Матричные уравнения метод гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

3.Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правила Крамера, теорема Кронекера-Капелли. Матричные уравнения.

Пусть дана система из линейных уравнений с неизвестными:

Решением системы (1) называется упорядоченная система из чисел, удовлетворяющих этой системе. Эти числа при подстановке на место соответствующих переменных обращают вес уравнения системы в числовые равенства.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если система имеет одно решение. Если совместная система имеет больше одного решения, то она называется неопределенной.

При определенных условиях решить систему можно с помощью правила Крамера.

Теорема. Пусть дана система .

Если , то система имеет одно единственное решение, определяемое следующими формулами (формулами Крамера):

, где , a получается из

заменой – го столбца столбцом свободных членов.

Литература:[1], [7].

Тема 2. Векторная алгебра

План:

1.Векторы. Действия над векторами. Скалярное произведения векторов, его свойства.

Геометрическим вектором (или просто вектором) будем называть направленный отрезок.

Вектор будем обозначать либо символом , где точкииобозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной латинской буквой, напримерили.

Начало вектора называют точкой его приложения. Длиной вектора называют длину отрезкаи обозначают символом.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Поэтому при записи мы отождествляем нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Векторы называются

компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов ибудем обозначать символом. Если угол между векторамииравен, то по определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой

.

Из этой формулы следует, что . Числоназываетсяскалярным квадратом вектора и обозначается через. Таким образом,.

Утверждение. Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе, выражается формулой

.

Следствие1. Векторы и, заданные в ортонормированном базисе, перпендикулярны тогда и только тогда, когда

.

Следствие 2. Угол между векторами иопределяется по формуле

.

2. Векторное произведения векторов, его свойства. Смешанное произведения векторов, его свойства. Вычисление площадей и объемов с применением векторов.

Пусть дана тройка некомпланарных векторов . Будем говорить, что эти векторы образуютправую тройку, если из конца вектора кратчайший поворот от векторак векторувиден в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. Иначе, будем говорить, что векторыобразуют

левую тройку.

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, обозначаемый символоми удовлетворяющий условиям:

3. –правая тройка.

Утверждение. Векторное произведение двух векторов и, заданных своими декартовыми прямоугольными координатами, вычисляется по формуле

.

Рассмотрим упорядоченную тройку векторов и.

Смешанным произведением векторовиназывается число, вычисляемое по формуле.

Утверждение 2.7. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторахи, взятому со знаком плюс, если тройкаправая, и со знаком минус, если тройкалевая. Если же векторыикомпланарны, торавно нулю.

Утверждение 2.8. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Утверждение 2.9. Смешанное произведение трех векторов ,и, заданных своими декартовыми прямоугольными координатами, вычисляется по формуле

. {-1} B$$

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Замечание

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы $A=\left(\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)$ и матрицу правых частей $B=\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)$ . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: $|A|=1$; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы.

{-1} B=\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right)$$

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_{1}=-11, x_{2}=31$

Ответ. $x_{1}=-11, x_{2}=31$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

$AX=B$

где $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right)$ – матрица системы, $X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ – столбец неизвестных, $X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)$ – столбец правых частей.

{3+3}\left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-3$$

Таким образом,

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrr} -2 & -2 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right)$$

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

А тогда

$$\tilde{A}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)$$

Отсюда искомая матрица

$$X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.