Когда можно перемножать матрицы: эффективная реализация шаг за шагом / Хабр

1. Матрицы. Операции с матрицами

Определение 1.1. Числовой матрицей размера mn, где m – число строк, n – число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определённом порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строкиi и номером столбца j, на пересечении которых он находится:

Иногда коротко пишут т. е.i меняется от 1 до m, j – от 1 до n.

Замечание. Матрица размерностью состоит из одного элемента и равна этому элементу.

Далее рассмотрим специальные виды матриц.

Определение 1.2. Матрицей-строкой (строчечной матрицей) называется матрица размерности, состоящая из одной строки:

Определение 1.3. Матрицей-столбцом (столбцевой матрицей, числовым вектором) называется матрица размерности, состоящая из одного столбца:

Определение 1. 4. Квадратной матрицей порядка называется матрица, у которой число строк и число столбцов одинаково и равно

Элементы матрицы, расположенные на главной диагонали матрицы, имеют одинаковые индексы строки и столбца:

Определение 1.5. Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нулю:

Определение 1.6. Если в квадратной матрице , то матрица называется симметричной.

Пример. симметричная матрица.

Определение 1.7. Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей.

С матрицами можно выполнять следующие операции: сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование.

Определение 1.8. Суммой двух матриц иодной размерности называется такая третья матрицатой же размерности, что и матрицы–слагаемые, каждый элемент которойпредставляет собой сумму соответствующих элементов матрици:

.

Определение 1.9. Произведением матрицы на действительное числоназывается такая матрицатой же размерности, что и матрицакаждый элемент которойпредставляет собой произведение соответствующего элемента матрицына число:

Пример. Даны матрицы

; ,

найти матрицу

Пользуясь определениями 1.8 и 1.9, получим следующие матрицы:

Определение 1.10. Произведением матрицы размерностис матрицейразмерностив указанном порядке называется такая третья матрицаразмерностикаждый элемент которойпредставляет собой сумму произведений соответствующих элементовй строки матрицыиго столбца матрицы:

.

Замечание. Из определения 1.10 следует, что перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первого множителя равно числу строк второго.

Определение 1. 11. Матрица размерностиназывается транспонированной по отношению к матрицеразмерности, если она получена из неё заменой строк столбцами (или, что то же, столбцов – строками):

Пример. Даны матрицы

Составить матрицу

Пользуясь определениями 1.10 и 1.11, получим матрицы

;

Пример. Найти произведение матриц

и .

По определению 1.10, результатом перемножения матриц ибудет матрица размерностиа при перемножении матрициполучится матрица размерности

Пример. Найти произведение матриц

и

По определению 1.10, результатом перемножения матриц ибудет матрица размерности

Пример.

Дана матрица

Записать матрицу

Воспользуемся определением 1.10 и запишем:

Теорема 1.1. Операции с матрицами обладают следующими основными свойствами:

  1. –коммутативность сложения матриц.

  2. –ассоциативность сложения матриц.

  3. –произведение матриц в общем случае некоммутативно.

  4. –ассоциативность произведения матриц.

  5. –дистрибутивность умножения матрицы на число относительно сложения действительных чисел

  6. –дистрибутивность умножения матрицы на действительное число относительно сложения матриц.

  7. –двойное транспонирование матрицы имеет своим результатом исходную матрицу.

  8. если эти произведения имеют смысл.

«Почему можно перемножать только такие матрицы, у которых число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице?» — Яндекс Кью

Популярное

Сообщества

Математика

Анонимный вопрос

ОтветитьУточнить

Вадим Романский

Физика

6,7 K

младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · 11 окт 2019  ·

astropolytech

Ответ первый, простой – по определению. Само это правило – перемножать элементы строки одной на соответствующие им элементы столбца другой и складывать произведения не дает способа перемножать неподходящие матрицы

Ответ второй, подробный. Для него нужно понять, что такое на самом деле матрица. Это не просто набор чисел в прямоугольнике, а представление линейного оператора в некой системе координат. Что такое линейный оператор? Это функция, в качестве аргумента принимающая вектор, значением которой тоже служит вектор, и удовлетворяющая требованию линейности, то есть. пусть m, n – числа, V, U – вектора, A – оператор. Линейность означает, что для любых m,n,V,U выполняется соотношение

A(m*V + n*U) = m*A(V) + n*A(U)

Рассмотрим конкретный премер – двумерные вектора и операторы поворота. Пусть дан вектор V с координатами Vx и Vy, и мы хотим повернуть его на угол альфа против часовой. и выяснить, какие будут его координаты. С точки зрения векторов и операторов поворот записывается как U = A(V), для линейных операторво принято обозначение в терминах умножения U = A*V

В координатах же это выглядит как

Ux = Vx* cos(alpha) – Vy*sin(alpha)

Uy = Vx*sin(alpha) + Vy*cos(alpha)

Легко видеть, что это можно записать как умножение матрицы на столбец! Матрица оператора A выглядит как

cos(alpha) -sin(alpha)

sin(alpha) cos(alpha)

теперь рассмотрим два последовательных применения операторов сначала A поворот на альфа, потом B поворот на угол бета. Такую композицию называют умножением, и она действительно удовлетворяет свойствам привычного нам умножения чисел, кроме коммутативности. А матрица оператора B*A, соответствующая повороту на угол бета плюс альфа, будет равна произведению их матриц, выполненому по правилу “строка на столбец”. Таким образом, мы видим, что логично назвать именно эту операцию умножением матриц.

Почему же нельзя умножить матрицы с неподходящими размерами? Это становится понятно, если пристальнее понять, что именно означает конкретный элемент матрицы, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце. Как нетрудно видеть из примера выше, этот элемент означает, какой вклад даст j-я компонента исходного вектора в i-ую компоненту полученного результата. А при попытке перемножить матрицы неподхоящих размерностей получится что у векторов есть либо лишние и неиспользованные компоненты, либо наоборот их нехватает и получается бессмыслица

астрофизическое образование

Перейти на vk.com/astropolytech

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

Умножение матриц | Формула, правила, умножение и факты

Что такое матрица?

Матрица определяется как прямоугольный массив чисел, символов или выражений, расположенных в строках и столбцах (множественное число: матрицы). Если в массиве n строк и m столбцов, то это матрица размера n×m. размерности матрицы обозначаются числами n и m. Числа в матрице обозначаются как их элементов .

Обозначение матриц

Мы обычно обозначаем матрицы заглавными буквами, например A, B, C и т. д.

A≔ Матрица обозначается заглавной буквой.
a≔ Элемент матрицы обозначается строчной буквой.

Прямоугольные скобки обычно используются для записи матриц. Горизонтальные и вертикальные линии элементов в матрице называются соответственно строками и столбцами.

Размерность матрицы

Количество строк и столбцов, содержащихся в матрице, определяет ее размер. Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей размера m × n или матрицей размера m на n, где m и n называются размерами матрицы. При описании матрицы вы указываете количество строк по количеству столбцов. Иногда это называют порядком матрицы. Например, матрица

A=[12       34]

называется матрицей размера один на четыре, поскольку она имеет одну строку и четыре столбца. Мы также можем сказать, что порядок A равен 1 × 4. Матрица

B = [123  456]

является матрицей 3 × 2, поскольку она имеет три строки и два столбца. Он имеет порядок 3×2.

Совет: Помните, что сначала указывается количество строк, а затем количество столбцов.

Рассмотрите аббревиатуру «RC» для «Row then Column», чтобы запомнить это.

Что такое умножение матриц?

Жак Филипп Мари Бине, французский математик, впервые описал умножение матриц в 1812 году, чтобы изобразить состав линейных карт, представленных матрицами. В результате умножение матриц является фундаментальным инструментом линейной алгебры с различными приложениями во многих областях математики, включая прикладную математику, статистику, физику, экономику и инженерию. Вычисление матричного произведения является фундаментальным процессом во всех вычислительных приложениях линейной алгебры.

Существует только два метода умножения матриц. Первый метод включает умножение матрицы на скаляр. Это называется скалярным умножением. Второй способ заключается в умножении одной матрицы на другую. Это называется умножением матриц.

Скалярное умножение

Поскольку выражение A+A представляет собой сумму двух матриц с одинаковыми размерами, матрицу A можно сложить с самой собой. В итоге мы удваиваем каждую запись в A, когда вычисляем A+A. В результате мы можем интерпретировать выражение 2A как предписывающее нам умножить каждый элемент в A на  2. 

Обычно, чтобы умножить матрицу на число, умножьте это число на каждый элемент матрицы. Например,

Отдельные числа обычно называют скалярами при обсуждении матриц. В результате мы называем операцию умножения матрицы на число скалярным умножением.

Скалярное произведение

Чтобы умножить одну матрицу на другую, мы должны сначала понять, что такое скалярное произведение. Скалярное произведение — это метод нахождения произведения двух векторов, также известный как умножение векторов. Предположим, что следующие два вектора:

u=[123] , v=[456]

Чтобы умножить эти два вектора, просто перемножьте соответствующие элементы и сложите полученные произведения.

u∙v=(1)(4)+(2)(5)+(3)(6)
=4+10+18
=32

В результате перемножения векторов получаем единственное значение . Обратите внимание, однако, что два вектора имеют одинаковое количество записей. Что, если один из векторов содержит меньше элементов, чем другой?

 Например, пусть

u=[214] , v=[310     2]

Когда соответствующие записи были перемножены и сложены вместе, решение будет:

u∙v= [214] [310     2]
=2(3)+1(1)+0(4)+?(2)

Здесь возникла проблема. Первые три записи скалярного произведения имеют соответствующие записи для умножения, а четвертая — нет. Это означает, что скалярное произведение этих двух векторов не может быть вычислено.

В результате скалярное произведение двух векторов с разным количеством элементов не может быть найдено. Они оба должны содержать одинаковое количество записей.

Каковы условия для умножения матриц?

Когда мы хотим перемножить матрицы, мы должны сначала убедиться, что операция возможна, что не всегда так. Кроме того, в отличие от числовой арифметики и алгебры, даже если произведение существует, порядок умножения может повлиять на результат.

Изучение скалярного произведения необходимо при умножении матриц. При умножении одной матрицы на другую строки и столбцы должны рассматриваться как векторы.

Пример 1. Найти AB, если A=[1234] и B=[5678]

А∙В= [1234] . [5678]

Сосредоточьтесь на следующих строках и столбцах

, где r 1 — первая строка, r 2 ​ — вторая строка, c 1 , c 2 90are первая и ​вторые столбцы. Рассматривайте каждую строку и столбец как вектор.

Обратите внимание, что умножение матрицы 2×2 на другую матрицу 2×2 дает матрицу 2×2. Таким образом, в полученной матрице должно быть четыре элемента.

Убедитесь, что первая запись находится в первой строке и первом столбце. Итак, чтобы получить значение первой записи, просто возьмите скалярное произведение r 1 и с 1 . Таким образом, первая запись будет

Теперь обратите внимание, что расположение второй записи находится в первой строке и втором столбце. Итак, чтобы получить значение второй записи, просто возьмите скалярное произведение r 1 и c 2 . Таким образом, вторая запись будет

. Ту же стратегию можно использовать для получения значения двух последних записей.

Пример 2. Найти AB, если A=[14   25 36] и B=[111  111 111 111]

A∙B= [14  25 36] x [111 111 111 111]

Используйте скалярные произведения для вычисления каждой записи.

Следовательно, две матрицы можно перемножить, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Умножение дает другую матрицу с тем же количеством строк, что и у первой, и тем же количеством столбцов, что и у второй. Если это не так, умножение не может быть выполнено.

В символах пусть A будет матрицей m×p, а пусть B будет матрицей q×n. Тогда произведение A×B=AB будет матрицей размера m×n при условии, что p=q. Если p≠q, умножение матриц не определено. Например, матрицу 2×5 нельзя умножить на матрицу 3×4, потому что 5≠3, тогда как матрицу 2×5 можно умножить на 5×3, и в результате получится матрица 2×3.

Каковы свойства умножения матриц?

Умножение матриц имеет некоторые общие свойства с обычным умножением. Умножение матриц, с другой стороны, не определено, если число столбцов в первом сомножителе отличается от числа строк во втором сомножителе, и оно некоммутативно, даже если произведение остается определенным после того, как порядок сомножителей измененный.

Некоммутативность 

Некоммутативность умножения матриц является одним из наиболее существенных различий между умножением действительных чисел и умножением матриц. Следовательно, порядок умножения двух матриц имеет значение при умножении матриц.

Операция является коммутативной, если для двух элементов A и B, таких, что произведение AB

определено, тогда также определено BA, AB=BA

Например,

A=[0100] и B=[0010 ]

затем,

AB= [0100] x [0010] = [1000]

но

BA= [0010] x [0010] = [1000]

Обратите внимание, что продукты не совпадают с AB ≠БА. Следовательно, умножение матриц не является коммутативным.

Коммутативность имеет место в одном особом случае. Это при умножении диагональных матриц одинаковой размерности.

Помимо этого важного отличия, свойства умножения матриц в основном аналогичны свойствам умножения действительных чисел.

Дистрибутивность

Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц. То есть, если A, B, C, D матрицы соответствующих размеров m×n,n×p, n×p и p×q, то дистрибутивность слева

AB+C=AB+AC

и другое имеет правильное распределение

B+CD=BD+CD

Пример 1: 

Обратите внимание, что AB+C=AB+AC. Теперь найдите B+CA и  BA+CA

. Обратите внимание, что B+CA=BA+CA. Также примечательно, что AB + CB + CA и что AB + AC ≠ BA + CA, что напоминает нам о некоммутативности матричного умножения.

Ассоциативность

Это свойство указывает, что группировка, окружающая умножение матриц, может быть изменена.

Если A, B, C являются матрицами m×n, n×p и p×q соответственно, то (AB)C=A(BC)

Например, вы можете умножить матрицу A на матрицу B, а затем умножить результат на матрицу C, или вы можете умножить матрицу B на матрицу C, а затем умножить результат на матрицу A.

Применяя это свойство, помните о порядке перемножения матриц, поскольку умножение матриц не является коммутативным.

Пример 1: 

Мы можем найти (AB)C следующим образом:

Мы можем найти A(BC) следующим образом:

Обратите внимание, что ABC= A(BC).

Свойство мультипликативной идентичности

Матрица n×n , обозначенная In, представляет собой матрицу с n строками и n столбцами. Все записи по диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого – это единицы, а все остальные – нули.

Например:

Свойство мультипликативной идентичности утверждает, что произведение любой матрицы размера n × n A и I n всегда равно A, независимо от порядка выполнения умножения. Другими словами, A∙I=I∙A=A

Роль, которую единичная матрица размера n×n играет в умножении матриц, аналогична роли, которую играет число 1 в действительной системе счисления. Если a — действительное число, то мы знаем, что a∙1=a и 1∙a=a

Мультипликативное свойство нуля

Нулевая матрица — это матрица, в которой все элементы равны 0. Например, 3× 3 нулевая матрица O 3×3 =[0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Нулевая матрица обозначается буквой O, и при необходимости можно добавить нижний индекс для указания размеров матрицы.

Мультипликативное свойство нуля гласит, что произведение любой матрицы размера n × n и нулевой матрицы размера n × n является нулевой матрицей размера n × n. Другими словами, А∙О=О∙А=О.

Роль, которую нулевая матрица n×n играет в умножении матриц, подобна роли, которую играет число 0 в действительной системе счисления. Если a — действительное число, то мы знаем, что a∙0=0 и 0∙a=0

Свойство измерения

Свойство измерения — это свойство, уникальное для матриц. Это свойство состоит из двух частей:

  1. Если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице, определяется произведение двух матриц.
  1. Если произведение определено, результирующая матрица будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Например, если A — матрица 3×2, а B — матрица 2×4, свойство размерности говорит нам, что произведение AB определено и AB будет матрицей 3×4.

Где можно применить умножение матриц?

Умножение матриц исторически использовалось для упрощения и уточнения вычислений в линейной алгебре. Эта тесная связь между линейной алгеброй и матричным умножением продолжает оставаться фундаментальной для всей математики, а также для физики, химии, инженерии и компьютерных наук.

Записи в матрице могут представлять данные, а также математические уравнения. Матрицы умножения могут обеспечить быстрое, но точное приближение к гораздо более сложным вычислениям во многих инженерных приложениях, критичных ко времени.

Матрицы появились как способ описания систем линейных уравнений, задача, с которой знаком каждый, кто изучал алгебру в начальной школе. Термин «линейный» просто означает, что переменные в уравнениях не имеют показателей, поэтому их графики всегда представляют собой прямые линии.

Уравнение x-2y=0, например, имеет бесконечное число решений как для y, так и для x, что можно изобразить в виде прямой линии, проходящей через точки (0,0), (2,1), (4,2) и так далее. Но если вы объедините его с уравнением x -y=1, то будет только одно решение: x=2 и y=1. В точке (2,1) также пересекаются графики двух уравнений.

Матрица, иллюстрирующая эти два уравнения, будет представлять собой сетку чисел два на два, где верхняя строка будет [1-2], а нижняя строка будет [1-1], чтобы соответствовать коэффициентам переменных в два уравнения.

Компьютеры часто используются для решения систем линейных уравнений — обычно с более чем двумя переменными — в различных приложениях, начиная от обработки изображений и заканчивая генетическим анализом. Их также часто просят перемножить матрицы.

Умножение матриц аналогично решению линейных уравнений для конкретных переменных. Рассмотрим выражения t + 2p + 3h, 4t + 5p + 6h и 7t + 8p + 9h, которые описывают три различные математические операции, включающие измерения температуры, давления и влажности. Их можно представить в виде трехстрочной матрицы: [1 2 3], [4 5 6] и [7 8 9].

Предположим, вы измеряете температуру, давление и влажность вне дома в два разных времени. Эти показания также могут быть представлены в виде матрицы с первым набором показаний в одном столбце и вторым набором показаний в другом. Умножение этих матриц влечет за собой сопоставление строк из первой матрицы, которая описывает уравнения, и столбцов из второй, которая представляет измерения, умножение соответствующих членов, их сложение и ввод результатов в новую матрицу. Числа в окончательной матрице, например, могут предсказать путь системы низкого давления.

Конечно, сведение сложной динамики моделей погодных систем к набору линейных уравнений само по себе является трудной задачей. Но это поднимает одну из причин, по которой матрицы так популярны в компьютерных науках: они позволяют компьютерам заранее выполнять большую вычислительную тяжелую работу. Создание матрицы, которая дает полезные результаты вычислений, может быть трудным, но умножение матриц обычно не является трудным.

Графика — это одна из областей компьютерных наук, где умножение матриц особенно полезно, поскольку цифровое изображение по своей сути является матрицей: строки и столбцы матрицы соответствуют строкам и столбцам пикселей, а числовые значения соответствуют цветовые значения пикселей. Декодирование цифрового видео требует умножения матриц. Например, некоторым исследователям удалось создать один из первых чипов для реализации нового стандарта высокоэффективного кодирования видео для телевизоров сверхвысокой четкости. Паттерны, которые они обнаружили в используемых матрицах, сыграли свою роль в этом успехе.

Матричное умножение также может помочь в обработке цифрового видео и цифрового звука. Цифровой аудиосигнал, по сути, представляет собой серию чисел, которые представляют собой изменение давления воздуха акустического аудиосигнала во времени. Умножение матриц используется во многих методах фильтрации или сжатия цифровых аудиосигналов, включая преобразование Фурье.

Еще одна причина, по которой матрицы так полезны в компьютерных науках, заключается в том, что графики также полезны. Граф — это математическая конструкция, состоящая из узлов, обычно изображаемых в виде кругов, и ребер, обычно изображаемых в виде соединяющих их линий. Графики обычно используются для представления действий компьютерной программы в отношениях, характерных для логистических задач.

С другой стороны, любой график можно представить в виде матрицы, в которой каждый столбец и строка представляют узел, а значение на их пересечении представляет силу связи между ними, которая в большинстве случаев равна нулю. Часто преобразование графов в матрицы является наиболее эффективным способом их анализа, а решения проблем, связанных с графами, часто являются решениями систем линейных уравнений.

Умножение функций (тематика путешествий и туров) Рабочие листы
Умножение целых чисел с разными знаками (на тему банковского дела и финансов) Рабочие листы

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

Умножение матриц

До сих пор мы имели дело с достаточно простыми операциями: сложение и вычитание матриц ограничено матрицами одинакового размера, а скалярное умножение просто прогоняет одно число через всю матрицу.

Но поймите: настоящие матрицы тоже можно перемножать друг с другом. Это немного сложнее, но в основном вам просто нужно помнить самое главное: размер имеет значение — по крайней мере, для перемножения матриц.

Размер задействованных матриц является наиболее важным фактором, поэтому будьте осторожны: для перемножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть таким же, как количество строк во второй . И это сделает вашу жизнь намного, намного проще, если вы потратите секунду, чтобы освежить в памяти разницу между строкой и столбцом. Помните, строки — это по горизонтали, (слева направо), столбца, — это по вертикали, (сверху вниз).

Пример задачи

Допустим, у нас есть матрица A и матрица B :

Как размер матриц, так и порядок их умножения имеют значение.

AB — это то, что мы не можем сделать, потому что в A есть два столбца и три строки в B . Игра окончена, чувак.

BA мы можем сделать, потому что B имеет два столбца, а A имеет две строки. Идеальный. Следующее, что нужно помнить, это то, что матрица продукта будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица . Да, это так важно, что мы выделили всю чертову штуку курсивом.

Далее до BA . Вот как это выглядит:

Мы знаем, что произведение будет состоять из трех строк, например B 9.0009, а два столбца типа A :

Мы уже знаем, что первая матрица здесь B , а вторая A . Назовем наш продукт P . В этом случае записи в матрицах могут быть помечены следующим образом:

Вам нужно пройтись по ним и вниз, чтобы понять: )( А 11 ) + ( Б 12 )( A 21 )

Умножаем и складываем элементы первой строки первой матрицы с элементами первого столбца второй матрицы. Поэтому размеры должны совпадать, чтобы ничего не осталось. Затем для следующей записи в нашем продукте:

P 12 = ( B 11 ) ( A 12 ) + ( B 12 ) ( A 1 22 22 )

Теперь переходим к следующей части. Вы умножаете и складываете элементы второй строки первой матрицы с элементами первого столбца второй матрицы. Пристегнитесь.

P 21 = ( B 21 ) ( A 11 ) + ( B 22 ) ( A 21 ) 15

). строку первой матрицы со вторым столбцом второй матрицы. Это дает вам второй ряд вашего продукта.

P 22  = ( B 21 )( A 12 ) + ( B 9 0 2 2 10009 22 )

Почти готово. Just one more row, and you can probably guess how it goes:

P 31  = ( B 31 )( A 11 ) + ( B 32 )( A 21 )

P 32  = ( B 31 )( A 12 ) + ( B 32 )( A 22 )

Подключив весь этот хлам к общей картине, мы получим следующее:

Вот еще один способ взглянуть на это. Из правил мы знаем, что P будет иметь три строки, например B , и два столбца, например A . Попробуйте визуализировать три из них вместе следующим образом:

            

Глядя на пересечения, мы можем видеть, какая строка B и какой столбец A сталкиваются, чтобы получить один из P . записи. Ниже мы видим, что X отмечает место, где первая строка из B и столбец один из A авария:

             

Мы знаем, что эти четыре числа нужно объединить в одно. Как они это делают? Ну, читаем строки слева направо, как книгу. Читаем столбцы сверху вниз. Следовательно, умножаем первое число из B в первой строке на первое число из A в первом столбце:

(1)(2) = 2

Затем умножаем второе число из B первая строка со вторым номером от Первый столбец A :

(3)(3) = 9

И складываем их вместе:

(1)(2) + (3)(3) = 2 + 9 = 11

Далее мы проверяем коллизию между первой строкой B и вторым столбцом A :

                       

Да; X отмечает место, и мы делаем то же самое. Читаем ряды слева направо, как книгу. И мы читаем столбцы сверху вниз. Умножаем первое число из B первой строки на первое число из Второй столбец A : (1)(1) = 1. Затем мы умножаем второе число из первой строки B на второе число из второго столбца A : (3)(2) = 6. Сложите их вместе, чтобы получить нашу запись для X:

(1)(1) + (3)(2) = 1 + 6 = 7

                         

Мы знаем, мы знаем. Мы как заезженная пластинка, но Х снова ставит точку, и мы делаем то же самое. Мы читаем строку слева направо и читаем столбец сверху вниз. На этот раз мы делаем вторую строку в произведении, поэтому мы умножаем первое число из B вторая строка с первым числом из A первый столбец: (2)(2) = 4. Затем умножьте второе число из B второй строки со вторым числом из A первый столбец: (1)(3) = 3. Теперь добавьте их:

(2)(2) + (1)(3) = 4 + 3 = 7

Теперь мы действительно кое-что достигли. Почти на месте.

Теперь это выглядит так, и мы можем видеть, что будет дальше:

                

X отмечает точку, друг, и мы делаем то же самое. Строка идет слева направо, столбец сверху вниз. На этот раз мы все еще делаем второй ряд в продукте, но мы переходим ко второму месту в нем. Умножаем первое число из B вторая строка с первым числом из A второй столбец: (2)(1) = 2. Затем мы умножаем второе число из B вторая строка со вторым числом из A Второй столбец : (1)(2) = 2. Добавьте этих парней:

(2)(1) + (1)(2) = 2 + 2 = 4

                                     

И мы это делаем снова, на этот раз с третьей строкой B , по одному разу для каждой записи в первом столбце A .

(4)(2) + (2)(3) = 8 + 6 = 14

                

И, наконец, мы объединяем третью строку B со вторым столбцом A

1 : (4)(1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8

У-у-у! Мы сделали это!

Мы не растерялись, и становится только легче, пока мы помним самые важные правила:

  1. Для перемножения матриц число столбцов в первой матрице должно быть таким же, как количество строк в секунда.
  2. Матрица произведения будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Эй, помните, мы говорили, что даже когда у нас есть две матрицы одинакового размера, порядок имеет значение? Конечно, вы можете умножать в любом порядке, но ответ будет другим. Часы:

Пример задачи

Сначала мы можем сделать это в следующем порядке:

(2)(1) + (4)(4) = 2 + 16 = 18
(2)(0) + (4) )(2) = 0 + 8 = 8
(3)(1) + (3)(4) = 3 + 12 = 15
(3)(0) + (3)(2) = 0 + 6 = 6

Итак, это наш продукт:

А если поменяемся местами? (1)(2) + (0)(3) = 2 + 0 = 2 3) = 4 + 0 = 4
(4)(2) + (2)(3) = 8 + 6 = 14
(4)(4) + (2)(3) = 16 + 6 = 22

Это наш продукт:

Совершенно другой. Странно, да?

Придержите прессы. Помните единичную матрицу и нулевую матрицу?

Двоичное мышление

Единственный случай, когда число можно умножить и остаться прежним, это умножить его на число 1.

3 × 1 = 3
100 × 1 = 100
457 820 × 1 = 457 820

В Стране матриц единичная матрица является матричной версией 1. Все матрицы идентичности равны 0, за исключением диагональной линии из 1, проходящей от верхнего левого угла к нижнему правому. Они могут быть любых размеров, главное, чтобы они были квадратными:

Вот что важно: всякий раз, когда матрица умножается на единичную матрицу, произведение равно неединичной матрице. И мы можем это доказать.

Пример задачи

Действуем так же, как при умножении ранее. Мы назовем единичную матрицу I , произведение P , а другую матрицу назовем T для Теда. Нам просто нравится это имя, хорошо? Попробуйте визуализировать их троих вместе вот так:

                 

Итак, мы объединяем первую строку T с первым столбцом I , чтобы найти X:

(2)(1) + (3)(0) + = 2 + 0 + 0 = 2

Мы продолжаем в том же духе и получаем произведение, точно такое же, как T , потому что умножение матрицы на I похоже на умножение числа на число 1.

Правило:  Всякий раз, когда мы умножаем матрицу на единичную матрицу, ответ всегда такой же, как у неединичной матрицы. Да, мы вернули курсив для этого очень важного правила.

А нулевая матрица? Ну, мы же помним, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Точно так же нулевая матрица действует при умножении матриц. Это все нулевые матрицы:

Правило: Всякий раз, когда мы умножаем матрицу на нулевую матрицу, ответ всегда будет нулевой матрицей, которая имеет то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Пример задачи

Мы знаем, что их можно перемножить, потому что количество столбцов в первой матрице (3) совпадает с количеством строк во второй (тоже 3). Мы также знаем, что матрица произведения будет матрицей 3 × 3, потому что матрица произведения будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, и то же количество столбцов, что и вторая матрица.

Оставить комментарий