Квантовая механика формулы: Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на квантовую механику

Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на квантовую механику

Данная тема посвящена посвятим тому, что вспомним некоторые важные определения, понятия и формулы, относящиеся к квантовой механике, а также дадим общие рекомендации по решению задач на данную тему.

И так, как же возникло учение о квантах? Из курса электродинамики известно, что теоретические исследования Джеймса Клерка Максвелла показали, что свет есть электромагнитные волны определенного диапазона, что позже подтвердил Генрих Герц в своих опытах. Электромагнитная теория смогла объяснить многие наблюдаемые явления, в том числе, давление, интерференцию и дифракцию света. Но такое явление, как дисперсия, теория Максвелла объяснить не смогла. Это было сделано голландским ученым Хендриком Лоренцем, создавшим электронную теорию взаимодействия света с веществом.

Но и дополненная теория Максвелла нуждалась в уточнениях.

Ведь такие явления, как, например, распределение мощности излучения в спектре абсолютно черного тела или возникновение линейчатых спектров и законы фотоэффекта, она объяснить не могла.

Нова теория была выдвинута в одна тысяча девятисотом году Максом Планком. Согласно его гипотезе, электроны атомов излучают свет не непрерывно, а отдельными порциями — квантами. При этом энергия кванта пропорциональна частоте колебаний электрона в веществе.

Квантовые представления о свете, введенные в науку Планком, развил далее Альберт Эйнштейн. Он пришел к выводу о том, что свет не только излучается, но и распространяется в пространстве, и поглощается веществом в виде квантов

.

Вот таким вот образом и возникло учение о квантах и, собственно, квантовая физика, которая смогла объяснить ряд явлений, наблюдаемых при взаимодействии света с веществом.

В 1887 году Генрих Герц открыл явление внешнего фотоэффекта, которое было изучено русским ученым Александром Григорьевичем Столетовым.

Внешний фотоэффект возникает при взаимодействии вещества с поглощаемым электромагнитным излучением, при этом происходит вырывание электронов с поверхности вещества.

Проводя свои эксперименты, Столетов установил следующий закономерности фотоэффекта:

1) При отсутствии напряжения между электродами фототок отличен от нуля, что можно объяснить наличием у фотоэлектронов при вылете кинетической энергии.

2) При некотором значении напряжения между электродами сила фототока перестает зависеть от напряжения, то есть достигает насыщения.

3) Если поменять местами полярности катода и анода, то в электростатическом поле между электродами фотоэлектроны будут тормозится и, при некотором значении этого отрицательного напряжения, фототок полностью прекратится.

На основании этих экспериментальных данных были сформулированы законы фотоэффекта.

Первый закон фотоэффекта звучит следующим образом: сила фототока насыщения пропорциональна общему числу фотоэлектронов, покидающих поверхность металла за единицу времени.

Второй закон формулируется так: при увеличении частоты падающего света максимальная кинетическая энергия линейно возрастает. При этом кинетическая энергия не зависит от интенсивности падающего света.

Третий закон говорит о том, что красная граница фотоэффекта зависит только от рода вещества катода. Напомним, что

красная граница — это минимальная частота (или максимальная длина волны), при которой еще возможен фотоэффект.

А четвертый закон утверждает, что фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом, до вылета электрона проходит время порядка миллиардной доли секунды.

В 1905 году для объяснения экспериментальных законов фотоэффекта Эйнштейн использовал квантовые представления о свете, введенные Планком, и применил их к поглощению света веществом.

И так фотон, обладающей энергией hν, падая на поверхность металла, поглощается электроном поверхностного слоя металла.

И если энергия фотона равна или превышает работу выхода, то электрон вылетает из металла. При этом часть энергии фотона тратится на совершение работы выхода, а остальная часть переходит в кинетическую энергию фотоэлектрона.

Таким образом, было установлено, что свету присущи и корпускулярные свойства. В настоящее время принято считать, что свет обладает двойственной корпускулярно-волновой природой. Двойственность свойств света находит свое выражение в формулах, которые вы сейчас видите на экране. В них корпускулярные характеристики фотона (энергия, масса и импульс) связаны с волновой характеристикой — частотой.

В 1927 году Нильс Бор сформулировал принцип дополнительности. Звучит он следующим образом: для полного понимания природы света необходимо учитывать, как волновые, так и корпускулярные свойства света: они взаимно дополняют друг друга. Однако следует помнить, что для объяснения какого-либо эксперимента следует использовать либо волновые, либо корпускулярные представления о природе света, но не те и другие одновременно.

Теперь немного поговорим о физике атома и атомного ядра.

Bзвестно, что атомы представляют собой очень прочные системы, несоизмеримо более устойчивые, чем составленные из атомов молекулы. Поэтому до конца 19 века атомы считались простейшими неделимыми частицами вещества. Однако последующее развитие науки опровергло эту точку зрения. Было установлено, что атомы представляют собой достаточно сложные образования. Одним из таких фактов стали опыты Резерфорда по рассеиванию альфа-частиц.

На основании проделанных опытов Резерфорд предложил ядерную (или планетарную) модель атома. Согласно модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома.

А вокруг неподвижного ядра по замкнутым орбитам вращаются электроны, число которых совпадает с порядковым номером элемента в таблице Менделеева.

Однако некоторое время и эта модель считалась не состоятельной, так как согласно расчетам, в этой модели атом должен быть неустойчивым. Противоречия возникли из-за того, что к электронам в атомах применяли законы классической физики, а в микромире действуют свои законы.

Первым, кто признал невозможность применения классических законов физики к атомам, был датский ученый

Нильс Бор, который в 1913 году ввел элементы квантовой теории в модель атома Резерфорда и создал неклассическую теорию атома. В основе этой теории лежит три постулата.

Первый постулат (его еще называют постулатом стационарных состояний), говорит о том, что существуют особые, стационарные состояния атома, находясь в которых, атом не излучает энергию, при этом, электроны в атоме движутся с ускорением.

Второй постулат Бора еще называют правилом частот. Согласно ему, атом, при переходе из одного стационарного состояния в другое, излучает или поглощает квант энергии.

В

третьем постулате (правило квантования орбит) говорится о том, что в стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, должен иметь квантованные (дискретные) значения момента импульса.

Исходя из этих постулатов и используя планетарную модель строения атома, Бор разработал количественную теорию атома водорода. Данная модель была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важным этапом в создании квантовой механики. С ее помощью удалось объяснить основные закономерности в спектрах атомов водорода и водородоподобных систем и вычислить

частоты спектральных линий.

Оставалось, однако, неясным, от чего зависит интенсивность излучений тех или иных частот. Остался без ответа и вопрос, почему совершаются те или иные переходы. И, самое главное, с помощью модели атома Бора невозможно было описать атом гелия — один из простейших атомов, непосредственно следующий за водородом.

Поэтому в 1925 — 1927 годах на смену модели атома Бора пришла квантовая механика, которая явилась строгой непротиворечивой теорией и имела свой собственный математический аппарат.

Сведём в таблицу основные формулы на световые кванты, действие света.

Формула	Описание формулы
	Энергия фотона, где h = 6,63 ∙ 10−34 Дж ∙ с — постоянная Планка, v — частота, c = 3 ∙ 108 м/с — скорость света в вакууме, λ — длина волны.
	Импульс фотона.
	Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, где Авых — работа выхода электрона, m — масса электрона, υmax — максимальная скорость фотоэлектрона.
	Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, где е — заряд электрона, Uз — задерживающее напряжение.
	Красная граница фотоэффекта.
	Световое давление, где I — интенсивность света, ρ — коэффициент отражения света.

Теперь сведём в таблицу основные формулы физики атома.

Формула	Описание формулы
	Энергия электрона, находящегося на стационарной орбите в атоме водорода, где е — заряд электрона, ε0 — электрическая постоянная, r — радиус боровской орбиты электрона.
	Энергия, излученная или поглощенная атомом водорода, где W1 и W2 — энергии атома в соответствующих стационарных состояниях.
	Обобщенная формула Бальмера, где R — постоянная Ридберга, n — номер орбиты, на которую переходит электрон, k — номер орбиты, с которой переходит электрон.
	Условие квантования стационарных орбит, где m — масса электрона, υn —скорость электрона на n-ой орбите, rn— радиус n-ой орбиты.
	Радиус n-ой стационарной орбиты электрона в атоме водорода.

Сведём в таблицу основные формулы для элементов квантовой механики.

Формулы	Описание формулы
	Формула де Бройля, где λБ — длина волны де Бройля, h — постоянная Планка, m — масса частицы, υ — скорость частицы.
	Соотношение неопределенностей Гейзенберга, где Δх — неопределенность координаты, Δрх— неопределенность проекции импульса, ћ = h/2π.
	Соотношение неопределенностей, где ΔW — неопределенность значения энергии системы, Δt — неопределенность промежутка времени пребывания системы в данном состоянии

Методические рекомендации по решению задач по квантовой физике.

1) Необходимо всегда помнить о взаимосвязи между волновыми и квантовыми характеристиками частиц.

2) Помните, что взаимодействие фотонов с веществом подчиняется законам сохранения импульса и энергии (законы фотоэффекта следуют из закона сохранения энергии, а формула для расчета светового давления является следствием из закона сохранения импульса).

3) Следует помнить и основные положения ядерной модели атома с точки зрения классической электродинамики для расчета характеристик движения электрона в атоме.

4) Необходимо учитывать то, что, согласно положениям квантовой физики, радиус орбиты электрона, энергия атома, энергия излученного или поглощенного кванта могут иметь только определенные дискретные значения.

Квантовая механика. Часть 2. Вычислительные методы квантовой механики

Модуль 0: Повторение основных принципов квантовой механики.
Лекция 0-1. Постулаты квантовой механики.
Лекция 0-2. Простейшие следствия постулатов. Операторы.
Лекция 0-3. Зависимость волновой функции от времени. Стационарные состояния.

Модуль 1: Квазиклассическое приближение.
Лекция 1-1. Квазиклассическое приближение: идея, функции, параметр, трудности.
Лекция 1-2. Уточнение метода.
Лекция 1-3. Пример использования квазиклассического приближения.
Лекция 1-4. Условия сшивки квазиклассических функций.
Лекция 1-5. Правило квантования Бора-Зоммерфельда.
Лекция 1-6. Пример использования правила квантования. Число квантовых состояний.
Лекция 1-7. Прохождение потенциальных барьеров.
Семинар 1-1. Квазиклассическое приближение.

Модуль 2: Теория возмущений.
Лекция-2-1. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Вывод формул.
Лекция-2-2. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Примеры использования.
Лекция-2-3. Почему не работает теория возмущений в присутствии вырождения?
Лекция-2-4. Исправление теории возмущений в вырожденном случае.
Лекция-2-5. Примеры использования теории возмущений в вырожденном случае.
Лекция 2-6. Эффект Штарка.
Лекция 2-7. Эффект Зеемана.
Семинар 2-1. Теория возмущений без вырождения.
Семинар 2-2. Теория возмущений с вырождением .

Модуль 3: Теория квантовых переходов.
Лекция-3-1. Возмущения, зависящие от времени. Квантовые переходы.
Лекция 3-2. Теория нестационарных возмущений. Вывод формул.
Лекция-3-3. Анализ формул теории нестационарных возмущений. Адиабатические и внезапные возмущения.
Лекция-3-4. Пример использования теории нестационарных возмущений. Правила отбора.
Лекция 3-5. Переходы под действием периодических возмущений.
Лекция 3-6. Переходы в непрерывный спектр.
Лекция 3-7. Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение.
Лекция-3-7. Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение.
Лекция-3-8. Переходы под действием мгновенно включающихся возмущений.
Семинар 3-1. Теория нестационарных возмущений.
Семинар 3-2. Переходы под действием периодических и мгновенно включающихся возмущений.

Модуль 4: Системы тождественных частиц.
Лекция-4-1. Волновые функции систем тождественных частиц. Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы. Принцип Паули.
Лекция-4-2. Корреляции в движении тождественных невзаимодействующих частиц.
Лекция-4-3. Симметрии пространственных и спиновых волновых функций систем тождественных частиц. Собственные функции операторов и в системе двух частиц с одинаковыми спинами.
Лекция-4-4. Перестановочная симметрия пространственной части волновой функции систем тождественных частиц с определенным суммарным спином. Взаимодействие между частицами. Обменное взаимодействие.
Лекция-4-5. Метод вторичного квантования: основная идея метода.
Лекция-4-6. Метод вторичного квантования. Бозонный случай.
Лекция-4-7. Метод вторичного квантования. Фермионный случай.
Семинар 4-1. Перестановочная симметрия волновой функции.
Семинар 4-2. Метод вторичного квантования.

Модуль 5: Задача рассеяния.
Лекция-5-1. Постановка задачи рассеяния в квантовой механике. Волновая функция задачи рассеяния.
Лекция-5-2. Принципы вычисления сечения рассеяния. Интегральное уравнение задачи рассеяния.
Лекция-5-3. Борновское приближение в задаче рассеяния: идеи, формулы, условия применимости.
Лекция 5-4. Пример использования борновского приближения.
Лекция-5-5. Фазовая теория рассеяния. Фазы рассеяния. Выражение сечения через фазы рассеяния.
Лекция-5-6. Анализ формул фазовой теории рассеяния. Оптическая теорема. Случай медленных частиц.
Лекция-5-7. Пример использования фазовой теории рассеяния.
Семинар 5-1. Задача рассеяния. Принципы, постановка, граничные условия.
Семинар 5-2. Борновское приближение и фазовая теория рассеяния.

Понятие о дисперсионной формуле квантовой механики

из “Общий курс физики Оптика Т 4 ”

Теорию дисперсии в квантовой механике можно строить по той же схеме, что и в классической физике. Задача сводится к вычислению поляризуемости атомов и молекул в электрическом поле световой волны. Но при решении этой задачи надо пользоваться не классическими, а квантомеханическими уравнениями движения, например, в форме волнового уравнения Шредингера (1887—1961). Поскольку в данной книге квантовая механика не предполагается известной, систематическое изложение квантовой теории дисперсии в ней невозможно. Можно дать только общую характеристику и некоторые результаты этой теории. [c.529]
Полученные формулы выражают так называемое правило сумм, найденное независимо друг от друга Томасом и Рейхе, с одной стороны, и Куном, с другой (1925 г.). Приведенные наводящие рассуж-дения не могут служить доказательством формул (85.4) и (85.5). Это видно уже из того, что при к с п силы осцилляторов а потому и числа атомов Ык отрицательны. Однако сами формулы (85.4) и (85.5) могут быть строго доказаны методами квантовой механики. [c.531]
Принципиально новое явление, предсказанное квантовой механикой, состоит в том, что в формулу (85.6) могут входить слагаемые не только с положительными (когда й л), но и с отрицательными (когда к л). Так как = со , то в дисперсионную формулу войдут только суммы пк + ьп), а не каждое слагаемое в. отдельности. Если на нижнем энергетическом уровне находится больше атомов, чем на верхнем, то (/ + / ) О, в противоположном случае (/ , + кп) 0. В первом случае собственная частота со внесет в дисперсионную рмулу (85.6) слагаемое того же знака, что и в классическую формулу, во втором — противоположного. [c.532]
В соответствии с этим различают положительную и отрицательную дисперсию. Ход показателя преломления п (ю) вблизи собственной частоты о = I I в обоих случаях представлен схематически на рис. 300 (л+ для положительной, п для отрицательной дисперсии). Что касается коэффициента затухания у, то в случае отрицательной дисперсии он также отрицателен, т. е. при распространении света имеет место его усиление, а не ослабление. Это происходит, конечно, за счет переходов атомов с более высокого энергетического уровня на более низкий с испусканием квантов света (индуцированное излучение, см. П9). [c.532]

Вернуться к основной статье

Уравнение Шредингера в квантовой механики

Принципы квантовой механики

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

   

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к. состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных (х и ), а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов. Итак, состояние квантовой частицы можно характеризовать волновой функцией (комплексной), в двух представлениях — либо в координатном: , либо в импульсном: . Уравнение движения свободной частицы особенно просто выглядит в импульсном представлении, т. к. импульс свободной частицы сохраняется. Это означает на квантовом языке, что функция .не зависит от времени.

Уравнение Шредингера

Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости. И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени. Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

   

где – оператор Лапласа, x.y.z. – координаты, — постоянная Планка, деленная на 2.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Если не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

   

где E-полная энергия квантовой системы, а удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

   

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера

С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл. Можно сказать, в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. События же всегда случайны и совершаются непредсказуемо.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы. Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингера прямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения ,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где -комплексно сопряженная функция с .

   

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Примеры решения задач

ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ – Справочник химика 21

    Исходные положения квантовой механики [c.17]

    Эти общеизвестные положения квантовой механики непосредственно проектируются на реагирующие системы. Обозначим через начальное состояние молекулярной системы (исходное состояние реагентов) и через конечное состояние молекулярной системы (состояние продук- [c.136]

    Первым важнейшим недостатком его является то, что оно не может быть получено в рамках квантовой механики самой по себе. Действительно, чтобы пренебречь в операторе Гамильтона Н химической частицы всеми членами, указанными выше, и представить его в виде суммы операторов Н 1), необходимо знать формулу химического строения, приписываемую данной химической частице классической теорией химического строения. Но до настоящего времени ни понятие химических связей для” многоядерных химических частиц, ни представление о формуле химического строения не были выведены (хотя бы как приближенные представления) из общих положений квантовой механики как ее следствия . Таким образом, в рамках современной квантовой механики молекул (без включения в нее посторонних гипотез) нет пока квантово-механических аналогов понятий химическая связь и формула химического строения . Следовательно, нет возможности для различных состояний заданной системы из К ядер с зарядами а(а=1,. .. К) и N электронов из квантово-механических соображений определить, какие пары ядер следует считать химически связанными (в смысле, аналогичном химической связи классической теории) и между какими парами ядер таких химических связей нет. А поэтому нет исходных данных для преобразования оператора// в сумму операторов Н 1), так как неизвестно, к каким парам ядер должны относиться операторы Н 1), [c.80]

    В дальнейшем теория элементарных реакций развивалась на базе законов классической и квантовой механики (Г. Эйринг, М. Эванс, М. Поляни, 1935). Новое направление в развитии теории кинетики назвали теорией абсолютных скоростей химических реакций. Основное положение теории абсолютных скоростей химических реакций заключается в том, что всякий элементарный химический акт протекает через переходное состояние (активированный комплекс), когда в реагирующей системе исчезают отдельные связи в исходных молекулах и возникают новые связи, характерные для продуктов реакции. В теории абсолютных скоростей решаются две задачи расчет поверхности потенциальной энергии элементарного акта и расчет [c.287]

    Волновое уравнение Шредингера. Такой метод и соответствующий математический аппарат был предложен в 1926 г Шредингером на базе начинавшей формироваться к этому времени квантовой механики, исходными основными положениями которой были [c.40]

    В квантовой механике, открытой Шредингером в 1926 г., исходными являются два главных положения 1) движение электрона носит волновой характер 2) наши знания имеют вероятностный или статистический характер. [c.26]

    Положение линий поглощения в случае произвольной ориентации радикала наиболее точным образом определяется на основе численного анализа спин-гамильтониана. Исходный спин-гамильтониан Ж, задающий свойства системы на языке квантовой механики, имеет вид [c.27]

    Физически наиболее обосновано представление о любых химических объектах как о некоторой совокупности электронов и ядер. Между этими составными частями происходят электростатические, снин-спиновые и другие взаимодействия, а их движение описывается законами квантовой механики. С этой точки зрения все свойства химических объектов могут быть, в принципе, описаны с использованием указанной фундаментальной физической модели. Если бы такое описание оказалось практически возможным и достаточно точным в большинстве случаев, химия — как фундаментальная наука со своими особыми исходными постулатами и развитым на этой основе специфическим теоретико-математическим аппаратом — утратила бы современное значение. Именно практическая неосуществимость последовательной реализации такого обобщенного подхода пока сохраняет за химией положение самостоятельной фундаментальной науки. [c.8]

    Охарактеризованное кратко выше положение в литературе по строению молекул делает, по мнению автора, особенно важным четкое изложение исходных понятий, постулатов, законов и закономерностей, относящихся к строению молекул, в классической теории химического строения, в тех приложениях классической физики к вопросам строения молекул, которые могут дать и дают правильные и плодотворные результаты, и в квантовой механике молекул.  [c.10]

    Положение частицы в пространстве определяется при выбранной системе отсчета (системе координат) ее радиусом-вектором, либо координатами этого вектора. Помимо положения каждой частицы в системе микрочастиц считается заданным и момент времени I. Предполагается, что наряду с указанными исходными понятиями в квантовой теории определены и многие другие аналоги представлений классической механики, такие как импульс частицы, ее момент импульса и т.п. Однако, прежде чем говорить об этих величинах, остановимся на том, как определяется состояние классической и квантовой систем микрочастиц. [c.18]

    Проблема химической связи является фундаментальной проблемой в химий. Современные теории химической связи основаны на физико-математической теории атома, известной как квантовая или волновая механика и разработанной примерно в 1926 г. В основе этой теории лежит представление о том, что электрон обладает свойствами волны и в то же время в некоторых отношениях ведет себя как частица. Это положение не просто постулат теории, поскольку оно основано на вполне четких экспериментальных данных. Так, если пропускать пучок электронов через очень тонкую золотую фольгу, то происходит дифракция электронов и наблюдаются концентрические кольца дифракции, что может быть объяснено лишь с помош ью представлений о волновом характере этих частиц. Это волновое свойство электронов используется в электронном микроскопе. Поскольку волновые свойства электрона — это экспериментальный факт, то, следовательно, поведение электрона в атоме может быть описано при помощи волнового уравнения. Волновое уравнение Шредингера, примененное к трехмерной системе атома, в котором электрон движется вокруг ядра, является в этом случае исходной точкой для математической обработки, и это уравнение имеет следующую форму  [c.32]

    Разработка неэмпирических приближений в квантовой механике связана с применением вариационных прйн ципов. Как известно, эти принципы являются метатеоре-тическими утверждениями, т. е. прилагаются в самых различных областях физического знания. Хотя уравнение Шредингера представляет собой одно из исходных положений квантовой механики, оно может быть получено при помощи вариационного принципа Этот же принцип позволяет получить и приближенные уравнения квантовой механики, которые могут быть решены для многоэлектронных систем. [c.52]

    Если атомы водорода поместить в сильное электрическое поле 130), то спектральные линии бальмеровской серии расщепляются на компоненты довольно сложно. Смещение новых линий от исходного положения оказывается пропорциональным силе поля, а число линий определяется квантовым состоянием атома. Это явление было теоретически рассмотрено Эпштейном [31] на основании зоммерфельдовской модели водородного атома. Более точная теорпя этого явления спустя десять лет была развита рядом исследователей иа основе волновой механики, изложению которой посвящена следующая глава. [c.126]

    Как известно, в теории Дж. Льюиса, исходным положением которой слунлил постулат об электронной паре как фундаментальной единице химической связи, ненасыщенность связывалась с подвижностью и менее полным и несомненным, чем в простой связи , спариванием второй и третьей пар электронов в этиленовой и ацетиленовой связях [208, стр. 96]. Льюис,— по словам К. Ин-голда,— установил материальную основу ковалентной связи. Однако он не мог вскрыть характер действующих сил, так как их природа не была еще известна в классической физике их открытие явилось одним из достижений квантовой механики [209, стр. 16]. С помощью представления о гибридизации и о а- и я-связях в квантовой химии развивалось и обосновывалось положение классической структурной теории о качественном различии связей в сложной двойной и тройной связях. [c.57]

    Эти данные объясняются с помощью квантовой механики. Рассмотрим вторую формулу азотной кислоты (И). Нет никаких оснований отдавать предпочтение одной из этих формул, поскольку они содерлчисла электронов. Следует отметить, что эти две формулы отличаются только положением некоторых пар электронов (неподеленные пары и п-электроны). Можно даже представить себе, что неподелеиная пара электронов координационно связанного кислорода формулы I становится л-связью, а л-электроны формулы I становятся неподеленной парой электронов у другого атома кислорода. В результате смешения электронов (показанного изогнутыми стрелками в фор.муле П1) I переходит в П. Такое перемещение электронов возможно потому, что не участвующие в образовании связи электроны и л-электроны гораздо более подвижпы, чем электроны а-связи. Они стремятся распространить свое волновое движение в поле всех находящихся в их распоряжении атомов. Согласно теории квантовой механики, если молекула содержит подобные электроны на соседних орбиталях, эти орбитали комбинируются, образуя расширенные молекулярные орбитали, которые занимают электроны обеих исходных орбиталей. За счет такого более полного перекрывания электронных облаков молекула стабилизируется. Одновременно межатомные расстояния сокращаются. [c.99]

    По отношению к таким развивающимся системам знания, как квантовая химия, аксиоматический подход может играть лишь роль недостижимого идеала или, говоря более прозаически, исходной абстракции методологического исследования. В квантовой химии мы можем лишь очень приблизительно наметить систему аксиом и теорем . Аксиомами кваптовЗй химии будут, разумеется, принципы квантовой механики принцип суперпозиции, соотношение неопределенностей, уравнение Шредингера и т. д. теоремами — все производные положения квантовой химии, начиная от уравнения Хартри Фока и кончая уравнением Хюккеля. Подчеркнем, что об аксиомах и теоремах здесь можно говорить лишь в кавычках. Во-первых, теоремы , как правило, не выводятся из аксиом , а возникают в результате тех или иных приближенных методов. Во-вторых, при одной и той же вероятности аксиом мы имеем дело с весьма широким спектром вероятностей теорем .  [c.63]

    Иными словами, частота, характеризующая движение осциллятора, равна частоте испускаемого илп поглощаемого света. Однако этот результат совпадает с постулатом классической электромагнитной теории света, согласно которому частота колебаний электрического диполя совпадает с частотой испускаемого излучения. Следовательно, законы квантовой и классической механики дают одинаковые результаты для систем с высокими значениями квантовых чисел. Поскольку из уравнения (58) следует, что большим значениям п отвечают низкие частоты, можно сказать, что большие отклонения от законов классической механики характерны для движений с высокой частотой, т, е. для случаев, когда время, необходимое для ироведеиия полного цикла изменений, не велико. Рассмотренная в гл, 1Г методами классической механики система точек (газ) является системой с очень большим временем возврата , т, е, очень низкой частотой . Рассмотрим мгновенное состояние такой системы, описываемое пространственными координатами и импульсами. В следующее же мгновение состояние системы изменится и нам придется подождать очень большой промежуток времени, прежде чем все молекулы займут прежние положения, а их движение будет характеризоваться теми же импульсами. Для данного вида движения промежуток времени, необходимый для достижения исходного состояния, обратно пропорционален частоте. Поэтому вполне оправдано рассмотрение свойств раз- [c.114]

---

Двое из Саратова: ученые из СГТУ решили задачу про маятник и без пиетета отозвались о квантовой физике

У каждого из нас есть внутренне пространство, которое мы заполняем тем, чего просит душа. Один покоряет горные вершины, другой прыгает с парашютом, а вот доктор технических наук, профессор СГТУ Андрей Кочетков и исследователь Петр Федотов с нешуточным пылом ведут подкоп под бесспорные истины и незыблемые величины.

Занимаются они этим уже давно, действуя в глубоком арьергарде альтернативной научной мысли и препарируя как штампы школьных учебников, так и постулаты, возведенные в статус аксиом. И вот, разгребая пыль всяческих нетленок, саратовские физики сумели прийти к очень интересным выводам и даже предложить простые решения задач, там, где современная наука выбрала крайне сложный путь. О своих мыслях и находках ученые рассказали в нескольких книгах. Наш разговор о последней из них, вышедшей в 2019 году в столичном издательстве «Инновационное машиностроение», но и не только о ней.

«Теряют мелочь размером со слона»

— Начнем с традиционного вопроса: как все это началось? Вы оба, уважаемые, получили добротное советское образование, занялись наукой, причем в прикладном аспекте, где теория не отрывается от практики, но при этом все время держали фигу в кармане? Откуда эта страсть ерничать и сомневаться?

Андрей Кочетков: Вот именно потому, что мы оба прикладники, мы всю жизнь сталкиваемся с одной картиной: в школе на уроках физики учим одно, в вузе – на ту же тему нам говорят другое, а в практической жизни заявляют – забудьте все, чему вас там научили, потому что это не работает. Как же так? Почему законы, даже если они носят великие имена, не подтверждаются практикой? Тогда зачем такие законы нужны? Почему мы сначала их учим, запоминаем формулы, но практический вопрос, задачу из жизни по этим формулам не решить? Ответы же берутся из справочников, из таблиц с экспериментальными данными.

Петр Федотов: И это расхождение между школьной программой, вузовской физикой и реальной жизнью стало до того привычным, что никто вслух не задает неудобные вопросы. Ну, а мы решили задать. В книге «Маятник» рассматривается пример известной задачки про маятник, которую решает каждый школьник. Формулу вывел математик Гюйгенс еще в XVII веке, но – для малых колебаний. Для больших амплитуд задача теоретически была решена в XIX веке при помощи эллиптических интегралов. Чтобы постичь это решение, нужно с отличием окончить школу, затем с красным дипломом – физмат МГУ и еще лет 5 тренироваться в эллиптических интегралах.

— Где на практике применяются колебания большой амплитуды и как тогда выходят из положения?

А. К.: Все колебательные процессы в мире – маятниковые, колеблются планеты, двигаясь по своим орбитам, приливы и отливы – это колебания, вибрация деталей в станках — тоже. Как выходят из положения, если нужно рассчитать оптимальную частоту колебаний при бурении недр или если надо выяснить, как быстро износится станок из-за вибрации? Обращаются к справочникам, где значения выведены либо экспериментально, либо мощные компьютеры все посчитали в эллиптических интегралах. Но мы предложили простейшее решение. Если отказаться от необходимости иметь точное значение мгновенной скорости маятника в каждой точке траектории и воспользоваться средним значением скорости маятника за период, то необходимость в дифференциальных уравнениях отпадет. Если , то период больших колебаний маятника T определяется по формуле Кочеткова-Федотова:

В последней формуле приведено значение длины маятника L, как это принято в современной литературе, αmax — максимальный угол отклонения маятника.
С помощью этой формулы мы получаем точный результат — не методом последовательных приближений, не используя машино-часы суперкомпьютеров. С помощью этой формулы любой может сделать расчеты на калькуляторе, ее спокойно может применять даже школьник. Я не стану утверждать, что формула делает полностью ненужными дорогостоящие натурные эксперименты, но машино-часы компьютерных расчетов она исключает совершенно точно.

П.Ф.: У нас есть еще одна книга, вышедшая в том же издательстве, но в 2015 году – «Проблемы гармонизации радикальных противоречий в аксиоматике естественных наук». Там тоже есть примеры простого подхода к явлениям, которые науку почему-то ставят в тупик. Есть известная тема, которую проходят в школе, едва начинают изучать физику, – кинетическая энергия газов. Это как бы очень простой вопрос, на практике применение широчайшее – любой двигатель внутреннего сгорания, любая газовая турбина работают от того, что газ расширяется, движется и т.п. И при этом все пользуются эмпирическими значениями, добытыми опытным путем. Потому что на основе законов, принятых за истину, на основе официально утвержденных формул попадешь в бурелом. Значит, эти формулы что-то не учитывают, значит, есть какие-то факторы, из-за которых они не работают.

Возьмем еще одну совершенно рутинную тему, которую изучают шестиклассники, – броуновское движение. Мы знаем, что молекулы сталкиваются, по этой причине выделяется тепло. Чем больше тепла, тем интенсивнее броуновское движение и выше давление в емкости, где содержится газ. Это все описано в уравнении Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Для реального газа уравнение составил физик Ван-Дер-Ваальс, который вывел, что молекулы не просто ударяются друг о друга, но и взаимодействуют на расстоянии, примерно как Солнце и Луна.

Уравнение стало более точным, но решать практические задачи на его основе я бы никому не посоветовал. Что сделали мы? Мы внесли уточнение, что тепло выделяется не от столкновения молекул, а от того, что атомы испускают фотоны. Но когда атом испускает эту частицу, он откатывается назад, как откатывается пушка, когда из нее вылетает ядро. А когда другой атом принимает эту частицу, он отлетает, потому что ловит импульс. Отсюда и броуновское движение. Казалось бы, ерунда, мелочь, но когда мы рассмотрели фотонное взаимодействие в тепловом аспекте и ввели этот фактор в уравнение Ван-Дер-Ваальса, точность расчетов выросла в четыре раза!

— То есть всегда, когда формулы расходятся с реальностью, дело в какой-то мелочи, которую не учли?

А.К.: Если бы так! Бывает, что теряют мелочь размером со слона! Вы знаете, что расчеты движения планет Солнечной системы по Птолемею дают погрешность в 2,5 часа за 54 года (в часах считается время прихода объекта в искомую точку), а если считать орбиты по законам Ньютона, то ошибка за тот же период составит 18 лет? При этом Птолемей — это замшелый реакционер, полагавший, что Солнце и все планеты вращаются вокруг земли, а законы Ньютона – это святыня, то, что сидит у всех нас в подкорке.

— А как считают сейчас? Почему самолеты не сбиваются с курса и корабли приплывают куда им положено?

А. К.: Все считают машины с использованием мощного математического аппарата, в то время как у Птолемея компьютера не было, и даже синуса с косинусом он не знал. А точность измерений у него была, причем за результаты европейские астрономы и астрологи, работавшие по его системе, отвечали головой. И навигационные приборы, разработанные на основе расчетов Птолемея, были точными, потому что если они ошибались, то голову могли отрубить уже королю. Плывет экспедиция за золотом в Вест-Индию, но не попадает в нужную гавань. Пять таких экспедиций — и казна пуста, а затем происходит революция, и короля тащат на плаху.

«Одна наука, и никаких попов»

— И как Птолемей в Древнем Риме так все точно считал, позвольте спросить?

А.К.: Он использовал механические системы зацепления зубчатых колес, соответствующих каждой естественной составляющей колебания. Современный аналог этому – расчеты по тригонометрическим функциям. Примерно такими же были навигаторы, которые веками применялись путешественниками на земле и на море для точного позиционирования. Расчеты делались, условно говоря, прутиком на песке, а сейчас подобной точности добиваются, используя мощнейшие компьютеры. При этом положения планет сейчас пересчитываются раз 20 лет, иначе накапливается погрешность.

— И это называется прогресс?

П.Ф.: Птолемея «свергли» в эпоху Просвещения, объявив, что он позавчерашний день, сумерки сознания, на том основании, что он ставил Землю в центр и считал, что Солнце и другие планеты вращаются вокруг нее, а как раз геоцентрической модели придерживалась церковь. А вот Ньютон это, наоборот, передовое, одна наука, и никаких попов. На самом деле законы Ньютона – это предельно упрощенный подход, а Просвещение в части навигационных расчетов – это, по нашему мнению, пиар и чистой воды провокация. Потом налетели на ошибку в 18 лет и по-тихому, неофициально, вернули Птолемея. На поверхности же бушевали бури, отвоевывала себе место в методах расчета гелиоцентрическая система. Это преподносилось как победа науки над церковью, разума над невежеством.

— То есть все это тоже пиар? А как же Галилео Галилей, который сначала каялся и отрекался, а потом чуть не шепотом сказал: «А все-таки она вертится» — имея в виду, что Земля вращается вокруг Солнца вопреки учению церкви?

П.Ф.: Это художественный вымысел, во-первых, а во-вторых, с точки зрения физики совершенно неважно, что в центре – Земля или Солнце. Возьмем задачку, которую решает любой школьник: я еду на поезде и нужно узнать с какой скоростью относительно поезда параллельно едет автомобиль. Удобно считать относительно себя, т.е. поставив в центр Землю, но можно пересчитать, поставив в центр Солнце, и ввести еще скорость движения Земли вокруг светила.

— То есть пафос вашего сочинения «Маятник» в том, чтобы вернуть Птолемея и его систему?

А.К.: Нет, пафос нашего сочинения в том, чтобы вернуть то правильное и эффективное, что было незаслуженно отброшено, заслонено модными когда-то веяниями. В эпоху Просвещения силу набирала новая идеология и ей нужны были новые имена и авторитеты в противовес тем, которые она сбросила с корабля. И что мы имеем сегодня? Вот вы спросили, как Птолемею удавалось так точно считать? Почему сегодня при расчете волновых колебаний применяется регулярный гармонический анализ, который при котором погрешность возникает на пятой гармонике, а у Птолемея погрешность те самые 2,5 часа за 54 года? Потому что он анализировал явления природы и применял естественный, а не регулярный гармонический анализ, и считал по естественным координатам. А у нас применяют регулярный гармонический анализ с произвольно заданной постоянной регулярностью, потом применяется метод подбора, но все равно требуемой точности достичь не удается.

Птолемей не знал синуса, косинуса, но на своих зубчатых колесах он строил то, что называется тригонометрической аппроксимацией, а у нас применяется аппроксимация степенная, у нее погрешность резко больше. Полиномы Чебышева и функции Бесселя, описывающие волновые процессы, работают хорошо только для машин с заданными регулярными параметрами, но не могут работать оптимально для естественных колебаний, которые характерны для природы, живой материи. В этих случаях возникает неустранимая погрешность, но мы нашли метод, как применить гармонический анализ для естественных циклов.

«Молчи и вычисляй»

— А зачем, по большому счету? Сейчас все эти заморочки с регулярностью, с естественными ритмами устраняют машинные расчеты, корабли плавают по компасу, машины ездят по навигатору. В космос, как-никак летаем, спутники запускаем полвека уже.

П.Ф.: А затем, что если не решать эти задачки, то пробелы, допущения и неработающие законы достигнут критической массы. Уже сегодня мы живем в парадигме научной веры, наука по большому счету не может объяснить, чем же она занимается. А все потому, что после первого наступил второй этап просветительской деятельности. Ньютона точно так же скинули с корабля. Пришли Нильс Бор, Альберт Эйнштейн и другие молодые физики и сказали, что теперь они самые великие физики в мире. Это как революция: чтобы стать первым, нужно сбросить того, кто сейчас на троне. Механику Ньютона объявили ошибочной и отсталой, а квантовую механику – истинной и передовой. Были огромные сражения, молодые физики провели пять съездов, прежде чем одолели «ретроградов». На наш взгляд, это все имидж и маркетинг, а к науке это не имеет прямого отношения.

— Слушайте, даже я, сугубый гуманитарий, помню из школьного курса про фотопластинку, на которой оставляют след частицы. Законы Ньютона не позволяют даже близко вычислить, где будет этот след, а квантовая механика допускает некое облако вероятности и тем самым достаточно точно отвечает на вопрос.

А.К.: Безусловно, отвечает. Квантовая теория обогатила мир набором формул, которые работают, но почему – неясно. Их словно небо послало. Классическая, ньютоновская физика стройна и понятна, в ней все логически объясняется. В квантовой теории объяснение одно: вот тебе набор формул – молчи и вычисляй. Механика Ньютона перестала развиваться и не могла решить некоторые задачи, а квантовая может, но непонятным образом.

П.Ф.: Если бы эти наития шли косяком и дальше, если бы небо посылало все новые формулы… Но уже лет 70 ничего не посылает, и квантовая физика превратилась в научную веру. Прими эти скрижали, иначе тупо не сдашь экзамен и в вузе на следующий курс не перейдешь. Но мы уже не студенты, а взрослые люди, мы занимаемся наукой, у нас с логикой пока все в порядке. И если какие-то вещи мы 40 лет понять не можем, значит, нам либо плохо объясняют, либо просто обманывают. Поэтому мы и начали искать и обнаружили серьезные пробелы даже в темах из школьного курса. Мы просто не стесняемся задавать очевидные вопросы и ищем на них ответы, вот и все.

— Я что-то вот не слышала бурных баталий вокруг квантовой физики, никто ее с пьедестала не сбрасывает, ее постулаты формируют картину мира, как когда-то физика Птолемея формировала или физика Ньютона.

А.К.: Но при этом непонятно, откуда взялись эти постулаты, из чего они выведены. Мы ведь не призываем изгнать эту физику, мы говорим, что уже ясно виден ее предел, что есть вещи, которые квантовая теория объяснить не может, и есть вещи, которые прекрасно и логично объясняются без квантовой теории. Задача про маятник для больших амплитуд решена без квантовой механики. Через это решение мы выходим на задачи для небесных тел и для движения электрона, перехода его с орбиты на орбиту. Это уже квантовый эффект, но мы его рассчитываем без квантовой теории.

П.Ф.: Мы говорим, что нужно вспомнить Птолемея, но это не значит, что мы какие-то фанатики глубокой древности, призываем тут ввести в физику догмат о непорочном зачатии! И совершенно мы не говорим о том, что нужно отказаться от полиномов Чебышева, эллиптического интеграла или функций Бесселя. Она работают в своих областях – и это прекрасно. Мы лишь предлагаем с точки зрения здравого смысла посмотреть на некоторые постулаты квантовой теории, иначе так и будем принимать на веру, что нужно доверяться случайности, что наблюдаемое зависит от наблюдателя, а частица обладает свободой воли и интеллекта и сама выбирает себе для взаимодействия другую частицу.

— Мир уже в курсе того, что вы решили задачу маятника для больших колебаний?

А. К.: Перед тем, как вышла книга, была опубликована в издательстве «Машиностроение» в 2015 году монография «Проблемы гармонизации радикальных противоречий в аксиоматике естественных наук». Без этой публикации «Инновационное машиностроение» (так оно сейчас называется) не опубликовало бы «Маятник». Эта монография лежит в открытом доступе, примерно раз в три месяца я получаю запросы с просьбой ее выслать, так как у кого-то файл не раскрывается. Да, читают, интересуются. Ко мне даже студенты СГТУ подходили, где я преподаю.

П.Ф.: «Маятник» — сбалансированное произведение, там процентов 95 – это описание существующих подходов и новых способов решения задач механики маятника. Вот «Проблемы гармонизации…» — очень радикальная книга. Она была разослана по обязательной рассылке, ее заказали многие вузы. Но – ни одного официального отклика, положительного либо разгромного, не было.

— Почему?

А.К.: В научном мире есть своя иерархия, и вдруг появляются какие-то двое из Саратова, замахиваются на святое. При этом легко опровергнуть их нельзя, и формулы, которые приводятся, подтверждены экспериментально либо аппроксимации получены из реальных физических данных.

«Маятник» важен еще и в том плане, что это свидетельство нашей состоятельности и нашего права делать обоснованные заявления. Еще в начале 2000-х мы выпустили книжку, где полемизировали с Ньютоном и Эйнштейном, так что подкоп под научную веру мы ведем давно.

Мы в самой первой книге написали, что все нерешенные задачи сегодняшней науки имеют корни в истории. Мы ведь занимаемся этим не ради эпатажа, а потому что считаем, что непредвзятый подход и добросовестное критическое исследование приносят со временем значимые научные результаты.

Вопросы задавала Наталья Левенец.

Квантовая механика | Физика для идиотов

Вначале был непрерывный поток, а затем пришел Макс Планк и предложил квантование. Квантование в основном означает, что вместо того, чтобы быть непрерывным, такие вещи, как электромагнитное излучение, могут существовать только в кратных определенных значениях. Это немного похоже на тюбик умных подарков. Вся трубка представляет собой луч света. Внутри у вас есть сообразительность. Вы можете разделить трубку, чтобы в ней было меньше умников, или вы можете взять другую трубку и иметь умники, но у вас должно быть целое количество умников, потому что их нельзя разделить (если кто-нибудь напишет мне предлагая раздавить / раздавить / расколоть умника, я выслежу их и заставлю заплатить!).

Планк пришел к такому выводу, работая над «Ультрафиолетовой катастрофой». Согласно классическому электромагнетизму, количество способов, которыми электромагнитная волна может колебаться в трехмерном резонаторе на единицу частоты, пропорционально квадрату частоты. Это означает, что мощность, которую вы получите на единицу частоты, должна соответствовать закону Рэлея-Джинса, что означает, что мощность будет пропорциональна квадрату частоты. Так что если вы поднимете частоту все выше и выше, мощность будет неограниченной.Планк сказал, что электромагнитная энергия не соответствует классическому описанию. Он сказал, что его можно излучать только дискретными пакетами энергии, пропорциональными частоте

.

или иногда пишется как

, где (произносится как «ч бар») – это ч / (2). Эти уравнения означают, что излучение в конечном итоге стремится к нулю на бесконечных частотах, а общая мощность конечна. Планк назвал эти энергетические пакеты «Квантами». Значение h составляет Дж · с, а значение – Дж · с.

Квантовое поведение отличается от классического, поскольку h не равно 0

Если направить свет на металлическую поверхность достаточно долго, она нагреется. Это должно означать, что свет передает энергию металлу, поэтому теоретически возможно, что если вы будете светить на поверхность достаточно долго, будет передано достаточно энергии, чтобы освободить электрон с орбиты. Даже при слабом свете вы должны иметь возможность достаточно долго подождать, пока накопится энергия и не испустится электрон.Итак, физики опробовали эксперимент. Это с треском провалилось. Для некоторых металлов специфический свет вызовет эмиссию электронов, для других металлов такой же источник света не будет, независимо от того, сколько времени он будет оставлен. И было обнаружено, что электроны выходят с более высокой энергией в зависимости от цвета света, а не его интенсивности.

Проблема фотоэлектрического эффекта была решена в 1905 году Эйнштейном, за что он получил Нобелевскую премию в 1921 году. Эйнштейн применил теорию квантования Планка к свету и сказал, что свет – это не непрерывный поток энергии, а скорее множество маленькие пакеты с определенной энергетической ценностью, зависящей от длины волны.Это объясняло, почему независимо от того, как долго вы оставляете свет на поверхности, излучения не будет, если отдельные фотоны не будут иметь достаточно энергии. Это также объяснило, почему разные цвета давали испускаемым электронам разные значения энергии. Было показано, что энергия связана с длиной волны уравнением Планка. Эйнштейн также показал, что энергия вылетевших электронов будет равна

.

, где Φ – энергия, необходимая для перемещения электрона изнутри металла сразу за пределы поверхности, и называется «рабочей функцией».

Начнем со стандартного уравнения волны.

(1)

означает, что то, как эта волна выглядит, зависит от позиции () и времени (). Описание представлено в форме комплексных чисел и может отображаться с диаграммой Аргана (дополнительную информацию см. Здесь). Эта волна является решением волнового уравнения, и мы хотим увидеть, можно ли использовать волновое уравнение для описания волн материи. Волновое уравнение

(2)

Это уравнение говорит о том, что если вы частично дифференцируете свою волну по отношению к двойному, она будет равна частному дифференциалу вашей волны по отношению к удвоенному значению, умноженному на константу, которая в данном случае равна.

Итак, теперь нам нужно посмотреть, будет ли это работать, поэтому сначала мы берем нашу волну (1) и дважды дифференцируем ее относительно (если вы не уверены, как это сделать, см. Здесь для получения помощи). Так что двойное дифференцирование дает.

Вам может быть интересно, почему я изменил исходное уравнение при выполнении дифференцирования. Первоначально были, а теперь есть. Это просто математический трюк, который вы можете проделать с экспоненциальными степенями, и я лично считаю, что он упрощает дифференциацию.Теперь мы дважды дифференцируем волну по времени, чтобы получить

Теперь мы можем подставить эти два результата в уравнение (2), чтобы получить

Удобно, если знаки минус, ‘s и квадраты отменяются, давая нам

(3)

Теперь, если мы возьмем 2 базовые квантовые формулы из первого раздела

(4)

(5)

и попробуем подставить в них (3) получаем проблему

Впрочем, по делу.Для нерелятивистской материи соотношение между энергией и импульсом подчиняется следующему закону

(6)

Итак, похоже, у нас проблема. Волновое уравнение (2) не работает для материи. Один из способов попытаться заставить его работать – это сказать, что вместо того, чтобы сказать: что, если бы мы попытались заставить его работать, и это было так? Для этого нам понадобится волновое уравнение, которое дифференцировалось дважды с помощью и только один раз с. Также, если мы заменим константу, мы сможем облегчить себе жизнь. Итак, давайте попробуем

как наше новое волновое уравнение.Теперь мы изменились на, поскольку это будет уравнение, которое работает и является общим символом, используемым для квантово-механических волн, уравнение для такое же, как и для. Итак, если мы теперь сделаем дифференцирование

Что, когда мы возвращаем в наше новое волновое уравнение, дает нам

Каковы отношения между нами и нами. Итак, теперь мы можем переставить и подставить в уравнения (4), чтобы получить

Теперь мы можем выбрать нашу константу как

, получаем

Что правильно !! Пока все хорошо, наше новое волновое уравнение для вещества дает нам правильную энергию. Итак, давайте вернем константу в

.

А теперь еще раз переставьте, чтобы придать ему более красивый вид,

Мы почти у цели. Уравнение почти полное. Однако когда мы решаем его для энергии частицы, мы получаем

, но иногда частица может получать энергию из своего окружения, например, если она была в потенциале, поэтому мы должны сделать одну небольшую корректировку, чтобы учесть все возможные энергии частиц

Это означает, что наше волновое уравнение принимает вид

.

Это называется Одномерным уравнением Шредингера, зависящим от времени

Независимость от времени

В большинстве случаев вы узнаете о материальных волнах, таких как электроны, потенциалы, в которых они находятся, на самом деле не зависят от времени, они не меняют форму внезапно по прошествии стольких секунд.Если это так (а так бывает в большинстве случаев), то мы можем использовать метод разделения переменных на уравнении Шредингера.

Первое, что мы делаем, это предполагаем, что можно разделить на две функции, одну, которая зависит только от, а другая зависит только от, например,

Затем вы получаете свое уравнение Шредингера, и где бы оно ни было, вы просто заменяете его, так что вы получаете

Теперь вы делите на, вы избавляетесь от одного слева, поскольку эта дифференциация не зависит от, а если вы делите на, вы избавляетесь от справа, поскольку эта дифференциация не зависит от.Итак, вы получаете

Теперь допустим, что изменилось, это означало бы, что левая часть уравнения теперь будет иметь другое значение, однако, поскольку это не зависит от правой части уравнения, не изменится. Это вызовет ошибку. Раньше две стороны уравнения были равны, теперь одна сторона изменилась, и они все еще должны быть равны. Чтобы обойти эту проблему, вы устанавливаете обе стороны равными константе, в данном случае мы назовем это. Итак, теперь у нас есть два отдельных уравнения,

(7)

(8)

Мы уже говорили, что нас интересуют только случаи, когда время не влияет на потенциал, поэтому мы можем игнорировать уравнение (7) и просто использовать уравнение (8), которое является нашим Одномерным независимым от времени уравнением Шредингера . В случае свободной частицы решение независимого от времени уравнения (8) принимает вид

где

Это означает, что волновая функция имеет вид

Имеет форму, идентичную уравнению (1), при условии, что константа – это полная энергия системы, что хорошо. Это означает, что, зная энергию системы, мы можем найти решение волнового уравнения. Кроме того, при условии, что энергия остается постоянной, не влияет на, так что это то же самое, что и, тогда мы можем написать

5.4: Пример из квантовой механики

Главный постулат квантовой механики устанавливает, что состояние квантовой механики задается функцией, называемой волновой функцией . Волновая функция является функцией координат частицы (положения) и времени. Мы часто имеем дело с стационарными состояниями , т.е. состояниями, энергия которых не зависит от времени. Например, при комнатной температуре и в отсутствие электромагнитного излучения, такого как УФ-свет, энергия единственного электрона в атоме водорода постоянна (энергия орбитали 1s). 2 \) по всему пространству должно быть равно 1).

Основное уравнение квантовой механики известно как уравнение Шредингера, которое представляет собой дифференциальное уравнение, решениями которого являются волновые функции. Для частицы массы \ (m \), движущейся в одном измерении в потенциальном поле, описываемом \ (U (x) \), уравнение Шредингера имеет вид:

Обратите внимание, что положение частицы определяется как \ (x \) , потому что мы предполагаем одномерное движение. Константа \ (\ hbar \) (произносится как «h-bar») определяется как \ (h / (2 \ pi) \), где \ (h \) – постоянная Планка.\ (U (x) \) – потенциальная энергия, действующая на частицу, и зависит от сил, действующих в системе. Например, если бы мы анализировали атом водорода, потенциальная энергия была бы обусловлена ​​силой взаимодействия между протоном (положительно заряженным) и электроном (отрицательно заряженным), которое зависит от их расстояния. Константа \ (E \) – это полная энергия, равная сумме потенциальной и кинетической энергий.

Это будет сбивать с толку, пока мы не увидим несколько примеров, поэтому не расстраивайтесь и наберитесь терпения.Начнем с обсуждения простейшей (с математической точки зрения) квантово-механической системы. Наша система состоит из частицы массы \ (m \), которая может свободно перемещаться в одном измерении между двумя «стенками». Стены непроницаемы, поэтому вероятность того, что вы найдете частицу за пределами этого одномерного ящика, равна нулю. Это не слишком отличается от подпрыгивания мяча для настольного тенниса внутри комнаты. Неважно, как сильно вы оттолкнетесь мячом от стены, вы никогда не найдете его на другой стороне.Однако мы увидим, что для микроскопических частиц (малая масса) система ведет себя совсем иначе, чем для макроскопических частиц (мяч для пинг-понга). Поведение макроскопических систем описывается законами того, что мы называем классической механикой, в то время как поведение молекул, атомов и субатомных частиц описывается законами квантовой механики. Проблема, которую мы только что описали, известна как проблема «частицы в ящике», и ее можно расширить до большего количества измерений (например, частица может перемещаться в трехмерном ящике) или геометрии (например. г. частица может двигаться по поверхности сферы или внутри области круга).

Частица в одномерном ящике

Мы начнем с простейшего случая, который представляет собой проблему, известную как «частица в одномерном ящике» (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Это простая физическая проблема, которая, как мы увидим, обеспечивает элементарное описание сопряженных линейных молекул. В этой задаче частица может свободно перемещаться в одном измерении внутри «коробки» длиной \ (L \).В этом контексте ‘свободно’ означает, что частица не подвергается никакому воздействию, поэтому потенциальная энергия внутри ящика равна нулю. Частице не разрешено выходить за пределы ящика, и мы гарантируем, что физически это так, накладывая бесконечную потенциальную энергию на края ящика (\ (x = 0 \) и \ (x = L \)) и снаружи. ящик (\ (x <0 \) и \ (x> L \)).

\ [U (x) = \ left \ {\ begin {matrix} \ infty & x <0 \\ 0 & 0 L \ end {matrix} \ right. \ nonumber \]

Поскольку потенциальная энергия вне ящика равна бесконечности, вероятность найти частицу в этих областях равна нулю. 2} + E \ psi (x) = 0 \]

Помните, что \ (\ hbar \) – это константа, \ (m \) – это масса частицы (также постоянная), а \ (E \) – энергия. Энергия частицы постоянна в том смысле, что она не является функцией \ (x \). Мы увидим, что существует множество (фактически бесконечных) возможных значений энергии частицы, но это числа, а не функции от \ (x \). Имея все это в виду, надеюсь, вы поймете, что уравнение Шредингера для одномерной частицы в ящике является однородным ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.Есть ли у нас начальные или граничные условия? Фактически, мы это делаем, потому что волновая функция должна быть непрерывной функцией \ (x \). Это означает, что при перемещении в пространстве не может быть резких скачков плотности вероятности. В частности, в этом случае это означает, что \ (\ psi (0) = \ psi (L) = 0 \), потому что вероятность найти частицу вне ящика равна нулю.

Решим уравнение \ ref {eqn1}. Нам нужно найти функции \ (\ psi (x) \), удовлетворяющие ОДУ. 2}} x \ right)} \ nonumber \]

На последнем этапе мы узнали, что \ (2ic_1 \) является константой, и назвали ее \ (A \).2}} L \ right)} = 0 \ nonumber \]

Мы можем сделать \ (A = 0 \), но это приведет к тому, что волновая функция будет равна нулю при всех значениях \ (x \). Это то, что мы раньше называли «тривиальным решением», и хотя это решение с математической точки зрения, это не так, когда мы думаем о физике проблемы. Если \ (\ psi (x) = 0 \), вероятность найти частицу внутри ящика равна нулю. Однако проблема заключается в том, что частицу нельзя найти снаружи, поэтому ее нужно найти внутри с вероятностью 1.2}} L \ right) = \ pi, 2 \ pi, 3 \ pi … = n \ pi \; (n = 1,2,3 .. \ infty) \ nonumber \]

Это означает, что наше решение:

\ [\ psi (x) = A \ sin {\ left (\ frac {n \ pi} {L} x \ right)} \; (n = 1,2,3 … \ infty) \ nonumber \]

Обратите внимание, что мы не рассматривали \ (n = 0 \), потому что это снова приведет к исчезновению \ (\ psi (x) \) внутри коробки. 2} {2m} \; (n = 1, 2, 3.2 {\ left (\ frac {n \ pi} {L} x \ right)} dx = L / 2 \ nonumber \]

и, следовательно,

\ [A = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ nonumber \]

Теперь мы можем записать нашу нормализованную волновую функцию как:

\ [\ psi (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin {\ left (\ frac {n \ pi} {L} x \ right)} \; (n = 1,2,3 … \ infty) \]

Мы решили нашу первую задачу в квантовой механике! Давайте обсудим, что у нас получилось и что это значит. Во-первых, поскольку потенциальная энергия внутри ящика равна нулю, полная энергия равна кинетической энергии частицы (т.е.2 \) для состояния с наименьшей энергией (\ (n = 1 \)) показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Вероятность обнаружить электрон больше в центре, чем на краях; ничего похожего на то, что мы ожидаем от макроскопической системы. График симметричен относительно центра коробки, что означает, что вероятность найти частицу в левой части такая же, как и в правой части. Это хорошие новости, потому что проблема действительно симметрична, и нет никаких дополнительных сил, притягивающих или отталкивающих частицу в левой или правой половине к коробке. 2dx = 1 \ nonumber \]

, как и должно быть для нормированной волновой функции. Обратите внимание, что эти вероятности относятся к состоянию с наименьшей энергией (\ (n = 1 \)) и будут разными для состояний с возрастающей энергией.

Где химия?

До сих пор мы говорили о системе, которая кажется довольно далекой от всего, что нас (химиков) волнует. Мы понимаем электроны в атомах, но как электроны движутся в одномерном ящике? Чтобы понять, почему это не такая безумная идея, давайте рассмотрим молекулу каротина (оранжевый пигмент в моркови).{-10} m \)), мы можем предположить, что \ (\ pi \) электроны движутся внутри одномерного ящика длиной \ (L = 21 \ times 1,4 \) Å \ (= 29,4 \) Å. Очевидно, это приближение, поскольку неверно, что электроны движутся свободно, не подвергаясь никаким силам. Тем не менее, мы увидим, что эта простая модель дает хорошее полуколичественное описание системы.

Мы уже решили задачу о частице в ящике и получили следующие собственные значения:

\ [E = \ left (\ frac {n \ pi} {L} \ right) ^ 2 \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \; (n = 1, 2, 3. {-21} J \; (n = 1, 2, 3 … \ infty) \ nonumber \]

Обратите внимание, что энергии быстро растут. Энергия десятого уровня (\ (E_ {10} \)) в сто раз больше энергии первого! Количество уровней бесконечно, но мы, конечно, знаем, что электроны заполнят те, которые ниже по энергии. Это аналог атома водорода. Мы знаем, что существует бесконечное количество уровней энергии, но в отсутствие внешнего источника энергии мы знаем, что электрон будет на орбитали 1s, которая является самым низким уровнем энергии.У этого электрона есть бесконечное количество доступных уровней, но нам нужен внешний источник энергии, если мы хотим, чтобы электрон занимал более высокое энергетическое состояние. Те же концепции применимы к молекулам. Как вы узнали из общей химии, у нас не может быть более двух электронов на одном уровне, поэтому мы поместим наши 22 \ (\ pi \) электрона (2 на двойную связь) на первые 11 уровней (рисунок \ (\ PageIndex {осталось 4).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): частица в прямоугольной модели, примененная к каротину (CC BY-NC-SA; Марсия Левитус)

Мы можем переместить электрон на первый незанятый уровень (в данном случае \ (n = 12 \)), используя свет соответствующей частоты (\ (\ nu \)). 2 \ times6.{-9} м \)), которая является общей единицей для описания длины волны света в видимой и ультрафиолетовой областях электромагнитного спектра. На самом деле довольно легко измерить спектр поглощения каротина. Вам просто нужно иметь раствор каротина, осветить раствор светом разных цветов (длин волн) и посмотреть, какой процент света пропускается. Непроходящий свет поглощается молекулами из-за переходов, таких как показанный на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).На самом деле абсорбция каротина происходит при 497 нм, а не при 1242 нм. Расхождение связано с огромными приближениями частицы в модели ящика. Электроны подвержены взаимодействию с другими электронами и с ядрами атомов, поэтому неверно, что потенциальная энергия равна нулю. Хотя разница кажется большой, вы не должны слишком разочаровываться в результате. На самом деле впечатляет, что такая простая модель может дать предсказание, которое не так уж далеко от экспериментального результата.2} {2m} (2n_1 + 1) \ nonumber \]

Молекулы с более длинной сопряженной системой будут поглощать свет с более длинными длинами волн (с меньшей энергией), а молекулы с более короткой сопряженной системой будут поглощать свет с более короткими длинами волн (с большей энергией). Например, рассмотрим следующую молекулу, которая является членом семейства флуоресцентных красителей, известных как цианины. Сопряженная система содержит 8 \ (\ pi \) электронов, а молекула поглощает свет с длиной волны около 550 нм. Эта длина волны соответствует зеленой области видимого спектра.Раствор впитывает зелень и позволяет всему остальному попадать в глаза. Красный цвет является дополнительным к зеленому, поэтому эта молекула в растворе будет казаться вам красной.

Теперь посмотрим на этот другой цианин, у которого есть два дополнительных \ (\ pi \) электрона:

Частица в прямоугольной модели сообщает вам, что этот цианин должен поглощать свет с большей длиной волны (с меньшей энергией), поэтому вас не должно удивлять то, что раствор этого соединения поглощает свет с длиной волны около 670 нм.Это соответствует оранжево-красной области спектра, и раствор будет нам казаться синим. Если вместо этого мы укоротим конъюгированную цепь, мы получим соединение, которое поглощает синий цвет (450 нм), а в растворе оно будет желтым. Мы только что соединили дифференциальные уравнения, квантовую механику и цвета вещей … впечатляюще!

Квантовая механика – объяснение, теория, формулы и квантовая механическая модель

Определение квантовой механики гласит, что это основная теория в физике, которая предлагает описание физических атрибутов природы в масштабе атомов и субатомных частиц.Это основа всей квантовой физики, включающей следующие области:

• Квантовая химия,

• Квантовая теория поля,

• Квантовая технология и

• Квантовая информатика

Итак, что такое квантовая физика? Что ж! Определение квантовой физики иллюстрирует, как все работает: известное описание природы частиц, образующих материю, и сил, с которыми они взаимодействуют.

На этой странице объясняется, чем квантовая механика отличается от классической физики. Также мы узнаем, что такое квантовая механика и кто ее предложил.

Чем квантовая механика отличается от классической физики?

Из приведенного выше текста мы поняли, что квантовая физика рассматривает свойства природы на уровне атомных и субатомных частиц. Теперь, как это отличается от классической физики, все еще под вопросом. Итак, давайте поймем то же самое.

Классическая физика:

Классическая физика – это один из разделов физики, который говорит о совокупности теорий, существовавших до прихода квантовой механики, описывающих некоторые аспекты природы только в обычном или макроскопическом масштабе.Это указывает на то, что этого было недостаточно для описания свойств в малых (атомных и субатомных) масштабах. Мы можем вывести большинство теорий классической физики из квантовой механики как приближение, применимое в большом (макроскопическом) масштабе.

Но открытие свойств природы на атомном / субатомном уровне все еще остается вопросом, для которого возникла квантовая механика. Теперь давайте поймем разницу между классической и квантовой механикой.

Разница между классической физикой и квантовой механикой

Квантовая механика отличается от классической физики тем, что энергия, импульс, угловой момент и другие величины связанной системы в квантовой механике ограничены дискретными значениями (квантование), когда объекты имеют особенности как частиц, так и волн (дуальность волна-частица).

Кроме того, существуют ограничения на то, насколько точно значение физической величины может быть принято до ее измерения, учитывая полный набор начальных условий (принцип неопределенности).

Теперь давайте рассмотрим замечательные различия между классической физикой и квантовой механикой:

Классическая физика	Квантовая физика
Классическая механика выражает атрибут тел. которые имеют относительно незначительные скорости по сравнению со скоростью света.	Квантовая механика выражает особенности микроскопических тел, таких как субатомные частицы, атомы и другие маленькие тела. Эти две наиболее важные области физики.
Классическая физика – это группа физических теорий, которые предшествуют современным, более полным или более широко применимым теориям.	Квантовая физика – это изучение материи и энергии на самом базовом уровне, целью которого является обнаружение свойств и поведения самих строительных блоков природы.

Итак, это была основная вариация классической физики от квантовой механики. Теперь давайте лучше поймем, что такое квантовая теория.

Что такое Пришествие квантовой физики

Квантовая механика постепенно возникла из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с классической физикой, решения Макса Планка в 1900 году проблемы излучения черного тела и соответствия между энергией и частотой в статье Альберта Эйнштейна 1905 года, в которой объясняется фотоэлектрический эффект.

Эти ранние попытки понять микроскопические явления, теперь известные как «старая квантовая теория», привели к полному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов Нильсом Бором, Эрвином Шредингером, Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и другими. Современная теория формулируется в многочисленных специально разработанных математических формализмах. В одном из них математическая сущность, известная как волновая функция, предоставляет информацию в форме амплитуд вероятности о том, какие приблизительно измерения энергии, импульса и различных физических свойств частицы могут дать.

Теперь давайте разберемся, что такое квантовая теория.

Что такое квантовая физика?

• Знаете ли вы, что концепция двойственной природы света является основной концепцией квантовой механики и почему она появилась в физическом мире? Что ж! Квантовая теория говорит нам, что и свет, и материя состоят из крошечных частиц, которые обладают связанными с ними волнообразными свойствами. Свет состоит из частиц, называемых фотонами, а материя состоит из частиц, называемых электронами, протонами и нейтронами.

Квантовая теория изучает поведение материи и света на атомном и субатомном уровнях. Кроме того, эта теория пытается выразить и объяснить свойства молекул и атомов и их составляющих – электронов, протонов, нейтронов и других более эзотерических частиц, таких как кварки и глюоны.

Но чтобы понять, как вещи работают в реальном мире, квантовая механика должна быть смешана с другими факторами физики – в первую очередь со специальной теорией относительности Альберта Эйнштейна, которая объясняет, что происходит, пока вещи движутся очень быстро, – чтобы создать то, что называется квантовой. теории поля.

• Три разные квантовые теории поля имеют дело с 3 из 4 фундаментальных сил, посредством которых взаимодействует материя: электромагнетизм, который объясняет, как атомы удерживаются коллективно; сильное ядерное взаимодействие, которое объясняет стабильность ядра в сердце атома; и слабое ядерное взаимодействие, которое объясняет, почему несколько атомов подвергаются радиоактивному распаду.

• За последние пять десятилетий эти три теории были объединены в ветхую коалицию, названную «стандартной версией» физики элементарных частиц.Несмотря на то, что эта модель слегка скреплена липкой лентой, это наиболее правильно протестированная картина основной работы материи из когда-либо созданных. Его главная слава пришла в 2012 году с открытием бозона Хиггса, частицы, которая предлагает всем другим фундаментальным частицам их массу, существование которой было предсказано на основе квантовых теорий поля еще в 1964 году.

Традиционные теории квантов. Механика

Обычные квантовые теории поля прекрасно подходят для описания результатов экспериментов с разрушителями высокоэнергетических частиц, включая Большой адронный коллайдер ЦЕРНа, в котором был открыт Хиггс, который исследует материю в ее мельчайших масштабах.Но если вам нужно понять, как все работает во многих менее эзотерических ситуациях – как электроны движутся или не движутся через твердую ткань и делают материал, например, металл, изолятор или полупроводник, – все становится еще сложнее. .

Некоторые нерешенные вопросы по квантовой механике

• Знаете ли вы, что не существует единой квантовой теории? Есть квантовая механика, основная математическая основа, лежащая в основе всего этого, которая была впервые разработана в 1920-х годах Нильсом Бором, Вернером Гейзенбергом, Эрвином Шредингером и другими.Он характеризует простые вещи, в том числе то, как положение или импульс отдельной частицы или группы из нескольких частиц меняются с течением времени.

• Миллиарды и миллиарды взаимодействий в этой многолюдной среде требуют разработки «эффективных теорий поля», которые замалчивают ряд кровавых деталей. Трудность построения таких теорий состоит в том, почему многие важные вопросы физики твердого тела остаются нерешенными – например, почему при низких температурах некоторые вещества являются сверхпроводниками, которые допускают современное состояние без электрического сопротивления, и почему мы не можем решить этот трюк. работать при комнатной температуре.

• Но за некоторыми из этих практических проблем скрывается огромная квантовая загадка. В первичной степени квантовая физика предсказывает очень странные вещи примерно того, как работает материя, что абсолютно не соответствует тому, как вещи работают в реальном мире. Квантовые частицы могут вести себя как частицы, расположенные в одном месте, или они могут действовать как волны, распространяющиеся по всему пространству или во многих местах одновременно. То, как они выглядят, похоже, зависит от того, как мы их измеряем, и до того, как мы измеряем, они, кажется, вообще не обладают определенными свойствами, что приводит нас к важной загадке о природе базовой реальности.

• Эта нечеткость приводит к очевидным парадоксам, в том числе к коту Шредингера, в котором, благодаря неопределенному квантовому процессу, кот остается мертвым и живым одновременно. Но это не все. Квантовые частицы также кажутся такими, что они будут оказывать влияние друг на друга мгновенно, даже если они находятся на некотором расстоянии друг от друга. Это, без сомнения, обманчивое явление называется запутанностью, или, одним словом, придуманным Эйнштейном (невероятным критиком квантовой теории), «жутким действием на расстоянии».Такие квантовые возможности доступны нам за границей, но они являются основой развивающихся технологий, включая сверхбезопасную квантовую криптографию и сверхмощные квантовые вычисления.

• Но что все это значит, никто не знает. Однако мы можем просто согласиться с тем, что квантовая физика объясняет материальный мир в терминах, которые мы не можем согласовать с нашим опытом в более широком, «классическом» мире, в то время как некоторые люди считают, что существует более интуитивная теория, которую можно открыть.

Итак, мы делаем вывод, что во всех открытиях квантовой механики в комнате обитает множество слонов. Для начала, существует четвертая существенная сила природы, объяснение которой квантовая теория пока не смогла. Гравитация остается территорией общей идеи относительности Эйнштейна, строго неквантовой теории, которая даже не затрагивает частицы. Многолетние интенсивные попытки подвести гравитацию под квантовый зонтик и, таким образом, дать объяснение всей существенной физике в рамках одной «теории всего», которые ни к чему не привели.

Между тем, космологические измерения предполагают, что более девяноста пяти процентов Вселенной включает темную материю и темную энергию, вещества, для которых у нас в настоящее время нет никаких разъяснений в рамках предпочтительной версии и загадки, которые включают степень роли квантовой физики в беспорядок в жизни продолжает оставаться необъяснимым. Мир состоит из нескольких квантов, однако вопрос о том, является ли квантовая физика последним словом о мире, остается открытым.

Факты о квантовой теории в физике

Нильс Бор и Макс Планк – двое отцов-основателей квантовой теории. Каждый получил Нобелевскую премию по физике за свои работы по квантам. С другой стороны, квантовая теория была предложена Максом Планком или Максом Карлом Эрнстом Людвигом Планком. Он немецкий физик-теоретик, создавший квантовую теорию, в которой его считают отцом квантовой физики. Его главная работа позволила ему получить Нобелевскую премию по физике в 1918 году.

Однако Эйнштейн считается третьим основателем квантовой теории, поскольку он объяснил свет как кванты в своей теории фотоэлектрического эффекта, за которую он также получил Нобелевскую премию. в 1921 году.

(Изображение будет скоро загружено)

Термин «квант» происходит от латинского слова «сколько» и отражает тот случай, когда квантовые модели всегда включают что-то, движущееся в дискретных количествах. Следовательно, энергия, содержащаяся в квантовом поле, всегда кратна некоторой фундаментальной энергии, как мы видим на изображении ниже:

(Изображение будет скоро загружено)

Формула для числа пи появляется в квантовой механике

Поделиться
Статья

Вы можете поделиться этой статьей с указанием авторства 4. 0 Международная лицензия.

Двое ученых были удивлены, обнаружив пи, скрывающийся в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода.

«Мы не просто нашли пи», – говорит Тамар Фридманн, приглашенный доцент математики и научный сотрудник физики высоких энергий в Университете Рочестера и соавтор статьи, опубликованной в журнале Journal of Mathematical Physics .

«Мы нашли классическую формулу Уоллиса семнадцатого века для числа Пи, сделав нас первыми, кто вывел ее из физики в целом и из квантовой механики в частности».

Формула Уоллиса, разработанная британским математиком Джоном Уоллисом в его книге Arithmetica Infinitorum , определяет число пи как произведение бесконечной строки отношений, составленной из целых чисел. Для Фридмана открытие формулы Уоллиса для числа пи в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода подчеркивает вездесущность числа пи в математике и науке.

«Значение пи приобрело мифический статус отчасти из-за того, что невозможно записать его со 100-процентной точностью, – говорит Фридманн. – Его невозможно даже точно выразить как отношение целых чисел, и вместо этого оно равно лучше всего представить в виде формулы ».

«Это прекрасная связь между числом Пи и квантовой механикой…»

Фридман не намеревался искать число «пи» или формулу Уоллиса. Открытие началось в курсе квантовой механики, который читал Карл Хаген, профессор физики в Университете Рочестера.

В то время как квантовые вычисления, разработанные датским физиком Нильсом Бором в начале двадцатого века, дают точные значения энергетических состояний водорода, Хаген хотел, чтобы его ученики использовали альтернативный метод, называемый вариационным принципом, чтобы приблизить значение для основного состояния водорода. атом водорода.

Как и формула Уоллиса, вариационный принцип восходит к семнадцатому веку, одним из первых его появлений стал принцип наименьшего времени математика Пьера де Ферма, современника Уоллиса. Хаген также начал думать о том, можно ли применить этот метод к состояниям, отличным от основного состояния. Хаген привлек Фридманн, чтобы она использовала ее способность работать как в области физики, так и математики.

Хотя применение вариационного принципа для вычисления основного состояния атома водорода является относительно простой задачей, его применимость к возбужденному состоянию далеко не очевидна. Это связано с тем, что вариационный принцип обычно не может применяться при более низких уровнях энергии.Однако Фридман и Хаген смогли обойти это, разделив проблему на серию l задач, каждая из которых была сосредоточена на самом низком уровне энергии для данного квантового числа орбитального углового момента l.

Затем они могли вычислить значения для различных энергетических состояний и сравнить их со значениями, полученными Бором почти столетие назад. Это позволило им определить, как отношение значений Бора к значениям, полученным с помощью «измененного» вариационного принципа, изменялось по мере того, как учитывались все более и более высокие уровни энергии.

И они были удивлены, увидев, что это соотношение фактически дает формулу Уоллиса для числа Пи.

В частности, расчет Фридмана и Хагена привел к выражению, включающему специальные математические функции, называемые гамма-функциями, что привело к формуле

, который можно свести к классической формуле Уоллиса.

«Что меня удивило, так это то, что формула использовалась в расчетах таким естественным образом, без каких-либо кругов, участвующих в определении энергетических состояний», – говорит Хаген, соавтор статьи.«И я рад, что не подумал об этом до прибытия Тамар в Рочестер, потому что это никуда не делось бы, и мы бы не сделали этого открытия».

Математик Моше Мачовер из Королевского колледжа Лондона называет находку «хитрым волшебством».

«Это происхождение числа Пи является неожиданностью для знакомых, во многом похоже на фокус фокусника», – говорит Мачовер. «Ребенок, впервые увидевший проделанный трюк, может только удивиться. Но взрослый, повидавший за годы множество трюков, испытывает и удивление, и знакомство.”

Блокноты Рамануджана делают открытие «такси»

Обращаясь к многовековому разрыву между формулой Уоллиса семнадцатого века, квантовой теорией двадцатого века и десятилетиями, прошедшими с того времени до наших дней, Дуг Равенел, профессор математики в Рочестерском университете, отмечает, что Фридман и Хаген использовали давно устоявшиеся концепции своих полей для получения результата, поэтому даже математики и физики, жившие много десятилетий назад, смогли бы оценить его.

«Это прекрасная связь между пи и квантовой механикой, которая могла быть обнаружена 80 лет назад, но не была обнаружена до сих пор», – говорит Равенель.

Источник: Университет Рочестера (первоначально опубликовано 11 ноября 2015 г.)

постулатов квантовой механики

постулатов квантовой механики
Следующая: Некоторые аналитически решаемые задачи Up: квантрев Предыдущая: Линейные векторные пространства в Содержание В этом разделе мы представим шесть постулаты квантовой механики. Опять же, следим за представлением МакКуорри [1], за исключением постулата 6, которые МакКуорри не включает. Некоторые постулаты уже обсуждалось в разделе 3.

Постулат 1 . Состояние квантово-механической системы полностью определяется функция что зависит от координат частицы и вовремя. Эта функция, называемая волновой функцией или функция состояния, имеет важное свойство: вероятность того, что частица лежит в элементе объема, расположенном в момент времени.

Волновая функция должна удовлетворять определенным математическим условиям из-за это вероятностная интерпретация. В случае одиночной частицы вероятность найти его где-нибудь равна 1, так что мы имеем условие нормализации

(110)

Принято также нормировать многочастичные волновые функции на 1. ² Волновая функция также должна быть однозначные, непрерывные и конечные.

Постулат 2 . Каждой наблюдаемой в классической механике соответствует линейная, Эрмитов оператор в квантовой механике.

Этот постулат возникает из соображений, поднятых в раздел 3.1.5: если мы требуем, чтобы ожидание значение оператора реально, тогда должно быть Эрмитов оператор. Некоторые общие операторы, встречающиеся в квантовой Механика собрана в Таблице 1.

Постулат 3 . При любом измерении наблюдаемого, связанного с оператором, единственные значения, которые когда-либо будут наблюдаться, – это собственные значения, которые удовлетворяют уравнению на собственные значения

(111)

Этот постулат отражает центральный момент квантовой механики – ценности динамических переменных можно квантовать (хотя это все еще возможно иметь континуум собственных значений в случае несвязанных состояний). Если система находится в собственном состоянии с собственным значением, то любой измерение количества даст.

Хотя измерения всегда должны давать собственное значение, состояние не обязательно должно быть собственным состоянием изначально . Произвольное состояние может быть раскладывается в полный набор собственных векторов ( в виде

(112)

куда может уйти в бесконечность. В этом случае мы знаем только то, что измерение даст одно значений, но мы не знаю какой.Однако нам известна вероятность , что собственное значение – это квадрат абсолютного значения коэффициент (см. раздел 3.1.4), приводящий к четвертый постулат ниже.

Важная вторая половина третьего постулата состоит в том, что после измерения дает некоторое собственное значение, волновая функция сразу “ схлопывается ” в соответствующее собственное состояние (в случай, который является вырожденным, то становится проекцией на вырожденное подпространство). Таким образом, измерение влияет на состояние системы.Этот факт используется во многих сложных экспериментальных тестах квантовая механика.

Постулат 4 . Если система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией, то среднее значение наблюдаемой, соответствующей дано

(113)

Постулат 5 . Волновая функция или функция состояния системы изменяется во времени в соответствии с к нестационарному уравнению Шредингера

(114)

Центральное уравнение квантовой механики следует принять как постулат: как описано в разделе 2.2.

Постулат 6 . Полная волновая функция должна быть антисимметричной относительно обмен всех координат одного фермиона на координаты другого. Электронный спин должен быть включен в этот набор координат.

Принцип исключения Паули является прямым результатом этого принцип антисимметрии . Позже мы увидим, что детерминанты Слейтера предоставить удобные средства обеспечения соблюдения этого свойства в электронном волновые функции.

---

Следующая: Некоторые аналитически решаемые задачи Up: квантрев Предыдущая: Линейные векторные пространства в Содержание

Дэвид Шерилл 2006-08-15

Релятивистская квантовая механика.Волновые уравнения

‘) var cartStepActive = true var buybox = document.querySelector (“[data-id = id _” + timestamp + “]”). parentNode ; []. slice.call (buybox.querySelectorAll (“. покупка-опция”)). forEach (initCollapsibles) функция initCollapsibles (подписка, индекс) { var toggle = подписка. querySelector (“. цена-варианта-покупки”) subscription.classList.remove (“расширенный”) var form = subscription.querySelector (“. Purchase-option-form”) if (form && cartStepActive) { var formAction = form.getAttribute (“действие”) form.setAttribute (“действие”, formAction.replace (“/ checkout”, “/ cart”)) document.querySelector (“# скриптов электронной торговли”).addEventListener (“load”, bindModal (form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = subscription.querySelector (“. price-info”) var buyOption = toggle.parentElement if (переключить && форму && priceInfo) { toggle.setAttribute (“роль”, “кнопка”) toggle.setAttribute (“tabindex”, “0”) переключать. addEventListener (“клик”, функция (событие) { var extended = toggle.getAttribute (“aria-extended”) === “true” || ложный toggle.setAttribute (“расширенный ария”,! расширенный) form.hidden = расширенный если (! расширено) { buyOption.classList.add («расширенный») } еще { buyOption.classList.удалить (“развернутый”) } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } function bindModal (form, formAction, timestamp, index) { var weHasBrowserSupport = window.fetch && Array.from return function () { var Buybox = EcommScripts? EcommScripts.Buybox: null var Modal = EcommScripts? EcommScripts. Модальный: нуль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = “ecomm-modal_” + отметка времени + “_” + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener (“закрыть”, закрыть) function close () { form.querySelector (“кнопка [тип = отправить]”).фокус () } form.setAttribute ( “действие”, formAction.replace (“/ checkout”, “/ cart? messageOnly = 1”) ) form.addEventListener ( “Отправить”, Buybox.interceptFormSubmit ( Buybox. fetchFormAction (window.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess (модальный), console.log, ), ложный ) document.body.appendChild (modal.domEl) } } } function initKeyControls () { документ.addEventListener (“нажатие клавиши”, функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains (“покупка-опция-цена”) && (event.code === “Space” || event.code === “Enter”)) { if (document.activeElement) { event.preventDefault () document.activeElement.click () } } }, ложный) } function initialStateOpen () { var buyboxWidth = buybox. offsetWidth ; []. slice.call (buybox.querySelectorAll (“. покупка-опция”)). forEach (function (option, index) { var toggle = option.querySelector (“. покупка-вариант-цена”) var form = option.querySelector (“. Purchase-option-form”) var priceInfo = option.querySelector (“. цена-информация”) if (buyboxWidth> 480) { toggle.click () } еще { if (index === 0) { переключать.нажмите () } еще { toggle.setAttribute (“расширенная ария”, “ложь”) form.hidden = “скрытый” priceInfo.hidden = “скрыто” } } }) } initialStateOpen () если (window. buyboxInitialised) вернуть window.buyboxInitialised = true initKeyControls () }) ()

Открытие классической формулы Пи – «хитрое волшебство»: NewsCenter

10 ноября 2015 г.

Формула Уоллиса похоронена в вычислениях квантовой механики

В то время как большинство людей ассоциируют математическую константу π (пи) с дугами и окружностями, математики привыкли видеть ее в самых разных областях.Но двое ученых из университета все же были удивлены, обнаружив, что это скрывается в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода.

«Мы не просто нашли пи», – сказала Тамар Фридманн, приглашенный доцент математики и научный сотрудник физики высоких энергий, соавтор статьи, опубликованной на этой неделе в журнале Journal of Mathematical Physics . «Мы нашли классическую формулу Уоллиса семнадцатого века для числа Пи, сделав нас первыми, кто вывел ее из физики в целом и из квантовой механики в частности.”

Формула Уоллиса, разработанная британским математиком Джоном Уоллисом в его книге Arithmetica Infinitorum , определяет π как произведение бесконечной строки отношений, составленной из целых чисел. Для Фридмана открытие формулы Уоллиса для π в формуле квантовой механики для энергетических состояний атома водорода подчеркивает вездесущность π в математике и науке.

«Значение пи приобрело мифический статус отчасти из-за того, что невозможно записать его со 100-процентной точностью, – сказал Фридманн. – Его невозможно даже точно выразить как отношение целых чисел, и вместо этого оно равно лучше всего представить в виде формулы.”

Фридман не намеревался искать π или формулу Уоллиса. Открытие началось в курсе квантовой механики, который читал Карл Хаген, профессор физики в Университете Рочестера и один из шести физиков, предсказавших существование бозона Хиггса. В то время как квантовые расчеты, разработанные датским физиком Нильсом Бором в начале двадцатого века, дают точные значения энергетических состояний водорода, Хаген хотел, чтобы его ученики использовали альтернативный метод, называемый вариационным принципом, чтобы приблизить значение для основного состояния. атома водорода.Как и формула Уоллиса, вариационный принцип восходит к семнадцатому веку, и одним из первых его проявлений стал принцип наименьшего времени математика Пьера де Ферма, современника Уоллиса. Хаген также начал думать о том, можно ли применить этот метод к состояниям, отличным от основного состояния. Хаген привлек Фридманн, чтобы она использовала ее способность работать как в области физики, так и математики.

Хотя применение вариационного принципа для вычисления основного состояния атома водорода является относительно простой задачей, его применимость к возбужденному состоянию далеко не очевидна.Это связано с тем, что вариационный принцип обычно не может применяться при более низких уровнях энергии. Однако Фридману и Хагену удалось обойти это, разделив проблему на серию из -1 задач, каждая из которых была сосредоточена на самом низком уровне энергии для данного квантового числа орбитального углового момента, -1.

Затем они могли вычислить значения для различных энергетических состояний и сравнить их со значениями, полученными Бором почти столетие назад.Это позволило им определить, как отношение значений Бора к значениям, полученным с помощью «измененного» вариационного принципа, изменялось по мере того, как учитывались все более и более высокие уровни энергии. И они были удивлены, увидев, что это соотношение фактически дает формулу Уоллиса для π.

В частности, расчет Фридмана и Хагена привел к выражению, включающему специальные математические функции, называемые гамма-функциями, что привело к формуле

, который можно свести к классической формуле Уоллиса.

«Что меня удивило, так это то, что формула использовалась в расчетах таким естественным образом, без каких-либо кругов, участвующих в определении энергетических состояний», – сказал Хаген, соавтор статьи. «И я рад, что не подумал об этом до прибытия Тамар в Рочестер, потому что это никуда не делось бы, и мы бы не сделали этого открытия».

Математик Моше Мачовер из Королевского колледжа Лондона называет находку «хитрым волшебством».

«Это происхождение числа Пи – неожиданность для знакомых, во многом похоже на фокус фокусника», – сказал Мачовер.«Ребенок, впервые увидевший проделанный трюк, может только удивиться. Но взрослый, который видел множество трюков за эти годы, испытывает и удивление, и знакомство ».

Обращаясь к многовековому разрыву между формулой Уоллиса семнадцатого века, квантовой теорией двадцатого века и десятилетиями, прошедшими с того времени до наших дней, Дуг Равенел, профессор математики в Рочестерском университете, отмечает, что Фридман и Хаген использовали давно устоявшиеся концепции своих полей для получения результата, поэтому даже математики и физики, жившие много десятилетий назад, смогли бы оценить его.

«Это прекрасная связь между пи и квантовой механикой, которая могла быть обнаружена 80 лет назад, но не была обнаружена до сих пор», – сказал Равенель, поздравляя двух авторов.