Калькулятор предел функции: Предел функции lim y = f(x) = sin(x) (синус от (х)) в точке x -> x0 и бесконечности

3. Пределы функций

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела  .  2) Записи под значком предела, в данном случае  . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно  , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае  .

Сама запись   читается так: «предел функции   при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала  , затем  ,  , …,  , ….  То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, 

которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое  ? Это тот случай, когда   неограниченно возрастает, то есть: сначала  , потом  , потом  , затем   и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией  ?  ,  ,  , …

Итак: если  , то функция   стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать   до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при   функция   неограниченно возрастает

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если  , попробуйте построить последовательность   ,  ,  . Если  , то   ,  ,  .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:  , то все равно  , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного.

А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда  , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел 

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида  . Можно было бы подумать, что  , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим   в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим   в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность   необходимо разделить числитель и знаменатель на   в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на 

Вот оно как, ответ  , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак  , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел  Снова в числителе и знаменателе находим   в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем 

наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности   делим числитель и знаменатель на  . Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на 

Пример 3

Найти предел  Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (  можно записать как  ) Для раскрытия неопределенности   необходимо разделить числитель и знаменатель на  . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

Разделим числитель и знаменатель на 

Под записью   подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида   у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

 

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел  Сначала попробуем подставить -1 в дробь:   В данном случае получена так называемая неопределенность  .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида  , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него:  .

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни: 

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель   уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на  :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел 

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:  Знаменатель: , 

Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно  В ходе решения фрагмент типа  встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

 

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида 

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, что помимо многочленов у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел 

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 

Получена неопределенность вида  , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности   используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:  И смотрим на наш предел:  Что можно сказать?   у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать   (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,   мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на  :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу  :

Неопределенность   не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

 

Пример 7

Найти предел 

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Спасибо за внимание.

Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемыеЗамечательные пределы, с которыми Вы можете ознакомиться в соответствующей статье.

В сеть попала часть возможного исходного кода GTA V — некоторые ссылки уже заблокировали за нарушение прав — Игры на DTF

{“id”:3962,”url”:”\/distributions\/3962\/click?bit=1&hash=332f6be38f84dad2d5c211c2f556f6f51690e6760348e5924e1d8949cb30252a”,”title”:”\u041a\u0430\u043a \u0441\u0435\u0433\u043e\u0434\u043d\u044f \u0436\u0438\u0432\u0451\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0430\u0440\u0442\u0430\u043f\u0430\u043c? \u0414\u0435\u043b\u044f\u0442\u0441\u044f \u044d\u043a\u043e-\u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438″,”buttonText”:”\u0423\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c”,”imageUuid”:”16ff5af4-164a-5918-8378-eca89bf95d31″,”isPaidAndBannersEnabled”:false}

Игры

Granger

date” data-date=”1668695095″ data-type=”default” title=”17.11.2022 17:24:55 (Europe/Moscow)”>17 ноя в 17:2417 ноя

В архивах нашли описание работы античита и различных функций игры.

7087 просмотров

В середине ноября 2022 года на GitHub появился репозиторий якобы с частью исходного кода GTA V. Авторы утечки сообщили, что в архивах содержатся файлы, связанные с античитом GTA Online, упоминания вырезанного контента и заметки разработчиков.

Спустя несколько часов после утечки администрация GitHub удалила репозиторий по запросу Rockstar или Take-Two Interactive о нарушении авторских прав. Таким образом, компании косвенно подтвердили то, что часть исходного кода GTA V действительно попала в сеть. Стоит отметить, что Rockstar и T2 пока не делали никаких заявлений об утечке и не признали её.

Что было в архивах

Авторы портала LibertyCity успели скачать опубликованные архивы и изучить их. Они рассказали о том, что им удалось обнаружить.

• Описание систем, относящихся к звуковому оформлению GTA V.
• Подробная инструкция по работе с камерой и её использованию в геймплее.
• Информация о работе катсцен, оружия, игровой физики и транспорта.
• Детальное описание работы античита GTA Online и механизмов проведения внутриигровых денежных транзакций.
• Упоминания функций, которые выполняются в различных внутриигровых сценариях вроде миссий и ограблений.
• Адреса нативных функций GTA Online.
• Подробная документация к коду и отдельным функциям.
• Детальное описание системы проверки целостности и достоверности данных, которые клиент игры отправляет в Rockstar.

Один из моддеров портала LibertyCity под ником Cowboy69 также изучил утечку. По его словам, «слитая» информация окажется полезной для сообщества моддеров, а комментарии разработчиков помогут разобраться, как работают различные функции GTA V и GTA Online.

Авторы утечки не сообщили, откуда взяли архивы. Вероятно, доступ к ним получили вместе с файлами раннего билда GTA VI, которые попали в сеть в середине сентября 2022 года.

В сети появились десятки видео и тысячи строк исходного кода из раннего билда GTA VI Статьи редакции

Это одна из крупнейших утечек в истории видеоигр.

‎App Store: Калькулятор лимита с шагами

Описание

Решатель предельных калькуляторов — это подарок всем, кто изучает математику, и тем, кто преподает математический анализ. Потому что этот калькулятор рассчитывает лимиты и показывает пошаговые результаты.

Этот онлайн-калькулятор пределов позволяет сразу найти предел любой сложной дифференцируемой функции. Вы можете получить подробное решение любой функции, заключенной в определенные границы, используя этот искатель пределов.

Что такое предел?

«Предел говорит нам о поведении конкретной функции вблизи точки, но не точно в этой точке».

Эта операция обеспечивает надежную поддержку при решении различных числовых задач. Воспользуйтесь этим приложением калькулятора пределов, чтобы выполнить ряд математических вычислений в кратчайшие сроки. Этот искатель пределов не только вычисляет границы, но и отображает разложение данной функции в ряд Тейлора.

Правило Лопиталя:
Это специальное правило предлагается для нахождения пределов точно так же, как 0/0 или ∞/∞. Наш калькулятор лимитов сразу же упрощает такие лимиты и предоставляет вам правильный способ выполнения расчетов.

Как найти предел сложных функций с помощью калькулятора пределов?

Поскольку пределы широко используются в математике, вы можете найти границы функции, в которых она сохраняет свою непрерывность. Что вам нужно сделать, так это ввести функцию в наш лимитный калькулятор с шагами, и он быстро определит характер функции. Найдем как!

Запишите функцию в указанное поле
Теперь выберите переменную, для которой вы хотите найти предел
Затем выберите точку, вблизи которой должен быть определен предел.
Из следующего выпадающего списка выберите направление предела, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
Нажмите кнопку расчета, и калькулятор пределов предоставит пошаговый шаг решение на экране вашего устройства.

Возможности многопараметрического решателя:

Дружественный интерфейс
100% точные результаты
Пошаговые расчеты
Легко загружаемый PDF-файл всего решения для лучшего понимания проблемы
Простота в использовании
Удобная клавиатура для ввода любой сложной функции без каких-либо препятствий

Итак, используйте это приложение-калькулятор пределов, чтобы получить четкое представление о задачах исчисления, связанных с ограничениями.

5 апреля 2022 г.

Версия 1.0.2

— Исправление ошибки
— Добавление дополнительных функций
— Улучшение взаимодействия с пользователем

Разработчик Асад Ахсан указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Данные, используемые для отслеживания вас

Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:

Данные, связанные с вами

Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:

Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться в зависимости, например, от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше

Информация

Поставщик

Асад Ахсан

Размер

36,2 МБ

Категория

Образование

Возрастной рейтинг

4+

Авторское право

© 2022 eClixTech.

Цена

Бесплатно

• Сайт разработчика
• Тех. поддержка
• Политика конфиденциальности

Еще от этого разработчика

Вам также может понравиться

лимитов. Пошаговый калькулятор

Калькулятор находит предел функции с помощью различных преобразований, подстановок, умножения на сопряжение, группирующих множителей, правила Лопиталя, разложения в ряд Тейлора, списка общих пределов и свойств пределов. Вычисляет предельное значение функции в точке (слева и справа)

Введите выражение и нажмите или кнопку

Настройки

Рассчитать относительно

АвтоматическиВыбор метода решения~

автозамена

Примените правило Лопиталя Пропускать шаги с константой 9Содержимое загружается sin(x)

Список математических функций и констант:

•ln(x) — натуральный логарифм

•sin(x) — синус

•cos(x) — косинус

•tan(x) — тангенс

•cot(x) — котангенс

•arcsin(x) — арксинус

•arccos(x) — арккосинус

•arctan(x) — арктангенс

•arccot(x) — арккотангенс

•sinh(x) ) — гиперболический синус

•ch(x) — гиперболический косинус

•tanh(x) — гиперболический тангенс

•coth(x) — гиперболический котангенс

•sech(x) — гиперболический секанс

•csch(x) ) — гиперболический косеканс

•arsinh(x) — аркгиперболический синус

•arcosh(x) — аркгиперболический косинус 9б\)

•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)

•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)

•log3( x) — \(\log_3\left(x\right)\)

•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)

•pi — \(\pi\)

альфа — \(\alpha\)

бета — \(\beta\)

•сигма — \(\sigma\)

гамма — \(\gamma\)

nu — \(\nu\ )

•mu — \(\mu\)

phi — \(\phi\)

psi — \(\psi\)

•tau — \(\tau\)

eta — \(\ эта\)

rho — \(\rho\)

•a123 — \(a_{123}\)

x_n — \(x_{n}\)

mu11 — \(\mu_{11}\)

Добавить эту страницу в закладки — CTRL+D

Возможность редактировать тексты в решении (для улучшения калькулятора)

Ссылка на это решение

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Расчет.