Подобная постановка состоит из формул (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют величины, более тщательно характеризующие физический процесс.
Уравнения математической физики
Уравнения с частными производными первого порядка включают в себя: нелинейные уравнения с производными первого порядка; квазилинейные уравнения с производными первого порядка.
Линейные уравнения МФ:
- линейные задачи МФ для уравнений параболического типа;
- некоторые формулы, определения, решения и методы;
- линейные задачи МФ для уравнений эллиптического типа;
- линейные задачи МФ для уравнений гиперболического типа.
Готовые работы на аналогичную тему
Нелинейные уравнения МФ:
- преобразования уравнений МФ;
- автомодельные решения и решения типа бегущей волны;
- метод подобия;
- метод функционального разделения переменных МФ;
- метод обобщенного разделения переменных МФ;
- классический метод исследования симметрий уравнений МФ;
- решение дифференциальных уравнений при помощи инвариантов;
- метод дифференциальных связей.
В целом, обобщённые функции в математической физике обладают рядом важных свойств, расширяющих возможности классического анализа.
Пример 1
Любая целостная функция оказывается бесконечно дифференцируемой и сходится в ряды из обобщённых понятий, которые возможно по отдельности дифференцировать бесконечное количество раз. Преобразование этого процесса всегда существует, поэтому применение техники комплексных функций существенно расширяет круг исследуемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Влияние математической физики на науку
Воздействие математической физики на разные разделы математики проявляется в том, что общее развитие математической физики, которая отражает в своих идеях требования естественных наук и часто меняющееся запросы практики, автоматически влечет за собой переориентацию направленности научных исследований в сложившихся разделах математики. Правильная постановка задач изучаемого течения в науке напрямую связана с разработкой новых моделей реальных физических процессов, и привела к кардинальному изменению главной проблематики гипотезы дифференциальных формул в стабильных производных. В результате появилась теория краевых задач, которая позволила ученым связать интегральные уравнения и вариационные методы, а также дифференциальные уравнения в частных производных.
Исследование математических моделей физики различными способами не только позволяет получить основные характеристики физических явлений, а еще и рассчитать с максимальной точностью ход реальных процессов, которые глубоко проникают в самую суть скрытых закономерностей, предсказания уникальных эффектов.
Стремление к более детализированному изучению физических явлений приводит физиков ко все большему усложнению математических моделей, которые способны описать происходящие процессы с помощью применения аналитических методов построения этих моделей. Это возможно объяснить еще и тем, что модели реальных физических процессов являются нелинейными. Для проведения точного исследования таких концепций успешно используются прямые количественные способы с применением компьютеров. Для типичных физических задач изучение численных методов сводится к частичной замене уравнений математической физики для обобщенных функций непрерывного аргумента посредством сеточных показателей, заданных на дискретном множестве точек.2w}{dxdy}=F (x,y,w dw/dx)$
Для получения общего и правильного решения уравнения исследователи рассматривают характеристическую концепцию обыкновенных дифференциальных уравнений: $\LARGE \frac {dx}{a} = \frac {dy}{b} = \frac {du}{c}$.
Если с=0, то система сводится к одному уравнению $\LARGE \frac {dх}{a}=\frac {dy}{b}$. Если $\LARGE f (х, у)=C$ общий интеграл уравнения, тогда $\LARGE u=w (f (х, у))$ – общее решение.
Сама дифференциальная формула содержит в себе только самую общую информацию об исследуемом процессе. Необходимо заранее получить задание граничных и начальных условий, для общей конкретизации.
На сегодняшний день ученые выделяют три основных типа дифференциальных уравнений, для которых поиск решения имеет существенные различия: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.
Большое количество физических процессов и явлений можно описать посредством дифференциальных уравнений в исследуемых частных производных. Это непосредственно связано с тем, что фундаментальные законы современной физики – принципы сохранения – записываются в определениях вторых производных. Способы решения задач математической физики зависят от конкретного типа, которому принадлежит само рассматриваемое уравнение.
Интегральные формулы решений основных линейных дифференциальных уравнений математической физики с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 18 Выпуск 3
УДК 519.6, 539.30 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-3-209-233
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕШЕНИЙ ОСНОВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.1
В. И. Горбачёв2(г. Москва)
В статье рассматриваются начально-краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений математической физики (эллиптических, гиперболических и параболических) с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Такие уравнения вместе с входными данными будем называть исходными. Уравнения с переменными коэффициентами описывают процессы в композиционных материалах, у которых механические характеристики меняются либо скачком либо непрерывно в пограничной области между фазами. Многие задачи из различных разделов линейной и нелинейной механики сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами.
В случае периодических по координатам коэффициентов одним из популярных способов решения уравнений является метод осреднения Бахвалова-Победри (МБП), основанный на представлении решения исходной задачи в виде асимптотического ряда по степеням малого геометрического параметра, равного отношению характерного размера ячейки периодичности к характерному размеру тела. В этом методе исходная краевая задача сводится к двум рекуррентным последовательностям задач. Первая рекуррентная последовательность заключается в нахождении периодических решений вспомогательных задач в ячейке периодичности. Вторая последовательность состоит в решении начально-краевых задач для уравнения с постоянными эффективными коэффициентами. Эти коэффициенты находятся после решения на
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 14.577.21.0207, уникальный идентификатор проекта И К.\ IК К15771 •”> Х0207). ФГБОУ ВПО “ТГПУ им. Л.Н.Толстого – получатель субсидии Министерства образования и науки.
2 Горбачёв Владимир Иванович, заведующий кафедрой механики композитов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, [email protected]
ячейке периодичности вспомогательных задач. Базой рекурсии во второй последовательности в МБП служит решение начально-краевой задачи для уравнения с эффективными коэффициентами в области определения, имеющей ту же самую форму и точно с такими же входными данными, что и исходная задача.
Входные данные в каждой из рекуррентных последовательностей на каком либо шаге находятся лишь после того как решены все предыдущие рекуррентные задачи.
В настоящей статье получены новые интегральные формулы, позволяющие выразить решение исходной задачи для уравнения с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени, через решение такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение с постоянными коэффициентами называется сопутствующими уравнениями, а задача соответственно сопутствующей задачей. В ядро интегральной формулы входит функция Грина и разность коэффициентов исходного и сопутствующего уравнений. С помощью разложения сопутствующего решения в многомерный ряд Тейлора из интегральной формулы получено эквивалентное представление решения исходной задачи в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Коэффициенты при производных называются структурными функциями. Они являются непрерывными функциями координат и времени, обращающимися в нуль при совпадении исходных и сопутствующих коэффициентов. Для определения структурных функций построена система рекуррентных уравнений. Через структурные функции определяются коэффициенты сопутствующих уравнений, совпадающие в периодическом случае с эффективными коэффициентами в МБП. В отличие от метода Бахвалова-Победри в новом подходе нужно решать одну рекуррентную последовательность задач для нахождения структурных функций и один раз решить задачу для однородного тела с эффективными характеристиками.
Ключевые слова: Уравнения математической физики, уравнения с переменными коэффициентами, интегральные формулы, осреднение дифференциальных уравнений, структурные функции, эффективные коэффициенты.
Библиография: 41 названий.
INTEGRAL FORMULAS OF SOLUTIONS OF
THE BASIC LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS WITH VARIABLE FACTORS
V. I. Gorbachev (Moscow) Abstract
In paper initial-regional problems for linear differential equations are considered The mathematical physics (elliptic, hyperbolic and parabolic)
with variables In the factors depending on coordinates and time. Such equations together with input datas we will be To name initial. The equations with variable factors describe processes in the composite Materials at which mechanical performances change or a saltus or it is continuous in Boundary region between phases. Many problems from various sections linear and nonlinear Mechanics are reduced to a solution of simple equations with variable factors.
In case of periodic factors on coordinates one of popular modes of a solution of the equations The method of average of Bahvalova-Pobedri (MBP), based on representation of a solution is initial Problems in the form of an asimptotical series on degrees of the small geometrical paramétré equal to the ratio Characteristic size of a mesh of periodicity to a characteristic size of a skew field. In this method the initial The boundary value problem is reduced to two recurrent sequences of problems. The first recurrent The sequence consists in determination of periodic solutions of auxiliary problems in a mesh Periodicity. The second sequence consists in a solution of initial-regional problems for the equation with In constant effective factors. These factors are after a solution on a mesh Periodicity of auxiliary problems. As base of a recursion in the second sequence in MBP serves Solution of a initial-regional problem for the equation with effective factors in definition range, Having the same form and it is exact with the same input datas, as an initial problem.
Input datas in each of recurrent sequences on what or a pitch are only after that as the previous recurrent problems are solved all.
In the present paper the new integral formulas are received, allowing to express a solution of the initial Problems for the equation with the variable factors depending on co-ordinates and time, through a solution The same problem for the equation with constant factors. The equation with constant factors Is called as the accompanying equations, and the problem according to accompanying a problem. In the kernel The integral formula the Green function and a difference of factors initial and accompanying enters The equations. By means of expansion of an accompanying solution in a many dimensional Taylor series from the integral Formulas equivalent representation of a solution of an initial problem in the form of a series on the various is received Derivative of a solution of an accompanying problem. Factors at derivatives are called as structural Functions. They are continuous functions of coordinates and time, converted in zero at Coincidence of initial and accompanying factors. For definition of structural functions it is constructed System of the recurrent equations. Through structural functions factors of the accompanying are defined The equations, coinciding in a periodic case with effective factors in MBP. Unlike Method of Bahvalova-Pobedri in the new approach it is necessary to solve one recurrent sequence of problems For determination of structural functions and once to solve a problem for a homogeneous skew field with the effective In performances.
Keywords: The equations of mathematical physics, integral formulas, average of differential equations, structural functions, effective factors.
Bibliography: 41 titles.
1. Введение
Задачи для неоднородных тел е быетрооецнллирующими коэффициентами рассматривались в семидесятые годы В.А. Ломакиным и его учениками [1]. К настоящему времени наиболее распространенным методом решения подобных задач является асимптотический метод малого геометрического параметра. В Госсии и за рубежом вышло большое количество статей и монографий, посвященных этому направлению, применительно к линейным и нелинейным задачам механики композитов. Опубликовано большое количество работ математиков и механиков [2, 3, 4, 5]. Отметим, что в 1984 году, практически одновременно, в CCCF вышли три замечательные книги посвященные методу осреднения. Это книги Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [6], Б.Е. Победри [7] и Э. Санчее-Паленсия [8]. После этого последовало резкое увеличение количества публикаций российских и иностранных авторов в этой области. Учитывая, что целью настоящей публикации не является подробный литературный обзор, упомянем лишь некоторые книги из обширного списка книг и статей: [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] и др. В этих книгах можно найти более подробную библиографию работ по теории осреднения уравнений с периодическими коэффициентами.
Огромный вклад в развитие метода осреднения внесли ученые МГУ имени М.И. Ломоносова, в частности в 1985 г. Н.С. Бахвалов и Б.Е. Победря в составе коллектива авторов за создание методов расчета конструкций из композиционных материалов получили Государственную премию СССР в области науки. В 1987 г. на механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова была организована кафедра механики композитов, которую с первого дня и до своей кончины 1 марта 2016 г. возглавлял Борис Ефимович Победря. Метод осреднения в механике композитов с регулярной структурой по праву называется методом осреднения Бахвалова-Победрн,
В настоящей работе показано, что решение исходной задачи для уравнения с переменными коэффициентами связано с решением такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами (сопутствующая задача) с помощью интегральной формулы. Приведена единая интегральная формула пригодная для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Наряду с интегральными представлениями получены представления решений исходных уравнений в виде рядов по всевозможным производным от решений сопутствующих уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты при производных называются структурными функциями. Они существенно зависят от характера неоднородности исходных коэффициентов. Для их определения выписаны системы рекуррентных уравнений. Через структурные функции вычисляются постоянные коэффициенты сопутствующего уравнения. В механике периодически неоднородных компо-
зитов они называются эффективными коэффициентами [6, 7]. Проблема эффективных коэффициентов в механике деформируемых твердых тел в геометрически нелинейном случае рассмотрена в работах [18, 19]
Решение рекуррентных специальных задач для структурных функций в одномерном случае находятся аналитически, В других случаях применяются приближенные способы вычислений, например метод Бубнова-Галеркина [20, 21]. Кроме этого, широко применяется метод конечных элементов реализованный, в частности, в виде отечественного программного комплекса “ФИДЕСИС” [22].
В настоящей статье показано, что решение исходной задачи для уравнения с переменными коэффициентами связано с решением такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами (сопутствующая задача) с помощью интегральной формулы. Приведена единая интегральная формула пригодная для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Наряду с интегральными представлениями получены представления решений исходных уравнений в виде рядов по всевозможным производным от решений сопутствующих уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты при производных называются структурными функциями. Они существенно зависят от характера неоднородности исходных коэффициентов. Для их определения выписаны системы рекуррентных уравнений. Через структурные функции вычисляются постоянные коэффициенты сопутствующего уравнения. В механике периодически неоднородных композитов они называются эффективными коэффициентами [6, 7]. Проблема эффективных коэффициентов в механике деформируемых твердых тел в геометрически нелинейном случае рассмотрена в работах [18, 19]
Решение рекуррентных специальных задач для структурных функций в одномерном случае находятся аналитически.(x,t), ri](x,t) и p(x,t) являются интегрируемыми функциями координат и времени, Cij — симметричные положительно определенные коэффициенты; X(х, t) — заданная функция координат и времени. Искомая величина u(x,t) может быть как скалярной, так и векторной функцией с компонентами и1,и2,и3, при этом коэффициенты Cij не симметричны и являются положительно определенными матрицами Cij = (CkUj).
В зависимости от физического смысла коэффициентов уравнение (1) описывает различные процессы. Далее их конкретизировать не будем. Не будем также конкретизировать типы граничных и начальных условий. Задачу для уравнения (1) будем называть исходной задачей.
Наряду с уравнением (1), в той же области V, рассматривается уравнение с постоянными коэффициентами C°j = C°ji = const., rj° = const., р° = const.
С°г] vtij — ri° v — p° v + X(x, t) = 0. (2)
Предполагается, что функция V удовлетворяет таким же, что и и граничным и начальным условиям.+
‘ j
+jdtj
0 V
ipij Gj) . — VG — (pGy [(n° — , r))vTd, r) +
+ (p° — p(S, T)) Vr (S,r)] Щ = = ipij vj) — Ф — {pv У +X (X, t) —
t
— I dr J S(x — 0|fc t(t — T) [C°kl — Ckl(i, r)] vn(£, Г) dVt —
0 V =-S(x-t)tk t
— I dr J S(x — OS(t — t) — vd, T))vT(£, r) +
0 У
+ (p° — P(S, r))vT(£, T)] Щ = = {Cij Vj) — Г]Ь— (p ьу +X(x, t)+ [(C°kl — Ckl(x, t)) vtl(x, t)] k— — [(ri° — ri(x, t))v(x, t) + (p° — p(x, t))v(x, t)] = = Cklv,ik — V°v — P°v + x(x, t) = 0 Ч. — несимметричные по ij матрицы вида Cij = (Cikji), Коэффициенты Cikji симметричны по первой и второй парам индексов, а также по индексам в парах, В этом случае функция Грина G(x,£,t — т) переходит в тензор Грина, соответствующей исходной задачи [28], В векторном виде интегральная формула мало чем отличается
t
от формулы (6), тем не менее, приведем ее здесь:
t
U(x, t) = v(x, t) + Jdrj G\°(x,C,t – т) [C°kl -Ckl(Z, r)] v\i(Z, T)dV(+
0 У
t
dV(C, т) , г „ , т)
+ jdrj G (x, – r){ [rf – V(Z, r)] + [p° – p(Z, r)] dV
0 У
(7)
В этой формуле волна снизу символа означает матрицу 3 х 3
(C1°H C1°2l C1°3l\ I G11 G12 G13
C2°1l C2°2l C2°3l I , G =1 G21 G22 G23
C3°1l C3°2l C3°3lJ \G31 G32 G33)
В компонентной записи формула (7) принимает вид:
Ui(x, t) = Vi(x, t) +
+ dr Gim\° (x,C,t – T)[C°rnknl Cm°nl (C, Vn\l(C, dVí +
0 У
+ I dr I Gm(Z,x,t – – V(C, r)\ дд^+
0 У
>{[* – , r)] + [p° – p«, r)] }
(8)
где Сгт(х,^,1 — г) — компоненты тензора Грина исходной задачи, В статическом случае вместо (6) и (8) имеем
и(х) = у(х) + ! С\г(х,0[С% — Сг,(0] ,
V
иг(х) = Уг(х) + J Сгт\к (х, О [Сшкп1 — Сткп1 (О] уп\ 1(0 ¿V*.
V
Интегральная формула для уравнений теории упругости неоднородного анизотропного тела получена впервые в 1991 году в работе [38], Аналогичная формула в динамической задаче теории упругости выводится в [34], Осреднение гофрированных пластин с применением интегральных формул проведено в работе [37], Для связанных задач моментной теории упругости и нестационарной задачи термоупругости интегральные формулы найдены в [32, 36], Интегральная формула в связанной задаче электромагнитоупругости опубликована в работе [30],
3. Представление решения исходной задачи в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Структурные функции.
Перемещение и, представленное формулой (6), можно использовать непосредственно, если известны тензор Грина исходной задачи и решение сопутствующей задачи. Интегральная формула использовалась при исследовании устойчивости неоднородных стержней с переменным поперечным сечением в работе [33], при определении собственных частот колебаний неоднородных стержней с переменным поперечным сечением в работах [31, 35], В этих случаях исходные уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Сопутствующая задача решается точно аналитически, а задача для функции Грина — приближенно, В результате удается найти приближенные аналитические выражения для критической силы и для первых собственных частот при различных условиях закрепления концов,
В плоском и, тем более, в трехмерном случае поиск тензора Грина представляет гораздо большую проблему, чем сама исходная задача. Поэтому интегральная формула (6), на первый взгляд, представляет академический интерес. Похожая ситуация изначально возникала и с интегральными формулами Сомилианы, однако, позднее из них вырос популярный метод граничных интегральных уравнений [39],
Для того, чтобы продвинуться дальше предположим, что функция .) = 1, а 1 (х, Ь) при р + д > 0 — непрерывные функции ко-
ординат XI, х2, хз и времени ¿, представляющие собой взвешенные моменты функции Грина и ее производных. Как видно из (9), функции 1 (х, Ь)
симметричны по индексам … гЖ-функции обращаются в нуль при равенстве исходных и сопутствующих коэффициентов. Если исходные коэффициенты периодичны по координатам, то и Ж-функции, вдали от границы тела, являются периодическими функциями по координатам, с теми же периодами, Будем называть Ж-функции структурными функциями.
Уравнения для структурных функций получаются при подстановке ряда (9) в исходное уравнение (1), сбора коэффициентов при одинаковых производных и учета сопутствующего уравнения (2), Вначале проведем подготовительную работу
и,з =
£
р+д=0
(д) 11…гч(д-1) ч..л 1 Эгч
дрь
11… гч
д\Р
и=
Р+д=0
(д)ц..лч ‘ (д)ц…г-
д ру
Ъ1..ЛЧ
дгр
(Сгуи,у) . =
р+д=0
т(р)
сгж
(р)
+ сгч г–1Ж(д-2)п..л–2
£ (с
д ру
гМР)и.(д-1)г1..Лч-г,3
+ N(р-1)
(д)ц..лч (д)ц..лч
+ С
(р)
чгч-1 (д-2)г1…гд-2
6[м(р1 +1..
(д)11… гд (д)ч.. Лд
(д)ц…гч (д)ц..лч
д ру
%1…гч
дгр
+х (х. г) = С°3 – Г]° V – р° >и + х(х. г) от полученного равенства получаем уравнения для структурных функций
в случае р + д = 1
Сг3 (х.1) (х, Ь). В каждой груп-
пе уравнения одного и того же типа. Свободные члены в уравнениях группы определяются через структурные функции из двух предыдущих групп. Для единственного решения структурных уравнений (10)-(12) нужно к каждому уравнению добавить граничные и начальные условия. Например, в случае первой начально-краевой задачи в области V, ограниченной поверхностью Е из условия совпадения граничных и начальных условий в исходной и сопутствующей задачах получаем следующие условия на структурные функции:
N,
(р)
(q)h…iq
(х, t)
0.
N
(р)
(q)h . 3
(1) (°)
(15)
CtlNKq) +CÜ NP+q)
– чнО?:! – «N,
nq (q-1)ii…iq-i
(p+9-2)
(q)ii…iq
+ СгМР+1 +Сгг iN((P+5)). .
0
(16)
Уравнения (14)-(15) имеют одну и ту же структуру. Они представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных с переменными коэффициентами эллиптического типа, независимо от типа исходного и сопутствующего уравнений. Если исходное и сопутствующее уравнения эллиптического типа, то все структурные функции с верхним индексом р > 1 тождественно равны нулю. + г,У = ¡(1)
Общее решение уравнения (24) представляется следующей формулой:
(23)
(24)
+ , п = 0 , д = 0
в(0
у (v =
$ №
К1 + Ц (т)йт
(% + К2, ‘Ц = 0, д = 0 (25)
¿т + К1, п = 0 , д = 0
°
Здесь Къ К2 — константы интегрирования. Функция ф) имеет вид:
Ф)
Г Г а(з)йв
К1 + Кт)е0 йт
— / а(в)4в
е 0
а(в)
д( в )
В начале рекурсии, т. с1£ + К
К1Ч I + К2П , 1 = 0 , 6 = 0 Кц± , Г] = 0 , д = 0
, ‘1 = 0, д = 0
о
0
Если же р = 1, д = 0 то правая часть уравнения (24) ¡{Ь) = г/°, при этом У = N(1 {1) + ¿, следовательно
N0(1) = – +<(
в(и)
г] = 0, д = 0
г] = 0, д = 0 V = 0, 0 = 0
(27)
где
Кг + У <п°е
о
f а(., г], д зависят только от координат и периодичны по всем трем координатам, В этом частном случае структурные функции будут непрерывны и периодичны с теми же периодами по координатам. Кроме этого, непрерывны и периодичны выражения в квадратных скобках в уравнениях (14)-(16), Обозначим любую из ячеек периодичности через О и усредним по ячейке уравнения (14)-(16), В результате получим формулы для коэффициентов С°, г]°, д° в сопутствующих уравнениях
Ск = (Сг2№)г Ы + С™ )а , = , 0° = (в + Ф(0))п (28)
В этих формулах участвуют только начальные структурные функции, которые являются периодическими решениями уравнений (26) на ячейке периодичности, Как показано в работе [6] периодические решения структурных уравнений существуют и определены с точностью до постоянных величин, Эти постоянные величины определяются из условия нормировки, т.е. из условия равенства нулю средних значений структурных функций в ячейке периодичности, В этом случае среднее в любой ячейке от решения исходного уравнения, представленного рядом (13), стремится к решению сопутствующего уравнения при дроблении структуры., г], д произвольные интегрируемые функции координат сопутствующие коэффициенты будем определять по тем же самым формулам (27), только усреднять будем не по отдельной ячейке, а по всей области
СО _
Сг2П
С • N(0) + С-
Сг231у(1)г + Сi2il
), ‘П° _ (V) , 0° _(е + 11 N0)) (29)
Здесь усреднение берется по области V определения исходной задачи и обозначается просто угловыми скобками, В периодическом по координатам случае формулы (27) и (29) дают разные результаты, однако они сближаются с дроблением структуры, т.е. с увеличением числа ячеек периодичности в области V. Это объясняется тем, что в периодическом случае в области V имеется пограничный слой толщиной порядка характерного размера ячейки периодичности, в котором структурные функции перестраиваются от граничных до периодических внутри области функций.ХСЗЗ1) <С331С3, ) – {Сi3С33iС3j) ,
(С3-31)-ч с-1 i ф)<ъ
>
<
Х3
_ (в) + {‘П С—1 (у)
Щ(г)йг – (С3-31)
-Г1 (
У1
С331( У1)
У
Здесь г] = г(х3) — (г),
5. Заключение
Разработана методика осреднения исходного линейного уравнения математической физики с переменными коэффициентами, основанная на интегральной формуле представления решения уравнения с переменными коэффициентами через решение сопутствующего уравнения с постоянными коэффициентами, Из интегральной формулы, в предположении о гладкости сопутствующего решения, получены представления в виде рядов по всевозможным производным от сопутствующего решения. Коэффициенты рядов названы структурными функциями. Это название связано с тем, что коэффициенты рядов зависят от типа функций, описывающих зависимость исходных коэффициентов от координат и времени. Структурные функции обращаются в нуль при стремлении исходных коэффициентов к сопутствующим коэффициентам. Для них получены системы вспомогательных рекуррентных уравнений. Исследованы частные случаи зависимости исходных коэффициентов только от координат и только от времени, В последнем случае рекуррентные уравнения представляют собой системы однотипных обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых найдено общее решение. Показано, что в частном случае периодической зависимости коэффициентов от координат сопутствующие коэффициенты с необходимостью выражаются через начальные структурные функции. Эти формулы распространены на непериодический случай. При зависимости исходных коэффициентов от координат и времени предложено выбирать сопутствующие коэффициенты по формулам непериодического случая в начальный момент времени. Найдены аналитические формулы для сопутствующих коэффициентов в случае неоднородного по толщине, бесконечного в плане слоя. Интересным является то обстоятельство, что в случае исходного уравнения параболического типа с коэффициентами, зависящими от координаты по толщине слоя, эффективное сопутствующее уравнение является гиперболическим уравнением. Из этого следует вывод, что в теле, в котором процесс описывается параболическим уравнением с переменными по координатам коэффициентами возмущения распространяются с конечной скоростью [29],
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1, Ломакин В, А, Теория упругости неоднородных тел, М,: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.
2, Чепмен С,, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов,Перевод с английского К.В. Малиновской под редакцией академика H.H. Боголюбова, М,: Иностранная литература, 1960, 511 с.
3, Боголюбов Н, Н,, Митропольский Ю, А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М,: Наука, 1963, 412 с,
4, Марченко В, А,, Хруелов Е, Я, Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Киев: Наукова думка, 1974, 416 с,
5, Бердичевский В, Л, Вариационные принципы механики сплошной среды, М.: Наука. 1983. 448 с.
6, Бахвалов Н, С,, Панаеенко Г, П, Осредпеппие процессов в периодических средах, М,: Наука, 1984, 352 с,
7, Победря Б.Е, Механика композиционных материалов, М,: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
8, Сапчес-Палепсия Э, Неоднородные среды и теория колебаний, М,: Мир, 1984. 472 с.
9, Шкиль Н, И,, Вороной А, Н, Лейфура В, Н, Асимптотические методы в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях, Киев: Вища школа, 1985, 248 с,
10, Андрианов И, В., Лесничая В, А,, Маневич Л, И, Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек, М,: Наука, 1985, 221 с,
11, Олейник O.A., Иосифьян Г, А,, Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред, М,: Изд-во МГУ, 1990, 311 с,
12, Kalamkarov A, L, Composite and reinforced elements of construction, Baffins Lane, Cheehester, West Sussex P019, England,: John wiley & Sons Ltd, 1992, 286 c.
13, Жиков В, В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1993. 462 с.
14, Levinski Т., Telega J.J, Plates, Laminates and shells. Asymptotic Analysis and Homogenization, N.J.: World Scientific Publishing Co, 2000, 739 c,
15, Бардзокае Д. И,, Зобнин А, И, Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры, М.: К. упорна. I УРСС. 2003. 376 с.
16, Колпаков А, Г, Композиционные материалы и элементы конструкций с начальными напряжениями, Новосибирск: Издательство СО РАН, 2007, 254 с.
17, Большаков В, И,, Андрианов И, В., Данишевский В, В, Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры, Днепропетровск: Пороги, 2008, 197 с.
18, Левин В, А,, Лохин В, В., Зингерман K.M. Об одном способе оценки эффективных характеристик пористых тел при конечных деформациях // Известия РАН, Механика твердого тела, 1997, JVS 4, С, 45-50,
19, Левин В, А,, Лохин В, В., Зингерман K.M. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН, 2002,Т. 382,
4. С. 482-487.
20, Победря Б, Е, Численные методы в теории упругости и пластичности, М.: Изд-во МГУ. 1995. 366 с.
21, Зубчанинов В, Г, Основы теории упругости и пластичности, М,: Высшая школа, 1990, 368 с,
22, Морозов Е.М., Левин В, А,, Вершинин A.B. Прочностной анализ, ФИ-ДЕСИС в руках инженера. М.: ЛЕНАНД, 2015.
23, Архипов Г, П., Садовничий В, А,, Чубариков В, Н, Лекции по математическому анализу, М,: Высшая школа, 1999, 695 с,
24, Гельфанд II. \ I.. Шилов Г, Е, Обобщенные функции и действия над ними, II i. 1.2. M,: Физматгиз, 1959, 470 с,
25, Кеч В., Теодореску И, Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике, М,: Мир, 1978, 518 с,
26, Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443 с,
27, Владимиров В, С, Обобщенные функции в математической физике, М.: Наука, 1976. 280 с.
28, Новацкий В, Теория упругости, М,: Мир, 1975, 872 с,
29, Горбачев В, И, О распространении тепла в неоднородном стержне с переменным поперечным сечением // Вестник Московского университета. Математика, Механика, 2017, №2, С, 48-54,
30, Gorbachev V, I, Integral formulas in electromagnetic elasticity of heterogeneous bodies, application in the mechanics of composite materials // Composites: Mechanics, Computations, Applications, An International J, // 2017. V. 8. № 2. C. 147-170.
31, Горбачев В, И, О собственных частотах продольных колебаний неоднородного стержня с переменным поперечным сечением / / Вестник Московского университета. Математика, Механика, 2016, №1, С, 31-39,
32. Горбачев В, И, Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости, Применение в механике композитов // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. № 2. С. 277-299.
33. Горбачев В. П., Москаленко О. Б. Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой / / Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2012. №2. С. 41-47.
34. Горбачев В. И. Динамические задачи механики композитов // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т. 75. № 1. С. 117-122.
35. Горбачев В. И. О колебаниях в неоднородном упругом теле. Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 г. М,: Изд-во МГУ 2011. С. 319-326.
36. Горбачев В. И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2009. №6. С. 52-56.
37. Архангельский А. Ф,, Горбачев В. И. Эффективные характеристики гофрированных пластин // Изв. РАН M ТТ. 2007. JVS 3. С. 137-155
38. Горбачев В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред / / Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. JVS 2. 61-76.
39. Бреббия К., То.мое Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.
40. Олехова Л. В. Кручение неоднородного анизотропного стержня. Диссертация кандидата физико-математических наук. Master’s thesis, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, 2009.
41. Емельянов А. Н. Эффективные характеристики в моментной теории упругости. Диссертация кандидата физико-математических наук. Master’s thesis, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, 2016.
REFERENCES
1. Lomakin, V. А. 1976, Теоггуа uprugosti neodnorodnyh tel [The theory of elasticity of nonhomogeneous bodies], Izdatel’stvo MGU imeni M.V. Lomonosova, Moscow, pp. 367.
2. Chapman, S. & Kauling, T. 1952, The mathematical theory of non-uniform gases, At the University Press, Camdridge, pp. 511.
3, Bogolyubov, N, N, & Mitropolsky, Ju, A. 1976, Asimptoticheskie metody v teorii nelinejnyh kolebanij [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations], Nauka, Moscow, pp. 412,
4, Marchenko, V. A. & Hruslov, E, Ja, 1974, Kraevye zadachi v oblastyah s melkozernistoj granicej [The regional problems in areas with fine-grained boundary], Naukova Dumka, Kiev, pp. 416,
5, Berdichevsky, V, L, 1983, Variacionnye principy mekhaniki sploshnoj sredy [Variational principles of a ‘mechanics of a continuous medium], Nauka, Moscow, pp. 448,
6, Bahvalov, N,,C, & Panasenko, G.P, 1984 Osrednennie processov v periodicheskih sredah [Averaging of processes in periodic Materials], Nauka, Moscow, pp. 352,
7, Pobedria, B, E, 1984 Mekhanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials], Izdatel’stvo MGU imeni M.V, Lomonosova, Moscow, pp. 336,
8, Sanehez-Paleneia, E, 1980 N on-Homogeneous Media and Vibration theory, Springer-Verlag, New York, pp. 472,
9, Shkil, N.I., Voronoi, A.N, & Lejfura, V.N. 1985, Asimptoticheskie metody v differencial’nyh i integro-clifferencial’nyh uravneniyah [Asymptotic methods in the differential And the integro-differential equations], Vishaya shkola, Kiev, pp. 248.
10. Andrianov, I. V„ Lesniehaja, V. A. & Manevich, L. I. 1985, Metod usredneniya v statike i dinamike rebristyh obolochek [Method of an average in a statics and dynamics Ridge covers, Nauka, Moscow, pp. 221.
11. Olevnik, O. A., Iosifjan, G.A. & Shamaev, A. S. 1990, Matematicheskie zadachi teorii siVno neodnorodnyh sred [Mathematical problems of the theory it is strong N on-Homogeneous media], Izdatel’stvo MGU imeni M.V. Lomonosova, Moscow, pp. 311.
12. Kalamkarov, A. L. 1992, Composite and reinforced elements of construction, John wilev & Sons Ltd., Baffins Lane, Chechester, West Sussex P019 1 UD, England, pp. 286.
13. Jikov, V. V., Kozlov, S. M. & Olevnik, O. A. 1993, Usrednenie differencial’nyh operatorov [Averaging of differential operators], Fizmatlit, Moscow, pp. 462.
14. Levinski, T. & Telega, J. J. 2000, Plates, Laminates and shells. Asymptotic Analysis and Homogenization, World Scientific Publishing Co, pp. 739.
15. Bardzokas, D.I. & Zobnin, A.I. 2003, Matematicheskoe modelirovanie fizicheskih processov v kompozicionnyh materialah periodicheskoj struktury [Mathematical modeling of physical processes in Composite materials of periodic structure], Editorial URSS, Moscow, pp. 376.
16. Colpakov, A. G. 2007, Kompozicionnye materialy i ehlementy konstrukcij s nachaVnymi napryazheniyami [Composite materials and elements of structures with initial stress], Izdatel’stvo SO RAN, Novosibirsk, pp. 254.
17. Bolshakov, V.I., Andrianov, I. V. & Danishevsky, V.V. 2008, Asimptoticheskie metody rascheta kompozitnyh materialov s uchetom vnutrennej struktury [Asymptotic methods of calculation of composite materials taking into account interior structure], Porogi, Dnepropetrovsk, pp. 197.
18. Levin, V. A., Lohin, V.V., & Zingerman, K. M. 1997, “About one expedient of an estimation of the effective Performances of porous skew fields at final strains”, Izvestiya RAN. Mekhanika tverdogo tela ( Mechanics of Solids), no. 4, pp. 45 – 50.
19. Levin, V.A., Lohin, V. V., & Zingerman, K.M. 2002, “About construction of the effective defining Relations for porous elastic materials at final strains and their superposition”, Doklady RAN (Reports of the Russian Academy of Sciences), vol. 382, no. 4. pp. 482 – 487.
20. Pobedria, B. E. 1995, Chislennye metody v teorii uprugosti i pla-stichnosti [Numerical methods in the elasticity and plasticity theory], Izdatel’stvo MGU imeni M.V. Lomonosova, Moscow, pp. 366.
21. Zubehaninov, VG, 1990, Osnovy teorii uprugosti i pla-stichnosti [Bases of the elasticity and plasticity theory], Vysshava shkola, Moscow, pp. 368.
22. Morozov, E. M., Levin, V.A., & Vershinin, A. V. 2015, Prochnostnoj analiz. FIDESIS v rukah inzhenera [Strengths Analysis. FIDESIS in hands of the engineer, LENLAND, Moscow, pp. 408.
23. Arhipov, G.I., Sadovnichv, V. A., & Chubarikov, V.N. 1999, Lekcii po matematicheskomu, analizu, [Lectures on the mathematical analysis], Visshaia Shkola, Moscow, pp. 695.
24. Gelfand, I. M.. & Shilov, G. E. 1959, Obobshchennye funkcii i dejstviya nad nimi. Izd.2 [Generalised functions and actions over them. Ed. 2], Fizmatgiz, Moscow, pp. 470.
25. Kech, V., & Teodoresku, P. 1978, Vvedenie v teoriyu obobshchennyh funkcij s prilozheniyami v tekhnike [Introduction in the theory of generalised functions with applications in the technician], Mir, Moscow, pp. 518.
26. Sobolev, S, L, 1966, Uravneniya matematicheskoj fiziki [The equations of mathematical physics], Nauka, Moscow, pp. 443,
27. Vladimirov, V, S, 1976, Obobshchennye funkcii v matematicheskoj fizike [Generalised functions in the mathematical physics], Nauka, Moscow, pp. 280,
28. Novatskv, V, 1975, Teoriya uprugosti [The elasticity theory], Mir, Moscow, pp. 872.
29. Gorbachev, V.I, 2017, “Heat propagation in a nonuniform rod of variable cross section”, Moscow University Mechanics Bulletin, Vol, 72, no, 2, pp. 48-53. doi: 10.3103/S0027133017020042
30. Gorbachev, V.I, 2017, “Integral formulas in electromagnetic elasticity of heterogeneous bodies, aplication in the mechanics of composite materials”, Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International J., Vol. 8. no. 2, pp. 147- 170. doi: 10.1615/CompMechComputApplIntJ.v8.i2.40
31. Gorbachev, V.I. 2016, “Natural frequencies of longitudinal oscillations for a nonuniform variable cross-section rod”, Moscow University Mechanics Bulletin, Vol. 71, no. 1, pp. 7-15. doi: 10.3103/S0027133016010027
32. Gorbachev, V. I. 2014, “Integral formulae in the coupled problem of the thermoelastieity of an inhomogeneous body, application in the mechanics of composite materials”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 78, no. 2, pp. 192-208. doi: 10.1016/j.jappmathmeeh.2014.07.013
33. Gorbachev V. I., & Moskalenko O.B. 2012, “Stability of bars with variable rigidity compressed by a distributed force”, Moscow University Mechanics Bulletin, Vol. 67, no. 1, pp. 5-10. doi: 10.3103/S0027133012010025
34. Gorbachev, V.I. 2011, “Dynamic problems of composite mechanics”, Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics., Vol. 75, no. 1, pp. 110-115. doi: 10.3103/S1062873810121068
35. Gorbachev, V.I. 2011, “About oscillations in an inhomogeneous elastic body”, Elasticity and an unelasticity. Materials of the international scientific symposium on problems of the ‘mechanics of deformable bodies, devoted to the 100 anniversary from the date of A.A.Ilyushin’s birth (Moscow, on January, 20-21th, 2011), Izdatel’stvo MGU imeni M.V. Lomonosova, Moscow, pp. 319-326.
36. Gorbachev, V.I. 2009, “Integral formulas in symmetric and asymmetric elasticity”, Moscow University Mechanics Bulletin, Vol. 64, no. 6, pp. 148-151. doi: 10.3103/S002713300906003X
37. ArkhangePskyi, A. F,, & Gorbachev, V. I. 2007, “Effective characteristics of corrugated plates”, Mechanics of Solids, Vol, 42, no, 3, pp. 447-462, doi: 10.3103/S0025654407030132
38. Gorbachev, V, I, 1991, “Method of tensors of Green for a solution of boundary value problems of the theory of elasticity of inhomogeneous media”, The Computing ‘mechanics of a deformable rigid body, Moscow, no, 2, pp. 61 -76.
39. Brebbia, C,, Telles, J., & Vroubel, L. 1984, Boundary elements techniques, Springer-verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, pp 526.
40. Olekhova, L.V. 2009, Torsion of an inhomogeneous non-isotropic rod. A thesis of the candidate Physical and mathematical sciences. Master’s thesis, The Moscow State University of M.V.Lomonosova, Mehaniko-mathematical Faculty.
41. Yemelvanov, A. N. 2016, Effective performances in moment elasticity theories. A thesis The candidate of physical and mathematical sciences. Master’s thesis, The Moscow State University of M.V.Lomonosova, Mehaniko-mathematical Faculty.
получено 23.06.2017
принято в печать 14.09.2017
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Авторы программы курса: Радкевич Евгений Владимирович, Палин Владимир Владимирович
Преподаватель: Радкевич Евгений Владимирович
Аннотация
Годовой курс «Уравнения математической физики» состоит из двух частей. Первая часть представляет собой сжатое изложение ряда классических результатов теории линейных уравнений с частными производными второго порядка и необходимых конструкций из теории обобщённых функций, и пространств Соболева. Вторая часть должна познакомить студентов с более современными результатами для квазилинейных и нелинейных задач. В качестве приложений рассматриваются задача Коши для систем законов сохранения и задача о двойной пористости.
План курса
Лекция 1. Волновое уравнение (задача Коши и смешанная задача). Линейные замены переменных. Представление решения в виде суммы двух волн. Формула Даламбера. Смешанная задача для полуограниченной струны. Метод нечётного продолжения. Сферическая симметрия и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Формула Кирхгофа. Формула Пуассона. Интеграл энергии, конус зависимости, единственность.
Лекция 2. Параболика (классика).Ядро Пуассона как решение с симметриями. Существование классического решения задачи Коши (с непрерывными и ограниченными начальными данными) и его гладкость. Теоремы о стабилизации. Принцип максимума в “стакане” и в полосе (техника суб- и суперрешений). Единственность для задачи Коши и для первой смешанной задачи.
Лекция 3. Эллиптика (классика). Гармонические функции и их свойства: три теоремы о среднем, принцип максимума, единственность. Свертка с усредняющим ядром и ее гладкость. Гладкость гармонических функций. Неравенство Харнака без точных констант (по книге [5]), теорема Лиувилля.
Лекция 4. Обобщённые функции. Пространства D и D’, S и S’. Ограничение обобщённой функции на множество. Операции над обобщёнными функциями: общая схема, дифференцирование, домножение на гладкую функцию. Преобразование Фурье. Образ Фурье быстро убывающей функции — быстро убывающая.s_0(\Omega). Неравенства Фридрихса и Пуанкаре. След функции на многообразии. Функции с нулевым следом.
Лекция 6. Эллиптика (обобщённые постановки). Обобщённые решения краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в ограниченной области: существование и единственность. Вариационная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод Ритца.
Лекция 7. Нелинейные УрЧП первого порядка. Обобщённая задача Коши для нелинейного УрЧП первого порядка. Локальная теорема существования классического решения. Частный случай: нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби. Несуществование глобального гладкого решения. Обобщенное решение в смысле интегрального тождества. Условия Рэнкина-Гюгонио. Неединственность. Регуляризация вязкостью (выпуклый случай) и условие Лакса устойчивой ударной волны. Формулы Хопфа-Лакса и Лакса-Олейник.
Лекция 8. Задача Римана и схема Годунова. Выпуклый случай: ударная волна и волна разрежения. Случай произвольной функции потока: геометрическое решение как многозначное решение, получаемое методом характеристик. Условие Введенской-Олейник и построение обобщённого решения по геометрическому. Схема Годунова.
Лекция 9. Системы законов сохранения. Строгая и нестрогая гиперболичность. Алгебра: гладкость собственных векторов и собственных значений в строго гиперболическом случае. Простые волны, линейная вырожденность и существенная нелинейность. Волна разрежения, контактный разрыв и ударная волна. Существование решения задачи Римана для малых скачков. Инварианты Римана.
Лекция 10. Двухмасштабная сходимость. Метод монотонности для нелинейных эллиптических уравнений. По книге [8]
Практические занятия и семинары.
Корректность. Основные постановки линейных задач. Решения в виде волнового пакета. Корректность.
Гиперболические уравнения: классические решения.Характеристики по Годунову. Общее решение для гиперболического УрЧП с двумя независимыми переменными. Четырехточечное соотношение как точная разностная схема для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Метод падающей и отраженной волн. Волновые фронты. Частные случаи возможности точного решения задачи Коши: сферическая симметрия, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа.
Параболические и эллиптические уравнения: классическая теория. Случаи точного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности: интеграл с квадратичной фазой, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа. Параболическая теорема о среднем (формулировка). Задачи о линиях уровня. Теоремы о стабилизации. Задачи об аналогах принципа максимума.1((0;\pi)) в C([0;\pi])). Решения с конечной энергией и группа сдвигов начальных данных на время t для волнового уравнения. Ряд Фурье гармонической функции в кольце и круге как аналог ряда Лорана.
Законы сохранения и нелинейные волны.Классические решения задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Допустимые обобщённые решения задачи Коши для скалярного закона сохранения (выпуклый случай). Взаимодействие волновых фронтов. Задача Римана (невыпуклый случай). Сохранение среднего. Выравнивание. Инварианты Римана. Энтропия.
Двухмасштабная сходимость. Слабая сходимость в L_2 и слабая двухмасштабная сходимость. Сильная двухмасштабная сходимость. Потенциальные и соленоидальные векторы. Классическое усреднение.
Литература
-
Владимиров В.С., “Уравнения математической физики.” М.: Наука, 1981.
-
Годунов С.К., “Уравнения математической физики.” М.: Наука, 1979
-
Жиков В.В., Иосифьян Г.А., “Введение в теорию двухмасштабной сходимости” Тр. сем. им. Петровского, 2013, вып. 29, 281-332.
-
Комеч А.И., “Практическое решение задач математической физики.” М.: МГУ, 1993.
-
Либ Э., Лосс М., “Анализ: Учебное пособие для студентов мат. и физ. специальностей вузов.” Пер. с англ. Т. Н. Рожковской, Новосибирск, Науч. кн., 1998.
-
Михлин С.Г., “Курс математической физики.” М.: Наука, 1968
-
Петровский И.Г., “Лекции об уравнениях с частными производными.” изд.-3, дополненное. М.: Наука, 1961.
-
Эванс Л.К.,” Уравнения с частными производными.” Пер. с англ. Т.Н. Рожковской, Новосибирск, Тамара Рожковская, 2003.
Дополнительная информация
Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы
Издательство «Альпина нон-фикшн» выпустило книгу астрофизика, доктора физико-математических наук Сергея Попова «Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы».
Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление вызывают естественно-научные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции — от дорожной развязки до квантового компьютера — сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам также не обойтись без математики. Но это кажется таким сложным и запутанным! Как перестать бояться формул и полюбить математику? Почему она так эффективна в естественных науках? Есть ли этому предел, или, наоборот, для более глубокого понимания природы придется создавать математические конструкции, уже не укладывающиеся в голове человека? Все эти вопросы затрагиваются на страницах книги. На многие из них невозможно найти окончательные однозначные ответы. Но мы продолжаем обсуждать их и пытаемся понять, как устроен этот мир. Для этого понадобится преодолеть разделение на «две культуры» — «гуманитариев» и «естественников». Попробуем сделать еще один шаг в этом направлении.
Предлагаем прочитать отрывок из книги.
Можно взять научные статьи по одной тематике, например небесной механике, и посмотреть, как они менялись на протяжении веков. В «Математических началах» Ньютона формул на удивление мало, там больше слов и рисунков. Оттолкнувшись от его идей, несколько поколений европейских ученых активно развивали эту область. Поскольку в течение долгого времени не появлялось существенно новых подходов, ученые демонстрировали всё бóльшую и бóльшую изощренность в рамках одной и той же парадигмы. Это приводило к росту визуальной сложности используемого аппарата, особенно с точки зрения непрофессионала. Можно взять в качестве примера сложные небесно-механические расчеты середины XIX века, например, книгу Шарля-Эжена Делоне о движении Луны. Фактически вся книга — лишь пара формул. Вроде бы сложно и накручено, но по сути это только ньютоновская механика. Эдакий аналог стимпанка: паровоз, похожий на звездолет.
Развитие какой-нибудь области теоретической физики может приводить и к компактификации записи. Собственно, ученые специально тратят значительные усилия, чтобы упростить себе жизнь, придумав новые методы записи уравнений или расчетов. Введение лагранжианов и гамильтонианов позволило сделать многие рассуждения и операции в классической механике существенно проще, прозрачнее. Изобретение фейнмановских диаграмм облегчило жизнь физикам-теоретикам в области изучения элементарных частиц. Добившись более рационального способа манипуляций с уравнениями в одной области, можно позволить себе потратить освободившиеся интеллектуальные ресурсы на интеграцию разных физических процессов в едином подходе к описанию какого-нибудь феномена.
При развитии моделей возможно их усложнение путем добавления эффектов из других областей, т. е. происходит некий синтез разных частей физики в приложении к одному явлению. Скажем, на первом этапе, изучая поведение плазмы в астрофизическом источнике, пренебрегли магнитными полями, ограничившись гидродинамикой и ньютоновской механикой. А затем добавили магнитные поля, учли конечную проводимость плазмы. Потом стали учитывать и реакции в плазме. Модель становится всё детальнее, и число уравнений растет или же увеличивается их длина.
Хорошим примером возрастания сложности моделей могут служить расчеты вспышек сверхновых. Напомним, что выделяют два основных типа сверхновых: коллапс ядра массивной звезды (типы Ib, Ic и II) и термоядерный взрыв сверхкритического белого карлика (тип Ia). Чтобы не усложнять изложение, рассмотрим только сверхновые, связанные с коллапсом.
Он начинается, когда давление в ядре не может больше противостоять гравитации. Данная стадия наступает, если в звездных недрах исчерпаны возможности для дальнейших термоядерных реакций, так что обычно коллапсирует железное ядро, окруженное оболочками с преобладанием других элементов (кремния, кислорода и т. д.), — так называемая луковичная структура звезды. Если быстрое сжатие не остановится[1], то образуется черная дыра, и никакого мощного энерговыделения не будет.
Однако чаще всего масса ядра для этого недостаточна, а потому коллапс резко прекращается. Это происходит, когда плотность вещества в сжимающемся объеме достигает плотности атомного ядра. Образуется компактный плотный объект — протонейтронная звезда, а снаружи на него падают внешние слои звездного ядра. В результате за короткое время — менее секунды — выделяется колоссальная кинетическая энергия схлопывающегося ядра и падающих на него оболочек. Это и приводит в конечном счете к взрыву сверхновой, если образовавшаяся ударная волна сможет пробиться через окружающее вещество наружу.
Основная часть энергии уносится нейтрино. Заметная доля перейдет в кинетическую энергию сбрасываемого вещества. Наконец, какая-то небольшая часть будет испущена в виде электромагнитного излучения. И этой «какой-то небольшой части» хватит, чтобы вспышка превзошла по блеску все звезды не слишком крупной галактики.
Физика этого события сложна и многогранна. До сих пор мы не можем с уверенностью сказать, что хорошо понимаем процесс взрыва сверхновой. Несмотря на полвека исследований, до сих пор нет достаточно надежной и полной трехмерной компьютерной модели, в которой удалось бы получить разлет вещества без дополнительных предположений. Не хватает совсем чуть-чуть энергии ударной волны, и идет напряженная работа в попытках раскрыть эту загадку.
На протяжении десятилетий модели сверхновых постоянно совершенствовались. Постепенно в расчеты добавлялись всё новые и новые ингредиенты. Первые расчеты начали проводить Стирлинг Колгейт (Stirling Colgate) и его соавторы во второй половине 1960-х гг. Вспышки сверхновых наблюдались с давних времен, но лишь в 1930-е гг. начали вырисовываться основные черты этого явления с наблюдательной точки зрения. К началу 1960-х стало ясно, что коллапс (возможно, сопровождаемый выделением энергии в термоядерных реакциях) способен обеспечить нужную энергетику.
Модель Колгейта и Уайта (Richard White), опубликованная в 1966 г., включала в себя гидродинамику, базовые предположения, касающиеся ядерной физики, и простейшие оценки переноса нейтрино (замечу, что Колгейт, как и многие первые исследователи сверхновых, в том числе и в нашей стране, до того как пришел в астрофизику, занимался разработкой термоядерного оружия; причина проста: у этих задач много общего в смысле физики процессов). Несмотря на то, что статья была настоящим прорывом и оказала большое влияние на развитие сценариев взрывов сверхновых (это, в частности, выражается и в том, что сейчас на нее есть несколько сотен ссылок из других, более поздних, научных публикаций), модель была слишком простой (отмечу, что при этом в статье мы обнаруживаем более сотни только пронумерованных формул!), чтобы дать адекватное описание феномена.
В ходе дальнейших исследований многочисленные авторы, входящие в разные исследовательские группы по всему миру (изучение сверхновых — очень интернациональная область астрофизики), развивали и совершенствовали подходы к моделированию взрыва. Так, группа Геннадия Бисноватого-Когана в Москве сделала ставку на учет процессов, связанных с вращением и сильными магнитными полями, образующимися в результате сжатия ядра. Энергия вращения и магнитного поля растет при коллапсе за счет гравитационной потенциальной энергии. Важно, что значительную ее часть можно затем передать оболочке, а именно это нужно, чтобы получить взрыв. Однако физика резко усложняется, если к и без того непростой гидродинамике и переносу нейтрино добавлять магнитную гидродинамику, да еще с быстрым вращением, что требует в идеале трехмерных расчетов (первые модели сверхновых были, по сути, одномерными, т. е. рассматривался сферически-симметричный случай), а они не только технически сложнее с точки зрения алгоритмизации и программирования, но и требуют гораздо более мощных компьютеров для вычислений.
Важным этапом в развитии моделей сверхновых стал детальный учет эффектов общей теории относительности. Они, безусловно, становятся важны в задаче о коллапсе, так как в центре взрыва находится компактный массивный объект. Оказалось, что эффекты ОТО помогают взрыву. Это было хорошей новостью. Плохая заключалась в том, что их недостаточно, чтобы решить все проблемы.
Модели продолжали оттачиваться. Авторы начали детально рассчитывать эффекты, связанные с турбулентностью в коллапсирующем веществе. Всё более детально учитывалась физика нейтрино. Например, стали принимать во внимание нейтринные осцилляции, а также процессы с участием этих частиц в сильном магнитном поле (уточню, что такие эффекты сильных полей принципиально отличаются от учета магнитного поля в смысле динамики плазмы или передачи энергии оболочке). Всё более детально учитывались эффекты, связанные с ядерной физикой. А это не только многочисленные реакции, но и использование уравнений состояния, всё лучше описывающих поведение вещества. Уравнение состояния показывает, как давление зависит от плотности, т. е., в частности, определяет, как вещество сопротивляется сжатию. Мы относительно неплохо понимаем, как устроено уравнение состояния вплоть до ядерных плотностей. Но внутри протонейтронной звезды плотность уже начинает превосходить это значение — там «живут драконы». У нас нет экспериментальных данных или надежной теории для описания процессов в сверхплотном веществе, тем более при такой большой температуре, как при коллапсе ядра звезды. Поэтому тут открывается простор для усилий теоретиков. В 2015 г. группе Ханса-Томаса Янки (Hans-Thomas Janka) в Германии удалось путем учета вклада так называемых странных (s-) кварков получить взрыв сверхновой в трехмерном расчете. Однако и это не стало финальной точкой — физика кварков сама по себе достаточно сложна, а в расчетах пока были использованы лишь довольно простые варианты их описания.
Сейчас физика сверхновых — это в первую очередь сложные компьютерные модели. Теория в этой области исследований прошла большой путь от простых аналитических оценок энергии взрыва до трехмерных расчетов с использованием самых мощных суперкомпьютеров на Земле (и даже на них расчет каждого варианта занимает месяцы, а надо ведь еще варьировать параметры моделей!). Сможем ли мы с помощью дифференциальных уравнений и традиционных численных методов добиться полного понимания? Или понадобится какой-то эволюционный скачок в попытке воспроизвести сверхновую в компьютере?
[1] В самой центральной части ядра звезды коллапс на крайне короткое время останавливается при достижении ядерной плотности даже в случае формирования черной дыры. Но затем очень быстро натекающее из внешних слоев ядра вещество довольно скоро приводит к окончательному коллапсу.
Формулы стихии. Раскрыть секреты океанской кухни помогает математическое моделирование – Поиск
03.05.2020
На компьютерном мониторе – земной шар. Неподвижные темные континенты и пульсирующий, переливающийся живой Мировой океан, занимающий 2/3 поверхности планеты, больше всех континентов вместе взятых. Желтые, красные точки обозначают уровень водной поверхности по отношению к берегам, а клубок мерцающих красных точек в районе Флоридского пролива – это Гольфстрим. Ученые знают едва ли не все, что творится на «океанской кухне». Им по силам создать портрет Мирового океана в разрезе благодаря возможностям математического моделирования. Рассказывает заведующий лабораторией Института океанологии им. П.П.Ширшова РАН, член-корреспондент РАН Сергей ГУЛЕВ.
Глобальная циркуляция Мирового океана – механизм наисложнейший. А математические модели помогают понять, как он устроен и как работает. На первый взгляд, водная стихия мало чем отличается от воздушной, как мы говорим, это такая же сплошная жидкая среда. Чтобы смоделировать ее поведение с помощью уравнений, нужно описать постоянное и разно-образное движение течений и вихрей, а также сил, заставляющих перемещаться морскую воду. Получится картина состояния океана от поверхности до дна, подчас глубиной в километры. Но в отличие от атмосферы моделирование океана – задача более сложная.
Мало того что океаны разделены континентами, по сравнению с атмосферой мы знаем о них гораздо меньше. В первую очередь это касается их глубин. Сегодня спутниковые наблюдения дают огромный объем информации. Однако динамику океана на глубинах увидеть из космоса невозможно – есть лишь информация о его поверхности. Смоделировать подводную стихию позволяют гидродинамические уравнения. Это известные из школьного курса физики фундаментальные законы движения: второй закон Ньютона и некоторые другие. Они трансформируются в достаточно сложные уравнения, для их решения требуются сверхмощные компьютеры и большие программы (компьютерные коды).
Составить их – дело очень трудоемкое?
Модели – далеко не самые простые компьютерные программы, предусматривающие уйму операций. На бумаге издание было бы не толще энциклопедического словаря. Строит современную гидродинамическую модель группа из нескольких специалистов (иногда пяти, иногда двадцати), где каждый отвечает за свой раздел. И на это ей потребуется несколько лет напряженного труда. Одна из признанных в мире и наиболее удачных моделей – NEMO, созданная в конце 2000-х, – постоянно эволюционирует. Сегодня это семейство моделей, решающее различные задачи: от оперативного прогноза океана до исследования его климатических изменений. Авторы действующей системы – большая группа специалистов со всего мира, включая сотрудников нашей лаборатории. В последние годы консорциум возглавляют французские ученые во главе с профессором Бернаром Барнье из Института природной среды (примерно так можно перевести его название) в Гренобле, моим старым товарищем. Модель циркуляции океана – живой организм, он развивается и совершенствуется. После серьезных модификаций новая версия становится самостоятельным продуктом и часто носит имя авторов-исполнителей. Так, региональная версия NEMO, особым образом описывающая взаимодействие Арктики и Атлантики, будет носить имя сотрудницы нашей лаборатории Полины Вереземской.
Самый, наверное, важный вопрос, как работают модели?
Есть несколько задач для океанского моделирования. Едва ли не самая серьезная – понять механизмы циркуляции океана, как она меняется и почему и, главное, как стихия влияет на климат. Для этого нужно создать такую же сложную модель атмосферы, работающую совместно с океанской. Это позволит моделировать климат, дать его прогноз, разобраться в его «характере». В современных климатических моделях океанский блок представлен достаточно упрощенными моделями, в которых, как правило, нет вихрей или они описываются параметрически.
По-другому пока нельзя – слишком дорого стоит. Чтобы рассчитать годовые характеристики, получить объемный трехмерный «портрет» океана с учетом скорости течений, изменений температуры, других данных с высоким разрешением в 1/12 градуса, даже на самых современных суперкомпьютерах потребуется около недели, а если на 100 лет, то почти два года. Но тогда мы узнаем, например, как реагирует Гольфстрим на охлаждение в результате таяния арктического льда, какие массы атлантической воды попадают в Арктику или как процессы переноса воды на экваторе влияют на характер и поведение среднеширотных течений.
Вопросов уйма, а дают ответы модели.
Как уже говорилось, главный сдерживающий фактор их построения не столько отсутствие данных или ошибки в понимании физических процессов. Все упирается в состояние вычислительных мощностей. В 70-80-х годах прошлого века, когда начали разрабатывать первые модели, компьютеры позволяли проводить расчеты с разрешением в 100-200 км. И картина получалась неправдоподобная. Океан – среда турбулентная. Ведь Гольфстрим, хоть и называется «рекой в океане», состоит из множества вихрей, взаимодействующих между собой. Да, спутники видят вихри, но необходимо узнать, какова их структура на глубине.
Поэтому для построения моделей необходимы суперкомпьютеры. Стоят они дорого, но еще дороже обходится их постоянное поддержание в рабочем состоянии. Учитывая важность создания математических моделей с высоким разрешением, Минобрнауки выделило нам трехлетний грант. В 2019-м он закончился, но нам продлили его еще на год. Безусловно, 30 миллионов ежегодно – сумма большая. Но и потребности немалые. Мы не только оплатили работу примерно 20 человек (включая совместителей), главное – приобрели оборудование: переоснастили наш кластер, персональные компьютеры и программное обеспечение.
Благодаря мегагранту и помощи института, подчеркну этот факт, теперь у нас есть пусть и небольшой, но суперкомпьютер. И все же многие расчеты приходится выполнять в зарубежных вычислительных центрах.
По условиям мегагранта организовали лабораторию, скажем так, с международным участием. Ее руководители – Бернар Барнье и я, сотрудники – в основном молодежь. Как и любая область науки, моделирование ее очень интересует.
Тем более что направление перспективное и успешно развивается.
Это расхожее мнение. Считаю, что каждая наука, ставящая перед собой разумные задачи, привлекательна для молодежи. Если молодой ученый действительно увлечен наукой, то сам выдвинет выбранную область на передний край, что недавно и подтвердилось.
Я каждый год читаю лекции в Гренобле в рамках магистерской программы по механике сплошной среды. Она собирает студентов из разных стран, включая Россию. По окончании мастер-программы они должны подготовить дипломную работу.
Несколько лет назад на курсе была студентка из России Настя Домина, выпускница мехмата Новосибирского госуниверситета. Когда мы обсуждали с ней ее диплом, она сказала, что хочет проанализировать возможности получения энергии из океанских течений (чем-то это напоминает приливные электростанции). Меня, честно говоря, ее идея не взволновала: мы ведем фундаментальные исследования, а она предлагала сугубо прикладной проект. Так я ей и сказал, предложив несколько тем на выбор.
Настя – человек увлеченный и упорный – наотрез отказалась: она будет заниматься только этим. Я познакомил ее с Барнье, другими французскими специалистами, и вместе мы стали обдумывать возможность моделирования эффекта установки турбин в областях сильных океанских течений. Нужно было понять, что из этого может выйти. Изменят ли турбины характер океанских течений, ведь через какое-то время они начнут стороной обходить расставленные Настей турбины? Хватит ли полученной энергии, чтобы снабдить ею, скажем, небольшой прибрежный город?
В итоге мы вместе написали статью для журнала Nature Energy (его импакт-фактор даже выше, чем у «главы семейства» самого Nature). Публикация только что вышла, уверен, она вызовет отклики. А все потому, что у девушки есть идея и она способна за нее побороться. (Сейчас она работает по контракту в частной английской фирме.)
Удалось ли вам за эти годы предсказать изменения климата?
А это не совсем наша задача. Океанские модели работают вместе с расчетами других компонентов климатической системы, в первую очередь атмосферы, поскольку в каждодневных и краткосрочных прогнозах роль океана незначительна. Но это не значит, что он не должен присутствовать вовсе, просто его состояние необязательно меняется в течение нескольких суток (время прогноза погоды). Водная стихия консервативна по сравнению с атмосферой: теплоемкость океана в четыре раза ее больше, а плотность – аж в 800.
Но когда надо заглянуть вперед на годы и десятилетия, роль океана возрастает многократно. Так что пока мы строим динамические модели с максимально возможной детализацией. В частности, смоделировали процессы конвекции в субполярной Атлантике и обмен водами между Северной Атлантикой и Арктикой.
Это важно. Отдельно занимаемся высокоразрешающим атмосферным моделированием. Вместе с расчетами атмосферных процессов наши модели дают метеорологам и океанологам возможность заглянуть на океанскую кухню. Понять, как происходящие там процессы влияют на климат в Арктике и состояние льда, – в перспективе это позволит давать более точные, научно обоснованные прогнозы погоды едва ли не для всего земного шара. Отдельно занимаемся высокоразрешающим атмосферным моделированием.
Недавно завершили длительный численный эксперимент по исследованию динамики атмосферы над Северной Атлантикой. Отмечу, что такой огромный массив данных очень высокого разрешения получен впервые в мире. Он нужен для понимания процессов, происходящих в атмосфере и океане, и объясняет их связь. Наверняка поможет намного точнее прогнозировать погоду. Наша статья об этом принята к печати журналом Journal of Applied Meteоrology and Climatology.
Понимание происходящих на океанской кухне перемен важно, конечно, не само по себе – оно помогает совершенствованию прогнозов. Сегодня их достоверность на 5-7 суток выросла настолько, что соответствует точности суточных прогнозов погоды 1979 года. Прогресс налицо, но достигнут он не столько благодаря совершенству методов сбора данных, сколько возможностям их обработки, то есть эффективности компьютеров. И хотя в нашей области фактически нет фундаментальных физических открытий, теперь о прогнозировании погоды мы знаем намного больше.
Юрий ДРИЗЕ
eKhNUIR >
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
|
Уравнения математической физики, с примерами
Дифференциальные уравнения математической физики
Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.
Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.
Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции таков:
Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:
данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.
Если функции не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть , тогда уравнение (2) называется линейным. Если , то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.
Решений уравнений математической физики
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Если с=0, то система сводится к одному уравнению .
Если общий интеграл уравнения, тогда – общее решение.
Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.
Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка
Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных. Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение. Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.
Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:
где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.
Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)
- параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.
- гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
первая каноническая форма:
где — независимые переменные,
вторая каноническая форма:
где . Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.
- эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:
где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.
Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):
которое распадается на два уравнения:
и найти их общие интегралы.
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:
где
Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.
Уравнение (13) называют однородным, если =0.
Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:
В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.
Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:
где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.
При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:
Граничные условия задаются (14).
Уравнения эллиптического типа
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:
где
Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если
Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:
В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.
Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты
таковыми и мы будем считать коэффициенты .
Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.
Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:
Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:
Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:
Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.
Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.
Методы решения уравнений математической физики
Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:
- аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
- численные методы решения (с помощью ЭВМ).
Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:
- Метод характеристик.
- Метод разделения переменных.
- Метод Фурье.
- Метод Деламбера.
- Метод интегральных преобразований.
- Преобразование Лапласа.
- Представление решений через функцию Грина.
Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:
- метод сеток;
- метод конечных разностей;
- методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
- методы Эйлера;
- методы Рунге-Кутта;
- метод Адамса;
- символьно-численный метод.
Примеры решения задач
Формула скорости
Скорость – это мера того, насколько быстро движется объект. Итак, скорость – это изменение положения объекта, деленное на время. Скорость имеет величину (значение) и направление. Единица измерения скорости – метры в секунду (м / с).
v = скорость (м / с)
x f = конечное положение (м)
x i = начальное положение (м)
т = время, в которое происходит изменение (с)
Δ x = краткая форма для «изменения» положения (м)
Вопросы по формуле скорости:
1) Парусник участвует в гонке на 1000 м. , и он пересекает стартовую линию уже на полной скорости.Он достигает финиша ровно за 1 минуту 20 секунд (= 80,0 с). Какая скорость парусника?
Ответ: Начальная позиция – это начальная линия, которой мы можем присвоить значение x i = 0,00 м . Финишная черта – на 1000 м от начала, поэтому x f = 1000 м . Время, которое требуется парусной лодке, чтобы преодолеть это расстояние, составляет t = 80,0 с . Скорость можно найти с помощью уравнения:
v = 12.5 м / с
Скорость 12,5 м / с , в направлении финиша.
2) Каждый этаж в высотном здании имеет высоту 3,00 м . Во время движения лифт в этом здании движется с постоянной скоростью 1,50 м / с . Если первый этаж находится в позиции 0,00 м , второй этаж находится в позиции 3,00 м и так далее, сколько времени требуется, чтобы лифт поднялся с шестого (6 -го ) на восемнадцатый. (18 -й ) этаж?
Ответ: Начальное и конечное положение лифта можно определить по номерам этажей и расстоянию между этажами.Начальный этаж – 6, поэтому начальное положение:
x i = (6) (3,00 м)
x i = 18,0 м
, а последний этаж – 18, поэтому конечное положение:
x f = (18) (3,00 м)
x f = 54,0 м
Скорость (которую мы предполагаем постоянной) составляет v = 1,50 м / с . Время необходимо найти, поэтому измените уравнение:
t = 24.0 с
Время, за которое лифт перемещается с шестого на восемнадцатый этаж, составляет 24,0 секунд.
Кембриджский справочник по физическим формулам | Общая и классическая физика
Кембриджский справочник по физическим формулам – это краткое справочное пособие для студентов и специалистов в области физических и технических наук. Он содержит более 2000 наиболее полезных формул и уравнений, которые можно найти в курсах физики бакалавриата, охватывающих математику, динамику и механику, квантовую физику, термодинамику, физику твердого тела, электромагнетизм, оптику и астрофизику.Исчерпывающий указатель позволяет быстро и просто находить необходимые формулы, а уникальный табличный формат четко определяет все задействованные переменные. Кембриджский справочник по физическим формулам всесторонне охватывает основные темы, изучаемые на курсах физики бакалавриата. Он разработан как компактный, портативный справочник, подходящий для повседневной работы, решения проблем или пересмотра экзамена. Все студенты и специалисты в области физики, прикладной математики, инженерии и других физических наук захотят иметь этот важный справочник под рукой.
«… всем физикам нужны уравнения, как животным нужна еда. И когда возникает потребность в уравнении, и вы хотите удовлетворить ее быстро, эффективно и удовлетворительно, книга Воана – это то, что вам нужно. Кембриджский справочник по физическим формулам – это просто билет для опытного физика и инженера-бакалавра ». Дэвид Хьюз, The Times Higher Education Supplement
«Вот настоящая жемчужина книги. Этот справочник, компактно оформленный в привлекательном табличном стиле, содержит практически все уравнения, определения и формулы, которые могут вам понадобиться при изучении физики и астрофизики на уровне бакалавриата.Мне это и вправду нравится. Это одна книга, которую я не буду раздавать ». Профессор Пол Ходж, Вашингтонский университет, Сиэтл
«Это руководство представляет собой стимулирующий и четкий синопсис фундаментальной физики, который будет полезен как новичкам, так и экспертам». Профессор Адам Берроуз, Университет Аризоны, Тусон
«Чрезвычайно полезный сборник формул из всех разделов физики. Преподаватели и студенты сочтут это бесценным ». Профессор Эндрю Кинг, Университет Лестера
«Эта книга – больше, чем просто справочник, это отличный курс повышения квалификации по физике для студентов бакалавриата.’ Профессор Дуглас Хегги, Эдинбургский университет
«Бесценно, это никогда не будет больше, чем на расстоянии вытянутой руки от того места, где я работаю. Каждому, я имею в виду, каждому физику нужна копия ». Д-р Дэвид Хьюз, Университет Шеффилда
«Эрудит, всесторонний и приправленный юмором, это невероятно полезный сборник. Маленькая удобная жемчужина книги. Профессор Энтони Хьюиш, лауреат Нобелевской премии, Кембриджский университет
«Этот справочник, компактно оформленный в привлекательном табличном стиле, содержит почти все уравнения, определения и формулы для удовлетворения потребностей практиков.Обязательно для каждого физика и астрофизика ». Профессор Дуглас Лин, Калифорнийский университет, Санта-Крус
«Охват этой книги широк … и хорошая индексация … книга, которая должна быть в каждой библиотеке по физике, и которую профессиональные физики, а также студенты должны подумать о добавлении к ней. их личные библиотеки ». П. Х. Борчердс, European Journal of Physics
«Я уже использовал его для проверки письменных работ некоторых студентов и вижу, что он будет ценен для всех студентов-физиков и работающих физиков.Я обязательно воспользуюсь своим и куплю один для библиотеки. … Я настоятельно рекомендую иметь одну под рукой ». Гай Пули, Обсерватория
«Это компактное изложение полезных уравнений и формул… всего, что вам нужно знать о физике». Сью Боулер, астрономия и геофизика
‘… краткое справочное пособие для студентов и специалистов в области физических и инженерных наук… Кембриджский справочник по физическим формулам всесторонне охватывает основные темы, изучаемые на курсах физики бакалавриата… Все студенты и специалисты в области физики, прикладные математика, инженерия и другие физические науки хотят, чтобы этот важный справочник был всегда под рукой.’ Physics Courier
‘… краткое справочное пособие для предоставления этих важных деталей именно тогда, когда они вам нужны больше всего. Все студенты и профессиональные ученые захотят иметь в своей коллекции этот полезный и доступный справочник ». Физика в Канаде
Авторы / названия по математической физике, недавние поступления
Авторы и названия недавних работ
[всего 76 записей: 1-25 | 26-50 | 51-75 | 76][отображение 25 записей на странице: меньше | больше | все]
пт, 20 авг 2021
- [1] arXiv: 2108.08703 [pdf, другие]
- [2] arXiv: 2108.08693 [pdf, ps, другое]
- [3] arXiv: 2108.08361 [pdf, ps, другое]
- [4] arXiv: 2108.08811 (перекрестный список из math.PR) [pdf, другое]
- [5] arXiv: 2108.08776 (перекрестный список из Quant-ph) [pdf, ps, other]
- [6] arXiv: 2108.08737 (перекрестный список из math.PR) [pdf, ps, другое]
- [7] arXiv: 2108.08720 (перекрестный список из Quant-ph) [pdf, ps, other]
- [8] arXiv: 2108.08701 (кросс-лист из math.PR) [pdf, ps, другое]
- [9] arXiv: 2108.08694 (перекрестный список из hep-th) [pdf, другие]
- [10] arXiv: 2108.08668 (перекрестный список из gr-qc) [pdf, ps, other]
- [11] arXiv: 2108.08392 (перекрестный список из math.OC) [pdf, ps, другое]
- [12] arXiv: 2108.08316 (перекрестный список из Quant-ph) [pdf, другие]
- [13] arXiv: 2108.08294 (перекрестный список из math.RT) [pdf, ps, другое]
Чт, 19 августа 2021
- [14] arXiv: 2108.08060 [pdf, ps, другое]
- [15] arXiv: 2108.07853 [pdf, ps, другое]
- [16] arXiv: 2108.08225 (перекрестный список из math.NA) [pdf, другое]
- [17] arXiv: 2108.08152 (перекрестный список из math.DS) [pdf, ps, другое]
- [18] arXiv: 2108.08082 (перекрестный список из math.DG) [pdf, ps, другое]
- [19] arXiv: 2108.07852 (перекрестный список из gr-qc) [pdf, ps, other]
- [20] arXiv: 2108.07820 (перекрестный список из hep-th) [pdf, другие]
Ср, 18 августа 2021 г. (показаны первые 5 из 12 записей)
- [21] arXiv: 2108.07770 [pdf, ps, другое]
- [22] arXiv: 2108.07382 [pdf, ps, другое]
- [23] arXiv: 2108.07791 (перекрестный список из math.PR) [pdf, другое]
- [24] arXiv: 2108.07742 (перекрестный список из cond-mat.stat-mech) [pdf, other]
- [25] arXiv: 2108.07702 (перекрестный список из hep-th) [pdf, другие]
[отображение 25 записей на странице: меньше | больше | все]
Отключить MathJax (Что такое MathJax?)
Ссылки на: arXiv, интерфейс формы, найти, math-ph, новый, 2108, контакт, помощь (доступ к ключевой информации)
E Математические формулы – Университетская физика, том 1
Квадратичная формула
Если ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, то x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a
| Треугольник основания bb и высоты hh | Площадь = 12bh = 12bh | |
|---|---|---|
| Радиус rr | Окружность = 2πr = 2πr | Площадь = πr2 = πr2 |
| Сфера радиуса rr | Площадь поверхности = 4πr2 = 4πr2 | Объем = 43πr3 = 43πr3 |
| Цилиндр радиусом rr и высотой hh | Площадь криволинейной поверхности = 2πrh = 2πrh | Объем = πr2h = πr2h |
Стол E1 Геометрия
Тригонометрия
Тригонометрические идентичности
- sinθ = 1 / cscθsinθ = 1 / cscθ
- cosθ = 1 / сек θcosθ = 1 / сек θ
- tanθ = 1 / cotθtanθ = 1 / cotθ
- sin (900 − θ) = cosθsin (900 − θ) = cosθ
- cos (900 − θ) = sinθcos (900 − θ) = sinθ
- tan (900 − θ) = cotθtan (900 − θ) = cotθ
- sin2θ + cos2θ = 1sin2θ + cos2θ = 1
- сек2θ − tan2θ = 1 сек2θ − tan2θ = 1
- tanθ = sinθ / cosθtanθ = sinθ / cosθ
- sin (α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβsin (α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- cos (α ± β) = cosαcosβ∓sinαsinβcos (α ± β) = cosαcosβ∓sinαsinβ
- tan (α ± β) = tanα ± tanβ1∓tanαtanβtan (α ± β) = tanα ± tanβ1∓tanαtanβ
- sin2θ = 2sinθcosθsin2θ = 2sinθcosθ
- cos2θ = cos2θ − sin2θ = 2cos2θ − 1 = 1−2sin2θcos2θ = cos2θ − sin2θ = 2cos2θ − 1 = 1−2sin2θ
- sinα + sinβ = 2sin12 (α + β) cos12 (α − β) sinα + sinβ = 2sin12 (α + β) cos12 (α − β)
- cosα + cosβ = 2cos12 (α + β) cos12 (α − β) cosα + cosβ = 2cos12 (α + β) cos12 (α − β)
Треугольники
- Закон синусов: asinα = bsinβ = csinγasinα = bsinβ = csinγ
- Закон косинусов: c2 = a2 + b2−2abcosγc2 = a2 + b2−2abcosγ
- Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2a2 + b2 = c2
Расширения серии
- Биномиальная теорема: (a + b) n = an + nan − 1b + n (n − 1) an − 2b22! + N (n − 1) (n − 2) an − 3b33! + ··· (a + b) n = an + nan − 1b + n (n − 1) an − 2b22! + n (n − 1) (n − 2) an − 3b33! + ···
- (1 ± x) n = 1 ± nx1! + N (n − 1) x22! ± ··· (x2 <1) (1 ± x) n = 1 ± nx1! + N (n − 1) x22! ± ··· (x2 <1)
- (1 ± x) −n = 1∓nx1! + N (n + 1) x22! ∓ ··· (x2 <1) (1 ± x) −n = 1∓nx1! + N (n + 1). х22! ∓ ··· (х2 <1)
- sinx = x − x33! + X55! – ··· sinx = x − x33! + X55! – ···
- cosx = 1 − x22! + X44! – ··· cosx = 1 − x22! + X44! – ···
- tanx = x + x33 + 2×515 + ··· tanx = x + x33 + 2×515 + ···
- ex = 1 + x + x22! + ··· ex = 1 + x + x22! + ···
- ln (1 + x) = x − 12×2 + 13×3− ··· (| x | <1) ln (1 + x) = x − 12x2 + 13x3− ··· (| x | <1)
Производные инструменты
- ddx [af (x)] = addxf (x) ddx [af (x)] = addxf (x)
- ddx [f (x) + g (x)] = ddxf (x) + ddxg (x) ddx [f (x) + g (x)] = ddxf (x) + ddxg (x)
- ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddxg (x) + g (x) ddxf (x) ddx [f (x) g (x)] = f (x) ddxg (x) + г (х) ddxf (х)
- ddxf (u) = [dduf (u)] dudxddxf (u) = [dduf (u)] dudx
- ddxxm = mxm − 1ddxxm = mxm − 1
- ddxsinx = cosxddxsinx = cosx
- ddxcosx = −sinxddxcosx = −sinx
- ddxtanx = sec2xddxtanx = sec2x
- ddxcotx = −csc2xddxcotx = −csc2x
- ddxsecx = tanxsecxddxsecx = tanxsecx
- ddxcscx = −cotxcscxddxcscx = −cotxcscx
- ddxex = exddxex = ex
- ddxlnx = 1xddxlnx = 1x
- ddxsin − 1x = 11 − x2ddxsin − 1x = 11 − x2
- ddxcos − 1x = −11 − x2ddxcos − 1x = −11 − x2
- ddxtan − 1x = 11 + x2ddxtan − 1x = 11 + x2
Интегралы
- ∫af (x) dx = a∫f (x) dx∫af (x) dx = a∫f (x) dx
- ∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫f (x) dx + ∫g ( х) dx
- ∫xmdx = xm + 1m + 1 (m ≠ −1) = lnx (m = −1) ∫xmdx = xm + 1m + 1 (m ≠ −1) = lnx (m = −1)
- ∫sinxdx = -cosx∫sinxdx = -cosx
- ∫cosxdx = sinx∫cosxdx = sinx
- ∫tanxdx = ln | secx | ∫tanxdx = ln | secx |
- ∫sin2axdx = x2 − sin2ax4a∫sin2axdx = x2 − sin2ax4a
- ∫cos2axdx = x2 + sin2ax4a∫cos2axdx = x2 + sin2ax4a
- ∫sinaxcosaxdx = −cos2ax4a∫sinaxcosaxdx = −cos2ax4a
- ∫eaxdx = 1aeax∫eaxdx = 1aeax
- ∫xeaxdx = eaxa2 (ax − 1) ∫xeaxdx = eaxa2 (ax − 1)
- ∫lnaxdx = xlnax − x∫lnaxdx = xlnax − x
- ∫dxa2 + x2 = 1atan − 1xa∫dxa2 + x2 = 1atan − 1xa
- ∫dxa2 − x2 = 12aln | x + ax − a | ∫dxa2 − x2 = 12aln | x + ax − a |
- ∫dxa2 + x2 = sinh − 1xa∫dxa2 + x2 = sinh − 1xa
- ∫dxa2 − x2 = sin − 1xa∫dxa2 − x2 = sin − 1xa
- ∫a2 + x2dx = x2a2 + x2 + a22sinh − 1xa∫a2 + x2dx = x2a2 + x2 + a22sinh − 1xa
- ∫a2 − x2dx = x2a2 − x2 + a22sin − 1xa∫a2 − x2dx = x2a2 − x2 + a22sin − 1xa
Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie
Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookieЭтот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:
- В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
- Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
- Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
- Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
- Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
Краткий справочник по математике, физике и инженерным наукам –
Описание книги
Краткий справочник по математике, физике и техническим наукам использует практический подход к основным понятиям, формулам, уравнениям, задачам, теоремам, методам и законам, которые наиболее часто встречаются в научных и инженерных приложениях и университетском образовании. Особое внимание авторы уделяют вопросам, которые трудно понять многим инженерам и студентам.
Первая часть книги содержит главы по арифметике, элементарной и аналитической геометрии, алгебре, дифференциальному и интегральному исчислению, функциям комплексных переменных, интегральным преобразованиям, обыкновенным уравнениям и уравнениям в частных производных, специальным функциям и теории вероятностей. Во второй части обсуждаются молекулярная физика и термодинамика, электричество и магнетизм, колебания и волны, оптика, специальная теория относительности, квантовая механика, атомная и ядерная физика, а также элементарные частицы.Третья часть охватывает анализ размеров и подобия, механику точечных масс и твердых тел, прочность материалов, гидродинамику, массо- и теплопередачу, электротехнику и методы построения эмпирических и инженерных формул.
Основной текст предлагает краткий, последовательный обзор наиболее важных определений, формул, уравнений, методов, теорем и законов. Многочисленные примеры и ссылки в конце каждой главы помогают читателям лучше понять темы и методы.Дополнительные вопросы, представляющие интерес, можно найти в комментариях. Для удобства чтения приложение в конце книги содержит несколько длинных математических таблиц, включая неопределенные и определенные интегралы, прямые и обратные интегральные преобразования и точные решения дифференциальных уравнений.
Содержание
МАТЕМАТИКА
Арифметика и элементарная алгебра
Элементарные функции
Элементарная геометрия
Аналитическая геометрия
Алгебра
Пределы и производные
Интегралы
Серия
Функции комплексных переменных
Интегральные преобразования
Дифференциальные свойства 9039 Дифференциальные уравнения
Дифференциальные свойства 9039 Дифференциальные свойства
Дифференциальные уравнения
Порядок их дифференциальных уравнений
Теория вероятностей
ФИЗИКА
Физические основы механики
Молекулярная физика и термодинамика
Электродинамика
Колебания и волны
Оптика
Квантовая механика.Атомная физика
Квантовая теория кристаллов
Элементы ядерной физики
ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНЫХ И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
Размеры и сходство
Механика точечных частиц и твердых тел
Элементы прочности материалов
Гидродинамика
Масса и теплопередача
Электротехника
Эмпирические и инженерные формулы и критерии их применимости
ДОПОЛНЕНИЯ
Интегралы
Интегральные преобразования
Ортогональные криволинейные системы координат
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Некоторые полезные электронные математические ресурсы
Индекс
Ссылки находятся в конце каждой главы.
Автор (ы)
Биография
Андрей Дмитриевич Полянин – профессор Института проблем механики РАН и профессор математики МГТУ им. Н. Э. Баумана. Он является членом Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике, а также экспертного совета по математике и механике Высшей аттестационной комиссии Российской Федерации. Плодовитый автор более 30 книг и более 140 научных работ, д-р.Полянин был лауреатом Премии Чаплыгина Российской академии наук и награды Министерства образования Российской Федерации.
Черноцан Алексей Иванович – профессор, декан факультета естественных наук, заведующий кафедрой физики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. Доктор Черноцан – выдающийся ученый в области статистической физики, флуктуационной кинетики, фазовых переходов и теории перколяции.Он является заместителем главного редактора популярного российского образовательного журнала для школьников и студентов Квант .
формул физики · Темы GitHub · GitHub
формул физики · Темы GitHub · GitHubЗдесь 18 публичных репозиториев соответствует этой теме …
Полезные программы для орбитальной механики
- Обновлено 25 сен.2018 г.
- MATLAB
Библиотека для выполнения сложных физических расчетов.
💫 Эксперимент Резерфорда по рассеянию альфа-частиц
- Обновлено 29 апр.2020 г.
- Юлия
Марвин Виртуальный помощник переделан. Версия 4! Использование python для запуска приложения flask для графического интерфейса пользователя и python для всех серверных задач приложения
- Обновлено 29 июня 2021 г.
- Python
NPM с акцентом на физику и ее формулы.Полная поддержка английского языка и простота понимания для непрофессионалов и студентов. Ссылки для изучения формул и легкий доступ.
Демонстрирует три закона движения Ньютона
- Обновлено 3 марта 2020 г.
- Паскаль
Калькулятор «Ньютоновские уравнения линейного движения» a.к.а. Калькулятор СУВАТ
- Обновлено 23 апреля 2021 г.
- Python
🌀 Модель траектории частицы в электромагнитном поле
Сборник всех работ P5.js.
- Обновлено 12 нояб.2017 г.
- JavaScript
Программа для расчета центра масс Солнечной системы.
Сборник физических формул.
Этот проект возвращает тип решеток Браве на основе ваших данных об осях и углах (в трех измерениях существует 14 различных решеток Браве).
- Обновлено 19 февраля 2021 г.
- Джава
- Обновлено 22 апр.2019 г.
- Фортран
Заметка о квантовом эффекте Холла и его теоретико-топологической формулировке.
Имитатор кинематики, созданный с использованием React, основной целью является изучение равномерного прямолинейного движения и равноускоренного прямолинейного движения с демонстрацией нескольких объектов.
- Обновлено 12 августа 2021 г.
- JavaScript
Formulariosariados hechos en LaTeX
Библиотека (гем) для предоставления физических формул
- Обновлено 21 июня 2017 г.
- Рубин
Средство проверки единиц / типов для физических уравнений
- Обновлено 13 окт.2020 г.
- Haskell
Улучшить эту страницу
Добавьте описание, изображение и ссылки на физика-формулы страницу темы, чтобы разработчикам было легче узнать о ней.
Куратор этой темы
Добавьте эту тему в свое репо
Чтобы связать ваш репозиторий с физика-формулы тему, посетите целевую страницу репо и выберите «управлять темами».
Учить больше
Вы не можете выполнить это действие в настоящее время.Вы вошли в систему с другой вкладкой или окном.