Лимиты алгебра: Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Когда мы ищем lim _{x → c} f (x) и вставляем c для x , получаем неопределенное выражение для f (c) :

Это неопределенное выражение: Определить , если оно дает нам достаточно информации, чтобы определить предельное поведение f (x) ВОКРУГ x = c , без дополнительных вычислений.(например, a / 0 для a ≠ 0)

Это неопределенное выражение – неопределенное , если существует более одного возможного типа поведения предела f (x) ВОКРУГ x = c , которое могло бы произвести это конкретное неопределенное выражение. Другими словами, неопределенная форма не дает нам достаточно информации, чтобы определить поведение f (x) Вокруг x = c , и поэтому нам придется провести дальнейшие вычисления, чтобы понять это.(например, 0/0)

Осторожно! Обратите внимание, что эти определения имеют значение только при вычислении лимита. Если я просто решаю задачу по алгебре и получаю в качестве ответа / 0 или 0/0, моим окончательным ответом на эту проблему будет просто проблема undefined . В этом контексте было бы неправильно говорить что-либо о детерминированных или неопределенных формах, потому что я не рассчитываю предел!

Теперь давайте вернемся к еще нескольким примерам, которые дают нам другие неопределенные выражения при вычислении f (c) , и давайте посмотрим, сможем ли мы определить, какие неопределенные значения для f (c) являются неопределенными по сравнению с определенными формами!

Пример 5: Когда

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида b / ± ∞ (т. Е.е. дробь, где верхнее число – некоторое фиксированное значение, а нижнее – бесконечность):

В этом случае f (x) → 0 при x → -∞, потому что f (x) приближается, поскольку величина x неограниченно растет. Другими словами, когда x неограниченно уменьшается (т.е. становится все более и более отрицательным), числитель f (x) становится очень близким к 3, а величина знаменателя становится все больше. Если мы разделим числа, произвольно близкие к 3, на отрицательные числа все большей величины, в результате мы получим отрицательные числа все меньшей величины.Таким образом, мы получаем числа, которые все ближе и ближе к нулю. В результате мы можем записать f (x) → 0 как x → -∞ .

Пример 6: Когда

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / b (т.е. дробь, в которой нижнее число является некоторым фиксированным значением, а верхнее – бесконечностью):

В этом случае f (x) → + ∞ при x → + ∞, потому что f (x) приближается, когда величина x неограниченно растет.Другими словами, по мере неограниченного увеличения x знаменатель f (x) становится очень близким к 0, а величина числителя становится все больше. Если мы разделим положительные числа, которые имеют все большую величину, на положительные числа с все меньшей величиной (то есть близкие к нулю), в результате мы получим положительные числа со все большей величиной. В результате мы можем записать f (x) → + ∞ как x → + ∞ .

Пример 7: Когда

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , мы сначала получим выражение вида ± ∞ / ± ∞, но после использования алгебры для замены f (x) аналогичным выражением, которое является тем же самым при x → -∞ мы сможем вычислить фактический предел.В этом случае этот предел окажется нулевым.

В этом случае f (x) приближается к ∞ / -∞, поскольку x приближается к -∞. Другими словами, по мере неограниченного роста величины x величины как в числителе, так и в знаменателе f (x) становятся все больше. Этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о пределе, потому что деление чисел все большей величины на другие числа все большей величины может дать ряд различных результатов: это зависит от того, насколько «велика» величина числителя. в сравнении со знаменателем ! И мы еще ничего не знаем об отношении между числителем и знаменателем.

Итак, в этом случае нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) как x → -∞ (но не обязательно везде ) . Для этого мы спрашиваем себя, есть ли какая-нибудь алгебра, которую мы могли бы использовать, чтобы переписать f (x) без изменения его значения на отрицательные значения x с особенно большой величиной. В этом случае проблема заключается в том, что в есть x и числитель, и знаменатель : это означает, что всякий раз, когда мы подставляем -∞ для x , мы неизбежно получим знак бесконечности в и числитель и знаменатель.Поэтому нам нужно подумать о том, что мы можем сделать, чтобы «переписать» f (x) так, чтобы мы могли избавиться от x либо в числителе, либо в знаменателе. Это изменило бы форму, которую мы получаем при вычислении f (c) из неопределенной формы ± ∞ / ± ∞ в определенную форму, которая является либо b / ± ∞, либо ± ∞ / b, и мы знаем это и это.

Итак, чтобы сделать это, мы начнем с того, что заметим, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «сократить» степени x в числителе, чтобы не дать числителю стремиться к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Эту проблему можно решить несколькими способами.Метод, использованный выше, является всего лишь одним примером, но предел также можно найти другим способом, используя аналогичный алгебраический метод, но на этот раз делением на наибольшую степень x в целом, вместо просто наибольшей степени x в числителе. Обратите внимание, что оба метода работают одинаково хорошо, помогая нам найти предел, давая нам одинаковые ответы в обоих случаях:

Пример 8: Когда

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последнем примере, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с подобным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы сможем вычислить фактический предел.Этот лимит окажется 2.

Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к ∞ / ∞, поскольку x приближается к -∞. Как и раньше, поскольку величина x неограниченно растет, величины как числителя, так и знаменателя f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.

Так же, как и в последней задаче, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) , как x → -∞, и снова мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x ² : Итак, как и в последнем примере, если бы мы разделили все в числителе и знаменателе на x ² , мы могли бы «отменить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к бесконечности, когда мы подставляем -∞ для x :

Пример 9: Когда

В этом примере, когда мы вычисляем f (c) , как и в последних двух примерах, мы сначала получим выражение в форме ± ∞ / ± ∞, но на этот раз после использования алгебры для замены f (x) с аналогичным выражением, которое совпадает с x → -∞, мы найдем, что f (x) → -∞ при x → -∞.

Аналогично последнему примеру, f (x) приближается к -∞ / ∞, поскольку x приближается к -∞. Как и раньше, поскольку величина x неограниченно растет, величины как числителя, так и знаменателя f (x) становятся все больше, и, опять же, этой информации недостаточно, чтобы сделать какие-либо выводы о limit, потому что мы еще ничего не знаем о соотношении между числителем и знаменателем.

Итак, как и в последних двух задачах, нам нужно найти способ заменить f (x) на аналогичную функцию, которая будет такой же, как f (x) при x → -∞, и снова используя тот же подход, что и в этих задачах, мы замечаем, что наибольшая степень x в числителе равна x ³ : Итак, как и в последнем примере, если бы мы все разделили в числителе и знаменателе на x ³ , мы могли бы «сократить» степени x в числителе с целью удержать числитель от стремления к (отрицательной) бесконечности, когда мы вставляем in -∞ для x :

Какой узор в данном случае больше?

Пять примеров, которые мы только что рассмотрели, показали нам, что:

• Когда f (c) = b / ± ∞, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → 0 как x → c , потому что деление относительно фиксированного значения числами увеличивающейся величины приводит к числам, которые становятся все ближе к нулю.

• Когда f (c) = ± ∞ / b, то этой информации достаточно, чтобы сказать нам, что f (x) → ± ∞ при x → c , потому что деление значения на -увеличение величины со значением, которое остается относительно фиксированным, приводит к числам все большей и большей величины, и мы можем получить число любой величины в результате, сделав величину числителя достаточно большой.

• Когда f (c) = ± ∞ / ± ∞, то этой информации НЕ достаточно, чтобы рассказать нам что-либо о том, что происходит с f (x) при x → c , потому что это не расскажите нам что-нибудь о соотношении между числителем и знаменателем .Мы знаем, что величины числителя и знаменателя неограниченно растут, но мы не знаем, растут ли они примерно с одинаковой скоростью (и, следовательно, отношение числителя к знаменателю остается относительно фиксированным), или если величина одного из них растет «намного быстрее» другого (и поэтому отношение числителя к знаменателю либо сокращается до нуля, либо неограниченно увеличивается / уменьшается).

  В этом случае мы должны использовать алгебру, чтобы заменить f (x) на аналогичную функцию (то же самое, что и f (x) ВОКРУГ, но не обязательно AT x = c ) , которая НЕ даст нам ± ∞ / ± ∞, когда мы подключим c для x .

До сих пор мы рассматривали две категории детерминантных и неопределенных форм:

1. a / 0, где a ≠ 0, является определенной формой, которая стремится к ± ∞, а 0/0 – неопределенной формой.

2. b / ± ∞ – определенная форма, которая стремится к 0; ± ∞ / b – детерминантная форма, стремящаяся к ± ∞; а ± ∞ / ± ∞ – неопределенная форма.

Но это не единственные два примера форматов, которые производят определяющие и неопределенные формы.Есть ряд других детерминантных и неопределенных форм, с которыми мы столкнемся, пытаясь решить предельные задачи алгебраически. Вот таблица, в которой показаны все определяющие и неопределенные формы:

Справочная таблица: неопределенные и определенные формы

Осторожно! Отметим, что , когда в выражении есть символ ± более чем в одном месте, ± не обязательно означает одно и то же в обоих местах! Например, если у нас есть a · ± ∞ → ± ∞, знак ± слева от стрелки и ± справа от стрелки могут иметь разные знаки: если a отрицательно, они будут иметь противоположные знаки, например.

Итак, каждый раз, когда мы вычисляем f (c) , подключая c для x , когда наша цель действительно найти предел f (x), поскольку x приближается к c, мы знаем, что если результат находится в списке неопределенных форм выше, нам нужно будет проделать больше работы, прежде чем мы сможем вычислить предел (обычно путем перестановки f (x) с использованием некоторой алгебры). Однако, если выражение, которое мы получаем для f (c) , находится в списке определяющих форм, мы уже знаем, каким будет предел f (x) , поскольку x приближается к c .

Но мы не хотим просто использовать этот список вслепую! Если мы просто ищем значения в этом списке, не понимая, почему выражения слева являются неопределенными, а выражения справа являются определяющими, мы, вероятно, в какой-то момент сделаем ошибку и применим эти идеи неправильно. Более того, нам гораздо легче понять, почему каждая из этих форм является определяющей или неопределенной, чем просто запомнить список, не понимая его. Легко забыть список выражений, которые мы заучили, но гораздо труднее забыть идею, которую мы действительно понимаем.Итак, , я настоятельно рекомендую вам убедиться, что вы понимаете, как объяснить своими словами, почему каждая из этих форм является либо неопределенной, либо определяющей (и если она является определяющей, то каково будет значение лимита).

Мы уже рассмотрели примеры и обсудили, как мы классифицировали первые две строки таблицы как определяющие или неопределенные, поэтому теперь давайте рассмотрим некоторые другие выражения:

В чем разница между ∞ – ∞ и ∞ + ∞?

В третьей строке нашей таблицы мы замечаем, что ∞ – ∞ (или -∞ + ∞) неопределенно, а ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) является определяющим. Почему это так? Давайте подумаем об этом, а затем разработаем несколько предельных примеров.Мы можем видеть, что ∞ + ∞ должно стремиться к ∞, потому что сложение двух значений, оба из которых неограниченно увеличиваются, просто даст нам третье значение, которое также неограниченно увеличивается. (Точно так же -∞ – ∞ даст нам что-то неограниченно убывающее.)

Однако, если мы подумаем о ∞ – ∞, мы увидим, что мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым значением:

• Может случиться так, что величина первого значения увеличивается «намного быстрее», чем второе значение, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к + ∞.

• Может случиться так, что величина второго значения увеличивается «должно быстрее», чем первое значение, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к -∞.

• Или может случиться так, что величины как первого, так и второго значений увеличиваются «примерно с одинаковой» скоростью, и в этом случае ∞ – ∞ будет стремиться к 0 или какому-либо другому фиксированному значению.

Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении ∞ – ∞, мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) около x = c.

Это также легко представить себе графически: мы можем думать о выражении ∞ – ∞ как об описании двух графиков (один график для первого члена и один для второго члена), каждый из которых неограниченно возрастает, а затем ∞ – ∞ обозначает расстояние между двумя графиками при приближении x c. Если первый и второй график представляют собой две параллельные линии с положительным наклоном, каждая линия будет неограниченно расти как x → ∞, но расстояние между двумя линиями останется фиксированным как x → ∞.Однако, если одна из этих линий круче другой, расстояние между двумя линиями увеличится до x → ∞.

Давайте рассмотрим несколько разработанных примеров для этих различных случаев детерминантной формы ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) и неопределенной формы ∞ – ∞:

Пример 10: Когда

Пример 11: Когда

Мы замечаем, что в этом случае величина первого члена растет «быстрее», чем величина второго члена.

Пример 12: Когда

Мы замечаем, что в этом случае величина второго члена растет «быстрее», чем величина первого члена.

Пример 13: Когда

Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

Пример 14: Когда

Мы замечаем, что в этом случае величины первого и второго членов растут примерно с «одинаковой» скоростью.

Теперь, когда мы исследовали детерминантную форму ∞ + ∞ (или -∞ – ∞) и неопределенную форму ∞ – ∞, давайте рассмотрим различные случаи детерминантной формы a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞, а неопределенная форма 0 · ± ∞:

В чем разница между 0 · ± ∞ и двумя случаями

В четвертой строке нашей таблицы мы замечаем, что 0 · ± ∞ является неопределенным, а a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ – определяющими – почему это так? Мы видим, что a · ± ∞ и ± ∞ · ± ∞ должны стремиться к ± ∞, потому что умножение двух значений вместе, оба из которых имеют неограниченно возрастающие величины, просто даст нам третье значение, величина которого также увеличивается. без ограничений (хотя его знак будет зависеть от знаков двух множителей, умноженных вместе).

Однако, если мы подумаем о 0 · ± ∞, мы увидим, что сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между первым и вторым факторами:

• Может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «намного быстрее», чем величина второго фактора увеличивается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к нулю. Например, подумайте о следующих последовательностях значений, и посмотрим, что произойдет, если мы умножим каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

• Может случиться так, что величина второго фактора увеличивается «должно быстрее», чем величина первого фактора уменьшается, и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к ± ∞.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

• Или может случиться так, что величина первого фактора уменьшается «примерно с той же скоростью, что и величина второго фактора», и в этом случае 0 · ± ∞ будет стремиться к некоторому другому фиксированному значению.Например, подумайте о следующих последовательностях значений и подумайте, что происходит, когда мы умножаем каждое из их членов вместе:

  Умножение каждого члена из первой последовательности на каждый член из второй последовательности дает:

Итак, пока мы не узнаем больше о соотношении между первым и вторым значением в выражении 0 · ± ∞, мы не знаем, какой вывод о предельном поведении f (x) при x → г.

Мы еще не обсуждали последние три строки таблицы, в которой перечислены неопределенные и определенные формы. У нас есть несколько минут, чтобы обрисовать идеи, лежащие в основе каждой из этих форм, но мы оставим это занятие в качестве дополнительной награды, чтобы вы могли привести конкретные примеры каждой из этих различных форм. Позже в семестре мы столкнемся с некоторыми проблемами пределов, которые дадут эти детерминированные и неопределенные формы, но обычно нам потребуются более сложные инструменты для решения этих проблем с ограничениями, и мы еще не знакомы с этими инструментами.(Тем не менее, используя графики или метод проб и ошибок, вы можете найти примеры проблем с ограничениями, которые включают одну из этих последних трех неопределенных форм.)

Неопределенные формы 0

Давайте начнем с рассмотрения, почему 0 ⁰ является неопределенным, а 0 ^{± ∞} является определяющим – почему это так? Мы можем видеть, что 0 ^{± ∞} должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого значения, величина которого постоянно уменьшается сама по себе, во все большее и большее количество раз, просто даст нам третье значение, величина которого также бесконечно уменьшается (т.е. стремится к 0).

Однако, если мы подумаем о 0 ⁰ , мы увидим, что мы столкнулись с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:

• Может случиться так, что величина основания уменьшается «намного быстрее», чем величина показателя степени, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к нулю (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на нуле, в то время как экспонента стремится к нулю).

• Может случиться так, что величина показателя степени уменьшается «намного быстрее», чем величина основания, и в этом случае 0 ⁰ будет стремиться к 1. (Подсказка: подумайте о функции, в которой основание стремится к нулю, а величина экспонента остается неизменной на нуле).

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 0 ⁰ , мы не знаем, что делать выводы о предельном поведении f (x) как х → ок.

Небольшое примечание об этом примере для тех, кому интересно: 0 ⁰ на самом деле не является неопределенным, потому что, если вы посмотрите вокруг, вы можете найти некоторые доказательства, которые показывают, что 0 ⁰ = 0. Однако это не t действительно имеет отношение к нашему изучению исчисления, потому что даже если 0 ⁰ не является неопределенным, когда мы что-то вычисляем точно, когда мы находим предел f (x) , мы не получаем 0 ⁰ точно; вместо этого мы пытаемся определить, каково поведение f (x) , поскольку оно стремится к 0 ⁰ , что является еще одним способом спросить, к какому значению приближается степень, поскольку и ее основание, и ее показатель стремятся к нулю (и мы не можем ответить на этот вопрос, если мы не знаем взаимосвязь между скоростью, с которой база стремится к нулю, и скоростью, с которой показатель степени стремится к нулю).

Неопределенные формы 1

Теперь давайте рассмотрим, почему 1 ^{± ∞} является неопределенным, а c ^{± ∞} (для c ≠ 1 и c > 0) является определяющим – почему это так?

Мы видим, что когда c > 1, c ^∞ должно стремиться к ∞, потому что умножение некоторого положительного значения больше единицы на само по себе все большее и большее количество раз даст нам все большие и большие значения (и мы можно получить любое значение, просто сделав экспоненту настолько большой, насколько нам нужно для этого).Мы можем видеть, что когда 0 < c <1, c ^∞ должно стремиться к 0, потому что умножение некоторого положительного значения меньше единицы на себя все большее и большее количество раз даст нам значения с все меньшими и меньшими величинами. (или значения, которые все ближе и ближе к нулю).

В связи с этим мы можем видеть, что когда c > 1, c ^-∞ должно стремиться к 0, потому что c ^-∞ на самом деле составляет всего 1/ c ^∞ , и мы уже известно, что c ^∞ → ∞ (когда c > 1) и 1 / ∞ → 0.Точно так же, когда 0 < c <1, c ^-∞ должно стремиться к ∞, потому что c ^-∞ на самом деле просто 1/ c ^∞ , и мы уже знаем, что c ^∞ → 0 (когда 0 < c <1) и 1/0 → ∞ (когда знаменатель положительный, как здесь, потому что он приближается к 0 с положительной стороны).

Однако, если мы подумаем о 1 ^{± ∞} , мы увидим, что сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что мы не знаем отношения между основанием и экспонентой:

• Может случиться так, что величина основания стремится «намного быстрее» к 1, чем величина экспоненты стремится к бесконечности, и в этом случае 1 ^{± ∞} будет стремиться к 1.(Подсказка: подумайте о функции, в которой основание остается фиксированным на единице, а показатель степени стремится к плюсу или минусу бесконечности).

• Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ^∞ будет стремиться к ∞.

• Может случиться так, что показатель степени стремится к положительной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ^∞ будет стремиться к 0.

• Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с положительной стороны, так что значения в основе больше 1: в данном случае 1 ^-∞ будет стремиться к 0 (потому что 1 ^-∞ на самом деле всего 1/1 ^∞ , а когда база меньше 1, 1/1 ^∞ → 1 / ∞ → 0).

• Может случиться так, что показатель степени стремится к отрицательной бесконечности «намного быстрее», чем основание стремится к 1, и что основание приближается к 1 с отрицательной стороны, так что значения в основе меньше 1: в данном случае 1 ^-∞ будет иметь тенденцию к ∞ (потому что 1 ^-∞ на самом деле всего 1/1 ^∞ , а когда основание меньше единицы, 1/1 ^∞ → 1/0 → ∞).(Мы знаем, что 1/0 → ∞ вместо -∞ в этом случае, потому что 1 ^∞ приближается к нулю с положительной стороны.)

Как и в других примерах, пока мы не узнаем больше о соотношении между показателем степени и основанием в выражении 1 ^{± ∞} , мы не знаем, что сделать вывод о предельном поведении f (x) как x → c.

Мы можем использовать аналогичные рассуждения, чтобы лучше понять неопределенные формы ∞

Чтобы закончить эту лекцию, давайте рассмотрим еще несколько примеров, в некоторых из которых используются методы, которые мы не использовали в предыдущих примерах задач.

Еще несколько примеров предельных задач, которые могут быть решены алгебраически:

Пример 15: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0

Для этого уравнения прямая замена c на f (x) снова даст нам 0/0, которое не определено. Однако, хотя a / 0 не определено для всех значений a, дробь, где верхняя часть остается фиксированной на ненулевом значении и где нижняя часть приближается (но не достигает) к нулю, фактически приближается к положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знаков числителя и знаменателя).Чтобы определить, где f (x) может увеличиваться по сравнению с неограниченным уменьшением (т.е. должен ли бесконечность иметь положительный или отрицательный знак перед собой), мы должны рассматривать каждый односторонний предел отдельно:

Найдите предел f (x) , поскольку x приближается к 0:

Пример 16: Использование факторинга для исключения неопределенной формы 0/0 с различиями в пределе, когда мы оцениваем его слева и справа

Эта функция аналогична последней функции; однако мы замечаем, что на этот раз правый и левый пределы различаются по знаку / направлению:

Пример 17: Использование деления на степень

Эта функция аналогична примерам 7, 8 и 9, за исключением того, что здесь необходим модифицированный метод, чтобы переписать уравнение так, чтобы его можно было вычислить путем подстановки.На этот раз, из-за наличия корня в числителе, мы должны разделить на квадратный корень из x ² , и, поскольку это всегда будет положительным значением, мы должны быть особенно осторожны, чтобы отслеживать знаки:

Нет причин, по которым наш предел должен быть отрицательным, поскольку x становится «более отрицательным» (т. Е. Как x → – ∞) или что он должен быть положительным, поскольку x становится «более положительным». “(я.е. как x → + ∞). Например, у нас может быть противоположный случай, как в функции, представленной на следующем графике:

Пример 18: Использование подстановки для оценки предела, который нельзя оценить с помощью одного из предыдущих методов

И, наконец, у нас есть функция, которая имеет колеблющееся поведение около x = c , и поэтому для вычисления предела здесь алгебраически мы разбиваем задачу на два отдельных вопроса о пределе:

зум

На этом этапе мы должны быть в состоянии найти все виды ограничений, глядя на график функции или алгебраически манипулируя уравнением для функции!

И мы также должны быть в состоянии объяснить, почему некоторые неопределенные значения, которые мы получаем при вычислении f (c) , являются определяющими, а другие – неопределенными

Алгебра пределов – Учебный материал для IIT JEE

Мы уже обсуждали понятие предела функции.

Пусть f – функция, определенная на открытом интервале, содержащем точку «c» (кроме, возможно, точки c), и предположим, что «L» – действительное число.

Тогда говорят, что функция f стремится к пределу L, записанному как lim x → c f (x) = L, если для каждого ∈> 0 существует такое δ> 0, что для всех x, удовлетворяющих 0 <| х - с | <Δ, имеем | f (x) - L | <∈ или символически, мы можем определить его как

∀ ∈> 0, ∃ a δ> 0 такое, что 0 <| x - c | <Δ ⇒ | f (x) - L | <∈.

В этом разделе мы в основном обсудим понятие алгебры пределов и различные важные результаты

Предположим, что lim _{x → a} f (x) = α и lim _{x → a} g (x) = β, тогда, если оба α и β существуют, то мы можем определить следующие правила:

lim _{x → a} [f (x) + g (x)] = lim _{x → a} f (x) + lim _{x → a} g (x) = α + β

lim _{x → a} [f (x) – g (x)] = lim _{x → a} f (x) + lim _{x → a} g (x) = α – β

lim _{x → a} [f (x).g (x)] = lim _{x → a} f (x) + lim _{x → a} g (x) = α. β

lim _{x → туман} (x) = f (lim _{x → a} g (x)) = f (β), только если f непрерывен при g (x) = β

lim _{x → a} | f (x) | = | lim _{x → a} f (x) | = | α |

lim _{x → a} [f (x)] ^{g (x)} = lim _{x → a} [f (x)] ^{lim _{x → a} g (x)} = α ^β

Если lim _{x → a} f (x) = + ∞ или -∞, то

Если f (x) ≤ g (x) для любого x в окрестности a, то lim _{x → a} f (x) ≤ lim _{x → a} g (x).

Чтобы узнать больше об алгебре пределов, просмотрите следующее видео

Приведенные выше правила применимы только тогда, когда оба lim _{x → a} f (x) и lim _{x → a} g (x) существуют отдельно.

Теперь мы докажем два свойства, остальные части легко доказать, поскольку доказательство всех правил будет проводиться аналогичным образом:

(i) lim _{x → a} (f (x) + g (x)) = lim _{x → a} f (x) + lim _{x → a} г (x)

Для доказательства приведенного выше результата мы выбираем ∈, тогда по определению предела существуют δ ₁ и δ ₂ , оба больше нуля, такие что

Пусть δ = min (δ ₁ , δ ₂ ), тогда по алгебре имеем

| f (x) + g (x) – α – β | = | F (x) – α + g (x) – β |

≤ | f (x) – α | + | g (x) – β |

<∈ всякий раз, когда 0 <| x - α | <δ

Следовательно, lim _{x → a} (f (x) + g (x)) = lim _{x → a} f (x) + lim _{x → a} g (x)

(ii) lim _{x → a} (f (x).g (x)) = lim _{x → a} f (x). lim _{x → a} г (x)

Нам нужно доказать, что для ∀ ∈> 0 существует такое δ> 0, что | f (x) g (x) – αβ | <∈ всякий раз, когда 0 <| x-a | <δ

Теперь | f (x) g (x) – αβ | = | f (x) g (x) – αg (x) + αg (x) – αβ |

<| f (x) g (x) - αg (x) | + | αg (x) - αβ |

= || f (x) – α | | g (x) | + | α | | g (x) – β |

Из определения ∀ ∈> 0, ∃ δ ₁ , δ ₂ > 0 такое, что | f (x) – α | <∈ / 3 | β | всякий раз, когда 0 <| x-a | <δ ₁ где β – верхняя граница g (x) в окрестности x – a

и | g (x) – β | <∈ / 2 | α | всякий раз, когда 0 <| x-α | <δ ₂

Итак, имеем

Теперь | f (x) g (x) – αβ | = || f (x) – α | | g (x) | + | α | | g (x) – β |

<∈ / 3 | β |.3 | β | / 2 + | α | .∈ / 2 | α |

= ∈

Итак, | f (x) g (x) – αβ | <∈ и, следовательно, lim _{x → a} (f (x) .g (x)) = lim _{x → a} f (x). lim _{x → a} г (x).

Если существует lim _{x → a} f (x), то он уникален i.е. не может быть двух различных чисел L ₁ и L ₂ , так что при x → a функция стремится как к L ₁ , так и к L ₂ . Следовательно, если lim _{x → a} f (x) = L ₁ и lim _{x → a} f (x) = L ₂ , , то L ₁ = L ₂ .

1. Метод прямой замены:

Рассмотрим следующие пределы: (i) lim _{x → a} f (x) и (ii) lim _{x → a} φ (x) / Ψ (x).

Если f (a) и φ (a) / Ψ (a) существуют и являются фиксированными действительными числами и Ψ (a) ≠ 0, то мы говорим, что lim _{x → a} f (x) = f (a) и lim _{x → a} φ (x) / Ψ (x) = φ (a) / Ψ (a).

№2. Метод факторизации:

Рассмотрим lim _{x → a} f (x) / g (x). Если путем подстановки x = a, f (x) / g (x) сводится к виду 0/0, то (x – a) является множителем как f (x), так и g (x). Итак, мы сначала факторизуем f (x) и g (x), а затем сокращаем общий множитель, чтобы оценить предел.

3. Метод рационализации:

Этот метод обычно используется в случаях, когда числитель или знаменатель или оба включают выражение, состоящее из квадратных корней, и при подстановке значения x рациональное выражение принимает форму 0/0, ∞ / ∞.

4. Оценка алгебраических пределов на бесконечности:

Мы знаем, что lim _{x → ∞} 1 / x = 0 и lim _{x → ∞} 1 / x ² = 0.

Тогда lim _{x → ∞} f (x) = lim _{y → 0} f (1 / y).

Когда встречается бесконечный предел, то есть ‘0’ в знаменателе при x → a, то либо (x-a) удаляется из числителя и знаменателя, и если это невозможно, то значение предела принимается как бесконечность.Такие ограничения называются неправильными пределами, т.е. lim _{x → ∞} 1 / x ² = ∞.

1. Пусть f x → a f (x) x → a g (x).

2. Теорема о сэндвиче:

Пусть f, g, h – три непрерывные функции такие, что f x → a f (x) = lim _{x → a} h (x) = л.Тогда lim _{x → a} g (x) также существует и равно « l ».

Иллюстрация:

Как показано на рисунке ниже, мы имеем f ≤ g ≤ h.

In (x ₁ , x ₂ ), когда x приближается к a, lim _{x → a} f (x) = lim _{x → a} h (x) = lim _{x → a} g (x) = 1.

3. Если 0 ≤ f ≤ g в открытом интервале, содержащем a и lim _{x → a} g (x) = 0, то lim _{x → a} f (x) существует и равен нулю.

4. lim _{x → a} f (x) = 0 тогда и только тогда, когда lim _{x → a} f (x)

Некоторые важные результаты по лимитам

Ниже приведены некоторые из часто используемых расширений серии:

Используя формулы, оцените следующие

3. lim _{x → 0} | x | / x

(1) Данная функция –

= lim _{x → 0} (3 sin x – 4 sin ³ x) / x

= lim _{x → 0} 3 (sin x / x) – lim _{x → 0} 4 (sin x / x) (sin x) ²

= 3 × 1 – 4 × 1 × 0 = 3.

(2) Данная функция –

?

= lim _{x → 0} (((1 + (- x)) ^{1 / -x} ) ^-1

= 1 / е

Примечание:

Мы знаем, что

√ (x ² ) = | x | = x ∀ x ≥ 0

= -x ∀ x <0

lim _{x → 0 ⁺} | x | / x = lim _{x → 0 ⁺} x / x = lim _{x → 0 ⁺} 1 = 1

Также, lim _{x → 0 ^–} | x | / x = lim _{x → 0 ^–} (-x) / x = lim _{x → 0 ^–} -1 = -1

∴ lim _{x → 0 ⁺} | x | / x ≠ lim _{x → 0 ^–} | -x | / x

∴ lim _{x → 0} | x | / x не существует

Вычислить lim _{x → 2} (x ² – 3x + 2) / (x ² – x – 2).

Пусть f (x) = (x ² – 3x + 2) / (x ² – x – 2)

Сначала предположим, что x → 2 ⁺

т.е. x = 2 + h, h → 0, h> 0

lim _{x → 2 ⁺} f (x)

= lim _{h → 0} f (2 + h)

= lim _{h → 0} ((2 + h) ² – 3 (2 + h) + 2) / ((2 + h) ² – (2 + h) – 2)

= lim _{h → 0} h (1 + h) / h (3 + h) (так как h 0, мы сокращаем h)

= lim _{ч → 0} (1 + ч) / (3 + ч)

= (1 + 0) / (3 + 0) = 1/3

Теперь рассмотрим случай, когда x → 2- i.е. х = 2 – ч, ч → 0, ч> 0

lim _{x → 2 ^–} f (x) = lim _{h → 0} f (2 – h)

= lim _{h → 0} ((2 – h) ² – 3 (2 – h) + 2) / ((2 – h) ² – (2 – h) – 2)

= lim _{h → 0} ((h ² – h) / (h ² – 3h))

= lim _{ч → 0} (ч – 1) / (ч – 3)

= (0 – 1) / (0 – 3) = 1/3

∴ lim _{x → 2 ⁺} f (x) = lim _{x → 2 ^–} f (x) = 1/3

Когда используется термин пределы на бесконечности, это, очевидно, означает оценку предела функций при x → ∞

Например, lim _{x → ∞} 1 / x ² = 0

Термин бесконечный предел означает, что когда x стремится к определенному значению «a».Тогда предел функции стремится к бесконечности, т.е.lim _{x → 2} f (x) = ∞

Оценка предела на бесконечности в задаче решается изменением выражения f (x) на форму g (1 / x). Здесь нам нужно найти значение функции f (x) при x → ∞.

lim _{x → ∞} ((3x – 1) (4x – 2)) / ((x – 8) (x – 1))

lim _{x → ∞} ((3x – 1) (4x – 2)) / ((x – 8) (x – 1))

lim _{x → ∞} ((3 – 1 / x) (4 – 2 / x)) / ((1 – 8 / x) (1 – 1 / x))

Данное выражение изменено с f (x) на форму g (1 / x).

_______________________________________________________________

Для x ∈ R,

( IIT JEE 2000 )

= e ^-5

Примечание:

Когда встречается бесконечный предел i.е. «0» в знаменателе при x → a, тогда либо (x – a) удаляется из числителя и знаменателя, и если это невозможно, то значение предела устанавливается как бесконечность. Такие ограничения называются несобственными пределами, то есть lim _{x → ∞} 1 / x ² = ∞.

1 кв. Если существует lim _{x → a} f (x) .g (x), то

(a) должны существовать оба предела lim _{x → a} f (x) и lim _{x → a} g (x).

(b) хотя бы один из них должен существовать.

(c) ни один из них не может существовать.

(d) ни один из этих

2 кв. Если существует lim _{x → a} (f (x) + g (x)), то

(a) должны существовать оба предела lim _{x → a} f (x) и lim _{x → a} g (x).

(b) если один существует, то другой должен существовать

(c) не может быть предела суммы двух функций

(d) ни один из этих

3 кв.lim _{x → 0} | x | / x

(а) не существует.

(б) существует.

(c) может существовать, а может и не существовать.

(d) ни один из этих

4 кв. lim _{x → a} f (g (x)) = f (lim _{x → a} (g (x)) = f (m)

(а) всегда верно

(b) верно при условии, что f непрерывна при g (x) = m

(c) никогда не может быть правдой

(d) ни один из этих

Q5.lim _{x → 0} (1 + x) ^{1 / x} =?

(а) 1

(б) 0

(c) e

(г) ∞

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по номеру Limtis and Continuity , включая примечания к исследованию, примечания к пересмотру, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

За декартовыми пределами: переход Лейбница от алгебраической к «трансцендентальной» математике

Abstract

В этой статье рассматривается восприятие Лейбница «геометрии» Декарта. Математика Лейбница была основана на пяти фундаментальных понятиях: исчисление, характеристика, искусство изобретения, метод и свобода. На основе методологических соображений Лейбниц критиковал ограничение Декарта геометрии объектами, которые можно было дать в терминах алгебраических (т.е., конечные) уравнения: «Ум Декарта был пределом науки». Неспособность алгебры решать уравнения более высокой степени привела Лейбница к разработке линейной алгебры, а неспособность алгебры решать трансцендентные проблемы привела его к мысли о науке бесконечности. Следовательно, Лейбниц реконструировал математический корпус, создал новые (трансцендентные) понятия и переопределил известные понятия (равенство, точность, построение), тем самым установив «настоящее дополнение алгебры к трансцендентным»: бесконечные уравнения, т. Е.е., бесконечные ряды, стали бесценным инструментом математических исследований.

Zusammenfassung

Der Aufsatz behandelt Leibniz ‘Aufnahme von Descartes’, Geometrie. Die Leibnizsche Mathematik war auf fünf grundlegenden Begriffen aufgebaut: Kalkül, Charakteristik, Erfindungskunst, Methode, Freiheit. Leibniz ‘methodologische Betrachtungen zogen seine Kritik der cartesischen algebraischen Methoden nach sich, die das Gebiet der Geometrie Definierten: ,, Descartes’ Geist war die Grenze der Wissenschaft “.Die Unvollkommenheit der Algebra (Lösung algebraischer Gleichungen höheren Grades) – это Leibniz lineare Algebra entwickeln und eine Wissenschaft des Unendlichen entwerfen. Leibniz baute также das Gebäude der Mathematik neu auf, schuf neue Begriffe (трансцендентный) und Definierte bekannte Begriffe neu (Gleichheit, Genauigkeit, Konstruktion). Auf diese Weise begindete er eine ,, wahre Ergänzung der Algebra für transzendente Größen “: unendliche Gleichungen, das heißt unendliche Reihen, wurden unschätzbare Hilfsmittel der Mathematischen Forschung.

Ключевые слова

Декарт

Лейбниц

Линейная алгебра

Комбинаторика

Геометрия

Строительство

Бесконечная серия

Рекомендуемые статьи Цитирующие статьи (0) Inc.

Copyright © 2004 Else.

Рекомендуемые статьи

Цитирование статей

PPT – Алгебра пределов Презентация PowerPoint, бесплатная загрузка