Лимита понятие: ЛИМИТА | это… Что такое ЛИМИТА?

возобновляемая и невозобновляемая, кредит и кредитная линия, в чем разница – Блог “Альфа-Банка”

В чём отличие кредитной линии от кредита

Банк может открыть КЛ для ИП или юрлица, если уверен в его надёжности. У ИП, которые ещё не успели заработать положительную репутацию, с получением этой услуги могут возникнуть сложности.

Оформление кредитной линии мало чем отличается от оформления обычного займа. Если вы ИП или учредитель организации, сообщите банку, что хотите получить КЛ. Банк проверит вашу платёжеспособность. Если всё в порядке, он одобрит заём, предложит условия, заключит договор. При этом между кредитной линией и кредитом есть разница. Рассмотрим различия в таблице:

КЛ

Кредит

Из общего лимита линии деньги могут выдаваться частями. Проценты начисляются только на ту сумму, которую вы потратили.

На кредитный счёт поступает сразу вся одобренная сумма займа. Проценты также начисляются на всю сумму, независимо от того, потратили вы её или нет.

Сумму займа можно со временем увеличить.

Сумма займа фиксированная, её нельзя увеличить.

Лимит возобновляемый. Погасив долг полностью или частично, вы можете снова начать тратить деньги, для этого не нужно заключать новый договор.

Лимит невозобновляемый. Чтобы получить дополнительную сумму, нужно заключить новый договор.

Лимит можно увеличить после того, как банк убедится, что вы исполняете обязательства.

Лимит нельзя увеличить.

Срок кредитования можно возобновлять по договорённости. Также можно менять условия кредитования.

Срок кредитования прописан в договоре, его нельзя продлить. Также нельзя изменить условия кредитования.

График не прописывается в договоре, а формируется после снятия первой суммы. Погашается долг автоматически при каждом поступлении денег на счёт.

Погашать долг нужно строго по графику целевыми платежами. График устанавливается при заключении договора и в большинстве случаев не меняется.

Если заказчику нужны большие суммы на длительный срок, кредитная организация будет настаивать на залоговом обеспечении. Оно необходимо на случай, если клиент использует заёмные средства, но не сможет вернуть задолженность.

Для залога подходит ликвидное имущество, которое можно легко продать с торгов и окупить убытки. Когда КЛ обеспечена залогом, банк может предложить более низкий процент, длительный срок, большую сумму лимита. Если сумма займа небольшая, залог может не понадобиться.

Какие виды кредитных линий существуют

Банки предлагают эту услугу гражданам и бизнесу: ИП или юридическим лицам.

Для граждан услуга КЛ представлена в виде выдачи кредитной карты или подключения разрешённого овердрафта для дебетовой карты. В обоих случаях человек может брать деньги у банка и возвращать их неограниченное количество раз до тех пор, пока не истечёт срок договора.

Для ИП и организаций есть несколько типов КЛ: возобновляемая, невозобновляемая, рамочная, онкольная, контокоррентная. Рассмотрим каждый вариант подробнее.

Возобновляемая

Возобновляемая КЛ также называется револьверной. По условиям договора клиент может использовать один и тот же лимит многократно. Если он снял деньги, а потом погасил задолженность, то эти деньги снова доступны для снятия. Использовать средства таким образом можно неограниченное количество раз, пока не истечёт срок договора.

Невозобновляемая

Невозобновляемая кредитная линия (НКЛ) также называется простой. По условиям договора клиент получает деньги несколькими траншами. Он использует эти средства для своих нужд, после чего погашает задолженность по каждому траншу. Когда платёж засчитывается в тело долга, он больше не доступен для снятия. Клиент может снимать деньги до тех пор, пока не исчерпает лимит, оговорённый в соглашении. Чтобы получить дополнительные средства, нужно открывать новую НКЛ.

Невозобновляемый заём подходит для финансирования проектных задач, которые носят разовый характер. Например, для закупки оборудования, оплата которого идёт по заранее установленному графику.

Рамочная

Рамочная кредитная линия — это единственный вид КЛ, для которого нужно указывать цель использования. Заёмщик должен предоставить банку информацию о том, на что он собирается потратить деньги. Также в договоре прописывается срок действия и возможность возобновлять кредитную линию.

Этот банковский продукт подходит для регулярных бизнес-задач, например для закупок товара, сырья или расходных материалов.

Онкольная

Онкольная кредитная линия выдаётся на длительный срок и технически похожа на овердрафт. Клиенту многократно доступны заёмные средства, но только после того, как он полностью вернёт предыдущий долг.

Контокоррентная

Контокоррентная кредитная линия предполагает открытие для клиента активно-пассивного счёта. На этом счёте хранятся деньги бизнеса и заёмные средства. Этот вид КЛ также технически похож на овердрафт.

Контокоррентная КЛ помогает избегать кассовых разрывов. Например, если клиенту нужно срочно провести оплату поставщику, он может использовать заёмные средства. Долг по займу гасится автоматически, когда на активно-пассивный счёт бизнесмена поступает прибыль.

В чём плюсы и минусы кредитной линии

У этого банковского продукта, как у любого другого, есть свои плюсы и минусы. Рассмотрим их в таблице:

Плюсы КЛ

Минусы КЛ

Вы экономите время на оформлении документов. Не нужно доказывать платёжеспособность и подписывать договор каждый раз, когда вам понадобится заём.

Заявки по КЛ банк рассматривает дольше, чем по кредитам. Ему нужно оценить перспективы развития вашего бизнеса, особенно если вы ИП или зарегистрированы недавно.

Вы управляете переплатами. Из лимита линии вы берёте только ту сумму, которая вам нужна, и проценты потом платите только по ней. Когда вы возвращаете часть потраченной суммы, то проценты уменьшаются пропорционально.

Если у вас юрлицо, то вы обязаны уведомлять банк о любых изменениях в уставных документах. Например, если появился новый бухгалтер, добавились новые учредители или изменился вид деятельности, нужно предоставить банку документы.

Вам доступны гибкие условия. Размер транша и период возврата долга связаны. Если ИП потратил деньги, а потом быстро их вернул, то переплата будет минимальной.

Вы должны пользоваться услугой, не нарушая условия договора. Если открыли КЛ «на всякий случай», но не пользуетесь ею, банк может выписать штраф или заблокировать счёт.

Каждый раз, когда вам нужны деньги, вы можете брать их из лимита КЛ. Заёмные средства доступны в любой момент в течение всего срока действия договора.

Поскольку график погашения свободный, вы должны сами следить за его соблюдением. От ИП это требует ответственности и дисциплинированности.

Вы можете продлить срок договора и увеличить лимит. Для этого нужно выполнять условия соглашения.

Если на счёте кредитной линии образуется технический овердрафт, то банк берёт за него большую комиссию.

как работает и для чего нужна, виды, как оформить – полезная статья от банка ВТБ

17.08.2022

Группа ВТБ

Кредитная карта — это банковский продукт, с помощью которого клиент может делать покупки, переводы и снимать наличные, даже если в данный момент не имеет собственных денег. Средства берут в долг у банка, расходуют в обычных торговых точках и интернет-магазинах или обналичивают. Это значит, что кредитка дает финансовую свободу без необходимости занимать у друзей, то есть возможность всегда иметь средства на необходимые или непредвиденные траты и не откладывать надолго желанные покупки.

Что такое кредитная карта

Кредитная карта может быть цифровой или пластиковой. Пластиковая карта представляет собой носитель небольшого размера, на котором есть:

• уникальный номер;

• фамилия и имя держателя;

• период действия;

• эмблемы банка и платежной системы, в рамках которой работает продукт;

• чип, магнитная полоса или код бесконтактной оплаты;

• CVC или CVV-код.

Что касается цифровой карты, то ей присущи те же атрибуты, за исключением чипа и магнитной полосы, так как цифровой формат карты предполагает ее использование для онлайн-покупок или с помощью смартфонов для оплаты в торговых точках через Mir Pay или Samsung Pay. Кредитная карточка привязана к счету, на котором изначально есть деньги — кредитный лимит. Это значит, что для ее использования клиенту не нужно сразу пополнять баланс. Он может тратить средства, расплачиваясь за товары и услуги, или снять наличные.

Отличия от других карт

Главная ее особенность состоит в том, что на балансе сразу есть определенная сумма — это кредитный лимит, который банк одобрил клиенту. Им можно пользоваться как заблагорассудится:

• оплачивать счета;

• расходовать на бытовые нужды, покупку продуктов;

• покупать вещи, технику;

• переводить другим людям;

• пускать в оборот, чтобы заработать на процентах;

• гасить более срочные долги.

У кредитки есть доступный лимит средств. Это значит, что человек не сможет израсходовать больше одобренной суммы. Его размер устанавливает банк, опираясь на финансовые возможности, дисциплинированность и активность клиента. Если потраченные им деньги возвращаются на счет вовремя, лимит повышают. Также клиент сам может запросить увеличение или уменьшение лимита.

Главным преимуществом кредитной карты в сравнении с обычным кредитом является наличие беспроцентного или льготного периода кредитования. Если вернуть деньги до его окончания, это будет ровно та сумма, которую потратили, то есть без переплат. Можно пополнить баланс и после завершения льготного периода. Тогда кроме основного долга выплачивают и проценты. Ставка становится известна еще на этапе оформления банковского продукта.

Чем кредитка отличается от кредита

У кредитной карты и потребительского кредита есть общее — клиент в обоих случаях получает деньги. Но еще больше между ними различий:

• При оформлении кредита выдают сразу всю сумму, которая указана в договоре. С кредитной карточкой можно тратить столько, сколько нужно именно сейчас и в любое время.

• Потребительский кредит всегда предполагает выплату процентов, регулярные взносы в оговоренные временные рамки. Размер платежей определен заранее. Ставку можно лишь уменьшить, если выплатить все досрочно.

  По кредитке вовсе не платят проценты, когда долг погашают в пределах льготного периода.

• Кредит выдают один раз. Для следующего понадобится заключить новый договор с определением условий: суммы, ставки, сроков возврата средств. Кредиткой пользуются бессрочно, а это значит, что одобренный кредитный лимит всегда в кармане и доступен в любой момент. Лимит кредитных средств и льготный период по карте возобновляются каждый раз, как только погашен прежний долг.

В целом кредитка — более простой в оформлении и гибкий в использовании банковский продукт, чем заем. Она пригодится и для рутинных расходов, и для крупных покупок, на которые иначе пришлось бы копить. Потребительский заем больше подходит, если клиенту нужна большая сумма на сравнительно длительный срок, которую он намерен сразу потратить.

Как гасить долг по карте

Выгоднее пополнять баланс, пока длится льготный период. Его определение — прерогатива банка в соответствии с условиями договора. Это может быть и месяц, и более длительное время. В ВТБ размер беспроцентного периода составляет до 110 дней.

Ежемесячно необходимо вносить минимальный обязательный платеж. В каждом месяце срок платежа наступает с 1-го по 20-е. То есть у клиента есть 20 дней, чтобы положить деньги на счет. Своевременность дает возможность не платить проценты, а значит, использовать средства банка безвозмездно. Возвращать придется только основной долг, то есть то, что потратили, одним из следующих способов:

• переводом с другой карты, например с зарплатной или дебетовой;

• перечислением средств по реквизитам;

• переводом по номеру телефона через Систему быстрых платежей;

• наличными в кассе Банка или через банкомат ВТБ либо партнеров.

Чтобы клиент мог следить за своевременностью выплат, размером задолженности и не пропустить дату завершения льготного периода, работает интернет-банк и мобильное приложение «ВТБ Онлайн».

Что делать в случае просрочки

Понятие «просрочка» значит, что клиент нарушил условия договора с банком, поэтому она влечет за собой:

• прекращение льготного периода по выплатам до погашения задолженности;

• назначение процентов, которые начисляют с первого дня образования непогашенной задолженности, а значит, увеличение размера задолженности;

• разовые штрафные санкции за само нарушение;

• отказ в повышении установленного лимита средств;

• отметку в кредитной истории, которая потом может повлиять на решение о выдаче других займов.

Если нарушение разовое, случайное, надо как можно скорее перевести на счет нужную сумму. При сложностях с финансами лучше обратиться в банк заранее, чтобы добиться реструктуризации долга. Это значит, что при серьезном поводе кредитор может предложить новый заем. Его дадут на длительное время и по комфортным условиям, чтобы клиент погасил действующую задолженность. Либо предложат вариант подключения кредитных каникул, которые предполагают пропуск от 1 до 6 минимальных платежей (если услуга доступна в момент обращения).

Регулярные выплаты лучше делать заранее, чтобы не допускать случайных задержек поступления средств на счет. Ведь на их зачисление может уйти до 3 дней.

Виды кредитных карт ВТБ

Банк ВТБ предлагает клиентам три варианта:

• Карта возможностей. Ее выпускают, доставляют клиенту и обслуживают бесплатно. Карта доступна в цифровом и пластиковом форматах. Действие льготного периода длится 110 дней, и он распространяется на все операции, включая снятие наличных и переводы. Вы можете получить лимит до 1 млн ₽ и кешбэк до 2,5% при оплате в супермаркетах, кафе и ресторанах, поездках на общественном транспорте и такси. Доступно изменение денежного лимита. Если зарегистрироваться в программе «Мультибонус», то дополнительно можно получать кешбэк в размере до 6,8% в «Л’Этуаль», до 5% в «Медси», «Спортмастере», METRO и Lamoda и у других партнеров.

  Минимальный ежемесячный платеж по этой кредитке — 3%. Заказать ее и контролировать все операции можно онлайн.

• Карта возможностей «Привилегия». Ее функционал аналогичен предыдущему виду. Но кешбэк возрастает до 3,5% при использовании в супермаркетах, кафе, ресторанах и транспорте. Вы можете подключить бесплатные премиальные программы «Страхование в путешествиях», «Консьерж-сервис» и «Помощь на дорогах». Если использовать «ВТБ Онлайн», вы сможете контролировать траты, окончание беспроцентного периода, пополнять кредитку онлайн.

• Цифровая кредитная карта Mir Supreme. Она виртуальная, доступна к открытию в «ВТБ Онлайн» и максимально безопасна при выполнении платежей в интернете и работе с электронными платежными системами. Беспроцентный период Mir Supreme составляет до 110 дней. Вы получаете повышенный кешбэк в размере 5% от платежной системы «Мир» при оплате в ресторанах, кафе, заведениях быстрого питания и от 3% при расходах в тех же кафе и ресторанах, на транспорте и в супермаркетах, но уже от Банка. Получаете двойную выгоду! Доступны и бесплатные премиум-сервисы «Страхование в путешествиях», «Помощь на дороге», «Консьерж-сервис».

Как оформить кредитную карту

Чтобы оформить кредитную карту в ВТБ, сделайте следующее:

1. Выберите на сайте Банка подходящий продукт и нажмите на слово «Оформить».

2. На открывшейся странице укажите желаемый лимит по кредиту, введите номер своего телефона.

3. Введите код из СМС-сообщения, которое придет на мобильный.

4. Поставьте отметку о согласии на обработку персональных данных.

5. Заполните анкету, отправьте заявку и дождитесь решения Банка, которое пришлют на телефон или электронную почту в течение 5 минут.

6. Заберите кредитку в офисе ВТБ либо воспользуйтесь бесплатной доставкой курьером на дом или на работу.

Как пользоваться кредитной картой

Использование кредитки такое же простое, как дебетовки.

• Активируйте в «ВТБ Онлайн» или по номеру 8 (800) 100 24 24, назначив ПИН-код.

• Платите ею в супермаркетах, аптеках, кафе и т. д., прикладывая к платежному терминалу на кассе.

• Привяжите карту к любимым сервисам такси, доставки еды, онлайн-кинотеатрам и тому подобному.

• Используйте для оплаты транспортных расходов, прислоняя пластик к валидатору и дожидаясь, пока на устройстве не появится зеленый сигнал.

• Расплачивайтесь за товары и услуги, заказанные на интернет-площадках, вводя по запросу номер кредитки, код CVC или CVV, а также цифровой пароль, который пришлют на мобильный телефон.

• Получайте положенные бонусы и кешбэк.

• Оплачивайте налоги, штрафы ГИБДД, коммунальные услуги, телефон и интернет через «ВТБ Онлайн» без комиссий.

• При необходимости снимайте наличные в банкоматах любых банков.

• Вовремя вносите ежемесячный платеж в минимальном размере, используя сайт, мобильное приложение или банкоматы.

• Следите за балансом с помощью «ВТБ Онлайн».

При потере пластиковой кредитной карты как можно скорее заблокируйте ее в «ВТБ Онлайн», позвонив в контактный центр или обратившись с паспортом в любое отделение Банка. Если она надолго останется в чужих руках, это значит, что посторонние получат возможность тратить деньги, а возвращать их Банку будете вы. Карту можно перевыпустить уже с новым номером и другими атрибутами.

Поделиться:

Кредитная «Карта возможностей» ВТБ

Все возможности в ваших руках

Другие полезные статьи

СБП26.09.2022

Что такое СБП

Читать далее

Кредиты27.07.2022

Что такое кредит

Читать далее

Дебетовые карты26.08.2022

Что такое дебетовая карта

Читать далее

Неправильные представления студентов о концепции предела в первом курсе математического анализа

• Идентификатор корпуса: 73601472

  title={Неправильные представления студентов о концепции предела на первом курсе математического анализа},
  автор={Дежен Гирма Денбел},
  journal={Журнал образования и практики},
  год = {2014},
  громкость = {5},
  страницы = {24-40}
} 

• Dejene Girma Denbel
• Опубликовано в 2014 г.
• Education
• Journal of Education and Practice

Неправильные представления о концепции пределов были изучены у 130 студентов, изучающих инженерное дело в университетах Дилла. Анкета и интервью были разработаны, чтобы изучить понимание учащимися идеи предела функции и изучить когнитивные схемы для понятия предела. Исследование использовало количественный описательный или обзорный дизайн. Эмпирическое исследование проводилось в два этапа. Анкета по идее предела была роздана 130 студентам на первом этапе. Во время второго… 

Представления будущих преподавателей о понятии предела

РЕЗЮМЕ Понятие предела часто воспринимается как очень абстрактное понятие. В этом исследовании мы изучаем понимание концепции предела с помощью 74 студентов, которые претендуют на высокие…

Идентификация понимания концепции предела функций на основе стилей обучения студентов на математическом факультете FMIPA UNM

• A. Сапутра, И. Мингги, Джадир

• Образование

• 2021

Эта статья представляет собой качественное исследование с описательным подходом. Целью данной статьи является выявление понимания концепции предела функций на основе стилей обучения студентов в…

Фактическое понимание студентами концепции предела

• Н. Арсяд, Ю. Рамадхана, С. Ассагаф

• Образование

• 2021

Это исследование направлено на описание фактического понимания концепции формального определения предела. Это описательное качественное исследование с участием 8 студентов. Данные, собранные с помощью теста…

Навыки критического мышления учащихся в отношении соотношения пределов, непрерывности и производных функций

• B. Susilo

• Образование

• 2019

производные, которые имеет функция. Это исследование направлено на то, чтобы выяснить, насколько критическим является описание студентов…

Математические заблуждения студентов в инженерном образовании: статистический анализ и предложения по педагогическим подходам

Неправильные представления о математике у студентов, поступающих в университеты, поставили под сомнение педагогику инженерного образования. Осведомленность педагогов о существовании неправильных представлений может гарантировать, что они…

Анализ представлений об обучении исчислению и понимания учащимися предела функций: пример

Убеждение – это индивидуальный результат построения, основанный на опыте обучения. Это исследование было направлено на описание представлений студентов об обучении исчислению и их связи с пониманием предела решения…

Zone of Concept Image Differences in Infinite Limits at Undergraduate Level

• R. Sulastri, D. Suryadi, S. Prabawanto, E. Cahya, Fitriani Fitriani

• Education

  Jurnal Didaktik Matematika

• 2022

Разрыв между концептуальным образом и определением концепции сильно повлияет на понимание человеком концепции. Это исследование направлено на выявление разрыва между концепт-образом и концептом…

Захват концептуального развития с помощью воплощенного опыта в сравнении бесконечных наборов

Траектория рассуждений некоторых участников и переход от неправильных рассуждений к парному соответствию 1-1 счетно бесконечных множеств были следствием концептуального воплощения, намечающего анализ воплощенного опыта для развития абстрактных рассуждений.

Систематический обзор литературы о неверных представлениях учащихся о математике

Неправильное представление о математическом образовании подчеркивалось в различных исследованиях. Тем не менее, до сих пор существует ограниченный обзор литературы о неверных представлениях учащихся о математике. Цель этого…

Существование определенного интеграла: понимание учащихся

• Ч. К. Сари, И. Махромах, Н. Утами, Закия Закия

• Математика

  , 6-8 августа 2019 г., Макассар, Индонезия

• 2019

Определенный интеграл является частью обязательного предмета «Интегральное исчисление» для студентов математического образования. Понимание учениками определенного интеграла в качестве будущих учителей математики…

ПОКАЗАНЫ 1–10 ИЗ 41 ССЫЛОК

СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантности Наиболее влиятельные документыНедавность

Модели пределов, которыми владеют студенты, изучающие математический анализ колледжей.

• Стивен Р. Уильямс

• Образование

• 1991

Это исследование документирует понимание 10 студентами колледжа концепции предела и факторов, влияющих на изменения в этом понимании. Распространенные неформальные модели предела выявлены среди 10…

Пределы и непрерывность: некоторые представления первокурсников

• J. Bezuidenhout

• Образование

• 2001

Метод исследования, состоящий из письменных тестов и индивидуальных интервью, был введен для изучения понимания первокурсниками фундаментальных концепций исчисления. Шестьсот и…

Понимание студентами основных понятий исчисления: Взаимодействие с графическим калькулятором☆

• А. Лаутен, Карен Дж. Грэм, Дж. Феррини-Манди

• Образование

• 1994

Понимание концепции лимита: Начиная с координированной схемы процессов

• J. Cottrill, E. Dubinsky, D. Nichols, Keith Schwingendorf, Karen Thomas, D. Vidakovic

• .

Понимание первокурсниками скорости изменений

• J. Bezuidenhout

• Образование

• 1998

Для изучения понимания студентов-первокурсников использовался метод исследования, состоящий из письменных тестов и интервью. основных понятий исчисления. Анализ письменных и устных ответов…

О двойственной природе математических понятий: размышления о процессах и объектах как о разных сторонах одной медали алгоритмы в математическом мышлении. В исследовании применяется комбинированное онтолого-психологическое мировоззрение. Анализ…

Развитое математическое мышление

• Д. Толл

• Математика

• 1994

Предисловие. Введение. 1. Психология развитого математического мышления Д. Талл. I: Природа развитого математического мышления. 2. Расширенные процессы математического мышления Т. Дрейфус. 3.…

Обучение через решение проблем.

• Х. Мюррей, А. Оливье, Питер Г. Хуман

• Образование

• 1998

Введение К 1988 году наша группа завершила несколько исследований понимания учащимися определенных понятий до, во время и после обучения . Этот опыт привел нас к проведению двух…

Рефлексивная абстракция в продвинутом математическом мышлении

• Э. Дубинский

• Образование

• 2002

Наша цель в этой главе состоит в том, чтобы показать, что концепция рефлексивной абстракции может быть мощным инструментом в изучении математической абстракции. думая, что это может обеспечить теоретическую основу…

Концептуальные знания в области начального исчисления

• П. Уайт, М. Митчелмор

• Информатика

• 2007

Особенностью всей продвинутой математики является потребность в абстрактных понятиях, т. е. понятиях, образованных в процессе абстрагирования, что является особенностью продвинутых понятий в том, что они Пол Уайт и Майкл Митчелмор 81 основаны на нескольких повторения.

Предельное определение, непрерывность и производные

Вычисление 1, лекции с 8А по 11

График разности частных для вычисления производной при наличии устранимого разрыва (отверстия) в точке . Предел все еще существует, так что .

Графики с дырками (отсутствующими точками) могут показаться аномалиями — как будто это просто диковинки, которые вряд ли стоит изучать. Однако они возникают в основе дифференциального исчисления.

Предельное определение производной естественным образом приводит к рассмотрению функции, график которой имеет дыру. Предположим, что

— это функция, определенная рядом с числом . Производная at представляет собой число, записанное как . Он определяется следующим определением предела, если он существует:

Поскольку число

фиксировано, выражение определяет функцию переменной . Поскольку называется коэффициентом разности, нам имеет смысл вызвать эту функцию и написать .

Поскольку

определяется рядом с номером, отсюда следует, что определяется рядом с номером. Однако обратите внимание, что технически undefined по адресу . Мы говорим, что это определено в «удаленной окрестности» .

Это не обязательно означает, что в графе

есть дыра в точке . Но на примерах мы увидим, что «обычно» у него есть дырка.

Как обычно, я начну с краткого изложения некоторых моих лекций по математическому анализу в Вефильском университете осенью 2019 года. предыдущий абзац.

Лекции 8A и 8B

В лекциях 8A и 8B я подробно расскажу о различных специальных функциях и их графиках. Я рассматриваю синусоидальные функции, обратные тригонометрические функции, полиномиальные функции и степенные функции в лекции 8А.

Исчисление 1, лекция 8A: Mathematica, длина дня как синусоида, обратные тригонометрические функции, полиномы, степенные функции

Статистическое моделирование данных является фундаментальной частью науки о данных. Я беру данные о продолжительности светового дня в Миннеаполисе, штат Миннесота, в 2019 году и моделирую их с помощью синусоидальной функции. Я отмечаю, что, хотя синусоидальная функция неплохо справляется с моделированием данных, она не совсем идеальна, поскольку остатки имеют закономерность. Более идеально, если остатки представляют собой случайно распределенные числа с центром в нуле.

Далее я просматриваю графики обратных тригонометрических функций. Наконец, я обсуждаю графики и свойства полиномиальных и степенных функций.

Устранимые разрывы («дыры») для рациональных функций

Основное внимание в лекции 8B уделяется степенным функциям и рациональным функциям. На самом деле именно в контексте рациональных функций я впервые обсуждаю функции с дырками в своих графиках. Эти отверстия соответствуют разрывам, которые я называю «устранимыми». Фраза «устранимый разрыв» действительно имеет официальное определение.

Исчисление 1, Лек. 8B: Степенные функции, рациональные функции, асимптоты, устранимые разрывы, пределы

Для рациональных функций устранимые разрывы возникают, когда числитель и знаменатель имеют общие множители, которые можно полностью сократить. Например, пример, который я рассматриваю в лекции, это

. Я делю числитель и знаменатель, чтобы получить .

Отсюда после факторизации следует, что

. Но эта формула верна только при . Если , исходная формула не определена . С другой стороны, упрощенная формула определяется при .

На самом деле упрощенная функция непрерывна по адресу

. Следовательно, исходная функция должна иметь дырку на графике в точке . Этот график показан ниже.

Граф имеет дыру в точке . Причина в том, что она равна функции, когда . Но непрерывно при .

Каковы координаты пропавшей точки? Первая координата конечно

. Вторая координата – это значение упрощенной формулы при . Это значение равно . Это то же самое, что и предел этой функции при приближении к 4.

Точное определение предела, которое обсуждается ниже в лекциях 9 и 10, гарантирует существование предела этой функции при приближении

к 4.

Лекции 9A и 9B

В этих лекциях предельное определение иллюстрируется сначала примерами, а затем точным определением и доказательством.

Примеры рациональных функций с дырками и скачком разрыва Пример

В лекции 9А я рассматриваю три примера рациональных функций с устранимыми разрывами. Кроме того, я исследую предел

как .

Расчет 1, Лек 9А: Пределы рациональных функций (асимптоты, устранимые разрывы) и Abs(x)/x

Для каждой из рассматриваемых мною рациональных функций общий множитель вида

полностью сокращен. Поэтому, несмотря на то, что эти функции не определены при , предел существует. Вертикальных асимптот в этих точках нет.

Также обсуждаются лимиты

. Ключ к обнаружению этих пределов основан на относительных размерах степеней числителя (вверху) и знаменателя (внизу) данной рациональной функции.

Если степень числителя больше степени знаменателя, то горизонтальных асимптот нет. Затем необходимо выполнить полиномиальное длинное деление, чтобы найти любые наклонные асимптоты или изогнутые асимптоты.

Если степень числителя равна степени знаменателя, то горизонтальная асимптота приходится на

, где – отношение коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе.

Наконец, если степень числителя меньше степени знаменателя, то существует горизонтальная асимптота

(ось -).

С другой стороны, функция

имеет «разрыв скачка» при . Его выход – когда . Но его выход – это когда . Следовательно, односторонние пределы различны. Правый предел равен . Но левый предел равен . Следовательно, двустороннего предела не существует. Это связано с тем, что двусторонний предел будет существовать тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределы.

Точное определение предела и доказательство

В лекции 9B я даю точное (строгое) определение предела и использую его в доказательстве. Прежде чем делать эти вещи, я также изучаю график функции «пола» (наибольшего целого числа)

. Эта функция обычно обозначается как на многих калькуляторах.

Расчет 1, Лек. 9B: Пределы функции пола, Точное определение предела, Доказательство предела, Непрерывность

Точное определение предела довольно сложно понять. Если вы не понимаете этого сначала, вы в хорошей компании. На самом деле даже Ньютон и Лейбниц не знали об этом определении в конце 1600-х и начале 1700-х годов. Как и великие математики остальной части 1700-х годов. Только к середине 1800-х годов Коши и Вейерштрасс по-настоящему уловили это.

Вот он во всей красе. Пусть

будет функцией, определенной рядом с , , но не обязательно с (на графике может быть дыра). Мы говорим, что если выполняется следующее условие. Для всех чисел (сколь угодно малых) существует число (выбранное достаточно малым), так что если , то .

Понимание определения точного предела

Размышляя над этим определением, важно рисовать графики в различных обстоятельствах. Также важно понимать, что для любых двух чисел

и , количество – это расстояние между и вдоль числовой прямой.

Я обсуждаю эти вещи в лекции 9B, а также делаю пример доказательства, основанный на этом определении. Потратьте время, чтобы внимательно посмотреть его, чтобы помочь вам понять его.

В лекциях 10A и 10B я просматриваю приведенное выше определение предела и включаю анимацию Mathematica. Я также обсуждаю, как это связано с непрерывностью, и в конечном итоге привожу предельное определение производной.

Анимация показана ниже для

, и . Пока он достаточно мал, входные данные между синими линиями приведут к выходным данным между красными линиями. Это равносильно тому, что если , то .

Анимация для иллюстрации определения предела, подтверждающего, что . Для можно выбрать достаточно малое, так что если , то . Если бы были еще меньше, то можно было бы выбрать еще меньше.

Лекции 10A, 10B и 11

Можно с достаточной точностью сказать, что эти три лекции составляют краеугольный камень дифференциального исчисления.

Прежде чем рассмотреть точное определение предела в лекции 10А, я посвящу некоторое время обсуждению того, как возникают рациональные функции в приложениях. В частности, я рассматриваю ставку доходности заявки на облигацию из лекции 6А (см. также пост «Преобразования функций»).

Расчет 1, Урок 10A: Применение рациональных функций, определение предела, непрерывность, типы разрывов

Затем просматривается точное определение предела вместе с анимацией Mathematica для его иллюстрации.

Непрерывные и прерывистые функции

Затем исследуется непрерывность. Как только определение предела установлено, определить непрерывность в точке несложно.

Пусть

будет функцией, определенной как в , так и рядом с числом . Мы говорим, что непрерывно в, если . Функция называется непрерывной в своей области определения, если она непрерывна в каждой точке (числе) своей области определения.

Способы, которыми функция может быть прерывистой

Далее я исследую способы, которыми функция может быть прерывистой в точке (числе)

. По сути, это может произойти тремя способами, хотя причину № 1 можно считать несколько «фальшивой».

1. Функция не определена в .
2. Функция определена в . Но не существует.
3. Функция определена в и существует. Но .

Причина № 2 обычно возникает либо из-за разрыва скачка, либо из-за вертикальной асимптоты.

Однако есть более интересный способ, как это может произойти. Функция может бесконечно часто колебаться с незатухающей амплитудой по мере приближения

к . Самый «известный» пример — функция, определяемая операторами when и . Ниже показан график этой функции в небольшом окне рядом.

График, определяемый когда и . Он колеблется бесконечно часто с постоянной амплитудой, равной 1, на любом крошечном интервале с центром в , каким бы малым он ни был.

Убедитесь, что вы нашли время подумать о почему график выглядит именно так. Посмотрите, сможете ли вы привести строгие аргументы в пользу того, почему около

существует бесконечно много колебаний.

Алгебраические свойства пределов и непрерывных функций и предельное определение производной

В лекции 10B я рассказываю о полезных алгебраических свойствах пределов и непрерывных функций. Я также привожу предельное определение производной.

Расчет 1, Урок 10B: Свойства пределов и непрерывных функций, Предельное определение производной

Линейность пределов и непрерывность

Два алгебраических свойства подпадают под общее описание «линейности». Линейность часто считается свойством определенных физических систем. Однако у него есть и математическое описание.

Например, следующее уравнение линейности верно, если предположить, что все пределы существуют. На словах это говорит о том, что пределом линейной комбинации функций является соответствующая линейная комбинация их пределов.

Существует соответствующее свойство линейности в отношении непрерывных функций, истинность которого следует из приведенного выше свойства предела. Это свойство: если

и обе непрерывны при и и являются константами, то функция также непрерывна при . Обратите внимание, что функция определяется уравнением .

Предельное определение производной

Средняя скорость изменения функции

на интервале от до . Это представляет собой наклон так называемой секущей линии, соединяющей точки и .

По мере того, как

становится все ближе и ближе к нулю, это становится скоростью изменения на все меньшем и меньшем интервале. Интуитивно, как , он должен приближаться к т.н. мгновенная скорость изменения при . Это значение производной as , обозначаемое . Он также определяет наклон касательной к графику в точке .

Запишем следующее уравнение, когда рассматриваемый предел существует. Как указано во введении, это предельное определение производной.

Если

фиксировано и рассматривается как переменная, то коэффициент разности является функцией . Также, как указано во введении, это эта функция, график которой обычно имеет дыру в точке . Некоторые примеры будут рассмотрены ниже.

Производная функции квадратного корня и повторение экзамена 1

Основная часть лекции 11 — это повторение экзамена 1 для моего класса в Вефильском университете. Однако в самом начале я уделил время тому, чтобы подчеркнуть превосходство символического подхода к производным по сравнению с числовыми и графическими приближениями.

Calc1, Lec 11: Производная Sqrt(x) при x = 4 с графиками и определением предела, повторение для экзамена 1

Производная функции квадратного корня

Рассматриваемая функция

и рассматриваемая точка . В этом случае, . Производная, которую мы ищем, равна . Этот предел по определению представляет собой наклон касательной к графику в точке .

В «широком» окне функция разности частных

выглядит довольно «обычной», и может показаться, что на ее графике есть обычная дыра в точке . По этой картинке кажется, что . Это действительно так, но второй график ниже заставит нас усомниться в этом.

График . Кажется, что у него есть устранимый разрыв при . По предельному определению производной, примененному к при , оказывается, что .

Следующий график показывает нарисованное Mathematica изображение этой функции в окне, которое очень близко к нулю. Числовая ошибка делает этот график неровным. Это , а не действительно зубчатые, как это, кажется, подразумевается. Также обратите внимание, что выходные значения настолько близки к 0,25, что Mathematica перенумеровывает это число в различных точках по вертикальной оси. Здесь определенно что-то не так.

Увеличенная версия графика . Сейчас кажется, что не существует. Однако это ложное впечатление. Этот график неточен из-за ошибки численных вычислений.

Символический подход лучше

Символический подход к доказательству того, что

устраняет путаницу, вызванную приведенным выше графиком. Однако вычисление включает в себя прием, который не очевиден. Мы должны рационализировать числитель дроби, определяющей .

Вот расчет. Равенство выражений

и когда требуется для того, чтобы сказать, что пределы одинаковы (при условии, что они существуют). Непрерывность выражения at требуется для окончательной замены.

Другие примеры

Давайте закончим рассмотрением еще пары примеров, иллюстрирующих главное. Суть в том, что

обычно имеет дыру в графике на . Другими словами, он имеет устранимый разрыв, потому что существует. Это эквивалентно существующей производной.

В этих примерах ничего странного не происходит, когда технология используется для построения графика

.

Производная функции куба

Пусть

. Что ? Давайте сначала вычислим и упростим . Вот соответствующий расчет.

Последнее равенство верно до тех пор, пока

.