Кинематика формула пути: Скорость и путь при равноускоренном движении — урок. Физика, 9 класс.

СЛОБОДСКОВ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ – ФИЗИКА (КУРС ЛЕКЦИЙ)

СЛОБОДСКОВ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ – ФИЗИКА (КУРС ЛЕКЦИЙ)

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ Кинематика

© Лопатин Павел Борисович Настоящий курс лекций построен на основе лекций, которые читал Б.А. Слободсков.

§ 25.  Равнозамедленное движение. Формула пути 1. Понятие равнозамедленного движения. Формула пути. Определение. Прямолинейное движение называется равнозамедленным, если за любые равные промежутки времени модуль скорости уменьшается на одну и ту же величину.    Это движение также является частным случаем движения с постоянным ускорением, поэтому любую задачу на это движение можно решать с помощью известных формул проекций скорости и координат движения с постоянным ускорением. Но иногда для более быстрого решения задач можно использовать формулы модуля скорости и пути.    Вначале найдём время, в течение которого тело движется равнозамедленно до остановки.             Получим теперь формулу модуля скорости равнозамедленного движения.       , где  , то есть  .    Из формулы координаты движения с постоянным ускорением можно получить формулу пути равнозамедленного движения.          , где  . 2. График пути равнозамедленного движения.    Графиком пути при равнозамедленном движении является ветвь параболы; вершина параболы расположена в конце времени движения. 2а.   Тело двигалось равнозамедленно, остановилось, а затем вновь начало двигаться (равноускоренно) в противоположном направлении: например, мяч, брошенный вертикально вверх.    График пути в этом случае будет выглядеть так.

< Предыдущий параграф <     Оглавление     > Следующий параграф >

© Лопатин Павел Борисович Никакую часть этого материала ни в каких целях, включая образовательные и научные, нельзя без письменного разрешения владельца авторских прав дублировать в сети Интернет и воспроизводить в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая запись на магнитный или электронный носитель, вывод на печать, фотокопирование.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту • СПАДИЛО

Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.

Важные факты!График движения тела, брошенного под углом к горизонту:

α — угол, под которым было брошено тело

1. Вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, направлен по касательной к траектории его движения.
2. Так как начальная скорость направлена не вдоль горизонтальной линии, обе ее проекции отличны от нуля. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v_0x = v₀cosα. Ее проекция на ось ОУ равна v _0y = v₀sinα.
3. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна: v_x = v₀ cosα. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = v₀ sinα – gt.
4. Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Кинематические характеристики

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:

v_min = v₀ cosα = v_h

Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:

v_max = v_o = v

Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: v_y = 0. Время подъема определяется следующей формулой:

Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид:

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

l = s_x = v_0x t_полн = v₀ cosα t_полн

Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v₀ cosα, данная формула принимает вид:

x = v₀ cosα t

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v₀ sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:

Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:

Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:

v₀ sinα = gt_под

Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.

Важные факты!

График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:

Время падения тела больше времени его подъема: t_пад > t_под.

Полное время полета равно:

t_полн = t_пад + t_под

Уравнение координаты x:

x = v₀ cosα t

Уравнение координаты y:

Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.

Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:

x = v₀ cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.

Задание EF17562 С высоты Н над землёй начинает свободно падать стальной шарик, который через время t = 0,4  c сталкивается с плитой, наклонённой под углом 30° к горизонту. После абсолютно упругого удара он движется по траектории, верхняя точка которой находится на высоте h = 1,4  м над землёй. Чему равна высота H? Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение.

---

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить на чертеже начальное и конечное положения тела. Выбрать систему координат.

3.Выбрать нулевой уровень для определения потенциальной энергии.

4.Записать закон сохранения энергии.

5.Решить задачу в общем виде.

6.Подставить числовые значения и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

• Время падения стального шарика: t = 0,4  c.

• Верхняя точка траектории после абсолютно упругого удара о плиту: h = 1,4  м.

• Угол наклона плиты: α = 30^о.

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

E_pA = mgH

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

EpB=mgl1

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

EkB=mv22..

Согласно закону сохранения энергии:

EpA=EpB+EkB

mgH=mgl1+mv22..

Отсюда высота H равна:

H=mgl1mg..+mv22mg..=l1+v22g..

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

h−l1=v2sin2.β2g..=v2sin2.(90−2α)o2g..

Отсюда:

l1=h−v2sin2.(90−2α)o2g..

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

v=gt

Следовательно:

H=l1+v22g..=h−(gt)2sin2.(90−2α)o2g..+(gt)22g..

H=h−gt2sin2.(90−2α)2..+gt22..=h−gt22..(sin2.(90−2α)o−1)

H=1,4−10·0,422..(sin2.(90−60)o−1)

H=1,4−5·0,16(sin2. 30o−1)

H=1,4−0,8((12..)2−1)=1,4−0,8(14..−1)

H=1,4+0,6=2 (м)

.

.

.

.

Ответ: 20

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17980

В момент t=0 мячик бросают с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок).

Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. (Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y=0).

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите выбранные цифры в порядке АБ.

---

Алгоритм решения

1. Установить вид механического движения, исходя из условий задачи.
2. Записать формулы для физических величин, указанных в таблице, в соответствии с установленным видом механического движения.
3. Определить, как зависят эти величины от времени.
4. Установить соответствие между графиками и величинами.

Решение

Исходя из условия задачи, мячик движется неравномерно. Этот случай соответствует движению тела, брошенного под углом к горизонту.

Записываем формулы для физических величин из таблицы, учитывая, что речь идет о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Координата x меняется согласно уравнению координаты x:

Так как начальная координата нулевая, а проекция ускорения свободного падения тоже равна нулю, это уравнение принимает вид:

Проекция скорости мячика на ось ОХ равна произведению начальной скорости на время и косинус угла, под которым мячик был брошен. Поэтому уравнение координаты x принимает вид:

В этом уравнении начальная скорость и угол α — постоянные величины. Меняется только время. И оно может только расти. Поэтому и координата x может только расти. В этом случае ей может соответствовать график, представляющий собой прямую линии, не параллельную оси времени. Но графики А и Б не могут описывать изменение этой координаты.

Формула проекции скорости мячика на ось ОХ:

Начальная скорость и угол α — постоянные величины. И больше ни от чего проекция скорости на ось ОХ не зависит. Поэтому ее может охарактеризовать график в виде прямой линии, параллельной оси времени. Такой график у нас есть — это Б.

Кинетическая энергия мячика равна половине произведения массы мячика на квадрат его мгновенной скорости. По мере приближения к верхней точке полета скорость тела уменьшается, а затем растет. Поэтому кинетическая энергия также сначала уменьшается, а затем растет. Но на графике А величина наоборот — сначала увеличивается, потом уменьшается. Поэтому он не может быть графиком зависимости кинетической энергии мячика от времени.

Остается последний вариант — координата y. Уравнение этой координаты имеет вид:

Это квадратическая зависимость, поэтому графиком зависимости координаты y от времени может быть только парабола. Так как мячик сначала движется вверх, а потом — вниз, то и график должен сначала расти, а затем — убывать. График А полностью соответствует этому описанию.

Теперь записываем установленные соответствия в порядке АБ: 42.

Ответ: 42

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18741

Мальчик бросил стальной шарик вверх под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к Земле модуль ускорения шарика и горизонтальная составляющая его скорости?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличивается
2. уменьшается
3. не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

---

Алгоритм решения

1. Сделать чертеж, иллюстрирующий ситуацию.
2. Записать формулы, определяющие указанные в условии задачи величины.
3. Определить характер изменения физических величин, опираясь на сделанный чертеж и формулы.

Решение

Выполняем чертеж:

Модуль ускорения шарика |g| — величина постоянная, так как ускорение свободного падения не меняет ни направления, ни модуля. Поэтому модуль ускорения не меняется (выбор «3»).

Горизонтальная составляющая скорости шарика определяется формулой:

v_x = v₀ cosα

Угол, под которым было брошено тело, поменяться не может. Начальная скорость броска тоже. Больше ни от каких величин горизонтальная составляющая скорости не зависит. Поэтому проекция скорости на ось ОХ тоже не меняется (выбор «3»).

Ответом будет следующая последовательность цифр — 33.

Ответ: 33

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 43.1k

Что такое формула траектории? -Примеры

ОБЕЩАНИЕ НА 30 ДНЕЙ | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЬГИ*

*T&C Применить

Формула траектории используется для нахождения траектории или траектории полета движущегося объекта, который движется под действием силы тяжести. Термин траектория используется для снарядов или небесных объектов. Когда камень брошен в воздух, парабола является правильным приближением к траектории снаряда.
Давайте разберемся с формулой траектории на решенных примерах. 92 \theta}\)

Где

• θ угол проекции от горизонтали,
• v – абсолютная начальная скорость,
• g – ускорение свободного падения.
• y — горизонтальная составляющая,
• x – вертикальная составляющая
.

Давайте посмотрим на несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулу траектории.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Примеры использования формулы траектории

Пример 1:  Если начальная скорость камня, брошенного мальчиком, равна 6 м/с, а угол, под которым брошен камень, равен 60 ^∘ . Найдите уравнение траектории снаряда. Используйте g = 9,8 м/сек ² . Решите это, используя формулу траектории. 92 \тета}\)
y = x tan 60 – (9,8)(x ² )/(2)(6 ² )(cos ² 60)
y = x√3 – 0,544x ²

Ответ: Отсюда уравнение траектории снаряда: y = x√3 – 0,544x ² .

Пример 2: Если Тревор ударит битой по мячу с начальной скоростью 45 м/с в воздухе. По направлению движения мяча конец поля находится на расстоянии 140,0 м. Если начальный угол, под которым брошен мяч, равен 66,4°. Вычислите высоту по вертикали, когда мяч достигнет конца поля. Решите это, используя формулу траектории.

Решение:

Дано, θ = 66,4°
v = 45 м/с
x = 140,0 м

Использование формула траектории,

y = (140)(tan 66,4°) – [ (9,8)(140)(140)/(2)(45) ² (0,4) ² ]

y = 320,6 – 192 080 /648

y = 320,6 – 296,4 = 24,2 

Ответ: Высота по вертикали, когда мяч достигает конца поля, составляет 24,4 м.

Рабочие листы по математике и
наглядная программа

Формула траектории – GeeksforGeeks

Снарядное движение — это тип движения, при котором объект движется в двусторонне симметричном параболическом направлении. Путь, по которому движется объект, называется его траекторией. Траектория — это кривая маршрута предмета в зависимости от его скорости и силы тяжести. Это тип движения, при котором объект, запущенный в воздух, движется по извилистому маршруту под действием силы тяжести. Он также включает компоненты положения по вертикали (y) и по горизонтали (x). Формула траектории помогает нам определить гравитационную силу, действующую на объект. Он используется для расчета траектории или траектории полета движущегося объекта, на который действует сила тяжести.

 

Формула

y = x tan θ − gx ² /2v ² cos ² θ

где

y — горизонтальная составляющая,

x — вертикальная составляющая,

θ — угол, под которым снаряд выбрасывается от горизонтали,

g — постоянная, называемая ускорением свободного падения,

v — начальная скорость снаряда.

Примеры задач

Задача 1. Снаряд брошен с начальной скоростью 10 м/с и углом 60 ^o . Найдите горизонтальную составляющую снаряда, если его вертикальная составляющая равна 4 м. Используйте g = 9,8 м/с ² .

Решение:

Имеем,

v = 10, θ = 60 ^o , x = 4 и g = 9,8

Используя траекторию У нас есть формула

y = x tan θ − gx ² /2v ² cos ² θ

= 4 (тангенс 60) − (9,8) (4) ² /2(10) ² (cos ² 60)

= 1,73 (4) – 4,903 ( 16/25)

= 3,78 м

Задача 2. Снаряд брошен под углом 30 ^o . Найти начальную скорость снаряда, если его горизонтальная составляющая 9 м, а вертикальная 5 м. Используйте g = 9,8 м/с ² .

Решение:

Имеем,

θ = 30 ^o , x = 5, y = 9 и g = 9,8

Используя формулу траектории, имеем

=> 9 = 5 (tan 30) − (9,8) (5) ² /2v ² (cos ² 30)

=> 9 = 2,88 – 4,903(5)² / v ² (1,5)

= > v ² = 25

=> v = 5 м/с

Задача 3. Снаряд брошен под углом 45 ^o и имеет начальную скорость 12 м/с. Найдите вертикальную составляющую снаряда, если его горизонтальная составляющая равна 15 м. Используйте g = 10 м/с ² .

Решение:

Имеем,

v = 12, θ = 45 ^o , y = 15 и g = 9,8 Формула траектории у нас есть,

y = x tan θ − gx ² /2v ² cos ² θ

=> 15 = x (tan 45) − (10) x ² /2 (12) ² (cos 9 0046 2 45)

=> 15 = x – 10x ² /144

Решите квадратное уравнение относительно x.

=> х = 1,175, -1,275

Отбросив отрицательное значение, так как расстояние не может быть меньше нуля, получим

=> x = 1,175 м

Задача 4. Снаряд брошен под углом 30 ^o с начальной скоростью 6 м/ с. Найдите уравнение траектории снаряда. Используйте g = 9,8 м/с ² .

Решение:

Имеем,

θ = 30 ^o , v = 6 и g = 9,8

Используя формулу траектории имеем,

y = x tan θ − gx ² /2v ² cos ² θ

y = x (tan 30) − (9,8) x ² /2(6) ² (кос ² 30)

y = 0,58 x – 4,9(x)²/(72) (1,5)

y = 0,58x – 4,9x²/27

Задача 5. Снаряд брошен под углом 6 0 ^o и начальная скорость 9 м/с. Найдите уравнение траектории снаряда. Используйте g = 9,8 м/с ² .

Решение:

Имеем

θ = 60 ^o , v = 9 и g = 9,8 46 2 /2v ² cos ² θ

y = x (tan 60) − (9,8) x ² /2(9) ² (cos ² 60)

y = 1,73 x – 4,9(х)²/( 81) (1/4)

y = 1,73x – 4,903x² / 20,25

Задача 6. Снаряд брошен под углом 45 ^o и имеет начальную скорость 12 м/с. Найдите уравнение траектории снаряда. Используйте г = 9.8 м/с ² .

Решение:

У нас есть,

? = 45 ^o , v = 12 и g = 9,8

Используя формулу траектории, мы имеем,

y = x tan θ − gx ² /2v ² cos ² θ

y = x (tan 45) – (9,8) x ² /2(12) ² (cos ² 45)

y = x – 4,9(x)²/(144) (1/ 2)

y = x – 4,9x²/72

Задача 7.