Дроби
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня.
Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.
Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка.
Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце.
В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление.
Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом.
Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили:
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
2 × 3 = 6
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2.
Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры.
Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному.
Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3.
Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ .
Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику.
Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 5.
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:
Показать решение
Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:
Показать решение
Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:
Показать решение
Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части
Показать решение
Задание 10. Сократите следующую дробь на 3
Показать решение
Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом
Показать решение
Задание 12. Сократите следующую дробь на 5
Показать решение
Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом
Показать решение
Задание 14. Сократите следующие дроби:
Показать решение
Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:
Показать решение
Задание 16.
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 29.
Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
“Чистая” и прикладная математика
О ПРОЕКТЕНа этом сайте даны решения многих типичных и более сложных задач по высшей математике, дискретной математике, статистике, программированию, работе с базами данных и анализу данных на языке SQL. Они сопровождаются самым необходимым теоретическим материалом по теме. Материалы сайта адресованы студентам экономических и технических факультетов высших
учебных заведений, будущим и практикующим программистам и инженерам любых отраслей. Главная задача сайта – раскрыть технологии, алгоритмы решения задач, как в случае студентов, или напомнить их, если они были забыты, как в случаях многих практикующих специалистов. Поэтому при создании материалов сайта по возможности отбрасываются громоздкие теоретические рассуждения, которые сделали бы сайт похожим на учебник. Коротко об авторе проекта: Модель объекта должна быть максимально простой, но не проще, чем сам объект. Таков подход, взятый при создании и развитии этого сайта: основой более сложного всегда является элементарное. “Ко всему надо относиться просто, но это так сложно”, – любит говорить один знакомый автора проекта. Самое сложное, пожалуй, то, что даже самое простое при освоении новой темы накапливается в таком количестве, которое не всегда удержишь в голове. Число Ингве – 7 плюс-минус 2: доказано, что человеческая память способна удерживать одновременно именно столько связанных между собой структур данных. Выход – пользоваться ресурсами, где основные темы высшей математики изложены через призму
элементарных методов решения задач. ДРУГИЕ ПОЛЕЗНЫЕ САЙТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ДРУГИМ ДИСЦИПЛИНАМВся элементарная математика – Средняя математическая интернет-школа Все разделы учебной программы по элементарной математике: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия,функции и графики, основы анализа. A также: множества, вероятность, основы аналитической геометрии. Теория и решение задач. Задачи для дошкольников и младших школьников. Варианты экзаменационных тестов. Онлайн-консультации. Подготовка в университеты и колледжи. Быстрое и качественное решение контрольных работ по математике, физике, информатике. Оформление в Word всех решений по высшей математике. Гарантии правильности выполнения заданий. Решение математических заданий Помощь в решении контрольных работ по математическому анализу, теории вероятностей и т. Математика для студентов и прочее Решения типовых студенческих задач из различных разделов высшей Математики. В разделе Видео – большая коллекция видеолекций, в основном по математике. Электронный задачник Главная часть сайта – это сборник задач по школьному курсу математики, отобранных авторами сайта вследствие многолетнего репетиторства с выпускниками средней школы. Задач в сборнике ровно 1000 соответственно названию сайта (хотя на всем сайте их значительно больше). www.teorver.ru Теория вероятностей, математическая статистика, математический анализ, биографии математиков и многое другое www.trivida.ru Инженерная графика 1 курс Сайт TriVida.ru Есть возможность срочно выполнить чертежи на заказ.  термех – теормех решение задач готовый Яблонский, Мещерский, Тарг Шпоры Решение задач теормех (термех), Яблонский, Мещерский, Тарг. Помощь в решении задач: теоретическая механика (теормех, термех). Решение задач, выполнение курсовых и контрольных работ, консультации, репетитор, индивидуальные занятия. Шпоры, решенные, готовые задачи из Яблонского, Мещерского и Тарга, задачи по теормеху (термеху), выполненные лично автором, он-лайн консультации, решебник Мещерского. Учебные материалы по химии и не только Сайт для школьников и студентов – помощь в решении задач по химии, математике и физике, а также полезные учебные материалы. Multiring.ru – каталог ЭОР, библиотека бесплатных русских электронных образовательных программ, онлайн обучение. 500km.ru – математические калькуляторы Далее ССЫЛКИПри подготовке материалов сайта использована следующая литература: Афанасьев, М. Бахвалов, С.В., Моденов, П.С., Пархоменко, А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, “Наука”, 1964. 440 стр. Беклемишева, Л.А., Петрович, А.Ю., Чубаров, И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Москва, “Наука”, 1987. 495 стр. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, “Наука”, 1985. 384 стр. Боревич, З.И. Определители и матрицы. Москва, “Наука”, 1988. 184 стр. Бурилич, И.Н., Дмитриев, В.И. (сост.) Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для тренинга и контроля. Курск, Курск. гос. техн. ун-т. 2001. 30 с. Ващенко, Г.В. Вычислительная математика. Красноярск, СибГТУ, 2005. 80 стр. Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А. Теория вероятностей. Москва, “Наука”, 1969. Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Москва, “Высшая школа”, 2000. 480 стр. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей. Москва, “Наука”, 1988. 446 стр. Дейт, К.Дж. Введение в системы баз данных. Москва, “Вильямс”, 2005. 1328 стр. Добрица, Б.Т., Дубограй, И.В., Скуднева, О.В. Кратные интегралы и их приложения. Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана, 2000. 44 стр. Ермолаев, Л.А. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. Алма-Ата, “Наука”, 1966. 187 стр. Ефимов, А.В., Поспелов, А.С. Сборник задач по математике для втузов. Т. 2 . Москва, Издательство физико-математической литературы, 2001. 431 стр. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, “Наука”, 1967. 227 стр. Ильин, В.А., Позняк, Э.Г. Аналитическая геометрия. Ильин, В.А., Позняк, Э.Г. Основы математического анализа. Москва, “Наука”, 1967. 572 стр. Карасев, А.И., Аксютина, З.М., Савельева, Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Т. 1. Москва, “Высшая школа”, 1982. 272 стр. Карасев, А.И., Аксютина, З.М., Савельева, Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Т. 2. Москва, “Высшая школа”, 1982. 320 стр. Карпов, В.Г., Мощенский, В.А. Математическая логика и дискретная математика. Минск, “Вышэйшая школа”, 1977. 256 стр. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, “Наука”, 1986. 224 стр. Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, “Просвещение”, 1990. 415 стр. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике. Москва, “Юнити”, 2002. 413 стр. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва, “Высшая школа”, 1979. 560 стр. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, “Наука”, 1975. 432 стр. Льюс, Р.Д., Райфа, Х. Игры и решения. Москва, Издательство иностранной литературы, 1961. 642 стр. Мелентьев, Е.К., Бутакова, Г.И., Калашникова, Л.А., Тимофеева, Л.К. Упражнения и задачи по курсу “Линейная алгебра и линейное программирование”. Куйбышев, Куйбышевский плановый институт, 1964. 125 стр. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. Москва, “Высшая школа”, 1979. 400 стр. Новиков, П.С. Элементы математической логики. Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 400 стр. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т. 1. Москва, “Наука”, 1966. 552 стр. Проскуряков, И.В. Савин, А.П. (сост.) Энциклопедический словарь юного математика. Москва, “Педагогика”, 1989. 352 стр. Тимофеев, А.Ф. Интегрирование функций. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 433 стр. Фаддеев, Д.К., Соминский, И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Москва, “Наука”, 1968. 303 стр. Филипс, Г. Дифферециальные уравнения. Москва-Ленинград, Государственное технико-теоретическое издательство, 1932. 80 стр. Харари, Ф. Теория графов. Москва, “Мир”, 1973. 300 стр. Цилькер, Б.Я., Орлов, С.А. Организация ЭВМ и систем. СПб, “Питер”, 2004. 654 стр. Шикин, Е.В., Чхартишвили, А.Г. Математические методы и модели в управлении. Москва, “Дело”, 2002. 439 стр. Шипачев, В.С. Высшая математика. Москва, “Высшая школа”, 1990. 479 стр. Щегольков, Е.А. Интегральное исчисление. Москва, Учпедгиз, 1952. 138 стр. Яунземс, А. Математика для экономических наук. Рига, Латвийский Университет, 1993. 841 стр. Chankong, V, Haimes, Y. Multiobjective decision making: Theory and Methodology. N.Y.: Dover Publications, 2008. 432 P. von Neumann, J, Morgenstern, 0. Theory of Games and economic behaviour. Princeton: Princeton University Press, 1953. 300 P. Roman, S. An Introduction to Discrete Mathematics. W.B. Saunders College Publishing, 1989. 470 P. Wayne L. Operations Research Applications and Algorithms. N.Y: Informatio/Publishing group, 1991. 1392 P. Arhipova, I., Bāliņa, S. Statistika ekonomikā un biznesā. Rīga, Datorzinību centrs, 2006. 362 lpp. Bože, Dz., Biezā, L., Siliņa, B., Strence, A. Uzdevumu krājums augstākajā matemātikā. Rīga, “Zvaigzne”, 1984. 320 lpp. Kļaviņš, D, Zelčs, J. Operāciju pētīšanas matemātiskās metodes. Rīga, Zvaigzne, 1978. 303 lpp. Orlovska, A. Statistika. Rīga, Rīgas tehniskā universitāte, 2007. 111 lpp. |
Это следует из высказывания Альберта Эйнштейна: “Всё должно быть изложено так просто, как только
возможно, но не проще”. Эта формула прекрасно отражает способы освоения
высшей математики с точки зрения математики элементарной, то есть школьной.
В высшей математике нет ни одного метода, который нельзя было бы свести к
одному или сочетанию нескольких приёмов, изученных в средней школе.
д., каталог решений популярных задачников.
355 стр.
Москва, “Наука”, 1981. 232 стр.
Т. 1. Москва, “Высшая школа”, 1981. 687 стр.
Сборник задач по линейной алгебре. Москва, “Наука”, 1984. 336 стр.
100 уроков математики для детей
Уроки курса
Все курсыО курсе1–4. Введение
1. Числа, символы, фигуры
2. Соизмеримость и несоизмеримость отрезков
3. Визуальное представление бинома Ньютона
4.
Бесконечные суммы
5–10. Движения прямой и окружности
5. Начальные представления о движении
6. Классификация движений прямой
7. Таблица композиций движений прямой
8. Движения окружности
9.
Таблица умножения движений окружности
10. Конечные подгруппы движений прямой и окружности
11–20. Основная теорема арифметики и следствия из нее
11. Введение в арифметику остатков
12. Таблицы умножения остатков
13. Основная теорема арифметики. Часть 1
14.
Основная теорема арифметики. Часть 2
15. Основная теорема арифметики. Следствия
16. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 1
17. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 2
18.
Метод цепных дробей
19. Итоги арифметических исследований. Часть 1
20. Итоги арифметических исследований. Часть 2
21–30. Перестановки
21. Введение в перестановки
22. Композиции перестановок
23.
Циклы и порядок перестановок
24. Четность перестановки. Гомоморфизм
25. Игра «Пятнашки» и другие задачи
26. Сопряжение и классы сопряженности
27. Гомоморфизмы и ядра
28.
Нормальная подгруппа
29. Группа Клейна
30. Порождающее подмножество
31–35. Движения плоскости
31. Введение в движения плоскости
32. Классификация движений плоскости
33.
Скользящая симметрия
34. Таблица композиций движений плоскости. Часть 1
35. Таблица композиций движений плоскости. Часть 2
Теория игр (лекции в «Интеллектуале»)
Лекция 1. Знакомство с теорией игр
Лекция 2. Смешанные стратегии
Лекция 3.
Динамическая теория игр
Математика
Алексей Владимирович Савватеев
5–11 класс
Выпуск этого курса поддержали:
Math for dummies online
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Решение
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
математика для чайников онлайн
Похожие темы:
сложение полиномов вычитания |
четырехкратный корень на ti 84 |
Рабочие листы соотношения и пропорции |
помощь в факторинге полиномов |
математика для чайников |
трехшаговые уравнения для 8-го класса |
вставлять подкоренные выражения |
7-я преалгебра, проект главы |
квадратичная формула для чайников |
рабочий лист кубических корней |
решение систем уравнений подстановкой |
печатные рабочие листы дерева факторов
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| онине-ни Зарегистрирован: 02. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| espinxh Дата регистрации: 17.03.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Днексиам Дата регистрации: 25.01.2003 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Свиз Зарегистрирован: 10.03.2003 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| MoveliVadBoy Дата регистрации: 06.03.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| ЧС` Дата регистрации: 04. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
10.2005 
Есть ли что-то конкретное, что можно сделать, чтобы получить какую-то помощь? У меня есть хороший набор вопросов, которые помогут мне изучить эти темы, но проблема в том, что я просто не могу их решить, независимо от того, сколько усилий я приложил. Пожалуйста, помогите!
Было время, когда даже я застревал на вопросах, касающихся математики для чайников в Интернете, тогда моя старшая сестра предложила мне попробовать Алгебратор. Это не только решило все мои вопросы, но и объяснило эти решения в очень хорошей пошаговой манере. Трудно поверить, но однажды ночью я действительно плакала, потому что пропустила еще одно задание, и через пару дней я помогала своим одноклассникам с домашним заданием. Я знаю, как странно это может звучать, но на самом деле Алгебратор мне очень помог.
Это действительно помогает вам быстро понять некоторые темы, такие как система уравнений и биномиальная формула, на осмысление которых, просто читая книги, ушли бы дни. Это очень рекомендуемая программа, если вы ищете что-то, что может помочь вам решить задачи по алгебре и показать все основные пошаговые решения. Должен иметь математическое программное обеспечение.
Даже я столкнулся с подобными трудностями, решая полиномы на множители, графические уравнения и упрощая дроби. Просто напечатайте задачу из домашней работы и нажмите «Решить» — и пошаговое решение моей домашней работы по алгебре будет готово. Я использовал его на нескольких занятиях по алгебре — алгебре 1, алгебре колледжа и коррекционной алгебре. Очень рекомендую программу.
07.2001 Математика для чайников онлайн
Математика для чайников онлайн
Похожие темы:
научный калькулятор с кубическим корнем |
алгебра 1 решатель |
Как решить многошаговые неравенства |
стихи с участием математики о теореме Пифагора |
www.
стихи math.com |
истинные или ложные ответы по алгебре в колледже |
lcm и gcm по математике |
координатное построение упорядоченных пар картинок для практики |
задачи по математике в 7 классе |
VBA рассчитать возраст в Excel |
факторные алгебраические выражения для печати |
читы по математике
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Эдхерваст Зарегистрирован: 22.05.2006 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| ИльбендФ Дата регистрации: 11.03.2004 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Xane Дата регистрации: 16.04.2003 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| йни Зарегистрирован: 24.01.2004 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| alhatec16 Дата регистрации: 10.03.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Вильд Зарегистрирован: 03.07.2001 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
У меня в основном проблемы с математикой для чайников онлайн. Никак не могу решить, сколько не пытаюсь. Я был бы очень рад, если бы кто-нибудь дал мне несколько советов по этому вопросу.
И я не просто прошел тест; Я продолжал получать действительно хорошую оценку в этом. Algebrator имеет действительно простой в использовании графический интерфейс, но он может помочь вам решить самые сложные проблемы, с которыми вы можете столкнуться в алгебре в школе. Просто попробуйте, и я уверен, что вы хорошо справитесь со своим тестом.
Это очень мудрое программное обеспечение, и я бы порекомендовал его каждому ученику, у которого есть проблемы с домашним заданием.
Можно ссылку на программу?
Я просто вводил проблему из рабочей книги, и, нажимая «Решить», появлялось пошаговое решение. Программа настоятельно рекомендуется.15 приложений и веб-сайтов для онлайн-обучения математике [обновлено]
115,4k
просмотров
FacebookTwitterSubscribe
предоставлено Jennifer Smith
С ростом популярности обучения, ориентированного на STEM, все больше и больше студентов изучают все более и более сложные математические курсы.
Тем не менее, для некоторых учащихся этот предмет может стать настоящим испытанием; но знание того, к кому обратиться за помощью, может значительно облегчить борьбу и улучшить их понимание.
Многие школы предлагают учащимся возможность проявить творческий подход к своим математическим ресурсам, обращаясь к приложениям, веб-сайтам и онлайн-программам, которые помогают им буквально решать стоящие перед ними задачи.
Выбор наиболее полезных, подходящих и приятных математических онлайн-инструментов может быть проблемой сам по себе, но, к счастью, с помощью нескольких учителей CalPac, чартерной онлайн-школы, обслуживающей Южную Калифорнию, эта проблема легко решается. решено.
Вот их 15 любимых онлайн-ресурсов для онлайн-обучения математике, которые помогут сделать математику более доступной и увлекательной для учащихся всех классов.
1. Академия ХанаАкадемия Хана — это полностью бесплатный персонализированный учебный ресурс с онлайн-курсами, видео и упражнениями. Учащиеся могут выполнять ежедневные обзоры и отслеживать свои успехи на учебной панели платформы. Учебники по математике разбиты на категории по предметам и уровням обучения для удобства навигации и используют специализированный контент — с помощью таких организаций, как НАСА, Калифорнийская академия наук и Музей современного искусства — для воплощения уроков в жизнь.
Что нравится учителям: Практические задачи содержат подсказки пошагово, поэтому учащиеся могут получить помощь, когда они застряли на определенном этапе, но им не обязательно нужна помощь в решении всей задачи.
Это позволяет им работать над собой и учиться в своем собственном темпе.
Уровни обучения: K-12; среднее
См. также 25 лучших математических ресурсов
2 . IXLХотя IXL является учебным сайтом на основе подписки, он предлагает бесплатные ежедневные математические задачи. Студенты могут отвечать на десять бесплатных вопросов (по каждому предмету) в день и улучшать свои математические навыки. Членство в подписке включает неограниченное количество практических вопросов, аналитику, сертификаты и персональные рекомендации по навыкам.
Что нравится учителям: Если учащийся неправильно решает задачу, программа показывает все шаги, необходимые для решения задачи, чтобы он мог увидеть, где он ошибся, и учиться на своих ошибках.
3. Desmos Desmos — это бесплатный графический онлайн-калькулятор, который учащиеся могут использовать для построения графиков функций, построения данных и вычисления уравнений.
На сайте также есть математические примеры и даже рисунки, чтобы учащиеся могли максимально эффективно использовать калькулятор.
Что нравится учителям: Веб-сайт и программа чрезвычайно удобны для пользователя, с обширным справочным центром; а с Desmos семьям не нужно беспокоиться о покупке дорогого графического калькулятора.
Уровни обучения: 6–12; среднее
4.
QuizletQuizlet — это веб-сайт и приложение, которое обучает самым разным вещам с помощью цифровых карточек. В этом приложении учащиеся могут учиться с помощью карточек, совпадающих карточек, карточек для краткосрочного запоминания, карточек для долгосрочного запоминания и т. д. Учащиеся или преподаватели могут использовать готовые колоды карточек или создавать свои собственные колоды. Это приложение бесплатное и доступно на любой платформе.
Уровни обучения: K-12
5. Wolfram MathWorld MathWorld — это бесплатный онлайн-ресурс для всего, что связано с математикой.
Сайт включает в себя интерактивные GIF-файлы и демонстрации, загружаемые записные книжки и «краткие сводки» для различных математических терминов. Учащиеся могут изучить более 13 000 статей, чтобы укрепить свои математические знания и улучшить свое понимание.
Что нравится учителям: Сайт позволяет старшим и более продвинутым учащимся по-настоящему погрузиться в математику, предлагая темы и статьи по нескольким различным предметам, связанным с математикой, для разных уровней подготовки и способностей.
6. Искусство решения задачС помощью программы «Искусство решения задач» учащиеся могут получить помощь и ресурсы, связанные с математикой, тремя разными способами. Онлайн-школа позволяет учащимся записаться на дополнительные занятия по математике, а книжный магазин AoPS предлагает сложные, углубленные учебники, чтобы учащиеся могли глубже изучить предмет.
Что нравится учителям: Учащиеся могут бросить себе вызов, чтобы глубже изучить математические предметы, которые они считают интересными, с помощью модерируемых досок объявлений, игр и статей.
Уровни: 2-12
7. Math is FunКак следует из названия, Math is Fun стремится сделать математику приятной и занимательной. На сайте используются головоломки, игры, викторины, рабочие листы и форум, чтобы помочь учащимся пройти обучение.
Что нравится учителям: Все проблемы и решения объясняются простым языком, что облегчает учащимся обучение самостоятельно без необходимости «перевода» со стороны взрослого или учителя.
8. Математическая игра Prodigy Целью этой игры является обучение математике с помощью игры, а не только базового обучения математике, и при этом дать вашему ученику/ребенку необходимое математическое образование. Эта игра позволяет отлично отслеживать прогресс, поскольку учителя или родители проверяют вопросы, с которыми у их ученика или ребенка возникают проблемы, отслеживают, как они учатся вместе со своими сверстниками, корректируют уровень успеваемости, устанавливают цели, получают доступ к видеоурокам и т.
д. Эта игра имеет базовые бесплатные функции, или вы можете купить обновленную версию за 6,25–8,33 доллара в месяц.
9.
Математическая игровая площадкаЭто приложение призвано сделать обучение учащимся увлекательным, обучая в основном с помощью игр, таких как головоломки, животные, рисование и многое другое. Math Playground предназначена для учащихся от детского сада до 6-го класса. Math Playground бесплатна и доступна на любой платформе с поисковой системой.
10. edXНа edX учащиеся могут получить доступ к более чем 3500 бесплатных курсов — эти курсы проводятся в престижных колледжах, таких как Гарвард, Беркли, Массачусетский технологический институт, Корнелл, Дартмут и других небольших колледжах. edX может стать отличным местом для изучения математики для учащихся 6–12 классов.
11. ABC Mouse ABC Mouse — одно из самых популярных и образцовых обучающих приложений. Благодаря более чем 10 000 заданий и мобильному обучению это приложение отлично подходит для онлайн-обучения.
ABC Mouse учит чтению, математике, счету, естественным наукам и многому другому. Это приложение предназначено для детей от 2 до 8 лет и является отличным местом для начала обучения математике для школьников и детей.
Академия приключений — это учебный ресурс, который может научить студентов самым разным вещам. Благодаря более чем 4000 заданий, мобильному обучению и отслеживанию прогресса, это приложение может заставить учащихся забыть, что они даже учатся. Академия приключений преподает множество предметов: чтение, математику, естественные науки, социальные науки и многое другое. Это приложение, ориентированное на учащихся 8–13 лет, привносит в процесс обучения инновационную игровую атмосферу.
13. Mathplanet Математическая планета – это онлайн-ресурс, на котором можно изучать математику бесплатно. Учащиеся могут проходить школьные математические курсы по подготовительной алгебре, алгебре 1, алгебре 2 и геометрии.