Решение высшей математики онлайн
‹– Назад
Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами
при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале , в формуле (4.3b) — на некотором полуинтервале , а в формуле (4.3c) — на некотором полуинтервале .
Функция, имеющая в точке производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке . Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала , называется дифференцируемой на интервале .
Пусть теперь — замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , дифференцируемая справа в точке и дифференцируемая слева в точке , называется дифференцируемой на отрезке .
Вычислим производную данной функции в различных точках некоторого интервала и предположим, что производная существует при всех . Тогда мы можем задать соответствие между точками интервала и числами и получаем функцию . Эта функция называется производной от функции (или первой производной от ).
С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная , то существуют обе односторонние производные (правая и левая ), и . Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, , то существует и производная , совпадающая с их общим значением.
В предположении, что производная существует, мы можем теперь сказать, что число задаёт мгновенную скорость изменения координаты при ; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику при : чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью ).
Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной
Замечание 4.1 В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение . Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина . Она называется приращением аргумента. Величина называется разностным отношением12. Условие можно, очевидно, записать в виде (кстати, база эквивалентна базе ). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:
От такой записи происходит обозначение производной в виде .
Пример 4.1 Рассмотрим линейную функцию . Тогда , и при любом .
Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту . (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, — это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при получаем, что производная любой постоянной, то есть функции , равна 0:
| (4.5) |
а при и получаем, что
| (4.6) |
Пример 4.2 Пусть и . Вычислим односторонние производные и .
При имеем и .
Значит, разностное отношение равно и
При имеем и . Значит, разностное отношение равно и
Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику
в точке , сначала пользуясь секущими с точкой правее . Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими с точкой левее . Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение , задающее прямую, наклонённую под углом к оси ( ).
Рис.4.4.График имеет излом при
Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия имеет при излом под углом и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.
Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.
Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке .
Доказательство. Из существования производной
следует, что
откуда
что и означает непрерывность функции в точке .
Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу на базу или .
Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна.
Действительно, функция непрерывна при , но не имеет производной в точке 0.
Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Два таких примера (функции Вейерштрасса и Ван дер Вардена) приведены в весьма любопытной и полезной для понимания математики книге [Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967. — С. 52 – 53]. Построение функции Вейерштрасса приведено также в учебнике [Калугина Т.Ф., Киселёв В.Ю., Математический анализ. — Иваново, изд. ИГАСА, 1997. — С. 99 -101]. (Функция Вейерштрасса обладает ещё следующим замечательным свойством: она не монотонна ни на каком, как угодно коротком, интервале.) Построение непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций — довольно сложная процедура.
Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке , только в этой самой точке , но не на некотором интервале, окружающем .
Примером функции, имеющей производную при , но разрывной при всех , служит функция
(Напомним, что через обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси : между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными — рациональное.) Действительно, ; если — рациональное число, то разностное отношение , а если — иррациональное, то . И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при , так что существует производная . Однако, как нетрудно заметить, функция разрывна во всех точках , кроме .
Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку , значение может оказаться не равным пределу значений при , то есть производная может оказаться разрывной функцией.
13 Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной может служить функция
Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна
Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого , совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Курс евро к доллару онлайн EUR USD — Investing.
comОбзор EUR/USD
- Пред. закр.
- 1,0621
- Спрос
- 1,0609
- Дн. диапазон
- 1,0589-1,0644
- Открытие
- 1,0623
- Предл.
- 1,0612
- 52 недель
- 0,9535-1,1496
- Изменение за год
- -5,8%
Каков ваш прогноз по инструменту EUR/USD?
Проголосуйте и узнайте мнения остальных пользователей
Доллар укрепляется к евро и иене после падения накануне
ОтIFX-
В ходе сегодняшних торгов курс доллара США умеренно укрепляется к основным мировым валютам после резкого снижения накануне, вызванного решениями Банка Японии. Рассчитываемый ICE.
..Доллар дешевеет к евро, иене и фунту
ОтIFX-
- 1
В ходе сегодняшних торгов доллар США дешевеет к евро, иене и фунту стерлингов. Рассчитываемый ICE индекс, показывающий динамику доллара относительно шести валют (евро, швейцарский…
Доллар укрепляется к евро, фунту и иене
ОтIFX-
Доллар США слегка дорожает по отношению к евро, фунту стерлингов и иене на торгах утром в четверг после очередного подъема ставки Федеральной резервной системы (ФРС). …
..Доллар США: на “низком старте” и где готовится к сделке трейдер!
ОтДмитрий Немешаев-
- 6
Многие трейдеры, желая зайти в рынок по лучшей цене, используют разные способы поиска точки входа, но единое мнение есть, и оно сводится к границе действующего тренда.
Таким…Прогноз форекс, акций и криптовалют на 21 – 22 декабря 2022
ОтАртём Гелий-
- 2
Прогноз форекс, акций и криптовалют на 21 – 22 декабря 2022: eurusd, gbpusd, audusd, nzdusd, usdcad, usdchf, usdjpy, индекс доллара, usdrub, доллар, рубль, юань, cnyrub, биткоин,…
Доллар США: важные сделки трейдера с минимальным и ограниченным риском
ОтДмитрий Немешаев-
- 6
Многие трейдеры, желая зайти в рынок по лучшей цене, используют разные способы поиска точки входа, но единое мнение есть, и оно сводится к границе действующего тренда. Таким…
Таким…Тип | 5 мин | 15 мин | 1 час | 1 день | 1 месяц |
|---|---|---|---|---|---|
Скол. средние | Продавать | Продавать | Продавать | Активно покупать | Продавать |
| Тех. индикаторы | Активно продавать | Покупать | Продавать | Активно покупать | Продавать |
| Резюме | Активно продавать | Нейтрально | Продавать | Активно покупать | Продавать |
Модель | Временной период | Надежность | Х свечей назад | Время | |
|---|---|---|---|---|---|
| Завершенные модели | |||||
| Evening Star | 1H | 7 | 21.12.2022 17:00 | ||
| Engulfing Bullish | 1H | 9 | 21.12.2022 15:00 | ||
| Three Black Crows | 30 | 13 | 21.12. 2022 17:30 | ||
| Deliberation Bearish | 1D | 13 | 02.12.2022 | ||
| Three Outside Up | 1D | 14 | 01.12.2022 | ||
Котировки EUR/USD
Биржа | Цена | Спрос | Предл. | Объем | Изм. % | Валюта | Время | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Форекс в реальном времени | 1,0612 | 1,061 | 1,0614 | 86.119 | -0,08% | USD | |||
Москва | 1,0402 | 1,0402 | 1,0409 | 8.785 | +0,02% | USD | |||
TAIFEX | 1,067 | 0,00 | 0,00 | 36 | -0,23% | USD | |||
CME | 1,0676 | 1,0675 | 1,0677 | 31. 275 | -0,13% | USD | |||
CME | 1,074 | 1,0736 | 1,0739 | 1.123 | -0,12% | ||||
Eurex | 1,06076 | 0,00 | 0,00 | 40 | -0,31% | USD |
Время | Валюта | Важн. | Событие | Факт. | Прогноз | Пред. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| среда, 21 декабря 2022 г | ||||||
| 00:30 | USD | Недельные запасы сырой нефти по данным Американского института нефти (API) | -3,069M | -0,167M | 7,819M | |
| 10:00 | EUR | Индекс потребительского климата Германии (Gfk) (янв) | -37,80 | -38,00 | -40,10 | |
| 11:00 | EUR | Баланс счета текущих операций (3 кв. | -4,50% | -6,30% | ||
| 12:00 | EUR | Баланс счета текущих операций Греции (YoY) (окт) | -2,704B | -0,811B | ||
| 14:00 | EUR | Индекс цен производителей (PPI) (MoM) (нояб) | -0,10% | 0,50% | ||
| 14:00 | EUR | Индекс цен производителей (PPI) (YoY) (нояб) | 29,60% | 32,30% | ||
| 15:00 | USD | Ставка по 30-летним ипотечным кредитам от MBA | 6,34% | 6,42% | ||
| 15:00 | USD | Индекс ипотечного кредитования от МВА (WoW) | 0,90% | 3,20% | ||
| 15:00 | USD | Индекс заявлений на покупку домов по ипотеке от MBA | 182,50 | 182,60 | ||
| 15:00 | USD | Индекс ипотечного рынка | 212,50 | 210,70 | ||
| 15:00 | USD | Индекс рефинансирования ипотечных кредитов | 371,40 | 350,50 | ||
| 16:30 | USD | Баланс счета текущих операций (3 кв. | -217,10B | -222,00B | -238,70B | |
| 18:00 | USD | Индекс доверия потребителей CB (дек) | 108,30 | 101,00 | 101,40 | |
| 18:00 | USD | Продажи на вторичном рынке жилья (нояб) | 4,09M | 4,20M | 4,43M | |
| 18:00 | USD | Продажи на вторичном рынке жилья (MoM) (нояб) | -7,70% | -5,40% | -5,90% | |
| 18:30 | USD | Запасы сырой нефти | -5,894M | -1,657M | 10,231M | |
| 18:30 | USD | Объем переработки нефти НПЗ по данным EIA (WoW) | -0,15M | -0,459M | ||
| 18:30 | USD | Импорт нефти | -1,092M | -0,031M | ||
| 18:30 | USD | Данные по избыточным запасам нефти в Кушинге (штат Оклахома) | 0,853M | 0,426M | ||
| 18:30 | USD | Объем производства дистиллятного топлива | -0,066M | -0,164M | ||
| 18:30 | USD | Недельные запасы дистиллятов по данным EIA | -0,242M | 0,336M | 1,364M | |
| 18:30 | USD | Объем производства бензина | 0,358M | 0,129M | ||
| 18:30 | USD | Данные по запасам мазута | -0,239M | 0,504M | ||
| 18:30 | USD | Показатели еженедельной загрузки НПЗ по данным EIA (WoW) | -1,30% | -0,10% | -3,30% | |
| 18:30 | USD | Запасы бензина | 2,53M | 2,14M | 4,496M | |
| 21:00 | USD | Аукцион по размещению 20-летних казначейских облигаций | 3,935% | 4,072% | ||
| четверг, 22 декабря 2022 г | ||||||
| 12:00 | EUR | Изменение объёма продаж в промышленном секторе Италии (YoY) (окт) | 18,00% | |||
| 12:00 | EUR | Изменение объёма продаж в промышленном секторе Италии (MoM) (окт) | -1,20% | |||
| 14:00 | EUR | Сальдо торгового баланса Италии (без учета стран ЕС) (нояб) | -2,04B | |||
| 16:30 | USD | Индекс национальной активности ФРБ Чикаго (нояб) | -0,05 | |||
| 16:30 | USD | Общее число лиц, получающих пособия по безработице | 1. 683,00K | 1.671,00K | ||
| 16:30 | USD | Базовый ценовой индекс расходов на личное потребление (3 кв.) | 4,60% | 4,60% | ||
| 16:30 | USD | Объем корпоративных прибылей (QoQ) (3 кв.) | -0,20% | |||
| 16:30 | USD | ВВП (QoQ) (3 кв.) | 2,90% | 2,90% | ||
| 16:30 | USD | Дефлятор ВВП (QoQ) (3 кв.) | 4,30% | 4,30% | ||
| 16:30 | USD | Продажи в составе ВВП (3 кв. | 4,00% | |||
| 16:30 | USD | Число первичных заявок на получение пособий по безработице | 222,00K | 211,00K | ||
| 16:30 | USD | Среднее число заявок на пособие по безработице за 4 недели | 227,25K | |||
| 16:30 | USD | Ценовой индекс расходов на личное потребление (3 кв.) | 4,30% | |||
| 16:30 | USD | Реальные потребительские расходы (3 кв. | 1,70% | |||
| 17:46 | EUR | Индекс цен производителей в Италии (YoY) (нояб) | 28,00% | |||
| 17:46 | EUR | Индекс цен производителей в Италии (MoM) (нояб) | -3,30% | |||
| 18:00 | USD | Индекс опережающих экономических индикаторов в США (MoM) (нояб) | -0,40% | -0,80% | ||
| 18:30 | USD | Объём запасов природного газа | -93,00B | -50,00B | ||
| 19:00 | USD | Композитный индекс ФРБ Канзас-Сити (дек) | -6,00 | |||
| 19:00 | USD | Индекс производственной активности от ФРБ Канзас-Сити (дек) | -10,00 | |||
| 19:30 | USD | Аукцион по размещению 3-недельных казначейских векселей | 3,78% | |||
| 19:30 | USD | Аукцион по размещению 8-недельных казначейских векселей | 4,06% | |||
| 21:00 | USD | Аукцион по размещению 5-летних TIPS | 1,732% | |||
)
)
)
)Центральные банки
Европейский центральный банк(ECB) | ||
| Текущая ставка | 2,50% | |
| Президент | Christine Lagarde |
Федеральная резервная система(FED) | ||
| Текущая ставка | 4,50% | |
| Председатель | Jerome H. Powell |
Карта валют
Теория вероятностей Теория вероятностей верна. История развития теории вероятностей. Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности
Некоторые программисты, поработав в разработке обычных коммерческих приложений, подумывают освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. По сути, машинное обучение основано на математической статистике, а та, в свою очередь, на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание основным понятиям теории вероятностей: коснемся определений вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.
Возможно, вы знаете, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые могут быть описаны распределением с конечным (или счетным) числом возможных вариантов поведения (броски костей, монет).
Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на некотором плотном множестве, например, на отрезке или в окружности.
Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутеров. Неотъемлемой частью разработки игр в этом жанре является механика стрельбы. Понятно, что шутер, в котором все оружие стреляет абсолютно точно, будет мало интересен игрокам. Поэтому необходимо добавить оружию разброс. Но простая рандомизация хитпойнтов оружия не позволит провести точную настройку, поэтому корректировка игрового баланса будет затруднена. При этом с помощью случайных величин и их распределений можно проанализировать, как будет работать оружие при заданном разбросе, и помочь внести необходимые коррективы.
Пространство элементарных исходов
Предположим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, подбрасывание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (орел или решка).
Эта информация называется элементарным исходом, и целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемых буквой Ω (Омега).
Структура этого пространства полностью зависит от характера эксперимента. Например, если мы рассматриваем стрельбу по достаточно большой круглой мишени, то пространством элементарных исходов будет круг, для удобства помещенный с центром в нуле, а исходом будет точка в этом круге.
Кроме того, рассматривают наборы элементарных исходов – событий (например, попадание в “десятку” – концентрический круг малого радиуса с мишенью). В дискретном случае все достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы, за конечное время. Однако в непрерывном случае все гораздо сложнее: нам нужно рассмотреть некоторое достаточно хорошее семейство множеств, называемое алгеброй, по аналогии с простыми действительными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, и результат операции будет в алгебре.
Это очень важное свойство для математики, лежащее в основе всех этих концепций. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств — пустого множества и пространства элементарных исходов.
Измерение и вероятность
Вероятность — это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов без понимания того, как они работают. Таким образом, вероятность определяется как функция события (из того очень хорошего семейства множеств), которая возвращает число — некую характеристику того, как часто такое событие может происходить в реальности. Для определенности математики согласились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события равна нулю, вероятность всего множества исходов равна единице, а вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей . Другое название вероятности — вероятностная мера. Наиболее часто используемая мера Лебега, которая обобщает понятия длины, площади, объема на любые измерения (n-мерный объем), а значит, применима к широкому классу множеств.
Вместе множество набора элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством . Давайте посмотрим, как мы можем построить вероятностное пространство для примера со стрельбой по мишеням.
Рассмотрите возможность стрельбы по большой круглой мишени радиусом R, которая не может быть пропущена. В качестве набора элементарных событий положим окружность с центром в начале координат радиуса R . Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, мы будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.
Примечание На самом деле это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но необходимо понимать, что эти два объекта существуют, потому что во многих книгах по теории вероятностей теоремы начинаются со слов: « Пусть (Ω,Σ,P) — вероятностное пространство… ».
Как было сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна быть равна единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы будем обозначать через λ 2 (A), где A — событие) окружности, согласно известной из школы формуле, равна π * R 2 . Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , и это значение уже будет лежать между 0 и 1 для любого события A.
Если предположить, что поражение любой точки мишени равновероятно, то поиск вероятности поражения стрелком какой-либо площади мишени сводится к нахождению площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку равна нулю, потому что площадь точки равна нулю).
Например, мы хотим знать, какова вероятность того, что стрелок попадет в «десятку» (событие А — стрелок попал в правильный набор). В нашей модели «десятка» представлена окружностью с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попасть в этот круг равна P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .
Это одна из самых простых разновидностей задач “геометрической вероятности” – большинство этих задач требуют нахождения площади.
случайные величины
Случайная величина — это функция, которая преобразует элементарные результаты в действительные числа. Например, в рассматриваемой задаче можно ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно указать пространство элементарных исходов: Ω = (ω = (x,y) чисел, таких что x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Средства абстрагирования от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность
Хорошо, когда хорошо известна структура пространства, но в действительности это не всегда так. Даже если структура пространства известна, она может быть сложной. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают F ξ (x) = P(ξ
.
Функция распределения имеет несколько свойств:
- Во-первых, она находится между 0 и 1,
- Во-вторых, оно не уменьшается при увеличении аргумента x.
- В-третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0, а когда сам x велик, функция распределения близка к 1.
Вероятно, смысл этой конструкции не очень ясен при первом чтении. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что значение принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала ) = F ξ(b)-F ξ(a) . На основании этого равенства можно исследовать, как изменится это значение, если границы a и b интервала близки.
Пусть d = b-a , тогда b = a+d . И, следовательно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) – F ξ (a) . При малых значениях d указанная выше разница также невелика (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассмотреть соотношение p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) – F ξ (a))/d . Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы p ξ(a), не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную p ξ(a) .
Примечание Читатели, которые ранее сталкивались с понятием производной, могут заметить, что p ξ (a) является производной функции F ξ (x) в точке a . В любом случае вы можете изучить понятие производной в статье, посвященной этой теме, на сайте Mathprofi.
Теперь смысл функции распределения можно определить так: ее производная (плотность p ξ , которую мы определили выше) в точке a описывает, как часто случайная величина будет попадать в малый интервал с центром в точке a (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек . Другими словами, чем быстрее растет функция распределения, тем больше вероятность появления такого значения в случайном эксперименте.
Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в цель. По определению F ρ (t) = P(ρ(x,y)
Мы можем найти плотность p ρ этой случайной величины. Сразу отметим, что вне интервала она равна нулю, так как функция распределения на этом интервале неизменна.
На концах этого интервала плотность не определяется. Внутри интервала его можно найти с помощью таблицы производных (например, с сайта Mathprofi) и элементарных правил дифференцирования. Производная от t 2 /R 2 равна 2t/R 2 . Это означает, что мы нашли плотность на всей оси действительных чисел.
Еще одним полезным свойством плотности является вероятность того, что функция принимает значение из интервала, вычисляемого с помощью интеграла плотности по этому интервалу (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о правильных, несобственных, неопределенных интегралах на сайт Матпрофи).
При первом чтении интеграл размаха функции f(x) можно представить как площадь криволинейной трапеции. Его стороны представляют собой фрагмент оси Ox, разрыв (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a, 0), (б, 0) по оси x. Последняя сторона представляет собой фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Об интеграле по интервалу (-∞; b] можно говорить, когда при достаточно больших отрицательных значениях а значение интеграла по интервалу изменится пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа а.
0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 = …… = 0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;
, следовательно, искомая вероятность равна
4×0,0064 = 0,0256.
Обобщая рассуждения анализируемого примера, можно вывести одну из основных формул теории вероятностей: если события A1, A2,…, An независимы и каждое имеет вероятность p, то вероятность появления ровно m из них равно
Pn(m) = Cnmpm(1 – p)n-m; (четыре)
здесь Cnm обозначает количество комбинаций n элементов по m. При больших n расчеты по формуле (4) становятся затруднительными.
Приблизительное значение вероятности x можно найти по теореме Лапласа
и погрешность не превышает 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 почти наверняка. Это самый простой, но характерный пример использования предельных теорем теории вероятностей.
К основным формулам элементарной теории вероятностей относится и так называемая формула полной вероятности: если события A1, A2,…, Ar попарно несовместны и их совокупность есть определенное событие, то для любого события B его вероятность равно сумме
Теорема умножения вероятностей особенно полезна при рассмотрении составных тестов. Говорят, что испытание T состоит из испытаний T1, T2,.
.., Tn-1, Tn, если каждый исход испытания T является комбинацией некоторых исходов Ai, Bj,…, Xk, Yl соответствующих испытания Т1, Т2,… , Тн-1, Тн. По той или иной причине вероятности часто известны.
Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений.
До возникновения теории вероятностей как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому выполнение определенного набора условий однозначно определяет результат. Классический пример — механика. Например, на основе законов небесной механики можно очень точно предсказывать солнечные и лунные затмения по известному в какой-то момент положению планет Солнечной системы. Такие законы называются детерминистскими законами.
Однако практика показала, что такой подход не всегда применим. Не все явления макромира можно точно предсказать, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее определены законы и закономерности микромира.
Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические закономерности, объективно существующие в массовых случайных явлениях.
Теория вероятностей изначально развивалась как прикладная дисциплина. В связи с этим ее концепции и выводы были окрашены областями знаний, в которых они были получены.
В работах Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстрова, А.Н. Колмогоров представляет основные этапы развития теории вероятностей. Для краткости приведем их в виде таблицы.
Таблица 1
Этапы развития теории вероятностей
Сценическое имя | Основные понятия | Источники формирования и развития |
Предыстория теории вероятностей, до конца XVI века | Равновероятные (равновероятные) исходы, принцип – “не более так, чем иначе”, вероятностные знания, вероятностные рассуждения | Решение элементарных задач, философия, азартные игры |
Возникновение теории вероятностей как науки с 17 по начало 18 века. | Количественная оценка возможности случайного события, представления о частоте события, математическом ожидании и о теоремах сложения и умножения, формулы комбинаторики | Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения. |
Период формирования основ теории вероятностей с 1713 г. до середины XIX века | Классические и статистические определения вероятности, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, закон больших чисел, математическое ожидание, формула Бернулли, теорема Байеса, случайная величина | Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения, естествознание |
Русско-петербургская школа, вторая половина 19 века – 20 век | Предельные теоремы, теория случайных процессов, обобщение закона больших чисел, метод моментов | Контроль качества продукции, естественные науки и т. |
Современный этап развития теории вероятностей, XX – XXI век | Аксиоматическое построение теории вероятностей, частотная интерпретация вероятности, стационарные случайные процессы и др. | Внутренние нужды самой математики, статистической физики, теории информации, теории случайных процессов, астрономии, биологии, генетики и др. |
д.Источники формирования, представленные в таблице, отражают потребности практики, ставшие толчком к развитию теории вероятностей.
Философия к XVII веку накопила достаточно богатый материал, повлиявший на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Основным источником возникновения теории вероятностей является практика. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей формировалась не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны.
Азартные игры оказались более простым и удобным материалом для изучения закономерностей случайных явлений. На основе азартных игр, наряду с основными понятиями, развивались и методы теории вероятностей.
Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю ( 1623-1662) с вопросами о проблеме очков. До нас дошли два знаменитых вопроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две кости, чтобы было больше половины от общего числа выбрасываемых сразу двух шестерок; 2) как справедливо разделить поставленные деньги, если игроки досрочно остановили игру? Паскаль обратился к математику Пьеру де Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по этим вопросам. Вместе они установили некоторые исходные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.
Вероятностные методы нашли непосредственное практическое применение прежде всего в задачах страхования.
С тех пор теория вероятностей все шире используется в различных областях.
Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Г. Гюйгенс (1629-1695). Начала зарождаться новая наука, стали вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы.
Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с работами Якоба Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей? закон больших чисел. Еще до Якоба Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую называют «свойством стабильности частоты при большом числе опытов». Неоднократно отмечалось, что при большом количестве экспериментов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления данного исхода имеет тенденцию к стабилизации, приближаясь к определенному числу ? вероятности этого исхода. Якоб Бернулли первым дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту.
Теорема Якоба Бернулли? простейшая форма закона больших чисел? устанавливает зависимость между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической уверенностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.
Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667-1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и в простейшем случае обосновал закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях, — так называемый нормальный закон (закон Гаусса).
Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон при определенных условиях, носят общее название «центральной предельной теоремы» в теории вероятностей.
Знаменитый математик Лаплас (1749–1827) первым стройно и систематически изложил основы теории вероятностей. Он доказал одну из форм центральной предельной теоремы (теорему Моавра — Лапласа) и разработал ряд замечательных приложений теории вероятностей к практическим вопросам, в частности к анализу погрешностей наблюдений и измерений.
Существенный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777–1855), давшего еще более общее обоснование нормального закона и разработавшего метод обработки экспериментальных данных, известный как «метод наименьших квадратов».
Следует отметить работы Пуассона (1781–1840), доказавшего более общую форму закона больших чисел, чем у Якоба Бернулли, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Весь XVIII и начало XIX века характеризуются бурным развитием теории вероятностей и повсеместным увлечением ею. Теория вероятностей становится «модной» наукой. Он используется не только там, где применение законно, но и там, где оно никак не оправдано.
Этот период характеризуется многочисленными попытками применить теорию вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или «моральным» наукам.
Появилось много работ по вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых использовался аппарат теории вероятностей. Для всех этих околонаучных исследований характерен предельно упрощенный, механический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. Рассуждение основывается на некоторых произвольно заданных вероятностях (например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека быть истинным или ложным оценивается некоторой постоянной вероятностью, одинаковой для всех людей), и тогда социальная задача решается как простая арифметическая задача.
Естественно, что все подобные попытки были обречены на провал и не могли сыграть положительную роль в развитии науки. Наоборот, их косвенный результат был, что примерно в двадцатые годы? В 30-х годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. Теория вероятностей стала рассматриваться как наука сомнительная, второсортная, своего рода математическая забава, вряд ли заслуживающая серьезного изучения.
Примечательно, что именно в это время в России была создана знаменитая петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логико-математическую основу и сделана надежным, точным и действенным методом познания . С момента появления этой школы развитие теории вероятностей уже было тесно связано с работами русских, а в дальнейшем? советских ученых.
Среди ученых петербургской математической школы следует отметить В.Я. Буняковский (1804?1889))? автор первого курса теории вероятностей на русском языке, создатель современной российской терминологии по теории вероятностей, автор оригинальных исследований в области статистики и демографии.
Великий русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) был учеником В.Я. Буняковский. Далее он расширил и обобщил закон больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей очень мощный и плодотворный метод моментов.
Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856?1922), который значительно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые эксперименты.
Важнейшей заслугой А. А. Маркова было то, что он заложил основы совершенно нового раздела теории вероятностей? теории случайных или «стохастических» процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей современной теории вероятностей.
А. М. Ляпунов (1857–1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при весьма общих условиях, также был учеником П. Л. Чебышева. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, который широко используется в современной теории вероятностей.
Характерной чертой работы Петербургской математической школы была исключительная ясность постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и, наряду с этим, тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Благодаря трудам ученых Санкт-Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена за пределы науки и вошла в число полноправных членов ряда точных математических наук.
Условия применения его методов были строго определены, а сами методы доведены до высокой степени совершенства.
Советская школа теории вероятностей, унаследовавшая традиции петербургской математической школы, занимает ведущее место в мировой науке. Назовем лишь некоторых ведущих советских ученых, работы которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.
С. Н. Бернштейн разработал первую полную аксиоматику теории вероятностей, а также значительно расширил область применения предельных теорем.
А.Я. Хинчин (1894–1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области стационарных случайных процессов.
Ряд важнейших фундаментальных работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики? метрическая теория функций.
Особое значение в области теории случайных функций (случайных процессов) имеют работы А. Н. Колмогорова, которые в настоящее время составляют основу всех исследований в этой области. Работы А. Н. Колмогорова, связанные с оценкой эффективности, легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности военных действий.
В. И. Романовский и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий? в теории случайных процессов Б.В. Гнеденко? в области теории массового обслуживания Е. Б. Дынкин? в области марковских случайных процессов В. С. Пугачева? в области случайных процессов применительно к задачам автоматического управления.
Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет ускоренными темпами в связи с насущными требованиями практики. Преимущественное внимание, как и в нашем случае, уделяется вопросам, относящимся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат Н.
Винеру, В. Феллеру, Д. Оуку. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.
Теория вероятностей, как и другие разделы математики, развилась из потребностей практики и абстрактно отражает закономерности массовых случайных событий. Эти закономерности играют очень важную роль в различных областях естествознания, медицины, техники, экономики, военного дела. Многие разделы теории вероятностей были разработаны в связи с требованиями практики.
👩🏼🤝👩🏻 💲 🚢 Линейная регрессия и градиентный спуск 🤴🏽 👩🏿🚀 📩
Пусть в некоторой предметной области изучаются показатели X и Y, имеющие количественное выражение.
Более того, есть все основания полагать, что показатель Y зависит от показателя X. Это положение может быть как научной гипотезой, так и базироваться на элементарном здравом смысле. Например, возьмем продуктовые магазины.
Обозначить:
Х – торговая площадь (кв.
м.)
Y – годовой оборот (млн. р.)
Очевидно, что чем выше торговая площадь, тем выше годовой оборот (мы предполагаем линейную зависимость).
Представим, что у нас есть данные о каких-то n магазинах (торговая площадь и годовой оборот) — наш набор данных и k торговых площадей (X), для которых мы хотим спрогнозировать годовой оборот (Y) — это наша задача.
Мы предполагаем, что наше значение Y зависит от X в виде: Y = a + b * X
Чтобы решить нашу задачу, мы должны выбрать коэффициенты a и b.
Сначала зададим случайные значения a и b. После этого нам нужно определить функцию потерь и алгоритм оптимизации.
Для этого мы можем использовать функцию среднеквадратичных потерь (MSELoss).
Он рассчитывается по формуле:
Где y [i] = a + b * x [i] после a = rand () и b = rand (), а Y [i] — правильное значение для x [i].
На данном этапе у нас есть стандартное отклонение (некоторая функция от a и b). И очевидно, что чем меньше значение этой функции, тем точнее выбираются параметры а и b по отношению к тем параметрам, которые описывают точную зависимость между площадью торгового помещения и товарооборотом в этом помещении.
Теперь мы можем начать использовать градиентный спуск (просто чтобы минимизировать функцию потерь).
Градиентный спуск
Суть его очень проста. Например, у нас есть функция:
у = х*х + 4 * х + 3
Возьмем произвольное значение x из области определения функции.
Представьте, что это точка x1 = -4.
Далее берем производную по x от этой функции в точке x1 (если функция зависит от нескольких переменных (например, a и b), то надо брать частные производные по каждой из переменных) . у ‘(х1) = -4 <0
Теперь мы получаем новое значение x: x2 = x1 – lr * y ‘(x1). Параметр lr (скорость обучения) позволяет установить размер шага. Таким образом мы получаем:
Если частная производная в данной точке x1 < 0 (функция убывает), то переходим к точке локального минимума. (х2 будет больше, чем х1)
Если частная производная в данной точке x1>0 (функция возрастает), то мы все равно движемся к точке локального минимума. (х2 будет меньше, чем х1)
Выполняя этот алгоритм итеративно, мы приблизимся к минимуму (но не достигнем его).
На практике все это выглядит намного проще (однако я не берусь утверждать, какие коэффициенты а и b наиболее точно подходят к вышеописанному случаю с магазинами, поэтому возьмем зависимость вида y = 1 + 2 * x чтобы сгенерировать набор данных, а затем обучить нашу модель этому набору данных):
(Код написан здесь)
импортировать numpy как np # np.
. Частная производная F по a будет равна-2 * (1 + 2 * x_train – a + b * x_train) = -2 * ошибка
. Частная производная F по b будет равна-2 * x_train * (1 + 2 * x_train – a + b * x_train) = -2 * x_train * ошибка
.
random.seed(42) # np- 1000 0..1 sz = 1000 x = np.random.rand(sz, 1) # y = f(x) y = 1 + 2 * x + 0,1 * np.random.randn(sz, 1) # 0 999 idx = np.arange(sz) # np.random.shuffle(idx) train_idx = idx # x_train, y_train = x[train_idx], y[train_idx] # a = np.random.randn(1) b = np. random.randn(1) print(a,b) # lr = 0.01 # n_epochs = 10000 # для эпохи в диапазоне (n_epochs): # a b # yhat = a + b * x_train # 1. # : error = (y_train - yhat ) # 2. ( ) # a a_grad = -2 * error.mean() # b b_grad = -2 * (x_train * error).mean() # 3. , a = a - lr * a_grad b = b - lr * b_grad печать (а, б)
92 = (1 + 2 * x_train – a + b * x_train) 