Математика пределы функций объяснение с нуля: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Свойства пределов функции, основные свойства пределов

Содержание:

• Предел функции
• Свойства пределов функции

Предел функции

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как

$$f(x) \rightarrow L \quad$ при $\quad x \rightarrow a$$

или через символ предела функции:

$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=L$$

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

$$\lim _{x \rightarrow a} C=C$$

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x)+\lim _{x \rightarrow a} g(x)$$

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x)+\ldots+f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x)+\ldots+\lim _{x \rightarrow 0} f_{n}(x)$$

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

$$\lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k \lim _{x \rightarrow a} f(x)$$

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow 0}[f(x) g(x)]=\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow 2} g(x)$$

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

$$\lim _{x \rightarrow a}\left[f_{1}(x) f_{2}(x) \ldots f_{n}(x)\right]=\lim _{x \rightarrow a} f_{1}(x) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} f_{2}(x) \cdot \ldots \cdot \lim _{x \rightarrow 2} f_{n}(x)$$

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)}{\lim _{x \rightarrow 0} g(x)}, \quad$ ecл $\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Свойства пределов функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х₀ предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х₀, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

• предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
• предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
• предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
• повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
• произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
• расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
• предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
• предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
• предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
• предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
• теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x – a|

Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x – a| |f(x) – f(a)|

Обозначение

lim x → a f(x) = b

Свойства пределов

lim x → a (f(x) + g(x) – h(x)) =   lim x → a f(x) +   lim x → a g(x) –   lim x → a h(x)

lim x → a (f(x) * g(x)) =   lim x → a f(x) *   lim x → a g(x)

lim x → a (cf(x)) = c *   lim x → a f(x)

lim x → a ( f(x) g(x) ) = lim x → a f(x)   lim x → a g(x)      (   lim x → a g(x) ≠ 0)

Замечательные пределы

lim x → 0 sinx x = 1

lim x → ∞ (1 +  1  x ) x   =   lim α → 0 (1 + α)  1  α     = e

e = 2,718281828459045235360287471352662497757. ..

Связь между десятичными и натуральными логарифмами

lg(x) = M ln(x),

где M = lg(e) = 0,43429448190325182765112891891666…

лимитов. Начало исчисления | by Kasper Müller

Начало исчисления

Табуретка / Wikimedia Commons

Это вторая часть из серии статей, где моя цель — научить исчислению с нуля.

Первую можно найти здесь.

Самая фундаментальная и важная концепция для понимания в исчислении — это предел .

Как и многие другие объекты в математике, пределы можно понимать с разных уровней. В этой статье я постараюсь предоставить вам несколько различных уровней понимания, чтобы вы могли понять внутреннюю работу исчисления по мере того, как мы продвигаемся по этому предмету.

Как вы увидите в следующих статьях, ограничения так же важны для вычислений, как числа для арифметики и формы для геометрии. Поэтому мы должны убедиться, что действительно хорошо поняли ограничения, прежде чем продолжить.

В каком-то смысле предел — это то, на что это похоже. Все дело в том, что некоторая последовательность чисел все ближе и ближе приближается к определенному числу.

Зачем нам это?

Представьте, что у вас есть функция, скажем, f(x) = sin(x)/x . Посмотрим на график его графика:

sin(x) / x

Это выглядит как хорошо работающая функция, также при x=0. Но подождите… Как мы определяем эту функцию при x=0? Все мы давно усвоили, что на ноль делить нельзя. Это самая незаконная вещь в математике!

А вот очень красивый график этой функции. Чтобы правильно определить эту функцию, нам действительно нужно определить ее при x ≠ 0 и при x = 0 отдельно, потому что да, вы не можете делить на ноль.

Но вы можете спросить себя, есть ли значение, которое имеет смысл в качестве выхода для этой функции в 0. В частности, существует ли значение, которое делает функцию непрерывной в 0? Несмотря на то, что нам не разрешено вставлять 0, мы разрешено , чтобы x произвольно приблизились к 0 в выражении sin(x)/x .

Тогда возникает естественный вопрос:

Есть ли способ, которым можно подойти бесконечно близко к числу?

Давайте подумаем, как мы могли бы сделать это математически более точным. Нам нужно математическое определение того, что мы подразумеваем под «приближением» или «движением к» некоторому числу.

Предположим, у нас есть бесконечная последовательность действительных чисел:

Тогда можно сказать, что действительное число L является пределом этой последовательности, если верно следующее:

Независимо от того, насколько малое число я выберу, скажем, ε > 0, вы можете дать мне достаточно большое число, такое, что если я выберу любое число больше, чем, скажем, n , то n-й элемент приведенной выше последовательности имеет расстояние до L меньше ε.

Другими словами, последовательность сколь угодно близка к L. На математическом языке мы можем сформулировать вышеизложенное следующим образом.

но опять же, вам не нужно понимать это определение эпсилон-дельта. Ограничения лучше всего усваиваются на практических задачах.

Мы обозначаем предел двумя разными способами. Вышеприведенное можно записать как

, но тогда вы должны знать, что предел существует, потому что иначе это не имеет никакого смысла. Еще один распространенный способ записать то же самое:

, однако здесь предел не обязательно должен существовать, то есть L может быть бесконечностью. Вы можете ограничивать не только последовательности, но и функции в целом. В общем, если f — функция с действительным знаком, а c — действительное число, мы пишем:

Вы должны думать об этой нотации как о вычислении f по c , если возможно, или в противном случае по числу, «бесконечно близкому» с . Конечно, вы знаете, что на самом деле происходит определение эпсилон-дельта.

Вопрос в том, как мы рассчитываем лимиты?

В некоторых случаях ответ очевиден. Например, совершенно очевидно, что если c ≠ 0, то

Но если c = 0, то нужно быть осторожным. Функция 1/x не является непрерывной в 0, поэтому предел зависит от того, каким образом мы приближаемся к 0. Если мы приближаемся к 0 сверху (справа), то ответ будет ∞. однако, если мы подойдем к 0 снизу (слева), то ответ будет -∞.

Вернемся к нашей задаче выше с f(x) = sin(x)/x . Нам не разрешено подставлять 0 , но нам разрешено приближать x к 0 в выражении. Но как мы на самом деле рассчитываем предел?

Оказывается, есть много решений этой проблемы. Но все они зависят от инструмента под названием деривативы, и я не предполагаю, что читатель знаком с деривативами (хотя я знаю, что многие из вас знакомы). В конце концов, это введение в исчисление, и мы еще не говорили о производных, поэтому нам нужно найти другой способ вычисления этого предела.

Подумайте немного о функции sine .

В качестве входных данных принимает число, соответствующее углу θ, и выдает длину противоположной стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность.

Stephan Kulla / Wikimedia Commons

Попробуем представить, что произойдет с выходными данными, если мы позволим θ стать очень близким к 0.

Мы видим, что sin(θ) также очень близко к 0, но когда если подумать, мы видим, что они делают это примерно с одинаковой скоростью. Другими словами, кажется, что отношение между длиной противоположной стороны треугольника и углом θ становится близким к 1, когда угол приближается к 0.

Это действительно можно уточнить, и мы уточним его в более поздняя статья с использованием производных, ряда Тейлора и правила, называемого правилом Лопиталя.

Теперь мы можем определить нашу функцию:

Удивительно то, что эта функция не только непрерывна в 0, но и дифференцируема в 0.

Мы ни в коем случае не закончили с ограничениями. Они пронизывают исчисление и все его поддисциплины как упрямый старый друг, от которого мы, кажется, не можем избавиться. В следующих статьях, по мере взросления, мы будем развивать инструменты для расчета пределов, такие как

Истории из этой серии на данный момент (по порядку):

Функции и непрерывность

Пререквизиты для исчисления

www. cantorsparadise.com

Ограничения

Начало исчисления

Kaspermuller.medium.com

. Properties. . Пределы функций используются для определения производных функций, проверки непрерывности функций и т.д. Интуитивно значение предела функции в конкретной точке дает нам представление о приближающемся значении функции. Обратите внимание, что при вычислении пределов мы не вычисляем точное значение функции в этой конкретной точке. Нас больше интересует поиск направления или точки, куда приближается функция. Давайте определим ограничения и рассмотрим свойства более подробно.

Пределы

Пределы используются в вычислениях для определения дифференциала, непрерывности и интегралов и определяются как приближение значения функции к входному значению, приближающемуся к определенному значению. Допустим, у нас есть функция f(x) = x ² . На приведенном ниже графике обратите внимание, что при x⇢0 f(x) также стремится к нулю. Это можно записать в терминах предела как,. Это читается как предел f (x), когда x стремится к нулю.

В общем случае, поскольку x ⇢ a, f(x) ⇢ l, то l называется пределом функции f(x). Это также может быть записано как 

Иногда некоторые функции не являются непрерывными. То есть кажется, что они приближаются к двум разным значениям, когда к ним приближаются с двух сторон. Например, давайте посмотрим на эту ступенчатую функцию, приведенную на рисунке ниже.

Эту функцию можно определить как

Предположим, мы хотим приблизиться к нулю и увидеть предел функции. Это естественным образом ведет к направлениям, с которых мы можем подойти. Левосторонние и правосторонние ограничения. Правосторонний предел — это значение функции, которое она принимает при приближении к ней с правой стороны от искомой точки. Точно так же левосторонним пределом является значение функции при приближении к ней с левой стороны.

Для этой конкретной функции

 Предел слева

Предел справа

Алгебра пределов

Допустим, у нас есть две функции, f(x) и g(x). Мы это знаем и существуем. Приведенные ниже свойства описывают поведение пределов при различном сочетании этих двух функций. Они представлены без доказательства, но мы увидим несколько примеров этих свойств, чтобы проверить их.

Недвижимость 1:

 Предел суммы двух функций – это сумма пределов обеих функций.

Свойство 2:

 Предел разности двух функций — это разность пределов обеих функций.

 

Свойство 3:

 Предел произведения двух функций есть произведение пределов обеих функций.

 

Свойство 4:

 Предел частного двух функций — это частное пределов обеих функций.

 

Предел составных функций

Композиция двух функций f(x) и g(x) обозначается (f o g)(x), что означает, что область значений функции g(x) должна лежать в области определения функции f(x). Теперь для вычисления предела композиции двух функций мы используем следующее свойство:

Давайте посмотрим на некоторые примеры задач на эти понятия,

Пример 1. Дана функция f(x) =  . Найдите .

Решение:

Давайте посмотрим на этот предел графически,

Мы можем видеть из графика при приближении функции с любой из сторон к нулю. Значения начинают стремиться к бесконечности.

Пример 2. Найдите значение предела функции f(x) = x + cos(x), когда x ⇢ 0.

Решение:

На рисунке ниже показан график функции,

Мы знаем, что f(x) представляет собой комбинацию двух разных функций. Мы можем использовать изученные выше свойства, для нашего случая работает свойство 1.

Мы знаем, что f(x) = x + cos(x). Допустим, h(x) = x и g(x) = cos(x), и, используя вышеуказанное свойство, мы получаем.

= 

= 

= 1

Пример 3. Найдите значение предела функции f(x) = (x ² + x +1)e ^x , когда x ⇢ 0.

Решение: 

Мы знаем, что f(x) представляет собой комбинацию двух различных функций. Мы можем использовать изученные выше свойства, для нашего случая работает свойство 3.

Мы знаем f(x) = (x ² + x +1)e ^x Допустим, h(x) = x ² + x +1 и g(x) =e ^x и, используя указанное выше свойство, получаем.

=

= 1 + 1

= 1

Пример 4. Найдите значение предела функции f(x) = , когда x ⇢ 0.

Решение:

разная функция. Мы можем использовать изученные выше свойства, для нашего случая работает свойство 4.

 

Мы знаем, что f(x) =  Скажем, g(x) = x ² + x +4 и g(x) = cos(x), и, используя вышеуказанное свойство, мы получаем.