Математика метод гаусса – Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уровнений). Правила, примеры

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса — ПриМат

Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.

Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.

Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.

Пример:

Пусть дана система уравнений

$\begin{equation*}
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\
x_1 — x_2 = -2\\
3x_1 — x_2 + 2x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):

$A = \left(\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
2 \\ -2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
\sim~\
\left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
$

Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 8
\end{matrix}\right)\right.\ $

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 4
\end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 6
\end{matrix}\right)\right.\ $

От третьей строки отнимем вторую, умноженную на $3$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ -6
\end{matrix}\right)\right.\ $

После умножения третей строки на $(-1/2)$ , получаем:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Следующим действием обнулим недиагональные элементы второго столбца, прибавив к первой строке вторую:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Полученной матрице соответствует система

$\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 = -1\\
x_2 = 1\\
x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Литература:

• Конспект лекций Г.С. Белозерова
• Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
• Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Решите систему уравнений методом Гаусса

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами,

a_ij и b_i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x₁ ,…, x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x_n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

где

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

1-й шаг.

Будем считать, что элемент

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a ₁₁ не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:

Здесь

– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a₁₁

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а₂₂⁽¹⁾ (если a₂₂⁽¹⁾0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выража

mirznanii.com

Как решать матрицу методом гаусса 🚩 метод гаусса видеоурок 🚩 Математика

14 июня 2011

Автор КакПросто!

Решение матрицы в классическом варианте находится с помощью метода Гаусса. Данный метод основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, то есть с включенным столбцом свободных членов. При этом коэффициенты, составляющие матрицу, в результате проведенных преобразований образуют ступенчатую или треугольную матрицу. Относительно главной диагонали все коэффициенты матрицы, кроме свободных членов, должны быть приведены к нулю.

Статьи по теме:

Инструкция

Определите совместность системы уравнений. Для этого посчитайте ранг основной матрицы А, то есть без столбца свободных членов. Затем добавьте столбец свободных членов и вычислите ранг получившейся расширенной матрицы В. Ранг должен быть отличным от нуля, тогда система имеет решение. При равных значениях рангов существует единственное решение данной матрицы. Приведите расширенную матрицу к виду, когда по главной диагонали располагаются единицы, а ниже нее все элементы матрицы равны нулю. Для этого первую строку матрицы разделите на ее первый элемент так, чтобы первый элемент главной диагонали стал равен единице.

Отнимите первую строку от всех нижних строк так, чтобы в перовом столбце все нижние элементы обратились в ноль. Для этого помножьте сначала первую строку на первый элемент второй строки и отнимите строки. Затем аналогично помножьте первую строку на первый элемент третьей строки и отнимите строки. И так продолжайте со всеми строками матрицы.

Разделите вторую строку на коэффициент во втором столбце так, чтобы следующий элемент главной диагонали на второй строке и во втором столбце стал равен единице.

Отнимите вторую строку от всех нижних строк таким же образом, как описано выше. Все нижестоящие относительно второй строки элементы должны обратиться в ноль.

Аналогично проведите образование следующей единички на главной диагонали в третьей и последующих строках и обнуление нижестоящих коэффициентов матрицы.

Затем приведите полученную треугольную матрицу к виду, когда элементы над главной диагональю также представляют собой нули. Для этого отнимите последнюю строку матрицы из всех вышестоящих строк. Домножайте на соответствующий коэффициент и вычитайте стоки так, чтобы обратились в ноль элементы столбца, где в текущей строке имеется единичка.

Проведите подобное вычитание всех строк в порядке снизу вверх, пока не обнулятся все элементы выше главной диагонали.

Оставшиеся элементы в столбце свободных членов и являются решением заданной матрицы. Запишите полученные значения.

Видео по теме

Источники:

• матрицы метод гаусса

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru