Когда предел равен 0: Основные неопределенности пределов и их раскрытие

Оглавление

– запутался в ограничениях, когда знаменатель равен 0

спросил 4 года 3 месяца назад

Изменено 2 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

Итак, я подумал, что всякий раз, когда знаменатель функции равен $0$, предела не существует. Пока я не прочитал арифметические правила для пределов функций, в которых говорится, что $f$ и $g$ являются функциями, и их пределы равны соответственно $L$ и $M$. Тогда предел $f(x) \over {g(x)}$ при $x \rightarrow a$ равен $L \over M$, если $M$ не равен $0$. НО, если мы предположим, что $f(x) \over {g(x)}$ имеет предел, то предел $f(x)$ ДОЛЖЕН быть равен $0$.

Так что я не совсем понимаю это правило. Меня всегда учили (если только я не ошибаюсь), что всякий раз, когда знаменатель равен $0$, предел функции не существует. Но теперь это так? Как получилось, что $0 \over 0$ вдруг определено? В чем разница между лимитом $2 \over {x-2}$ и $0 \over {x-2}$ при $x \rightarrow 2$?

• исчисление

$\endgroup$

2 92}=С.$$ Во всех трех случаях знаменатель приближается к $0$. Однако $A=1, B=0$ и $C$ не существуют.

Поведение функции будет зависеть как от числителя, так и от знаменателя. В некотором роде, если они оба приближаются к $0$, вы можете думать об этом как о гонке между числителем и знаменателем, чтобы увидеть, кто быстрее достигнет $0$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Может ли существовать предел в виде $\frac{0}{0}$?

Ответ: Да. Вы можете найти несколько простых примеров в другом ответе. А вот еще интереснее: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$, а знаменатель стремится к $0$, когда $x$ приближается к $0$.

Можно ограничить существование $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ (в $\mathbb{R}$), если знаменатель $g(x)$ приближается к $0 $ но $f(x)\to r\neq 0$ как $x\to $?

Нет, потому что в этом случае член $\frac{f(x)}{g(x)}$ может быть бесконечно большим (отрицательно или положительно).

Идея определения в том, что оно указывает на ЕДИНСТВЕННУЮ возможность существования предела.

$\endgroup$

$\begingroup$

Мы алгебраически определяем, какое выражение справа от предела будет первым. Затем мы берем предел, когда у нас есть выражение, с которым мы знаем, как обращаться.

$\lim_{x\to 2} \frac{0}{2-x} $ говорит нам, к чему приближается выражение $\frac{0}{2-x}$, когда $x$ приближается к 2, а не к чему равно 2. Поэтому, когда мы имеем дело с этим выражением, мы предполагаем, что $x\not = 2$. Тогда 0, деленный на любое ненулевое число, равно 0. Таким образом, предел теперь равен $\lim_{x\to 2} 0=0$.

$\lim_{x\to 2} \frac{2}{2-x} $ говорит нам, к чему приближается выражение $\frac{2}{2-x}$, когда $x$ приближается к 2. Это сложнее понять полностью. Чтобы предел существовал, он должен либо принимать определенное значение, либо приближаться к «одной и той же бесконечности» с обеих сторон приближаемого числа. Что я покажу, так это то, что оно не может приблизиться ни к какому конкретному значению и не стремится к той же самой бесконечности.

Обратите внимание, что когда $x>2, \frac{2}{2-x}<0$, так как знаменатель отрицательный. Теперь обратите внимание, что когда $x<2, \frac{2}{2-x}>0$. Таким образом, если обе стороны приближаются к одному и тому же числу, это число должно быть равно 0,9.0005

Мы также знаем, что выражение не может стремиться к одной и той же бесконечности, поскольку значения $\frac{2}{2-x}$ имеют разные знаки по обе стороны от 2. Итак, давайте продолжим, показав, что оно не может стремиться к 0.

Обратите внимание, что если $0-x>-2$. Итак, $2>2-x>0$ и $1/2<\frac{1}{2-x}<\frac{2}{2-x}$. Это показывает, что независимо от того, насколько близко $x$ подходит к 2 слева (и справа от 0), $\frac{2}{2-x}$ всегда будет не меньше 1/2. Так что, в частности, он не будет приближаться к 0. Таким образом, предела не существует.

$\endgroup$

$\begingroup$

То, с чем вы имеете дело, называется неопределенной формой. На неопределенные формы странно смотреть, потому что на них нет немедленного ясного ответа, когда они возникают. $0/0$ выглядит странно, потому что ноль в числителе обычно означает число ноль, а ноль в знаменателе обычно означает бесконечность, так что же здесь происходит? Что ж, когда вы получаете выражение в виде $0/0$, вы проверяете, быстрее ли числитель или знаменатель стремится к нулю. Как проверить скорость изменения? Вы используете производную (она же операция, которая может дать вам скорость изменения функции). Если вы называете числитель $f(x)$ и знаменатель $g(x)$, то, когда у вас есть $f(x)/g(x)$ в форме $0/0$, вы берете производную обеих функций, $f'(x)/g'(x)$, и это дает отношение скоростей их изменения. 9бесконечность) и можно привести его к одной из неопределенных форм отношения (0/0, бесконечность/бесконечность), то можно применить правило (lim $f(x)/g(x)$ = lim $f'(x)/ г'(х)$). Так что это отличный способ решить еще несколько проблем.

$\endgroup$

$\begingroup$

Если вам нужно рассчитать следующий предел

$$\large{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}}$$ и если у вас есть этот $\large {\lim_{x\to a}g(x)}=0$

Если вы можете записать $g(x)$ как множитель $f(x)$, то есть $f(x) = g( x)\cdot h(x)$ у вас будет

$$\large{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a}\frac{g(x)\cdot h( x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}h(x)$$

И обратите внимание, что если $f(x) = g(x)\cdot h(x) \to 0$ так как $g(x) \to 0$ И это говорит о том, что если знаменатель стремится к $0$, предел существует, если числитель стремится к $0$, и важным условием является то, что $\lim_{x\to a}h(x)$ также должны существовать.

Рассмотрим контрпример:

$\large{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}}$ с $g(x) = x$ и $f(x ) = x\sin(\frac{1}{x}) +\sin(x)$ можно отметить следующие вещи:

Знаменатель $g(x)$ стремится к $0$

Числитель $f(x)$ стремится к $0$

$g(x)$ может быть выражен как множитель $f(x)$ как $f (x) = \color{blue}{g(x)} \cdot \color{red}{h(x)} = \color{blue}{x} \cdot (\color{red}{\sin (\ frac{1}{x}) + \frac{\sin (x)}{x}})$

но в любом случае предела не существует.

Что здесь не так?

Здесь не выполняется условие $\lim_{x\to a}h(x)$ не существует.

В резюме, когда знаменатель стремится к $0$, существует предел $\iff$ 9+\;$ (значение: приближается к нулю с положительной стороны), поэтому ваш предел — отрицательная бесконечность.

Некоторые могут определить это как «предел не существует», но я думаю, что правильнее будет сказать «предел не существует конечно» и/или «предел существует в широком смысле этого слова», “функция расходится к $\;-\infty\;$” или что-то подобное.