В подходе к математике столетней давности найдены новые ключи к разгадке природы времени / Хабр
Из законов физики следует, что течение времени – всего лишь иллюзия. Чтобы избежать такого заключения, нам, возможно, придётся переосмыслить реальность чисел с бесконечной точностью.
Если числа нельзя записывать бесконечными последовательностями цифр, то и будущее не предопределено
Странно, что, хотя нам кажется, будто мы проносимся сквозь время, беспрерывно находясь на тонкой грани между фиксированным прошлым и открытым будущим, эта самая грань – настоящее – никак не проявляет себя в существующих законах физики.
К примеру, в теории относительности Эйнштейна время переплетено с тремя измерениями пространства, и формирует гибкий четырёхмерный пространственно-временной континуум – “блок-вселенную”, охватывающую прошлое, настоящее и будущее. Уравнения Эйнштейна описывают всё в блок-вселенной, как предрешённое с самого начала; изначальные условия космоса определяют, что будет дальше, и никаких сюрпризов не происходит – они только кажутся сюрпризами.
«Для нас, верящих в физику, — писал Эйнштейн в 1955, за несколько недель до смерти, — различие между прошлым, настоящим и будущим является лишь упорной и настойчивой иллюзией».
Вневременной и предопределённый взгляд на реальность, которого придерживался Эйнштейн, популярен и сегодня. «Большая часть физиков верит в блок-вселенную, поскольку её предсказывает общая теория относительности», — сказала Марина Кортес, космолог из Лиссабонского университета.
Однако, добавила она, «если попросить человека поглубже осмыслить понятие блок-вселенной, он начнёт задавать вопросы и сомневаться по поводу последствий этой идеи».
Физики, аккуратно размышляющие о времени, указывают на проблемы с квантовой механикой – законы, описывающие вероятностное поведение частиц. На квантовых масштабах происходят необратимые изменения, разделяющие прошлое и будущее. Частица сохраняет несколько квантовых состояний до тех пор, пока вы её не измерите, а потом частица принимает одно из этих состояний.
В прошлом году швейцарский физик Николас Гизин опубликовал четыре работы в попытке развеять туман, окружающий время в физике. Гизин считает, что эта проблема изначально была математической. Он утверждает, что время вообще, и время, которые мы называем настоящим, легко выразить математическим языком столетней давности, интуиционистской математикой, отвергающей существование чисел с бесконечным количеством цифр. Когда интуиционистская математика используется для описания эволюции физических систем, то, по словам Гизина, становится ясно, что «время реально идёт, а новая информация создаётся». Более того, в таком формализме строгий детерминизм, следующий из уравнений Эйнштейна, уступает место неопределённости, похожей на квантовую.
Пока что физики ещё переваривают работу Гизина – довольно редко люди пытаются переформулировать физические законы на новом математическом языке – однако те, кто заинтересовался его аргументами, считают, что в принципе у них получится сократить концептуальный разрыв между детерминизмом общей теории относительности (ОТО) и неотъемлемой случайностью квантовых масштабов.
«Мне это кажется интригующим, — сказала Николь Юнгер Хальперн, специалист по квантовой информации из Гарвардского университета в ответ на недавнюю статью Гизина в Nature Physics. – Я готова дать интуиционистской математике шанс».
Кортес назвала подход Гизина «чрезвычайно интересным», «шокирующим и вызывающим» в плане последствий. «Это действительно очень интересный формализм, обращающийся к проблеме конечной точности в природе»,- сказала она.
Гизин сказал, что важно формулировать законы физики, считающие будущее открытым, а настоящее – реальным, поскольку именно так мы воспринимаем время.
«Я – физик, твёрдо стоящий на земле, — сказал он. – Время идёт, мы все это знаем».
Информация и время
Гизин, которому исполнилось 67 лет – экспериментатор. Он руководит лабораторией в Женевском университете, осуществившей революционные эксперименты в области квантовых коммуникаций и квантовой криптографии. Однако он, что бывает редко, работает на оба фронта физики, и известен своими важными теоретическими идеями, особенно связанными с квантовой вероятностью и нелокальностью [или запутанностью].
По утрам в воскресенье Гизин не ходит в церковь, а по привычке тихо сидит в своём домашнем кресле с кружечкой улуна, и размышляет над глубокими концептуальными загадками. Именно в воскресенье около двух с половиной лет назад он понял, что детерминистская картина времени в теории Эйнштейна и остальная «классическая» физика подразумевает существование бесконечного количества информации.
Николас Гизин в домашнем кабинете с видом на сад
Возьмём для примера погоду.
Поскольку она ведёт себя хаотично, или очень чувствительна к небольшим изменениям, мы не можем точно предсказать погоду на неделю вперёд. Но поскольку это классическая система, в учебниках говорится, что мы, в принципе, могли бы предсказывать погоду на неделю, если бы могли измерить каждое облако, каждый порыв ветра и каждый взмах крыльев бабочки с достаточной точностью. Мы сами виноваты в том, что не можем измерить условия с достаточным количеством знаков после запятой, чтобы экстраполировать их в будущее и делать идеально точные прогнозы – ведь реальная физика погоды ведёт себя, как часовой механизм.
Теперь расширим эту идею до всей Вселенной. В предопределённом мире, в котором развитие времени лишь кажущееся, всё, что произойдёт, должно быть известно с самого начала, с начального состояния каждой частицы, закодированного с бесконечной точностью. А иначе в далёком будущем настанет время, когда часовая вселенная сломается.
Однако информация – это физическая величина. Современные исследования показывают, что она требует энергии и занимает пространство.
Он решил найти новый способ описания времени в физике, не предполагающий бесконечно точного знания начальных условий.
Логика времени
Этой идее противостояли математические «интуиционисты», лидером среди которых был прославленный нидерландский тополог Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, считавший математику конструктом. Брауэр настаивал, что числа обязаны быть конструируемыми, что их цифры нужно вычислять или случайным образом выбирать по одному. Числа конечны, сказал Брауэр, а также являются процессами: они могут становиться всё более точными по мере того, как новые цифры будут появляться в «последовательности выборов» (по его терминологии) – функции, выдающей значения со всё большей и большей точностью.Привязывая математику к тому, что можно сконструировать, интуиционизм порождает далеко идущие последствия для практической математики и определения того, какие утверждения можно считать истинными. Самым радикальным отличием от стандартной математики оказывается нарушение закона исключённого третьего — принципа, который превозносят ещё со времён Аристотеля. Закон исключённого третьего утверждает, что истинным может быть либо утверждение, либо его отрицание – этот явный набор альтернатив предлагает весьма мощные инструменты для построения выводов.
Она не отличается от стандартной математики, когда речь заходит о числах типа 4, ½ или π, отношении длины окружности к диаметру. Несмотря на то, что число π иррациональное, и не имеет конечной десятичной записи, существует алгоритм для генерации её записи, что делает π таким же определённым числом, как ½. Однако давайте рассмотрим другое число, х, находящееся неподалёку от ½.
Допустим, x = 0,4999, и оставшиеся его цифры появляются в последовательности выборов. Возможно, последовательность девяток будет продолжаться вечно, и тогда x стремится к ½ (этот факт, что 0,499(9) = 0,5, справедлив и для стандартной математики, поскольку в таком случае отличие x от ½ меньше любого конечного числа).
Но если в какой-то момент в будущем в этой последовательности появится цифра, отличная от 9 – допустим, значение x превратится в 4.
99999999999999(7) – тогда, вне зависимости от того, что произойдёт далее, x будет меньше, чем ½. Однако до этого момента, когда мы знаем только значение 0,4999, «мы не знаем, появится ли там цифра, отличная от 9, или нет», — поясняет Карл Пози, философ математики из Еврейского университета в Иерусалиме, ведущий эксперт по интуиционистской математике. «В момент изучения этого х мы не можем сказать, что х меньше ½, и не можем сказать, что х равен ½». Утверждение «х равен ½» неверно, как и его отрицание. Закон исключённого третьего не работает.
Более того, континуум нельзя чётко разделить на две части, одна из которых состояла бы из всех чисел, меньших ½, а вторая – больших ½. «Если попытаться разрезать континуум напополам, число х прилипнет к ножу и не останется ни слева, ни справа, — сказал Пози. – Континуум оказывается вязким и липким».
Гильберт сравнил устранение закона исключённого третьего из математики с «запретом боксёру использовать кулаки», поскольку этот принцип лежит в основе значительной части математической дедукции.
Хотя интуиционистская платформа Брауэра покорила и восхитила таких людей, как Курт Гёдель и Герман Вейль, стандартная математика со своими вещественными числами преобладает сегодня из-за лёгкости её использования.
Развёртывание времени
Впервые Гизин столкнулся с интуиционистской математикой на конференции в прошлом мае, на которой был Пози. Когда они разговорились, Гизин быстро заметил связь между развёртыванием десятичных знаков у чисел в его математической платформе и физическим понятием времени во Вселенной. Кажется, что материализация цифр естественным образом соответствует последовательности моментов, определяющих настоящее время, и делающих конкретной реальностью неопределённое будущее. Отсутствие закона исключённого третьего можно сравнить с недетерминизмом будущего.
В работе, опубликованной в прошлом декабре в журнале Physical Review A, Гизин с коллегой Флавио дель Санто использовали интуиционистскую математику, чтобы сформулировать альтернативный вариант классической механики, делающий те же самые предсказания, что и стандартные уравнения, но описывающий события, как недетерминированные – изображающий вселенную, в которой происходит неожиданное, а время разворачивается.
Это напоминает ситуацию с погодой. Вспомним, что мы не можем точно предсказывать погоду, поскольку нам неизвестны начальные условия для каждого атома на Земле с бесконечной точностью. Но в недетерминированном варианте развития событий от Гизина этих точных чисел вообще нет. Интуиционистская математика постулирует следующее: цифры, обозначающие состояние погоды со всё возрастающей точностью, и управляющие её эволюцией во времени, выбираются в реальном времени, пока будущее развёртывается как последовательность выборов. Ренато Рене, квантовый физик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе, сказал, что аргументы Гизина «склоняются к тому, что детерминистские предсказания в принципе невозможны».
Иначе говоря, мир недетерминирован, будущее открыто. Время, по словам Гизина, «разворачивается не как киноплёнка. Это творческое развёртывание. Новые цифры создаются с течением времени».
Фэй Даукер, специалист по теории квантовой гравитации из Имперского колледжа в Лондоне, сказала, что «с большой симпатией» относится к аргументам Гизина, поскольку «он находится в лагере тех, кто считает, что физика не соответствует нашим ощущениям, и, следовательно, мы что-то упускаем».
Даукер соглашается, что математические языки формируют наше понимание времени в физике, и что стандартная гильбертова математика, считающая вещественные числа полноценными сущностями, «определённо статична. Её характерная черта – безвременность, и это определённо ограничивает нас, физиков, когда мы пытаемся учесть такую динамичную вещь, как наше ощущение течения времени».
Для физиков вроде Даукер, интересующейся связью гравитации и квантовой механики, одним из наиболее важных следствий этого нового взгляда на время будет то, как оно начинает наводить мосты между этими двумя, как считалось долгое время, несовместимыми взглядами на мир. «Одно из последствий лично для меня, — сказал Ренне, — заключается в том, что классическая механика в некотором отношении ближе к квантовой, чем мы думали».
Квантовая неопределённость и время
Если физики хотят раскрыть загадку времени, им придётся разобраться не только с пространственно-временным континуумом Эйнштейна, но и с тем, что Вселенная фундаментально квантовая, и управляется вероятностью и неопределённостью.
Квантовая теория описывает время совсем не так, как теория Эйнштейна. «Две наших крупнейших физических теории, квантовая теория и ОТО, делают разные заявления», — сказал Реннер. Он и ещё несколько физиков говорят, что это несоответствие лежит в основе напряжённых поисков квантовой теории гравитации – описания квантового происхождения пространства-времени – и понимания того, почему произошёл Большой взрыв. «Если изучить все парадоксы и проблемы, то в итоге все они сводятся к этому понятию времени».
В квантовой механике время жёсткое, оно не искривляется и не переплетается с измерениями пространства, как в ОТО. Более того, измерения квантовых систем «делают время в квантовой механике необратимым, при том, что ОТО полностью обратима», сказал Реннер. «Поэтому время во всём этом играет такую роль, которую мы всё ещё не можем понять по-настоящему».
Многие физики интерпретируют заявления квантовой физики как утверждения о недетерминированности Вселенной. «Ну божечки мои, ну давайте возьмём два атома урана: один из них распадается через 500 лет, а другой – через 1000 лет, и при этом они совершенно одинаковые по всем параметрам», — говорит Нима Аркани-Хамед, физик из Института передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси.
«Во всех разумных смыслах Вселенная не является детерминированной».
Однако другие популярные интерпретации квантовой механики, включая многомировую, сохраняют классическое, детерминистское понятие времени. В этих теориях квантовые события разыгрываются в рамках предопределённой реальности. Многомировая теория, к примеру, говорит, что каждое квантовое измерение разделяет мир на несколько ветвей, реализующих каждый из возможных результатов, и все они заранее известны.
Идеи Гизина развиваются в другом направлении. Вместо того, чтобы пытаться сделать квантовую механику детерминистской теорией, он надеется дать общий и недетерминированный язык как классической, так и квантовой физики. Однако его подход отличается от стандартной квантовой механики в одном важном аспекте.
В квантовой механике информацию можно перепутать или зашифровать, но нельзя создать или уничтожить. Но если цифры в числах, определяющих состояние Вселенной, растут со временем, как предлагает Гизин, то это означает появление новой информации.
Гизин сказал, что полностью отвергает идею о сохранении информации, в основном потому, что «при измерении очевидно создаётся новая информация». И добавил: «Я имею в виду, что нам нужен новый способ взглянуть на эти идеи».
Этот новый метод подхода к информации может помочь разрешить информационный парадокс чёрной дыры – что случается с информацией, проглоченной чёрными дырами. ОТО говорит, что информация уничтожается; квантовая теория говорит, что сохраняется – отсюда и парадокс [не совсем так: в ОТО чёрные дыры являются неуничтожимыми объектами, поэтому и парадокса не возникает; квантовая теория говорит о возможности испарения чёрных дыр вследствие излучения Хокинга, и в этом случае появляется парадокс / прим. перев.]. Если иная формулировка квантовой механики в терминах интуиционистской математики позволяет создавать информацию через квантовые измерения, возможно, она позволяет и уничтожить её.
Джонатан Оппенгейм, физик-теоретик из Университетского колледжа Лондона, считает, что информация в чёрных дырах действительно теряется.
Ему неизвестно, будет ли интуиционизм Брауэра ключом к доказательству этого, как утверждает Гизин, однако он говорит, что есть причины считать, что создание и уничтожение информации глубоко связано со временем. «Информация уничтожается по мере того, как вы двигаетесь вперёд во времени; она не уничтожается, если вы двигаетесь в пространстве», сказал Оппенгейм. Измерения, из которых состоит блок-вселенная Эйнштейна, очень сильно отличаются друг от друга.
Кроме поддержки идеи созидательного (и, возможно, деструктивного) времени, интуиционистская математика также предлагает новую интерпретацию осознанного восприятия времени. Вспомните, что в данной системе взглядов континуум липкий, и его невозможно разрезать на две части. Гизин связывает эту липкость с нашим ощущением «густоты» настоящего – мы считаем его реально существующим моментом, а не просто точкой нулевого размера, раскалывающей прошлое и будущее. В стандартной физике на основе стандартной математики время – это непрерывный параметр, способный принимать любое значение на числовой прямой.
«Однако, — сказал Гизин, — если континуум представить в интуиционистской математике, то время не получится разрезать пополам». Оно толстое, сказал он, «такое же, как и мёд».
Пока что это лишь аналогия. Оппенгейм сказал, что у него «есть хорошее предчувствие касательно нашего ощущения густоты времени. Не знаю, откуда у нас такое ощущение».
Будущее времени
Идеи Гизина вызвали разнообразные реакции у других теоретиков, каждый из которых мог предложить свой собственный мысленный эксперимент и идеи по поводу времени.
Несколько экспертов согласились, что вещественные числа не кажутся физически реальными, и что физикам нужен новый формализм, на них не основанный. Ахмед Альмейри, физик-теоретик из Института передовых исследований, изучающий чёрные дыры и квантовую гравитацию, сказал, что квантовая механика «мешает существованию континуума». Квантовая математика группирует энергию и другие величины в пакеты, больше похожие на целые числа, чем на континуум.
А бесконечные числа обрезаются внутри чёрных дыр. «Может показаться, что у чёрной дыры может быть бесконечное количество внутренних состояний, однако они обрезаются», сказал он, из-за эффектов квантовой гравитации. «Вещественные числа не могут существовать, поскольку их не спрячешь внутри чёрных дыр. А иначе они могли бы прятать там бесконечное количество информации».
Санду Попеску, физик из Бристольского университета, часто общающийся с Гизиным, согласился с недетерминистским мировоззрением последнего, однако сказал, что не уверен в необходимости интуиционистской математики. Попеску не согласен с идеей о том, что цифры в вещественных числах можно считать информацией.
Аркани-Хамед считает использование интуиционистской математики Гизиным интересным и потенциально связанным с такими случаями, как чёрные дыры и Большой взрыв, где гравитация и квантовая механика вроде бы вступают в конфликт. «Эти вопросы – о конечных числах, о фундаментальных вещах, о существовании бесконечного количества цифр, или о постепенном возникновении цифр, — сказал он, — могут быть связаны с тем, как мы должны рассматривать космологию в тех ситуациях, когда не знаем, как применить квантовую механику».
Он также считает необходимым создание нового математического языка, способного «освободить» физиков от бесконечной точности и позволить им «беседовать о вещах, постоянно находящихся в немного размытом состоянии».
Идеи Гизина находят отклик во многих уголках, однако они всё ещё не оформлены как следует. Он надеется найти способ переформулировать теорию относительности и квантовой механики в терминах конечной и размытой интуиционистской математики, так, как ему это удалось сделать с классической механикой, и, возможно, сблизить эти теории. И у него есть идеи по поводу того, как подступиться к квантовой части вопроса.
Один из способов, которым бесконечность проявляет себя в квантовой механике, является «проблема хвостов». Попытайтесь локализовать квантовую систему, например, электрон на Луне. «Если делать это при помощи стандартной математики, приходится признать, что вероятность обнаружить этот электрон на Земле чрезвычайно мала», — сказал Гизин. «Хвост» математической функции, обозначающей местоположение частицы, «становится экспоненциально малым, но остаётся ненулевым».
Однако Гизин интересуется: «Какую реальность приписать сверхмалому числу? Большинство экспериментаторов сказали бы: Считайте его нулевым и всё. Однако более теоретически ориентированные скажут: Но, если верить математике, там что-то должно быть».
«Однако всё зависит от конкретной математики, — продолжил он. – В классической математике там что-то есть. В интуиционистской математике – нет. Ничего». Электрон на Луне, и его шансы оказаться на Земле действительно равны нулю.
С момента публикации Гизиным работы будущее стало лишь ещё более неопределённым. Теперь, когда мир охвачен кризисом, каждый день для него подобен воскресенью. Находясь вдалеке от лаборатории, не имея другой возможности видеться с внучками кроме как по видеосвязи, он планирует продолжать размышления, сидя дома со своей кружечкой чая и видом на сад.
Квантовая математика
В мире
Внутри нейтринного детектора «Super-Kamiokande». Источник: Kamioka Observatory / The University of Tokyo
Иэн Стюарт рассказывает о сложнейших математических задачах, стараясь обойтись без формул и уравнений
Великий математик Карл Гаусс однажды сказал: «Главное в математике — идеи, а не символы».
Британский популяризатор науки Иэн Стюарт этот принцип положил в основу своей книги «Величайшие математические задачи». В ней он прослеживает историю главной науки через призму самых сложных, нерешаемых веками теорем и гипотез, стараясь минимально использовать математический язык формул и уравнений. Но Стюарт не отказывается от афоризма про «царицу наук». «Величайшие математические задачи» — это рассказ об истории научного знания вообще, которое развивается исключительно вследствие развития математики.
«Русская планета» с разрешения издательства «Альпина нон-фикшн» публикует отрывок из книги Иэна Стюарта «Величайшие математические задачи», посвященный истокам квантовой механики.
Пока все это происходило, кое-кто из ученых начал понимать, что атомы вовсе не являются неделимыми. Они обладают структурой, и от них можно отбивать маленькие кусочки. В 1897 году Джозеф Томсон, экспериментируя с катодными лучами, открыл, что атомы можно заставить испускать еще более мелкие частицы, электроны.
И не только это: оказалось, что атомы разных элементов испускают одни и те же частицы. При помощи магнитного поля Томсон показал, что электроны несут отрицательный электрический заряд. Но атом электрически нейтрален, так что в нем должна быть какая-то часть, обладающая положительным зарядом. Обдумав это, Томсон предложил модель атома, известную как «пудинг с изюмом»: атом похож на положительно заряженный пудинг с отрицательно заряженными электронами-изюминками внутри. Но в 1909 году Эрнест Резерфорд, один из бывших студентов Томсона, провел эксперимент и продемонстрировал, что большая часть массы атома сосредоточена возле его центра. Пудинги такими не бывают.
Как можно экспериментально прозондировать такую крохотную область пространства? Представьте себе участок земли, на котором могут быть здания и другие сооружения, а может и не быть ничего. Вам не позволяется входить на эту территорию, к тому же вокруг темно, хоть глаз выколи, и ничего не видно. Однако у вас есть винтовка и неограниченный запас патронов.
Вы можете стрелять наугад в направлении участка и отслеживать направление, в котором пули из него вылетают. Если участок напоминает пудинг с изюмом, то большая часть пуль пролетит насквозь по прямой. Если вам придется время от времени уворачиваться от пуль, срикошетивших прямо на вас, то можно будет сделать вывод, что впереди находится что-то довольно твердое. Наблюдая за тем, как часто пули вылетают с участка под тем или иным углом, вы сможете оценить размеры твердого объекта.
Пулями Резерфорда стали альфа-частицы — ядра атомов гелия, а участком земли для него служила тончайшая золотая фольга. Работа Томсона показала, что электроны-изюминки обладают очень малой массой, так что почти вся масса атома должна была приходиться на сам пудинг. Если бы в пудинге не было уплотнений, то большая часть альфа-частиц должна была бы пролетать насквозь. Лишь некоторые частицы могли отклоняться от своего пути, и то ненамного. Вместо этого оказалось, что небольшая, но заметная часть альфа-частиц отклонялась на достаточно большие углы, что явно не соответствовало картине пудинга.
Резерфорд предложил другую метафору, которой мы часто пользуемся и сегодня, несмотря на существование более современных моделей. Речь идет о планетарной модели атома. Атом подобен Солнечной системе, предположил Резерфорд: в нем есть громадное центральное ядро, «солнце» системы, а вокруг ядра, подобно планетам, обращаются электроны. Поэтому атом, как и Солнечная система, по большей части представляет собой пустое пространство.
Резерфорд пошел дальше и нашел доказательства того, что ядро состоит из двух различных типов частиц: протонов, несущих положительный заряд, и нейтронов с нулевым зарядом. Массы тех и других очень близки и примерно в 1800 раз превосходят массу электрона. Таким образом, атомы не только не являются неделимыми, но и состоят из еще более мелких субатомных частиц. Эта теория объясняет целочисленную нумерологию химических элементов: оказывается, подсчитывается не что-нибудь, а количество протонов и нейтронов. Кроме того, она объясняет изотопы: добавление или удаление нескольких нейтронов изменяет массу атома, но сохраняет его суммарный нулевой заряд и число электронов, равное числу протонов.
Химические свойства атома определяются в основном его электронами. К примеру, хлор-35 содержит 17 протонов, 17 электронов и 18 нейтронов; хлор-37 — 17 протонов, 17 электронов и 20 нейтронов. Атомная масса 35,45 возникает потому, что природный хлор представляет собой неравную смесь этих двух изотопов.
В начале XX в. появилась и новая теория, применимая к веществу в масштабе субатомных частиц. Она получила название «квантовая механика», и после ее появления физика принципиально изменилась и уже никогда не будет прежней. Квантовая механика предсказала множество новых явлений, которые затем удалось пронаблюдать в лаборатории, и существование новых элементарных частиц. Она также помогла понять прежде не поддававшиеся объяснению явления. Наконец, она изменила наши представления о Вселенной, поскольку классический ее образ, несмотря на великолепную согласованность со всеми предыдущими наблюдениями, оказался неверен. Человеческие органы чувств плохо приспособлены для восприятия реальности на фундаментальном уровне.
Эрнест Резерфорд с ассистентом Хансом Гигером в своей лаборатории, 1913 год. Источник: Alexander Turnbull Library
Эрнест Резерфорд с ассистентом Хансом Гигером в своей лаборатории, 1913 год. Источник: Alexander Turnbull Library
В классической физике вещество состоит из частиц, а свет представляет собой волну. В квантовой механике свет тоже частица, фотон; и наоборот, вещество (к примеру, электроны) может иногда вести себя как волна. Прежнее четкое деление на волны и частицы не то чтобы размывается, а вовсе исчезает, сменяясь корпускулярно-волновым дуализмом. Если воспринимать все буквально, планетарная модель атома работала не слишком хорошо, поэтому вскоре появился новый образ. Электроны не обращаются вокруг ядра, как планеты вокруг Солнца, а образуют размытое облако с центром в ядре — облако вероятностей, а не чего-то конкретного. Плотность облака в некоторой точке соответствует вероятности обнаружить в данной точке электрон.
Итак, помимо протонов, нейтронов и электронов физики знали еще одну субатомную частицу — фотон.
Вскоре появились и другие. Кажущееся нарушение закона сохранения энергии побудило Вольфганга Паули предложить коллегам исправить положение — постулировать существование нейтрино, невидимой и практически необнаружимой новой частицы, которая объяснила бы утечку энергии. Необнаружимость частицы, однако, оказалась неполной, что позволило в 1956 году подтвердить ее существование. После этого как будто распахнулись шлюзы. Пионы, мюоны, каоны посыпались как из рога изобилия (последние были открыты в результате наблюдения космических лучей). Появилась новая дисциплина — физика элементарных частиц, и первым ее рабочим инструментом стал метод Резерфорда, позволявший проводить зондирование на тех невероятно малых масштабах, о которых шла речь: чтобы выяснить, как устроен тот или иной объект, нужно бомбардировать его разными «снарядами» и смотреть на результат. Началось строительство и использование все более масштабных ускорителей частиц — по существу, орудий, стреляющих теми самыми пробными снарядами.
Стэнфордский линейный ускоритель имел длину 3 километра. Чтобы не строить ускорителей длиной в целый континент, их стали изгибать и замыкать в круг, чтобы частицы могли беспрерывно двигаться по ним, одновременно набирая колоссальные скорости. Это серьезно усложнило технологию, поскольку частицы при движении по кругу излучают энергию, но с этим научились справляться.
Первым результатом этих трудов стал растущий каталог элементарных вроде бы частиц. Энрико Ферми так выразил свое разочарование: «Если бы я мог запомнить названия всех этих частиц, я был бы ботаником». Однако время от времени в квантовой теории появлялись новые идеи, и список вновь менялся: предлагались очередные мельчайшие частицы, чтобы объединить уже наблюдавшиеся структуры.
Вначале квантовая механика описывала отдельные волноподобные или частицеподобные явления, но никто не мог вразумительно описать квантово-механический аналог поля. Однако игнорировать этот пробел было невозможно, потому что частицы, описываемые квантовой механикой, могут взаимодействовать и взаимодействуют с полями, которые на тот момент квантовой механикой не описывались.
Пред-ставьте, что кто-то захотел бы выяснить, как движутся плане-ты Солнечной системы, притом что ньютоновы законы движения (описывающие, как движутся массы под действием сил) были бы известны, а вот его же закон тяготения (объясняющий, что представляют собой эти силы) — нет.
Но помимо частиц была и другая причина стремиться прояснить вопрос с полями. Благодаря корпускулярно-волновому дуализму то и другое теснейшим образом связано. По существу, частица — это скомканный кусочек поля, а поле — это море плотно упакованных частиц. Эти две концепции неразделимы. К несчастью, разработанные к тому моменту методы были основаны на том, что частицы похожи на крохотные точки, и никак не распространялись на поля. Невозможно просто согнать множество частиц в одно место и назвать то, что получилось, полем, потому что частицы взаимодействуют друг с другом.
Представьте толпу людей… к примеру, в поле. Может быть, они собрались там послушать рок-концерт. Если посмотреть из пролетающего вертолета, толпа людей похожа на жидкость, хлюпающую в поле — часто буквально, как, к примеру, на фестивале в Гластонбери: известно, что поле там превращается в море грязи.
Внизу, на земле, становится ясно, что на самом деле жидкость — это бурлящая масса отдельных частиц: людей. Или, возможно, тесных небольших групп людей, таких как несколько гуляющих вместе друзей, которые представляют собой неделимую единицу, или как группа незнакомых людей, объединенных общей целью — к примеру, походом в бар. Но невозможно точно смоделировать толпу, просто сложив воедино поведение отдельных людей (то, как они вели бы себя в одиночестве). Направляясь к бару, одна группа преграждает путь другой, группы сталкиваются и перемешиваются. Разработка эффективной квантовой теории поля напоминает моделирование поведения толпы, в которой роль людей выполняют локализованные квантовые волновые функции.
Поль Дирак. Источник: Florida State University
Поль Дирак. Источник: Florida State University
К концу 1920-х годов физики убедились (в частности, при помощи подобных рассуждений), что, как бы трудна ни была задача, квантовую механику придется расширять, чтобы она могла описывать не только частицы, но и поля.
Естественной отправной точкой для этого стало электромагнитное поле. Необходимо было каким-то образом квантовать и электрический, и магнитный его компоненты, то есть переписать его характеристики на языке квантовой механики. Но тут возникали сложности. Математический аппарат квантовой механики был незнаком и к тому же выглядел крайне нефизически. То, что можно было увидеть и измерить, уже не выражалось добрыми старыми числами, а соответствовало операторам гильбертова пространства: математическим правилам, разработанным для работы с волнами. Эти операторы нарушали обычные постулаты классической механики. При перемножении двух чисел результат не зависит от их порядка; к примеру, 2 × 3 и 3 × 2 — это одно и то же. Это свойство сложения, известное как коммутативность, нарушается для многих пар операторов — примерно так же, как надеть сначала носки, а затем ботинки, не то же самое, что сначала надеть ботинки, а затем носки. Числа — существа пассивные, а вот операторы — активны. Действие, которое вы произведете первым, подготавливает сцену для дальнейших событий.
Коммутативность — очень приятное математическое свойство. Его отсутствие раздражает и мешает, поэтому, в частности, квантование поля оказалось такой хитрой задачей. Тем не менее она решаема. Электромагнитное поле удалось квантовать в несколько этапов. Начался этот процесс с теории электрона Дирака (1928), а завершили его Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер, Ричард Фейнман и Фримен Дайсон в конце 1940-х — начале 1950-х годов. Получившаяся в результате теория стала называться квантовой электродинамикой.
Точка зрения, использованная при разработке этой теории, давала подходы к методу, который мог бы применяться и более широко. В основе его лежала идея, восходившая непосредственно к Ньютону. Пытаясь решить уравнения, связанные с законом Ньютона, ученые открыли несколько полезных общих принципов, известных как законы сохранения. Дело в том, что при движении системы массивных тел некоторые величины остаются неизменными. Самая известная из них — энергия, которая бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.
Кинетическая энергия определяется тем, насколько быстро движется тело, а потенциальная — представляет собой работу, проделанную определенными силами. Когда камень падает со скалы, он как бы обменивает потенциальную энергию, связанную с тяготением, на кинетическую. Говоря обычным языком, он падает и ускоряется. Кроме этого, сохраняются такие величины, как импульс, равный произведению массы на скорость, и момент импульса, связанный со скоростью вращения тела. Сохраняющиеся величины связывают различные переменные, используемые для описания системы, и таким образом уменьшают их число.
К началу XX века ученые разобрались в том, откуда взялись законы сохранения. Эмми Нетер доказала, что каждая сохраняющаяся величина соответствует непрерывной группе симметрий в уравнениях. Симметрия — это математическое преобразование, при котором уравнения не меняются. Все симметрии образуют группу с операцией «провести одно преобразование, затем другое». Непрерывная группа — это группа симметрий, определенная единственным действительным числом.
К примеру, вращение вокруг заданной оси есть симметрия, и угол вращения может задаваться любым действительным числом, поэтому вращения — на все возможные углы — вокруг заданной оси образуют непрерывную группу. Из сохраняющихся величин с этой симметрией связан момент импульса, или вращательный момент. Точно так же сохранение импульса связано с непрерывной группой перемещений в заданном направлении. А как насчет энергии? Ее сохранение связанно с временными симметриями — уравнения неизменны в любой момент времени.
Стюарт И. Величайшие математические задачи / (Перевод с английского — Наталья Лисова). — М.: Альпина нон-фикшн, 2015
Поделиться
Что такое квантовая математика? – Велкон
От Саймон
Эти мысли проверены временем, но до сих пор игнорируются обычными людьми. Это помогло создать понятие теории относительности, а также принцип квантовой механики и является одной из основ физики Вселенной, как мы ее понимаем.
Новая Квантовая физика, квантовая физика сегодняшнего дня, способна решить множество проблем, которые раньше считались неразрешимыми. Например, если вам попадутся методы времени, силы и силы тяжести, вы сможете делать вещи, о которых знатоки и не догадывались.
Эта свежая и передовая наука сегодня способна создать множество новых продуктов, которые люди используют ежедневно. Мы больше не зависим от энергии, бензина, ядерной энергии или ветра для питания наших автомобилей. Существует также новый веб-сайт научных академических эссе, который позволяет нам использовать энергию солнечного света для питания наших автомобилей.
Квантовая математика также используется в астрономии. Это привело исследователей к многочисленным замечательным открытиям, которые дали нам удивительные изображения всей Вселенной. Вместе с этими удивительными открытиями было сделано много превосходных открытий, которые помогли нам ответить на многие вопросы, возникающие в нашем мире.
Квантовая математика позволила ученым узнать о Вселенной множество вещей, которые ранее считались невозможными.
Если люди начинают использовать это новое сознание в своей жизни, они начинают обнаруживать эффекты квантовой физики и в своей собственной жизни. Они смогут увидеть, как весь мир будет работать с большей точностью, и они также смогут добиться большего вместе с ним.
Квантовая математика также помогла исследователям понять ряд загадок их Вселенной, например, как работает гравитация и как она влияет на расстояние. Это помогло найти подсказки относительно того, где на самом деле лежат законы Вселенной и времени, а также то, как они взаимодействуют. Многие мужчины и женщины используют квантовую математику в своей повседневной жизни, чтобы лучше понимать близкие им вопросы, а также то, как они взаимодействуют друг с другом.
Квантовая математика — одна из наиболее широко используемых и уникальных областей математики на сегодняшний день. Люди во всем мире используют это новое знание в повседневной жизни, и оно используется почти во всем, от технологий до искусства. И даже медицина.
Квантовая математика может привести к очень красивым открытиям, которые изменят то, как мы видим окружающий мир, и помогут ему казаться значительно лучше, чем он есть на самом деле. К нашему ближайшему будущему.
Квантовая математика также сыграла важную роль в развитии нескольких новых технологий. Разработанные источники энергии применяют квантовую математику для использования энергии и создания новых источников электричества. Лампочки, которые у вас сейчас есть в доме, действительно используют квантовую физику, и такие лампочки с каждым годом становятся меньше. Как способ сделать их эффективными, помогая https://www.masterpapers.com/capstone-project освещать ваше жилище.
Квантовая математика использовалась во всем, от образования до строительных компонентов для создания первых атомных бомб. Боффинс смог точно узнать все, что нужно для изготовления этих бомб, и применить это, чтобы сделать их более эффективными и менее опасными, чтобы сбрасывать их в гораздо более эффективном темпе.
Теперь вы хорошо знаете, что такое квантовая наука и как она помогает создавать дополнительные эффективные машины и более мощное оборудование и оружие, а также https://www.jccmi.edu/human-resources/employee -directory/ для защиты от существующих угроз. Это очень важная тема, которая имеет множество различных применений и может помочь людям решить многие проблемы, с которыми люди сейчас сталкиваются.
Квантовая наука может быть просто отраслью науки, которая дала нам множество открытий за последнее время. Все мы не можем сделать все то, что мы можем сделать вместе, используя это новейшее понимание за одну ночь, но мы должны продолжать использовать его и убедиться, что у нас всегда есть самая новая и самая лучшая информация. Это помогает добиться предстоящего главного в технологии. Квант — это то, что будет здесь еще очень долго.
Квантовая математика? – Математическое переполнение
спросил
Изменено 11 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 12 тысяч раз
$\begingroup$
«Квант» как термин/приставка раньше был чисто физическим: то, что должно было быть физически непрерывным, оказалось физически квантованным.
Какой смысл это различие имеет внутри математики?
Особенно: Удачно ли выбрано название “квантовая алгебра”? (Согласно Википедии, это одна из математических категорий верхнего уровня, используемых arXiv, но она не поясняется далее.)
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Я думаю, что основная интуиция, связывающая квантовую алгебру и квантовую физику, выглядит примерно так:
квантовый материал = классический материал + $\hbar$ (что-то сложное)
, где $\hbar$ — «маленькая» формальная переменная. Другими словами, суть в том, чтобы принять во внимание, что известные всем математические объекты являются лишь аппроксимациями более сложных объектов. Следовательно, квантовая математика имеет какое-то отношение к теории возмущений, потому что большинство интересных объектов в квантовой математике — это возмущения тривиальных решений некоторых задач/уравнений.
Здесь возмущение означает, что эти объекты представляют собой формальные степенные ряды в $\hbar$, постоянный член которых является тривиальным решением (например, 1 🙂 ) некоторого уравнения (например, уравнения Янга-Бакстера).
Следовательно, как указал Джон, квантовая алгебра включает в себя изучение объектов, для которых классические свойства (например, коммутативность) «почти» истинны (т. е. истинны по модулю $\hbar$).
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Сам работая в области «квантовой математики», я должен немного защищать эту терминологию 😉 Этот термин явно мотивирован использованием в физике и в настоящее время обычно используется в ситуациях, когда у вас есть «классический» математический объект ( кольцо, алгебра, группа, что угодно), которое традиционно рассматривается в коммутативном контексте. Тогда «квантовая» версия означает перенести вещи в некоммутативный контекст и посмотреть, что произойдет.
Конечно, это все очень расплывчато, но почему вы называете группы “группами”, а поля “полями”? Думаю, именно интуиция делает это понятие полезным для сообщества. Интуиция из физики — это переход от коммутативного к некоммутативному, и я думаю, что это действительно то, что люди обычно думают, когда слышат какую-нибудь «квантовую блаблаблу» в математике. Так что, думаю, это не совсем раздражающее понятие 🙂
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Я считаю, что термин некоммутативная алгебра обычно используется для обозначения изучения общих некоммутативных алгебр. Квантовая алгебра включает изучение определенных типов некоммутативных алгебр, а не всех некоммутативных алгебр. Это не черное и белое, а достаточно четко определенное подсемейство. Алгебры довольно часто включают параметр $q$ st, когда $q=1$ или $0$ алгебра коммутативна – возьмем, например, алгебры Дринфельда–Джимбо.