Калькулятор нахождения производной: Производные. Пошаговый калькулятор

Операции с производными. Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю.

В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:

−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)”=u”+v”. (3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=–=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)”=u”+v”.

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)”=u”v+uv”. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т. е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y”=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y”=Cu”(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f”(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Неопределенная производная. Калькулятор онлайн

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты – веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление – есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную? , на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени.

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f”(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y”. Отметим, что y” = f(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f”(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f”(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f”(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f”(x) \), т. 2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f”(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f”(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f”(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x – (2 – 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 – 17 x 3 + x – 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f (g (x)) . Имеем, что функция g (x) считается аргументом f (g (x)) .

Определение 2

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g (x) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f (g (x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g (x) = x 2 + 2 x – 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f (g (x)) = (x 2 + 2 x – 3) 4 .

Очевидно, что g (x) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 – 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f (f 1 (f 2 (x))) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 – дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x)

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида y = (2 x + 1) 2 .

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f ” (g (x)) = ((g (x)) 2) ” = 2 · (g (x)) 2 – 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1) ; g ” (x) = (2 x + 1) ” = (2 x) ” + 1 ” = 2 · x ” + 0 = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y ” = (4 x 2 + 4 x + 1) ” = (4 x 2) ” + (4 x) ” + 1 ” = 4 · (x 2) ” + 4 · (x) ” + 0 = = 4 · 2 · x 2 – 1 + 4 · 1 · x 1 – 1 = 8 x + 4

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g (x) .

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y ” = (sin 2 x) ” = 2 · sin 2 – 1 x · (sin x) ” = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g (x) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y ” = (sin x 2) ” = cos (x 2) · (x 2) ” = cos (x 2) · 2 · x 2 – 1 = 2 · x · cos (x 2)

Формула для производной y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) запишется как y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 ” (f 3 (. . . (f n (x)))) · . . . · f n ” (x)

Пример 3

Найти производную функции y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) · f 3 ” (f 4 (x)) · f 4 ” (x)

Получаем, что следует найти

1. f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 – 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 ” (f 4 (x)) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 ” (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
5. При нахождении производной f 4 (x) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 ” (x) = (2 x) ” = 2 · x ” = 2 · 1 · x 1 – 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y ” = f ” (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 ” (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 ” (f 3 (f 4 (x))) · f 3 ” (f 4 (x)) · f 4 ” (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f ” (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) ” = (g 2 (x)) ” + (3 g (x)) ” + 1 ” = = 2 · g 2 – 1 (x) + 3 · g ” (x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 – 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g ” (x) = (t g x) ” = 1 cos 2 x ⇒ y ” = (f (g (x))) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g (x) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y ” = (t g x 2 + 3 t g x + 1) ” = (t g x 2) ” + (3 t g x) ” + 1 ” = = (t g x 2) ” + 3 · (t g x) ” + 0 = (t g x 2) ” + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции (t g x 2) ” :

f ” (g (x)) = (t g (g (x))) ” = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g ” (x) = (x 2) ” = 2 · x 2 – 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) ” = f ” (g (x)) · g ” (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Получаем, что y ” = (t g x 2 + 3 t g x + 1) ” = (t g x 2) ” + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Данная функция может быть представлена в виде y = f (g (x)) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g (x) считается суммой двух функций вида h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, что y = f (h (x) + k (x)) .

Рассмотрим функцию h (x) . Это отношение l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) является суммой двух функций n (x) = x 2 + 7 и p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , где p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 – функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 – линейной функцией.

Получили, что m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) является суммой двух функций q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 , где q (x) = q 1 (q 2 (x)) – сложная функция, q 1 – функция с экспонентой, q 2 (x) = x 2 – степенная функция.

Отсюда видно, что h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переходе к выражению вида k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, что функция представлена в виде сложной s (x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) с целой рациональной t (x) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 (x) = ln x – логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. Что такое производная?Определение и смысл производной функции

{\large\bf Производная функции}

Рассмотрим функцию y=f(x) , заданную на интервале (a, b) . Пусть x – любое фиксированная точка интервала (a, b) , а Δx – произвольное число, такое, что значение x+Δx также принадлежит интервалу (a, b) . Это число Δx называют приращением аргумента.

Определение . Приращением функции y=f(x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx , назовем число

Δy = f(x+Δx) – f(x) .

Считаем, что Δx ≠ 0 . Рассмотрим в данной фиксированной точке x отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx

Это отношение будем называть разностным отношением. Так как значение x мы считаем фиксированным, разностное отношение представляет собой функцию аргумента Δx . Эта функция определена для всех значений аргумента Δx , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки Δx=0 , за исключением самой точки Δx=0 . Таким образом, мы имеем право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Δx → 0 .

Определение . Производной функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при Δx → 0 разностного отношения, то есть

При условии, что этот предел существует.

Обозначение . y′(x) или f′(x) .

Геометрический смысл производной : Производная от функции f(x) в данной точке x равна тангенсу угла между осью Ox и касательной к графику этой функции в соответствующей точке:

f′(x 0) = \tgα .

Механический смысл производной : Производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки:

Уравнение касательной к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) принимает вид

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0) .

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f′(x 0)≠ 0 , то уравнение нормали к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) записывается так:

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a, b) , x – некоторое фиксированное значение аргумента из этого интервала, Δx – любое приращение аргумента, такое, что значение аргумента x+Δx ∈ (a, b) .

Определение . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение Δy этой функции в точке x , соответствующее приращению аргумента Δx , может быть представимо в виде

Δy = A Δx +αΔx ,

где A – некоторое число, не зависящее от Δx , а α – функция аргумента Δx , являющая бесконечно малой при Δx→ 0 .

Так как произведение двух бесконечно малых функций αΔx является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δx (свойство 3 бесконечно малых функций), то можем записать:

Δy = A Δx +o(Δx) .

Теорема . Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. При этом A=f′(x) , то есть

Δy = f′(x) Δx +o(Δx) .

Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием.

Теорема . Если функция y=f(x) x , то она непрерывна в этой точке.

Замечание . Из непрерывности функции y=f(x) в данной точке x , вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции f(x) в этой точке. Например, функция y=|x| – непрерывна в точке x=0 , но не имеет производной.

Понятие дифференциала функции

Определение . Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной x :

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx .

Для функции y=x получаем dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx , то есть dx=Δx – дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Таким образом, можем записать

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dy и приращение Δy функции y=f(x) в данной точке x , оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Δx , вообще говоря, не равны друг другу.

Геометрический смысл дифференциала : Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение Δx .

Правила дифференцирования

Теорема . Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x)≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

Рассмотрим сложную функцию y=f(φ(x))≡ F(x) , где y=f(u) , u=φ(x) . В этом случае u называют промежуточным аргументом , x – независимой переменной .

Теорема . Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна произведению этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Замечание . Для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций y=F(f(φ(x))) , правило дифференцирования имеет вид

y′ x = y′ u u′ v v′ x ,

где функции v=φ(x) , u=f(v) и y=F(u) – дифференцируемые функции своих аргументов.

Теорема . Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x 0 . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке x 0 и ее производная в этой точке f′(x 0) ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y 0 =f(x 0) определена обратная для y=f(x) функция x=f -1 (y) , причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке y 0 =f(x 0) и для ее производной в этой точке y справедлива формула

Таблица производных

Инвариантность формы первого дифференциала

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Если y=f(x) , x=φ(t) – дифференцируемы функции своих аргументов, то производная функции y=f(φ(t)) выражается формулой

y′ t = y′ x x′ t .

По определению dy=y′ t dt , тогда получим

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx ,

dy = y′ x dx .

Итак, доказали,

Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции : как в случае, когда аргумент x является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией новой переменной, дифференциал dy функции y=f(x) равен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента dx .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Мы показали, что дифференциал dy функции y=f(x) , вообще говоря, не равен приращению Δy этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Δx , справедливо приближенное равенство

Δy ≈ dy .

Отношение называют относительной погрешностью равенства этого равенства. Так как Δy-dy=o(Δx) , то относительная погрешность данного равенства становится как угодно малой при уменьшении |Δх| .

Учитывая, что Δy=f(x+δ x)-f(x) , dy=f′(x)Δx , получим f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx или

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx .

Это приближенное равенство позволяет с ошибкой o(Δx) заменить функцию f(x) в малой окрестности точки x (т.е. для малых значений Δx ) линейной функцией аргумента Δx , стоящей в правой части.

Производные высших порядков

Определение . Второй производной (или производной второго порядка) функции y=f(x) называется производная от ее первой производной.

Обозначение второй производной функции y=f(x) :

Механический смысл второй производной . Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то вторая производная f″(x) равна ускорению движущейся точки в момент времени x .

Аналогично определяется третья, четвертая производная.

Определение . n -й производной (или производной n -го порядка) функции y=f(x) называется производная от ее n-1 -й производной:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′ .

Обозначения: y″′ , y IV , y V и т.д.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)”=u”+v”.(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=–=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)”=u”+v”.

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)”=u”v+uv”. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y”=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y”=Cu”(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ” (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf ” (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y ” =f ” (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции – точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO – это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k – угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f “(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k – угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f “(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3.

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) – мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x”(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 – это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x”(t) – скорость,

a(f) = ”(t) – ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) – изменение угла от времени,

ω = φ”(t) – угловая скорость,

ε = φ”(t) – угловое ускорение, или ε = φ”(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) – масса,

x  , l – длина стержня,

р = m”(х) – линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х”(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k – жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у” + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота,

φ 0 – начальная фаза.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Дата: 20.11.2014 Таблица производных. Производная – одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств. Это знакомство позволит: Понимать суть несложных заданий с производной; Успешно решать эти самые несложные задания; Подготовиться к более серьёзным урокам по производной. Сначала – приятный сюрприз.) Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний! Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов – чтобы понять задание, и всего несколько правил – чтобы его решить. И всё. Это радует. Приступим к знакомству?) Термины и обозначения. В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках. Здесь же важно понять, что дифференцирование – это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная. Дифференцирование – действие над функцией. Производная – результат этого действия. Так же, как, например, сумма – результат сложения. Или частное – результат деления. Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания. Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y” или f”(x) или S”(t) и так далее. Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…) Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)” , (x 3 )” , (sinx)” и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем. Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего – научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной – это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного. Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита: 1. Таблица производных (формулы дифференцирования). 3. Производная сложной функции. Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных. Таблица производных. В мире – бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе – линейная, квадратичная, гипербола и т.п. Дифференцирование функций “с нуля”, т.е. исходя из определения производной и теории пределов – штука достаточно трудоёмкая. А математики – тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.) Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева – элементарная функция, справа – её производная. Функция y Производная функции y y” 1 C (постоянная величина) C” = 0 2 x x” = 1 3 x n (n – любое число) (x n)” = nx n-1 x 2 (n = 2) (x 2)” = 2x 4 sin x (sin x)” = cosx cos x (cos x)” = – sin x tg x ctg x 5 arcsin x arccos x arctg x arcctg x 4 a x e x 5 log a x ln x (a = e ) Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции – одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!) Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице – вроде и нету… Рассмотрим несколько примеров: 1. Найти производную функции y = x 3 Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат: (x 3) ” = 3·x 3-1 = 3x 2 Вот и все дела. Ответ: y” = 3x 2 2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0. Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню – это уже новая функция. По табличке находим синус и соответствующую производную: y” = (sin x)” = cosx Подставляем ноль в производную: y”(0) = cos 0 = 1 Это и будет ответ. 3. Продифференцировать функцию: Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет. Напомню, что продифференцировать функцию – это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает… Но если увидеть, что наша функция – это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается! Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла: Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это – табличная функция. Сразу получаем: Ответ: y” = – sin x . Пример для продвинутых выпускников и студентов: 4. Найти производную функции: Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так: А икс в степени одна десятая – это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем: Вот и всё. Это будет ответ. Надеюсь, что с первым китом дифференцирования – таблицей производных – всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Производная от 3х в квадрате

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , то есть отображает процесс решения производной функции. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре?

Поиск данных по Вашему запросу:

Схемы, справочники, даташиты:

Прайс-листы, цены:

Обсуждения, статьи, мануалы:

Дождитесь окончания поиска во всех базах.

2 x

Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Элементарная математика. Умножение и его свойства. Деление и его свойства. Умножение и деление в столбик. Дроби, задачи на нахождение частей от целого. Найти наименьшее общее кратное НОК. Привести дробь к наименьшему общему знаменателю. Нахождение целого по его части. Скорость поедания яблока. Сложение и вычитание простых дробей. Сложение и вычитание дробей.

Вычислить выражение с простыми и десятичными дробями. Нахождение процентов от суммы. Задачи на нахождение процентов. Задачи про втекающую в бассейн воду. Задачи на тему “Найти число”, “Найти два числа”. Задачи на нахождение двух чисел.

Задачи на нахождение двух чисел часть 2. Найти трехзначное число. Задачи о прохождении пути. Задача про велосипедистов. Задача про туриста.

Нахождение общей величины пройденного пути. Задачи про лодку и течение реки. Задачи с решением элементарных уравнений. Задача про бросание гранаты. Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня. Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа. Операции с корнями на основе ствойств степени. Квадратный корень. Свойства квадратного корня. Таблица степеней натуральных чисел. Показательная функция.

Область определения функции. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Простейшие уравнения. Квадратные уравнения. Решаем неравенства. Трехмерное пространство. Равенство векторов. Рiвнiсть векторiв. Дифференциальное исчисление. Что такое производная. Практический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных простых функций.

Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций. Таблица производных тригонометрических функций. Производная числа. Производная дроби. Производная корня. Нахождение экстремума функции. Найти количество возможных комбинаций. Теория вероятности. Вероятность появления карт. Вероятность наступления события. Вероятность одновременного прихода пароходов. Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке.

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени – это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так. Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:.

Развернуть структуру обучения. Свернуть структуру обучения. Описание курса Элементарная математика Умножение и его свойства. Нахождение дробной степени числа Операции с корнями на основе ствойств степени Квадратный корень. Рiвнiсть векторiв Логарифм Дифференциальное исчисление Что такое производная. Формулы для нахождения производной корня Общий случай формулы производной корня произвольной степени – дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, равное степени корня, для которого вычислялась производная, умноженная на корень такой же степени, подкоренное выражение которого – переменная в степени корня, для которого вычислялась производная, уменьшенной на единицу Производная квадратного корня – является частным случаем предыдущей формулы.

Производная квадратного корня из x – это дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель – двойка, умноженная на квадратный корень х Производная кубического корня , также частный случай общей формулы. Производная кубического корня – это единица, деленная на три кубических корня из икс квадрат. Здесь: n – степень корня, для которой находится производная x – переменная, для которой находится производная

Таблица производных простых функций

Account Options Войти. Производная функции по-шагам Ivan Petuhov Образование. Для всех. Добавить в список желаний. Калькулятор нахождения производной функции шаг за шагом из высшей математики – скачайте приложение и пользуйтесь как калькулятором онлайн. Отзывы Правила публикации отзывов. Перейти на веб-сайт.

Бесплатный сервис по решению математических задач даст ответы на ваше домашнее задание по алгебре, геометрии, тригонометрии.

Типичные ошибки при вычислении производной.

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:. Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства. Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение. Тогда ; ; ;. Сделаем подстановку. При ,. Используем свойство непрерывности 2 :. Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел 3 :.

Производная косинуса: (cos x)′

Математический Анализ. Определение производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Перейдем к более строгой формулировке: Определение производной.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее. Полный синтаксис смотрите ниже.

Производная функции

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Производную от синуса я знаю как найти, но здесь 2х.

Производная сложной функции

Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Элементарная математика. Умножение и его свойства. Деление и его свойства. Умножение и деление в столбик. Дроби, задачи на нахождение частей от целого. Найти наименьшее общее кратное НОК.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт.

Обсудить на форуме Записаться на курсы Обратиться к консультанту Пройти тест Полный список курсов обучения Бесплатные видеоуроки Нужна информация! Таблица производных простых функций. Элементарная математика.

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра. Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы! Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Курс призван дать студенту уверенное владение основными методами теории функций комплексного переменного. Для его успешного освоения, студенту понадобятся знания теории дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, а также базовые навыки решения простейших дифференциальных уравнений.

Разделы: Математика. Цель: систематизировать знания по теме, проверить свою компетентность в данной области знаний. Урок содержит 5 блоков заданий:. Блок 1. Проверка знания терминологии, проводится в виде математического диктанта 13 заданий. Блок 4. По графику производной смоделировать график функции, указать ее свойства на основании графика производной.

Производная арксинуса равна единице, деленной на корень квадратный из разности единицы и аргумента в квадрате. Если аргумент арксинуса отличен от , то производную ищем как производную сложной функции , то есть по формуле:. Найти производную функции.

Калькулятор производных (решатель) с шагами

---

Калькулятор производных с шагами

Калькулятор производных — это онлайн-инструмент, используемый для нахождения производной функции с шагами. Этот калькулятор дифференцирования находит дифференциал линейной функции, полиномиальной функции или постоянной функции.

Наш решатель производных вычисляет первую производную, вторую, третью и так далее. Он сначала решает функцию, а затем находит производную по правилам дифференцирования.

Существуют различные типы дифференциации, такие как явная дифференциация, неявная дифференциация, частичная дифференциация и направленная дифференциация. Этот дифференциальный калькулятор решает задачи явного дифференцирования.

Как работает этот калькулятор производных?

Этот калькулятор производной вычисляет пошаговое дифференцирование функции по x, y, z, u, v или w.

Выполните следующие шаги, чтобы найти дифференциал любой функции.

• Введите функцию.
• Используйте значок клавиатуры , чтобы добавлять математические символы.
• Если вы хотите использовать образцы примеров, нажмите загрузите примеры
• Выберите переменную.
• Запишите порядок дифференцирования, т. е. 1 для первой производной функции, 2 для второй производной, 3 для третьей производной и так далее.
• Нажмите кнопку рассчитать
• Нажмите кнопку показать еще для просмотра пошагового решения.

Что такое производная?

В исчислении производная используется для нахождения наклона касательной или мгновенной скорости изменения функций по отношению к независимой переменной. Производная – это процесс, обратный интегрированию.

Уравнение производной функции f(x) в точке \(x_0\) с использованием пределов имеет вид:

\( f’\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\ влево (\ frac {\ Delta y} {\ Delta x} \ right) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f \ left (x_0+ \ Delta x \ right) -f \ left (x_0 \ справа)}{\Дельта х}\)

Правила дифференцирования

Ниже приведены некоторые правила дифференцирования.

Names	Rule
Sum rule	\(\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)+ g\left(x\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(g\left( x\right)\right)\)
Правило разности	\(\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right) )\right)=\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(g\left(x\right)\right) \) 9{n-1}\)
Умножение по правилу констант	\(\frac{d}{dx}\left(Cf\left(x\right)\right)=C\frac{ d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)\)
Правило произведения	\(\frac{d}{dx}\left(f\left( x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)+f \left(x\right)\frac{d}{dx}\left(g\left(x\right)\right)\)
Частное правило 92}\)

Как вычислить производные?

Давайте рассмотрим пример производной, чтобы научиться вычислять производные.

Пример

Найдите производную sin(x) по x.

Решение

Шаг 1: Примените запись дифференцирования к данной функции.

\(\frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)\)

Шаг 2: Теперь применим предельное определение производной к приведенной выше функции.

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\lim _{h\to 0}\left(\frac{sin\left(x+h\) right)-sin\left(x\right)}{h}\right)\)

Шаг 3: Теперь используем формулу сложения синуса с sin(x+h).

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\lim _{h\to 0}\left(\frac{cos\left(h\right) sin\left(x\right)+cos\left(x\right)sin\left(h\right)-sin\left(x\right)}{h}\right)\)

Шаг 4: Теперь разделите термины sinx и cosx.

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\lim _{h\to 0}\left(cos\left(x\right)\frac{ sin\left(h\right)}{h}+sin\left(x\right)\frac{cos\left(h\right)-1}{h}\right)\) 92\left(h\right)}{h\left(cos\left(h\right)-1\right)}\right)\)

Шаг 6: Возьмите \( \frac{sin\left( h\right)}{h}\) common внутри предела, а затем применить правило предела продукта.

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\lim _{h\to 0}\left(\left(cos\left(x\right) +\frac{sin\left(x\right)sin\left(h\right)}{cos\left(h\right)-1}\right)\frac{sin\left(h\right)}{h }\right)\)

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\left(\lim _{h\to 0}\left(cos\ влево (х \ вправо) + \ гидроразрыва {грех \ влево (х \ вправо) грех \ влево (ч \ вправо)} {cos \ влево (ч \ вправо) -1} \ вправо) \ вправо) \ влево (\ lim _{h\to 0}\frac{sin\left(h\right)}{h}\right)\)

Шаг 7: Теперь по непрерывности предел первой части выражения.

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\left(\left(cos\left(x\right)+\frac{sin\left(x) \right)sin\left(0\right)}{cos\left(0\right)-1}\right)\right)\left(\lim _{h\to 0}\frac{sin\left(h \right)}{h}\right)\)

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\left(cos\left(x\right) \right)\left(\lim _{h\to 0}\frac{sin\left(h\right)}{h}\right)\)

Шаг 8: Теперь применим свойство предела \( \ lim _{x\to 0}\frac{sin\left(x\right)}{x}\).

\( \frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=\left(cos\left(x\right)\right)\left(1\right)\)

\(\frac{d}{dx}\left(sin\left(x\right)\right)=cos\left(x\right)\)

Литература

1. Определение и уравнение производной Khan Academy .
2. Пример производных.
3. Правила дифференциации функций в исчислении

10 лучших бесплатных программ для расчета производных для Windows

Вот список лучших бесплатных программ для расчета производных для Windows . Это бесплатное программное обеспечение калькулятора дифференцирования поможет вам найти производные и решить дифференциальные уравнения . Вы можете использовать их в качестве калькулятора второй производной, а также найти производные более высокого порядка. Большинство из них Калькулятор частных производных , а некоторые из них также можно использовать для Расчет полных производных . Его также можно использовать для нахождения производных обыкновенного дифференциального уравнения   и уравнения в частных производных . Шаги по выполнению расчетов в этом калькуляторе исчисления также отображаются вместе с графиком в определенных случаях. Чтобы найти производные и решить дифференциальные уравнения, используются разные методы. Некоторые алгоритмы, используемые для решения дифференциальных уравнений: Алгоритм секущей, Bisect, iBisect, Secantin, Newton, iNewton, Broyden и т. д. Варианты расчета производных : Якобиан, Гессе, ранж, адаптивный ранж, heun, lsoda, mxmidgl и др.

Некоторые из этих решателей довольно просты в использовании, в то время как другие могут иногда оказаться немного сложными и потребовать от вас некоторых дополнительных знаний.

Мое любимое программное обеспечение для расчета производных:

Среди перечисленных программ мне больше всего нравится Microsoft Mathematics . Это связано с тем, что он довольно прост и удобен в использовании. Вам не нужно иметь каких-либо экстраординарных знаний, чтобы использовать это программное обеспечение. Также отображается пошаговое решение проблемы. При необходимости вы также можете выбрать просмотр 2D- и 3D-графика результата. Здесь вы можете узнать частные производные. Его также можно использовать для вычисления производных второго и более высокого порядка.

Вы также можете ознакомиться со списком лучших бесплатных программ для расчета геометрии, лучших бесплатных математических программ и лучших бесплатных программ для конвертации единиц измерения.

Microsoft Mathematics

Microsoft Mathematics — хорошее программное обеспечение, которое можно использовать в качестве производного калькулятора. Он оснащен калькулятором частных производных , который можно использовать в качестве решателя производных и калькулятора второй производной . При необходимости вы также можете выбрать расчет производных более высокого порядка . Вы также можете просмотреть шаги, выполняемые для нахождения производной функции.

Лучшая особенность этого бесплатного программного обеспечения заключается в том, что вы можете рисовать графики результатов в 2D или 3D. Можно выбрать отображение графиков в декартовых, сферических, или цилиндрических координатах .

Единственным недостатком этого бесплатного программного обеспечения калькулятора производных является то, что, поскольку это калькулятор частных производных, для функций более чем одной переменной частная производная вычисляется относительно указанной переменной дифференцирования. Его нельзя использовать для вычисления полной производной.

Его также можно использовать в качестве калькулятора неопределенного интеграла , и калькулятора определенного интеграла . Его также можно использовать, чтобы найти предел функции, найти сумму ряда, найти произведение ряда, и работать с задачами, связанными с бесконечностью .

Домашняя страница

Страница загрузки

Euler Math Toolbox

Euler Math Toolbox — это хорошее программное обеспечение, которое можно использовать в качестве бесплатного калькулятора производных. Чтобы использовать его, вам нужно вводить команды и узнавать, как вводятся уравнения, которые нужно решить, с помощью его основного синтаксиса. Его также можно использовать для построения графиков производных.

Он использует различные алгоритмы для решения дифференциальных уравнений, например: Алгоритм секущей, Bisect, iBisect, Secantin, Newton, iNewton, Broyden и т. д. Также доступны различные методы вычисления производных, например: Jacobian, Hessian, runge, Adaptiverunge, Heun, lsoda, mxmidgl и т. д. Чтобы использовать разные алгоритмы и разные методы, вы должны использовать их команды и следовать разным правилам синтаксиса.

Этот математический калькулятор можно также использовать для решения дифференциальных уравнений. Есть опции, позволяющие находить максимумы и минимумы функций. Его также можно использовать в качестве интегрального калькулятора.

Домашняя страница

Страница загрузки

WordMat

WordMat — хорошее бесплатное программное обеспечение, которое можно использовать в качестве производного калькулятора. Чтобы вычислить производную, просто введите Исчисление> Дифференцировать . Затем введите выражение и переменную, по которой должно быть вычислено дифференцирование. Его также можно использовать для вычисления нескольких производных. Чтобы рассчитать несколько производных, просто введите значение в раз.

Его также можно использовать для вычисления некоторых других математических задач, таких как: интегрирование, интегрирование Риша, поиск предела, поиск минимума, получение ряда, аппроксимация Паде, вычисление суммы, вычисление произведения, преобразование Лапласа, обратное преобразование Лапласа, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, деление многочленов, частичные дроби и непрерывные функции.

Домашняя страница

Страница загрузки

Пошаговый калькулятор производных

Пошаговый калькулятор производных — еще одно хорошее приложение-калькулятор дифференциации для Windows 8.1 и Windows 10.

Лучшая часть этого бесплатного программного обеспечения заключается в том, что вы можете просматривать шаги, которые выполняются для расчета дифференциации, включая формулы дифференциации и основные правила дифференциации, такие как: постоянное правило , правило суммы, правило произведения, частное правило, цепное правило, и степенное правило .

Может использоваться для нахождения производных тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, экспоненциальных функций, квадратного корня, и логарифмические функции .

Этот производный калькулятор использует методы выделения цветом, где Синий отображает объяснение, а Красный отображает части выражения, которые изменились по сравнению с предыдущим шагом.

Чтобы найти производную функции с помощью этого бесплатного программного обеспечения, вы должны ввести выражение для дифференцирования и переменную, относительно которой оно должно быть дифференцировано. Нажмите на кнопку Различать , чтобы дифференцировать введенное выражение.

Домашняя страница

Страница загрузки

MACE

MACE представляет собой простой калькулятор производных, который предлагает вам выполнить ряд сложных вычислений. Его также можно использовать в качестве программного обеспечения для решения производных для решения производных различных функций.

Как найти производную с помощью MACE:

• Откройте MACE и нажмите кнопку Дифференциальное исчисление .
• Затем нажмите кнопку Производная .
• В появившемся новом окне введите функцию, для которой вы хотите найти производную.
• Затем нажмите кнопку = , чтобы отобразить результат производной.

Эту программу-калькулятор также можно использовать для построения эскизов кривых . Используя MACE, вы также можете вычислить экстремумы , точки перегиба, интеграл, нормаль, период функции, симметрию, тангенс, и нули .

Домашняя страница

Страница загрузки

ZGrapher

ZGrapher — это простая бесплатная программа, которую можно использовать в качестве производного калькулятора. Для этого вам нужно просто ввести уравнение, переменную и т. д. Затем нажмите кнопку Исчисление и выберите вариант расчета производной. На основе уравнения рассчитывается и отображается производная.

Может также использоваться как вычислитель интегралов и для нахождения тангенса и нормали функции.

Домашняя страница

Страница загрузки

DeadLine

DeadLine — хорошее бесплатное программное обеспечение, которое можно использовать в качестве производного программного обеспечения для калькулятора. Здесь вы можете найти производную функции, а также вторую производную.

Как найти производную с помощью DeadLine:

• Открыть DeadLine.
• Создайте новый проект и введите уравнение, для которого вы хотите найти производную.
• Также введите параметры и начальную и конечную точки.
• Для функции строится график, а также отображаются ее корни.
• Затем перейдите к Вычислить> Получить .
• После этого выполняется дифференциальное и двойное дифференцирование.

Также может использоваться для интеграции.

Домашняя страница

Страница загрузки

ODEcalc

ODEcalc — это бесплатное программное обеспечение, которое можно использовать в качестве производного программного обеспечения калькулятора. Его можно использовать для решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Это программное обеспечение также действует как калькулятор секундной производной  и может использоваться для нахождения производных более высокого порядка . Ответы также можно сохранить в файл. При необходимости его можно использовать для решения задачи с начальными значениями или задачи с граничным объемом .

Отображает минимальное значение , максимальное значение или значение шага функции. Лучшая часть этого бесплатного программного обеспечения заключается в том, что график также строится для уравнения. Доступно несколько образцов, чтобы вы могли просмотреть результаты и получить представление о том, как использовать программное обеспечение.

Домашняя страница

Страница загрузки

Octave

Octave — это хорошее математическое программное обеспечение, которое можно использовать в качестве дифференциального калькулятора. Он имеет как интерфейс командной строки, так и графический интерфейс пользователя. Но для того, чтобы использовать это программное обеспечение, вам нужно иметь представление о Fortran. Этот решатель производных можно использовать для решения как обыкновенных дифференциальных уравнений , так и дифференциальных алгебраических уравнений .

Обыкновенные дифференциальные уравнения можно решить с помощью функции lsode . Его также можно использовать для вычисления якобиана функции .

Этот калькулятор производной можно также использовать для решения дифференциальных алгебраических уравнений . Это можно сделать с помощью функций daspk .

Домашняя страница

Страница загрузки

FunctionalCalculator

FunctionalCalculator  – это простое приложение на основе Java, которое можно использовать в качестве производного калькулятора. Просто введите функцию и нажмите Enter,  после чего вычисляется производная функции.

Его также можно использовать в качестве интегрального калькулятора , калькулятора тангенсов, калькулятора НОД, и для решения системы линейных уравнений .

Домашняя страница

Страница загрузки

Похожие сообщения

Написать комментарий

Все о калькуляторе производных Объяснение – Получить образование

Интерпретация калькулятора производных

во многом изменение входных данных влияет на результат. Это эквивалентно мгновенной цене изменения наклона и функции касательной через функцию.

Мы могли бы также отметить побочный продукт, относящийся к переменной. Когда дело доходит до функции f(x), произведение f относительно x обозначается как df/dx.

Производная функции.

Функция f(x) = ln(x), а также полученная ею f'(x) = 1 ⁄ x.

Как правильно рассчитать приобретенную: калькулятор производной

Существует множество способов определения производной. Тем не менее, существует набор стандартных инструментов для выделения функции, известных как производные направляющие. Существует пять общих производных политик, а также бесчисленное множество частных приобретенных правил.

В приведенной ниже таблице представлены пять основных производных политик для функций x. Вы можете заменить x любой другой переменной, соответствующей дифференцируемой функции. Общие положения могут быть наложены на любое обстоятельство, содержащее функцию, определенную правилом.

Таблица политики побочных продуктов

f(t).

Ф(ы).

Постоянная линейчатая ⁄ dx [c] = 0.

Степенная линейчатая ⁄ dx [xn] = nxn-1.

Цепная линейка ⁄ dx [f(g(x))] = f'(g(x)) g'(x).

Пункт Правило ⁄ dx [f( x) g( x)] = f'( x) g( x) + g'( x) f( x).

Отношение Линейка ⁄ dx [f( x) ⁄ g( x)] = [f'( x) g( x) – g'( x) f( x)] ⁄ [g( x)] 2.

Как работает калькулятор производных.

Приобретенный калькулятор работает на наборе кода под названием Система компьютерной алгебры (CAS). Код калькулятора полностью выполняется в вашем веб-браузере, что позволяет вычислять немедленные результаты (без обновления страницы или требуемого взаимодействия с веб-сервером).

Как только нажат переключатель «Рассчитать», ваша функция передается производной функции JS, которая стилизует ее перед передачей в CAS. CAS выполняет дифференциацию и отправляет результат обратно для переформатирования в LaTeX (язык математической обработки/визуализации).

Наконец, LaTeX отображается на веб-странице в качестве вашего ответа.

Дифференциация, а также побочные продукты — математические идеи. Тем не менее, ценность этих устройств применима и в повседневной жизни. Эти практические инструменты широко используются в биологии, медицине, физике, экономике, финансах, химии, космической технике и других клинических областях. Человек может усомниться в ценности этих математических приемов в повседневной жизни. Вы можете быстро понять этот простой принцип. Ваш ежемесячный или двухмесячный платеж соответствует принципу различия. Как именно? Не могли бы вы узнать цену вашего дохода, сравнив сумму денег, которую ваши компании должны вам, когда вы оказали им свою услугу. Эта пропорция дает вам стоимость оплаты, которая является лишь ориентиром различия.

Подробнее о калькуляторе производных

Различие заключается в процессе изучения побочных продуктов величин. Эти величины являются переменными. Связь зависимости или независимости помогает в выявлении результатов сумм. Удивительно, но производные используются по-разному в разных разделах математики с небольшими различиями в количествах, сохраняя при этом ту же интерпретацию дифференцирования. Например, в исчислении производная определяет корректировку ввода функции.

Что касается зависимых и независимых переменных, это скорость изменения зависимой переменной «y» относительно независимой переменной «x». В дифференциальной геометрии принцип дифференцирования несколько искажен. Приобретенный – это наклон кривой в точке поворота. Проще говоря, это наклон касательной с тем же коэффициентом на контуре. Следует иметь в виду, что производная линии постоянна, поскольку скорость изменения любой прямой линии не меняется.

Различные математики использовали разные символы для обозначения производных признаков. Лейбниц, Лагранж, Ньютон и Эйлер использовали обозначения для объяснения побочных продуктов функций. Лейбниц использовал Лагранжа, использовал off для начальной производной и f (n) для n-й производной признака, Ньютон использовал запись через точку для обозначения производных, а Эйлер использовал для обозначения побочных продуктов признаков.

Подробная информация о вычислении производного калькулятора

Вычисление первичных производных является простым и более невероятным, а вычисление частных производных – сложным. На предыдущих степенях дифференциации учащиеся могут быстро обнаруживать побочные продукты произведений, частных, действительных чисел, степеней и быстрых, логарифмических, тригонометрических и инвертированных тригонометрических функций. Стажеры используют интернет-курсы, чтобы изучить побочные продукты основной степени. Эти программы созданы специально для студентов. Вам необходимо зарегистрироваться для участия в некоторых онлайн-программах, заплатив вступительный взнос, в то время как другие учебные курсы бесплатны. Несколько крупных учебных заведений создали уникальные системы электронного обучения для обучения стажеров по всему миру.

Использование программного обеспечения для расчета производных

Обнаружение или вычисление производных элементарных признаков не является сложной задачей. Тем не менее, расчет более качественных побочных продуктов оказывается затруднительным. При решении математических задач необходимо не терять времени. Тем не менее, вычисление производных занимает много времени. С помощью инженеров математики нашли полезный способ решить эту серьезную проблему, и это приобретенный калькулятор.

Эти калькуляторы широко используются в наши дни. Вы должны поместить значение или переменную, и ваше решение обязательно будет соответствовать. Многочисленны типы этих калькуляторов. Большинство из них предназначены для решения математических задач на начальных уровнях. Тем не менее, несколько производных калькуляторов используют уникальные формулы и настройки для устранения большего количества побочных продуктов и проблем. Также доступны специальные программы, помогающие решать математические задачи. Mathematica и Matlab — два широко используемых программных устройства для математики.

Эти устройства могут упростить математическую задачу. Вы также можете строить диаграммы и представления, используя эти программные устройства для математики. Трехмерное изображение числа также может быть набросано с помощью этих полезных программ. Основная концепция этих калькуляторов и программного обеспечения заключается в экономии усилий и времени студентов или экспертов. Вы можете потратить это сэкономленное время на различные другие математические расчеты и выводы.

Концепция исчисления

Acquire является центральной концепцией исчисления и относится к его многочисленным приложениям к высшей математике. Производную функции при факторе определяют двумя разными способами: геометрическим и физическим. Геометрически производная функции при определенном значении ее входной переменной представляет собой наклон линии, касательной к ее графику через предложенный множитель. Его можно найти, используя формулу наклона или, если она есть, диаграмму, проводя прямые линии по направлению к запрашиваемому входному значению. Если в этой точке на графике нет разрывов или скачков, это просто значение y, представляющее предлагаемое значение x.

Дополнительная информация

В физике производная называется физической модификацией. Это относится к скорости мгновенной корректировки скорости вещей относительно кратчайшего возможного времени, необходимого для поездки на определенное расстояние. В связи с этим побочный продукт признака в факторе в математическом представлении относится к скорости изменения значения результирующих переменных, когда значения соответствующих входных переменных становятся близкими к нулю. Предположим, что два очень тщательно отобранных значения очень близки к предлагаемому исследуемому фактору. В этом случае побочным продуктом функции в точке исследования является частное разницы между выходными значениями и их эквивалентными входными значениями, когда они приближаются к нулю (0).

В частности, побочным продуктом функции является измерение того, как именно изменяется часть в зависимости от изменения значений ее входной (независимой) переменной.

Чтобы узнать результат функции в определенном факторе, выполните следующие действия:

1. Выберите два значения рядом с указанной точкой, одно слева, а другое справа.
2. Адрес для соответствующих значений результатов или значений y.
3. Сравните два значения.
4. Если оба значения совпадают или будут примерно равны одному и тому же числу, то это производная признака при данном значении x (входная переменная).
5. Использование таблицы значений, если значения y для этих точек справа от рассматриваемого значения x. Оно примерно равно приближенному значению y. Значения y, представляющие выбранные входные значения слева от x. Закрытое значение является производной функции в точке x.
6. С алгебраической точки зрения мы можем сначала найти приобретенный признак, взяв предел формулы отношения отношения различия, поскольку знаменатель приближается к нулю. Используйте полученную функцию для поиска побочного продукта, заменив входную переменную на предложенное значение x.

Правило взаимности для производных

В дифференциальном исчислении несколько раз вы знаете побочный продукт функции, но вам нужно найти производную от обратной функции. Например, у вас может быть возможность отбарабанить, какая производная от f(x) = -6 x ³ + 2x ² – 5x + 3, без особого представления, но у вас будет относительно много проблем с поиском побочного продукта г( х) = 1/f( х) = 1/(-6 х ³ + 2х ² – 5х + 3). Существует короткий путь к нахождению производной обратных функций. Тем не менее, его редко преподают на курсах математического анализа из-за нехватки времени. Здесь мы рассмотрим это правило, почему оно работает и как оно может сэкономить время.

Использование калькулятора производных

Прежде всего, давайте уделим немного времени поиску нашего более быстрого способа, использующего регулирование коэффициента. Допустим, мы берем побочный продукт 1/g(x), хотя мы уже понимаем побочный продукт g(x). Если мы допустим 1 = f(x), то мы берем производную от f(x)/g(x), что, как мы понимаем из политики соотношения, равно (f'(x) g(x) – f(x) ) г'( х))/( г( х)) ². Учитывая, что f( x) = 1, мы понимаем, что f'( x) = 0, что значительно упрощает наше уравнение! У нас есть следующая альтернатива:

( f'(x) g(x) – f(x) g'(x))/ (g(x)) ²

. ( 0 * g(x)- 1 * g'(x)) /

( г( х)) ².- г ‘( х)/( г( х) )². А также обеспечивает нам взаимное регулирование побочных продуктов! Производная от 1/g(x) равна g'(x)/(g(x))². Если вы хотите сказать это вслух, вы говорите: «Производная от взаимного является побочным продуктом деления основания на квадрат основания». Это упрощает понимание для многих людей (производный калькулятор).

Итак, как мы можем использовать это? Давайте начнем со сложной полиномиальной производной, которую мы проверили ранее, f( x) = -6 x ³ + 2x ² – 5x + 3. Благодаря нашему фундаментальному пониманию того, как работают производные полиномов, мы знаем, что наша производная f( x) есть f'( x) = -18 x ² + 4x – 5. Используя только эти детали, а также нашу недавно открытую политику взаимности, мы можем обнаружить побочный продукт g( x) = 1/f( x ) = 1/(-6 x ³ + 2x ² – 5x + 3) в соответствии с:.

d/dx (1/f(x)) = – f'(x)/ (f(x)) ²

. d/dx (1/f(x)) = -(-18 x ² + 4x – 5)/ (-6 x ³ + 2x ²-

5x + 3) ². И помимо фундаментального упрощения, мы закончили поиск производной одним простым и понятным действием!

Подробное описание процесса вычисления производных

Этот процесс взаимодействует с любой дифференцируемой функцией, а не только с многочленами. Например, трудно запоминаемые побочные продукты тригонометрических функций, такие как секанс (x) или косеканс (x). Предположим, вы помните принцип взаимности для произведений и синуса (x) и косинуса (x) фундаментальных производных. В этом случае легко найти все эти производные, когда они вам потребуются, вместо того, чтобы запоминать несколько формул, которыми вы редко будете пользоваться.

Итак, давайте найдем побочный продукт f(x) = sec(x). Если вы помните, sec(x) = 1/cos(x), то мы на самом деле находим производную от f(x) = 1/cos(x), которая соответствует шаблону f(x) = 1/ g(x), что делает g(x) = cos(x). Мы понимаем, что побочным продуктом cos(x) является -преступление(x), поэтому g'(x) = -sin(x). Учитывая, что f'(x) = -g'(x)/(g(x))², f'(x)= sin(x)/cos²(x), что приводит к f'(x) = sec (х) загар(х).

Изучив этот быстрый и легко запоминающийся ярлык, вы не только ускорите процесс получения множества производных, соответствующих образцу, но также сможете избежать увязания в памяти, имея в виду кучу редко используемых решений.

8 лучших образовательных инструментов и ресурсов для учащихся

У нас есть миллионы онлайн-инструментов, которые помогают упростить наши образовательные задачи, но вопрос в том, как мы можем найти эти инструменты? Ваши инструменты могут быть включены в шорт-лист в соответствии с необходимостью или вашими требованиями. Вы должны указать требования, после чего вы сможете легко выбрать подходящие инструменты. Как мы все знаем, в сфере образования многие задачи могут быть утомительными, когда вы выполняете их вручную, но могут быть очень простыми с помощью инструментов. И самая большая проблема в том, что у нас есть лучшие инструменты, но большинство из них платные, и в настоящее время студенту не так просто их позволить.

Имея это в виду, мы составили краткий список лучших образовательных инструментов и ресурсов для учащихся, но каждый может извлечь из них пользу. Итак, давайте разберемся с этими инструментами и подробно обсудим их, чтобы учащимся стало легче .

Этот блог содержит

1. Калькулятор первообразной производной

 

Если вы хотите проверить интегралы и алгебраические производные, то вы, безусловно, можете использовать этот калькулятор, и хорошо, что он бесплатный. Вы можете воспользоваться либо обычным калькулятором, либо онлайн-калькулятором, но вам нужно понять, что может быть более подходящим для вас в зависимости от ситуации.

Например, если вы хотите получить полные шаги, связанные с расчетом, вы можете использовать онлайн-калькулятор, но если вы не хотите этого делать, вы можете использовать обычный калькулятор. И самое главное, иногда использование смарт-устройств запрещено, поэтому использовать этот калькулятор может быть сложно.

2. Калькулятор GCF

 

GCF обозначает наибольший общий множитель, и этот калькулятор используется для нахождения GCF, существует несколько методов. Интерфейс калькулятора GCF очень прост и удобен в использовании, поэтому каждый может легко получить доступ к этому калькулятору и использовать его.

Мы можем найти GCF следующими методами: список факторов, простая факторизация, метод шага деления, метод Евклида, двоичный алгоритм и перевернутая лестница. Вы можете получить ответ, введя значение в поле ввода, разделенное запятыми, а затем выбрав метод в списке и нажав кнопку «Рассчитать».

3. Калькулятор производных

 

Эти типы калькуляторов в основном используются в вычислениях, но имейте в виду, что эти калькуляторы действительно важны. Потребность в этом калькуляторе связана с тем, что дифференцирование почему-то очень сложно для многих людей, и им нужно использовать калькулятор.

При использовании калькулятора дифференцирования мы видим два поля ввода и одну полосу операций, поэтому нам нужно ввести значение для дифференцирования. После ввода значения нужно выбрать любой оператор, в который входят сложение, вычитание, деление, умножение и еще некоторые операции.

Теперь все готово для получения результатов, и результаты, безусловно, будут точными и достоверными, вы можете просто скопировать ответ и шаги, связанные с решением.

4. Калькулятор HCF и LCM

 

Чтобы лучше понять работу этого калькулятора, вам необходимо знать, что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Прежде всего, HCF означает наибольший общий делитель и относится к числу, на которое можно легко разделить все числа, и это совершенно очевидно из названия.

Теперь давайте познакомимся с LCM, он означает наименьший общий множитель, и мы можем сказать, что это целое число, которое делится на все числа.

Мы должны ввести значения в данное поле ввода и нажать на расчет, вы получите точные ответы.

Но имейте в виду, что вам нужно разделять значения запятыми, чтобы сервер мог их легко понять.

У нас есть два выходных поля, которые покажут нам как самый высокий общий делитель, так и наименьшее общее кратное.

5. Калькулятор стандартной формы

 

Если вы хотите преобразовать свое значение в экспоненциальное представление, действительное число, электронное представление и инженерное представление, тогда этот калькулятор можно использовать.

Интерфейс этого калькулятора удобен и очень прост, поэтому каждый может получить доступ и получить точные ответы.

Вам нужно просто добавить значение, которое вы хотите преобразовать, и нажать кнопку преобразования, и все готово к работе.

У нас также есть кнопка для сброса, которая довольно распространена в каждом калькуляторе, и вам нужна эта кнопка, если вы ввели какое-то неправильное значение в поле ввода.

6. Калькулятор Sig Fig

 

Две вещи важны для использования калькулятора sig fig; один – число, а второй – круглое значение. Когда вы собираетесь использовать этот калькулятор, вы можете увидеть поле ввода, а также полосу прокрутки, которая используется для выбора округленного значения.

У нас также есть некоторые услуги, предоставляемые калькулятором sig fig, а именно: он предоставляет общее количество значащих цифр, общее количество десятичных знаков, электронную запись и экспоненциальную запись. И вам нужно очень четко понимать, какие значения являются значимыми, а какие несущественными, и о них есть некоторые доступные факты.

7. Калькулятор критического значения

 

Когда вы собираетесь использовать калькулятор критического значения, вы увидите два типа критических значений: T-значение и Z-значение. Чтобы вычислить T-критическое значение, вам нужно указать два входа для расчета вашего значения, и эти два значения представляют собой уровень значимости и степень свободы.

Но когда дело доходит до Z-значения, вам нужно указать только одно значение, которое является значительным уровнем, и все готово для получения результатов. Вы также можете использовать формулы, чтобы получить ответ вручную, потому что иногда калькуляторы не разрешены, поэтому вы должны знать, как рассчитывать вручную.

8. Калькулятор лимита

Как мы все знаем, поиск или расчет лимита может быть сложной задачей, если вы делаете это вручную, но с помощью калькуляторов это очень просто. Самое лучшее в использовании калькуляторов — это то, что вы можете получить полные шаги, связанные с решением, поэтому ваша напряженная задача, несомненно, станет проще.

С помощью этого калькулятора вы можете легко узнать как односторонние, так и двусторонние пределы, включая правую и левую стороны. Мы можем использовать этот калькулятор в основном в исчисления и математики , но мы можем сказать, что результаты будут точными и в соответствии с вашими требованиями.

Как мы упоминали выше, существуют миллионы онлайн- и офлайн-инструментов, но сначала вам нужно узнать о своих требованиях. Мы не ошибемся, если скажем, что эти образовательные инструменты могут легко свести к минимуму ваши усилия и, безусловно, сэкономить ваше время.

В некоторых сценариях необходимо использовать эти калькуляторы, но иногда вы можете рассчитать значения вручную.