Математика матрицы задания: Кафедра промышленного и гражданского строительства – Методические указания, задания, вопросы

Домашнее задание по теме “Матрица”

ФИНАНСЫЛекция 1

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Цель:приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами, определителей и их свойств.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Комбинированное занятие, включающее в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2. Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами. Определители и их свойства».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

Изучение нового материала.

Определение матрицы.

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из  строк и  столбцов, называют матрицей порядка  (  на  ) и обозначают символом  . В общем виде матрица выглядит так

 .

Числа  называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый показывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй – номер столбца. Размерность матрицы указывать не обязательно. При  матрицу называют матрицей-строкой, а при  – матрицей-столбцом.

Матрицу, все элементы которой, равны нулю, называют нулевой матрицей и обычно обозначают .

Таким образом,  .

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. , то матрицу называют квадратной  порядка и обозначают символом . В квадратной матрице  элементы с одинаковыми индексами  называют элементами главной диагонали, а элементы, сумма индексов которых равна   , элементами побочной диагонали. Во множестве квадратных матриц особую роль играет матрица

 .

Ее называют единичной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули.

Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие ниже или выше элементов главной диагонали, равны нулю. Например, матрицы  и  треугольные, причем матрицу  называют верхнетреугольной, а матрицу  – нижнетреугольной.

Определение. Две матрицы одинакового порядка  и  называют

равными и пишут  = , если все элементы с одинаковыми

индексами обеих матриц совпадают.

Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа _ij, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(_ij)= (1)

Первый индекс i (i = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j(j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать заглавными буквами, напримерА, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называетсястрокой, а вертикальный –столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называетсяпорядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаютсяравными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (_ij) размером т п, В = (_ij)размером pq.A = B, если m = p, n = q и _ij = _ijдляi = 1, 2, …,m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i = j)называется главной диагональю матрицы (_11,_22, _33,…,_nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (_ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называетсяединичной матрицей Е.

А =

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называетсянуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называетсяматрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называетсяматрицей-столбцом.

Определение. Матрицу А^t называют транспонированнойпо отношению к матрице А ,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками.

Например, пусть А – матрица размеровт п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице А^t называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

(A^t)^t = A,

(A + B)^t = A^t + B^t,

(A)^t = A^t,

(AB)^t = B^tA^t.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матрицА = (_ij) и В = (_ij) одинаковых размеров т п называется матрица С того же размера, элементы которых равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А + В = (_ij + _ij) дляi = 1, 2, …, m,j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если А = (_ij) и В = (_ij), то _ij = – _ij. Матрица В называется матрицей,противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размером т п на число  называется матрица (_ij) тех же размеров, которая обозначаетсяА.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц А иВодинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размеров т п на матрицу В = (_ij) размеров nk называется матрица С = (с_ij) размеров mk, каждый элемент с_ij которой вычисляется по формуле

с_ij = _i1_1j + _i2_2j + … + _in_nj, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n. (2)

Другими словами, элемент с_ij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание: Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы сомножителяВ. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножениеi-той строки матрицы А наj-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. ПоложимС = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрицеВ, т. е. матрица С размеров 23. Пусть С = (с_ij), тогда по формуле (2) получаем

с₁₁ = 2(-1) + 32 = 4, с₁₂ = 22 + 31 = 7, с₁₃ = 20 + 3(-1) = – 3,

с₂₁ =(-1)(-1) + 42 = 9, с₂₂ =(-1)2 + 41 = 2,с₂₃ = (-1)0 + 4(-1) =-4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Определители и их свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка  .Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое  , или  , или  , полученное из элементов матрицы  по следующему правилу:   . Например, если  , то   .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка  . Определителем этой матрицы назовем число  .

 =  , или

 (1)

Равенство (1) называют разложением определителя по элементам первой строки.

Выражения  ;  и  называют алгебраическими дополнениями элементов  ,  и соответственно. Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки может быть записано в виде:  .

Нетрудно заметить, что аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

Задания для решения:

 1.Вычислить произведение матриц:

 .

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (c_ij) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

 с₁₁ = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с₁₂ = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с₁₃ = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с₂₁ = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с₂₂ = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с₂₃ = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ:  .

 2.Вычислить произведение матриц:

  .

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

 3.Вычислить произведение матриц:

 .

Ответ:  .

 4.Вычислить произведение матриц:

 .

5.Вычислить произведение матриц:

  .

6.Вычислить произведение матриц:

 .

7.Вычислить произведение матриц:

 .

9.Вычислить степень матрицы:

 .

10. Вычислить степень матрицы:

 .

Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: 
– матрицей, квадратной, единичной, диагональной, транспонированной матрицей;
– обратной матрицей, рангом матрицы, базисным минором;
– определителем, минором, алгебраическим дополнением;
ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: 
– суммы матриц, произведения матрицы на скаляр, произведения матриц;
– определителей.
ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ:
– для вычисления определителей второго и n-го порядка, для нахождения обратной матрицы.
СФОРМУЛИРОВАТЬ 
– существования и единственности обратной матрицы; теорему о базисном миноре.
Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

Найти: а) б)

9

Математический портал. Практические занятия по высшей математике.

Рейтинг:  4 / 5

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

– квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}. 2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

 

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

 

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha). T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

 

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. $

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. {3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394. 2.$

 

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

 

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

 

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

 

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

 

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

Подумываете о карьере в области математических наук?

Математические карьеры в бизнесе, промышленности и правительстве продолжают развиваться и диверсифицироваться. По мере того, как открываются новые области применения и по-новому применяются известные методы, людям, обладающим талантом и подготовкой в ​​области математических наук, открывается широкий спектр карьерных возможностей.

Карьера Брошюра

Прикладная математика, вычислительная техника и наука о данных влияют почти на все аспекты нашей жизни.

Карьера в этих областях редко связана со званием «математик» и часто связана со специальностью или областью научных интересов. В этом руководстве вы найдете ответы на вопросы о карьере в области прикладной математики, вычислительной техники и науки о данных, а также профили специалистов, работающих в различных средах, которым для успеха необходим хороший математический опыт.

Скачать Купить

Где вы можете оказать влияние?

Математика играет важную роль в прибыли промышленных организаций и помогает компаниям работать лучше на современном рынке, управляемом данными. Многие различные типы организаций нанимают математиков, ученых-вычислителей и специалистов по данным. Чтобы узнать, где вы можете оказать влияние, поищите на веб-сайтах интересующих вас организаций и корпораций, чтобы узнать больше об их местонахождении, миссии и целях, истории и объявлениях о вакансиях. Приобретайте опыт благодаря стажировкам и возможностям работы и учебы, чтобы помочь вам определить свои личные предпочтения на рабочем месте, когда речь идет о таких вещах, как некоммерческая или коммерческая, крупная или малая, работа независимо или в команде, и сколько контактов с клиентами вы предпочитаете. иметь.

Над какими проблемами вы могли бы работать?

В то время как карьера в области математических наук может сильно различаться по дисциплине и должности, одна вещь остается неизменной среди них — решение задач. Ниже приведены некоторые потенциальные проблемы, с которыми может столкнуться человек с математическим образованием. Какие из них вам кажутся наиболее интересными и почему?

• Как авиакомпании могут использовать более разумное планирование для увеличения прибыли и снижения затрат на техническое обслуживание двигателей?
• Как составить подробный план клинического испытания?
• Является ли этанол жизнеспособным решением мировой зависимости от ископаемого топлива? Можно ли оптимизировать производство биотоплива для борьбы с негативными последствиями для мировой экономики и окружающей среды?
• Как мы можем использовать основные достижения в области вычислительной мощности, чтобы включить знания о взаимодействии между океанами, атмосферой и живыми экосистемами в модели, используемые для прогнозирования долгосрочных изменений?
• Как автомобильные компании могут протестировать производительность, безопасность и эргономику, одновременно снизив стоимость изготовления и тестирования прототипов?
• Фармацевтическая компания хочет провести поиск в очень большой базе данных белков, чтобы найти тот, который похож по форме или активности на тот, который они обнаружили. Каков наиболее эффективный способ сделать это?
• Как болезнь может распространиться в населенных пунктах в случае биотерроризма и как ее можно сдержать?
• Как спроектировать роботизированную руку, чтобы брать монету и бросать ее в прорезь?
• Как можно использовать математические модели динамики мнений, чтобы выяснить, как социальная сеть человека влияет на то, за кого он будет голосовать на следующих выборах?
• Как можно математически смоделировать распространение лесного пожара в зависимости от погоды, растительного покрова и типа деревьев?
• Как можно распределить инвестиции между различными финансовыми инструментами, чтобы найти компромисс между риском и вознаграждением?
• Можно ли сочетать математические модели с эффективными вычислительными реализациями для получения практичных и недорогих симуляций для управления проектированием и производством компьютерных микросхем?
• Как анализ последовательности генома может помочь в принятии клинических решений на основе подхода персонализированной медицины?
• Как математика может повысить эффективность прогнозирования рейтинга систем электронной коммерции и помочь повысить качество обслуживания потребителей на основе их прошлых покупок, поведения и интересов?

Что ждет человека с вашими талантами, интересами и опытом?

Растущие дисциплины, которые следует рассмотреть и изучить более внимательно :
Климатология и воздействие изменения климата
Компьютерная анимация и цифровые изображения
Интеллектуальный анализ данных и дифференциальная конфиденциальность
Наука о данных
Экология/эпидемиология/окружающая среда
Машинное обучение и искусственный интеллект

Материаловедение
Персонализированная медицина
Квантовая информатика
Этика STEM
Системная биология

Другие области, в которых работают математики :
Искусство, развлечения и отдых
Чистая энергия
Моделирование климата
Образование
Финансы и экономика
Правительство
Здравоохранение и социальная помощь
Информационные технологии
Страхование
Юридические услуги
Управление компаниями и предприятиями
Производство
Некоммерческая организация
Фармацевтика
Розничная торговля
Цепочка поставок
Транспорт и складирование
Коммунальные услуги

С чего начать?

Выберите специализацию в области математических наук

Рассмотрите программы получения степени в области математических наук и академических дисциплин, которые требуют математических и вычислительных навыков, таких как инженерия, науки о жизни, науки о здравоохранении, компьютерные и информационные науки, статистические науки, финансы математика, науки о Земле и физические науки. Сочетание математики с второстепенным в любой из этих степеней может быть мощной комбинацией.

---

Используйте ресурсы вашего университета

Многие университеты предлагают надежные центры карьеры. Такие услуги, как оценка карьеры, могут помочь вам сузить область поиска в соответствии с вашими личными качествами и интересами. Другие ресурсы могут включать в себя тренеров по карьере, помощь в составлении резюме, подготовку к собеседованию, вебинары по развитию карьеры, доски объявлений о вакансиях и ярмарки вакансий.

---

Узнайте о стажировках, летних работах, возможностях промышленных исследований и учебе

Что может быть лучше, чем быть на рабочем месте, чтобы определить диапазон возможностей и изучить возможные области интересов? Обратитесь в центр карьеры вашего университета и на онлайн-порталы вакансий, а также в ресурсы о карьере и вакансиях на веб-сайте SIAM по адресу www.siam.org/careers. Вы также можете найти программы, в которых вы можете работать с преподавателем и другими студентами над исследовательской проблемой, возникшей в бизнесе, чтобы получить опыт и изучить подходы, необходимые для решения таких проблем.

Национальный научный фонд и другие агентства предлагают такие программы, как исследовательский опыт для студентов (REU), неакадемические исследовательские стажировки для аспирантов (INTERN) и стажировки для выпускников математических наук (MSGI), которые поддерживают активное участие студентов и аспирантов в исследованиях. во многих областях исследований.

Национальный научный фонд и другие организации предлагают такие программы, как «Исследовательский опыт для студентов» (REU), которые поддерживают активное участие студентов в исследованиях во многих областях исследований. Каталог активных сайтов NSF REU и контактную информацию можно найти здесь.

---

Создайте сеть контактов

Присоединяйтесь к профессиональной организации, такой как SIAM, и участвуйте в студенческих отделениях, группах деятельности и географических секциях. Посещайте конференции и мероприятия, а также участвуйте в вебинарах, дискуссионных группах и других программах и ресурсах, чтобы общаться с людьми в вашей области. Волонтер для комитетов или возможностей общественных работ.

---

Практика общения

Научитесь убедительно и лаконично доносить идеи до человека, не знакомого с этой темой.

---

Будьте открыты для всех видов вакансий

Будьте открыты для объявлений о вакансиях с должностями, которые могут не соответствовать вашему опыту или подготовке к карьере. Если у вас есть подготовка в области математических наук и соответствующие навыки, вы часто можете научиться всему остальному на работе. Вам нужно, чтобы все навыки были перечислены в описании работы? Нет, вы должны хорошо соответствовать хотя бы нескольким критериям и иметь возможность продемонстрировать свои глубокие навыки в этих областях. Подумайте, как использовать имеющиеся у вас навыки для решения новых проблем.

---

Вы готовы?

Частью подготовки к будущему является получение прочной основы математических и вычислительных знаний в таких областях, как дифференциальные уравнения, вероятности, комбинаторика и линейная алгебра, а также искусство абстракции и продвинутые навыки вычислений и программирования. Подготовка к карьере в области математических наук также включает в себя возможность применять эти навыки для решения реальных задач и достижения практических результатов. Математические и вычислительные навыки — это огромный карьерный актив, который может выделить вас и открыть двери.

Возможные должности для людей с опытом и образованием в области прикладной математики, вычислений и наук о данных

• Актуарий
• Аналитик
• Консультант по аналитике
• Менеджер аналитики
• Исследователь прикладной математики
• Биостатистик
• Разработчик бизнес-аналитики
• Бизнес-аналитик
• Криптоаналитик
• Криптограф
• Аналитик данных
• Инженер данных
• Специалист по операциям с данными
• Специалист по обработке данных
• Специалист по данным
• Инженер
• Аналитик прогнозов
• Функциональный аналитик
• Дизайнер игр/Дизайнер игровых автоматов/Математик игр
• Инженер-геолокатор
• Аналитик глобального ценообразования
• Инженер-навигатор
• Ученый-информатик
• Информационный аналитик
• Квант инвестиционной аналитики
• Тренер/консультант/директор программы по математике
• Инженер-модельер
• Исследователь операций
• Специалист по операционной поддержке
• Разработчик фармакокинетических/фармакодинамических моделей
• Главный научный сотрудник
• Менеджер по продукту
• Менеджер программы
• Программатор
• Менеджер по системам качества и соответствию требованиям
• Количественный аналитик
• Количественный проявитель
• Количественный фармаколог
• Специалист по количественному анализу
• Инженер-программист по количественному анализу
• Инженер по исследованиям и разработкам
• Аналитик-исследователь
• Ученый-исследователь
• Исследователь
• Аналитик рисков
• Риск-стратег
• Инженер-симулятор
• Инженер-программист
• Архитектор программного обеспечения
• Статистик
• Стратег
• Аналитик цепочки поставок
• Системный инженер
• Технический персонал

Примечание: «этап карьеры» в данной публикации определяется как:
Ранний (1–10 лет после бакалавриата)
Средний (11–25 лет после бакалавриата)
Поздний (26+ лет после бакалавриата)

---

• Чем мы занимаемся
• Лидерство
• Комитеты
• Посох
• Сотрудничество
• История
• Устав и отчеты
• Вакансии в СИАМ
• Политики и рекомендации

• Объявления о вакансиях
• Рекламируйте свои возможности

• Начать студенческую главу
• Библиотечный уголок
• Учебные материалы

Карта сайта политика конфиденциальности Политика в отношении социальных сетей Copyright 2023 Общество промышленной и прикладной математики 3600 Market Street, 6th Floor, Philadelphia, PA 19104 USA

Теорема матрицы чередующихся знаков — МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Автор: Дэвид Брессоуд @dbressoud

9{ n – i ) является произведением x _ i – x _ j , взятого по всем парам i < j (см. рисунок).

Поздней осенью 1978 года шел второй год моего двухлетнего пребывания в Пенсильванском университете. Я подал заявку на постоянную должность там, но также подал заявку на другие должности, в том числе на гостевые должности в Институте перспективных исследований (IAS) и Университете Висконсина, где я мог бы работать с Диком Аски. В начале 1979 прошли обе заявки на выездные должности. Помимо Penn State, меня больше всего волновала одна заявка на постоянную должность в Bryn Mawr. В дополнение к его репутации как лучшего колледжа гуманитарных наук и его тесным связям со Суортмором и Хаверфордом, я ценил его докторскую программу и очень тесную связь с Пенном. Пришло предложение о продлении срока пребывания в должности от Penn State. Я связался с Bryn Mawr, и мне сказали, что я в их списке финалистов, но они еще не готовы выбрать, кого пригласить в кампус. Я принял предложение штата Пенсильвания. Я часто задавался вопросом, как изменилась бы моя карьера, если бы мне предложили и я согласился на должность в Bryn Mawr в том же году.

Штат Пенсильвания согласился отпустить меня на следующие два года. С 1979 по 1980 год я провел в IAS, а с 1980 по 1981 год — в Висконсине. В следующем году я получил стипендию Фонда Слоуна, которая позволила мне провести осень 1982 года в Висконсине и осень 1983 года в Миннесоте, чтобы работать с Деннисом Стэнтоном, учеником Дика Аски, который получил докторскую степень в том же году, что и я. Освобождение от многих моих преподавательских обязанностей позволило мне быстро получить должность, и к 1986 году я стал профессором.

Рисунок 1: Формула определителя Вандермонда.

Это были головокружительные годы, когда я опубликовал много статей по теории разбиений, комбинаторике и специальным функциям, но внес небольшой вклад в наиболее важную развивающуюся математику, с которой я столкнулся, — гипотезу о матрице с чередующимися знаками (ASM). Это захватывающая, даже романтическая история, которую я в конце концов напишу в книге «Доказательства и подтверждения: история гипотезы о матрице с чередующимися знаками» . Эта книга получила книжную премию Бекенбаха MAA в 1919 году.99. MathSciNet ссылается на 257 статей. Google Scholar перечисляет 679 ссылок. Эта сложная история многое говорит о природе математики. Я узнал, что лучшие математические исследования связаны не столько с доказательством теорем, сколько с проницательными предположениями и установлением связей.

Дэвид Роббинс в сотрудничестве с Уильямом Миллсом и Говардом Рамси из Института оборонного анализа в Принстоне начал с гипотезы, возникшей в результате работы по линейной алгебре. С помощью Ричарда Стэнли из Массачусетского технологического института они связали свою проблему с работой Джорджа Эндрюса по теории разделов, что, в свою очередь, привело их к гипотезе Яна Макдональда в теории представлений. Несмотря на то, что они не смогли решить свою собственную гипотезу, эта связь дала Миллсу, Роббинсу и Рамси понимание проблемы Макдональда, позволив им доказать его гипотезу, что очень важно, учитывая, что ранее в том же году Стэнли описал гипотезу Макдональда как «самую интересную». открытая проблема во всей перечислительной комбинаторике».

Рис. 2: Матрица чередующихся знаков 5 на 5.

Матрица с чередующимися знаками представляет собой квадратную матрицу с элементами 0, +1 или –1 с условием, что элементы в каждой строке и столбце в сумме дают +1, а ненулевые элементы чередуются по знаку в каждой строке и каждом столбце, как показано на рис. 2. Гипотеза Миллса, Роббинса и Рамси заключалась в том, что число 90 303 n 90 304 на 90 303 n 90 304 матриц чередующихся знаков дается произведением на рис. 3. Сама формула не дает ни намека на красивые структуры, которые они открыли. и которые приводят к этому предположению. Заинтересованному читателю понадобится моя книга или статья, которую мы с Джимом Проппом опубликовали в журнале 9.0303 Извещения AMS (см. ссылки).

Рис. 3. Теорема о чередующихся знаках матрицы, гипотеза Миллса, Роббинса и Рамси.

Множество математиков и физиков внесли свой вклад в процесс решения гипотезы о чередующейся матрице знаков, а окончательные доказательства были обнаружены Дороном Зейлбергером и Грегом Купербергом. Вся история основана на богатых источниках математики, включая формулы определителей, пути в решетке, симметричные функции, гипергеометрические ряды и статистическую механику. То, что все они были задействованы, не должно удивлять, поскольку все они, так или иначе, опираются на аргументы симметрии. Более важными, чем фактические доказательства, были многочисленные установленные связи и множество возникших догадок, которые и по сей день создают благодатную почву для новых открытий.

Карл Поппер (1902–1992) и Имре Лакатос (1922–1974)

Название моей книги — это обыгрывание « доказательств и опровержений» Имре Лакатоса, которое в свою очередь было обыгрыванием « догадок и опровержений» Карла Поппера . Поппер, философ науки, определил научные утверждения как те, которые могут быть фальсифицированы. Для Поппера наука состоит из формулирования теорий и утверждений, которые достаточно специфичны и проверяемы, чтобы можно было вообразить результаты, опровергающие их. Догадки и опровержения представляет собой сборник эссе, в которых подробно рассматривается эта динамика. Поппер утверждает, что именно тогда, когда оказывается, что научная теория ошибочна, наука делает наибольшие успехи.

Доказательства и подтверждения.

Поппер провел свои последние годы на факультете Лондонской школы экономики. Лакатос был одним из его докторантов. За свою диссертацию, которая станет Доказательства и опровержения , Лакатос исследовал, в какой степени это верно для математики. На первый взгляд кажется, что опора Поппера на фальсифицируемость не имеет отношения к математике. Математика имеет дело с доказательствами, которые не подлежат опровержению. Но, опираясь на общение с Джорджем Полиа, Лакатос разработал теорию о том, что по крайней мере некоторые из величайших достижений в математике происходят, когда доказана теорема, а затем обнаружен контрпример.

Лакатос иллюстрирует свою мысль формулой Эйлера для многогранников, что v – e + f = 2, где v – количество вершин, e – количество ребер, f – количество граней. На протяжении многих лет математики находили контрпримеры, которые на самом деле касались не столько правдивости этого результата, сколько точного определения многогранника. Другой пример появляется в приложении к его книге, в котором он обсуждает доказательство Коши того, что всякая бесконечная сумма непрерывных функций непрерывна, результат, который, по словам Фурье, «подвергается исключениям», и ряды Фурье являются ярким примером. Проблема здесь опять же в недостаточно точном определении. Некоторые историки математики утверждали, что Коши действительно имел в виду равномерную сходимость, но Лакатош считает именно это. Именно признание таких контрпримеров к доказанной теореме заставило математиков уточнить свои определения. При этом они добились реального прогресса.

Не следует полагать, что признать необходимость уточнения определения просто. Только через двадцать лет после доказательства Коши концепция равномерной сходимости была четко сформулирована, и еще несколько десятилетий до того, как она стала общеупотребительной. У меня будет гораздо больше, чтобы сказать об этом, когда я буду обсуждать создание моего текста реального анализа, Радикальный подход к реальному анализу .

История с ASM-гипотезой меняет понимание роли доказательства в совершенно ином направлении. Гипотеза ASM, как и любая действительно великая гипотеза, должна быть верной. Наша вера в красоту и закономерности математики делала немыслимой ее ошибочность. Поиск доказательств заключается не столько в установлении достоверности прозрения, сколько в стремлении понять почему это правда. Можно получить подтверждение правильности математического утверждения без доказательства. Роль доказательства любой великой гипотезы состоит в том, чтобы привести нас к новым и более глубоким вопросам, установить новые связи и открыть новую территорию для исследования.

Формула детерминанта Вандермонда предлагает рассказать о своей предыстории. Матричные определители как средство решения систем линейных уравнений были известны и использовались в малоразмерных случаях Лейбницем, Маклореном, Крамером, Эйлером и Лагранжем. Вандермонде внес значительный вклад в наше понимание детерминантов, но детерминант, носящий его имя, он не рассматривал. Первым, кто рассмотрел этот определитель во всей его общности, был Огюстен Луи Коши. Он появляется в его «Записках о функциях, которые могут принимать только два равных значения противоположного знака, когда на них действует перестановка двух их переменных», то, что сегодня мы называем альтернирующие функции , функции нескольких переменных, меняющие знак при замене любых двух переменных местами.

В этой статье, написанной в 1812 году, когда он был младшим лейтенантом, работавшим над расширением гавани в Шербуре в рамках подготовки к запланированному Наполеоном вторжению в Англию, были даны общие правила оценки детерминантов, создан термин определитель для этой операции и доказано первый раз, когда определитель произведения матриц является произведением соответствующих определителей. 9{ n–i } имеет определитель, равный произведению i <  j x _ i – x _ j . Другими словами, для Коши уравнение, показанное на рис. 1, было не теоремой, а определением. Но затем он доказывает, что это произведение равно сумме перестановок, определение определителя, которое обычно используется сегодня. См. рис. 4, где показано доказательство Коши равенства этого произведения и этой суммы, до сих пор являющееся простейшим доказательством этого факта.

Рис. 4: Доказательство Коши формулы определителя Вандермонда.

Рис. 5: Плоская перегородка из 75 (75 кубов сложены в углу).

Если мы разделим знакопеременную функцию на произведение Вандермонда, мы получим симметричную функцию , которая не изменится при замене любых двух переменных местами. Существует тесная связь между симметричными функциями, играющими важную роль в теории представлений, и разбиениями. Совсем не удивительно, что Шур, известный своими работами в области теории представлений, также внес свой вклад в теорию разделов.

Существует тесная связь между полустандартной таблицей, возникающей при изучении функций Шура, и плоскими разбиениями, которые можно рассматривать как трехмерные графы Феррера или кубы, сложенные в угол (рис. 5). В 1912 году Мак-Магон доказал, что порождение плоских перегородок, помещающихся в коробку r на s на t , задается рациональным произведением, показанным на рис. подход Айры Гессель и X.G. Вьенно (1985) использует решетчатые пути и детерминантную оценку, элегантное доказательство которой было дано Кристианом Краттенталером в 1990 году (рис. 7).

Все это было сделано для того, чтобы возбудить у читателей интерес к некоторым красивым аргументам, содержащимся в Доказательства и подтверждения , моем отчете о доказательстве гипотезы о матрице переменных знаков.

Рисунок 6: Теорема Мак-Магона

Рисунок 7: Теорема Краттенталера.