Линейная алгебра метод гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Линейная алгебра. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Линейная алгебра

Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений
размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: A X B
Если закрепить раз и
a11 a12 a13 a1n x1 b1 навсегда нумерацию
a 21 a22 a23 a2n x 2 b2 неизвестных, то можно
неизвестные в
опустить
системы и
записи
a a a a x b записать ее в виде
mn n
m матрицы, отделяя
m1 m 2 m3
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
B A B
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
Расширенная матрица
системы

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Следующие действия над расширенной матрицей системы
называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a32
a13
a 23
a33
b1
1 c 12
b2 0 1
0 0
b3
c 13
c 23
1
d1
d2
d3

4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

5x 2y 4z 5
2x 3y z 7
3x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
умноженную
на (-2)
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).

5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

( 1)
: 5
~
1 8 6 9 4 1 8 6 9
0
~
0 1 2
0 1 2 0
строке
0 4 3 5
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
1 8 6 9
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
0 1 2 0
разделим на 5
0 0
1
1
x 8y 6z 9
x 9 8y 6z
x 9 16 6 1
y
2
z
0
y 2
y 2z 2
z 1
z 1
z
1
x 1 y 2
z 1

English     Русский Правила

02. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных. В качестве коэффициентов при неизвестных будем использовать действительные и комплексные числа. Неизвестные будем обозначать Х1, х2, …, хN. Если уравнения занумеровать числами 1, 2, …, m, то коэффициент при к-ом неизвестном в р-ом уравнении будем обозначать Рк,, свободный член р-го уравнения будем обозначать . Следовательно, система уравнений запишется следующим образом:

(1)

Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих коэффициентов, т. е. прямоугольной таблицей из m строк и n столбцов:

(2)

Определение 1. Матрицей порядка M´N называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется Квадратной матрицей N-го порядка.

Матрица (2) называется Матрицей системы (1). Матрица

(3)

Называется Расширенной матрицей этой системы.

Отметим следующие свойства системы (1), часто помогающие при её решении.

· Если в системе (1) два или несколько уравнений поменять местами, то получится система уравнений, эквивалентная данной системе.

· Если в системе (1) одно из уравнений умножить на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое её уравнение, умноженное на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если система (1) содержит два пропорциональных уравнения, то, удалив одно из этих уравнений, мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

· Если в системе (1) есть уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, то после удаления этого уравнения мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Описанные преобразования называются Элементарными преобразованиями системы (1).

Соответствующие преобразования матрицы (3) называются элементарными преобразованиями этой матрицы.

Одним из методов решения системы (1) является метод Последовательного исключения неизвестных или Метод Гаусса.

Пусть дана система (1). Вместо того, чтобы преобразовывать эту систему, достаточно проводить соответствующие преобразования с её расширенной матрицей (3). Переставим, если нужно, строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу стоял отличный от нуля элемент. Будем считать, мто матрица (3) уже удовлетворяет этому условию. Умножив первую строку на число (-), прибавим её ко второй строке. В результате на первом месте во второй строке будет стоять 0. Умножив первую строку на число (-), прибавим её к р-ой строке. В результате на первом месте в р-ой строке будет стоять 0. Сделаем это для всех р от 2 до m. Получим матрицу (4).

Если в матрице (4) есть строка, состоящая целиком из нулей, то её отбросим. Если есть пропорциональные строки, то из них оставим только одну. Пусть в матрице (4) все лишние строки уже отброшены. Строки с номерами 2, 3, … , m переставим, если нужно, так, чтобы во второй строке на втором месте стояло число, отличное от нуля. Пусть

С22 ¹ 0. Умножим вторую строку на (-) и прибавим к к-ой строке для всех к от 3 до m. В результате все элементы второго столбца, кроме первых двух будут равны нулю. (Если в матрице (4) все Ск2 Равны нулю, то сразу переходим к третьей строке). Продолжая описанную процедуру дальше, мы получим либо треугольную, либо трапециевидную матрицу ( (5) или (6) ).

(5), (6)

В этих матрицах все диагональные элементы, кроме может быть последнего, отличны от нуля.

Если матрица (3) привелась к виду (5), то система (1) эквивалентна системе

(7)

Очевидно, ЕNn и Fn не могут быть равны одновременно нулю. Если ЕNn ¹ 0, то система (7), а поэтому и система (1), имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения можно найти Хn. Подставив его значение в предпоследнее уравнение, найдём Хn-1 и так далее. Если же ЕNn = 0, то Fn ¹ 0. В этом случае последнее уравнение, а поэтому и вся система, не имеет решения.

Если матрица (3) привелась к виду (6), то система (1) будет эквивалентна системе

(8)

Если тогда и последнее уравнение не имеет решений. Следовательно, не имеет решений и вся система. Если же коэффициенты не все равны нулю, то последнее уравнение имеет бесконечно много решений (одно неизвестное этого уравнения можно выразить через остальные). Но тогда из предпоследнего уравнения можно найти и, поднимаясь по системе, можно найти все неизвестные. Система будет иметь бесконечно много решений.

Метод Гаусса можно запрограммировать и используя полученную программу передать решение системы линейных уравнений на ЭВМ. Недостатком метода является то, что даже в случае определённой системы нельзя найти формулы, выражающие решение через коэффициенты уравнений и свободные члены, а так же не даёт возможности сформулировать условия совместности системы через коэффициенты и свободные члены. Последнее бывает очень важно в различных теоретических исследованиях.

< Предыдущая		Следующая >

Исключение Гаусса-Джордана | Меньше пробелов

Часть: Последовательность алгебры
Краткое содержание:  1300 слов, 13 минут чтения.

Линейная алгебра — это математика векторов и матриц. Позвольте мне попытаться объяснить это как можно короче.

Операции с векторами

Если n — натуральное число, а ℝ — множество действительных чисел, то ℝ ⁿ — множество всех n-кортежей действительных чисел. Вектор v ∈ ℝ ⁿ  является одним из таких n-наборов. Например,

Шесть векторных операций: сложение, вычитание, масштабирование, векторное произведение, скалярное произведение, норма (длина вектора). Для векторов u и v они определяются следующим образом:

Скалярное произведение и векторное произведение норма связаны с углом между двумя векторами. В частности,

Наконец, обратите внимание, что перекрестное произведение не является коммутативным: u x v != v x u.

Операции с матрицами

A Матрица A ∈ ℝ ^{m x n}  является прямоугольным массивом действительных чисел с m строками и n столбцами. Например,

Важными матричными операциями являются сложение, вычитание, произведение, транспонирование и определение определителя:

Из вышеперечисленных операций матричное произведение особенно важно. Эта операция возможна только в том случае, если A имеет такое же количество столбцов, сколько B имеет строк.

Матрица как морфизм

Важно отметить, что матрицы с одной строкой или одним столбцом можно интерпретировать как векторы. Умножение матриц на вектор можно интерпретировать двумя способами. 9Изображение строки 0016 интерпретирует вывод как скалярное произведение, изображение столбца интерпретирует вывод как линейную комбинацию.

Возьмем A как матрицу 2 на 2 с векторами-строками (2, -1) и (-1,2), и пусть b = (0,3). Когда мы находим x, мы обнаруживаем, что есть два способа сделать это:

В приведенном выше примере мы установили b = (0,3). Но эта

линейная комбинация может порождать любых векторов b. В общем, линейные комбинации могут генерировать все пространство (в данном случае двумерную плоскость).

В обоих представлениях мы говорим: Преобразование x → b. Если векторы представляют собой группы данных, матрицы являются функциями , которые работают с векторами. В частности, умножение на матрицу A ∈ ℝ ^{m x n}  назовем линейным преобразованием , которое преобразует n-набор в m-набор T _A : ℝ ⁿ → ℝ ^m .

Симметрия между функциями и линейными преобразованиями очень глубока. Когда мы исследуем теорию категорий, мы обнаружим структуру, лежащую в основе этой связи. А пока рассмотрим следующие эквивалентности:

Особенно важным для матричных функций является понятие обратной матрицы . Точно так же, как f ^-1 (x) = ln(x) отменяет действие f(x) = e ^x , обратная матрица A ^-1 отменяет действие A. Совокупный эффект применения A ^{– 1} после A представляет собой единичную матрицу A ^-1 A = 1 . Единичная матрица аналогична умножению на единицу или добавлению нуля: она алгебраически инертна.

Обратимыми могут быть только квадратные матрицы, так как обращение коммутативно AA ^-1 = А ^-1 А = 1 . Но не у всех квадратных матриц есть обратные. Определитель матрицы проверяет на обратимость. Det(A) != 0 тогда и только тогда, когда A обратим.

Обращение матриц жизненно важно для решения систем линейных уравнений.

• AX = B → умножьте обе части на A ^-1 справа → X = A ^-1 B
• XA = B → умножьте обе части на A ^-1 справа → X = BA ^-1
• ABXC = E → поставить C ^-1 справа и B ^-1 A ^-1 слева → X = B ^-1 A ^-1 EC ^-1

Исключение в качестве обратного решателя

Чтобы решить Ax = b, мы должны найти обратную матрицу A ^-1 . Это можно сделать с помощью Gauss-Jordan Elimination . Этот метод позволяет выполнять три операции со строками:

1. Линейная комбинация: R _i += kR _j
2. Масштабирование: R _я *= к
3. Перестановка строк: R _i ⇆ R _j

После создания матрицы вида Ax = b мы можем найти x, создав расширенную матрицу вида [ A | b ] и преобразование левой части в единичную матрицу:

Чтобы найти x алгебраически, Ax = b → A ^-1 Ax = A ^-1 b → 𝟙 x = A ^-1 б. Таким образом, Гаусс-Жордан облегчает открытие обратной матрицы A ^-1 . Мы можем явно показать это вычисление, установив расширенную матрицу вида [ A | 1  ]

Операции со строками — это функции, которые воздействуют на векторы. Так же и матрицы. Таким образом, неудивительно, что каждая из наших трех операций со строками соответствует элементарной матрице . Элементарная матрица аналогична единичной матрице; на картинке ниже расходится только заштрихованная область.

Теперь мы видим, что строковые операции исключения Гаусса-Жордана являются разновидностью факторизации: мы находим элементарные матрицы, лежащие в основе A ^-1 :

Таким образом, E ₄ E ₃ E ₂ E ₁ = A ^-1 и AX = B → (E ₄ E ₃ E 8181818181818181 гг. E ₁ ) AX = (E ₄ E ₃ E ₂ E ₁ ) B → X = A ^-1 B

Основные векторные пространства

A Площадка вектора CONSISTIST ARTECTER ATCER

A вектор CONSISTIST ARTECTER ATCER

A . множество векторов и все линейные комбинации этих векторов. Множество всех линейных комбинаций называется 9.0016 диапазон . Например, векторное пространство S = span{ v ₁ , v ₂ } состоит из всех векторов вида v = ɑv ₁ + βv ₂ , где ɑ и β — действительные числа.

Векторные пространства можно охарактеризовать базисом : исходным набором векторов, линейная комбинация которых создает векторное пространство. Векторы любого базиса должны быть линейно независимыми или ортогональными . Вы можете проверить, являются ли два вектора ортогональными, подтвердив их скалярное произведение u · v = 0. размерность векторного пространства — это мощность базиса (количество ортогональных векторов).

Напомним, что матрицы — это функции, которые проецируют векторы от ℝ ⁿ  до ℝ ^m . Это соответствует проецированию из пространства строк в пространство столбцов следующим образом:

Мы раскроем все значение этого графика в другой раз. А пока достаточно понять, что обнаружение оснований этих подпространств — полезное упражнение.

Например, если мы покажем, что матрица имеет непустое ядро, это само по себе является доказательством необратимости. Почему? Потому что если Т _A отправляет вектор в нулевой вектор, нет T _A ^-1 , которые могут отменить эту операцию.

Мы можем сказать больше. Для матрицы A размера n x n следующие утверждения эквивалентны:

1. A обратим
2. Определитель A отличен от нуля.
3. RREF A представляет собой единичную матрицу размера n x n
4. Ранг матрицы равен n
5. Пространство строки A равно ℝ ⁿ
6. Размер столбца A равен ℝ ⁿ
7. A не имеет пустого пространства (только нулевой вектор N(A) = {0} )

Исключение как базовый идентификатор

Мы видели, как исключение обнаруживает (и факторизует) обратную матрицу. Но что происходит, когда обратного не существует? Ну, у исключения есть естественная, уникальная точка остановки:

Матрицы в сокращенной эшелонированной форме строк (RREF) обладают следующими свойствами:

1. Строки со всеми нулями перемещаются вниз.
2. Первое ненулевое число слева ( опорная точка ) находится справа от опорной точки над ней.
3. Каждая опорная точка равна 1 и является единственной ненулевой записью в своем столбце

Исключение Гаусса-Жордана может заменить любую матрицу эквивалентной матрицей в форме rref. Обратите внимание, что мы видели несколько примеров исключения, создающего единичную матрицу 1  , когда A обратимо. Это возможно только потому, что 1  соответствует критериям rref.

Как только матрица находится в форме rref, становится тривиальным открытие основы для трех ее фундаментальных пространств:

• Базис R(A): все векторы-строки, отличные от нуля
• Основа C(A): все векторы-столбцы, содержащие точку опоры.
• N(A) базис: решение Ax = 0

Мы видим, что rank(A) + nullity(A) = 3 + 1 = 4, что действительно является количеством столбцов. Кроме того, пространство столбцов A равно пространству строк A ^T . Это не случайность, так как транспонирование просто меняет местами строки со столбцами.

Выводы

• Векторы — это группы чисел; матрицы — это функции, которые действуют на векторы.
• Мы можем решить линейные уравнения, проведя исключение Гаусса-Жордана.
• Решение на основе исключения Гаусса-Жордана основано на поиске обратной матрицы A ^-1
• Область определения матриц – это ее векторы-строки, ее кодовая область – это векторы-столбцы.
• Даже если матрица необратима, исключение может найти ее наиболее сокращенную форму (RREF).
• Матрицы RREF могут использоваться для получения фундаментальных подпространств.

До следующего раза.

Родственные работы

• Линейная алгебра на четырех страницах
• SageMath можно использовать для проверки моей работы

линейная алгебра — как выполнить исключение Гаусса в R (не используйте «решить»)

спросил 9 лет, 8 месяцев назад

Изменено 5 лет назад

Просмотрено 15 тысяч раз

 A <- матрица(c(2,-5,4,1,-2,5,1,1,-4,6),byrow=T,nrow=3,ncol=3)
b <- матрица (c (-3,5,10),nrow=3,ncol=1)
p <- nrow(A)
U.pls <- cbind(A,b)
для (я в 1: р) {
    для (j в (i+1):(p+1)) U.pls[i,j] <- U. pls[i,j]/U.pls[i,i]
    U.pls[i,i] <- 1
    если (я < р) {
       для (k в (i+1):p) U.pls[k,] <-
                   U.pls[k,] - U.pls[k,i]/U.pls[i,i]*U.pls[i,]
    }
}
У.пожалуйста
х <- реп (0, р)
для (я в р: 1) {
  если (я < р) {
     температура <- 0
     for (j in (i+1):p) temp <- temp + U.pls[i,j]*x[j]
     x[i] <- U.pls[i,p+1] - временная
  }
  иначе x[i] <- U.pls[i,p+1]
}
Икс
 

 > У.пожалуйста
     [1] [2] [3] [4]
[1,] 1 -2,5 2 -1,5
[2,] 0 1.0 -Инф Инф
[3,] 0 0,0 1 NaN
> х
[1] NaN NaN NaN
 

Таким образом, я не могу найти решение в некоторых случаях. Несмотря на то, что я знаю причину возникновения ошибки математически, я не могу исправить ошибку в R. Помогите мне с некоторыми исправлениями. Заранее спасибо.

• r
• линейная алгебра

2

Пришлось переупорядочить вам матрицу A , не знаю, как сделать общий код:

 A <- matrix(c(2,-5,4,1,-4,6,1,-2. 5,1),byrow=T,nrow =3,nкол=3)
b <- матрица (c (-3,5,10),nrow=3,ncol=1)
p <- nrow(A)
(U.pls <- cbind(A,b))
U.pls[1,] <- U.pls[1,]/U.pls[1,1]
для (я в 2: р) {
 для (j в i: p) {
  U.pls[j, ] <- U.pls[j, ] - U.pls[i-1, ] * U.pls[j, i-1]
 }
 U.pls[i,] <- U.pls[i,]/U.pls[i,i]
}
для (я в р: 2) {
 для (j в i: 2-1) {
  U.pls[j, ] <- U.pls[j, ] - U.pls[i, ] * U.pls[j, i]
 }
}
У.пожалуйста
 

РЕДАКТИРОВАТЬ:

 A <- матрица(c(2,-5,4,1,-2,5,1,1,-4,6),byrow=T,nrow=3,ncol=3)
b <- матрица (c (-3,5,10),nrow=3,ncol=1)
p <- nrow(A)
(U.pls <- cbind(A,b))
U.pls[1,] <- U.pls[1,]/U.pls[1,1]
я <- 2
в то время как ( я < р + 1) {
 дж <- я
 в то время как ( j < р + 1) {
  U.pls[j, ] <- U.pls[j, ] - U.pls[i-1, ] * U.pls[j, i-1]
  j <- j+1
 }
 в то время как (U.pls[i,i] == 0) {
  U.pls <- rbind(U.pls[-i,],U.pls[i,])
 }
 U.pls[i,] <- U.pls[i,]/U.pls[i,i]
 я <- я+1
}
для (я в р: 2) {
 для (j в i: 2-1) {
  U.pls[j, ] <- U.pls[j, ] - U.pls[i, ] * U.pls[j, i]
 }
}
У.пожалуйста
 

1

Извините, если ответ запоздал.
Я написал функцию для исключения Гаусса

Примечание:
i) Эта функция работает только с действительными числами, а не с переменными.
ii) В ответе в конце я использовал функцию as.fractions(). Она доступна только в пакете MASS, и для ее использования вам потребуется как минимум R версии 3.2.5 или новее. Вы можете опустить это, если хотите, но элементы матриц будут десятичными.
iii) Эта функция также возвращает матрицы, использованные в разложении PA = LDU Если вы хотите только разложение PA = LU, используйте в качестве второго аргумента FALSE.

Надеюсь, это поможет!

 gauss_elimination = функция (матрица, диагональ = T) {
  #Эта функция выполняет исключение Гаусса для одного столбца
  for_one_column = функция (матрица, начальная_строка = 1, столбец = 1){
    for (i in (starting_row + 1):nrow(matrix)){
      L_table[i,столбец] <<- матрица[i,столбец]/матрица[начальная_строка,столбец]
      матрица [i,] = матрица [i,] - матрица [i, столбец]/
        матрица[начальная_строка,столбец]*
        матрица[начальная_строка,]
    }
    возврат (матрица)
  }
  #Эта функция заменяет строку матрицы на другую
  change_lines = функция (матрица, строка_1, строка_2, столбец_1 = 1,
                          column_2 = ncol(матрица)){
    козел отпущения = матрица [строка_1, столбец_1: столбец_2]
    матрица[строка_1,столбец_1:столбец_2] = матрица[строка_2,столбец_1:столбец_2]
    матрица[line_2,column_1:column_2] = козел отпущения
    возврат (матрица)
  }
  #Эта функция проверяет необходимость внесения изменений
  check_zeroes = функция (матрица, начальная_строка, столбец) {
    #Если пилот не нулевой
    если (матрица[начальная_строка,столбец] != 0){
      return ("Не требуется чередование")
      #Если пилот нулевой
    }еще{
      row_to_change = 0
      для (я в начальной_строке:nrow(матрица)){
        если (матрица [я, столбец]! = 0) {
          row_to_change = я
          сломать
        }
      }
      #Если и пилот, и все элементы под ним равны нулю
      если (row_to_change == 0){
        return("Пропустить этот столбец")
        #Если пилот равен нулю, но хотя бы на единицу ниже, то это не так
      }еще{
        return(c("Требуется изменение", row_to_change))
      }
    }
  }
  #Основная программа
  строка_в_работу = 1 ; alternation_table = diag (nrow (матрица))
  L_table = diag (nrow (матрица))
  for (column_to_work в 1:ncol(matrix)){
    a = check_zeroes (матрица, row_to_work, столбец_to_work)
    if (a[1] == "Необходимо чередование"){
      матрица = change_lines (матрица, as. numeric (a [2]), row_to_work)
      alternation_table = change_lines (alternation_table, row_to_work,
                                       как.numeric(a[2]))
      если (as.numeric(a[2])!= 1){
        L_table = change_lines(L_table,row_to_work,
                               as.numeric(a[2]),1,column_to_work - 1)
      }
    }
    if (a[1] == "Пропустить этот столбец"){
      следующий()
    }
    матрица = for_one_column (матрица, row_to_work, column_to_work)
    if(row_to_work + 1 == nrow(matrix)){
      сломать
    }
    ряд_к_работе = ряд_к_работе + 1
  }
  если (диагональ == ЛОЖЬ){
    return (список («P» = as.fractions (alternation_table),
                "L" = as.fractions(L_table),
                "U : Матрица после исключения"=as.fractions(matrix)))
  }еще{
    D = диаг (nrow (матрица))
    диаг(D) = диаг(матрица)
    для (я в 1: nrow (D)) {
      матрица[i,] = матрица[i,]/diag(D)[i]
    }
    return (список («P» = as.fractions (alternation_table),
                "L" = as.fractions(L_table),
                "D" = as. fractions(D),
                "U : Матрица после исключения"=as.fractions(matrix)))
  }
}
 

0

Гаусс <- функция () { A <- матрица ( c ( 2 , -5 , 4 , 1 , 4 , 1 , 1 , -4 , 6 ), byrow = T , nrow = 3 , ncol = 3 ) b <- матрица ( c (-3, 5, 10), nrow = 3, ncol = 1) U.pls <- cbind (A,b) p <- nrow ( A )

 r <- ncol ( U.pls )
  X <- матрица ( c(rep (0,p)))
  для ( я в 1 : (p-1)) {
    минусы <- U.pls[i+1,i]/ U.pls[i,i]
    для (j в (i+1):(p)) {
        U.pls[j,] <- U.pls[j,] - U.pls[i,] * минусы
            }
     }
    X [p] <- U.pls[ p,r]/ U.pls[p,p]
  для (k в (p-1): 1) {
       сумма = 0
       для (l в (k+1):p) {
            сумма = сумма + U.pls[k,l]* X[l] }
          X[k] <- (U.pls[k,r]- сумма )/ U.pls[k,k]
          }
  вернуться (Х)
 

}

Вы можете выполнить исключение Гаусса с помощью библиотеки pracma .

Чтобы установить его, вы можете ввести:

 install.