Найти определитель (детерминант) матрицы онлайн
Операции с матрицами
При решении сложных систем уравнения большую роль играет определитель матрицы или детерминант матрицы. Это — важнейшая численная характеристика квадратной матрицы, используемая при решении многих задач. На вычислении определителя матрицы основан метод Крамера решения систем уравнений, он позволяет определять наличие и единственность решения систем уравнений. Обозначается определитель матрицы: det (A), |A|, или ∆(A). Определителем квадратной матрицы А размера n х n является число:
| det (A) = | Σ | (-1)N (α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn |
| (α1,α2,…,αn) |
В данном выражении а1,а2,…,аn — перестановка чисел от 1 до n, N (а1,а2,…,аn) — количество инверсий при перестановке.
Суммирование производится по всем перестановкам порядка n.
- Определитель матрицы с двумя равными или пропорциональными строками (столбцами), с нулевой строкой (столбцом), с двумя или несколькими линейно зависимыми строками (столбцами) равняется нулю.
- Определитель единичной матрицы равняется единице: det (E) = 1.
- Определитель матрицы не меняется при транспонировании.
Способы вычисления определителя матрицы:
1. Значение определителя матрицы 1×1 равняется значению ее элемента:
2. Значение определителя матрицы 2×2 равняется разности между произведениями элементов главной диагонали и побочной.
| ∆ = |
| = a11·a22 — a12·a21 |
3.
Определитель матрицы 3×3 равен разности между суммой произведений элементов главной диагонали плюс произведение элементов лежащих на треугольниках, грань которых параллельна главной диагонали, и суммой произведений элементов побочной диагонали и элементов, лежащих на треугольниках с параллельной побочной диагонали гранью.
| ∆ = |
| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33 |
Значение определителя матрицы 3-го порядка (3×3) можно рассчитать, используя правило Саррюса.
4. Определитель матрицы произвольного размера рассчитывается как сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.