системы уравнений 3×3 показывают справку ↓↓ примеры ↓↓). • Системный решатель 3×3 Решает системы трех линейных уравнений с тремя переменными, используя правило Крамера.До этого момента мы работали с системами 2×2 двух уравнений с двумя переменными, такими как x и y. Мы решали линейно-линейные системы, состоящие из двух прямых линий, и линейно-квадратичные системы, состоящие из одной прямой и либо одна парабола или один круг. Решатель уравнений: Equation_solver. Точность расчетов. Калькулятор правила Крамера. Об исключении Используйте исключение, когда вы решаете систему уравнений, и вы можете быстро исключить одну переменную, сложив или вычитая свои уравнения вместе.Мы также сделаем несколько быстрых замечаний по поводу систем 4 x 4. 4×4 Решатель системы уравнений. • Системный решатель 2×2. Решает системы двух линейных уравнений с двумя переменными путем подстановки или использования правила Крамера. а33. Скачать редактор Pho.to. Решите систему, используя матричное уравнение. Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид: ODE 1: y 1 ′ = f (x, y 1, y 2, y 3) ODE 2: y 2 ′ = g (x, y 1, y 2, y 3) ODE 3: y 3 ′ = h (x, y 1, y 2, y 3) Численное решение ODE-системы. Калькулятор найдет Вронскиан набора функций с указанными шагами.x + y + z = x + y + z = x + y + z = x = y = z = 4×4 решатель! Бесплатный калькулятор системы линейных уравнений – решите систему линейных уравнений поэтапно. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы вы могли получить наилучшие впечатления. • Системный решатель 2×2. Решает системы двух линейных уравнений с двумя переменными путем подстановки или использования правила Крамера. Калькуляторы. Введите систему уравнений (пустые поля будут заменены нулями) x + y + z + t = x + y + z + t = x + y + z + t = x + y + z + t = Решить систему. • Системный решатель 2×2. Решает системы двух линейных уравнений с двумя переменными путем подстановки или использования правила Крамера.a23. Новый решатель nxm! КАЛЬКУЛЯТОР ПРАВИЛ 3×3 CRAMER’S. Если все прямые сходятся к общей точке, система называется согласованной и имеет решение в этой точке пересечения. • Системный решатель 3×3 Решает системы трех линейных уравнений с тремя переменными, используя правило Крамера. Правило Крамера с тремя переменными chilimath. Для решения систем уравнений 3×3 следует выбрать альбомную ориентацию. (Воспользуйтесь калькулятором) x + 2y – z = 7 2x – 3y – 4z = -3 x + y + z = 0. Узнайте о линейных уравнениях с помощью нашего бесплатного математического решателя с пошаговыми решениями.Калькулятор решает систему трех уравнений с тремя неизвестными (система 3×3). Системы линейных уравнений представляют собой общее и применимое подмножество систем уравнений. Используйте этот калькулятор системы уравнений для решения линейных уравнений с различными переменными. Эта программа для решения линейных уравнений 3 неизвестных поможет вам систематически решать такие системы. Решение системы уравнений 3×3 с использованием обратной матрицы. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений. Решение уравнений. Путеводитель по Ti 80.Калькуляторы. Для решения систем уравнений 3×3 следует выбрать альбомную ориентацию. В этом случае вы получите зависимость одних переменных от других, которые называются свободными. Найдите обратную матрицу 3×3 и умножьте ее на полученные ответы, чтобы найти x, y и z. Калькулятор правила Крамера 3×3 – решение системы уравнений с использованием правила Крамера всего в один клик. Калькулятор решает системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными. Калькулятор, приведенный в этом разделе, может использоваться для решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными с использованием правила Крамера или метода определителей.Как я могу ввести систему линейных уравнений 3×3 на моем iPhone? Система уравнений 2×2 Уроки алгебры с большим количеством отработанных примеров и практических задач. Когда я запускаю приложение, оно не показывает никаких вариантов ввода системы уравнений с тремя переменными. Этот калькулятор решает систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Используя этот калькулятор, мы сможем понять алгоритм решения системы линейных уравнений по правилу Крамера. Определитель матриц 3×3. Полный.Решение системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Калькулятор решает системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными. Решение системы уравнений 3×3 на калькуляторе youtube. Калькулятор решает системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными. • Системный решатель 3×3 Решает системы трех линейных уравнений с тремя переменными, используя правило Крамера. Чтобы узнать, как решить систему уравнений 3×3 с помощью метода исключения Гаусса, посмотрите видеоурок ниже. Прямо как на странице “Системы линейных уравнений”.Численное решение дифференциальных алгебраических уравнений Wolfram Age Documentation.

Почему Порция так нервничает ?, Евразийский голубь с воротником Вопросы для интервью Дэна Мерфи, Стиль Аратикая Пачади Андхра, 2008 Subaru Impreza Седан,

Правило Крамера с вопросами и решениями

.
\ ( \оставил\{ \ begin {array} {lcl} a_1 b_ 2 x + b_1 b_2 y & = & c_1 b_2 \\ -a_2 b_1 x – b_2 b_1 y & = & – c_2 b_1 \ end {массив} \верно. \)

Сложите левую и правую части приведенных выше уравнений и упростите, чтобы получить уравнение с одной переменной.
\ ( a_1 b_2 x – a_2 b_1 x = c_1 b_2 – c_2 b_1 \)

Выносим множитель x на левой стороне
\ ( x (a_1 b_2 – a_2 b_1) = b_2 c_1 – b_1 c_2 \)

Решите указанное выше уравнение относительно x
\ ( x = \ dfrac {c_1 b_2 – c_2 b_1} {a_1 b_2 – a_2 b_1} \)

Мы можем использовать аналогичные шаги, чтобы исключить x и решить относительно y, чтобы получить.
\ ( y = \ dfrac {a_1 c_2 – a_2 c_1} {a_1 b_2 – a_2 b_1} \)

Решение данной системы линейных уравнений 2 на 2 дается правилами Крамера следующим образом:
\ [x = \ dfrac {D_x} {D}, y = \ dfrac {D_y} {D} \]
Использование

Общая система линейных уравнений 3 на 3 может быть записана следующим образом: \ [ \оставил\{ \ begin {array} {lcl} a_1 x + b_1 y + c_1 z = & \ color {красный} {d_1} & (1) \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = & \ color {красный} {d_2} & (2) \\ a_3 x + b_3 y + c_3 = & \ color {красный} {d_3} & (2) \\ \ end {массив} \верно.\]

Для системы линейных уравнений 3 на 3 правило Крамера дает следующее решение:
\ [x = \ dfrac {D_x} {D}, y = \ dfrac {D_y} {D}, z = \ dfrac { D_z} {D} \]
, где \ (D, D_x, D_y \ text {и} D_z \) – определители матриц 3 на 3, определенные как

\ (D = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} \ color {red} {d_1} & b_1 & c_1 \\ \ color {красный} {d_2} & b_2 & c_2 \ \ \ color {красный} {d_3} & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \), \ (D_y = \ begin {vmatrix} a_1 & \ color {red} {d_1} & c_1 \\ a_2 & \ color {red} {d_2} & c_2 \\ a_3 & \ color {red} {d_3} & c_3 \ end {vmatrix} \) , \ (D_z = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & \ color {red} {d_1} \\ a_2 & b_2 & \ color {red} {d_2} \\ a_3 & b_3 & \ color {red} {d_3} \ end {vmatrix} \)

Часть 1
a) Вычислите определители
\ (D = \ begin {vmatrix} 5 & -2/3 \\ -1 & 1/2 \ end {vmatrix} = (5) (1/2) – (- 2/3) (- 1) = 11/6 \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} 1/3 & -2/3 \\ -1/2 & 1/2 \ end {vmatrix} = (1/3) (1/2) – (- 2/3) (- 1/2) = -1/6 \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix} 5 & 1/3 \\ – 1 & -1/2 \ end {vmatrix} = (5) (- 1/2) – (1/3) (- 1) = -13/6 \)

Решение дается правилом Крамера следующим образом:
\ (x = \ dfrac {D_x} {D} = – \ dfrac {1} {11} \)

\ (y = \ dfrac {D_y} {D} = – \ dfrac {13} {11} \)

б) Определители задаются формулой
\ (D = \ begin {vmatrix} 0.1 & -0.3 \\ -0.2 & 1.3 \ end {vmatrix} = (0.1) (1.3) – (-0.3) (- 0.2) = 0.07 \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} 1.1 и -0.3 \\ -1.5 & 1.3 \ end {vmatrix} = (1.1) (1.3) – (-0.3) (- 1.5) = 0.98 \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix} 0.1 & 1.1 \\ -0.2 & -1,5 \ end {vmatrix} = (0,1) (- 1,5) – (1,1) (- 0,2) = 0,07 \)

Решение дается формулой
\ (x = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {0,98} {0,07} = 14 \)

\ (y = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {0,07} {0,07} = 1 \)

c) Определители 3 на 3 \ (D, D_x, D_y \ text {и} D_z \) вычисляются с использованием определителей 2 на 2 следующим образом:
\ (D = \ begin {vmatrix} -3 & 5 & -1 \\ 1 / 5 & ​​-5 & – 3/5 \\ -4 & 4/5 & -1 \ end {vmatrix} = -3 \ cdot \ begin {vmatrix} -5 & – \ frac {3} {5} \\ \ frac {4} {5} & – 1 \ end {vmatrix} -5 \ cdot \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & – \ frac {3} {5} \\ -4 & -1 \ end { vmatrix} -1 \ cdot \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & – 5 \\ -4 & \ frac {4} {5} \ end {vmatrix} = 82/5 \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} 1/2 & 5 & -1 \\ 0 & -5 & – 3/5 \\ -7 & 4/5 & -1 \ end {vmatrix} = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} -5 & – \ frac {3} {5} \\ \ frac {4} {5} & – 1 \ end {vmatrix} -5 \ cdot \ begin {vmatrix} 0 & – \ frac {3} {5} \\ -7 & -1 \ end {vmatrix} -1 \ cdot \ begin {vmatrix} 0 & -5 \\ -7 & \ frac {4} {5} \ end {vmatrix} = 2937/50 \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix} -3 & 1/2 & -1 \\ 1/5 & 0 & – 3/5 \\ -4 & -7 & -1 \ end {vmatrix} = -3 \ cdot \ begin {vmatrix} 0 & – \ frac {3} {5} \\ -7 & -1 \ end {vmatrix} – \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & – \ frac {3} {5} \\ -4 & -1 \ end {vmatrix} -1 \ cdot \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & 0 \\ -4 & -7 \ end {v matrix} = 153/10 \)

\ (D_z = \ begin {vmatrix} -3 & 5 & 1/2 \\ 1/5 & -5 & 0 \\ -4 & 4/5 & – 7 \ end {vmatrix} = -3 \ cdot \ begin {vmatrix} -5 & 0 \\ \ frac {4} {5} & – 7 \ end {vmatrix} -5 \ cdot \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & 0 \\ -4 & -7 \ end {vmatrix} + \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} \ frac {1} {5} & – 5 \\ -4 & \ frac {4} {5} \ end {vmatrix} = -2698/25 \)

Решение дается формулой
\ (x = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {2937/50} {82/5} = \ dfrac {2937} {820} \)

\ (y = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {153/10} {82/5} = \ dfrac {153} {164} \)

\ (z = \ dfrac {D_z} {D} = \ dfrac {-2698/25} {82/5} = – \ dfrac {1349} {205} \)

Часть 2
a) Определители даются по формуле
\ (D = \ begin {vmatrix} 5 & -k \\ -2 & 2k \ end {vmatrix} = (5) (2k) – (- k) (- 2) = 8 k \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} 6 & -k \\ -3 & 2k \ end {vmatrix} = (6) (2k) – (- k) (- 3) = 9 k \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix } 5 & 6 \\ -2 & -3 \ end {vmatrix} = (5) (- 3) – (6) (- 2) = – 3 \)

Решение системы
\ (x = \ df rac {D_x} {D} = \ dfrac {9k} {8k} = \ dfrac {9} {8} \) , \ (Y = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {-3} {8k} = – \ dfrac {3} {8k} \)

b) Определители даются как
\ (D = \ begin {vmatrix} 2 & – 3 \\ 1 & 2 \ end {vmatrix} = (2) (2) – (-3) (1) = 7 \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} k & – 3 \\ -2 k & 2 \ end {vmatrix} = (k) (2) – (-3) (- 2k) = -4k \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix} 2 & k \ \ 1 & -2k \ end {vmatrix} = (2) (- 2k) – (k) (1) = -5k \)
Решение системы
\ (x = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {-4k} {7} = – \ dfrac {4} {7} k \) , \ (Y = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {-5k} {7} = – \ dfrac {5} {7} k \)

Часть 3
a) Используя правило Крамера, решения задаются формулой
\ (x = 6 q + 25 p \) \ (y = -2 q – 10 p \)

b)
1) Если мы подставим параметры p и q в систему уравнений в ) на 2 и 2 соответственно, получаем систему уравнений
\ ( \оставил\{ \ begin {array} {lcl} – х – 3 у & = & 10 \\ – 2 х – 5 лет & = & – 4 \ end {массив} \верно.\)
, которые нам предстоит решить. Но система в а) решена для всех значений p и q. Следовательно, чтобы решить систему в b) 1), мы заменяем p и q их значениями (2 и 2) в решениях, полученных в a), что дает.
\ (x = 6 q + 25 p = 6 (2) + 25 (2) = 62 \) \ (y = -2 q – 10 p = -2 (2) – 10 (2) = -24 \)

2) Для этой системы p = 1/2 и q = 1; отсюда решение
\ (x = 6 q + 25 p = 6 (1) + 25 (1/2) = 37/2 \) \ (y = -2 q – 10 p = -2 (1) – 10 ( 1/2) = – 7 \)

3) Для этой системы p = 10 и q = -3; отсюда решение
\ (x = 6 q + 25 p = 6 (-3) + 25 (10) = 232 \) \ (y = -2 q – 10 p = -2 (-3) – 10 (10) = – 94 \)

Часть 4
Определители, используемые в правиле Крамера, задаются формулой

\ (D = \ begin {vmatrix} 5 & -6 & 6 \\ \: \: 9 & -p & -1 \\ \: \: – 2 & -6 & 0 \ end {vmatrix} = 5 \ cdot \ begin {vmatrix} -p & -1 \\ -6 & 0 \ end {vmatrix} – \ left (-6 \ right) \ begin {vmatrix} 9 & -1 \\ -2 & 0 \ end {vmatrix} +6 \ cdot \ begin {vmatrix} 9 & -p \\ -2 & -6 \ end {vmatrix} = -12p-366 \)

\ (D_x = \ begin {vmatrix} -14 & -6 & 6 \\ \: \: 22 & -p & -1 \\ \: \: \: – 4 & -6 & 0 \ end {vmatrix} = -14 \ cdot \ begin {vmatrix} -p & -1 \\ -6 & 0 \ end {vmatrix} – \ left (-6 \ right) \ begin {vmatrix} 22 & -1 \\ -4 & 0 \ end {vmatrix} +6 \ cdot \ begin {vmatrix} 22 & -p \\ -4 & -6 \ конец {vmatrix} = -24p-732 \)

\ (D_y = \ begin {vmatrix} 5 & -14 & 6 \\ \: \: \: 9 & 22 & -1 \\ \: \: \: – 2 & -4 & 0 \ end {vmatrix} = = 5 \ cdot \ begin {vmatrix} 22 & -1 \\ -4 & 0 \ end {vmatrix} – \ left (-14 \ right) \ begin {vmatrix} 9 & -1 \\ -2 & 0 \ end {vmatrix } +6 \ cdot \ begin {vmatrix} 9 & 22 \\ -2 & -4 \ end {vmatrix} = 0 \)

\ (D_z = \ begin {vmatrix} 5 & -6 & -14 \\ \: \: \: 9 & -p & 22 \\ \: \: \: – 2 & -6 & -4 \ end {vmatrix} = = 5 \ cdot \ begin {vmatrix} -p & 22 \\ -6 & -4 \ end {vmatrix} – \ left (-6 \ right) \ begin {vmatrix} 9 & 22 \\ -2 & -4 \ end {vmatrix} -14 \ cdot \ begin {vmatrix} 9 & – p \\ -2 & -6 \ end {vmatrix} = 48p + 1464 \)

Решения задаются правилом Крамера следующим образом:

\ (x = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {-24p- 732} {- 12p-366} = 2 \)

\ (y = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {0} {- 12p-366} = 0 \)

\ (z = \ dfrac {D_z} {D} = \ dfrac {48p + 1464} {- 12p-366} = -4 \)

Анализ APOS решения систем уравнений с использованием метода обратной матрицы

Andrew, J.(2017). Развитие концептуального понимания и процедурной беглости в алгебре для старшеклассников с умственной отсталостью . Неопубликованная кандидатская диссертация. Вирджиния, Университет Содружества Вирджинии.

Антон, Х. (2010). Элементарная линейная алгебра . Нью-Йорк, США: Wiley.

Google Scholar

Арнон, И., Коттрилл, Дж., Дубинский, Э., Октак, А., Фуэнтес, С. Р., Тригуэрос, М., & Веллер, К. (2014). Теория APOS: основа для исследований и разработки учебных программ в области математического образования . Нью-Йорк: Спрингер.

Google Scholar

Бэгли, С., и Рабин, Дж. М. (2016). Использование студентами вычислительного мышления в линейной алгебре. Международный журнал исследований в области высшего математического образования , 2 (1), 83–104.

Артикул Google Scholar

Бансилал, С.(2011). Реформа системы оценивания в Южной Африке: открываются или закрываются места для учителей? Образовательные исследования по математике , 78 (1), 91–107.

Артикул Google Scholar

Бансилал, С. (2014). Использование структуры APOS для понимания ответов учителей на вопросы о нормальном распределении. Статистический журнал исследований в области образования , 13 (2), 42–57.

Google Scholar

Брей, W.С. (2011). Коллективное тематическое исследование влияния убеждений и знаний учителей на методы обработки ошибок во время обсуждения математики в классе. Журнал исследований в области математического образования , 42 (1), 2–38.

Артикул Google Scholar

Чаурая, М., и Броди, К. (2018). Беседы в профессиональном учебном сообществе: анализ возможностей обучения учителей математике. Пифагор , 39 (1), a363. https://doi.org/10.4102/pythagoras.v39i1.363

Коэн Л., Манион Л. и Моррисон К. (2011). Методы исследования в образовании (7-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Рутледж.

Google Scholar

Де Врис Д. и Арнон И. (2004). Решение – Что это значит? Помощь студентам, изучающим линейную алгебру, в разработке концепции при одновременном улучшении исследовательских инструментов. В М.Дж. Хойнс и А.Б. Фуглестад (ред.), Труды 28-й конференции Международной группы психологии математического образования, Том 2, стр. 55–62, Берген, Католический университет Бергена

Доневска-Тодорова, А. (2012). Разработка концепции определителя с помощью DGS. Электронный журнал математики и технологий , 6 (1), 114–125.

Google Scholar

Дорье, Дж.-L. (2000). Эпистемологический анализ генезиса векторных пространств. В J.-L. Dorier (Ed.), Об обучении линейной алгебре (стр. 3–81). Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers.

Google Scholar

Дорье Ж.-Л. и Серпинска А. (2001). Исследования в области преподавания и изучения линейной алгебры. В D. Holton (Ed.), Преподавание и изучение математики на университетском уровне: исследование ICMI (стр.255–273). Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers.

Google Scholar

Дубинский, Э. (1997). Некоторые думали о первом курсе линейной алгебры на уровне колледжа. В Д. Карлсон, К. Джонсон, Д. Лэй, Д. Портер, А. Уоткинс и В. Уоткинс (ред.), Ресурсы для обучения линейной алгебре . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.

Google Scholar

Гомм, Р., Хаммерсли, М., и Фостер, П. (2000). Тематическое исследование и обобщение. В: R. Gomm, M. Hammersley, & P. ​​Foster (Eds.), Case Study Method (стр. 98–115). Лондон: Мудрец.

Google Scholar

Грей, Э. и Толл Д. (1991). Двойственность, неоднозначность и гибкость в успешном математическом мышлении. Документ представлен на PME 15, Assisi

Joffrion, H.K. (2007). Концептуальное и процедурное понимание понятий алгебры в средних классах.Неопубликованная диссертация на степень магистра наук, Техасский университет A&M, Техас, США.

Казунга К. и Бансилал С. (2015). Понимание матричных операций старшекурсниками математики, In J. Naidoo & S. Bansilal (Eds.), Proceedings of the University of KwaZulu-Natal’s 9th Annual Teaching and Learning Conference in Higher Education (TLHEC), pp.61– 76, 21–23 сентября, Дурбан

Казунга К. и Бансилал С. (2017).Понимание штатными учителями математики Зимбабве матричных операций. Журнал математического поведения , 47 , 81–95. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2017.05.003

Артикул Google Scholar

Казунга, К., и Бансилал, С. (2018). Заблуждения о детерминантах. В S. Stewart, C. Andrews-Larson, A. Berman & M. Zandieh (Eds.), Challenges and Strategies in Learning Linear Algebra (pp.127–145). Дордрехт: Спрингер. https://doi.org/10.1007/978-3-319-66811-6_6

Google Scholar

МакГрегор, М., и Стейси, К. (1997). Понимание учащимися обозначений алгебры. Образовательные исследования математики , 3 , 1–19.

Артикул Google Scholar

Мил, Д. Э. (2003). Модели и теории математического понимания: сравнение моделей роста математического понимания Пири и Кирана и теории APOS. Проблемы CMBS в математическом образовании , 12 , 132–181.

Артикул Google Scholar

Ндлову, З., и Бриджлал Д. (2016). Ментальные конструкции детерминантного понятия учителями математики до начала работы. Международный научно-образовательный журнал , 14 (2), 145–156.

Google Scholar

Piaget, J.(1985). Уравновешивание когнитивных структур (Т. Браун и К. Дж. Тэмпи, пер.).

Рах, С., Уфер, С., и Хайнце, А. (2012). Учимся на ошибках: влияние подготовки учителей на отношение учащихся к ошибкам и их индивидуальное использование. В Ю. Т. Цо (ред.), Труды 36-й конференции Международной группы психологии математического образования (том 3, стр. 329–336). Тайбэй, Тайвань, PME.

Сфард А. (1991). О двойственной природе математических представлений: размышления о процессах и объектах как о разных сторонах одной медали. Образовательные исследования по математике , 22 , 1–36.

Артикул Google Scholar

Сфард А. (1992). Операционные истоки математических понятий и затруднения овеществления – случай функции. В G. Harel & E. Dubinsky (Eds.), Концепция функции: аспекты эпистемологии и педагогики (Монография MAA № 25, стр. 59-84). Вашингтон, округ Колумбия, Математическая ассоциация Америки.

Сфард, А. (2008). Мыслить как общение . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.

Google Scholar

Шульман, Л. С. (1986). Те, кто понимает: рост знаний в обучении. Исследователь в области образования , 15 , 4–14.

Артикул Google Scholar

Серпинская, А. (2000). О некоторых аспектах мышления студентов по линейной алгебре.В J.-L. Dorier (Ed.), Об обучении линейной алгебре (стр. 209–246). Нидерланды: Спрингер.

Google Scholar

Смит, Дж. П., ДиСесса, А., и Рошель, Дж. (1993). Переосмысленные заблуждения: конструктивист переходного знания. Журнал научных исследований , 3 (2), 115–163.

Артикул Google Scholar

Стюарт, С., И Томас, М. О. Дж. (2010). Изучение студентами базиса, диапазона и линейной независимости в линейной алгебре. Международный журнал математического образования в науке и технологиях , 41 (2), 173–188.

Артикул Google Scholar

Видьястути, П. Д., Мардияна, М., & Сапутро, Д. Р. С. (2017). Использование BBC (коробки, доски и комиксы) медиа в системах уравнений. Международный научно-практический журнал: серия конференций , 2 (1), 283–288.

Google Scholar

Калькулятор систем линейных уравнений 2×2

MAT2705 Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй. Цели и задачи курса; Элементарное использование MAPLE является необходимым вспомогательным инструментом во всей последовательности MAT1500-1505-2500-2705 исчисления и дифференциальных уравнений с линейной алгеброй для специальностей науки и техники. Для использования в этом курсе см. Ниже.

21 марта 2018 · Еще с моего сайта.Решение системы линейных уравнений с использованием исключения Гаусса Решите следующую систему линейных уравнений с помощью исключения Гаусса. \ begin {align *} x + 2y + 3z & = 4 \\ 5x + 6y + 7z & = 8 \\ 9x + 10y + 11z & = 12 \ end {align *} Операции с элементарными строками Три элементарных операций со строками в матрицы определены как […] MAT2705 Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй. Цели и задачи курса; Элементарное использование MAPLE является необходимым вспомогательным инструментом во всей последовательности MAT1500-1505-2500-2705 исчисления и дифференциальных уравнений с линейной алгеброй для специальностей науки и техники.Для использования в этом курсе см. Ниже.

Решатели алгебры Система линейных уравнений 2 × 2 – Онлайн-инструкции для решателя: Этот инструмент находит решения для системы двух одновременных линейных уравнений с двумя переменными. Для решения уравнения используется метод Крамера.

Согласованные уравнения. Если система уравнений имеет одно или несколько решений, то она называется согласованной системой уравнений, в противном случае это несовместимая система уравнений. Например, система линейных уравнений x + 3y = 5; x – y = 1 согласовано, потому что x = 2, y = 1 является его решением.Система линейных уравнений выглядит следующим образом. a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2 nxn = b 2 ⋯ am 1 x 1 + am 2 x 2 +… + amnxn = bm Эту систему можно представить в виде матричного уравнения A ⋅ x → = b →, где A – матрица коэффициентов.

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, начните с проверки того, что переменные находятся в одном порядке (т.е. переменные x и y выровнены) и равны константе. Напишите две матрицы, A и B, которые будут введены в ваш калькулятор.Матрица A будет коэффициентами двух уравнений, а матрица B будет константами.

Решение систем линейных уравнений. Этот калькулятор решает системы линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса, метод обратной матрицы или правило Крамера. Кроме того, вы можете вычислить ряд решений в системе линейных уравнений (проанализировать совместимость) с помощью теоремы Руше-Капелли. Введите коэффициенты вашего Калькулятор исключения Гаусса-Жордана См. также: Матрица, одновременные линейные уравнения, геометрическое линейное преобразование. Исключение Джордана).

Нелинейные: дифференциальные уравнения, не удовлетворяющие определению линейных, являются нелинейными. Квазилинейное: для нелинейного дифференциального уравнения, если нет умножений между всеми зависимыми переменными и их производными в члене наивысшей производной, дифференциальное уравнение считается квазилинейным.

Уравнение 44-7 Неявное дискретное двумерное волновое уравнение.