Математика правило: Порядок действий в Математике

Содержание

Математические Законы

Переместительный закон сложения

Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.

Переместительный закон сложения

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:

m + n = n + m

Переместительный закон сложения работает для любых чисел.

Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.

  • 6 + 2 = 8
  • 2 + 6 = 8

Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.

Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции.

Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.

При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.

Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:

  • 8 + 2 = 2 + 8
  • 10 = 10

Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:


Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:


Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Сочетательный закон сложения: два способа


  1. Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.

  2. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.

Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

  • 1 + 3 + 4

Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:

  • 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 4 + 4 = 8

Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:

  • 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8

В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.

Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

  • (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
  • 8 = 8

Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:


Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.


Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.


Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.


Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Переместительный закон умножения

С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.

Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:

  • 5 * 2 = 10
  • 2 * 5 = 10

В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.

  • 5 * 2 = 2 * 5
  • 10 = 10

Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:

a * b = b * a

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день.

Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Сочетательный закон умножения

Рассмотрим еще один полезный закон в математике.

Сочетательный закон умножения

Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Рассмотрим пример:

  • 2 * 3 * 4

Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:

  • 2 * 3 = 6
  • 6 * 4 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:

  • 3 * 4 = 12
  • 2 * 12 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.

  • (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
  • 6 * 4 = 2 * 12
  • 24 = 24

Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)

Пример

Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.

Как решаем:

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:

5 * 6 = 30

30 * 7 = 210

210 * 8 = 1680

5 * 6 * 7 * 8 = 1680

Ответ: 1680

Распределительный закон умножения

Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:

Распределительный закон умножения

  • Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
  • Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:

  • (3 + 5) * 2

Сначала выполним действие в скобках:

  • (3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:

  • 8 * 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:

  • (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
  • 3 * 2 = 6
  • 5 * 2 = 10
  • 6 + 10 = 16

Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) * c = a * c + b * c

Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.


Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c * (a + b) = c * a + c * b

 

Пример 1

Решить: 5 * (3 + 2).

Как решаем:

Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

Ответ: 25

 

Пример 2

Найти значение выражения 2 * (5 + 2).

Как решаем:

Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

Ответ: 4.

Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.

 

Пример 3

Решить: 4 * (6 − 2).

Как решаем:

Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:

4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16

Ответ: 16

Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:


Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:


Проверим справедливость этого закона:


Посчитаем, чему равна левая часть равенства.


Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.


Так мы доказали справедливость распределительного закона.

Задания для самопроверки

Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂

Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).

Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).

Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).

Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).

Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)

Ответы


  1. 56;

  2. 28;

  3. 100;

  4. 81;

  5. 173.

Основные правила математики с примерами. 5 класс

Основные правила математики с примерами. 5 класс

Содержание
  • Натуральные числа
  • Сравнение натуральных чисел
  • Свойства сложения
  • Формула пути
  • Корень уравнения
  • Правила решения уравнений
  • Отрезок, прямая, луч
  • Угол, биссектриса угла
  • Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
  • Многоугольники. Равные фигуры
  • Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
  • Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
  • Прямоугольник. Квадрат. Периметр
  • Умножение. Свойства умножения
  • Деление. Деление с остатком
  • Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
  • Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
  • Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение и вычитание смешанных чисел
  • Преобразование неправильной дроби в смешанное число
  • Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
  • Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
  • Десятичные дроби: сложение, вычитание
  • Десятичные дроби: умножение, деление
  • Среднее арифметическое
  • Процент
Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.

Сравнение натуральных чисел

Число 0 меньше любого натурального числа.

0<1, 0<100

Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр большим является то, у которого количество цифр больше.

4352⏟4>999⏟3

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр

3561>3559

Свойства сложения

Переместительный закон: 

15+10=10+15

Сочетательный закон:

(23+15)+25=23+(15+25)

Формула пути

S=V·t,где S — пройденный путь, V — скорость движения, t — время, за которое пройден путь S

 

= 50км,  = 2ч,  = 25км/ч

,   50км = 25км/ч· 2ч

,   25км/ч = 50км : 2ч

,   2ч = 50км : 25км/ч

Корень уравнения

Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.

2·x+10=16

x = 3 — корень, так как 2·3+10=16

Что значит «Решить уравнение»

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

Правила решения уравнений
  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

20слагаемое+xслагаемое=100суммаx = 100 — 20x = 80

  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.

xуменьшаемое—10вычитаемое=40разностьx = 40 + 10x = 50

  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

50уменьшаемое—xвычитаемое=40разностьx = 50 — 40x = 10

  • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.

xмножитель·7множитель=56произведениеx = 56 : 7x = 8

  • Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

xделимое:8делитель=9частноеx = 9 · 8x = 72

  • Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

42делимое:xделитель=7частноеx = 42 : 7x = 6

Отрезок, прямая, луч
Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)

Свойство длины отрезка

Если на отрезке отметить точку , то длина отрезка равна сумме длин отрезков и .

Равные отрезки

Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство прямой

Через две точки проходит только одна прямая.

Измерить отрезок

Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается

Ломаная

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом

Луч

Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, . Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

 

Угол, биссектриса угла
Угол

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Равные углы

Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство величины угла

Если между сторонами угла ∠ провести луч , то градусная мера  ∠ равна сумме градусных мер углов ∠ и ∠, то есть ∠ = ∠+ ∠.

Биссектриса угла

Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
Развернутый угол

Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.

Прямой угол

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

Острый угол

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

Тупой угол

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

 

Многоугольники.
Равные фигуры
Равные многоугольники

Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.

Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника

Если сторона равностороннего треугольника равна , то его периметр вычисляют по формуле

Разносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.

Прямоугольник. Квадрат. Периметр
Прямоугольник

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

Свойство прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Периметр прямоугольника

Если соседние стороны прямоугольника равны и , то его периметр вычисляют по формуле

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Периметр квадрата

Если сторона квадрата равна , то его периметр вычисляют по формуле .

Умножение. Свойства умножения
Умножение
  • Произведением числа на натуральное число , которое не равно 1, называют сумму, состоящую из  слагаемых, каждый из которых равен . В равенства    числа  и называют множителями,  а число и запись  — произведением.

 


  • Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю.
  • Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
  • Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Свойства умножения
  • Переместительный закон умножения:
  • Сочетательный закон умножения: 
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения:  

2·(3+10) = 2·3 + 2·103·11 + 3·4 = 3·(11 + 4)

  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

2·(15—7) = 2·15 — 2·73·10 — 3·4 = 3·(10 — 4)

Деление. Деление с остатком
Деление

Для натуральных чисел равенство   является правильным, если является правильным равенство

15 : 5 = 3 -правильное равенство, так как  равенство 5 · 3 = 15 верное

В равенстве    число называют делимым, число — делителем, число и   запись  — частным от деления, отношением, долей.

На ноль делить нельзя.

Для любого натурального числа  правильными являются равенства:

,

Деление с остатком

, где  — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, .

154делимое=50делитель · 3неполное частное + 4остаток,    4<50

Если остаток равен нулю, то говорят, что число делится нацело на число .

Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
Свойства площади фигуры

Равные фигуры имеют равные площади;

Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, выраженных в одних и тех же единицах.

Площадь квадрата

,

где  — площадь квадрата,  — длина его стороны.

Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
Свойства объема фигуры

Равные фигуры имеют равные объемы;
Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Объем прямоугольного параллелепипеда
  • ,

где — объем параллелепипеда, , и  — его измерения, выраженные в одних и тех же единицах;

, где — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

  • ,

где  — площадь основания параллелепипеда, — его высота.

Объем куба

,

где  — объем куба,  — длина его ребра.

 

Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
Правильная дробь

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной

Неправильная дробь

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

Сравнение дробей
  • Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше.
  • Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.
  • Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.
  • Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
  • Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.
Сложение и вычитание смешанных чисел
  • Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
  • Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно

  • числитель разделить на знаменатель;
  • полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

227= смешанное число? 7322—211  227=317      

 

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно

  • целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
  • к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
  • эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
  • в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.

523= неправильная дробь?523=5*3+23=15+23=173

Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
Свойства десятичной дроби

Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.

Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

2,23  = 2,230 = 2,230000005,50000=5,50000=5,5

Сравнение десятичных дробей

Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо

  • с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
  • после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Сравнить 5,03 и 5,0375.5,03⏟2=5,0300⏟4    и     5,0375⏟4  ; 5,0300 < 5,0375.

Округление десятичных дробей

Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо

  • все следующие за этим разрядом цифры отбросить.
  • если при этом первая из цифр, которые отбрасывают равна 0,1, 2, 3, 4, то последнюю из цифр, которые оставляют, не меняют;
  • если же первая из цифр, которые отбрасывют, равна 5, 6, 7, 8, 9, то последнюю из цифр, которые оставляют, увеличивают на единицу.

Округлить 5,248 и 3,952:а) до десятых:5,248≈5,2; 3,952≈4,0;б) до сотых:5,248≈5,25;3,952≈3,95.

Десятичные дроби: сложение, вычитание
Сложение десятичных дробей

Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно:

  •  уравнять количество цифр после запятых;
  •  записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
  •  сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
  • поставить в полученной сумме запятую под запятыми.

Сложить 2,5 и 3,623.2,500⏟3 и 3,263⏟3;2,500+3,2635,763

Вычитание десятичных дробей

Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:

  •  уравнять количество цифр после запятых;
  • записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
  •  выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа;
  • поставить в полученной разности запятую под запятыми.

Вычесть 3,27 и 3,009.3,270⏟3  и 3,009⏟3;3,270—3,0090,261

Десятичные дроби: умножение, деление
Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

  • перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
  • в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Умножить 1,5 и 2,25.2×2,2511,5+1125225·33,375 —количество цифр после запятой

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Умножить 1,235 на 10, 100, 1000.а) на 10:1,235 ×10⏟1=12,35б) на 100:1,235 ×100⏟2 = 123,5в) на 1000:1,235 ×1000⏟3=1235,0 = 1235

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Умножить 512,3 на 0,1,   0,01 и  0,001.а) на 0,1:512,3 ×0,1⏟1=51,23б) на 0,01:512,3 ×0,01⏟2=5,123в) на 0,001:512,3 ×0,001⏟3=0,5123

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

  • перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
  • выполнить деление на натуральное число.

Разделить 24,2 на 0,02.24,2 : 0,02⏟ 2= 2420,0 : 2 = 2420 : 2 = 1210.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

 Разделить 25,5 на 10, 100, 1000.а)  на 10:25,5 : 10⏟1=2,55;б) на 100:25,5 : 100⏟2=0,255;в)  на 1000:25,5 : 1000⏟3=0,0255;

 

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют результат деления сумму этих чисел на количество слагаемых.

Найти среднее арифметическое  чисел 15, 25 и 20.

15+25+20⏞сумма чисел3⏟количество чисел = 603= 20

Примечание:

Задача. Автомобиль 200 км ехал со скоростью 50 км/ч. Затем 120 км он ехал со скоростью 30 км/ч. Найти  среднюю скорость.

Здесь

 Vсредняя =Sобщtобщ .

1) 200 + 120 = 320(км) -весь путь;

2) 200 : 50 = 4(ч) — время, затраченное на 1-ую часть пути;

3) 120 : 30 = 4(ч) — время, затраченное на 2-ую часть пути;

4) 4 + 4 = 8(ч) — все время;

5) 320 : 8 = 40(км/ч) — средняя скорость.

Ответ: 40 км/ч.

Процент

Процентом  называют сотую часть величины или числа 1%=

Найти 4% от числа 20.20 : 100 = 0,2  (0,2 —это 1% от числа 20);0,2 × 4 =0,8( 0,8—искомое число).Или   4% = 4100 = 0,04;0,04 ×20 = 0,8.

Основные правила математики

Правила добавления

Правило 1:

положительный + положительный = положительный = добавить

Результат будет отрицательным

Пример:

-3 + (-5) = -8

Правила вычитания

Правило 1: 

Отрицательное + положительное = вычесть наибольшее значение

Принять знак числа 9 с абсолютным значением0005

Пример:

-3 + 5 = 2

Правило 2: 

Положительный + Отрицательный = Вычесть

Взять знак числа с наибольшим абсолютным значением

Пример:

3 (

)

Правила умножения

Правило 1:

Положительный x положительный = положительный

Пример:

3 x 5 = 15

Правило 2:

Отрицательный x Отрицательный = положительный

Пример:

(-3. ) х (-5) = 15

Правило 2:

Положительный x отрицательный = отрицательный

Пример:

3 x (-5) = -15

Правило 2:

Отрицательный x Положительный = отрицательный

Пример:

-3 x 5 = -15

Правила деления

Правило 1:

Положительный ÷ положительный = положительный

Пример:

20 ÷ 4 = 5

Правило 2:

Отрицательный ÷ отрицательный = положительный

:

(-20) ÷ (-4) = 5

Правило 2 : 

Положительный ÷ Отрицательный = Отрицательный

Пример:

20 ÷ (-4) = -5

Отрицательный 900÷4 Правило 2 00: 5 = Отрицательный

Пример:

-20 ÷ 4 = -5

Правила показания

Правило 1:

x M ⋅ x N = x M+N

. Пример:

9 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3 9000 3

3

3 M+N

. 4 ⋅ 3 5  = 3 4+5

3 4  ⋅ 3 5  = 3 9

Rule 2 : 

x m  ÷ x n  = x m-n

Example :

3 7  ÷ 3 5  = 3 7-5

3 7 ÷ 3 5 = 3 2

Правило 3:

(x M ) N = x M ) N = X MN ) N = X MN ) N = X MN ) N = X M ) N = x M ) N = x M ) N . 2 ) 4  = 3 (2)(4)

(3 2 ) 4  = 3 8

Rule 4 : 

(xy) m  = x m  ⋅ y m

Example :

(3 ⋅ 5) 2  = 3 2 ⋅ 5 2

(3 ⋅ 5) 2 = 9 ⋅ 25

(3 ⋅ 5) 2 = 225.

Правило 5:

(x/y) M = =

(x/y) x м м

Пример:

(3/5) 2  = 3 2 /5 2

(3/5) 2 = 9/25

Правило 6:

x -M = 1/x M

Пример:

3 -2 = 1000 28 2 2

3 -2 = 10009 28 28 28 2 2 -2 = 10004 28 28 2

3 -2 = 10004

2

3 -2 = 10004

.

3 -2 = 1/9

Правило 7:

x 0 = 1

Пример:

3 0 = 1

Правило 8:

x 1 = 1

.

Пример :

3 1  = 3

Правило 9 :

x m/n = y —-> x = y N/M

Пример:

x 1/2 = 3

x = 3 2/1

x = 3 2

x = 3 2

x = 3 2

x = 3 2 9000

955

x = 3 2 9000

x = 3 2 9000

x = 3 2

x = 3 2 9000

x = 9

Правило 10 :

(x/y) -m  = (y/x) m

Пример:

(5/3) -2 ) 9 = (31/3) 2

(5/3) -2 = 3 2 /5 2

(5/3) -2 9 0 0 4 9 = 9/250005

A x = A Y —-> x = Y

Пример:

3 M = 3 5 —-> M = 5

Правило 12:

44129 —> M = 5

Правило 12:

44444444444 x a  = y a  —-> x = y

Пример:

k 3  = 5 3  = 5 3  = Операция 3s90MD

AS)

Это правило можно использовать для упрощения или вычисления сложных числовых выражений с более чем одной бинарной операцией.

Очень простой способ запомнить правило PEMDAS:

P —-> Круглая скобка

E —–> Экспоненты

M —-> Умножение

D —-> 5 Деление 9000 —-> Сложение

S —-> Вычитание

Важные примечания:

1. В конкретном упрощении, если у вас есть и умножение, и деление, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо. .

2. Умножение не всегда предшествует делению. Мы должны сделать один за другим в порядке слева направо.

3. В особом упрощении, если у вас есть и сложение, и вычитание, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.

Примеры:

15 ÷ 3 x 2 = 5 x 2 = 10

24 – 8 + 5  = 16 + 5 = 21

В приведенном выше упрощении мы имеем как деление, так и умножение. Слева направо у нас сначала деление, а потом умножение.

Итак, сначала мы делаем деление, а потом умножение.

Для получения дополнительных примеров по PEMDAS нажмите здесь

Процентное уравнение

Процентное уменьшение/увеличение

Приведенную ниже формулу можно использовать для определения процентного увеличения или уменьшения значения.

Изменение может быть увеличением или уменьшением.

Здесь исходная сумма — это значение до увеличения или уменьшения.

Для получения дополнительных примеров увеличения/уменьшения процентов,

нажмите здесь

Разрядное значение

Разрядное значение цифры в числе — это цифра, умноженная на тысячу или сотню, или в любом другом месте, где она расположена.

Пример:

В 2 5 486 разрядное значение числа 5 равно

= 5 ⋅ 1000

= 5000

. 5 находится на разряде тысяч.

Номинальная стоимость

Номинальная стоимость цифры в числе — это сама цифра.

Точнее, номинал цифры всегда остается одним и тем же, независимо от позиции, в которой она находится.

Пример:

В 2 5 486, номинальная стоимость 5 равна 5.

Разница между разрядной стоимостью и номиналом

Разница между разрядной стоимостью и номиналом показана на рисунке ниже.

У углы

Острый угол: менее 90 °

Тупой угла: более 90 °

ПРАВИТЬ ПРАВО: 90 °

Прямой угол: 180 °

Комплементарные углы:

составляет 90 градусов.

Дополнительные уголки:

Два угла, сумма мер которых равна 180 градусам.

Треугольники

Треугольники :

1. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

2. Сумма всех трех углов треугольника равна 180°.

Равнобедренный треугольник:

Две равные стороны; два равных угла

Равносторонний треугольник:

Три равные стороны; три равных угла

Прямоугольные треугольники :

Теорема Пифагора :

a 2 + b 2  = c 2

, где a и b — меры катетов треугольника, а c — гипотенуза.

Статистика

Среднее (среднее):

Сумма всех значений, деленная на количество значений.

Медиана:

Среднее значение, когда значения расположены в числовом порядке.

Режим:

Наиболее часто встречающееся значение данных.

Вероятность

Вероятность события A :

P(A) = частота события A/общий объем выборки

Преобразование смешанных чисел в неправильную дробь

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Пожалуйста, отправьте свой отзыв по адресу [email protected] com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Заказ математических операций, БОДМАС | SkillsYouNeed

Для расчета, который имеет только одну математическую операцию с двумя числами, это простой случай сложения, вычитания, умножения или деления, чтобы найти ответ.

Но как быть, когда есть несколько номеров и разные операции? Может быть, вам нужно делить и умножать или складывать и делить. Что вы делаете тогда?

К счастью, математика основана на логике. Как это часто бывает, есть несколько простых правил, которые помогут вам определить порядок выполнения вычислений. Они известны как «Порядок действий» .


Правила упорядочения в математике — BODMAS

BODMAS — полезная аббревиатура, указывающая порядок решения математических задач. Важно, чтобы вы следовали правилам BODMAS, потому что без них ваши ответы могут быть неверными.

Аббревиатура BODMAS означает:

  • B ракетки (части расчета в скобках всегда идут первыми).
  • O порядковые номера (числа со степенями или квадратными корнями).
  • D ivision.
  • M умножение.
  • Дополнение .
  • S вычитание.

BODMAS, BIDMAS или PEMDAS?


Вы можете часто видеть BIDMAS вместо БОДМАС. Они точно такие же. В BIDMAS «I» относится к индексам, которые аналогичны ордерам. Для получения дополнительной информации см. нашу страницу, посвященную специальным номерам и понятиям.


PEMDAS

PEMDAS обычно используется в США и работает так же, как BODMAS. Акроним PEMDAS:

P арентезы,

E экспоненты (степени и корни),

M умножение и D ivision,

05 9Добавление 0582 и исключение S .



Дальнейшее чтение из книги «Навыки, которые вам нужны»


«Навыки, которые вам нужны» Руководство по арифметике

Это руководство, состоящее из четырех частей, знакомит вас с основами счета от арифметики до алгебры с остановками на дробях, десятичных знаках, геометрия и статистика.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.


Использование БОДМАС

Скобки

Начните с чего-нибудь внутри скобок , двигаясь слева направо.

Приказы

Затем выполните все, что связано со степенью или квадратным корнем (они также известны как приказы ), снова работая слева направо, если их больше одного.

Деление и умножение

После того, как вы сделали какие-либо части вычислений с использованием скобок или степеней, следующим шагом будет деление и умножение .

Умножение и деление имеют одинаковый ранг, поэтому вы работаете слева направо в сумме, выполняя каждую операцию в том порядке, в котором она указана.

См. наши страницы: Умножение и Деление , чтобы узнать больше.

Сложение и вычитание

Последним шагом является вычисление любого сложения или вычитания . Опять же, вычитание и сложение имеют одинаковый ранг, и вы просто работаете слева направо.

См. наши страницы: Сложение и Вычитание для получения дополнительной информации.

Объединяем все вместе

Этот последний рабочий пример включает в себя все элементы BODMAS.



Тестовые вопросы по БОДМАС

Правила БОДМАС легче всего понять после некоторой практики и примеров.

Попробуйте эти расчеты самостоятельно, а затем откройте окно (щелкните символ + слева), чтобы увидеть работу и ответы.

В этом расчете нет скобок или порядков.

  1. Умножение предшествует сложению, поэтому начните с 20 × 3 = 60.
  2. Расчет теперь выглядит как 3 + 60

Таким образом, ответ будет 63 .

  1. Начните со скобок. (3 + 2) = 5,
  2. Расчет теперь выглядит как 25 − 5 ÷ 5
  3. Деление предшествует вычитанию. 5 ÷ 5 = 1.
  4. Расчет теперь выглядит как 25 − 1

Таким образом, ответ 24 .

  1. Начните со скобок. (1+10) = 11.
  2. Расчет теперь выглядит как 10 + 6 × 11
  3. Умножение предшествует сложению. 6 × 11 = 66,
  4. Расчет теперь выглядит как 10 + 66.

Таким образом, ответ будет 76 .

Когда нет такого знака, как в этом вычислении, оператор является умножением, таким же, как запись 5 × (3 + 2) + 5 2 .

  1. Сначала выполните вычисления внутри скобок: (3 + 2) = 5,
  2. Это дает вам 5 × 5 + 5 2 .
  3. Следующий шаг — заказы, в данном случае — квадрат. 5 2 = 5 × 5 = 25. Теперь у вас есть 5 × 5 + 25.
  4. Деление и умножение предшествуют сложению и вычитанию, поэтому ваш следующий шаг — 5 × 5 = 25. Теперь вычисление выглядит так: 25 + 25 = 50.

Ответ: 50 .

В этом есть все! Но не паникуйте. BODMAS по-прежнему применяется, и все, что вам нужно сделать, это отменить расчет.

  1. Начните со скобок. (105 + 206) = 311.
  2. Расчет теперь выглядит как 311 – 550 ÷ 5 2 + 10
  3. Далее приказы или силы. В данном случае это 5 2 = 25,
  4. .
  5. Расчет теперь выглядит как 311 – 550 ÷ 25 + 10
  6. Далее, деление и умножение. Умножения нет, а деление 550 ÷ 25 = 22.
  7. Теперь расчет выглядит как 311 – 22 + 10.
  8. Хотя у вас еще осталось две операции, сложение и вычитание имеют одинаковый ранг, поэтому вы просто выполняете слева направо. 311 – 22 = 289, и 289 + 10 = 299,

Ответ: 299 .

Подобные проблемы часто циркулируют в социальных сетях с надписями вроде «90% людей понимают это неправильно». Просто следуйте правилам BODMAS, чтобы получить правильный ответ.

  1. Скобки и порядки отсутствуют, поэтому начните с деления и умножения.
  2. 7 ÷ 7 = 1 и 7 × 7 = 49.

Оставить комментарий