Линейное уравнение методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

3.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения)

Метод Гаусса заключается в следующем. Допустим, что в системе (5) коэффициент при первом неизвестном a₁₁ 0.

Исключим сначала неизвестное х₁ из всех уравнений системы (5), кроме первого. Для этого, прежде всего, разделим обе части первого уравнения на коэффициент a₁₁0; тогда получим новую систему, равносильную данной:

(6)

Умножим теперь первое уравнение системы (6) на a₂₁ и вычтем из второго уравнения. Затем умножим первое уравнение на a₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

(7)

Здесь введены обозначения:

(8)

Разделим теперь второе уравнение системы (7) на коэффициент а’₂₂

, предполагая, что он отличен от нуля; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на а’₃₂, . .., а’_i2…,…, а’_m2 и вычтем поочередно из соответствующих уравнений системы, кроме первого и второго.

Если, продолжая этот процесс, мы придем к системе, содержащей уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то эта система несовместна. В том случае, когда система совместна, приходим либо к системе

(9)

(причем р < n), либо к системе

(10)

Система вида (9) называется ступенчатой, а система вида (10) — треугольной.

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим x_п=β_n, затем, подставляя значение x_п в предыдущее уравнение, находим x_п-т, и т.д.

Таким образом, если данная система уравнений (5) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольной системе (10), то это означает, что система (5) является совместной и определенной.

Если же данная система (5) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (9), то система (5) совместна и неопределенна.

Перенося в каждом из уравнений системы (10) члены с неизвестными x_p₊₁,…, x_n в правую часть, получим систему вида

(11)

Придавая неизвестным x_p₊₁,…, x_n ,которые называются свободными, произвольные значения , получим треугольную систему, из которой последовательно найдем все остальные неизвестные

x_p, x_p_-1,…, x₁. Так как числа могут иметь различные значения, то исходная система (3.1) имеет бесчисленное множество решений.

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы (10) называется прямым ходом, а процесс получения ее решения – обратным ходом метода Гаусса.

Пример 3.1. Решить систему уравнений:

Решение.

Разделив все члены первого уравнения на коэффициент а₁₁=2 получаем систему

Сначала умножим все члены первого уравнения полученной системы на 3 и вычтем из второго уравнения; затем из третьего уравнения вычтем первое:

Разделим все члены второго уравнения на а’₂₂=0,5:

Умножим второе уравнение на –1,5 и вычтем из третьего. Тогда получим систему

из которой последовательно находим x₁=1; x₂=2; x

₃=3.

Решение треугольной системы, а, следовательно, и равносильной ей первоначальной –– x₁=1; x₂=2; x₃=3. Данная система является совместной и определенной.

Ответ: x₁=1; x₂=2; x₃=3.

При решении примеров методом Гаусса необходимости выписывать системы (3.1), (3.2), (3.3), (3.5) и (3.6) нет. Все преобразования можно проводить над матрицами, составленными из коэффициентов этих систем.

Системе (3.1) соответствуют две матрицы А и В:

(12)

Матрица А называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, матрица В называется расширенной матрицей и отличается от матрицы системы столбцом, состоящим из свободных членов уравнений системы. При решении системы (5) методом Гаусса элементарные преобразования системы заменяются соответствующими элементарными преобразованиями, выполняемыми над ее расширенной матрицей В.

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями

1 над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы.

Пример 3.2. Решить систему уравнений:

Решение.

Таблица 3.1

Шаг	a⁽^k)_i1	a⁽^k)_i2	a⁽^k)_i3	a⁽^k)_i4	a⁽^k)_i5	a⁽^k)_i6
	1	0,17	0,25	0,54	0,3	-1,76
I	0,47	1	0,67	-0,32	0,5	-2,32
	-0,11	0,35	1	-0,74	0,7	-1,20
	0,55	0,43	0,36	1	0,9	-3,24
	1	0,17	0,25	0,54	0,3	-1,76
II		0,9201	0,7875	-0,5738	0,3590	-1,4928
		0,3687	0,9725	0,6806	0,7330	-1,3936
		0,3365	0,4975	0,7030	0,7350	-2,2720
		1	0,8559	-0,6236	0,3902	-1,6224
III			0,6569	-0,4507	0,5891	-0,7954
			0,2095	0,9128	0,6037	-1,7261
IV			1	-0,6861	0,8968	-1,2108
				1,0565	0,4158	-1,4724
				1	0,3936	-1,3937
V			1		1,1668	-2,1670
		1			-0,3630	-0,6368
	1				0,4409	-1,4409

Порядок заполнения таблицы.

Прямой ход.

1. Записываем коэффицненты данной системы в четырех строках и пяти столбцах шага I.

2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму с обратным знаком в последний столбец, т.е. . Тогда сумма всех элементов каждой из четырех начальных строк будет равна нулю.

3. Выбираем из первого столбца главный элемент и меняем местами строку, содержащую этот элемент, с первой. Пусть главным элементом будет a⁽⁰⁾₁₁. Делим все числа, стоящие в первой строке, на a⁽⁰⁾₁₁ и записываем в первую строку шага II.

4. По формулам

a^(k)_kj= a^(k-1)_kj/ a^(k-1)_kk, a^(k)_ij= a^(k-1)_ij – a^(k-1)_ik a^(k)_kj (13)

где k+1jn+1, k+1in, k=1. .n (^a(0)_ij=a_ij, i,j=1..n+1).

Вычисляем коэффициенты a⁽¹⁾_ij, i=2..4, j=2..6. Результаты записываем в соответствующие строки шага II. С элементами последнего столбца поступаем так же, как с элементами предыдущих столбцов.

5. Для проверки правильности вычислений находим сумму элементов каждой строки. Величина суммы должна отличаться от нуля в пределах ошибок округления. Большое отклоненне от нуля свидетельствует о наличии грубой ошибки в вычислениях.

6. Среди элементов a⁽¹⁾₂₂, a⁽¹⁾_32,a⁽¹⁾₄₂выбираем главный элемент и поступаем, как в п. 3. Пусть a⁽¹⁾₂₂^— главный элемент. Делим на него вторую строку шага II и результаты записываем в первую строку шага III .

7. По формулам (13) вычисляем коэффицциенты a⁽²⁾_ij, i=3..4, j=3..6. Результаты записываем во вторую и третью строки шага III.

8. Проверяем правильность произведенных вычислений (см. п. 5).

9. Пусть a⁽²⁾₃₃ главный элемент. Делим на него вторую строку шага III и результаты записываем в первую строку шага IV.

10. По формулам (3.9) вычисляем a⁽³⁾₄_j, j=4..6. Результаты записываем во вторую строку шага IV.

11. Проверяем правильность вычислений (см. п. 5).

Обратный ход.

1. В шаге V записываем единицы, как указано в табл. 4.

2. Вычисляем x₄= a⁽³⁾₄₅/a⁽³⁾₄₄, = a⁽³⁾₄₆/a⁽³⁾₄₄.

3. Для вычислений x₃, x₂, x₁ (,,) используются лишь первые строки шагов II, III. IV, т.е. строки, содержащие единицы:

4 Проверяем правильность вычислений. При отсутствии ошибок округлений сумма элементов в четырех строках шага V должна быть равна нулю. т.е. строки содержащие единицы:

x₃= a⁽³⁾₃₅–a⁽³⁾₃₄ x₄

x₂= a⁽²⁾₂₅–a⁽²⁾₂₃ x₃–a⁽²⁾₂₄ x₄

x₁= a⁽¹⁾₁₅-a⁽¹⁾₁₂ x₂-a⁽¹⁾₁₃ x₃– a⁽¹⁾₁₄ x₄

= a⁽³⁾₃₆-a⁽³⁾₃₄ x₄ (14)

= a⁽²⁾₂₆-a⁽²⁾₂₃ x₃-a⁽²⁾₂₄ x₄

= a⁽¹⁾₁₆-a⁽¹⁾₁₂ x₂-a⁽¹⁾₁₃ x₃– a⁽¹⁾₁₄ x₄

5 Решение исходной системы, округленное до двух десятичных знаков после запятой, таково:

x₁=0,44; x₂=-0,36; x₃=1,17; x₄=0,39

Ответ: x₁=0,44; x₂=-0,36; x₃=1,17; x₄=0,39

Высшая математика Т1

Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).

Т.1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — 288 c.

Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Дифференциальное и интегральное исчисление» (том 2) и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» (том 3) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

В книге содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, а также элементы векторной алгебры. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. Включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
§ 1. Определители второго порядка
2.1. Определители третьего порядка.
2.2. Определители n-го порядка.
§3. Матрицы
4.1 Система из n линейных уравнений с n неизвестными.
4.2. Формула Крамера
4.3. Однородная система
4.4 Правило решения системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений: 4.5 Примеры приложения правил
Системы линейных уравнений: 4.6 Обоснование правил
4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных
4.8. Нахождение ранга матрицы
5.1. Понятие вектора
5.2. Проекция вектора
5.3. Свойства проекций векторов
5.4 Скалярное произведение векторов
5.5. Прямоугольная система координат
6.1. n-мерное пространство
6.2 Скалярное произведение в действительном пространстве
6.3 Скалярное произведение в комплексном пространстве
6.4. Неравенства Буняковского
6.5. Неравенство Минковского
§ 7. Отрезок.

Деление отрезка в данном отношении
§ 8. Прямая линия
9.1. Уравнение плоскости в нормальном виде
9.2. Уравнение плоскости в общем виде
9.3. Уравнение плоскости в отрезках
9.4. Уравнение плоскости, роходящей через точку
9.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
9.6 Угол между двумя плоскостями
9.7. Расстояние от точки до плоскости
10.1 Уравнение прямой в каноническом виде
10.2 Расположение двух плоскостей
11.1. Двумерная система координат
11.2. Трехмерная система координат
12.1. Два определения векторного произведения
12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка
12.3. Свойства векторного произведения
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение
§ 14. Линейно независимая система векторов
§ 15. Линейные операторы
§ 16. Базисы в Rn
§ 17. Ортогональные базисы в Rn
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений
§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости
§ 20.

Линейные подпространства в Rn
§ 21. Теоремы фредгольмова типа
§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма
§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве
§ 24. Кривая второго порядка
Эллипс
Гипербола
Парабола
24.3 Классификация кривых второго порядка
§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Эллиптический и гиперболический параболоиды
Конус второго порядка
Цилиндры второго порядка
Линейчатые поверхности
§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве
§ 27. Плоскость в Rn. Общие положения
27.2. Плоскость в Rn
27.3. Уравнение плоскости в нормальном виде
27.4. Уравнение плоскости в векторной форме
27.5. Геометрическая интерпретация уравнений
27.6. Уравнение плоскости, проходящей через n точек
27.7. Условия ортогональности и параллельности плоскостей
27.8. Уравнение плоскости, проходящей через точку
27.

9. Прямая в пространстве Rn
27.10. Расположение (n-1) плоскостей
27.11. Расстояние от точки до плоскости
27.12. Различные задачи
§ 28. Линейное программирование
28.2. Транспортная задача
28.3.Общая задача линейного программирования
28.4. Векторно-матричная форма задачи линейного программирования
28.5. Симплекс-метод
28.7. Выбор разрешающего элемента
28.8. Условия существования базиса

Исключение Гаусса

Компьютерные методы в химической технологии

Пример №1

Давайте вручную найдем решение следующей одновременной линейной алгебраические уравнения Ax=b методом исключения Гаусса. Для цель понимания лежащего в основе компьютерного алгоритма, важно работать систематически как компьютер.

    х ₂ + 2 х ₃ = 0 (1.1)
    4 х ₁ + х ₂ = 1 (1,2)
    х ₁ + 2 х ₂ + 3 х ₃ = 0 (1,3)

Перепишите отсутствующие коэффициенты явно с 1 и отсутствующие члены с 0.

    0 х ₁ + 1 х ₂ + 2 х ₃ = 0 (1.1)
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (1,2)
    1 х ₁ + 2 х ₂ + 3 х ₃ = 0 (1,3)

  Поворот: поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, потому что уравнение (1.2) имеет самый большой старший коэффициент:
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (1,2)
    0 х ₁ + 1 х ₂ + 2 х ₃ = 0 (1.1)
    1 х ₁ + 2 х ₂ + 3 х ₃ = 0 (1,3)

  * (1.2) на 0/4 и вычесть из (1.1) --> (2.2)
  * (1.2) на 1/4 и вычесть из (1.3) --> (2.3)
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (2.1)
    0 х ₁ + 1 х ₂ + 2 х ₃ = 0 (2.2)
    0 х ₁ + 7/4 х ₂ + 3 х ₃ = -1/4 (2,3)

  Поворот: поменять местами 2-е и 3-е уравнения:
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (2. 1)
    0 х ₁ + 7/4 х ₂ + 3 х ₃ = -1/4 (2,3)
    0 х ₁ + 1 х ₂ + 2 х ₃ = 0 (2.2)

  * (2.3) на 1/(7/4) и вычесть из (2.2) --> (3.3)
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (3.1)
    0 х ₁ + 7/4 х ₂ + 3 х ₃ = -1/4 (3,2)
    0 х ₁ + 0 х ₂ +2/7 х ₃ = 1/7 (3,3)

  * (3.3) на 3/(2/7) и вычесть из (3.2) --> (4.2)
  * (3.3) на 0/(2/7) и вычесть это из (3.1) --> (4.1)
    4 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = 1 (4.1)
    0 х ₁ + 7/4 х ₂ + 0 х ₃ = -7/4 (4.2)
    0 х ₁ + 0 х ₂ +2/7 х ₃ = 1/7 (4,3)

  * (4.2) на 1/(7/4) и вычесть из (4.1) --> (5.1)
    4 х ₁ + 0 х ₂ + 0 х ₃ = 2 (5.1)
    0 х ₁ + 7/4 х ₂ + 0 х ₃ = -7/4 (5.2)
    0 х ₁ + 0 х ₂ +2/7 х ₃ = 1/7 (5,3)

  разделить каждое уравнение на ненулевой коэффициент
    1 х ₁ + 0 х ₂ + 0 х ₃ = 1/2 (6. 1)
    0 х ₁ + 1 х ₂ + 0 х ₃ = -1 (6.2)
    0 х ₁ + 0 х ₂ + 1 х ₃ = 1/2 (6.3)

  Ответ :
    х ₁ = 0,5
    х ₂ = -1
    х ₃ = 0,5

Приведенная выше последовательность манипуляций в матричной записи. Матрица A для этой задачи:

  Матрица  А  :
    | 0 1 2 |
    | 4 1 0 |
    | 1 2 3 |

Вектор b для этой задачи:

  Вектор  б  :
    | 0 |
    | 1 |
    | 0 |

Повторите процесс в матрично-векторной нотации.

  Исходная матрица-вектор: | А | б |
    | 0 1 2 | 0 | (1.1)
    | 4 1 0 | 1 | (1.2)
    | 1 2 3 | 0 | (1.3)

  Поворот: поменяйте местами 1-ю и 2-ю строки, потому что уравнение (1.2) имеет самый большой старший коэффициент:
    | 4 1 0 | 1 | (1.2)
    | 0 1 2 | 0 | (1.1)
    | 1 2 3 | 0 | (1.3)

  * (1.2) на 0/4 и вычесть из (1.1) --> (2.2)
  * (1. 2) на 1/4 и вычесть из (1.3) --> (2.3)
    | 4 1 0 | 1 | (2.1)
    | 0 1 2 | 0 | (2.2)
    | 0 7/4 3 | -1/4 | (2.3)

  Поворот: поменять местами 2-й и 3-й ряд:
    | 4 1 0 | 1 | (2.1)
    | 0 7/4 3 | -1/4 | (2.3)
    | 0 1 2 | 0 | (2.2)

  * (2.3) на 1/(7/4) и вычесть из (2.2) --> (3.3)
    | 4 1 0 | 1 | (3.1)
    | 0 7/4 3 | -1/4 | (3.2)
    | 0 0 2/7 | 1/7 | (3.3)

  * (3.3) на 3/(2/7) и вычесть из (3.2) --> (4.2)
  * (3.3) на 0/(2/7) и вычесть это из (3.1) --> (4.1)
    | 4 1 0 | 1 | (4.1)
    | 0 7/4 0 | -7/4 | (4.2)
    | 0 0 2/7 | 1/7 | (4.3)

  * (4.2) на 1/(7/4) и вычесть из (4.1) --> (5.1)
    | 4 0 0 | 2 | (5.1)
    | 0 7/4 0 | -7/4 | (5.2)
    | 0 0 2/7 | 1/7 | (5.3)

  разделить каждую строку на диагональный элемент
    | 1 0 0 | 1/2 | (6.1)
    | 0 1 0 | -1 | (6.2)
    | 0 0 1 | 1/2 | (6.3)

  Ответ дается новым вектором b на правой стороне:
    х ₁ = 1/2
    х ₂ = -1
    х ₃ = 1/2

Найдем обратное A , т.

е. А ^-1 . По определению, А * А ^-1 = I . Таким образом, нахождение обратного числа A равно то же самое, что найти решение линейной системы уравнения представлены Ax=I , где I тождество матрица. (Обратите внимание, что неизвестный x , для которого нужно решить, теперь равно A ^-1 , а «вектор» b теперь I .)

  Исходная матрица: | А | я |
    | 0 1 2 | 1 0 0 | (1.1)
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (1.2)
    | 1 2 3 | 0 0 1 | (1.3)

  Поворот: поменяйте местами 1-ю и 2-ю строки, потому что уравнение (1.2) имеет самый большой старший коэффициент:
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (1.2)
    | 0 1 2 | 1 0 0 | (1.1)
    | 1 2 3 | 0 0 1 | (1.3)

  * (1.2) на 0/4 и вычесть из (1.1) --> (2.2)
  * (1.2) на 1/4 и вычесть из (1.3) --> (2.3)
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (2.1)
    | 0 1 2 | 1 0 0 | (2.2)
    | 0 7/4 3 | 0 -1/4 1 | (2.3)

  Поворот: поменять местами 2-й и 3-й ряд:
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (2. 1)
    | 0 7/4 3 | 0 -1/4 1 | (2.3)
    | 0 1 2 | 1 0 0 | (2.2)

  * (2.3) на 1/(7/4) и вычесть из (2.2) --> (3.3)
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (3.1)
    | 0 7/4 3 | 0 -1/4 1 | (3.2)
    | 0 0 2/7 | 1 1/7 -4/7| (3.3)

  * (3.3) на 3/(2/7) и вычесть из (3.2) --> (4.2)
  * (3.3) на 0/(2/7) и вычесть это из (3.1) --> (4.1)
    | 4 1 0 | 0 1 0 | (4.1)
    | 0 7/4 0 |-21/2 -7/4 7 | (4.2)
    | 0 0 2/7 | 1 1/7 -4/7| (4.3)

  * (4.2) на 1/(7/4) и вычесть из (4.1) --> (5.1)
    | 4 0 0 | 6 2 -4 | (5.1)
    | 0 7/4 0 |-21/2 -7/4 7 | (5.2)
    | 0 0 2/7 | 1 1/7 -4/7| (5.3)

  разделить каждую строку на диагональный элемент
    | 1 0 0 | 3/2 1/2 -1 | (6.1)
    | 0 1 0 | -6 -1 4 | (6.2)
    | 0 0 1 |7/2 1/2 -2 | (6.3)

  Обратная матрица (  А  ^-1 ) это:
    | 1,5 0,5 -1 |
    | -6 -1 4 |
    | 3,5 0,5 -2 |

Обратите внимание, что линейное уравнение и обратная задача не нуждаются в решать отдельно. В частности, начиная с b вектор совпадает со вторым столбцом единичной матрицы I , ответ на линейное уравнение дается выражением второй столбец А ^-1

    х ₁ =0,5
    х ₂ =-1
    х ₃ =0,5

Пример #2

Давайте поработаем над другой проблемой.

                х ₂ + 2 х ₃ = 1
       3 х ₁ + 4 х ₂ + 5 х ₃ = 2
       8 х ₁ + 6 х ₂ + 6 х ₃ = 3

Матрица A это:

    | 0 1 2 |
    | 3 4 5 |
    | 8 6 6 |

Вектор b :

    | 1 |
    | 2 |
    | 3 |

Учитывая матрицу A и вектор b выше, мы хотим найти как решение алгебраических уравнений, так и обратное А ^-1 .

  Запишите  Ax=b  только с коэффициентами: |  А  |  б  |
    | 0 1 2 | 1 |
    | 3 4 5 | 2 |
    | 8 6 6 | 3 |

  Найти обратную задачу А — это то же самое, что найти решение задачи
  линейная система уравнений, представленная: Ax=I, где I
  тождественная матрица.

  Напишите  Ax=I  только с коэффициентами: |  А  |  я  |
    | 0 1 2 | 1 0 0 |
    | 3 4 5 | 0 1 0 |
    | 8 6 6 | 0 0 1 |

  Поскольку матрица  A  одинакова в обоих случаях, мы можем решить обе  Ax=b 
  и  Ax=I  одновременно, объединив их вместе:

  Исходная матрица: |  А  |  б  |  я  |
    | 0 1 2 | 1 | 1 0 0 | (1. 1)
    | 3 4 5 | 2 | 0 1 0 | (1.2)
    | 8 6 6 | 3 | 0 0 1 | (1.3)

  Сводка: поменяйте местами 1-ю и 3-ю строку, потому что 3-я строка имеет самый большой коэффициент в 1-м столбце.
    | 8 6 6 | 3 | 0 0 1 | (1.1)
    | 3 4 5 | 2 | 0 1 0 | (1.2)
    | 0 1 2 | 1 | 1 0 0 | (1.3)

  * (1.1) на 3/8 и вычесть это из (1.2) --> (2.2)
  * (1.1) на 0/8 и вычесть из (1.3) --> (2.3)
    | 8 6 6 | 3 | 0 0 1 | (2.1)
    | 0 7/4 11/4 | 7/8 | 0 1 -3/8 | (2.2)
    | 0 1 2 | 1 | 1 0 0 | (2.3)

  Сводка: менять местами не нужно, т.к. 2-я строка уже имеет наибольший коэффициент во 2-м столбце.
    | 8 6 6 | 3 | 0 0 1 | (2.1)
    | 0 7/4 11/4 | 7/8 | 0 1 -3/8 | (2.2)
    | 0 1 2 | 1 | 1 0 0 | (2.3)

  * (2.2) на 1/(7/4) и вычесть из (2.3) --> (3.3)
    | 8 6 6 | 3 | 0 0 1 | (3.1)
    | 0 7/4 11/4 | 7/8 | 0 1 -3/8 | (3.2)
    | 0 0 3/7 | 1/2 | 1-4/7 3/14 | (3.3)

  Теперь поверните процесс исключения в обратном порядке.

  * (3.3) на (11/4)/(3/7) и вычесть это из (3.2) --> (4.2)
  * (3. 3) на 6/(3/7) и вычесть из (3.1) --> (4.1)
    | 8 6 0 | -4 | -14 8 -2 | (4.1)
    | 0 7/4 0 |-7/3 | -77/12 14/3 -7/4 | (4.2)
    | 0 0 3/7 | 1/2 | 1-4/7 3/14 | (4.3)

  * (4.2) на 6/(7/4) и вычесть из (4.1) --> (5.1)
    | 8 0 0 | 4 | 8 -8 4 | (5.1)
    | 0 7/4 0 |-7/3 | -77/12 14/3 -7/4 | (5.2)
    | 0 0 3/7 | 1/2 | 1-4/7 3/14 | (5.3)

  Разделите каждую строку на диагональный элемент
    | 1 0 0 | 1/2 | 1-1 1/2| (6.1)
    | 0 1 0 |-4/3 | -11/3 8/3 -1 | (6.2)
    | 0 0 1 | 7/6 | 7/3 -4/3 1/2| (6.3)

  Таким образом, вторая часть дает ответ на линейное уравнение.
    х ₁ =1/2
    х ₂ = -4/3
    х ₃ =7/6

  И третья часть — обратная матрица ( A  ^-1):
    | 1-1 1/2|
    | -11/3 8/3 -1 |
    | 7/3 -4/3 1/2|

Вернуться на домашнюю страницу профессора Нам Сунь Вана
Вернуться к разделу «Компьютерные методы в химической технологии» (CHBE250)

«Компьютерные методы в химической технологии — исключение Гаусса»
Отправить комментарии по адресу:

Нам Сун Ван

Кафедра химической и биомолекулярной инженерии

Мэрилендский университет

Колледж-Парк, Мэриленд, 20742-2111

301-405-1910 (голос)

301-314-9126 (ФАКС)

электронная почта: nsw@umd.

Решение линейных уравнений с помощью исключения Гаусса. Получите новые навыки работы с искусственным интеллектом с помощью бесплатных курсов Видеоучебник

Из курса: Основы машинного обучения: линейная алгебра

Решение линейных уравнений методом исключения Гаусса

“

– [Инструктор] Решение линейных уравнений вручную становится утомительным каждый раз, когда есть три или более уравнений. В 1800-х годах блестящий немецкий математик по имени Карл Гаусс изобрел метод, который используется для решения системы линейных уравнений, и в его честь этот метод назван методом исключения Гаусса. Он включает объединение матрицы A и вектора B в форму, называемую расширенной матрицей, а затем выполнение ряда элементарных операций над строками над расширенной матрицей в определенном порядке. В итоге у нас будет три возможных ситуации. Получите решение системы, система не будет иметь решения или система будет иметь бесконечное количество решений. Чтобы создать расширенную матрицу, мы возьмем региональную матрицу A и объединим ее с постоянным вектором B. Давайте посмотрим на это в следующем примере. Вертикальная линия между матрицей указывает на разделение между A и B. Теперь мы непосредственно применим одну или несколько операций со строками к расширенной матрице. Для операций со строками вы можете выполнять любые автоматические операции: складывать, вычитать, умножать или делить одну строку на другую. Мы можем разбить метод исключения Гаусса на пять шагов. Во-первых, преобразование системы в матрично-векторное уравнение. Во-вторых, дополните матрицу коэффициентов вектором констант. В-третьих, создайте матрицу с единицами по диагоналям. В-четвертых, отображение матрицы обратно в уравнения. И в-пятых, подстановка для решения переменных. Первый шаг начинается с создания матрицы коэффициентов. Каждая строка в матрице коэффициентов будет представлять уравнение, а значения столбцов будут представлять значения коэффициентов для каждой переменной. Теперь мы можем перейти ко второму шагу, где мы создаем постоянную матрицу. Это матрица-столбец, и каждое значение будет представлять решение уравнения. Комбинируя матрицу коэффициентов и матрицу констант, мы формируем расширенную матрицу. Третий шаг называется поворотным. Мы хотим убедиться, что у нас есть ненулевой вход в диагональной позиции. Поэтому, если необходимо, мы поменяем эту строку местами с одной из нижних строк, которая имеет ненулевую запись в том же столбце. Мы называем элемент, который мы заменяем, поворотным элементом. Вот простые правила, которым мы можем следовать. Любые два ряда можно поменять местами. Каждую строку можно умножить или разделить на ненулевую константу. Ненулевое кратное одной строки может быть добавлено или вычтено из другой строки. Замена двух строк местами для перемещения элемента поворота на место называется частичным поворотом. Если не удается найти опорный элемент, то единого решения нет, и нам скучно. Затем мы устанавливаем элементы столбца ниже диагональной записи равными нулю, добавляя соответствующие множители текущей строки. После этого мы переходим к следующей строке и смотрим на диагональную запись. В конце этого процесса мы говорим, что наша матрица имеет форму эшелона. В нашем случае после преобразования наша итоговая матрица имеет три нуля в третьей строке. Итак, мы исключили третью строку. Далее, на четвертом шаге, мы можем преобразовать матрицу обратно в уравнение. Наконец, на последнем пятом шаге из второй строки мы получаем, что x2 равно минус 0,2×3, и когда мы подставляем x2 в первое уравнение, мы получаем x1, выраженное через x3. Наша система имеет бесконечно много решений, потому что мы можем свободно выбирать переменную x3 из множества действительных чисел.