ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1.1.2. Сложение. 1.1.3. Умножение. 1.1.4. Замена обозначений. 1.1.5. Сопряженные комплексные числа. 1.1.6. Степень комплексного числа. 1.1.7. Корни из комплексного числа. 1.1.8. Корни из единицы. 1.1.9. Ряды с комплексными членами. 1.1.10. Степенные ряды. 1.1.11. Экспоненциальная функция и логарифм. 1.1.12. Дифференцирование и интегрирование по аргументу. 1.1.13. Суммирование тригонометрических функций, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию. 1.2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ 1.2.3. Представление с помощью комплексных чисел. 1.2.4. Ограничения метода. 1.2.5. Понятие комплексного полного сопротивления.  1.2.6. Комплексное полное сопротивление при последовательном и параллельном соединении. 1.2.7. Законы Кирхгофа. 1.2.8. Обобщение понятия комплексного полного сопротивления. 1.2.9. Комплексный вектор. 1.3. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.3.5. Криволинейный интеграл от функции комплексной переменной. 1.3.6. Теорема Коши. 1.3.9. Особые точки. 1.3.10. Разложение в ряд Лорана. 1.3.11. Теорема о вычетах. 1.3.12. Вычисление вычетов. 1.3.13. Вычисление вычетов относительно кратных полюсов с помощью производных. 1.3.14. Лемма Жордана. 1.3.15. Применение леммы Жордана к единичной функции. 1.3.16. Интегрирование при наличии точки разветвления. 1.3.17. Контур Бромвича. 1.3.18. Интеграл Бромвича — Вагнера. 1.3.19. Эквивалентный контур. 1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей. Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов 1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов.  1.4. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1.4.2. Несколько примеров конформных отображений. 1.4.3. Последовательные отображения. 1.4.4. Отображение Шварца. 1.4.5. Различные применения конформных отображений. ГЛАВА II. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 2.1. РЯД ФУРЬЕ 2.1.2. Разложение в ряд по ортогональным функциям. 2.1.3. Частные случаи. 2.1.4. Интегрирование и дифференцирование. 2.1.5. Случай, когда разложение в ряд Фурье ограничено первыми n членами. 2.1.6. Изучение разложения в ряд Фурье вблизи точки разрыва. Явление Гиббса. 2.1.7. Случай произвольного промежутка. 2.1.9. Графическое представление. Спектр. 2.1.10. Среднее значение произведения двух функций одного периода, разложимых в ряд Фурье. 2.1.11. Распространение ряда Фурье на почти периодические функции. 2.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 2.2.2. Комплексная форма интеграла Фурье. 2.2.3. Применение к электрическим цепям. 2.2.4. Случай незатухающей цепи.  2.2.5. Спектр частот. 2.2.6. Единичная функция Хевисайда. 2.2.7. Пары функций. 2.2.8. Преобразование Фурье. 2.2.9. Физическая реальность интеграла Фурье. ГЛАВА III. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3.1. СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 3.1.6. Векторы. Операции над векторами 3.1.12. Скалярное произведение. 3.1.13. Векторное произведение. 3.1.14. Смешанное произведение трех векторов. 3.1.15. Двойное векторное произведение трех векторов. 3.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ 3.2.2. Производная вектора по другому вектору. 3.2.3. Основные формулы дифференцирования. 3.2.4. Интеграл от вектора. Функции точки 3.2.11. Дивергенция и вихрь. 3.2.12. Оператор Лапласа. 3.2.13. Символический вектор набла (оператор Гамильтона). 3.2.14. Наиболее употребительные формулы. 3.2.16. Скалярный потенциал. 3.2.17. Частный случай: вектор проходит через фиксированную точку.  3.2.18. Векторный потенциал. 3.2.19. Общий случай векторного поля. 3.3. ВЕКТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.3.1. Циркуляция вектора. 3.3.2. Поток вектора. Основные формулы 3.3.3. Теорема Остроградского. 3.3.4. Смысл скаляра div a. 3.3.5. Формула для градиента. 3.3.6. Формула для вихря. 3.3.7. Инвариантность градиента, дивергенции, вихря. 3.3.8. Формула Грина. 3.3.9. Формула Стокса. Приложение векторного исчисления к теории электромагнитного поля 3.3.11. Магнитное поле постоянных токов. 3.3.12. Электромагнитное поле. 3.3.13. Закон Фарадея. 3.3.14. Закон Ампера. 3.3.15. Уравнения Максвелла. 3.3.16. Векторный потенциал магнитного поля, возбужденного током. 3.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 3.4.2. Дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах. Важнейшие системы ортогональных криволинейных координат в пространстве 3.4.3. Система цилиндрических координат.  3.4.4. Система сферических координат. 3.4.5. Система параболических цилиндрических координат. 3.4.6. Система параболических координат вращения (параболоидальные координаты). 3.4.7. Система эллиптических цилиндрических координат. 3.4.8. Система вытянутых эллипсоидальных координат (вращения). 3.4.9. Система сплюснутых эллипсоидальных координат (вращения). 3.4.10. Система бицилиндрических координат. 3.4.11. Системы тороидальных и бисферических координат. 3.4.12. Система софокусных поверхностей второго порядка (система общих эллипсоидальных координат). 3.4.13. Приложение к уравнениям Максвелла. Уравнения Максвелла в ортогональных криволинейных координатах. 4.1. АЛГЕБРА МАТРИЦ 4.1.4. Представление плоских преобразований с помощью матриц. 4.1.5. Произведение двух матриц. 4.1.6. Представление вектора посредством матрицы. 4.1.7. Обобщение на n-мерное пространство. 4.1.8. Равенство двух матриц. 4.  1.9. Сложение двух матриц.4.1.10. Умножение матрицы на число. 4.1.11. Умножение матриц. 4.1.12. Симметричные матрицы. 4.1.13. Кососимметричные матрицы. 4.1.14. Диагональные матрицы. 4.1.15. Единичная матрица. Нулевая матрица. 4.1.16. Порядок, ранг матрицы. 4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц. 4.1.19. Обратная матрица. 4.1.20. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений. 4.1.21. Преобразование системы координат. 4.1.22. Ортогональное преобразование. 4.1.23. Пример ортогональных преобразований. Поворот. Обобщение на комплексное пространство 4.1.24. Эрмитова матрица. 4.1.25. Эрмитово-сопряженная матрица. 4.1.26. Модуль и скалярное произведение в комплексном пространстве. 4.1.27. Ортогональное преобразование комплексного пространства (унитарное преобразование). 4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы.  4.1.29. Свойства характеристического уравнения. 4.1.30. Матрица, отнесенная к собственным направлениям. 4.1.31. Условия коммутативности двух матриц. 4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы. Функции от матриц 4.1.33. Степень матрицы. 4.1.34. Теорема Кэли-Гамильтона. 4.1.35. Функции от матриц. Теорема Сильвестра. 4.1.36. Формула Бэкера. 4.1.37. Высокие степени матрицы. 4.1.38. Дробная степень матрицы. 4.1.39. Приближенное вычисление собственных значений матрицы. 4.1.40. Приближенное вычисление корней уравнения n-й степени. 4.1.41. Дифференцирование и интегрирование матрицы. 4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. 4.1.43. Система дифференциальных уравнений первого порядка, с постоянными коэффициентами. 4.1.44. Случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка.  4.2. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ИЗУЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ 4.2.2. Соединение четырехполюсников по цепной схеме. 4.2.3. Параллельное соединение четырехполюсников. 4.2.4. Последовательное соединение четырехполюсников. 4.2.5. Последовательно-параллельное и параллельно-последовательное соединение четырехполюсников. 4.2.6. Сопротивления холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника. 4.2.7. Пассивные четырехполюсники. 4.2.8. Симметричные четырехполюсники. Примеры простых четырехполюсников 4.2.14. Трансформатор 4.2.15. Электронная лампа. 4.2.16. Повторное сопротивление четырехполюсника. 4.2.17. Случай пассивного четырехполюсника. 4.2.18. Цепные фильтры. 4.2.19. Полоса пропускания четырехполюсника. 4.2.20. Расчет свободных колебаний цепи. 4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами. 4.2.22. Матрицы в квантовой механике. ГЛАВА V. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 5.1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 5.  1.3. Ковариантные и контравариантные векторы.5.1.4. Определение тензора. 5.1.5. Матричная форма формул преобразования координат. 5.1.6. Немой индекс. 5.1.7. Симметрия и антисимметрия. 5.1.8. Псевдоскаляры. Скалярная плотность и скалярная емкость. 5.1.9. Тензорная плотность и тензорная емкость. 5.1.10. Антисимметричный тензор второй валентности в трехмерном пространстве. Операции над тензорами 5.3.11. Сложение двух тензоров. 5.1.12. Свертывание тензора. 5.1.13. Умножение тензоров. 5.1.14. Свертывание произведения. 5.1.15. Установление типа тензора. 5.2. ТЕНЗОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 5.2.2. Фундаментальный метрический тензор. 5.2.3. Преобразование определителя g фундаментального метрического тензора при преобразовании координат. 5.2.4. Выражение для элемента объема. 5.2.5. Косоугольная система координат на плоскости. 5.2.6. Ортогональные криволинейные координаты в трехмерном пространстве. 5.2.7. Случай произвольных криволинейных координат.  5.2.8. Контравариантные или ковариантные компоненты одного и того же вектора. 5.2.9. Изменение вариантности тензора. 5.2.10. Смешанный фундаментальный метрический тензор. 5.2.11. Случай прямолинейной прямоугольной системы координат. Геометрическое представление контравариантных и ковариантных компонент вектора 5.2.12. Случай прямолинейной косоугольной системы координат. 5.2.13. Случай криволинейных координат. 5.2.14. Частный случай ортогональных криволинейных координат. 5.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Частный случай ортогональных криволинейных координат 5.3.9. Тензорная форма уравнений Максвелла. 5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 5.4.1. Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными. 5.4.2. Метод составления уравнений для цепи наиболее общего вида. 5.4.3. Соединение цепей посредством проводников. 5.4.4. Соединение цепей посредством магнитопроводов.  5.4.5. Анализ эквивалентных цепей. 5.4.6. Цепи с внешним питанием. 5.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД 5.5.2. Диэлектрические свойства кристалла. 5.5.3. Матрицы преобразования для некоторых часто встречающихся систем координат. Механические свойства кристалла 5.5.8. Применение шестимерного пространства. 5.5.9. Модуль Юнга. Пьезоэлектричество 5.5.10. Электрическая поляризация. 5.5.11. Закон Кюри. 5.5.12. Пьезоэлектрические свойства кварца. 5.5.13. Распространение упругих волн в кристаллах. 5.5.14. Плоские волны. ГЛАВА VI. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. 6.1.3. Однородные уравнения. 6.1.4. Уравнение в полных дифференциалах. 6.1.5. Линейное уравнение. 6.1.6. Уравнение Бернулли. 6.1.7. Уравнение Риккати. 6.1.8. Уравнение Лагранжа. 6.1.9. Уравнение Клеро. 6.  1.10. Общий случай f(x,y,dy/dx)=06.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка 6.2.9. Уравнение Эйлера. 6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов. 6.2.11. Некоторые теоремы о свойствах решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 6.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 6.3.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных. 6.3.2. Уравнение с правой частью. 6.3.3. Уравнение колебаний струны. 6.3.4. Телеграфное уравнение. 6.3.5. Уравнение Лапласа. 6.3.6. Прямоугольная система координат. 6.3.7. Система цилиндрических координат. 6.3.8. Система сферических координат. 6.3.9. Система эллиптических цилиндрических координат. 6.3.10. Система параболических цилиндрических координат. 6.3.11. Другие системы координат. 6.  3.12. Уравнение Пуассона.6.3.13. Решение уравнений Максвелла методом Бромвича. 6.3.14. Пример. Электромагнитные колебания в прямоугольной полости. ГЛАВА VII. НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 7.0.1. Асимптотическое разложение. 7.1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 7.1.2. Обратные гиперболические функции. 7.1.3. Приложение гиперболических функций к расчету длинных линий. Метод Броуна. Абаки Блонделя — Кеннеди. 7.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И КОСИНУС 7.3. ФУНКЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК 7.3.7. Интегралы Френеля. 7.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ 7.4.2. Свойства гамма-функции. 7.4.3. Некоторые значения функции Г(z). 7.4.4. Логарифмическая производная гамма-функции. 7.4.5. Представление гамма-функции через интеграл Коши. 7.4.6. Связь между эйлеровыми интегралами первого и второго рода. 7.5. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Функции Бесселя первого и второго рода 7.5.6. Интегралы Ломмеля. 7.5.7. Соотношение между двумя функциями, индексы которых отличаются на целое число.  7.5.8. Применение интегралов Ломмеля к разложению в ряд по бесселевым функциям. 7.5.9. Бесселевы функции первого и второго рода с полуцелым индексом. 7.5.10. Применение бесселевых функций к вычислению интегралов Френеля. 7.5.11. Случай, когда индекс равен целому числу v=n 7.5.12. Представление Jv(z) через определенный интеграл. 7.5.13. Представление Jv(z) с помощью интеграла Коши. 7.5.14. Теорема сложения. 7.5.15. Бесселевы функции третьего рода или функции Ханкеля. Определение. 7.5.17. Нахождение численных значений бесселевых функций. 7.5.18. Асимптотические выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента. 7.5.19. Корни бесселевых функций. Модифицированные бесселевы функции первого и второго рода 7.5.26. Модифицированная бесселева функция второго рода. 7.5.27. Асимптотические разложения. 7.5.28. Рекуррентные формулы. Функции Кельвина 7.5.32. Функция Кельвина v-го порядка. 7.5.33. Представление функций Кельвина через модуль и аргумент.  7.5.34. Производные функций Кельвина. Дифференциальные уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнения Бесселя Некоторые примеры применения бесселевых функций 7.5.38. Исследование решения волнового уравнения в цилиндрических координатах. 7.5.39. Колебания равномерно натянутой мембраны. 7.5.40. Случай круглой мембраны. 7.5.41. Собственные электромагнитные колебания резонатора, имеющего форму кругового цилиндра. 7.5.42. Распространение электромагнитной волны внутри бесконечного кругового цилиндра. 7.5.43. Случай коаксиального проводника. 7.5.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения. Таблицы бесселевых функций 7.6. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 7.6.3. Полиномы Лежандра. 7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра. 7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа. 7.6.8. Формула Родрига. 7.6.9. Ортогональность полиномов Лежандра.  7.6.10. Некоторые значения полиномов Лежандра. 7.6.11. Корни полиномов Лежандра. 7.6.12. Интеграл Шлефли. 7.6.13. Обобщение полиномов Лежандра. Полиномы Гегенбауера. 7.6.14. Функции Лежандра первого рода. 7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода. 7.6.18. Определение функции Лежандра первого рода через интеграл Коши. 7.6.19. Функция Лежандра второго рода. 7.6.20. Определение функции Лежандра второго рода через интеграл Коши. 7.6.21. Присоединенные функции Лежандра. 7.6.22. Присоединенные функции Лежандра для целых положительных индексов. 7.6.24. Ортогональность присоединенных функций Лежандра. 7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. 7.6.26. Сферические гармоники. 7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. 7.6.31. Приложение функций Лежандра. Решение задачи об электромагнитных колебаниях сферического резонатора. 7.7. ФУНКЦИИ МАТЬЕ 7.7.2. Ортогональность функций Матье первого рода.  Функции Матье: 7.7.3. Разложение в ряд Фурье. Функции Матье: 7.7.4. Характеристическое уравнение. Функции Матье: 7.7.5. Поведение функций … 7.7.6. Присоединенные функции Матье первого рода. 7.7.7. Функции Матье для произвольных а и q. 7.7.8. Разложение в ряды по бесселевым функциям. 7.7.9. Функции Матье второго рода. 7.8. ФУНКЦИИ ВЕБЕРА — ЭРМИТА. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА 7.8.2. Полиномы Эрмита. 7.8.3. Производящая функция и ортогональность полиномов Эрмита. 7.9. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 7.9.3. Основные свойства полиномов Чебышева. 7.9.4. Фундаментальное свойство полиномов Чебышева. 7.9.5. Приложение. ГЛАВА VIII. СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИЛИ ОПЕРАЦИОННОЕ, ИСЧИСЛЕНИЕ 8.1.3. Расчет переходных режимов. 8.1.4. Единичная ступень. 8.2. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ХЕВИСАЙДА 8.2.2. Вычисление переходной реакции. 8.3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Правила операционного исчисления 8.3.10. Теорема свертывания, или теорема Бореля. 8.3.11. Различные формулы.  8.3.12. Теорема разложения Хевисайда. 8.3.13. Приложение теоремы разложения к электрическим цепям. 8.3.14. Случай переменного напряжения. 8.3.15. Случай кратных корней. Преобразование некоторых употребительных функций 8.3.16. Оригиналы некоторых рациональных функций. 8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка. 8.3.18. Изображение ln t. 8.3.19. Изображение интегральных косинуса и синуса. 8.3.20. Изображение функции ошибок. 8.3.21. Изображение единичного импульса Применение формулы обращения 8.3.22. Теорема Меллина — Фурье. 8.3.23. Замечания о применении формулы обращения. 8.3.24. Обобщение теоремы разложения Хевисайда. Изображения разрывных функций. Приложения Таблица соответствия 8.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ 8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров. 8.4.3. Случай, когда цепь не находится в равновесии в начальный момент времени. 8.4.4. Электрические фильтры.  8.4.5. Фильтр нижних частот. 8.4.6. Фильтр верхних частот. 8.4.7. Фильтр нижних частот без искажений. 8.4.8. Усилители. Отрицательная обратная связь. Критерий Найквиста. 8.4.9. Расчет переходных явлений, вызванных размыканием или замыканием выключателя. Распространение электрических возмущений вдоль линий передач 8.4.11. Бесконечная или замкнутая на волновое сопротивление линия. 8.4.12. Линия без потерь. 8.4.13. Линия без искажений. 8.4.14. Подземный кабель. 8.4.15. Линия с идеальной изоляцией. 8.4.16. Общий случай. Произвольная линия. 8.4.17. Линия передачи конечной длины. 8.4.18. Закороченная с одного конца линия с пренебрежимо малыми проводимостью изоляции и индуктивностью (подземный кабель). 8.4.19. Линия конечной длины без потерь, замкнутая на сопротивление. 8.4.20. Сопротивление, сосредоточенное в начале линии. 8.4.21. Повреждение на линии. 8.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений 8.  5.3. Линейное дифференциальное уравнение с переменными алгебраическими коэффициентами (метод ван дер Поля).Применение операционного исчисления к решению некоторых интегральных уравнений 8.5.5. Нелинейные интегральные уравнения. 8.5.6. Интегродифференциальные уравнения. 8.5.7. Применение операционного исчисления к исследованию функций. 8.5.8. Применение операционного исчисления к разложению в асимптотический ряд. 8.6. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 8.6.1. Замечания об операционном исчислении Хевисайда. ГЛАВА IX. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ 9.1.1. Определение вероятности. 9.1.2. Независимые события. Теорема умножения вероятностей. 9.1.3. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей. 9.1.4. Формула Стирлинга. Законы распределения случайных величин 9.1.5. Дискретные случайные величины. 9.1.6. Непрерывные случайные величины. 9.1.7. Характеристическая функция. 9.1.8. Распределение системы двух случайных величин. 9.1.9. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин.  Основные законы распределения случайных величин 9.1.10. Биномиальный закон распределения. 9.1.11. Характеристическая функция биномиального закона. 9.1.12. Формула Лапласа. Нормальный закон распределения (закон Лапласа — Гаусса). 9.1.13. Характеристическая функция нормального закона распределения. 9.1.14. Теорема Бернулли. 9.1.15. Замечания о переходе от биномиального закона распределения к нормальному. 9.1.16. Закон распределения Пуассона. 9.1.17. Характеристическая функция и моменты закона распределения Пуассона. 9.1.18. Приложение к задачам автоматической телефонии. 9.1.19. Согласование наблюденных данных с теоретическим законом распределения. 9.1.20. Частный случай нормального закона распределения. Ошибки измерений и способ наименьших квадратов 9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения. 9.1.22. Способ наименьших квадратов. 9.1.23. Линейная комбинация ошибок. 9.1.24. Точность группы измерений. 9.1.  25. Наивероятнейшее значение меры точности.9.1.26. “Вес” наблюдения. 9.1.27. Критерий ошибочного наблюдения. 9.1.28. Срединная (вероятная) ошибка функции. 9.1.29. Эмпирические формулы. 9.2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 9.2.2. Функции распределения. Проблема сходимости 9.2.4. Сходимость в смысле Бернулли. 9.2.5. Сходимость по вероятности. 9.2.6. Сходимость в среднем квадратическом (сходимость с. к.). 9.2.7. Почти достоверная сходимость. Стационарные случайные функции. Изучение постоянных режимов 9.2.9. Изучение моментов второго порядка. Определение. Общие свойства стационарных случайных функций второго порядка 9.2.10. Корреляционные функции. 9.2.11. Непрерывность. Дифференцируемость. 9.2.12. Энергетический спектр. 9.2.13. Передача энергии стационарной линейной системой. 9.2.14. Недостаточность рассмотрения моментов второго порядка и корреляционной функции. Стационарные случайные функции Лапласа — Гаусса. Применение к чисто дробовому эффекту 9.  2.17. Флуктуации в нелинейных системах.9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока. ГЛАВА X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 10.1. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 10.1.2. Метод Ньютона и метод пропорциональных частей 10.1.3. Метод итерации. 10.1.4. Приближенное решение системы двух уравнений. 10.2. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 10.2.1. Численное решение уравнений третьей и четвертой степени. 10.2.2. Схема Горнера. 10.2.3. Построение Лилла. 10.2.4. Способ Лагранжа. 10.2.5. Метод Лобачевского — Греффе — Данделена. 10.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ Приближение функции полиномами 10.3.2. Значения аргумента распределены неравномерно. Интерполяционный полином Лагранжа. 10.3.3. Значения переменной находятся в арифметической прогрессии. Таблица разностей. 10.3.4. Интерполяционный полином Ньютона. 10.3.5. Интерполяционный полином Стнрлинга. 10.3.6.  Интерполяционный полином Бесселя.10.3.7. Области применения интерполяционных полиномов Ньютона, Стирлинга, Бесселя. 10.3.8. Верхний предел ошибки, совершаемой при применении интерполяционных формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя. 10.3.9. Приближение линейной комбинацией функций, определенной с помощью критерия наименьших квадратов. 10.3.10. Приближение полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов. Приближение отрезком ряда Фурье. Задача гармонического анализа 10.3.14. Приближение эмпирической функции линейной комбинацией показательных функций. 10.3.15. Приближение функции по Чебышеву. 10.3.16. Применение ряда Тейлора. 10.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 10.5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 10.5.2. Полином Бернулли. 10.5.3. Формула Эйлера. 10.5.4. Формула трапеций. 10.5.5. Формула Симпсона. 10.5.6. Формула Уэддля. 10.5.7. Формула Грегори. 10.5.8. Введение в методы Ньютона — Котеса, Чебышева, Гаусса. 10.5.9.  Метод Ньютона — Котеса.10.5.10. Метод Чебышева. 10.5.11. Метод Гаусса. 10.5.12. Применение интерполяционных полиномов Ньютона. 10.5.13. Исключительные случаи. 10.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 10.6.2. Приближенное интегрирование дифференциального уравнения первого порядка. 10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора. 10.6.4. Способ Адамса. 10.6.5. Сокращенный вариант. 10.6.6. Приближенное интегрирование системы дифференциальных уравнений первого порядка. 10.6.7. Использование ряда Тейлора. 10.6.8. Применение интерполяционного полинома Ньютона с нисходящими разностями. 10.6.9. Способ Пикара. 10.7. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 10.7.2. Графическое решение дифференциальных уравнений второго порядка способом радиусов кривизны. 10.8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 10.9. НОМОГРАММЫ 10.9.3. Номограммы с выравненными точками. 10.9.4. Номограммы с тремя параллельными прямолинейными шкалами.  10.9.5. Номограммы с двумя параллельными прямолинейными шкалами и одной криволинейной. 10.9.6. N-образная номограмма. 10.9.7. Номограмма с двумя криволинейными шкалами и одной прямолинейной 10.9.8. W-образная номограмма. 10.9.9. Z-образная номограмма. 10.9.10. Номограмма с тремя криволинейными шкалами. 10.9.11. Сложные номограммы. |
Error
Sorry, the requested file could not be found
More information about this error
Jump to…
Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие.
Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.
Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1.
Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2.
L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.
2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.
2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1.
Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.
3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1).
Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1.
Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.
1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Теоретический материал (лекция 3)Тест 2.1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1.
Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1.
Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2.
Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.
2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1.
Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.
5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1).
Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1.
Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)
линейная алгебра – Когда матричное умножение коммутативно?
спросил
Изменено 1 год, 8 месяцев назад
Просмотрено 209 тысяч раз
$\begingroup$
Я знаю, что умножение матриц вообще не коммутативно.
Итак, в целом: 9{n \times n}$ равно $A\cdot B = B \cdot A$?
- линейная алгебра
- матрицы
$\endgroup$
10
$\begingroup$
Две одновременно диагонализируемые матрицы всегда коммутативны.
Доказательство. Пусть $A$, $B$ — две такие $n \times n$ матрицы над базовым полем $\mathbb K$, $v_1, \ldots, v_n$ — базис собственных векторов для $A$. Поскольку $A$ и $B$ одновременно диагонализуемы, такой базис существует и является также базисом собственных векторов для $B$. Обозначим соответствующие собственные значения оператора $A$ через $\lambda_1,\ldots\lambda_n$, а $B$ — через $\mu_1,\ldots,\mu_n$. 9{-1} = БА.$$
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Единственные матрицы, которые коммутируют с всеми другими матрицами, являются кратными идентичности.
2 }4\rэтаж+1>n$ для всех $n>3$. Глянь сюда.
$\endgroup$
$\begingroup$
Ортогональные матрицы не коммутируют; на самом деле существует некоммутативное подпространство ортогоналей!
Проверить, что матрица перестановок является ортогональной матрицей (если вы не знаете, что такое матрица перестановок, это просто матрица $(a_{ij})$ такая, что существует перестановка $\sigma$, для которой $a_ {i,\sigma(i)}=1$ и $a_{ij}=0$ для $j\ne\sigma(i)$
Применяя к вектору-столбцу $x$ действие матриц перестановок просто перестановка координат $x$. Но, как мы знаем, группа симметрии неабелева. Поэтому просто выберите две некоммутирующие перестановки, и их соответствующие матрицы явно не коммутируют!
$\endgroup$
$\begingroup$
Другой пример коммутации:
ЛЮБЫЕ две квадратные матрицы, которые являются обратными друг другу, коммутируют.
А Б = Я
inv(A)A B = inv(A) # Предварительное умножение обеих частей на inv(A)
inv(A)A B A = inv(A)A # постумножение обеих сторон на A
B A = I # Отмена инверсий
QED
Есть много «особых случаев», которые доставляются на работу. Например, умножение двух диагональных матриц.
В сторону: для любых двух квадратных обратимых матриц A, B существует нечто что можно сказать о AB против BA
Если AB = C тогда BA = inv(A) C A = B C inv(B)
(Доказательство: заменить AB на C в результате и отменить инверсии)
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Частный случай, когда ортогональные матрицы коммутируют.
Ортогональные матрицы используются в геометрических операциях как матрицы вращения, и поэтому, если оси вращения (неизменные направления) двух матриц равны – матрицы вращаются одинаково – их умножение коммутативно.
Интуитивно, если вы вращаете земной шар сначала на x градусов, а затем на y градусов вокруг той же оси, вы и вверх в том же положении, которое вы получаете, вращая его сначала на y и x градусов -> произведение матриц вращения, описывающих два вращения коммутативно, оно всегда дает комбинированное вращение.
$\endgroup$
$\begingroup$
Все циклические матрицы одинакового размера n на n коммутируют, каждая строка является циклом предыдущего ряда.
Для двух переменных с идентификатором существует три основных типа.
Комплексное или эллиптическое
$\begin{bmatrix}x & y \\ -y & x\end{bmatrix}$
Двойственное (кольцо двойственных чисел)
$\begin{bmatrix}x & y \ \ 0 & x\end{bmatrix}$
Гиперболический (также циклический)
$\begin{bmatrix}x & y \\ y & x\end{bmatrix}$
Каждый может быть представлен также как “коммутативный номер кольца”
$х+ты$
для $tt=-1,0,1$ соответственно.
.. связанные с их собственными значениями.
$\endgroup$
$\begingroup$
Если две матрицы имеют нормальные формы Жордана, которые имеют одинаковую блочную структуру. Умножение блоков даст диагональный $\lambda_1\lambda_2$, первый недиагональный $\lambda_1 + \lambda_2$ и второй недиагональный $1$, поэтому, если предположить, что скалярное умножение и сложение коммутативны, то и иорданские блоки будут.
$\endgroup$
5
$\begingroup$
для двух матриц, чтобы показать коммутативность, необходимое и достаточное условие состоит в том, что они должны иметь общие все свои собственные векторы, вот и все. являются ли они диагностируемыми или нет, не имеет значения. например, проверьте следующие матрицы коммутативности и диагностируемости.
A = [6 -1;1 4] и B = [3 2;-2 7]
обе матрицы A и B коммутативны, но они не поддаются диагностике, однако они имеют общий собственный вектор. в этом случае они обе имеют одну линию собственный вектор
необходимое и достаточное условие, о котором я только что упомянул, может быть легко доказано.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Таким образом, не существует группы коммутирующих пар Matrix. Это $$ АВ = БА $$ тогда и только тогда, когда существует многочлен $$ р \in \mathbb{R}[x] $$ такой, что $$ р(А)=В. $$ Это можно доказать, используя нормальную форму Джордана или простые вычисления.
$\endgroup$
3
линейная алгебра. Коммутативность матрицы и ее транспонирование
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено
13 тысяч раз
9ТР$.