Матрица метод крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Условия применения метода крамера. Линейные уравнения

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Навигация по странице.

Метод Крамера – вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

Где x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные переменные, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b 1 , b 2 , …, b n – свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B , где – основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, – матрица – столбец свободных членов, а – матрица – столбец неизвестных переменных.

После нахождения неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1 . Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения – на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А n 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А ):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x 2 .

Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А :

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

То получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Имеем

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :

Таким образом,

Ответ:

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n . Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3 ). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:

Осталось найти неизвестные переменные по формулам :

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел ):

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Ответ:

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Крамера, – некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: . выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок

Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) – (-1) \cdot 2 \cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 – (-2) \cdot 3 \cdot 10 – (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = – 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т. е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A – 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij – алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A – 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A – 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j – независимые (искомые) переменные, a ij – постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = – 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = – 3 + 2t

x 2 = – 1 – 3t

x 3 = – 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; – 1; – 2; 4; 0).

1. Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений на Visual Basic методом Крамера

Метод крамера для матрицы 3. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Теорема Крамера.

где Δ – определитель матрицы системы ,

Δ i – определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Решение линейных систем с использованием правила Крамера

Что такое правило Крамерса

Правило Крамерса – это метод решения систем линейных уравнений, в которых имеется такое же количество неизвестных, что и уравнения в системе. Метод состоит из набора уравнений, включающих определители и отношения, чтобы получить уникальный набор решений для линейной системы.

На протяжении этого урока мы сосредоточимся на объяснении метода решения системы, которую мы будем называть правилом Крамерса 3×3 и правилом Крамерса 2×2, это означает, что мы сосредоточимся на тех случаях, когда у нас есть система уравнений с 3 уравнениями для 3 неизвестных ( n = 3) или система с 2 уравнениями для 2 неизвестных (n = 2).Причина этого в том, что правило Крамерса непрактично, когда система имеет более высокий порядок, чем 3, другие методы, такие как решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса или простое решение систем линейных уравнений с помощью подстановки, являются гораздо более эффективными с вычислительной точки зрения. работать по линейной системе. Тем не менее правило Крамерса является важной частью линейной алгебры, которую следует учитывать из-за его математической строгости и глубокого понимания транскрипции линейных систем в матрицы и наоборот, когда такие системы имеют уникальные решения.

Как использовать правило Крамерса

Но что такое правило Крамерса? Вместо того, чтобы повторять определение правила Крамерса, давайте немного лучше продемонстрируем эту технику, подробно пройдя ее этапы.

Действия, которые необходимо выполнить при использовании линейной алгебры правил Крамера:

1. \ Enspace Для линейной системы из трех уравнений и трех неизвестных и для линейной системы из двух уравнений и двух неизвестных, как показано ниже:
ax + by + cz = m ax + by + cz = m \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad ax + by + cz = m dx + ey + fz = nax + by = mdx + ey + fz = n \ quad \ quad ax + by = m dx + ey + fz = nax + by = m gz + hy + iz = ocx + dy = ngz + hy + iz = o \ quad \ quad cx + dy = n gz + hy + iz = ocx + dy = n Уравнение 1: Системы линейных уравнений.3 уравнения для 3 неизвестных слева, 2 уравнения для 2 неизвестных справа 2. \ Enspace Система линейных уравнений должна быть преобразована в матрицу и дополнена.

Из расширенной матрицы элементы в левой части вертикальной линии, которая представляет знак равенства, соответствуют квадратной матрице коэффициентов. Эта квадратная матрица коэффициентов будет использована для получения ряда определителей на следующем шаге.
Из расширенной матрицы элементы в векторе-столбце справа от знака равенства будут использоваться в качестве замены для определенных элементов при получении набора определителей на следующем шаге.
Расширенные матрицы для системы с тремя уравнениями и 3 неизвестными и системы из двух уравнений и двух неизвестных, представленных в уравнении 1, выглядят следующим образом:

Учтите, что правило Крамерса можно использовать с любой системой из n уравнений для n неизвестных (пока существует столько же уравнений, сколько и неизвестных, количество не имеет значения). Мы выбрали для представления случаев, когда n = 3 \, n = 3 \, n = 3 и n = 2 \, n = 2 \, n = 2, поскольку они обычно используются, прежде чем мы решим продолжить наши вычисления. с другой, более удобной техникой.

3. \ enspace Затем нам нужно вычислить n + 1 \, n + 1 \, n + 1 определителей.

Другими словами, для случая, когда n = 3 \, n = 3 \, n = 3, мы будем вычислять 4 определителя. Для случая, когда n = 2 \, n = 2 \, n = 2, мы вычислим 3 определителя.
Все детерминанты названы на основе переменных, содержащихся в рассматриваемой системе линейных уравнений. Например, для случая, когда в системе есть три неизвестных, у вас есть переменные xxx, yyy, zzz, следовательно, определителями являются: DxD_xDx, DyD_yDy, DzD_zDz.Для случая, когда в системе есть два неизвестных, у вас есть переменные xxx, yyy, следовательно, определителями являются: DxD_xDx, DyD_yDy. Кроме того, в каждом случае всегда есть дополнительный определитель, который мы просто называем DDD.
Определитель DDD всегда является определителем квадратной матрицы коэффициентов (которую мы назвали CCC) из левой части расширенной матрицы. Для систем, где n = 3 \, n = 3 \, n = 3 и n = 2 \, n = 2 \, n = 2. Определитель DDD будет следующим:

Определители DxD_xDx, DyD_yDy, Dz…D_z … Dz … получаются заменой вектора-столбца b из уравнения 2 на соответствующий столбец квадратной матрицы коэффициентов.

Уравнение 4: Формулировка определителей D _x, D _y, D _z 4. \ Enspace После того, как детерминанты были вычислены, мы просто следуем следующим уравнениям отношения, чтобы получить значения переменных из систем уравнений:
x = DxD \ large x = \ frac {D_x} {D} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad x = DDx
y = DyDx = DxD \ large y = \ frac {D_y} {D} \ quad \ quad x = \ frac {D_x} {D} y = DDy x = DDx
z = DzDy = DyD \ large z = \ frac {D_z} {D} \ quad \ quad y = \ frac {D_y} {D} z = DDz y = DDy Уравнение 5: Нахождение решений переменных для систем линейных уравнений.3 уравнения для 3 неизвестных слева, 2 уравнения для 2 неизвестных справа
В общем, каждое уравнение для каждой переменной, как показано в уравнении 5, мы называем формулой правила Крамерса. Во многих книгах и опубликованных материалах это называется просто правилом Крамерса, хотя на самом деле для этого метода требуется несколько уравнений. По этой же причине иногда вы можете встретить этот метод, называемый матричным правилом Крамера (обычно относящийся к расширенной матрице из уравнения 2 или к набору определителей из уравнений 3 и 4).

Как видите, решение систем уравнений с использованием правила Крамерса становится очень утомительным и очень быстро, и поэтому этот метод обычно оставляют в стороне, и люди предпочитают использовать такие методы, как сокращение строк с помощью исключения Гаусса. Если мы сравним такие два метода, мы можем ясно увидеть, что по мере того, как в системе увеличивается количество уравнений и, следовательно, неизвестных, матрицы правила Крамерса становятся больше, а метод – длиннее, поскольку для его решения требуется n + 1 количество определителей; не только это, детерминанты также становятся больше с увеличением n.
Таким образом, мы собираемся сосредоточиться на решении систем линейных уравнений с 3 уравнениями для 3 неизвестных на этом уроке, более высокие значения n предлагается решать с помощью других методов решения систем линейных уравнений.

Правило Крамерса для решения системы уравнений

Объяснив шаги по созданию правила Крамерса, давайте узнаем, как его использовать при решении систем линейных уравнений.
Мы разделим этот раздел на две части, одна посвящена решению системы из 2 уравнений для 2 неизвестных (n = 2n = 2n = 2), а другая – решению системы из 3 уравнений для 3 неизвестных.
Используйте правило Крамерса для решения системы 2 линейных уравнений относительно 2 неизвестных, как показано ниже: х + 2у = 3х + 2у = 3 х + 2у = 3 2x + 3y = 12x + 3y = 1 2x + 3y = 1 Уравнение 6: Система 2-х линейных уравнений для 2-х неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 7: Расширенная матрица для системы 2×2
И затем мы вычисляем 3 требуемых определителя (помните, что шаг 3 нашего метода диктует, что нам нужно вычислить n + 1 \, n + 1 \, n + 1 определитель. В этом случае у нас есть система из 2 неизвестных, таким образом n = 2 \, n = 2 \, n = 2, поэтому n + 1 = 2 + 1 = 3 \, n + 1 = 2 + 1 = 3 \, n + 1 = 2 + 1 = 3, и поэтому, 3 решаемых детерминанта).
Следуя уравнению 3, мы сначала решаем определитель D правила Крамерса: Уравнение 8: определитель правила Крамерса D
Обратите внимание, что этот определитель DDD является просто определителем квадратной матрицы коэффициентов из левой части расширенной матрицы в уравнении 7.

Теперь, чтобы решить детерминанты, относящиеся к каждой из переменных в уравнениях системы, нам нужно заменить столбец, связанный с каждой переменной в квадратной матрице коэффициентов, на столбец из правой части расширенной матрицы.Таким образом, определителями DxD_xDx, DyD_yDy являются:

Уравнение 9: детерминанты правила Крамерса, связанные с каждой переменной
Чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях, мы теперь решаем уравнение правила Крамерса для каждого из них: x = DxD = 7−1 = −7 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {7} {- 1} = -7 x = DDx = −17 = −7
y = DyD = −5−1 = 5 \ large y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {-5} {- 1} = 5 y = DDy = −1−5 = 5 Уравнение 10: Решение переменных x и y
Итак, система решена! Решения для переменных xxx и yyy: x = −7, y = 5x = -7, y = 5x = −7, y = 5.
Теперь давайте посмотрим на процесс выполнения правила Крамера 3×3!
Используйте правило Крамерса, чтобы решить систему уравнений для 3 неизвестных, как показано ниже: x + 4y + 3z = 1 x + 4y + 3z = 1 x + 4y + 3z = 1 x + 2y + 9z = 1x + 2y + 9z = 1 x + 2y + 9z = 1 x + 6y + 6z = 1x + 6y + 6z = 1 x + 6y + 6z = 1 Уравнение 11: Система 3-х линейных уравнений для 3-х неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 12: Расширенная матрица для системы 3×3
И затем мы вычисляем 4 требуемых определителя. Начиная с определителя DDD: Уравнение 13: определитель правила Крамерса D
Этот определитель DDD является просто определителем квадратной матрицы коэффициентов из левой части расширенной матрицы в уравнении 12.
Теперь, чтобы решить детерминанты, связанные с каждой из переменных в уравнениях системы, мы заменяем столбец, связанный с каждой переменной в квадратной матрице коэффициентов, на столбец из правой части расширенной матрицы. Итак, определители DxD_xDx, DyD_yDy, DzD_zDz следующие: Уравнение 14: детерминанты правила Крамерса, связанные с каждой переменной
Решение для переменных xxx, yyy и zzz: x = DxD = −18−18 = 1 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-18} {- 18} = 1 x = DDx = −18−18 = 1
y = DyD = 0−18 = 0 \ large y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {0} {- 18} = 0 y = DDy = −180 = 0
z = DzD = 0−18 = 0 \ large z = \ frac {D_z} {D} = \ frac {0} {- 18} = 0 z = DDz = −180 = 0 Уравнение 15: Решение переменных x и y
Итак, система решена! x = 1, y = 0, z = 0, x = 1, y = 0, z = 0, x = 1, y = 0, z = 0

Таким образом, чтобы использовать правило Крамера для решения линейных уравнений, мы: переписываем систему в расширенную матрицу, используем левую часть этой матрицы как квадратную матрицу коэффициентов, а правую часть как замену столбцов, связанных с для каждой переменной в матрице коэффициентов установите n + 1 определителей для системы, оцените определители и примените уравнения правила Крамерса, чтобы найти уникальные решения для переменных.

Помните, что если вы не полностью удовлетворены этим методом, вы всегда можете проработать доказательство правила Крамера, решив систему, используя любой из других методов, которые вы уже знаете для решения линейных систем уравнений.

Примеры правила Крамерса

В этот раздел мы добавляем еще несколько примеров упражнений, в которых мы используем правило Крамера для решения систем уравнений. Мы начнем с нескольких примеров систем 2×2 и закончим проблемой 3×3.

Пример 1 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: 5x + 3y = 1 5x + 3y = 15x + 3y = 1 х + у = 2х + у = 2х + у = 2 Уравнение 16: Система 2-х линейных уравнений для 2-х неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 17: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 обязательных детерминанта: Уравнение 18: детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx, DyD_yDy, чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: х = DxD = -52 = -2.5 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-5} {2} = -2,5 x = DDx = 2−5 = −2,5
y = DyD = 92 = 4,5 \ large y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {9} {2} = 4,5 y = DDy = 29 = 4,5 Уравнение 19: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy: x = −2,5, y = 4,5x = -2,5, y = 4,5x = −2,5, y = 4,5.

Пример 2 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: y = 3x + 5 y = 3x + 5 y = 3x + 5 y = 4x − 2y = 4x-2 y = 4x − 2 Уравнение 20: Система из 2-х линейных уравнений для 2-х неизвестных.
Мы преобразуем приведенную выше систему в стандартные обозначения, чтобы позже мы могли преобразовать ее в расширенную матрицу: y = 3x + 5 y = 3x + 5 \ quad y = 3x + 5 → −3x + y = 5 \ quad -3x + y = 5−3x + y = 5 y = 4x − 2y = 4x-2 \ quad y = 4x − 2 → −4x + y = −2 \ quad -4x + y = -2 −4x + y = −2 Уравнение 21: Система 2-х линейных уравнений для 2-х неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 22: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 обязательных детерминанта: Уравнение 23: детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx, DyD_yDy, чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x = DxD = 71 = 7 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {7} {1} = 7 x = DDx = 17 = 7
y = DyD = 261 = 26 \ large y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {26} {1} = 26 y = DDy = 126 = 26 Уравнение 24: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy: x = 7, y = 26x = 7, y = 26x = 7, y = 26

Пример 3 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: 2x + 4y = 3 2x + 4y = 32x + 4y = 3 4x + 8y = 64x + 8y = 64x + 8y = 6 Уравнение 25: Система 2-х линейных уравнений для 2-х неизвестных
Преобразуем систему в матрицу правил Крамера (расширенная матрица): Уравнение 26: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 обязательных детерминанта: Уравнение 27: Определители правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx, DyD_yDy, чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x = DxD = 00 = 0 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {0} {0} = 0 x = DDx = 00 = 0
y = Dyy = 00 = 0 \ large y = \ frac {D_y} {y} = \ frac {0} {0} = 0 y = yDy = 00 = 0 Уравнение 28: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy: x = 0, y = 0x = 0, y = 0x = 0, y = 0

Пример 4 В последнем примере с правилом Крамерса мы будем решать систему из трех уравнений относительно трех неизвестных: х + 3у + 4z = 4 х + 3у + 4z = 4х + 3у + 4z = 4 −x + 3y + 2z = 2-x + 3y + 2z = 2 − x + 3y + 2z = 2 3x + 9y + 6z = −63x + 9y + 6z = -63x + 9y + 6z = −6 Уравнение 29: Система 3-х линейных уравнений для 3-х неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 30: Расширенная матрица для системы 3×3
А затем вычисляем 4 необходимых определителя: Уравнение 31: Определители правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx, DyD_yDy, чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x = DxD = 72−36 = −2 \ large x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {72} {- 36} = -2 x = DDx = −3672 = −2
y = DyD = 72−36 = −2 \ large y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {72} {- 36} = -2 y = DDy = −3672 = −2
y = DzD = −108−36 = 3 \ large y = \ frac {D_z} {D} = \ frac {-108} {- 36} = 3 y = DDz = −36−108 = 3 Уравнение 32: Решение переменных x, y и z
И система решена! Решения для переменных xxx, yyy и zzz: x = −2, y = −2, z = 3x = -2, y = -2, z = 3x = −2, y = −2, z = 3

В этом последнем упражнении мы хотели бы поработать над доказательством правила Крамерса, решив систему из уравнения 24 другим методом и проверив результат.
Таким образом, воспользуемся подстановкой для решения системы:

, начиная с трех уравнений:
x + 3y + 4z = 4 − x + 3y + 2z = 23x + 9y + 6z = −6 x \, + \, 3y \, + \, 4z = 4 \ quad \ quad \ quad -x \, + \ , 3y \, + \, 2z = 2 \ quad \ quad \ quad 3x \, + \, 9y \, + \, 6z = -6x + 3y + 4z = 4 − x + 3y + 2z = 23x + 9y + 6z = −6
решает относительно x x x в 1-м уравнении и подставляет его в 3-е:
x = 4−3y − 4zx = 4-3y-4z x = 4−3y − 4z
3 (4−3y − 4z) + 9y + 6z = −6 3 (4-3y-4z) \, + \, 9y \, + \, 6z = -6 \; 3 (4−3y − 4z) + 9y + 6z = −6 → −6z + 12 = −6 \; -6z \, + \, 12 = -6 −6z + 12 = −6
−6z = −18-6z = -18 \; −6z = −18 → z = 3 \; г = 3 г = 3 Уравнение 33: Решение системы 3×3 заменой (часть 1)
Теперь мы продолжаем технику подстановки, подставляя найденное значение переменной zzz в первое и второе уравнения и получая новую упрощенную систему из 2-х уравнений для 2-х неизвестных: х + 3у + 4z = 4 х \, + \, 3у \, + \, 4z = 4 \; х + 3у + 4z = 4 → х + 3у + 4 (3) = 4 \; х \, + \, 3у \, + \, 4 (3) = 4 \; x + 3y + 4 (3) = 4 → x + 3y = −8 \; х \, + \, 3у = -8х + 3у = -8
−x + 3y + 2z = 2 -x \, + \, 3y \, + \, 2z = 2 \; −x + 3y + 2z = 2 → −x + 3y + 2 (3) = 2 \; – x \, + \, 3y \, + \, 2 (3) = 2 \; −x + 3y + 2 (3) = 2 → −x + 3y = −4 \; – х \, + \, 3у = -4-х + 3у = -4
Новые уравнения:
x + 3y = −8 − x + 3y = −4x \, + \, 3y = -8 \ quad \ quad \ quad -x \, + \, 3y = -4x + 3y = −8 − x + 3y = −4 Уравнение 34: Решение системы 3×3 заменой (часть 2)
Используя эти новые выражения, найденные в уравнении 29, решите относительно x во втором уравнении и подставьте его в первое уравнение, чтобы найти yyy: 3у + 4 = х 3у \, + \, 4 = х \; 3y + 4 = x → (3y + 4) + 3y = −8 \; (3y \, + \, 4) \, + \, 3y = -8 (3y + 4) + 3y = −8 6у + 4 = −8 6у \, + \, 4 = -8 \; 6y + 4 = −8 → 6y = −12 \; 6у = -126у = -12 у = −2у = -2у = −2 Уравнение 35: Решение системы 3×3 заменой (часть 3)
И мы завершаем это, подставляя найденное значение y во второе выражение из уравнения 29: −x + 3y = −4 -x \, + \, 3y = -4 \; −x + 3y = −4 → −x + 3 (−2) = – 4 \; -x \, + \, 3 (-2) = – 4 − x + 3 (−2) = – 4 −x − 6 = −4 -x-6 = -4 \; −x − 6 = −4 → −x = 2 \; -х = 2-х = 2 х = −2x = -2x = −2 Уравнение 36: Решение системы 3×3 заменой (часть 4)
Окончательные найденные значения переменных xxx, yyy и zzz: x = −2, y = −2, z = 3x = -2, y = -2, z = 3x = −2, y = −2, z = 3

Следовательно, уникальные решения для переменных в линейной системе уравнений совпадают с ответами, найденными с использованием правила Крамера для матриц! И вы можете ясно видеть, что оба подхода хороши для использования при решении систем.

В завершение нашего сегодняшнего урока, как всегда, у нас есть несколько рекомендаций для вашего дальнейшего изучения. Во-первых, это подробная статья, в которой вы можете найти пример использования правила Крамерса для решения двух уравнений с двумя неизвестными. И затем эта ссылка на обратную матрицу и правило Крамера, где вы можете найти пример системы 3×3 внизу.

Это все для этого урока, до встречи в следующем!

Правило Крамера – Концепция – Предварительное вычисление Видео от Brightstorm

Иногда использование матричной алгебры или обратных матриц для поиска решения системы линейных уравнений может быть утомительным.Иногда для решения системы уравнений удобнее использовать правило Крамера и определители. Поиск определителей становится намного сложнее с более высокими измерениями, поэтому правило Крамера лучше подходит для небольших систем линейных уравнений.

Одна вещь, которую вы можете сделать с определителями, – это решить с их помощью системы линейных уравнений и метод, называемый правилом Крамера, поэтому давайте начнем с системы 9x + 3y = 12, 10x-4y = 50, два уравнения, два неизвестных.Правило Крамера гласит, что решением будет x, равный этому определителю 12,3 50, -4 по определителю 9,3 10, -4, теперь позвольте мне объяснить, откуда берутся эти детерминанты. Этот определитель в знаменателе является определителем матрицы коэффициентов, верно? 9, 3, 10, -4 это коэффициенты слева. В числителе у вас в основном тот же определитель, только вы заменили коэффициенты x на эти числа, константы, так что вы получаете x. Вы снова получаете y очень похоже в знаменателе, у вас есть определитель матрицы коэффициентов, а в числителе вы взяли матрицу коэффициентов, вы заменили члены y на 12 и 50, и поэтому это очень похоже на то, как вы вычисляете это просто не забудьте заменить соответствующий столбец на константы, в данном случае 12 и 50.
Давайте на самом деле вычислим их и посмотрим, каково решение, поэтому сначала сделаем x. Давайте заметим это, и вы все равно можете использовать правила упрощения для определителей всякий раз, когда это возможно, например, в знаменателе я могу вытащить 3 из этого верхнего ряда и я могу вытащить 2 из нижнего ряда, и это дает мне 3 раза в 2 раза больше определитель 3,1 верно? Я вытаскиваю 3 сверху, вытаскиваю 2 снизу, так что у меня 5 -2, а затем в верхнем я могу вытащить 3 из верхнего ряда и 2 из нижнего ряда, это приятно потому что я могу фактически отменить эти множители 3 и 2, и то, что осталось, это 4 1 и 25 -2, так что, как я уже сказал, вы можете просто пойти дальше и отменить 3 и 2, а затем давайте сначала посмотрим на дно, которое на самом деле мы получаем – 6-5, это -11 внизу и вверху, мы получаем -8-25, это -33, это 3, так что давайте снова посмотрим то же самое для y, всегда немного проще, если вы можете сначала разложить вещи, потому что вещи учтены иногда отменяю, поэтому я вытаскиваю 3 и 2 снова, и я получаю 3,1 наверху 5, -2 внизу, и я могу вытащить 3 и 2 наверху, а также просто вытащить эти , потому что я имею в виду, что я могу вытащить больше снизу, очевидно, но нет никакого смысла, что они собираются отменять, и больше ничего не будет, поэтому позвольте мне просто оставить это как 3,4, а затем у меня 5,25, а затем снова 6 отменяется дно У меня все еще будет -6-5 -11, но наверху у меня будет 75-20 55, так что 55 больше -11-5, поэтому x = 3, y = -5. n a_ {i, k} C_ {j, k} = (А \ прил А) _ {я, j} \ end {уравнение *}

Объединение двух корпусов.{-1}. \ end {уравнение *}

Пример 4.5.4. Обратное вычисляется с использованием сопряженного к \ (A \).

Пусть

\ begin {уравнение *} А = \ begin {bmatrix} 1 \ amp 2 \ amp 1 \\ 2 \ amp 3 \ amp 5 \\ 1 \ amp 2 \ amp 0 \ end {bmatrix} \ end {уравнение *}

Сначала мы вычисляем \ (\ det A = 1 \)

Далее вычисляем миноры:

\ begin {уравнение *} \ begin {array} {lll} M_ {1,1} = -10 \ amp M_ {1,2} = -5 \ amp M_ {1,3} = 1 \\ M_ {2,1} = -2 \ amp M_ {2,2} = -1 \ amp M_ {2,3} = 0 \\ M_ {3,1} = 7 \ amp M_ {3,2} = 3 \ amp M_ {3,3} = -1 \ end {массив} \ end {уравнение *}

из которого выводим

\ begin {уравнение *} M = \ begin {bmatrix} -10 \ amp -5 \ amp 1 \\ -2 \ amp -1 \ amp 0 \\ 7 \ amp 3 \ amp -1 \ end {bmatrix} \ qquad C = \ begin {bmatrix} -10 \ amp 5 \ amp 1 \\ 2 \ amp -1 \ amp 0 \\ 7 \ amp -3 \ amp -1 \ end {bmatrix} \ end {уравнение *}

из которых следует

\ begin {уравнение *} A ^ {- 1} = \ frac1 {\ det A} \ adj A = \ frac 11 C ^ T знак равно \ begin {bmatrix} -10 \ amp 2 \ amp 7 \\ 5 \ amp -1 \ amp -3 \\ 1 \ amp 0 \ amp -1 \ end {bmatrix} \ end {уравнение *}

Предложение 4.{-1} b = \ frac1 {\ det A} \ adj Ab \ text {.} \) Мы определяем новые матрицы \ (A_1, A_2, \ ldots, A_n \ text {:} \) construct \ (A_k \) путем замены \ (k \) – го столбца в \ (A \) на \ (b \ text {.} \) В частности, если столбцы \ (A \) равны \ (C_1, C_2, \ ldots, C_n \ text {,} \), затем

\ begin {уравнение *} A_k = \ begin {bmatrix} C_1 \ cdots C_ {k-1} \ amp b \ amp C_ {k + 1} \ cdots C_n \ end {bmatrix} \ end {уравнение *}

Теорема 4.5.6. Правило Крамера.

Пусть

\ begin {уравнение *} Ax = b \ end {уравнение *}

– система \ (n \) линейных уравнений с \ (n \) неизвестными, а \ (A_k \) – матрица, полученная заменой \ (k \) – го столбца \ (A \) на \ ( б \ текст {.n b_kC_ {k, i} \) – расширение \ (i \) – го столбца для вычисления \ (\ det A_i \ text {.} \) Следовательно,

\ begin {уравнение *} x_i = \ frac1 {\ det A} \ det A_i = \ frac {\ det A_i} {\ det A}. \ end {уравнение *}

Пример 4.5.7. Применение правила Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений

\ begin {уравнение *} х_1 + х_2 + х_3 = 2 \\ х_1-х_2 + х_3 = 0 \\ 2x_1-x_2 + x_3 = 2 \ end {уравнение *}

У нас

\ begin {уравнение *} А = \ begin {bmatrix} 1 \ amp 1 \ amp 1 \\ 1 \ amp -1 \ amp 1 \\ 2 \ amp -1 \ amp 1 \ end {bmatrix} \ qquad \ det A = 2 \\ A_1 = \ begin {bmatrix} 2 \ amp 1 \ amp 1 \\ 0 \ amp -1 \ amp 1 \\ 2 \ amp -1 \ amp 1 \ end {bmatrix} \ qquad \ det A_1 = 4 \\ A_2 = \ begin {bmatrix} 1 \ amp 2 \ amp 1 \\ 1 \ amp 0 \ amp 1 \\ 2 \ amp 2 \ amp 1 \ end {bmatrix} \ qquad \ det A_2 = 2 \\ A_3 = \ begin {bmatrix} 1 \ amp 1 \ amp 2 \\ 1 \ amp -1 \ amp 0 \\ 2 \ amp -1 \ amp 2 \ end {bmatrix} \ qquad \ det A_3 = -2 \ end {уравнение *}

и так

\ begin {уравнение *} x_1 = \ frac42 = 2 \\ x_2 = \ frac22 = 1 \\ x_3 = \ frac {-2} 2 = -1 \ end {уравнение *}

Правило Крамера и определитель

Правило Крамера и определитель Правило Крамера
и определитель

Используемый здесь метод, правило Крамера, будет использовать характеристику квадрата матрицы, известные как определитель.Определитель матрицы определяется как сумма всех подписанных элементарные изделия из матрицы. Элементарный продукт получается в результате умножения n элементов матрицы размера nxn, все из которых взяты из разных строк и разные столбцы. Подробнее об этом мы поговорим позже.

Чтобы построить основу для понимания того, что такое детерминант, мы заимствуем концепции из статистики. Рассмотрим набор целых чисел, {1, 2, 3}. Затем комбинируйте элементы этого набора как можно большим количеством способов. возможный.Каждая другая комбинация называется перестановкой. Мы видим ниже, что для этого набора есть шесть различных перестановок.

set = {1, 2, 3}

{1, 2, 3} {1, 3, 2} {2, 1, 3}
{2, 3, 1} {3, 1, 2} {3, 2, 1}

В таком наборе есть особый случай, известный как инверсия. Ан инверсия происходит в перестановке всякий раз, когда большее целое число предшествует поменьше. Перестановка называется нечетной, если существует нечетное количество инверсии в перестановке и даже если это четное число инверсий.Вот пример из приведенного выше набора.

Перестановка	Количество инверсий	Нечетное или четное
{1, 2, 3}	0	четный
{1, 3, 2}	1	нечетный
{2, 1, 3}	1
{2, 3, 1}	2	четное
{3, 1, 2}	2	четное
{3, 2, 1}	3	нечетный

Вместо простого набора чисел возьмите матрицу размера nxn.Опять же фраза ‘элементарный продукт’ будет обозначать произведение n записей, таких, что нет двух записей происходят из той же строки или столбца. В матрице 3×3 шесть элементарных продукты или различные способы комбинирования элементов в матрице, пока в соответствии с вышеуказанным ограничением. Знак элементарного продукта зависит от количество инверсий в простейшем произведении. Эти инверсии не учитываются. от элементов матрицы, но от индекса ячейки, в которой находится запись проживает.Знак на элементарное произведение положительно, если имеется четное число инверсий и отрицательный, если имеется нечетное количество инверсий.

Элементарный продукт	Количество преобразований	Нечетный или четный	Элементарный продукт со знаком
a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃	0	даже	a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃
a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂	1	нечетное	-a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂
a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃	1	нечетное	-a 12 a ₂₁ a ₃₃
a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁	2	даже	a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁
a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂	2	даже	a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂
a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁	3	нечет 9033 8	-a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

Обратите внимание, что первый индекс каждого кратного никогда не изменяется.Это по очевидным причинам проверка перестановок. Таким образом, инверсии определяются на основе второй индекс. Теперь мы можем придать больше смысла определению определитель.

Определитель матрицы определяется как сумма всех подписанных элементарные изделия из матрицы.

Методы оценки определителя: Вычисление определителя хорошо поддается алгоритму рекурсивного типа. В связи трудности понимания этих методов, мы сосредоточим наши внимание на другие способы.Поскольку определитель определяется как сумма продуктов, если бы мы могли ввести (законно) некоторые нули в матрицу, заставляя Если бы некоторые из этих продуктов были нулевыми, тогда наша работа была бы намного проще. То есть именно то, что мы собираемся делать. Оказывается, значение определителя равна произведению главной диагонали, когда матрица находится в верхнем треугольная форма. Осторожно, это не форма рядного эшелона. Мы тут не будет заставлять входы по главной диагонали в единицу – это было бы довольно пораженческим.Мы будем вместо этого используйте вариант исключения Гаусса, чтобы сформировать верхний треугольник и затем умножьте элементы на главной диагонали вместе, получив определитель.

det (A) = 2 x -11 x -3,95 = 86,9 (ответ должен быть 87)

Применение определителя:
Существует множество приложений для определителя, многие из которых далеки от очевидный. Как насчет использования определителя для нахождения уравнения прямой? с учетом двух точек или по параболе с учетом трех точек.Мы также можем использовать определитель для решения систем линейных уравнений и определения площади и объема параллелограммы и параллелепипеды.

Решение систем линейных уравнений:
Чтобы использовать определители для решения систем линейных уравнений, мы будем использовать метод известное как правило Крамера. В этом методе мы формируем главный определитель из коэффициенты переменных. Затем мы создаем новый определитель для каждого неизвестного в системе, заменив столбец этой переменной системными константами.В значение конкретного неизвестного определяется путем деления специального определителя по главному определителю. Возьмите систему:

3X - 2Y + 2Z = 4
-X + 3Y + 2Z = 2
2X + 4Y - 6Z = 1

Из этого мы построим четыре определителя:

| 3 -2 2 |
main = | -1 3 2 |
| 2 4 -6 |

       | 4 -2 2 | | 3 4 2 | | 3 -2 4 |
det (X) = | 2 3 2 | det (Y) = | -1 2 2 | det (Z) = | -1 3 2 |
        | 1 4 -6 | | 2 1 -6 | | 2 4 1 |

 X = det (x) / main Y = det (Y) / main Z = det (Z) / main

Х = -122 / -94 = 1.30
Y = -60 / -94 = 0,64
Z = -65 / -94 = 0,69

Этот метод выполняется аналогично для n неизвестных. Множество умножений и деления делаются этим методом, и они смешиваются с дополнениями, создавая очень нестабильная ситуация. Если значения в системе не относительно близки, система будет плохо подготовлена, что означает, что она уязвима для ошибки округления.

Вернуться в меню методов

Правило Крамера

10.Решать используя правило Крамера

2х + 3у + г = 10 х – у + г = 4 4x – y – 5z = -8

Каждое неизвестное будет частным от определителя, полученного подставляя ответы в правые части уравнений для коэффициенты неизвестного, деленные на определитель, образованный принимая коэффициенты в левых частях уравнений.

Чтобы оценить детерминанты 3×3, мы сокращаем задачу до нахождение определителей 2×2.Начнем с определителя, которым является во всех низах.

Сначала составьте шахматную доску 3×3 из знаков + и -.

Начало в верхнем левом углу со знаком + и альтернативными знаками в обоих направления.

Затем выберите любую строку или любой столбец. В нашем примере выберем третий ряд. Поскольку не имеет значения, какая строка или столбец, который мы выбираем, в третьей строке больше отрицательных записей, и поэтому будет более поучительным в качестве примера.Умножьте каждую запись в строка или столбец по определителю 2×2, который вы получите, выбрасывая строку и столбец, в котором мы находим запись.

Если вход идет с положительной позиции на шахматной доске массив, добавьте товар. Если с отрицательной позиции, вычесть произведение.

Это дает нам

4 (3 – (-1)) + (2-1) – 5 (-2-3) = 4 (4) + (1) – 5 (-5) = 16 + 1 + 25 = 42

Давайте проверим наш результат, расширив средний столбец.

= -3 (-5-4) – (-10-4) + (2-1) = -3 (-9) – (-14) + (1) = 27 + 14 + 1 = 42

Вы можете показать это независимо от того, какую строку или столбец вы используете в расширение, вы получите тот же ответ. Важно найти определитель внизу внизу, потому что, если он равен нулю, этот метод не будет работать. Будет какой-то параллелизм с плоскости на графике, и единственного решения не будет. Теперь что у нас есть основания в вычислениях для всех трех неизвестных, расширим верхние детерминанты в каждом случае на верхнюю строку.

= 10 (5 – (-1)) – 3 (-20 – (-8)) + (-4-8)
42 = 10 (6) – 3 (-12) + (-12)
42 = 60 + 36-12
42 = 84
42 = 2 = 2 (-20 – (- 8)) – 10 (-5-4) + (-8-16)
42 = 2 (-12) – 10 (-9) + (-24)
42 = -24 + 90-24
42 = 42
42 = 1 = 2 (8 – (- 4)) – 3 (-8 – 16) + 10 (-1 – (-4))
42 = 2 (12) – 3 (-24) + 10 (3)
42 = 24 + 72 + 30
42 = 126
42 = 3

, и мы получаем тот же ответ, что и с метод замещения, метод сложения, строковые операции, а обратный метод, и этот ответ будет проверить.

Условия применения метода крамера. Линейные уравнения

Метод Крамера – вывод формул.

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

В чем заключается метод Крамера

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Решение систем уравнений методом Крамера

Действия над матрицами

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

1. Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений на Visual Basic методом Крамера

Похожие главы из других работ:

4.2 Метод вероятностной классификации (метод Байеса)

2.1 Метод Крамера

б) метод Крамера для решения системы линейных уравнений

2.2 Метод Крамера

2.3 Метод касательных (метод Ньютона)

1.2 Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна

1. Метод Крамера

3. Метод Крамера

4. Программная реализации алгоритма МЕТОДА КРАМЕРА

2.1 Метод Крамера

1.3 Метод Крамера

2.2 Метод парабол (метод Симпсона)

2.3 Метод парабол (метод Симпсона)

7. Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Эйлера-Коши)

2) Метод Крамера.

Метод крамера для матрицы 3. Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

2.4. Определители n-го порядка

2.5. Основные свойства определителей

Описание метода Крамера.

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Метод Крамера.

Решение линейных систем с использованием правила Крамера

Решение линейных систем с использованием правила Крамера

Что такое правило Крамерса

Как использовать правило Крамерса

Правило Крамерса для решения системы уравнений

Примеры правила Крамерса

Правило Крамера – Концепция – Предварительное вычисление Видео от Brightstorm

Пример 4.5.4. Обратное вычисляется с использованием сопряженного к \ (A \).

Теорема 4.5.6. Правило Крамера.

Пример 4.5.7. Применение правила Крамера.

Правило Крамера и определитель

Правило Крамера

Оставить комментарий Отменить ответ