Калькулятор пределов
Наш калькулятор решает пределы без подробного решения. Нужен ответ – воспользуйся калькулятором! Вы получите ответ за секунду!
Что такое предел?
Предел функции (предельное значение функции) в предельной для области определения функции заданной точке — это величина, к которой стремится значение функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Если предел функции существует, говорят, что функция сходится к указанному значению. Если такого предела не существует – функция расходится.
Другими словами, если некоторая переменная величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной функции в некотором интервале f(x)=y пределом называется такое число A, к которому
стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором
определена функция.
Определение предела функции часто формулируют на языке окрестностей. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения. Можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция. При этом сами концы интервала в область определения не входят.
На расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удаленной точки. Поэтому допустимо описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также ситуации, когда сама функция стремится к бесконечности в заданной точке. Предел последовательности при этом предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области
значений имеется такая окрестность этого значения, при которой в любой сколь угодно малой окрестности
точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых
окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел, равный значению функции в данной точке, такая функция является непрерывной в данной точке.
Также читайте нашу статью “Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем”
Бесплатный онлайн калькулятор
Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине «Математика», тема “Теория пределов”.
| План-конспект занятия на тему:«Омский летно-технический колледж гражданской авиации
имени А.В. Ляпидевского» филиал Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)»
(ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И))
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ И
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
по дисциплине
«Математика»
Теория пределов
Омск – 2015
Рассмотрено
на заседании ЦМК ЕНД
от «_____»__________20__г.
Протокол №_________
Разработал: Пищагина Е.С., преподаватель математики
Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика», тема «Теория пределов»/ Е.С. Пищагина – ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И), 2015. – 27 с.
Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика» предназначены для подготовки специалистов со средним профессиональном образованием.
Включает теоретические сведения, примеры решения заданий, примерные варианты контрольных заданий. Типовые задачи даются с подробным решением. Рекомендуется я самостоятельной проработки. Основное назначение – помочь курсанту самостоятельно, без помощи педагога закрепить знания по теме «Теория пределов» и подготовиться к контрольной работе.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Краткий курс лекций и методические рекомендации по выполнению контрольной работы по естественно – научной дисциплине «Математика» предназначены для курсантов 1-го курса специальностей:
25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей;
25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов;
25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов.
Содержание раздела курса математики «Теория пределов» определяется федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО).
Пособие объединяет лекционный материал и примеры решения типовых задач, и может быть использовано для изучения и закрепления учебного материала.
Теория пределов.
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1.
Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Итак, что же такое предел?
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного.
А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с материалом о бесконечно малых функциях.
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Пример 4
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, то ознакомьтесь с методическим материалом «Горячие формулы школьного курса математики». Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 6
Найти предел
Начинаем решать.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть.
Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Готово.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7
Найти предел
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
App Store: Калькулятор лимита с шагами
Описание
Решатель предельных калькуляторов — это подарок всем, кто изучает математику, и тем, кто преподает математический анализ. Потому что этот калькулятор рассчитывает лимиты и показывает пошаговые результаты.
Этот онлайн-калькулятор пределов позволяет сразу найти предел любой сложной дифференцируемой функции. Вы можете получить подробное решение любой функции, заключенной в определенные границы, используя этот искатель пределов.
Что такое предел?
«Предел говорит нам о поведении конкретной функции вблизи точки, но не точно в этой точке».
Эта операция обеспечивает надежную поддержку при решении различных числовых задач. Воспользуйтесь этим приложением калькулятора пределов, чтобы выполнить ряд математических вычислений в кратчайшие сроки. Этот искатель пределов не только вычисляет границы, но и отображает разложение данной функции в ряд Тейлора.
Правило Лопиталя:
Это специальное правило предлагается для нахождения пределов точно так же, как 0/0 или ∞/∞. Наш калькулятор лимитов сразу же упрощает такие лимиты и предоставляет вам правильный способ выполнения расчетов.
Как найти предел сложных функций с помощью калькулятора пределов?
Найдем как! Запишите функцию в указанное поле
Теперь выберите переменную, для которой вы хотите найти предел
Затем выберите точку, вблизи которой должен быть определен предел.
Из следующего выпадающего списка выберите направление предела, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
Нажмите кнопку расчета, и калькулятор пределов предоставит пошаговый шаг решение на экране вашего устройства.
Возможности многопараметрического решателя:
Дружественный интерфейс
100% точные результаты
Пошаговые расчеты
Легко загружаемый PDF-файл всего решения для лучшего понимания проблемы
Простота в использовании
Удобная клавиатура для ввода любой сложной функции без каких-либо препятствий
Итак, используйте это приложение-калькулятор пределов, чтобы получить четкое представление о задачах исчисления, связанных с ограничениями.
Версия 1.0.2
— Исправление ошибки
— Добавление дополнительных функций
— Улучшение взаимодействия с пользователем
Разработчик Асад Ахсан указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.
Данные, используемые для отслеживания вас
Следующие данные могут использоваться для отслеживания вас в приложениях и на веб-сайтах, принадлежащих другим компаниям:
Данные, связанные с вами
Следующие данные могут быть собраны и связаны с вашей личностью:
Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше
Информация
- Продавец
- Асад Ахсан
- Размер
- Категория
- Образование
- Возрастной рейтинг
- 4+
- Авторское право
- © 2022 eClixTech.
- Цена
- Бесплатно
2 megabytes”> 36,2 МБ- Сайт разработчика
- Тех. поддержка
- Политика конфиденциальности
Еще от этого разработчика
Вам также может понравиться
Limit Calculator Solver APK (приложение для Android)
Limit Calculator Solver – это подарок всем студентам, изучающим математику, и людям, которые преподают математический анализ.
Мы разработали оценщик пределов с большим интересом, чтобы каждый мог легко решать математические задачи, содержащие ограничения. В этом приложении есть много полезных функций для дифференциальных расчетных пределов .
Определение предела
Это продвинутая теория алгебры, объединяющая границы. Многие учащиеся сталкиваются с трудностями в обучении с этими границами, потому что они являются ключевой функцией Limit
Это полное и простое в использовании приложение для решения уравнений с ограничениями , которое поможет вам найти пределы. В исчислении и математике используется множество предельных функций, таких как вывод , непрерывность, интегрирование, положительный и отрицательный предел . Этот решатель математических уравнений с шагами дает вам полное объяснение реляционного функционального решателя и калькулятора пределов с решением .
Возможности программы расчета предельных значений
– Классный дизайн и простота в использовании.
– Калькулятор лимита малого размера.
– Отлично работает, чтобы найти предел любой функции.
– Полное пошаговое решение.
– Легко понять каждый шаг поиска пределов.
– Калькулятор решателя предельных значений.
– Вставка математических символов с помощью клавиатуры.
– Множественный расчет лимитов в одном приложении.
Вот еще несколько полезных функций этого многопараметрического калькулятора предельных значений :
Поиск положительного и отрицательного предела
С помощью этого Калькулятора пределов с шагами можно легко ограничить противоположное направление.
Участок
Не беспокойтесь, если вам нужно построить предельные уравнения на графике. Потому что этот калькулятор дает вам отдельный график для каждого вопроса.