Исчисление I – Бесконечные пределы
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2.6: Бесконечные пределы
В этом разделе мы рассмотрим пределы, значение которых равно бесконечности или минус бесконечности.
Эти виды ограничений будут довольно регулярно появляться в последующих разделах и на других курсах, поэтому вам нужно будет справляться с ними, когда вы сталкиваетесь с ними.
Первое, что мы, вероятно, должны сделать здесь, это определить, что мы имеем в виду, когда говорим, что предел имеет значение бесконечности или минус бесконечность.
Определение
Мы говорим
\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \]
, если мы можем сделать \(f(x)\) произвольно большим для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не допуская \(x = a\).
Мы говорим
\[\ mathop {\lim}\limits_{x \to a} f\left( x \right) = – \infty \]
, если мы можем сделать \(f(x)\) сколь угодно большим и отрицательным для всех \(x\), достаточно близких к \(x=a\), с обеих сторон, фактически не позволяя \(x = a\) .
Эти определения могут быть соответственно изменены и для односторонних пределов.
Чтобы увидеть более точное и математическое определение этого вида предела, см. раздел «Определение предела» в конце этой главы.
Начнем с довольно типичного примера, иллюстрирующего бесконечные пределы.
9- }} \ frac {1} {x} \ hspace {0,5 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \]Показать решение
Итак, мы рассмотрим пару односторонних ограничений, а также обычный предел. Обратите внимание, что во всех трех случаях мы не можем просто подставить \(x = 0\). Если бы мы это сделали, мы бы получили деление на ноль. Также помните, что приведенные выше определения можно легко изменить, чтобы дать аналогичные определения для двух односторонних пределов, которые нам здесь понадобятся.
Теперь есть несколько способов получить значения для этих пределов. Один из способов — подставить несколько точек и посмотреть, к какому значению приближается функция. В предыдущем разделе мы сказали, что больше не будем этого делать, но в данном случае это хороший способ проиллюстрировать, что происходит с этой функцией.
Итак, вот таблица значений \(x\) слева и справа. Используя эти значения, мы сможем оценить значение двух односторонних пределов, и как только мы это сделаем, мы сможем использовать тот факт, что нормальный предел будет существовать только в том случае, если два односторонних предела существуют и имеют одинаковое значение. .
| \(х\) | \(\displaystyle \frac{1}{x}\) | \(х\) | \(\displaystyle \frac{1}{x}\) |
|---|---|---|---|
| -0,1 | -10 | 0,1 | 10 |
| -0,01 | -100 | 0,01 | 100 |
| -0,001 | -1000 | 0,001 | 1000 |
| -0,0001 | -10000 | 0,0001 | 10000 |
Из этой таблицы видно, что по мере того, как мы делаем \(x\) все меньше и меньше, функция \(\frac{1}{x}\) становится все больше и больше и сохраняет тот же знак, что и \(x\ ) изначально было.
– }} \frac{1}{x} = – \infty \]
Еще один способ увидеть значения двух односторонних пределов здесь — построить график функции. Опять же, в предыдущем разделе мы упоминали, что не будем делать это слишком часто, поскольку большинство функций нельзя просто быстро набросать, а также проблемы с точностью считывания значений с графика. Однако в этом случае не так уж сложно нарисовать график функции, и в этом случае, как мы увидим, точность не будет проблемой. Итак, вот краткий набросок графика.
Итак, на этом графике видно, что функция ведет себя во многом так, как мы и предсказывали, исходя из наших табличных значений. Чем ближе \(х\) к нулю справа, тем больше (в положительном смысле) становится функция, а чем ближе \(х\) к нулю слева, тем больше (в отрицательном смысле) становится функция. .
Наконец, нормального предела в этом случае не будет, поскольку два односторонних предела имеют разные значения.
Таким образом, вот значения трех пределов для этого примера.
Для большинства оставшихся примеров в этом разделе мы попытаемся «обговорить» каждое ограничение. Это означает, что мы посмотрим, сможем ли мы проанализировать, что должно произойти с функцией, когда мы подойдем очень близко к рассматриваемой точке, фактически не вставляя какие-либо значения в функцию. Для большинства следующих примеров такой анализ не должен быть слишком сложным. Мы также проверим наш анализ с помощью быстрого графика. 92}}}\]
Как и в предыдущем примере, начнем с двух односторонних пределов. Как только мы получим их, мы сможем определить значение нормального предела.
Итак, давайте сначала взглянем на правый предел и, как отмечалось выше, посмотрим, сможем ли мы выяснить, что будет делать каждый предел, фактически не подставляя в функцию какие-либо значения \(x\).
Поскольку мы берем все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь положительными, возведение их в квадрат только уменьшит их (вспомним, что возведение в квадрат числа между нулем и единицей уменьшит его) и, конечно, оно останется положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. В результате должно получиться возрастающее положительное число. Похоже, в этом случае у нас должно быть следующее значение правого предела, 92}}} = \infty\]
Теперь давайте посмотрим на левый предел. В этом случае мы будем брать все меньшие и меньшие значения \(x\), оставаясь на этот раз отрицательными. Когда мы возведем их в квадрат, они станут меньше, но после возведения в квадрат результат будет положительным. Итак, у нас есть положительная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом, как и в случае правого предела, будет все большее положительное число, поэтому левый предел будет равен 9.- }} \frac{{ – 4}}{{x + 2}}\hspace{0.
Показать решение
Начнем снова с правого предела. С правым пределом мы знаем, что у нас есть
\[x > – 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 > 0\]
Кроме того, по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2, тогда \(x + 2\) будет все ближе и ближе к нулю, оставаясь при этом положительным, как отмечалось выше. Итак, для правого предела у нас будет отрицательная константа, деленная на все меньшее положительное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число. Итак, похоже, что правый предел будет равен отрицательной бесконечности.
Для левого предела у нас есть
\[x < - 2\hspace{0.5in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.5in}x + 2 <0\]
и \(x + 2\) будут все ближе и ближе к нулю (и будут отрицательными) по мере того, как \(x\) становится все ближе и ближе к -2.
Здесь мы должны кратко отметить идею вертикальных асимптот. На каждом из трех предыдущих графиков было по одному. Вспомните из класса алгебры, что вертикальная асимптота — это вертикальная линия (пунктирная линия в точке \(x = -2\) в предыдущем примере), на которой график будет стремиться к бесконечности и/или минус бесконечности с одной или обеих сторон линия. 9+ }} f\left( x \right) = \pm \,\infty \hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \pm \ ,\infty\]
Обратите внимание, что для того, чтобы функция имела вертикальную асимптоту в \(x = a\), требуется только один из указанных выше пределов.
3} > 0\] 9- }} \frac{{2x}}{{x – 3}}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{x – 3} }\]
Показать решение
Давайте сначала рассмотрим правый предел. Для этого предела у нас будет
\[x > 3\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,5in}x – 3 > 0\]
Основное отличие здесь от этого примера заключается в поведении числителя по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3. В этом случае мы имеем следующее поведение как для числителя, так и для знаменателя.
\[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]
Итак, по мере того, как мы приближаем \(x\) к 3 (всегда оставаясь справа, конечно), числитель, хотя и не является константой, все ближе и ближе к положительной константе, в то время как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю и будет положительным, так как мы находимся на правой стороне.
Это означает, что у нас будет числитель, который все ближе и ближе к ненулевой и положительной константе, деленной на все меньшее положительное число, и поэтому результатом должно быть все большее положительное число. Тогда правый предел должен равняться положительной бесконечности.
Для левого предела у нас будет
\[x < 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x - 3 <0\]
Как и в случае правого предела, у нас будет следующее поведение числителя и знаменателя:
\[x – 3 \to 0\,\,\,{\mbox{and}}2x \to 6\,\,\,{\mbox{as}}x \to 3\]
Основное отличие в этом случае состоит в том, что знаменатель теперь будет отрицательным. Итак, у нас будет числитель, который приближается к положительной, отличной от нуля константе, деленной на все меньшее отрицательное число. Результатом будет все более большое и отрицательное число.
9- }} \frac{{2x}}{{x – 3}} = – \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x}}{{ x – 3}}{\mbox{ не существует}}\]
Как и в большинстве примеров в этом разделе, нормального предела не существует, поскольку два односторонних предела не совпадают.
Вот краткий график для проверки наших пределов.
Пока все, что мы сделали, это рассмотрели пределы рациональных выражений, давайте сделаем пару быстрых примеров с некоторыми другими функциями. 9+ }} \ln \влево( х \вправо)\]
Показать решение
Во-первых, обратите внимание, что здесь мы можем оценить только правосторонний предел. Мы знаем, что областью определения любого логарифма являются только положительные числа, поэтому мы даже не можем говорить о левостороннем пределе, потому что это потребовало бы использования отрицательных чисел. Точно так же, поскольку мы не можем иметь дело с левосторонним пределом, мы не можем говорить и о нормальном пределе.
Этот предел довольно просто получить из быстрого наброска графика. 9- }} \tan \left( x \right) = \infty \]
Обратите внимание, что нормального предела не будет, поскольку два односторонних предела не совпадают.
Мы закончим этот раздел несколькими фактами о бесконечных пределах.
Факты
Учитывая функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\), предположим, что мы имеем, \[\ mathop {\ lim } \ limit_ {x \ to c} f \ left ( x \ right) = \ infty \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ lim } \ limits_ {x \ to c} g\left( x \right) = L\]
для некоторых действительных чисел \(c\) и \(L\). Тогда
- \(\ mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \infty \)
- Если \(L > 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \infty\)
- Если \(L < 0\), то \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim}\limits_{x \to c} \frac{{g\left(x\right)}}{{f\left(x\right)}} = 0\)
Доказательство этого набора фактов см.
в разделе «Доказательство различных предельных свойств» в главе «Дополнительно».
Отметим также, что приведенный выше набор фактов справедлив и для односторонних пределов. Они также будут выполняться, если \(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = – \infty \) со сменой знака бесконечностей в первых трех частях. Доказательства этих изменений в фактах почти идентичны доказательствам первоначальных фактов и поэтому оставлены на ваше усмотрение.
Понимание предела при приближении x к бесконечности
В этой статье
Понимание пределов по мере приближения x к бесконечности
Можно ли вычислить бесконечность?
5 примеров расчета пределов при приближении x к бесконечности
Практические упражнения
Понимание пределов при приближении x к бесконечности
Знание того, как оценить пределы, идущие к бесконечности, важно для понимания поведения функций, которые приближаются к определенному значению yyy, когда их переменная xxx становится бесконечно большой или малой.
Во-первых, мы должны понять, что такое предел. Предел — это значение, к которому приближается функция, когда переменная xxx приближается к некоторому значению. 93 + 3 = -8 + 3 = -5(-2)3+3=-8+3=-5.
Это простой пример, но мы узнаем, что оценка пределов часто требует от вас использования и других методов, включая замещение, факторинг и радикализацию.
Но что произойдет, если мы хотим оценить предел функции, когда xxx приближается к бесконечно большому или бесконечно малому значению?
В этом случае нам нужно оценить один из следующих двух пределов:
limx→∞f(x)\lim_{x\to\infty} f(x)limx→∞f(x)
limx→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty} f(x)limx→−∞f(x)
Можно ли вычислить бесконечность?
Давайте посмотрим, что мы имеем в виду, когда говорим «xxx приближается к бесконечности». Помните, что бесконечность не является конкретной величиной. Скорее, бесконечность — это идея. Мы можем думать о бесконечности как о «безграничном возрастании» или «безгранично убывающем».
Бесконечность — это то, к чему функции могут приблизиться, но никогда не достичь.
Например, рассмотрим функцию f(x)=2x−1xf(x) = \frac{2x-1}{x}f(x)=x2x−1. Взгляните на приведенную ниже таблицу значений функции.
Ясно, что по мере того, как xxx растет без ограничений, yyy стремится к 2, никогда не достигая 2.
Давайте посмотрим на график fff ниже, чтобы увидеть, как это выглядит.
Итак, мы можем сказать, что limx→∞2x−1x=2\lim_{x\to\infty} \frac{2x-1}{x} = 2limx→∞x2x−1=2, так как yyy приближается к 2, когда xxx неограниченно увеличивается. Хотя мы можем представить, что yyy бесконечно приближается к 2 по мере того, как xxx становится все больше и больше в положительном направлении, yyy никогда не достигает 2.
Обратите внимание, что f(x)f(x)f(x) демонстрирует аналогичное поведение по мере того, как xxx становится все меньше и меньше в отрицательном направлении. Таким образом, мы также можем сказать, что limx→−∞2x−1x=2\lim_{x\to-\infty} \frac{2x-1}{x} = 2limx→−∞x2x−1=2 .
Обратите внимание, что на графике этой функции имеется невидимая линия при y=2y = 2y=2. Это называется горизонтальной асимптотой. Обратите внимание, что горизонтальная асимптота имеет то же значение yyy, что и предел f(x)f(x)f(x), когда xxx приближается к ∞\infty∞.
Если limx→∞f(x)=L\lim_{x\to\infty} f(x) = Llimx→∞f(x)=L или limx→−∞f(x)= L\lim_{x\to-\infty} f(x) = Llimx→−∞f(x)=L, мы говорим, что существует горизонтальная асимптота при y=Ly = Ly=L. 92}} =\фракция{3}{1+0} = 3limx→∞x2+53×2=limx→∞x2x2+x25x23x2=1+03=3
Таким образом, предел f(x)f(x)f(x) при приближении xxx к ∞\infty∞ равен 3. Этот пример дает нам полезное правило, которому следует следовать при оценке пределов, приближающихся к бесконечности. Если наибольшая степень числителя совпадает с наибольшей степенью знаменателя, то пределом выражения при стремлении xxx к бесконечности является отношение коэффициентов их членов наивысшей степени.
Например, в этой задаче наивысшая степень числа xxx как в числителе, так и в знаменателе равна x2x^2×2.
2 + 5} = 3limx→∞x2+53×2 = 3. 92}{4x+1} = \inftylimx→∞4x+13×2=∞.
Три вышеприведенных примера дают нам некоторые экономящие время правила для принятия предела, когда xxx приближается к бесконечности для рациональных функций:
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то limx→∞f(x)=0\lim_{x\to\infty} f(x) = 0limx→∞f(x)= 0.
Если степень числителя равна степени знаменателя, то limx→∞f(x)\lim_{x\to\infty} f(x)limx→∞f(x) равно отношению коэффициенты членов с наибольшей степенью в числителе и знаменателе. 9x}{2x}limx→∞2xex.
В этом примере и числитель, и знаменатель приближаются к бесконечно большим значениям, оставляя нам неопределенное ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞. Мы не можем использовать тот же метод, что и раньше, так как числитель не имеет степени ххх. Вместо этого мы будем использовать правило Лопиталя, которое гласит:
. limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f'(x)g'(x)\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x )} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→∞g(x)f(x)=limx→∞g'(x )f'(х) 9x}{2} = \inftylimx→∞2xex=limx→∞2ex=∞
Правило Лопиталя — отличное правило, которое нужно знать, когда сталкиваешься с неопределенными формами в частных, таких как ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ или 00\frac{0}{0}00.
Если вам дан предел, который не находится в форме частного, но имеет другой неопределенный предел, например ∞−∞\infty – \infty∞−∞, его часто можно переписать как частное, чтобы можно было применить правило Лопиталя. .Практические упражнения
Вот несколько упражнений для практики оценки пределов, когда xxx приближается к бесконечности. 96 = \inftylimx→∞14×6+x3−x=limx→∞x6(14+x31−x51=limx→∞x6(14+0−0)=limx→∞14×6=∞
We’ Воспользуемся правилом Лопиталя, потому что у нас неопределенная форма. \ln{(x)}}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1} = 0limx→−∞xln(x)=limx→–∞1×1=0.
Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от OutlierOutlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа.
Ознакомьтесь с этими родственными курсами:
Исчисление I
Изучите курс
Исчисление I
Математика изменений.
Если вам дан предел, который не находится в форме частного, но имеет другой неопределенный предел, например ∞−∞\infty – \infty∞−∞, его часто можно переписать как частное, чтобы можно было применить правило Лопиталя. .