Математика производная: Производная – Умскул Учебник

Математика. Подготовка к ЕГЭ. Производная: задания В9 и В15. (Федор Лысенко)

Купить офлайн

Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.

В наличии в 2 магазинах. Смотреть на карте

Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.

Материал, представленный в этой книге, предназначен для формирования устойчивых навыков решения заданий В9 и В15 первой части ЕГЭ по математике. Подробно излагается исследование функций с применением производной. Также уделяется внимание первообразной и интегралу — темам, которые могут встретиться в экзаменационной работе. . .Пособие состоит из 2 параграфов (каждому заданию посвящен отдельный параграф), которые включают в себя разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ, и варианты для самостоятельного решения. . .Данная книга составлена на основе материалов пособия «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 2: Алгебра и начала анализа». Для отработки навыков решения других заданий базового уровня сложности следует использовать указанное пособие, а также книги «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 1: Арифметика и алгебра» и «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 3: Геометрия». .

Описание

Характеристики

Материал, представленный в этой книге, предназначен для формирования устойчивых навыков решения заданий В9 и В15 первой части ЕГЭ по математике. Подробно излагается исследование функций с применением производной. Также уделяется внимание первообразной и интегралу — темам, которые могут встретиться в экзаменационной работе. . .Пособие состоит из 2 параграфов (каждому заданию посвящен отдельный параграф), которые включают в себя разбор решений типовых задач, подобных приведённым в открытом банке заданий ЕГЭ, и варианты для самостоятельного решения.

. .Данная книга составлена на основе материалов пособия «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 2: Алгебра и начала анализа». Для отработки навыков решения других заданий базового уровня сложности следует использовать указанное пособие, а также книги «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 1: Арифметика и алгебра» и «Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2014. Пособие для „чайников”. Часть 3: Геометрия». .

Легион

На товар пока нет отзывов

Поделитесь своим мнением раньше всех

Как получить бонусы за отзыв о товаре

1

Сделайте заказ в интернет-магазине

2

Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили

3

Дождитесь, пока отзыв опубликуют.

Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.

Правила начисления бонусов

Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.

Правила начисления бонусов

Книга «Математика. Подготовка к ЕГЭ. Производная: задания В9 и В15.» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене. Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу Федор Лысенко «Математика. Подготовка к ЕГЭ.

Производная: задания В9 и В15.» и выбрать удобный способ его получения: самовывоз, доставка курьером или отправка почтой. Чтобы покупать книги вам было ещё приятнее, мы регулярно проводим акции и конкурсы.

Как решать задания на производную в ЕГЭ? 11 задание профиль

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

• Учите производную
• Пользуйтесь алгоритмами
• Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

3: Производные – Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2489

• Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
• OpenStax

Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено.

Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем исследовать применение этих методов.

• 3.0: Prelude to Derivatives

  Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем изучить их применение.0008

• 3.1: Определение производной

  Наклон касательной к кривой измеряет мгновенную скорость изменения кривой. Мы можем вычислить его, найдя предел разностного отношения или разностного отношения с приращением h. Производная функции f(x) при значении a находится с использованием любого из определений наклона касательной. Скорость – это скорость изменения положения. Таким образом, скорость v(t) в момент времени t является производной положения s(t) в момент времени t.

  • 3.1E: Упражнения к разделу 3.1

• 3.2: Производная как функция

  . График производной функции f(x) связан с графиком f(x). Где (f(x) имеет касательную с положительным наклоном, f′(x)> 0. Где (x) имеет касательную с отрицательным наклоном, f′(x)<0. Где f(x) имеет горизонтальную касательной, f′(x)=0. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

  • 3.2E: Упражнения к разделу 3.2

• 3.3: Правила дифференцирования

  Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции — это функция, в которой степень x становится коэффициентом при члене, а степень x в производной уменьшается на 1. Производная константы c, умноженная на функцию f, равна константе умножить на производную. Производная суммы функции f и функции g равна сумме производной функции f и производной функции g.

  • 3.3E: Упражнения к разделу 3.3

• 3.4: Производные как скорости изменения

  В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения производной как скорости изменения, сосредоточившись на интерпретации скорости производной изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и предельные функции в экономике.

  • 3.4E: Упражнения к разделу 3.4

• 3.5: Производные тригонометрических функций

  Мы можем найти производные sin x и cos x, используя определение производной и предельные формулы, найденные ранее. {n−1}g′(x)\).

  • 3.6E: Упражнения к разделу 3.6

• 3.7: Производные обратных функций

  Теорема об обратных функциях позволяет вычислять производные обратных функций без использования предельного определения производных обратных функций. Мы можем использовать теорему об обратной функции для разработки формул дифференцирования для обратных тригонометрических функций.

  • 3.7E: Упражнения для раздела 3.7

• 3.8: Неявное дифференцирование

  Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями). Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

  • 3.8E: Упражнения к разделу 3.8

• 3. 9: Производные экспоненциальных и логарифмических функций

  В этом разделе мы исследуем экспоненциальные и логарифмические производные экспоненциальных функций. Как мы обсуждали во Введении в функции и графики, экспоненциальные функции играют важную роль в моделировании роста населения и распада радиоактивных материалов. Логарифмические функции могут помочь изменить масштаб больших величин и особенно полезны для перезаписи сложных выражений.

  • 3.9e: Упражнения для Раздела 3.9

• 3.10: Глава 3 Обзорные упражнения

Сфокусировано: Производители (CC;

---

Эта страница под названием 3: Деривативы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Глава

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
   2. автор@Гилберт Странг
   3. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1

3.2: Производная как функция

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

2491

• Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
• ОпенСтакс

Цели обучения

• Определить производную функцию заданной функции.
• График производной функции по графику заданной функции.
• Укажите связь между производными и непрерывностью.
• Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
• Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Производная функция дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \(f\) — функция. Производная функция , обозначаемая \(f’\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \(x\), что существует следующий предел:

\[f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \label{derdef} \]

Функция \(f(x)\) называется дифференцируемой в \(a\), если \(f'(a)\) существует. В более общем смысле функция называется дифференцируемой на \(S\), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \(S\), а дифференцируемой функцией является функция, в которой \(f'( x)\) существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ref{derdef} для нахождения производной функции.

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную \(f(x)=\sqrt{x}\).

Решение

Начните непосредственно с определения функции производной.

Подставьте \(f(x+h)=\sqrt{x+h}\) и \(f(x)=\sqrt{x}\) в \(f'(x)= \displaystyle \lim_{ h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\).

\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{ х}}{\sqrt{х+ч}+\sqrt{х}}\)	Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) без распределения в знаменателе. 2\). 92−2x\справа)=2x−2\). Таким образом, для функции \(y=f(x)\) каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\): \(f'(x), \quad \dfrac{dy }{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)\). Вместо \(f'(a)\) мы также можем использовать \(\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}\). Использование нотации \(\dfrac{dy}{dx}\) (называемой нотацией Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \(\dfrac{Δy}{Δx}\), где \(Δy\) – разность значений \(y\), соответствующая разнице в \(x \) значения, которые выражаются как \(Δx\) (рисунок \(\PageIndex{1}\)). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения \(у\) по отношению к \(х\), выражается как \(\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\). Рисунок \(\PageIndex{1}\): производная выражается как \(\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\). Построение графика производной Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение функции производной, мы могли бы изобразить ее. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \(f'(x)\) дает скорость изменения функции \(f(x)\) (или наклон касательной строка к \(f(x)\)). В примере \(\PageIndex{1}\) мы обнаружили, что для \(f(x)=\sqrt{x}\), \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {Икс}}\). Если мы изобразим эти функции на тех же осях, как на рисунке \(\PageIndex{2}\), мы сможем использовать графики, чтобы понять связь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \(f(x)\) возрастает по всей своей области, а это означает, что наклоны ее касательных во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем \(f'(x)>0\) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \(x\) наклоны касательных линий к \(f(x)\) уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \(f'(x)\). +}f'(x)=+∞\), что соответствует вертикальной касательной к \(f( х)\) в \(0\). 92−2x,\; f'(x)=2x−2\). Графики этих функций показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\). Обратите внимание, что \(f(x)\) убывает при \(x<1\). Для этих же значений \(x\), \(f'(x)<0\). Для значений \(x>1\) \(f(x)\) возрастает и \(f'(x)>0\). Кроме того, \(f(x)\) имеет горизонтальную касательную в точках \(x=1\) и \(f'(1)=0\). Рисунок \(\PageIndex{3}\): производная \(f'(x)<0\), где функция \(f(x)\) убывает и \(f'(x)>0\) где \(f(x)\) возрастает. Производная равна нулю там, где функция имеет горизонтальный тангенс Пример \(\PageIndex{3}\): набросок производной с помощью функции Используйте следующий график \(f(x)\) для построения графика \(f'(x)\). Решение Решение показано на следующем графике. Заметим, что \(f(x)\) возрастает и \(f'(x)>0\) на \((–2,3)\). Кроме того, \(f(x)\) убывает и \(f'(x)<0\) на \((−∞,−2)\) и на \((3,+∞)\). Также обратите внимание, что \(f(x)\) имеет горизонтальные касательные в точках \(-2\) и \(3\), а \(f'(-2)=0\) и \(f'(3)= 0\). 92−4\). На каком интервале находится график \(f'(x)\) над осью \(x\)? Подсказка График \(f'(x)\) положителен, где \(f(x)\) возрастает. Ответить \((0,+∞)\) Производные и непрерывность Теперь, когда мы можем изобразить производную, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин. Дифференцируемость подразумевает непрерывность Пусть \(f(x)\) — функция и \(a\) находится в ее области определения. Если \(f(x)\) дифференцируема в \(а\), то \(f\) непрерывна в \(а\). Доказательство Если \(f(x)\) дифференцируема в \(a\), то \(f'(a)\) существует и, если положить \(h = x – a\), мы имеют \( x = a + h \), и поскольку \(h=x-a\to 0\), мы можем видеть, что \(x\to a\). Тогда \[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber \] можно переписать как \(f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\). Мы хотим показать, что \(f(x)\) непрерывно в \(a\), показав, что \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).\) Таким образом , \(\begin{align*} \displaystyle \lim_{x→a}f(x) &=\lim_{x→a}\;\big(f(x)−f(a)+f( a)\big)\\[4pt] &=\lim_{x→a}\left(\frac{f(x)−f(a)}{x−a}⋅(x−a)+f( a)\right) & & \text{Умножить и разделить}(f(x)−f(a))\text{ на }x−a.\\[4pt] &=\left(\lim_{x→ a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\right)⋅\left( \lim_{x→a}\;(x−a)\right)+\lim_{x→ а}ж(а)\\[4pt] &=f'(a)⋅0+f(a)\\[4pt] &=f(a). \end{align*}\) Следовательно, поскольку \(f(a)\) определено и \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)\), мы заключаем, что \(f\) непрерывна в \(a\). □ Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, мы исследуем функцию \(f(x)=|x|\). Эта функция всюду непрерывна; однако \(f'(0)\) не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для \(f(x)=|x|\), 92}}=+∞\). Таким образом, \(f'(0)\) не существует. Беглый взгляд на график \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \(0\) (рисунок \(\PageIndex{5}\)). Рисунок \(\PageIndex{5}\): Функция \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) имеет вертикальную касательную в точке \(x=0\). Он непрерывен в точке \(0\), но не дифференцируем в точке \(0\). Функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \ text{ if } x=0\end{cases}\) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при \(0\). Мы видим, что \(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_ {x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\). Этого предела не существует, главным образом потому, что наклон секущих постоянно меняет направление по мере приближения к нулю (рис. \(\PageIndex{6}\)). Рисунок \(\PageIndex{6}\): функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ если } x≠0\\0, & & \text{ если } x=0\end{cases}\) не дифференцируемо в \(0\). Итого: Заметим, что если функция не непрерывна, то она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой. Мы видели, что \(f(x)=|x|\) не может быть дифференцируемым в \(0\), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к острому углу на графике функции в точке \(0.\). Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой». Как мы видели на примере \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная. Как мы видели с \(f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}\) функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами. Пример \(\PageIndex{4}\): кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой 92+bx+c, & & \text{, если }x <−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{, если } x≥−10\ end{cases}\), где \(x\) и \(f(x)\) указаны в дюймах. Для плавного движения автомобиля по трассе функция \(f(x)\) должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой в точке \(−10\). Найдите значения \(b\) и \(c\), которые делают \(f(x)\) одновременно непрерывным и дифференцируемым. Рисунок \(\PageIndex{7}\): Чтобы автомобиль двигался плавно по трассе, функция должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой. 92−10b+c=10−10b+c\) и \(f(−10)=5\), мы должны иметь \(10−10b+c=5\). 2+bx+c−5}{x+10}\\[4pt] 92, & & \text{ если } x≥3\end{cases}\) как непрерывны, так и дифференцируемы в \(3\). Подсказка Используйте пример \(\PageIndex{4}\) в качестве руководства. Ответить \(a=6\) и \(b=−9\) Производные высшего порядка Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее. В совокупности они обозначаются как 92−3ч}{ч}\)	Упростите числитель.
\(=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)\)	Вынесите \(h\) в числителе и сократите с \(h\) в знаменателе.
\(=4x−3\)	Возьмите предел.

Затем найдите \(f”(x)\), взяв производную от \(f'(x)=4x−3.\)

93\), найти \(a(t).\)

Подсказка

Используйте пример \(\PageIndex{6}\) в качестве руководства.

Ответить

\(а(т)=6т\)

Основные понятия

• Производной функции \(f(x)\) называется функция, значение которой в точке \(x\) равно \(f'(x)\).
• График производной функции \(f(x)\) связан с графиком функции \(f(x)\). Где \(f(x)\) имеет касательную с положительным наклоном, \(f'(x)>0\). Где \(f(x)\) имеет касательную с отрицательным наклоном, \(f'(x)<0\). Где \(f(x)\) имеет горизонтальную касательную, \(f'(x)=0.\) 9{\text{th}}\) производная.

Ключевые уравнения

• Производная функция

\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\)

Глоссарий

производная функция

дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная

дифференцируемый по \(а\)

функция, для которой \(f'(a)\) существует, дифференцируема в точке \(a\) 9{\text{th}}\) производная, называется производной высшего порядка

Авторы и авторство

---

Эта страница под названием 3.

\(f”(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}\)	Используйте \(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\) с \(f ‘(x)\) в место \(f(x).\)
\(=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}\)	Замените \(f'(x+h)=4(x+h)−3\) и \(f'(x)=4x−3.\)
\(=\displaystyle \lim_{h→0}4\)	Упростить.
\(=4\)	Возьмите предел.