Легкие уравнения: Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Содержание

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.


Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0

 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

  • кубические
  • уравнение четвёртой степени
  • иррациональные и рациональные
  • системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

  1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

    6x −5x = 10

  2. Приведем подобные и завершим решение.

    x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

  1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    −4x = 12 | :(−4)
    x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

  1. Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

    6х = 19 — 1

  2. Выполнить вычитание.

    6х = 18

  3. Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

    х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

    5х — 3х — 2х = – 12 — 1 + 15 — 2

  3. Приведем подобные члены.

    0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

  1. Найти неизвестную переменную.

    х = 1/8 : 4

    х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

  1. 4х + 8 = 6 — 7х
  2. 4х + 7х = 6 — 8
  3. 11х = −2
  4. х = −2 : 11
  5. х = – 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

  1. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
  2. 9х — 12 = 28х + 24
  3. 9х — 28х = 24 + 12
  4. -19х = 36
  5. х = 36 : (-19)
  6. х = – 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

    х — х = 4 — 7

  3. Приведем подобные члены.

    0 * х = – 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

  1. 2х + 6 = 5 — 7х
  2. 2х + 6х = 5 — 7
  3. 8х = −2
  4. х = −2 : 8
  5. х = – 0,25

Ответ: — 0,25.



Уравнения по математике 3 класс

  • х + 19 = 42
  • x = 42 – 19
  • x = 23
  • 54 + х = 82
  • x = 82 – 54
  • x = 28
  • 9 + у = 15
  • y = 15 – 9
  • y = 6
  • 7 – у = 3
  • y = 7 – 3
  • y = 4
  • с + 6 = 9
  • c = 9 – 6
  • c = 3
  • k + 10 = 30
  • k = 30 – 10
  • k = 20
  • х + 50 = 96
  • x = 96 – 50
  • x = 46
  • х – 25 = 27
  • x = 27 + 25
  • x = 52
  • 42 – х = 18
  • x = 42 – 18
  • x = 24
  • 27 + х = 50
  • x = 50 – 27
  • x = 23
  • х – 28 = 70
  • x = 70 + 28
  • x = 98
  • 63 + х = 90
  • x = 90 – 63
  • x = 27
  • 76 – k = 40
  • k = 76 – 40
  • k = 30
  • х – 16 = 30
  • x = 30 + 16
  • x = 46
  • с + 9 = 12
  • c = 12 – 9
  • c = 3
  • х + 35 = 67
  • x = 67 – 35
  • x = 32

Линейные уравнения с параметром. Анализ решений

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение:

\(x=\frac{q(a)}{p(a)}\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Пример 1

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).2}{a}=5a.\) Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

   

Решение простейших тригонометрических уравнений

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение не имеет корней. При , корни этого уравнения находятся по формуле

   

Особые случаи

Примеры решения задач

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле

   

Особые случаи:

ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение —
Решение Косинус – функция ограниченная и лежит в пределах , поэтому данное равенство не имеет смысла.
Ответ Решений нет.

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсами и котангенсами

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

   

ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение
Решение Выразим из этого равенства тангенс

   

   

В последнем равенстве положив , получим простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле

   

Тогда

   

   

Сделаем обратную замену

   

и выразим из полученного уравнения x:

   

   

поделим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим

   

Ответ

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

   

ПРИМЕР 6
Задание Решить уравнение

   

Решение Ведем замену , тогда исходное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле

   

Тогда

   

Сделаем обратную замену

   

и выразим из полученного уравнения x:

   

   

поделим обе части последнего равенства на 5, тогда окончательно получим

   

Ответ

Приведение тригонометрических уравнений к простейшим

Примеры тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью элементарных преобразований или тригонометрических формул.

ПРИМЕР 8
Задание Решить уравнение
Решение Применим к правой части заданного уравнения формулу суммы синусов:

   

   

или

   

Последнее равенство равносильно совокупности простейших уравнений

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Линейные уравнения 7 класс | Алгебра

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

   

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

   

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

   

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -9.

   

Раскрываем скобки:

   

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

   

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

   

Раскрываем скобки:

   

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

   

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

   

   

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

   

Раскрываем скобки:

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ:

   

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

Линейные уравнения в 6 классе

После простейших рассмотрим следующие линейные уравнения, решаемые в 6 классе, — уравнения вида ax+b=cx+d.

Алгоритм (план) решения таких линейных уравнений:

неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки.

Рассмотрим примеры решения таких линейных уравнений в 6 классе.

1) 5x-11=2x+7

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

5x-2x=7+11

(Чтобы лучше запомнить это правило, предлагаю следующую ассоциацию. Есть хозяин, к нему пришел гость. Хозяин у себя дома, в своих домашних тапочках. Гостю надо снять обувь, в которой он пришел — не будет же он ходить в доме в обуви, в которой ходил по улице.

В левой части «хозяин» — слагаемое с переменной, 5x. Оно «у себя дома», поэтому его знак не меняем.  «В гости» к нему приходит из правой части уравнения 2x. Его знак меняем на противоположный. В левой части 2x имело знак «+», при переносе знак изменяем на «-«.

Аналогично, «хозяин» правой части — 7.  Его знак не меняем, так как это слагаемое остается в правой части. К нему из левой части «приходит в гости»  -11.  Его знак меняем на противоположный — был «-«, при переносе меняем его на «+».)

3x=18

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

x=18:3

x=6

Ответ: 6.

2) 12 — 7x=16x + 3

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

-7x-16x=3-12

-23x=-9

обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

x=-9:(-23)

При делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число. Поскольку 9 на 23 не делится, ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

   

Ответ: 9/23.

3) 15x+11=10x-7

Это — линейное уравнение. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

15x-10x=-7-11

5x=-18

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

x=-18:5

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. При делении на 5 ответ записываем в виде десятичной дроби.

x=-3,6

Ответ: -3.6.

4) 54-3y=4y+72

Это — линейное уравнение. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменяя при переносе их знаки:

-3y-4y=72-54

-7y=18

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед игреком:

y=18:(-7)

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. 18 на 7 не делится, поэтому ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

   

Эта дробь — неправильная. Выделяем из нее целую часть:

   

Ответ:

   

Позже рассмотрим, как решать в 6 классе более сложные линейные уравнения, в которых требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

ГДЗ. Математика 5 класс Тарасенкова. Уравнения.

Категория: –>> Математика 5 класс Тарасенкова.
Задание:  –>>      553 – 569  570 – 586 



наверх
  • Задание 553
  • Задание 554
  • Задание 555
  • Задание 556
  • Задание 557
  • Задание 558
  • Задание 559
  • Задание 560
  • Задание 561
  • Задание 562
  • Задание 563
  • Задание 564
  • Задание 565
  • Задание 566
  • Задание 567
  • Задание 568
  • Задание 569

Задание 553.

Какое из чисел 4. 5, 8 и 10 является корнем уравнения:


Решение:
1) 5; 2) 10; 3) 4.

Задание 554.

Решите уравнение устно:


Решение:
1) 15 + x: = 55,  x = 40; 3) 60 – y = 45,  y = 15; 5) 88 : x = 8,  x = 11;
2) х – 22 = 42,  x = 64; 4) у * 12 = 12,  y = 1; 6) у : 10 = 40,  y = 400.

Задание 555.

Можно ли решить уравнение:

1) 8x = 0; 2) 0 : y = 25; 3) 5х = 5 4) 12 : y = 0?


Решение:
1) x = 0; 2) Не имеет решений; 3) x = 1; 4) Не имеет решений;




Задание 556.

Решите уравнение:


Решение:
1)28 + (45 + х) = 100;
  • 45 + x = 100 – 28;
  • 45 + x = 72;
  • x = 72 – 45;
  • x = 27;
2) (у – 25) + 18 = 40;
  • y – 25 = 40 – 18;
  • y – 25 = 22;
  • y = 22 + 25;
  • y = 47;
3) (70 – х) – 35 = 12;
  • 70 – x = 35 + 12;
  • 70 – x = 47;
  • x = 70 – 47;
  • x = 23;
4) 60 -(y + 34) = 5;
  • y + 34 = 60 – 5;
  • y + 34 = 55;
  • y = 55 – 34;
  • y = 21;
5) 52 – (19 + х) = 17;
  • 19 + x = 52 – 17;
  • 19 + x = 35;
  • x = 35 – 19;
  • x = 16;
6) 9y – 18 = 72;
  • 9y = 72 + 18;
  • 9y = 90;
  • y = 90 : 9;
  • y = 10;
7) 20 + 5х = 100;
  • 5x = 100 – 20;
  • 5x = 80;
  • x = 80 : 5;
  • x = 16;
8) 90 – y * 12 = 78;
  • y * 12 = 90 – 78;
  • y * 12 = 12;
  • y = 12 : 12;
  • y = 1;
9) 10х – 44 = 56;
  • 10x = 56 + 44;
  • 10x = 100;
  • x = 100 : 10;
  • x = 10;
10) 84 – 7у = 28;
  • 7y = 84 – 28;
  • 7y = 56;
  • y = 56 : 7;
  • y = 8;
11) 121 : (х – 45) = 11;
  • x – 45 = 121 : 11;
  • x – 45 = 11;
  • x = 45 + 11;
  • x = 56;
12) 77 : (у + 10) = 7;
  • y + 10 = 77 : 7;
  • y + 10 = 11;
  • y = 11 – 10;
  • y = 1;
13) (х – 12) : 10 = 4;
  • x – 12 = 10 * 4;
  • x – 12 = 40;
  • x = 40 + 12;
  • x = 52;
14) 55 – y * 10 = 15;
  • y * 10 = 55 – 15;
  • y * 10 = 40;
  • y = 40 : 10;
  • y = 4;
15) х : 12 + 48 = 91;
  • x : 12 = 91 – 48;
  • x : 12 = 43;
  • x = 43 * 12;
  • x = 516;
16) 5y + 4y = 99;
  • 9y = 99;
  • y = 99 : 9;
  • y = 11;
17) 54х – 27х = 81;
  • 27x = 81;
  • x = 81 : 27;
  • x = 3;
18) 36y – 16y + 5y = 0;
  • 25y = 0;
  • y = 0 : 25;
  • y = 0;
19) 14х + х – 9х + 2 = 56;
  • 6x + 2 = 56;
  • 6x = 56 – 2;
  • 6x = 54;
  • x = 54 : 6;
  • x = 9;
20) 20y – 14у + 7у – 13 = 13.
  • 13y – 13 = 13;
  • 13y = 13 + 13;
  • 13y = 26;
  • y = 26 : 13;
  • y = 2;

Задание 557.

Решите уравнение:


Решение:
1) 65 + (х + 23) = 105;
  • x + 23 = 105 – 65;
  • x + 23 = 40;
  • x = 40 – 23;
  • x = 17;
2) (у – 34) – 10 = 32;
  • y – 34 = 32 + 10;
  • y – 34 = 42;
  • y = 42 + 34;
  • y = 76;
3) (48 – х) + 35 = 82;
  • 48 – x = 82 – 35;
  • 48 – x = 47;
  • x = 48 – 47;
  • x = 1;
4) 77 – (28 + y) = 27;
  • 28 + y = 77 – 27;
  • 28 – y = 50;
  • y = 50 – 28;
  • y = 22;
5) 90 + y * 8 = 154;
6) 9х + 50 = 86;
  • 9x = 86 – 50;
  • 9x = 36;
  • x = 36 : 9;
  • x = 4;
7) 120 : (х – 19) = 6;
  • x – 19 = 120 : 6;
  • x – 19 = 20;
  • x = 19 + 20;
  • x = 39;
8)(y + 50) : 14 = 4;
  • y + 50 = 14 * 4;
  • y + 50 = 56;
  • y = 56 – 50;
  • y = 6;
9) 48 + у : 6 = 95;
  • y : 6 = 95 – 48;
  • y : 6 = 47;
  • y = 6 * 47;
  • y = 282;
10) 8х + 7х – х = 42.
  • 14x = 42;
  • x = 42 : 14;
  • x = 3;

Задание 558.

Составьте уравнение, корнем которого является число:

а) 8; б) 14.

Решение:
а) 2y = 16; б) x + 7 = 21.

Задание 559.

Составьте уравнение, корнем которого является число.

а) 5; б) 9.

Решение:
а) 25 : x = 5; б) 5x = 45.

Задание 560.

Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число.


Решение:
  • Некоторое число – x.
  • x + 67 = 109;
  • x = 109 – 67;
  • x = 42.
  • Ответ: число 42.

Задание 561.

К некоторому числу прибавили 38 и получили число 245. Найдите это число.


Решение:
  • x + 38 = 245;
  • x = 245 – 38;
  • x = 207.
  • Ответ: 207.

Задание 562.

Некоторое число увеличили в 24 раза и получили число 1968. Найдите это число.


Решение:
  • 24x = 1968;
  • x = 1968 : 24;
  • x = 82.
  • Ответ: 82.

Задание 563.

Некоторое число уменьшили в 18 раз и получили число 378. Найдите это число.


Решение:
  • x : 18 = 378;
  • x = 378 * 18;
  • x = 6804.
  • Ответ: 6408.

Задание 564.

Некоторое число уменьшили на 22 и получили число 105. Найдите это число.


Решение:
  • x – 22 = 105;
  • x = 105 + 22;
  • x = 127.
  • Ответ: 127.

Задание 565.

Из числа 128 вычли некоторое число и получили 79. Найдите это число.


Решение:
  • 128 – x = 79;
  • x = 128 – 79;
  • x = 49.
  • Ответ: 49.

Задание 566.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) сумма удвоенного числа х и числа 39 равна 81;
  • 2) разность чисел 32 и y в 2 раза меньше числа 64;
  • 3) частное суммы чисел х и 12 и числа 2 равно 40;
  • 4) сумма чисел х и 12 в 3 раза больше числа 15;
  • 5) частное разности чисел у и 12 и числа 6 равно 18;
  • 6) утроенная разность чисел у и 17 равна 63.

Решение:
  • 1) 2x + 39 = 81
    • 2x = 81 – 39;
    • 2x = 42;
    • x = 42 : 2;
    • x = 21;
  • 2) (32 – y) * 2 = 64
    • 32 – y = 64 : 2;
    • 32 – y = 32;
    • y = 32 – 32;
    • y = 0;
  • 3) (x + 12) : 2 = 40
    • x + 12 = 40 * 2;
    • x + 12 = 80;
    • x = 80 – 12;
    • x = 68;
  • 4) (x + 12) : 3 = 15
    • x + 12 = 15 * 3;
    • x + 12 = 45;
    • x = 45 – 12;
    • x = 33;
  • 5) (y – 12) : 6 = 18
    • y – 12 = 18 * 6;
    • y – 12 = 108;
    • y = 108 + 12;
    • y = 120;
  • 6) (y – 17) * 3 = 63
    • y – 17 = 63 : 3;
    • y – 17 = 21;
    • y = 21 + 17;
    • y = 38;

Задание 567.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) разность утроенного числа у и числа 41 равна 64;
  • 2) сумма чисел 9 и х в 5 раз меньше числа 80;
  • 3) частное суммы чисел у и 10 и числа 4 равно 16;
  • 4) разность утроенного числа х и числа 17 равна 10.

Решение:
  • 1) 3y – 41 = 64
    • 3y = 64 + 41;
    • 3y = 105;
    • y = 105 : 3;
    • y = 15;
  • 2) (9 + x) * 5 = 80
    • 9 + x = 80 : 5;
    • 9 + x = 16;
    • x = 16 – 9;
    • x = 7;
  • 3) (y + 10) : 4 = 16
    • y + 10 = 16 * 4;
    • y + 10 = 64;
    • y = 64 – 10;
    • y = 54;
  • 4) 3x – 17 = 10
    • 3x = 10 + 17;
    • 3x = 27;
    • x = 27 : 3;
    • x = 9;

Задание 568.

Некоторое число увеличили на 5 и полученное число удвоили. В результате получили число 22. Найдите неизвестное число.


Решение:
  • (x + 5) * 2 = 22;
  • x + 5 = 22 : 2;
  • x + 5 = 11;
  • x = 11 – 5;
  • x = 6;

Задание 569.

Некоторое число увеличили в 7 раз и полученное число уменьшили на 54. В результате получили число 100. Найдите неизвестное число.


Решение:
  • 7x – 54 = 100;
  • 7x = 100 + 54;
  • 7x = 154;
  • x = 154 : 7;
  • x = 22;



Задание:  –>>      553 – 569  570 – 586 

Решение простых уравнений

Решая простое уравнение, думайте о нем как о балансе, где знак равенства (=) является точкой опоры или центром. Таким образом, если вы делаете что-то с одной стороной уравнения, вы должны сделать то же самое с другой стороной. Выполнение того же самого с обеими сторонами уравнения (скажем, добавление 3 к каждой стороне) сохраняет уравнение сбалансированным.

Решение уравнения – это процесс получения искомого или решения для с одной стороны от знака равенства и всего остального с другой.Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете x , вы должны получить x с одной стороны.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и / или вычитание.

Пример 1

Решите относительно x .

х + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x отдельно с одной стороны. Поэтому вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте свой ответ в уравнение:

Пример 2

Решить относительно и .

y – 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить и отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3

Решите относительно x .

х + 15 = 6

Чтобы решить, отнимите 15 с обеих сторон.

Чтобы проверить, просто замените x на –9:

.

Обратите внимание, что в каждом из приведенных выше случаев используются противоположные операции ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете с каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится на одной стороне уравнения, но существует либо несколько переменных, например 2 x , либо часть переменной, например

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Решите относительно x .

3 x = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 5

Решить относительно и .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

Пример 6

Решите относительно x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на.

Или без отмены

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения требуется более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните этап сложения или вычитания. Затем, после того, как вы отсортировали переменные в одну сторону, а числа в другую, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите относительно x .

2 x + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x на одной стороне.

Затем разделите обе стороны на 2, чтобы получить x .

Чтобы проверить, подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8

Решите относительно x .

5x – 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

Пример 9

Решите относительно x .

Вычтем по 6 с каждой стороны.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Решить относительно и .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените y на –25:

.

Пример 11

Решите относительно x .

3 x + 2 = x + 4

Вычтем 2 с обеих сторон (то же самое, что прибавить –2).

Вычтите x с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3 x x совпадает с 3 x – 1 x .

Разделите обе стороны на 2.

Для проверки замените x на 1:

Пример 12

Решить относительно и .

5 л + 3 = 2 л + 9

Вычтем 3 с обеих сторон.

Вычтем 2 и с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед фактическим запуском процесса сортировки.

Пример 13

Решите относительно x .

3 х + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычтем 6 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Решите относительно x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычтем 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

простых уравнений | Brilliant Math & Science Wiki

Иногда уравнения требуют более одного шага, чтобы найти желаемое значение. Полезно думать о переменной, которую мы хотим изолировать, как о ловушке за несколькими сундуками, каждый из которых имеет свой замок.22 и др.). \ Большой).). С каждой подходящей операцией, применяемой к обеим сторонам уравнения, снимается блокировка, тем самым приближая нас к желаемой переменной.

Какое значение xxx удовлетворяет условию 3x + 7 = 4? \ Sqrt {3x + 7} = 4? 3x + 7 = 4?


Решить для xxx,

3x + 7 = 4 (напишите уравнение) 3x + 7 = 16 (возведите в квадрат обе стороны) 3x = 9 (вычтите 7 из обеих сторон) x = 3. □ (разделите обе стороны на 3) \ begin {align} \ sqrt {3x + 7} & = 4 & \ qquad (\ text {написать уравнение}) \\ 3x + 7 & = 16 & \ qquad (\ text {квадрат с обеих сторон}) \\ 3x & = 9 & \ qquad (\ text {вычесть 7 с обеих сторон}) \\ х & = 3.\ _ \ square & \ qquad (\ text {разделите обе стороны на 3}) \ end {align} 3x + 7 3x + 73xx = 4 = 16 = 9 = 3. □ (напишите уравнение) (возведите обе стороны в квадрат) (вычтите 7 из обеих сторон) (разделите обе стороны на 3)

Решите следующую систему уравнений:

3x − 2y = 017x − 7y = 13. \ Begin {align} 3х-2у & = 0 \\ 17x-7y & = 13. \\ \ end {align} 3x − 2y17x − 7y = 0 = 13.


Эту проблему можно решить двумя способами.

Решение 1: Замена

Нам дано

3x − 2y = 0 (1) 17x − 7y = 13 (2) \ begin {align} 3x-2y & = 0 & \ quad (1) \\ 17x-7y & = 13 & \ quad (2) \\ \ end {align} 3x − 2y17x − 7y = 0 = 13 (1) (2)

, и нам нужно найти значения xxx и yyy.На основании уравнения (1) (1) (1),

3x − 2y = 0 ⟹ 3x = 2y ⟹ 3×3 = 2y3 ⟹ 33x = 2y3 ⟹ 1 × x = 2y3 ⟹ x = 2y3.3x-2y = 0 \ подразумевает 3x = 2y \ подразумевает \ frac {3x} 3 = \ frac {2y} 3 \ подразумевает \ frac33x = \ frac {2y} 3 \ подразумевает 1 \ times x = \ frac {2y} 3 \ подразумевает x = \ frac {2y} 3.3x − 2y = 0⟹3x = 2y⟹33x = 32y ⟹33 x = 32y ⟹1 × x = 32y ⟹x = 32y.

Теперь у нас

x = 2y3. (3) x = \ frac {2y} 3. \ qquad (3) x = 32y. (3)

Подставляя (3) (3) (3) в (2) (2) (2), получаем

17 (2y3) −7y = 1317 × 2y3−7y = 1334y3−7y = 13. \ Begin {align} 17 \ bigg (\ frac {2y} 3 \ bigg) -7y & = 13 \\ \ frac {17 \ times2y} 3-7лет & = 13 \\ \ frac {34y} 3–7 лет & = 13.\\ \ end {align} 17 (32y) −7y317 × 2y −7y334y −7y = 13 = 13 = 13.

Чтобы вычесть целое число, например 7y, 7y, 7y, от дроби, например 34y3, \ frac {34y} 3,334y, нам нужно преобразовать целое число 7y7y7y в аналогичную дробь , дробь с тем же знаменателем, что и 34y3 \ frac {34y} 3334y. Для этого сначала игнорируйте все переменные, например y, y, y и выразим 777 как частное с делителем 333. Мы получаем

7 = c37 × 3 = (c3) 321 = 33c21 = 1 × c21 = cc = 21. \ Begin {align} 7 & = \ frac {c} 3 \\ 7 \ times3 & = \ bigg (\ frac {c} 3 \ bigg) 3 \\ 21 & = \ frac33c \\ 21 & = 1 \ раз c \\ 21 & = с \\ c & = 21.\\ \ end {align} 77 × 3212121c = 3c = (3c) 3 = 33 c = 1 × c = c = 21.

Это означает, что 7 = 2137 = \ frac {21} 37 = 321. Подставляя yyy обратно в уравнение и выражая 7y7y7y в виде аналогичной дроби, мы получаем

34y3− (213) y = 1334y3−21y3 = 1334y − 21y3 = 1313y3 = 133 (13y3) = 13 × 33313y = 391 × 13y = 3913y = 3913y13 = 39131313y = 31 × y = 3y = 3. □ \ begin {align} \ frac {34y} 3- \ bigg (\ frac {21} 3 \ bigg) y & = 13 \\ \ frac {34y} 3- \ frac {21y} 3 & = 13 \\ \ frac {34y-21y} 3 & = 13 \\ \ frac {13y} 3 & = 13 \\ 3 \ bigg (\ frac {13y} 3 \ bigg) & = 13 \ times3 \\ \ frac3313y & = 39 \\ 1 \ times13y & = 39 \\ 13лет & = 39 \\ \ frac {13y} {13} & = \ frac {39} {13} \\ \ frac {13} {13} y & = 3 \\ 1 \ раз у & = 3 \\ у & = 3.\ _\квадрат \ end {align} 334y – (321) y334y −321y 334y − 21y 313y 3 (313y) 33 13y1 × 13y13y1313y 1313 y1 × yy = 13 = 13 = 13 = 13 = 13 × 3 = 39 = 39 = 39 = 1339 = 3 = 3 = 3. □

Подставляя это в (3) (3) (3), получаем

х = 2 (3) 3х = 63х = 2. □ \ begin {align} х & = \ гидроразрыва {2 (3)} 3 \\ х & = \ frac63 \\ х & = 2. \ _\квадрат \ end {align} xxx = 32 (3) = 36 = 2. □

Решение 2: Устранение

Нам дано

3x − 2y = 0 (1) 17x − 7y = 13, (2) \ begin {align} 3x-2y & = 0 & \ quad (1) \\ 17x-7y & = 13, & \ quad (2) \\ \ end {align} 3x − 2y17x − 7y = 0 = 13, (1) (2)

, и нам нужно найти значения xxx и yyy.При удалении переменной из уравнения мы добавляем уравнение с определенным членом этой переменной к уравнению с обратным члену, например (14x + 2y = 13) + (5x − 2y = 7) (14x + 2y = 13) + (5x-2y = 7) (14x + 2y = 13) + (5x − 2y = 7) или (2x − 13z = 9) + (6x + 13z = 31). (2x-13z = 9) + (6x + 13z = 31). (2x − 13z = 9) + (6x + 13z = 31). Инверсия означает «равно противоположно», поэтому, если знак члена положительный, знак его инверсии отрицательный (указывается вставкой −-− рядом с термином). Если знак отрицательного члена, знак его обратного положительный.

Давайте выберем исключение yyy. Однако обратите внимание, что −2y-2y − 2y и −7y-7y − 7y не равны, но оба отрицательны. Следовательно, уравнение 111 или 222 должно быть положительным, а другое – отрицательным. Чтобы члены имели одинаковый коэффициент, мы умножаем каждое уравнение на коэффициент члена другого уравнения. То есть

(1) × 7 (2) × 2 (3x − 2y) 7 = 0 × 7 (17x − 7y) 2 = 13 × 2 (3 × 7) x− (2 × 7) y = 0 × 7 (17 × 2) x− (7 × 2) y = 13 × 221x − 14y = 034x − 14y = 26. \ Begin {align} (1) & \ times7 \\ (2) & \ times2 \\\\ (3x-2y) 7 & = 0 \ times7 \\ (17x-7y) 2 & = 13 \ times2 \\\\ (3 \ times7) x- (2 \ times7) y & = 0 \ times7 \\ (17 \ times2) x- (7 \ times2) y & = 13 \ times2 \\\\ 21х-14л & = 0 \\ 34x-14лет & = 26.\ end {align} (1) (2) (3x − 2y) 7 (17x − 7y) 2 (3 × 7) x− (2 × 7) y (17 × 2) x− (7 × 2) y21x− 14y34x − 14y × 7 × 2 = 0 × 7 = 13 × 2 = 0 × 7 = 13 × 2 = 0 = 26.

Теперь умножьте только одно из двух уравнений на -1-1-1 после умножения каждого на указанные коэффициенты. То есть

(21x − 14y) (- 1) = 0 × −134x − 14y = 26 (21 × (−1)) x− (14 × (−1)) y = 034x − 14y = 26−21x – (- 14y ) = 034x − 14y = 26−21x + 14y = 034x − 14y = 26−21x + 14y = 0 + 34x − 14y = 26 —————— 13x + 0y = 2613x + 0 = 2613x = 2613×13 = 2613 (1313 ) x = 21 × x = 2x = 2. \ begin {align} (21x-14y) (- 1) & = 0 \ times-1 \\ 34x-14л & = 26 \\\\ \ big (21 \ times (-1) \ big) x- \ big (14 \ times (-1) \ big) y & = 0 \\ 34x-14л & = 26 \\\\ -21x – (- 14л) & = 0 \\ 34x-14л & = 26 \\\\ -21x + 14y & = 0 \\ 34x-14л & = 26 \\\\ -21x + 14y & = 0 \\ + 34х-14л & = 26 \\ ———— & —— \\ 13x + 0y & = 26 \\\\ 13x + 0 & = 26 \\ 13x & = 26 \\ \ frac {13x} {13} & = \ frac {26} {13} \\ \ bigg (\ frac {13} {13} \ bigg) x & = 2 \\ 1 \ раз х & = 2 \\ х & = 2.\ end {align} (21x − 14y) (- 1) 34x − 14y (21 × (−1)) x− (14 × (−1)) y34x − 14y − 21x – (- 14y) 34x − 14y − 21x + 14y34x − 14y − 21x + 14y + 34x − 14y ———— 13x + 0y13x + 013x1313x (1313) x1 × xx = 0 × −1 = 26 = 0 = 26 = 0 = 26 = 0 = 26 = 0 = 26 —— = 26 = 26 = 26 = 1326 = 2 = 2 = 2.

Подставляя это в (1) (1) (1), получаем

3 (2) −2y = 06−2y = 06 = 2y62 = 2y23 = (22) y3 = 1 × y3 = yy = 3. □ \ begin {align} 3 (2) -2у & = 0 \\ 6-2лет & = 0 \\ 6 & = 2у \\ \ frac62 & = \ frac {2y} 2 \\ 3 & = \ bigg (\ frac22 \ bigg) y \\ 3 & = 1 \ умножить на \\ 3 & = у \\ у & = 3. \ _\квадрат \ end {align} 3 (2) −2y6−2y626 333y = 0 = 0 = 2y = 22y = (22) y = 1 × y = y = 3.□

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе показан процесс решения уравнений различных форм. Здесь также показано, как проверить свой ответ тремя разными способами: алгебраически, графически и с использованием концепции эквивалентности. В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ – Решите относительно x в следующих уравнениях.

  1. x – 4 = 10 Решение
  2. 2 x – 4 = 10 Решение
  3. 5x – 6 = 3 x – 8 Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. 2 (3 x -7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9) + 3 Решение
  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛ (S) – Решите для x следующим образом уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ – Решите относительно x в следующие уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – Решите относительно x следующим образом уравнения.

  1. х Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

УРАВНЕНИЯ , ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДОБИ – Решите для x следующим образом уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – Решите для x в следующих уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – Решите относительно x следующим образом уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – Решите для x следующим образом уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение
  8. Решение
  9. Решение
  10. Решение
  11. Решение
  12. Решение
[Алгебра] [Тригонометрия] [Геометрия] [Дифференциальные уравнения] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
пользователей онлайн за последний час

Уравнений – стало проще

  • Решение уравнений
  • Задачи со словами
  • Скорость измерения расстояния Время
  • Решение уравнений

    Уравнения, содержащие одну или несколько переменных, являются уравнениями алгебры. Переменные представляют неизвестные суммы, и в качестве переменной можно использовать любую букву или символ.

    Уравнениям алгебры может потребоваться одноэтапный , двухэтапный или многоступенчатый для определения значения переменной. Уравнения могут иметь переменных на одной или обеих сторонах знака равенства. Чтобы решить уравнения алгебры, ученики комбинируют одинаковые термины и используют обратные операции для выделения переменной . Уравнения в формате переменных словарных задач могут помочь учащимся научиться применять навыки алгебры в реальных ситуациях.

    Одношаговое уравнение

    Чтобы изолировать переменную для решения этих одношаговых уравнений, отмените уравнение :

    Пример 1: Отмените постоянную, вычитая из обеих частей уравнения.

    $ \ begin {array} {lcl} х + 3 & = & 8 \\ х + 3 – 3 & = & 8 – 3 \\ х & = & 5 \ end {array}

    долларов США

    Пример 2: Разделите обе части уравнения на коэффициент.

    $ \ begin {array} {lcl} 2x & = & 16 \\ \ frac {2} {2} x & = & \ frac {16} {2} \\ х & = & 8 \ end {array}

    долларов США

    Двухшаговое уравнение

    Используйте обратный PEMDAS , чтобы решить это двухэтапное уравнение.

    Шаг 1: Вычтите константу из обеих частей уравнения.
    Шаг 2: Разделите обе части уравнения на коэффициент.

    $ \ begin {array} {lcl} 3x + 5 & = & 17 \\ 3x + 5-5 & = & 17-5 \\ 3x & = & 12 \\ \ frac {3} {3} x & = & \ frac {12} {3} \\ х & = & 4 \ end {array}

    долларов США

    Многоступенчатое уравнение с переменной на одной стороне

    Используйте свойство распределения , чтобы решить это многоступенчатое уравнение:

    Шаг 1: Примените свойство распределения.
    Шаг 2: Добавьте константу к обеим сторонам уравнения.
    Шаг 3: Разделите обе части уравнения на коэффициент.

    $ \ begin {array} {lcl} 8 & = & 2 (х – 2) \\ 8 & = & 2x -4 \\ 8 +4 & = & 2x -4 +4 \\ 12 & = & 2x \\ \ frac {12} {2} & = & \ frac {2} {2} x \\ х & = & 6 \ end {array}

    долларов США

    Многоступенчатое уравнение с переменными на обеих сторонах

    Для решения таких многоступенчатых уравнений, как это, объединяет одинаковые члены , чтобы упростить решение проблемы:

    Шаг 1: Используйте противоположные операции для объединения одинаковых терминов.
    Шаг 2: Разделите обе части уравнения на коэффициент.

    $ \ begin {array} {lcl} 11x & = & -16 + 3x \\ 11х – 3х & = & -16 + 3х- 3х \\ 8x & = & -16 \\ \ frac {8} {8} x & = & \ frac {-16} {8} \\ х & = & -2 \ end {array}

    долларов США

    Проблемы со словами

    Напишите уравнение переменной, чтобы решить эту проблему со словами. Пусть x представляет количество людей, пришедших на вечеринку.

    Husni печет пирожные для вечеринки. Он не знает, сколько человек приедет, но он знает, что ему нужно 3 яйца на торт, а торт рассчитан на 8 человек.Напишите выражение, чтобы определить, сколько яиц ему понадобится.

    $ (\ frac {x} {8}) \ times3

    $

    Если на вечеринку придут 24 человека, сколько яиц ему понадобится?

    $ (\ frac {24} {8}) \ times3 = 3 \ times3 = 9 $

    Ему нужно 9 яиц.

    Дальность Скорость Время

    Используйте формулу для расчета дистанционной скорости (DRT) для решения задач о том, как далеко, как долго или как быстро. Используя формулу, рассчитайте проблемы для движения в одном или разных направлениях.Следующие треугольники помогут вам запомнить:

    Скорость измерения расстояния, время – в том же направлении

    Пример 1: Используйте формулу DRT, чтобы решить эту проблему: Алекс проехал на велосипеде 2 часа, преодолев 23 мили. Какая у него ставка?

    D = 23 мили
    T = 2 часа
    R = x

    $ \ begin {array} {lcl} 23 & = & 2x \\ х & = & 11.5 \ end {array}

    долларов США Скорость

    Алекса составляет 11,5 миль в час.

    Пример 2: После школы Кара и Сайрус катаются на велосипедах с клубом верховой езды.Кара уходит из школы в 15:00, едет со скоростью 10 миль в час. Сайрус задержался на несколько минут, чтобы убрать свой шкафчик, и уехал в 15:10, ехав со скоростью 12 миль в час. Когда он догонит Кара?

    $ \ begin {array} {lcl} 10t & = & 12 (t- \ frac {1} {6}) \\ 10т & = & 12т -2 \\ 10т -12т & = & 12т -12т -2 \\ -2t & = & – 2 \\ \ frac {-2} {- 2} t & = & \ frac {-2} {- 2} \\ 2t & = & 2 \\ т & = & 1 \ end {array}

    долларов США

    Через час Сайрус догонит Кару.

    Скорость измерения расстояния – разные направления

    Для этой задачи движение идет от в двух разных направлениях . Используйте формулу DRT, чтобы решить: Карли и Пит покидают школу, двигаясь в противоположных направлениях по прямой дороге. Пит едет на своем электрическом велосипеде на 12 миль / ч быстрее, чем ходит Карли. Через 2 часа они разделяют 36 миль. Найдите рейтинг Карли и рейтинг Пита.

    $ \ begin {array} {lcl} 2 (12 + x) + 2x & = & 36 \\ 24 + 2x + 2x & = & 36 \\ 24 + 4x & = & 36 \\ 24-24 + 4x & = & 36-24 \\ 4x & = & 12 \\ \ frac {4} {4} x & = & \ frac {12} {4} \\ х & = & 3 \ end {array}

    долларов США Скорость

    Карли составляет 3 мили в час, а скорость Пита – 15.

    Решение уравнений

    Что такое уравнение?

    Уравнение говорит, что две вещи равны. У него будет знак равенства “=”, например:

    Это уравнение говорит: то, что слева (x – 2) равно тому, что справа (4)

    Таким образом, уравнение похоже на оператор , это равно , что

    Что такое решение?

    Решение – это значение, которое мы можем ввести вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .


    Пример: x – 2 = 4

    Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

    6–2 = 4

    , что соответствует действительности

    Итак, x = 6 – решение.

    Как насчет других значений x?

    • Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
    • Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что не соответствует действительности , поэтому x = 9 не является решением .
    • и т. Д.

    В этом случае x = 6 – единственное решение.

    Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

    Более одного решения

    Может быть более одного решения .

    Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

    Когда x равно 3, получаем:

    (3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

    , что соответствует действительности

    И когда x равно 2, получаем:

    (2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

    , что также является истинным

    Итак, решения:

    x = 3 или x = 2

    Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

    Приведенный выше набор решений: {2, 3}

    Решения везде!

    Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

    Пример:

    sin (−θ) = −sin (θ) – одно из тригонометрических тождеств

    Попробуем θ = 30 °:

    sin (-30 °) = -0.5 и

    −sin (30 °) = −0,5

    Значит, истинно для θ = 30 °

    Попробуем θ = 90 °:

    sin (-90 °) = -1 и

    −sin (90 °) = −1

    Так же истинно для θ = 90 °

    Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

    Как решить уравнение

    Не существует “единого идеального способа” решить все уравнения.

    Полезная цель

    Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель состоит в следующем:

    Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

    Пример: Решить 3x − 6 = 9

    Начать с: 3x − 6 = 9

    Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

    Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

    Теперь у нас x = что-то ,

    и короткий расчет показывает, что x = 5

    Как пазл

    На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

    Вот что мы можем сделать:

    Пример: Решить √ (x / 2) = 3

    Начать с: √ (x / 2) = 3

    Квадрат с двух сторон: x / 2 = 3 2

    Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9

    Умножьте обе стороны на 2: x = 18

    И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

    Специальные уравнения

    Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

    Проверьте свои решения

    Вы всегда должны проверять, действительно ли ваше «решение» – это решение.

    Как проверить

    Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

    Пример: найти x:

    2x x – 3 + 3 = 6 x – 3 (x ≠ 3)

    Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

    Умножим на (x – 3):

    2x + 3 (x − 3) = 6

    Переместите 6 влево:

    2x + 3 (x − 3) – 6 = 0

    Развернуть и решить:

    2x + 3x – 9-6 = 0

    5x – 15 = 0

    5 (x – 3) = 0

    х – 3 = 0

    Это можно решить, если x = 3

    Проверим:

    2 × 3 3–3 + 3 = 6 3–3

    Держись!
    Это означает деление на ноль!

    И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что…

    x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

    Есть Нет Решение!

    Это было интересно … мы, , думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

    Это дает нам моральный урок:

    «Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

    Подсказки

    • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
    • Показать все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

    Бесплатные рабочие листы по линейным уравнениям (6-9 классы, предалгебра, алгебра 1)

    Вы здесь: На главную → Рабочие листы → Линейные уравнения

    Здесь вы найдете неограниченное количество распечатываемых рабочих листов для решения линейных уравнений, доступных как в формате PDF, так и в формате html.Вы можете настроить рабочие листы, включив в них одношаговые, двухэтапные или многоступенчатые уравнения, переменные с обеих сторон, круглые скобки и многое другое. Рабочие листы подходят для курсов предварительной алгебры и алгебры 1 (6-9 классы).

    Вы можете выбрать из СЕМЬ основных типов уравнений, от простых до сложных, описанных ниже (например, одношаговые уравнения, переменные с обеих сторон или необходимость использования свойства распределения). Настройте рабочие листы с помощью генератора ниже.


    Основные инструкции для рабочих листов

    Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален.Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

    Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF – и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать html-лист ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

    Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

    • Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
    • Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

    Рабочие листы готовые


    См. Также

    Рабочие листы для упрощения выражений

    Рабочие листы для вычисления выражений с переменными

    Рабочие листы для написания выражений с переменными из словесных выражений

    Рабочие листы для линейных неравенств


    Ключ к учебным пособиям по алгебре

    Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй.Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.

    => Узнать больше

    Новый способ упростить квадратные уравнения

    Итак, легко представить, что математики, должно быть, исчерпали проблему.Просто не может быть лучшего способа вывести квадратную формулу.

    Введите По-Шен Ло, математика из Университета Карнеги-Меллона в Питтсбурге, который нашел более простой способ – тот, который, кажется, остался незамеченным за эти 4000 лет.

    Подход Ло не полагается на завершение квадрата или другие сложные математические трюки. В самом деле, это достаточно просто, чтобы работать как общий метод, а это означает, что учащимся вообще не нужно запоминать формулу. «Этот вывод может демистифицировать квадратичную формулу для студентов во всем мире», – говорит он.

    Новый подход прост. Он начинается с наблюдения, что если квадратное уравнение может быть разложено на множители следующим образом:

    Тогда правая часть равна 0, когда x = R или когда x = S. Тогда это были бы корни квадратичной.

    Умножение правой части дает

    Это верно, когда -B = R + S и когда C = RS.

    А теперь самое интересное. Ло указывает, что числа R и S в сумме дают -B, когда их среднее значение равно -B / 2.

    «Итак, мы ищем два числа вида -B / 2 ± z, где z – одна неизвестная величина», – говорит он. Затем мы можем умножить эти числа вместе, чтобы получить выражение для C. Итак,

    Тогда простая перестановка дает

    Это означает, что решение квадратного уравнения будет:

    Voilà! Это квадратная формула.

    [Более общую версию можно получить, разделив уравнение Ax2 + Bx + C = 0 на A, чтобы получить x2 + B / Ax + C / A = 0, а затем повторить описанный выше процесс.]

    Это очень значительное улучшение по сравнению с предыдущим методом, и Лох показывает почему на простом примере.

    Найдите корни следующего квадратичного уравнения: x2 – 2x + 4 = 0

    Традиционным методом было бы вычислить значения для A, B и C и подставить их в формулу корней квадратного уравнения. Но подход Ло решает проблему интуитивно. Первый шаг – подумать, что два корня уравнения должны быть равны -B / 2 ± z = 1 ± z

    И поскольку их произведение должно быть C = 4, мы можем написать:

    Итак, корни are

    Попытка решить ту же проблему с использованием традиционного метода намного сложнее.Давай, попробуй! Новый подход намного проще и интуитивно понятнее, не в последнюю очередь потому, что он вообще не требует запоминания формулы.

    Интересный вопрос: почему никто раньше не наткнулся на этот метод и широко не распространял его.

    Ло говорит, что он «был бы очень удивлен, если бы этот подход полностью ускользнул от человеческих открытий до настоящего времени, учитывая 4000-летнюю историю этой темы и миллиарды людей, которые столкнулись с формулой и ее доказательством.Тем не менее, эта техника, конечно, не широко преподается и не известна ».

    Ло безуспешно искал в истории математики подход, похожий на его. Он изучал методы, разработанные древними вавилонянами, китайцами, греками, индийцами и арабами. а также современные математики с эпохи Возрождения до наших дней. Ни один из них, похоже, не сделал этого шага, хотя алгебра проста и известна веками. подход доказывает, что квадратные уравнения имеют два корня.«Возможно, причина в том, что на самом деле математически нетривиально сделать обратное утверждение: у него всегда два корня, и эти корни имеют сумму -B и произведение C», – говорит он.

    Ло, преподаватель математики и известный популяризатор, обнаружил свой подход при анализе учебных программ по математике для школьников с целью разработки новых объяснений. Вывод возник из этого процесса.

    Теперь вопрос в том, насколько широко и быстро это распространится.Чтобы ускорить внедрение, Ло сняла видео об этом методе. В любом случае, вавилонские налоговые вычислители наверняка были бы впечатлены.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *