Матрица методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

14. Обратная матрица и правило Крамера

Преподавание, линейная алгебра и геометрия I UW

11 января 2019 м_корч

Проблемы, решения.

Теперь воспользуемся определителями и попутно введем понятие обратной матрицы.

Обратная матрица

Матрица является обратной к матрице , если , где – единичная матрица (матрица с единицами по диагонали и нулями везде). Обратная матрица обозначается как . Поскольку и , мы видим, что . Это означает, что только матрицы с ненулевыми определителями могут иметь свои обратные. Поэтому мы называем такие матрицы обратимыми.

Как вычислить обратную заданную матрицу? Недавно мы упоминали, что операции над строками матрицы, приводящие к сокращению «лесенки» for, на самом деле являются умножением на матрицу. Представьте, что мы преобразуем матрицу, состоящую из матрицы вместе с единичной матрицей, в редуцированную «ступенчатую» форму. Так как это квадратная матрица с ненулевым определителем, мы получим единичную матрицу в левой части: .

Но заметьте, что если это матрица операций со строками, то . Поэтому и . Из первого уравнения следует, что . Второй то. Таким образом, мы получаем обратную матрицу справа после этих операций!

Напр. вычислим обратную следующую матрицу:

   

Итак:

   

   

И поэтому:

   

Определение одного элемента обратной матрицы

Если вам нужна не вся матрица, а только некоторые элементы, следующий способ кажется полезным. Он использует сопряженную матрицу к заданной. Сопряженная матрица — это матрица, в которой в -й строке и -м столбце стоит определитель матрицы (матрица без -й строки и -го столбца, здесь нет ошибки, здесь играет роль перестановка), умноженная на . Выполняется следующее равенство:

   

Следовательно, если мы хотим вычислить значение во второй строке и первом столбце из предыдущего примера, мы вычеркнем второй столбец и первую строку и вычислим определители, и получим:

   

что согласуется с результатом, полученным первым методом!

Правило Крамера

Имея систему уравнений с переменными, мы можем попытаться решить ее с помощью правила Крамера. Пусть – матрица этой системы без столбца свободных коэффициентов. Пусть – матрица , в которой вместо -го столбца поставлен столбец свободных коэффициентов. Тогда:

• если , система имеет ровно одно решение. Решение находится по следующей формуле: ,
• если , и хотя бы одно из не равно , система не имеет решений,
• если и для каждого , может быть ноль или бесконечно много решений — метод Крамера не дает точного ответа.

решим следующую систему уравнений:

   

Следовательно:

   

Так как эта система имеет ровно одно решение. Для его определения вычисляем остальные определители:

   

   

   

И так , , .

Glowna

Детерминанты, правило Крамера

Детерминанты, правило Крамера

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Детерминанты, правило Крамера

Детерминанты

Существует функция, определенная только для матриц SQUARE , известная как определитель .
Он обозначается как det(A), и является действительным числом.
Он находится путем умножения на и сложения на элементов матрицы.

Определитель матрицы 2 × 2

det( A _{2 x 2} ) = произведение главной диагонали на произведение малой диагонали.

Примечание: det A обозначается матрицей с прямыми сторонами (без квадратных скобок [ ] )

Пример 1

.

Определитель матрицы 3 × 3 Матрица

Чтобы найти определитель матрицы 3 × 3 , мы разбиваем ее на
три 2 × 2 определителя, каждый из которых умножается на элемент из A .

мы можем расширить любую строку или любой столбец.
Выбираем запись
если сумма его индексов равна даже — мы не меняем знак

если сумма его индексов нечетная

— мы меняем знак.

умножить выбранную нами запись на определитель 2 × 2
слева после того, как мы удалим столбец и строку выбранной записи.
Расширяем на целую строку или столбец и суммируем результаты. Так;

Пример 2

Расширили определитель по первой строке.
Поскольку a ₁₁ = 1 и 1 + 1 = 2 четно, мы не меняем знак записи.
Однако на втором этапе мы помещаем минус перед 7, потому что запись a ₁₂

, поэтому сумма индексов нечетная (1 + 2 = 3), мы меняем знак.
На третьем шаге вводится a ₁₃ , поэтому мы не меняем знак.

Давайте сделаем это снова, но на этот раз расширимся на 3-ю строку.

Примечание: искать строки или столбцы с 1 и 0. Это упрощает задачу.

.

Детерминантные теоремы

1) если A имеет строку или столбец нулей, det( A ) = 0

2) Определитель треугольной матрицы = произведение элементов на главной диагонали.

3) Если ряд A умножить на ненулевую константу k , то det( A ) также умножается на k .

4) Если поменять местами 2 строки A , det( A ) умножается на 1.

5) Если 2 строки или 2 столбца A пропорциональны, det( A ) = 0

6) Объединение 2 строк A не влияет на det( A ).

7) Если A и B квадратные матрицы одинакового размера, то det( AB ) = det( A )det( B ).

8) A ^-1 существует тогда и только тогда, когда det( A ) g 0

9) det( A ^-1

) = 1/det( A ).

10) det( A ) = det( A ^t ).

Пример 3

а) det = 3 — мы объединяем 2 строки, поэтому без изменений

b) det = 9 — мы умножаем ряд 2 на 3 поэтому мы умножаем определитель на 3

c) det = + 3 — мы меняем местами 2 строки — что умножает определитель на 1

г) det = 0 — 2 ряда пропорциональны.

.

Правило Крамера

Если A — обратимая квадратная матрица, то система

AX = B имеет единственное решение.

, где A ₁ — это матрица A , в которой 1-й столбец заменен на , константа , столбец и т. д.

Пример 4

Решите систему по правилу Крамера.

x + y = 2
2 x – 3 y = – 11

We set up the 3 matrices A , A ₁ and A ₂ , чтобы найти их определители.

Решение: x = 5/ 5 = 1 и y = 15/ 5 = 3

Правило Крамера лучше всего работает для матриц 2 × 2 и 3 × 3 .

Пример 5

Используйте правило Крамера для решения системы

Ставим 4 матрицы А , А ₁ , А ₂ и A ₃ , чтобы найти их определители.