Касательное ускорение формула: Тангенциальное ускорение – это… Что такое Тангенциальное ускорение?

Тангенциальное, или касательное ускорение: определение, формула расчета

Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.

Кинематические величины

Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.

В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.

Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:

v¯ = dL/dt

Скорость – это по времени производная пути.

Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:

a¯ = dv¯/dt

Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.

Траектория движения и ускорение

Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:

• касательную;
• нормальную.

В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.

Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.

Определение тангенциального ускорения

Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.

Выше было дано понятие ускорения как меры изменения скорости. Поскольку скорость – это вектор, то изменить ее можно либо по модулю, либо по направлению. Касательное ускорение определяет только изменение модуля скорости.

Заметим, что в случае прямолинейного движения вектор скорости своего направления не меняет, поэтому, в соответствии с приведенным определением, тангенциальное ускорение и линейное ускорение – это одна и та же величина.

Получение уравнения касательного ускорения

Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:

v¯ = v*u_t¯

Здесь v — модуль вектора v¯, u_t¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.

Используя математическое определение ускорения, получаем:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u_t¯)/dt = dv/dt*u_t¯ + v*d(u_t¯)/dt

При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.

Скажем пару слов о нормальном ускорении. Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:

a_n = v*d(u_t¯)/dt = v²/r

Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.

Уравнение касательного ускорения a_t¯ имеет вид:

a_t¯ = dv/dt*u_t¯

Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.

Тангенциальное ускорение и модуль полного ускорения

Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить полное ускорение через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:

a = √(a_n² + a_t²)

Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:

θ = arccos(a_t/a)

Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.

Связь касательного и углового ускорения

Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.

Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:

ω = dθ/dt;

α = dω/dt

Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:

ω = 2*pi/t

Линейная скорость в этом случае будет равна:

v = 2*pi*r/t

Где r – радиус траектории. Последние два выражения позволяют записать формулу связи двух скоростей:

v = ω*r

Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:

dv/dt = r*dω/dt

В правой части равенства стоит произведение углового ускорения на радиус окружности. Левая же часть равенства – это изменение модуля скорости, то есть касательное ускорение.

Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:

a_t = α*r

Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.

Далее, решим две задачи на применение записанных выше формул.

Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости

Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:

v = 2*t² + 3*t + 5

Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.

Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:

a_t = dv/dt

То есть для вычисления функции a_t(t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:

a_t = d(2*t² + 3*t + 5)/dt = t + 3

Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: a_t = 23 м/с².

Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения – это прямая линия.

Задача на определение тангенциального ускорения

Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с². Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.

Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения a_c:

a_c = v²/r

Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:

a_c = ω²*r

При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:

ω = α*t

Подставляя ω в равенство для a_c, получим:

a_c = α²*t²*r

Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:

α = a_t/r

Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:

a_c = a_t²/r²*t²*r = a_t²/r*t² =>

a_t = √(a_c*r)/t

Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: a_t = 0,447 м/с².

Тангенциальное ускорение формула направление физический смысл. Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное. и модуль полного ускорения

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением ).

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная состав­ляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению (направлена к цен­тру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) , а n = 0 – прямолинейное равномерное движение;

2) , а n = 0 – прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени

t 1 =0, а начальная скорость v 1 =v 0 , то, обозначив t 2 =t и v 2 =v, получим , откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

· 3) , а n = 0- прямолинейное движение с переменным ускорением;

· 4) , а n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a n =v 2 /r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

· 5) , – равномерное криволинейное движение;

· 6) , – криволинейное равнопеременное движение;

· 7) , – криволинейное движение с переменным ускорением.

2) Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных

Элементарное угловое перемещение – это вектор, направленный вдоль оси по правилу правого винта и численно равный углу

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Единица – ради­ан в секунду (рад/с).

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном – противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

При движении точки по кривой линейная скорость направлена

по касательной к кривой и по модулю равна произведению

угловой скорости на радиус кривизны кривой.(связь)

3) Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние

. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Итак, сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

Это выражение – более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется уравнением движения материальной точки .

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона

: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F 12 = – F 21 , (7.1)

где F 12 – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F 21 – сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике

системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Си́ла упру́гости – сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.

Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).

Закон Гука

В простейшем случае одномерных малых упругих деформаций формула для силы упругости имеет вид: где k – жёсткость тела, x – величина деформации.

СИЛА ТЯЖЕСТИ, сила P, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, и определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной силы инерции Q, учитывающей эффект суточного вращения Земли. Направление силы тяжести – вертикаль в данной точке земной поверхности.

существова­нием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение.

Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о

гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки »0,1 мкм и меньше).

опытным путем установили следующий закон : сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

f = tga 0 .

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a 0 , при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется

закон трения скольжения

F тр = f ист (N + Sp 0) ,

где р 0 – добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S – пло­щадь контакта между телами; f ист – истинный коэффициент трения скольжения.

Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F тр =f к N/r , (8.1)

где r – радиус катящегося тела; f к – коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Жидким (вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой или ее слоями.

где – импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где m i и r i – соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n – число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

5) Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

где a- угол между r и F; r sina = l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

Используя выражение (17.1), получаем

где J z – момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv 2 /2), следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m – масса катящегося тела; v c – скорость центра масс тела; Jc – момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w – угловая скорость тела.

6) Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы . Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения (F s = F cos), умноженной на перемещение точки приложения силы:

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементар­ное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения – прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где  – угол между векторами F и dr; ds = |dr| – элементарный путь; F s – проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности :

За время dt силаF совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N – величина скалярная.

Единица мощности –ватт (Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными , а силы, действующие в них, – консервативными . Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной ; ее примером является сила трения.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0 =0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h” ), П= -mgh”.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

где F x уп p – проекция силы упругости на ось х ; k – коэффициент упругости (для пружины – жесткость ), а знак минус указывает, что F x уп p направлена в сторону, противоположную деформации x .

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе уп­ругости и противоположно ей направлена, т. е.

Элементарная работа dA, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx, равна

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d (T +П) = 0,

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия со­храняется, т. е. не изменяется со временем.

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка.2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Тангенциальное(касательное) ускорение -это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения a лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела.

Вектор перпендикулярен линейной скорости движения, направлен по радиусу кривизны траектории.

Формула скорости при равноускоренном движении

Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Поступательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям.
Поступательное движение бывает двух типов: равномерное и неравномерное.

Вращательное движение – это движение тела вокруг некоторой оси. При таком движении все точки тела совершают движение по окружностям, центром которых является эта ось.

Угловая скорость. Угловое ускорение .

Угловая скорость – векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

Угловое ускорение – псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела

Связь линейной скорости с угловой и тангенциального ускорения с угловым.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис.2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

Первый закон Ньютона (или закон инерции )

Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.

Инерциальной системой отсчёта является такая система отсчёта, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью).

В при­ро­де су­ще­ству­ют че­ты­ре вида вза­и­мо­дей­ствия

1. Гра­ви­та­ци­он­ное (сила тя­го­те­ния) – это вза­и­мо­дей­ствие между те­ла­ми, ко­то­рые об­ла­да­ют мас­сой.

2. Элек­тро­маг­нит­ное- спра­вед­ли­во для тел, об­ла­да­ю­щих элек­три­че­ским за­ря­дом, от­вет­ствен­но за такие ме­ха­ни­че­ские силы, как сила тре­ния и сила упру­го­сти.

3.Силь­ное- вза­и­мо­дей­ствие ко­рот­ко­дей­ству­ю­щее, то есть дей­ству­ет на рас­сто­я­нии по­ряд­ка раз­ме­ра ядра.

4. Сла­бое. Такое вза­и­мо­дей­ствие от­вет­ствен­но за неко­то­рые виды вза­и­мо­дей­ствия среди эле­мен­тар­ных ча­стиц, за неко­то­рые виды β-рас­па­да и за дру­гие про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие внут­ри атома, атом­но­го ядра.

Масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие.

Сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона.

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: F=ma

Измеряется в

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения ). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с) .

Выражение второго закона Ньютона через изменение импульса тела

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равноускоренное движение – движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению.

Координата (линейная, угловая).

2)Перемещение ( ) – вектор, соединяющий начальную точку траектории с конечной.

3) Путь () – расстояние пройденное телом от начальной точки до конечной.

4) Линейная скорость:

4.1) Мгновенная.

Скоростью (мгновенной скоростью) движения называется векторная величина, равная отношению малого перемещения к бесконечно малому промежутку времени, за которое это перемещение производится

В проекциях: U x =

4.2) Средняя

Средняя (путевая) скорость – это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:

Путевая скорость:

Средняя путевая скорость, в отличие от мгновенной скорости не является векторной величиной.

Можно также ввести среднюю скорость по перемещению , которая будет вектором, равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:

Скорость перемещения:

Средняя скорость в общем виде:

5)Линейное ускорение:

5.1) Мгновенная

Мгновенным ускорением называется векторная величина, равная отношению малого изменения скорости к малому промежутку времени, за который происходило это изменение:

Ускорение характеризует быстроту вектора в данной точке пронстранства.

5.2) Средняя

Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

;

Изменение скорости:

Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения τ) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

Вопрос 2. Описание движения материальной точки (частные случи: равномерное движение по окружности, прямолинейное равномерное движение, равнопеременное движение по окружности).

Равномерное движение по окружности.

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v (вэ) = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение а ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен
a ЦС =v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус. Угол поворота измеряется в радианах.

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности.

v = = = Rω или v = Rω

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T

T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Движение по окружности

Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах. 

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело. 

∆l=R∆φ

Если угол поворота мал, то ∆l≈∆s.

Проиллюстрируем сказанное:

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω, то есть скорости изменения угла поворота. 

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆φ к промежутку времени ∆t, за которое оно произошло. ∆t→0.

ω=∆φ∆t, ∆t→0.

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (радс).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

ω=vR

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру. 

an=∆v→∆t, ∆t→0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

an=v2R=ω2R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v→ за малый промежуток времени ∆t. ∆v→=vB→-vA→.

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a→=∆v→∆t, ∆t→0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OAAB=BCCD.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Если значение угла ∆φ мало, расстояние AB=∆s≈v·∆t. Принимая во внимание, что OA=R и CD=∆v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

Rv∆t=v∆v или ∆v∆t=v2R

При ∆φ→0, направление вектора ∆v→=vB→-vA→ приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆t→0, получаем:

a→=an→=∆v→∆t; ∆t→0; an→=v2R.

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности. 

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

an→=-ω2R→.

Здесь R→ – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

aτ=∆vτ∆t; ∆t→0

Здесь ∆vτ=v2-v1  – изменение модуля скорости за промежуток ∆t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие vx и vy.

Если движение равномерное, величины vx и vy а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T=2πRv=2πω

 

Неравномерное движение. Ускорение. | Физика для студентов | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Неравномерное движение. Ускорение.

Если скорость тела (материальной точки) с течением времени изменяется по величине или направлению, то такое движение называется неравномерным. Векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением. Среднее ускорение за промежуток времени Δt:

a_ср=Δv/Δt, (1.1)

где Δv=v₂-v₁ – изменение вектора скорости за время Δt.

Переходя к пределу в формуле (1.1), получаем выражение для мгновенного ускорения:

Вектор ускорения может быть выражен следующими способами:

• в виде суммы составляющих по осям координат

a=a_xi+a_yj+a_xk,

где a_x, a_y, a_z − проекции вектора ускорения на соответствующие оси;

a_x=v’_x=x”
a_y=v’_y=xy”
a_z=v’_z=z”

• в виде суммы взаимно перпендикулярных векторов тангенциального (касательного) и нормального ускорений (здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором все точки траектории лежат в одной плоскости – (рис.1.3)

a=a_τ+a_n=a_τΤ+a_nn,

Рис.1.3. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение

где Τ – единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости, т.е. по касательной к траектории; n – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно к Τ.

a_τ=dv/dt, (1.2)

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

Его модуль:

a_n=v²/R, (1.3)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке. Модуль полного ускорения равен:

Разным сочетаниям тангенциального и нормального ускорений соответствуют различные виды плоского движения, приведенные в табл.1.

Таблица 1

Виды плоского движения

aτ	an	Вид движения
0	0	Прямолинейное равномерное
const	0	Прямолинейное равнопеременное
aτ=f(t)	0	Прямолинейное неравномерное
0	const	Равномерное по окружности
0	≠ 0	Криволинейное равномерное
const	≠ 0	Криволинейное равнопеременное
aτ=f(t)		Криволинейное неравномерное

2.6: Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

В этом разделе ускорение разбивается на две составляющие, называемые тангенциальной и нормальной составляющими. Подобно тому, как мы разбиваем все векторы на \ (\ hat {\ textbf {i}} \), \ (\ hat {\ textbf {j}} \) и \ (\ hat {\ textbf {k}} \ ) компоненты, мы можем сделать то же самое с ускорением. Добавление этих двух компонентов даст нам общее ускорение.

Введение

Мы привыкли рассматривать ускорение как вторую производную от положения, и хотя это один из способов взглянуть на общее ускорение, мы можем далее разбить ускорение на две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорение.Тангенциальное ускорение, обозначенное \ (a_T \), позволяет нам узнать, какая часть ускорения действует в направлении движения. Нормальное ускорение \ (a_N \) – это то, насколько ускорение ортогонально касательному ускорению.

Помните, что векторы имеют величину И направление. Тангенциальное ускорение является мерой скорости изменения величины вектора скорости, то есть скорости, а нормальное ускорение является мерой скорости изменения направления вектора скорости.

Этот подход к ускорению особенно полезен в физических приложениях, потому что нам нужно знать, какая часть общего ускорения действует в любом заданном направлении. Подумайте, например, о разработке тормозов для автомобиля или двигателя ракеты. Почему может быть полезно разделить ускорение на компоненты?

Теоретическая дискуссия с описательной проработкой

Мы можем найти тангенциальное ускорение, используя правило цепочки, чтобы переписать вектор скорости следующим образом:

\ [\ mathbf {v} = \ dfrac {\ mathrm {d \ textbf {r}}} {\ mathrm {d} t} = \ dfrac {\ mathrm {d \ textbf {r}}} {\ mathrm { d} s} \ dfrac {\ mathrm {d \ textit {s}}} {\ mathrm {d} t} = \ textbf {T} \ dfrac {\ mathrm {d \ mathit {s}}} {\ mathrm { d} t} \]

Теперь, поскольку ускорение – это просто производная скорости, мы находим, что:

\ [\ begin {align} \ mathbf {a} & = \ dfrac {\ mathrm {d \ mathbf {v}}} {\ mathrm {d} t} \\ & = \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ mathbf {T} \ dfrac {\ mathrm {d \ mathit {s}}} {\ mathrm {d} t}) \\ & = \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2 \ mathit {s}} {\ mathrm {d} t ^ 2} \ mathbf {T} + \ dfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t} \ dfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {T}} {\ mathrm {d} t} \\ & = \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2s} {\ mathrm {d} t ^ 2} \ mathbf {T} + \ dfrac {\ mathrm { d} s} {\ mathrm {d} t} \ left (\ dfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {T}} {\ mathrm {d} s} \ dfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t} \ right) \\ & = \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2s} {\ mathrm {d} t ^ 2} \ mathbf {T} + \ dfrac {\ mathrm {d} s} { \ mathrm {d} t} \ left (\ kappa \ mathbf {N} \ dfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t} \ right) \\ & = \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2s} {\ mathrm {d} t ^ 2} \ mathbf {T} + \ kappa \ left (\ dfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 \ mathbf { N} \ end {align} \]

Примечание

\ [\ dfrac {\ mathrm {d} \ mathbf {T}} {\ mathrm {d} s} = \ kappa \ mathbf {N} \]

Это, в свою очередь, дает нам определение ускорения по компонентам.2} \ label {Нормальный} \]

Мы можем связать это с обычным физическим принципом равномерного кругового движения. При равномерном циркуляционном движении, когда скорость не меняется, нет тангенциального ускорения, только нормальное ускорение, направленное к центру круга. Как вы думаете, почему это так? Подсказка: посмотрите во вводном разделе разницу между двумя компонентами ускорения.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Не найдя T и N, пишем ускорение движения

\ [\ mathbf {r} (t) = (\ cos t + t \ sin t) \ hat {\ textbf {i}} + (\ sin tt \ cos t) \ hat {\ textbf {j}} \ ] для \ (t> 0 \).2} \\ & = \ sqrt {\ dfrac {20} {9}} \\ & = \ dfrac {2 \ sqrt {5}} {3} \ end {align} \]

\ [\ mathbf {a} (1) = \ dfrac {4} {3} \ mathbf {T} + \ dfrac {2 \ sqrt {5}} {3} \ mathbf {N} \]

Что такое формула тангенциального ускорения? – Mvorganizing.org

Что такое формула тангенциального ускорения?

Он равен произведению углового ускорения α на радиус вращения. Тангенциальное ускорение = радиус вращения * его угловое ускорение. Он всегда измеряется в радианах на секунду в квадрате.Его размерная формула [T-2]. 2.

Какова размерная формула линейного ускорения?

Следовательно, ускорение размерно представлено как [M0 L1 T-2].

Какова размерная формула времени?

Или, T = √ [M0 L1 T0] × [M0 L1 T-2] -1 = √ [T2] = [M0 L0 T1]. Следовательно, период времени размерно представлен как [M0 L0 T1].

Какова размерная формула скорости?

Простыми словами скорость можно объяснить как скорость в определенном направлении.Математически скорость = смещение / время. Формула размеров смещения = M0L1T0.

Какая единица измерения угловой скорости?

рад / с

Что такое формула измерения?

Размерная формула (уравнение) (определение): Уравнение, которое дает связь между основными и производными единицами в терминах размеров, называется размерной формулой (уравнением). В механике длина, масса и время считаются тремя основными измерениями и обозначаются буквами L, M, T соответственно.

Одинакова ли размерная формула скорости и скорости?

Одинаковы ли размерные формулы скорости и скорости? Единицы измерения скорости и скорости в системе СИ одинаковы. Простыми словами скорость может быть выражена в определенном направлении как скорость. Математически об / мин = скорость / время.

Что такое единица скорости?

Скорость объекта – это то, как далеко объект перемещается за одну единицу времени. Формула скорости: скорость = расстояние время. Наиболее распространенными единицами измерения скорости являются метры в секунду (м / с), километры в час (км / ч) и мили в час (миль / ч).

В чем разница скорости и скорости?

Причина проста. Скорость – это скорость, с которой объект движется по траектории, а скорость – это скорость и направление движения объекта. Другими словами, скорость – это скалярная величина, а скорость – вектор.

Что такое размерная формула расстояния?

Размерная формула расстояния = M0L1T0. Размерная формула времени = M0L0T1. Единица измерения расстояния в системе СИ за n-ю секунду – мс-1.

Что такое размерная формула массы?

Когда физическая величина X зависит от основных размеров M (масса), L (длина) и T (время), температуры, текущего электричества, силы света и количества вещества с соответствующими мощностями a, b и c, представлена ​​его размерная формула как [MaLbTc].

Что такое размерная формула в физике?

Подсказка – Формула измерения – это выражение единицы физической величины через фундаментальные величины. Основными величинами являются масса (M), длина (L) и время (T). Формула размеров выражается в единицах мощности M, L и T. Они будут определять природу единицы, а не ее величину.

Что такое единица любви в системе СИ?

Ватт

Что такое единица СИ?

Система СИ, также называемая метрической системой, используется во всем мире.В системе СИ семь основных единиц: метр (м), килограмм (кг), секунда (ы), кельвин (K), ампер (A), моль (моль) и кандела ( CD).

Является ли CM единицей СИ?

Основной единицей длины в системе СИ является метр (м). Метр, который примерно на 10% длиннее ярда, эквивалентен 39,37 дюйма или 1,094 ярда….

Единица длины	Отношение к базовому блоку
сантиметр (см)	100 см = 1 м
миллиметр (мм)	1000 мм = 1 м
микрометр (мкм)	106 мкм = 1 м
нм (нм)	109 нм = 1 м

Какая размерная формула заряда?

Следовательно, электрический заряд размерно представлен как [M0 L0 T1 I1].

Для чего используется формула размеров?

Использование размерных уравнений Для проверки правильности физического отношения. Вывести связь между различными физическими величинами. Чтобы преобразовать значение физической величины из одной системы единиц в другую. Чтобы найти размерность констант в данном отношении.

Определение тангенциального ускорения в физике.

Примеры тангенциального ускорения в следующих темах:

• Угловое ускорение, Альфа

  • Это ускорение называется тангенциальным ускорением , при.
  • Тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления.
  • Тангенциальное ускорение at напрямую связано с угловым ускорением и связано с увеличением или уменьшением скорости (но не с ее направлением).
  Таким образом,
  • Центростремительное и тангенциальное ускорение перпендикулярны друг другу.
  • Это ускорение называется тангенциальным ускорением ускорением .2} {r} $.
  • Изменение $ v $ изменит величину радиального ускорения .
  • Чем больше скорость, тем больше радиальное ускорение .
  • Нам нужна тангенциальная сила , чтобы повлиять на изменение величины тангенциальной скорости .
  • Соответствующее ускорение называется тангенциальным ускорением ускорением .

• Круговое движение

  • Круговой объект испытывает ускорение за счет центростремительной силы в направлении центра вращения.
  • Поскольку вектор скорости объекта изменяется, происходит ускорение .
  • Направление скорости по круговой траектории – тангенциальное .
  • Следовательно, сила (и, следовательно, ускорение ) при движении в однородном направлении находится в радиальном направлении.
  • Уравнение для ускорения $ a $, необходимого для поддержания равномерного кругового движения:

• Центробежное ускорение

  • Поскольку скорость постоянна, обычно не думается, что объект ускоряется .
  • Таким образом, считается, что ускоряется .
  • Это ускорение можно почувствовать, когда едешь на американских горках.
  • Это ощущение ускорение .
  • Краткий обзор центростремительного ускорения для школьников-физиков.

• Движение с постоянным ускорением

  • Постоянное ускорение происходит, когда скорость объекта изменяется на равную величину в каждый равный период времени.
  • Ускорение можно легко получить из основных кинематических принципов.
  • Предположение, что ускорение является постоянным, не серьезно ограничивает ситуации, которые мы можем изучить, и не ухудшает точность нашего лечения, потому что в большом количестве ситуаций ускорение является постоянным.
  • Если это не так, мы можем либо рассматривать его в отдельных частях постоянного ускорения , либо использовать среднее ускорение за период времени.
  • Из-за алгебраических свойств постоянного ускорения существуют кинематические уравнения, которые связывают смещение, начальную скорость, конечную скорость, ускорение и время.

• Взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением

  • Крутящий момент равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение .
  • Крутящий момент и угловое ускорение связаны следующей формулой, где – момент инерции объекта, а $ \ alpha $ – угловое ускорение .
  • Если вы замените крутящий момент силой, а инерцию вращения – массой и угловым ускорением линейным ускорением , вы получите второй закон Ньютона.
  • Крутящий момент, угловое ускорение и роль церкви во Французской революции
  • Выразите взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением в форме уравнения

• Идеальные проводники

  • Электрическое поле (Etan) и плотность электрического потока (Dtan) по касательной к поверхности проводника должны быть равны 0.
  • Это связано с тем, что любое такое поле или поток, который является касательным к поверхности проводника, должен также существовать внутри проводника, который по определению касается тангенциального поля или плотности в одной точке.

• Постоянное угловое ускорение

  • Постоянное угловое ускорение описывает отношения между угловой скоростью, углом поворота и временем.
  • Мы уже изучили кинематические уравнения, описывающие линейное движение при постоянном ускорении :
  • Аналогичным образом кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем.
  • Используя соотношения a = rα, v = rω и x = rθ, мы выводим все остальные кинематические уравнения для вращательного движения при постоянном ускорении :
  • Свяжите угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение с их эквивалентами в линейной кинематике

• Графическая интерпретация

  • Ускорение сопровождается силой, как описано Вторым законом Ньютона; сила, как вектор, является произведением массы объекта, имеющего ускорение и ускорение (вектор), или $ F = ma $.
  • Поскольку ускорение – это скорость в $ \ displaystyle \ frac {m} {s} $, деленная на время в с, мы можем дополнительно вывести график ускорения из графика скорости или положения объекта.
  • Из этого графика мы можем дополнительно вывести график ускорения в зависимости от времени.
  • График ускорения показывает, что объект увеличивался с положительной постоянной ускорением в течение этого времени.
  • Это показано как отрицательное значение на графике ускорения .

• Кинематика UCM

  • Ускорение можно записать как
  • Это ускорение , отвечающее за равномерное круговое движение, называется центростремительным ускорением .
  • Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное или радиальное ускорение .
  • Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила равна массе, умноженной на , на ускорение .
  • Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным ускорением : $ a = a_c $.

10.3 Связь угловых и трансляционных величин – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Учитывая линейное кинематическое уравнение, напишите соответствующее кинематическое уравнение вращения
• Вычислить линейные расстояния, скорости и ускорения точек вращающейся системы с учетом угловых скоростей и ускорений

Angular vs.Линейные переменные

В «Вращательные переменные» мы ввели угловые переменные. Если мы сравним определения вращения с определениями линейных кинематических переменных из «Движение по прямой линии» и «Движение в двух и трех измерениях», мы обнаружим, что существует отображение линейных переменных во вращательные. Линейное положение, скорость и ускорение имеют свои вращательные аналоги, как мы можем видеть, когда пишем их рядом:

	линейный	Вращательный
Положение	х
Скорость
Разгон

Давайте сравним линейные и вращательные переменные по отдельности.Линейная переменная положения имеет физические единицы измерения в метрах, тогда как переменная углового положения имеет безразмерные единицы радиан, как видно из определения

.

, что является соотношением двух длин. Линейная скорость измеряется в м / с, а угловая скорость – в рад / с. В разделе «Вращательные переменные» мы видели в случае кругового движения, что линейная тангенциальная скорость частицы на радиусе r от оси вращения связана с угловой скоростью соотношением

.Это также может относиться к точкам на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси. Здесь мы рассматриваем только круговое движение. В круговом движении, как однородном, так и неравномерном, существует центростремительное ускорение (движение в двух и трех измерениях). Вектор центростремительного ускорения указывает внутрь от частицы, совершающей круговое движение, к оси вращения. Вывод величины центростремительного ускорения дан в «Движении в двух и трех измерениях». Исходя из этого вывода, величина центростремительного ускорения оказалась равной

.

, где r – радиус окружности.

Таким образом, при равномерном круговом движении, когда угловая скорость постоянна, а угловое ускорение равно нулю, мы имеем линейное ускорение, то есть центростремительное ускорение, поскольку тангенциальная скорость на (Рисунок) является постоянной. Если присутствует неравномерное круговое движение, вращающаяся система имеет угловое ускорение, и у нас есть оба линейных центростремительных ускорения, которые меняются (потому что

), а также линейное тангенциальное ускорение .Эти зависимости показаны на (Рисунок), где показаны центростремительные и тангенциальные ускорения для равномерного и неравномерного кругового движения.

Рисунок 10.14 (a) Равномерное круговое движение: центростремительное ускорение.

имеет вектор внутрь к оси вращения. Нет тангенциального ускорения. (b) Неравномерное круговое движение: угловое ускорение вызывает центростремительное ускорение внутрь, которое изменяется по величине, плюс тангенциальное ускорение

.

Центростремительное ускорение возникает из-за изменения направления тангенциальной скорости, тогда как тангенциальное ускорение возникает из-за любого изменения величины тангенциальной скорости. Векторы тангенциального и центростремительного ускорения

и

всегда перпендикулярны друг другу, как показано на (Рисунок). Чтобы завершить это описание, мы можем присвоить вектор полного линейного ускорения точке на вращающемся твердом теле или частице, совершающей круговое движение с радиусом r от фиксированной оси.Полный вектор линейного ускорения

– векторная сумма центростремительного и тангенциального ускорений,

Полный вектор линейного ускорения в случае неравномерного кругового движения указывает под углом между векторами центростремительного и тангенциального ускорений, как показано на (Рисунок). С

, величина суммарного линейного ускорения

Обратите внимание, что если угловое ускорение равно нулю, полное линейное ускорение равно центростремительному ускорению.

Рис. 10.15 Частица совершает круговое движение с угловым ускорением. Полное линейное ускорение частицы представляет собой векторную сумму векторов центростремительного ускорения и векторов тангенциального ускорения. Вектор полного линейного ускорения находится под углом между центростремительным и тангенциальным ускорениями.

Взаимосвязь между вращательным и поступательным движением

Мы можем рассмотреть две взаимосвязи между вращательным и поступательным движением.

1. Вообще говоря, линейные кинематические уравнения имеют свои вращательные аналоги. (Рисунок) перечислены четыре линейных кинематических уравнения и соответствующий аналог вращения. Эти две системы уравнений похожи друг на друга, но описывают две разные физические ситуации, то есть вращение и перемещение.
   

   Уравнения вращательной и поступательной кинематики

   ротационный	Трансляционный

2. Второе соответствие связано с соотношением линейных и вращательных переменных в частном случае кругового движения.Это показано на (Рисунок), где в третьем столбце мы перечислили связующее уравнение, которое связывает линейную переменную с переменной вращения. Вращательные переменные угловой скорости и ускорения имеют индексы, указывающие на их определение в круговом движении.
   

   Вращательные и поступательные величины: круговое движение

   ротационный	Трансляционный	Отношения ( )
   	с

Пример

Линейное ускорение центрифуги

Центрифуга имеет радиус 20 см и ускоряется от максимальной скорости вращения 10 000 об / мин до состояния покоя за 30 секунд при постоянном угловом ускорении.Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на конце центрифуги при

?

Каково направление вектора полного ускорения?

Стратегия

Имея предоставленную информацию, мы можем вычислить угловое ускорение, которое затем позволит нам найти тангенциальное ускорение. Мы можем найти центростремительное ускорение на

, вычислив тангенциальную скорость в это время.С помощью величин ускорений мы можем вычислить общее линейное ускорение. Из описания вращения в задаче мы можем набросать направление вектора полного ускорения.

Решение

Угловое ускорение

Следовательно, тангенциальное ускорение равно

Угловая скорость на

это

Таким образом, тангенциальная скорость при

это

Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение на

.

:

Поскольку два вектора ускорения перпендикулярны друг другу, величина общего линейного ускорения составляет

Поскольку центрифуга имеет отрицательное угловое ускорение, она замедляется.Общий вектор ускорения показан на (Рисунок). Угол относительно вектора центростремительного ускорения составляет

Знак минус означает, что вектор полного ускорения наклонен по часовой стрелке.

Рисунок 10.16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение идет по часовой стрелке, а не по направлению вращения (против часовой стрелки).

Значение

Из (Рисунок) мы видим, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения.Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень малый угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.

Проверьте свое понимание

Мальчик прыгает на покоящейся карусели радиусом 5 м. Он начинает с постоянной скоростью разгоняться до угловой скорости 5 рад / с за 20 секунд. Какое расстояние преодолел мальчик?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167134512901 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167134512901 ″]

Угловое ускорение

.Следовательно, общий угол, который проходит мальчик, равен

.

.

Таким образом, вычисляем

.

[/ hidden-answer]

10.1 Угловое ускорение – Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

• Опишите равномерное круговое движение.
• Объясните неравномерное круговое движение.
• Вычислить угловое ускорение объекта.
• Обратите внимание на связь между линейным и угловым ускорением.

Глава 6 Равномерное круговое движение и гравитация обсуждают только равномерное круговое движение, то есть движение по кругу с постоянной скоростью и, следовательно, с постоянной угловой скоростью. Напомним, что угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] была определена как временная скорость изменения угла [латекс] \ boldsymbol {\ theta}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}, [/ латекс]

, где [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex] – это угол поворота, как показано на рисунке 1.Взаимосвязь между угловой скоростью [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и линейной скоростью [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] также была определена в главе 6.1 «Угол поворота и угловая скорость» как

.

[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega} [/ латекс]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ omega \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v} {r}}, [/ latex]

, где [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] – это радиус кривизны, также видно на рисунке 1. Согласно соглашению о знаках, направление против часовой стрелки считается положительным направлением, а направление по часовой стрелке – отрицательным.

Рисунок 1. На этом рисунке показано равномерное круговое движение и некоторые его определенные величины.

Угловая скорость не постоянна, когда фигуристка тянет на руках, когда ребенок запускает карусель из состояния покоя или когда жесткий диск компьютера останавливается, когда он выключен. Во всех этих случаях существует угловое ускорение , при котором изменяется [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex]. 2}.2}, [/ latex] сколько времени нужно, чтобы колесо остановилось?

Стратегия для (а)

Угловое ускорение можно найти непосредственно из его определения в [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} [/ latex], поскольку даны окончательная угловая скорость и время . Мы видим, что [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ omega} [/ latex] составляет 250 об / мин, а [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}} [/ latex] составляет 5,00 с.

Решение для (а)

Вводя известную информацию в определение углового ускорения, получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {250 \ textbf {rpm}} {5.2} [/ latex] для углового ускорения нам нужно преобразовать [latex] \ boldsymbol {\ Delta \ omega} [/ latex] из об / мин в рад / с:

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ Delta \ omega} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {250 \ frac {\ textbf {rev}} {\ textbf {min}} \ cdotp \ frac {2 \ pi \ textbf {rad}} {\ textbf {rev}} \ cdotp \ frac {1 \ textbf {min}} {60 \ textbf {sec}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {26.2 \ textbf {rads.}} \ end {array} [/ latex]

Вводя это количество в выражение для [latex] \ boldsymbol {\ alpha}, [/ latex], получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {26.2} \ end {array} [/ latex]

Стратегия для (б)

В этой части мы знаем угловое ускорение и начальную угловую скорость. Мы можем найти время остановки, используя определение углового ускорения и решение для [latex] \ boldsymbol {\ Delta {t}}, [/ latex], что дает

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {t} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ alpha}}. [/ Латекс]

Решение для (b)

Здесь угловая скорость уменьшается от [latex] \ boldsymbol {26.2}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {0.300 \ textbf {s.}} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Обратите внимание, что угловое ускорение, когда девушка вращает колесо, небольшое и положительное; для получения заметной угловой скорости требуется 5 с. Когда она нажимает на тормоз, угловое ускорение велико и отрицательно. Угловая скорость быстро стремится к нулю. В обоих случаях отношения аналогичны тому, что происходит с линейным движением. Например, когда вы врезаетесь в кирпичную стену, происходит сильное замедление – изменение скорости велико за короткий промежуток времени.

Если бы велосипед в предыдущем примере был на колесах, а не перевернут, он сначала разогнался бы по земле, а затем остановился бы. Эту связь между круговым движением и линейным движением необходимо исследовать. Например, было бы полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении линейное ускорение составляет по касательной к окружности в интересующей точке, как показано на рисунке 2. Таким образом, линейное ускорение называется касательным ускорением [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}}.[/ латекс]

Рис. 2. При круговом движении линейное ускорение a происходит по мере изменения величины скорости: a касается движения. В контексте кругового движения линейное ускорение также называется тангенциальным ускорением a _t .

Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. Из главы 6 мы знаем, что при круговом движении центростремительное ускорение [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {c}}}, [/ latex] относится к изменениям направления скорости, но не ее величине. .Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение, как показано на рисунке 3. Таким образом, [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {c} }} [/ latex] перпендикулярны и независимы друг от друга. Касательное ускорение [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] напрямую связано с угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] и связано с увеличением или уменьшением скорость, но не ее направление.

Рисунок 3. Центростремительное ускорение a _c возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению.Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Теперь мы можем найти точную связь между линейным ускорением [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex] Потому что линейное ускорение пропорциональна изменению величины скорости, она определена (как и в главе 2 «Одномерная кинематика») равной

.

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t}}.} [/ латекс]

Для кругового движения обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega}, [/ latex], так что

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}.} [ / латекс]

Радиус [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex] постоянен для кругового движения, поэтому [латекс] \ boldsymbol {\ Delta (r \ omega) = r (\ Delta \ omega)}. [/ Latex] Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}.} [/ Latex]

По определению [латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}.[/ latex] Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha}, [/ latex]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}.} [/ Latex]

Эти уравнения означают, что линейное ускорение и угловое ускорение прямо пропорциональны. Чем больше угловое ускорение, тем больше линейное (тангенциальное) ускорение, и наоборот. Например, чем больше угловое ускорение ведущих колес автомобиля, тем больше ускорение автомобиля.Радиус тоже имеет значение. Например, чем меньше колесо, тем меньше его линейное ускорение для данного углового ускорения [латекс] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex]

Пример 2: Расчет углового ускорения колеса мотоцикла

Мощный мотоцикл может разогнаться от 0 до 30,0 м / с (около 108 км / ч) за 4,20 с. Каково угловое ускорение его колес радиусом 0,320 м? (См. Рисунок 4.)

Рисунок 4 . Линейное ускорение мотоцикла сопровождается угловым ускорением его колес.

Стратегия

Нам дана информация о линейных скоростях мотоцикла. Таким образом, мы можем найти его линейное ускорение [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}}. [/ Latex] Тогда выражение [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a _ {\ textbf {t }}} {r}} [/ latex] можно использовать для определения углового ускорения.

Решение

Линейное ускорение

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t}} } \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {30.2.} \ end {array} [/ latex]

Мы также знаем радиус колес. Ввод значений для [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}}} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {r} [/ latex] в [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a_ {\ textbf {t}}} {r}}, [/ latex] получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {7.14 \ textbf {m / s}} {20.320 \ textbf {m}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {22.2.} \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Радианы безразмерны и присутствуют в любом соотношении между угловыми и линейными величинами.

До сих пор мы определили три вращательные величины – [латекс] \ boldsymbol {\ theta, \: \ omega}, [/ latex] и [латекс] \ boldsymbol {\ alpha}. [/ Latex] Эти величины аналогичны трансляционные величины [латекс] \ boldsymbol {x}, \: \ boldsymbol {v}, [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {a}. [/ latex] В таблице 1 показаны вращательные величины, аналогичные трансляционные величины и отношения между ними.

ротационный	Трансляционный	Отношения
[латекс] \ boldsymbol {\ theta} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {x} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ theta = \ frac {x} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {v} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {v} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {a} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}} [/ латекс]
Таблица 1. Вращательные и поступательные величины.

УСТАНОВКА ПОДКЛЮЧЕНИЙ: ЭКСПЕРИМЕНТ НА ​​ДОМУ

Сядьте, поставив ноги на землю, на вращающийся стул. Поднимите одну ногу так, чтобы она была разогнута (выпрямлена). Другой ногой начните вращаться, отталкиваясь от земли. Прекратите толкать землю ногой, но позвольте стулу вращаться. От исходной точки, с которой вы начали, нарисуйте угол, угловую скорость и угловое ускорение вашей ноги как функцию времени в виде трех отдельных графиков.Оцените величину этих величин.

Проверьте свое понимание

1: Угловое ускорение – это вектор, имеющий как величину, так и направление. Как обозначить его величину и направление? Проиллюстрируйте на примере.

PHET EXPLORATIONS: LADYBUG REVOLUTION

Присоединяйтесь к божьей коровке и исследуйте вращательное движение. Вращайте карусель, чтобы изменить ее угол, или выберите постоянную угловую скорость или угловое ускорение.Изучите, как круговое движение связано с координатами x, y, скоростью и ускорением жука, используя векторы или графики.

Рисунок 5. Божья коровка Revolution

• Равномерное круговое движение – это движение с постоянной угловой скоростью [латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]
• При неравномерном круговом движении скорость изменяется со временем, а скорость изменения угловой скорости (т.е. угловое ускорение) равна [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t} }}.[/ латекс]
• Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления, заданному как [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = \ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t} }}. [/ latex]
• Для кругового движения обратите внимание, что [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega}, [/ latex] так, чтобы

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}}. [ / латекс]

• Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому [латекс] \ boldsymbol {\ Delta (r \ omega) = r \ Delta \ omega}.[/ latex] Таким образом,

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]

• По определению [латекс] \ boldsymbol {\ Delta \ omega / \ Delta {t} = \ alpha}. [/ Latex] Таким образом,

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha} [/ latex]

  или

  [латекс] \ boldsymbol {\ alpha =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}}. [/ Latex]

Концептуальные вопросы

1: Между вращательными и поступательными физическими величинами существуют аналогии.Определите вращательный член, аналогичный каждому из следующих: ускорение, сила, масса, работа, поступательная кинетическая энергия, линейный импульс, импульс.

2: Объясните, почему центростремительное ускорение изменяет направление скорости при круговом движении, но не ее величину.

3: При круговом движении тангенциальное ускорение может изменять величину скорости, но не ее направление. Поясните свой ответ.

4: Предположим, что блюдо стоит на краю вращающейся пластины микроволновой печи.Испытывает ли она ненулевое тангенциальное ускорение, центростремительное ускорение или и то, и другое, когда: а) пластина начинает вращаться? (б) Пластина вращается с постоянной угловой скоростью? (c) Пластина замедляется до остановки?

Задачи и упражнения

1: На пике торнадо имеет диаметр 60,0 м и скорость ветра 500 км / ч. Какова его угловая скорость в оборотах в секунду?

2: Комплексные концепции

Ультрацентрифуга ускоряется от состояния покоя до 100000 об / мин за 2 секунды.2} [/ latex] и кратные [latex] \ boldsymbol {g} [/ latex] этой точки на полных оборотах?

3: Комплексные концепции

У вас есть точильный камень (диск) весом 90,0 кг, радиусом 0,340 м и вращающимся со скоростью 90,0 об / мин, и вы прижимаете к нему стальной топор с радиальной силой 20,0 Н. 2}.[/ latex] Направление углового ускорения вдоль фиксированной оси обозначается знаком + или a -, так же как направление линейного ускорения в одном измерении обозначается знаком + или a -. Например, представьте, что гимнастка делает сальто вперед. Ее угловой момент будет параллелен циновке слева от нее. Величина ее углового ускорения будет пропорциональна ее угловой скорости (скорости вращения) и ее моменту инерции относительно оси вращения.

Задачи и упражнения

1:

[латекс] \ boldsymbol {\ omega = 0.2} [/ латекс]

(b) [латекс] \ boldsymbol {27 \ textbf {rev}} [/ латекс]

Тангенциальное ускорение

В физике мы говорим, что тело имеет ускорение, когда есть изменение вектора скорости, будь то по величине или направлению. В предыдущих разделах мы видели, что ускорение можно классифицировать в соответствии с эффектом, который оно производит на скорость, на тангенциальное ускорение (если оно изменяет величину вектора скорости) и на нормальное или центростремительное ускорение (если оно меняет свое направление. ).Это внутренние компоненты ускорения. В этом разделе мы собираемся более подробно разработать концепцию тангенциального ускорения.

Касательное ускорение

Ранее мы видели, что мгновенное ускорение является производной скорости по времени. С другой стороны, мы видели, что мы можем выразить вектор скорости как произведение его величины и единичного вектора, касательного к траектории v → = v⋅u → t. Если развить эти две идеи, мы получим:

a → = dv → dt = d (v · u → t) dt = ⏞D (a⋅b) dvdtu → t + vdu → tdt

Где мы применили производную от правила произведения D (ab) = a’b + ab ‘.

Мы видим, что первый член (dv → dtu → t) касается траектории, потому что он умножает единичный вектор u → t. Этот термин известен как тангенциальное ускорение и совпадает с повседневным понятием ускорения, которое представляет собой изменение величины скорости. ,>

Внутренние компоненты ускорения

Касательное ускорение (при →) | Нормальное ускорение (an →)

Касательное ускорение измеряет скорость изменения величины скорости с течением времени.Это дается выражением:

Где:

• a → t: вектор тангенциального ускорения
• v: величина вектора скорости
• u → t: единичный вектор, который соответствует направлению движения по касательной оси

Значение тангенциального ускорения может быть:

• Больше нуля (> 0): когда тело движется с ускорением, то есть величина вектора скорости увеличивается со временем
• Меньше нуля (<0): когда тело имеет замедленное или замедленное движение, то есть величина вектора скорости уменьшается со временем
• Равно нулю (= 0): когда тело движется равномерно, то есть величина вектора скорости остается постоянной

Пример

Зная, что величина скорости тела в S.I. шт .:

v = 7 + 2 · t + 3 · t2

Рассчитайте величину тангенциального ускорения.

5.3 Угловое ускорение – Биомеханика движения человека

Угловое ускорение обозначается греческой буквой альфа (α). Угловое ускорение представляет собой скорость изменения угловой скорости во времени. Другой способ подумать об этом – как быстро что-то ускоряется или замедляется.

ускорение (α) = Δω / Δt

Единицы измерения: рад / с ² или градусы / с ² .Когда скорость увеличивается, ускорение происходит в том же направлении вращения, что и скорость. Когда скорость уменьшается, должно быть ускорение в противоположном направлении движения, действующее как остановка для уменьшения скорости.

У ускорения есть направление. Если объект движется против часовой стрелки (+) и набирает скорость, ускорение положительное. Если скорость уменьшается, ускорение отрицательное. Если объект движется по часовой стрелке (-) и набирает скорость, ускорение отрицательное.Если скорость уменьшается, ускорение положительное.

Пример 1: Расчет углового ускорения и замедления велосипедного колеса

Предположим, что подросток кладет велосипед на спину и запускает вращение заднего колеса с момента покоя до конечной угловой скорости 250 об / мин за 5,00 с. (a) Рассчитайте угловое ускорение в рад / с ² . (b) Если теперь она нажимает на тормоза, вызывая угловое ускорение -87,3 рад / с ² , сколько времени потребуется колесу, чтобы остановиться?

Стратегия для (а)

Угловое ускорение можно найти непосредственно из его определения в [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} [/ latex], поскольку даны окончательная угловая скорость и время .Мы видим, что Δω составляет 250 об / мин, а Δ t составляет 5,00 с.

Решение для (а)

Вводя известную информацию в определение углового ускорения, получаем

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ alpha} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {\ frac {250 \ textbf {rpm}} {5.00 \ textbf {s.}}} \ end {array} [/ latex]

Поскольку Δω выражается в оборотах в минуту (об / мин), и нам нужны стандартные единицы рад / с ² для углового ускорения, нам нужно преобразовать Δω из об / мин в рад / с:

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ Delta \ omega} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {250 \ frac {\ textbf {rev}} {\ textbf {min}} \ cdotp \ frac {2 \ pi \ textbf {rad}} {\ textbf {rev}} \ cdotp \ frac {1 \ textbf {min}} {60 \ textbf {sec}}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {26.2} \ end {array} [/ latex]

Стратегия для (б)

В этой части мы знаем угловое ускорение и начальную угловую скорость. Мы можем найти время остановки, используя определение углового ускорения и решив для Δ t , что дает

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {t} \: =} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ alpha}}. [/ Latex]

Решение для (b)

Здесь угловая скорость уменьшается от 26.2}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {0.300 \ textbf {s.}} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Обратите внимание, что угловое ускорение, когда девушка вращает колесо, небольшое и положительное; для получения заметной угловой скорости требуется 5 с. Когда она нажимает на тормоз, угловое ускорение велико и отрицательно. Угловая скорость быстро стремится к нулю. В обоих случаях отношения аналогичны тому, что происходит с линейным движением. Например, когда вы врезаетесь в кирпичную стену, происходит сильное замедление – изменение скорости велико за короткий промежуток времени.

Если бы велосипед в предыдущем примере был на колесах, а не перевернут, он сначала разогнался бы по земле, а затем остановился бы. Эту связь между круговым движением и линейным движением необходимо исследовать. Например, было бы полезно знать, как связаны линейное и угловое ускорение. При круговом движении линейное ускорение составляет по касательной к окружности в интересующей точке, как показано на рисунке 2. Таким образом, линейное ускорение называется касательным ускорением a _t .

Рис. 2. При круговом движении линейное ускорение a происходит по мере изменения величины скорости: a касается движения. В контексте кругового движения линейное ускорение также называется тангенциальным ускорением a _t .

Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления. Мы знаем, что центростремительное ускорение при круговом движении, a _c , относится к изменениям направления скорости, но не ее величины.Объект, совершающий круговое движение, испытывает центростремительное ускорение, как показано на рисунке 3. Таким образом, a _t и a _c перпендикулярны и независимы друг от друга. Касательное ускорение a _t напрямую связано с угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] и связано с увеличением или уменьшением скорости, но не с ее направлением.

Рисунок 3. Центростремительное ускорение a _c возникает при изменении направления скорости; он перпендикулярен круговому движению. Таким образом, центростремительное и тангенциальное ускорения перпендикулярны друг другу.

Теперь мы можем найти точную связь между линейным ускорением a _t и угловым ускорением [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex]. Поскольку линейное ускорение пропорционально изменению величины скорости, оно определено как

.

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t}}.} [/ латекс]

Для кругового движения обратите внимание, что v = r ω , так что

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}.} [/ Latex]

Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому Δ ( r ω) = r (Δω) . Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}.} [/ Латекс]

По определению [латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}.[/ latex] Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha}, [/ latex]

или

[латекс] \ boldsymbol {\ alpha \: =} \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}.} [/ Latex]

Эти уравнения означают, что линейное ускорение и угловое ускорение прямо пропорциональны. Чем больше угловое ускорение, тем больше линейное (тангенциальное) ускорение, и наоборот. Например, чем больше угловое ускорение ведущих колес велосипеда, тем больше ускорение велосипеда.Радиус тоже имеет значение. Например, чем меньше колесо, тем меньше его линейное ускорение для данного углового ускорения [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex].

Итак, мы определили три вращательные величины: θ , ω и [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex]. Эти величины аналогичны трансляционным величинам x , v и a . В таблице 1 показаны вращательные величины, аналогичные поступательные величины и отношения между ними.

ротационный	Трансляционный	Отношения
[латекс] \ boldsymbol {\ theta} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {x} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ theta = \ frac {x} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {v} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {v} {r}} [/ латекс]
[латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {a} [/ латекс]	[латекс] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}} [/ латекс]
Таблица 1. Вращательные и поступательные величины.

• Равномерное круговое движение – это движение с постоянной угловой скоростью [латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]
• При неравномерном круговом движении скорость изменяется со временем, а скорость изменения угловой скорости (т.е. угловое ускорение) равна [latex] \ boldsymbol {\ alpha = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t} }}. [/ latex]
• Линейное или тангенциальное ускорение относится к изменениям величины скорости, но не ее направления, заданному как [latex] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = \ frac {\ Delta {v}} {\ Delta {t} }}.[/ латекс]
• Для кругового движения обратите внимание, что v = r ω , так что

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} \: =} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta (r \ omega)} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]

• Радиус r постоянен для кругового движения, поэтому Δ ( r ω) = r Δω . Таким образом,

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r} \ boldsymbol {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta {t}}}. [/ Latex]

• По определению Δω / Δ t = [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ латекс].Таким образом,

  [латекс] \ boldsymbol {a _ {\ textbf {t}} = r \ alpha} [/ latex]

  или

  [латекс] \ boldsymbol {\ alpha =} \ boldsymbol {\ frac {a _ {\ textbf {t}}} {r}}. [/ Latex]

Задачи и упражнения

4: Необоснованные результаты

Вам говорят, что баскетболист вращает мяч с угловым ускорением 100 рад / с ² . (а) Какова конечная угловая скорость мяча, если мяч стартует из состояния покоя и ускорение длится 2.00 с? б) Что неразумного в результате? (c) Какие посылки необоснованны или непоследовательны?

Глоссарий

угловое ускорение

скорость изменения угловой скорости во времени

изменение угловой скорости

разница между конечным и начальным значениями угловой скорости

тангенциальное ускорение

ускорение по касательной к окружности в интересующей точке при круговом движении

Решения

Задачи и упражнения

4:

.