Линейная алгебра и некоторые ее приложения
Линейная алгебра и некоторые ее приложения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными § 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка § 3. Свойства определителей § 4. Миноры и алгебраические дополнения § 5 Разложение определителя по элементам строки или столбца § 6. Системы n линейных уравнений с n неизвестными § 7. Ранг матрицы § 8. Понятие о линейной зависимости § 9. Произвольные системы линейных уравнений § 10. Однородные системы § 11. Метод Гаусса ГЛАВА II. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО § 2. Поле комплексных чисел § 3. Определение векторного пространства § 5. Изоморфизм векторных пространств § 6. Переход к новому базису § 7. Подпространства векторного пространства § 8. Линейные многообразия § 9. Пересечение и сумма лодпространств § 10. Определение аффинного пространства § 11.  Введение координат в аффинном пространстве§ 12. Переход к новой системе координат § 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств § 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве ГЛАВА III. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 2. Действия над линейными операторами § 3. Прямоугольные матрицы § 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису § 6. Невырожденный линейный оператор § 7. Инвариантные подпространства § 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора § 9. Спектр линейного оператора § 10. Жорданова нормальная форма ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО § 1. Скалярное произведение § 2. Ортонормированный базис § 3. Ортогональное дополнение § 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Оператор, сопряженный данному § 3. Самосопряженный оператор § 4. Ортогональный оператор § 5.  § 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы § 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов § 3. Закон инерции квадратичных форм § 4. Определенные формы § 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве § 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве ГЛАВА VII. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду § 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы § 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка ГЛАВА VIIII. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ § 2. Определение и простейшие свойства тензоров § 3. Операции над тензорами § 4. Тензоры в евклидовом пространстве ГЛАВА IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 1.  Двумерные пространства со скалярным произведением§ 2. Полуевклидова плоскость § 3. Псевдоевклидова плоскость § 4. Псевдоортогональный оператор § 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея § 7. Преобразования Лоренца § 8. Некоторые следствия из формул Лоренца ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП § 1. Примеры групп. Определение группы § 2. Подгруппа § 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени § 4. Изоморфизм групп § 5. Разложение группы по подгруппе § 6. Нормальная подгруппа § 7. Фактор-группа § 8. Прямое произведение групп § 9. Классы сопряженных элементов группы § 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп § 11 Гомоморфизм групп ГЛАВА XI. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР § 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы § 3.  Группа вращений правильного n-угольника Cn§ 4. Диэдральные группы Dn § 5. Группа вращений тетраэдра T § 6. Группа вращений куба О § 7. Группа симметрии тетраэдра Td § 8. Группа симметрии куба Oh § 9. Заключение ГЛАВА XII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП § 2. Изоморфные представления § 3. Подпредставление § 4. Прямая сумма представлений § 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления § 6. Регулярное представление § 7. Функции, определенные на группе § 9. Лемма Шура § 10. Следствия из леммы Шура ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ § 2. Характеры неприводимых представлений § 3. Дальнейшие свойства характеров § 4. Основное соотношение § 5. Число неприводимых представлений группы § 6. Представления коммутативной группы § 7. Представления циклических групп § 8. Представления диэдральных групп § 9. Характеры группы вращений тетраэдра § 10.  Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра§ 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц § 13. Тензорное произведение линейных операторов § 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп) § 15. Характеры группы симметрии куба СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ |
Матрица прямоугольная
- Посуда из Фарфора
- Фарфор для кафе и ресторана
- Фарфор для столовой
- Фарфор для детских садов
- Столовые приборы
- Приборы для кафе и ресторанов
- Приборы для столовых
- Посуда из меди
- Кастрюли из меди
- Сковороды из меди
- Сотейники из меди
- Ножи
- Ножи для кафе и ресторанов
- Ножи для столовых
- Гастроемкости
- Гастроемкости из Меламина
- Гастроемкости из нерж стали с ручками
- Гастроемкости из нержавеющей стали круглые
- Гастроемкости из полипропилена
- Крышки для гастроемкостей из Полипропилена
- Крышки из поликарбоната для гастроемкостей из нержавеющей стали
- Лотки для витрин
- Полки дренажнаые для гастроемкостей из нержавеющей стали
- Полки дренажные для гастроемкостей прозрачные
- Цветные гастроемкости
- Гастроемкости из нержавеющей стали
- Гастроемкости перфорированные
- Крышки для гастроемкостей из нержавеющей стали
- Гастроемкости из поликарбоната , прозрачные
- Крышки для гастроемкостей из поликорбаната
- Гастроемкости из поликарбоната , черные
- Гастроемкости из поликарбоната, белые
- Гастроемкости керамические
- Посуда и инвентарь из нержавеющей стали
- Посуда из нержавеющей стали для кафе и ресторанов
- Посуда из нержавеющей стали для столовых
- Термосы
- Термоконтейнеры
- Термоконтейнеры ( термоса) с краном
- Термоконтейнеры для гастроёмкостей
- Термосы для еды
- Термосы для чая
- Термосы из пластика для напитков, с краном
- Термосы квадратные с краном профессиональные из нержавеющей стали
- Термосы с краном профессиональные из нержавеющей стали
- Посуда и инвентарь из алюминия
- Посуда и инвентарь из алюминия для кафе и ресторанов
- Посуда и инвентарь из алюминия для столовых
- Эмалированная посуда
- Бидоны эмалированные
- Блюда эмалированные
- Вёдра и тазы эмалированные
- Кастрюли эмалированные
- Ковшики из эмалированной стали
- Кружки, миски, дуршлаги эмалированные
- Лотки эмалированные
- Миски Эмалированные
- Чайники и блюда эмалированные
- Пластиковая посуда
- Посуда из пластика для кафе и ресторанов
- Посуда из пластика для столовых
- Посуда из пластика разная
- Ящики пластиковые
- Посуда из поликарбоната
- Контейнеры с крышкой-застежкой
- Посуда из поликарбоната срок поставки 10 дней
- Супницы из поликарбоната
- Стаканы из поликарбоната
- Рюмки для водки и ликера из поликарбоната
- Стаканы для коктейлей из поликарбоната
- Кружки для пива из поликарбоната
- Стаканы , бокалы для пива из Поликарбоната
- Стопки для водки из поликарбоната
- Фужеры для вина из поликарбоната
- Фужеры для шампанского из поликарбоната
- Фужеры для коньяка из поликарбоната
- Фужеры для Мартини из поликарбоната
- Роксы и гибралтары из поликарбоната
- Стаканы для виски из поликарбоната
- Кружки для чая из поликарбоната
- Декантеры для вина из поликарбоната
- Кружки для кофе из поликарбонта
- Вёдра для льда из поликарбоната
- Кувшины из поликарбоната
- Тарелки прозрачные из поликарбоната
- Салатники из Поликарбоната
- Салатники многопорционные из Поликарбоната
- Креманки для мороженного из поликарбоната
- Вазы для цветов из поликарбоната
- Вазы для декора
- Менажницы для сухофруктов и конфет из поликарбоната
- Фруктовницы на ножках из поликарбоната
- Сахарницы, конфетницы из поликарбоната
- Стойки для салатников из поликарбоната
- Банки для варенья, джема, меда из поликарбоната
- Блюда для пирожных и фруктов из поликарбоната
- Блюдца для фруктов и пирожных из поликарбоната
- Пепельницы из поликарбоната
- Лотки из поликарбоната
- Наборы для специй из поликарбоната
- Кувшинчики для уксуса масла и соевого соуса из поликарбоната
- Соусники из поликарбоната
- Колпаки и крышки из поликарбоната
- Контейнеры из поликарбоната
- Кружки мерные из поликарбоната
- Подставки для визиток, постеров и тд из поликарбоната
- Подставки для стопок из поликарбоната
- Подставки для чайных пакетиков
- Подставки под ашибори ( полотенца ) из поликарбоната
- Принадлежности для Отелей
- Круглые контейнеры для сыпучих и овощей из поликарбоната
- Совки из поликарбоната
- Этажерки для фруктов из поликарбоната
- Щипцы, ложки для раздачи из поликарбоната
- Ёмкости для кулинарных витрин
- Подносы для официантов из поликарбоната
- Салфетницы горизонтальные
- Серия контейнеров из поликарбоната
- Разная посуда из поликарбоната
- Посуда и инвентарь из оцинкованного металла
- Чугунная посуда
- Казаны чугунные
- Посуда из эмалированного чугуна
- Сковороды гриль
- Сковороды для подачи блюд
- Сковороды чугунные
- Чайники чугунные
- Посуда из керамики
- Горшочки
- Кокотницы
- Кружки и бокалы из керамики
- Пепельницы керамические
- Чайники цветные керамические
- Инвентарь из дерева
- Доски из бамбука
- Доски из Березы
- Доски из Дуба
- Доски разделочные из Бука
- Колоды для рубки мяса
- Лопатки
- Лотки хлебные деревянные
- Мельницы для перца, перцемолки из дерева
- Мешалки
- Молоток
- Разные товары из дерева
- Скалки
- Толкушки деревянные
- Посуда из стекла
- Банки для сыпучих продуктов
- Посуда из стекла для кафе и ресторанов
- Посуда из стекла для столовых
- Посуда из стекла для офисов
- Посуда из стекла для гостиничных номеров
- Инвентарь для бармена
- Бутылки для фрейлинга ( бутылки тренировочные для барменов )
- Ёршики для бутылок
- Мензурки мерные стеклянные
- Пресс для гранат
- Сифоны для сливок
- Гейзеры, пробки для бутылок
- Барные ложки, ложка для абсента и для коктейлей
- Джигеры
- Доски
- Ложки для мороженного
- Лотки для фруктов
- Мадлеры
- Мерные кружки
- Открывашки, штопоры и нарзанники
- Коврики для бармена
- Подставки для бутылок
- Разное(Стрейнер, нож для цедры и др.
) - Совки для льда
- Пенал для бармена, темпер, питчеры, баллоны для сливок
- Подставки для рожков для мороженного
- Шейкеры
- Расходные материалы для бармена
- Стиры
- Трубочки
- Шпажки
- Оборудование для Бармена
- Барные станции
- Блендеры
- Кофемолки профессиональные электрические
- Портативные газовые плиты
- Соковыжималки
- Соковыжималки , пресс для цитрусовых и гранат
- Кондитерский инвентарь
- Кольца для выпечки бисквита из нержавеющей стали
- Венчики
- Выемки из нержавейки
- Выемки пластиковые
- Вырубки для пончиков
- Вырубки и плунжеры для мастики
- Горелки газовые для карамели
- Держатели для ценников
- Инвентарь для карвинга
- Инвентарь для работы с шоколадом
- Кисти пекарские
- Коврики силиконовые
- Корзины для выкладки выпечки
- Лента бордюрная
- Лопатки пластиковые кондитерские
- Лопатки силиконовые
- Матрица прямоугольная для выпечки
- Мерные кружки и ложки
- Наборы для мастики
- Насадки для кондитерских мешков
- Ножи для кондитеров
- Ножи-роллеры
- Палеты
- Перчатки и варежки термостойкие
- Подставка для трубочек, тестоделитель
- Подставки для торта
- Полка навесная для инвентаря
- Противни для Багета
- Противни для выпечки
- Противни для выпечки перфорированные
- Противни для гамбургеров
- Противни для кондитерских изделий
- Противни для Маффинов
- Противни для Хот-догов
- Решетки для охлаждения
- Силиконовые рамы
- Сито
- Скалки
- Скребки ,шпатели, ножи для теста
- Совки
- Столы для украшения торта
- Тарталетки
- Термометры профессиональные
- Трафареты кондитерские
- Форма алюминиевая для выпечки бисквитов и чизкейков
- Форма рожок
- Формы алюминиевые для выпечки тортов
- Формы для выпечки Пирожных
- Формы для выпечки силиконовые
- Формы для выпечки силиконовые одинарные
- Формы для выпечки тостерного Хлеба
- Формы для выпечки Хлеба
- Формы для заливки желе
- Формы для расстойки хлеба
- Формы из нержавейки для бисквита и муссов
- Формы пластиковые для шоколада
- Формы разъемные
- Чаши для смешивания, миски
- Шприцы кондитерские
- Штамп для шоколада
- Щипцы для кондитеров
- Расходные материалы для кондитеров
- Мешки кондитерские
- Одноразовые формы для выпекания и подачи
- Подложки кондитерские
- Салфетки резные
- Инвентарь для ванных комнат и санузлов
- Диспенсеры для бумажных полотенец
- Диспенсеры для мыла
- Диспенсеры для туалетной бумаги
- Ершики для унитазов
- Туалетная бумага
- Щётки для пола
- Рукосушители
- Мыльницы, крючки, полотенцедержатели, держатели для туалетной бумаги
- Перчатки резиновые и одноразовые
- Посуда и инвентарь для Китайской кухни
- Ложки и половники для китайской кухни
- Миски для риса и супа для китайской кухни
- Ножи
- Палочки и подставки для палочек для китайской кухни
- Подносы для чайной церемонии
- Разная посуда для китайской кухни
- Сковороды ВОК для китайской кухни
- Шумовки, половники
- Всё для фуршета
- Блюда для подачи
- Блюда для Фуршета из нерж стали
- Блюда на подставках для фуршета
- Вёдра для подачи льда на Фуршете
- Вращающиеся подставки для фуршета
- Все для чайного и кофейного Островка на фуршете
- Горки для Фуршета
- Диспенсеры стеклянные для напитков
- Доски для подачи блюд из меламина
- Емкости для подачи холодных продуктов
- Икорницы
- Корзины плетеные с ручками из лозы
- Ложки для комплимента ( фуршетные ложки )
- Миски на ножках для Фуршета
- Подносы для выкладки на Фуршетах
- Подносы зеркальные для фуршета
- Подставки для названий блюд на Фуршетах
- Подставки для столовых приборов
- Подставки зеркальные
- Подставки фуршетные из нерж стали
- Полки для фуршета
- Разные товары для фуршета
- Салатники квадратные из нерж стали
- Салатники квадратные из поликарбоната для фуршета
- Салатники круглые из нерж стали для Фуршета
- Салатники на ножках из нерж стали для Фуршета
- Салфетницы для фуршета
- Стекла для фуршетных линий
- Стойки многоуровневые для фуршета
- Стойки фуршетные квадратные из нерж стали
- Тортницы для фуршетов
- Фруктовницы , этажерки
- Фруктовницы большие
- Фуршетные стойки Турция
- Этажерки Турция
- Диспенсеры для напитков
- Корзинки для выпечки
- Ложки и вилки для мармитов
- Мармиты для вторых блюд
- Мармиты для вторых блюд электрические
- Мармиты для напитков
- Мармиты для супа
- Мармиты для супа электрические
- Диспенсеры для сухих завтраков
- Подставки для ложек и щипцов
- Подставки для тарелок из нержавейки
- Подставки под тарелки (из проволоки)
- Подставки с гастроёмкостями
- Щипцы
- Ценникодержатели и подставки для ценников
- Корзины и хлебницы плетёные
- Корзины
- Хлебницы большие из пластика
- Хлебницы маленькие из пластика
- Хлебницы-корзинки
- Оборудование для Японской кухни
- Перчатки и варежки термостойкие
- Посуда и инвентарь для Отелей и Гостиниц
- Аксессуары для ванных комнат и санузлов
- Аксессуары для номеров
- Сейфы
- Тележки
- Шторки в санузлы для Отелей
- Посуда и инвентарь для Пиццы
- Блюда и тарелки для пиццы из Меламина
- Контейнеры для теста пиццы из полипропилена
- Крышки для вырезания Пиццы
- Лопатки для Пиццы
- Лопаты для пиццы
- Ножи для Пиццы
- Расходные материалы для Пиццы
- Сетки для пиццы
- Стойки и подставки для пиццы
- Формы деревянные для подачи Пиццы
- Формы для Пиццы
- Посуда и инвентарь для Фастфудов
- Посуда и инвентарь для японской кухни
- Бутылки для Саке
- Кадки для риса
- Корабли
- Ложки и половники для японской кухни
- Мостики
- Ножи для японской кухни
- Палочки и подставки для палочек для японской кухни
- Подставки деревянные для японской кухни
- Подставки для ошибори (осибори) , полотенец
- Посуда из Меламина для Японской кухни
- Посуда керамическая для японской кухни
- Разная посуда для японской кухни
- Тележки
- Тележки грузовые
- Тележки для мытья пола
- Тележки для сбора посуды
- Тележки для стульев
- Тележки сервировочные
- Урны и мусорные баки, вёдра для мусора
- Ведра для мусора пластиковые
- Вёдра с педалями
- Вёдра с сенсорной крышкой
- Мешки для мусора
- Мусорные баки
- Мусорные баки круглые
- Урны
- Оборудование
- Бактерицидные лампы
- Оборудование для Предприятий общественного питания
- Прачечное оборудование
- Соковыжималки , пресс для гранат и цитрусовых для дома
- Шкафы для уборочного инвентаря
- Хозяйственный инвентарь
- Замки навесные
- Расходные материалы для кухни
- Расходные материалы для магазинов
- Расходные материалы для ресторанов
- Расходные материалы для столовых
- Всё для уборки
- Веники
- Губки для мытья посуды
- Предупреждающие знаки
- Совки для мусора
- Тряпки для пола
- Тряпки и салфетки для уборки
- Швабры
- Одноразовая посуда
- Клеенка
- Корзины плетеные из Лозы
- Оригинальная подача блюд
- Доски для подачи блюд
- Доски для стейков с мраморной плитой
- Оригинальная подача шашлыка
- Посуда для подачи закусок
- Посуда чугунная эмалированная для подачи горячих закусок
- Сланец камень для подачи блюд
- Соусники на деревянной подставке
- Соусники чугунные
- Спецодежда
- Посуда из Меламина
- Блюда из меламина
- Бокалы, кружки, чайные пары из Меламина
- Доски для выкладки блюд из меламина
- Ложки из Меламина
- Миски для супа из меламина
- Пепельницы из Меламина
- Пиалы и полупорционные миски для супа из Меламина
- Подносы для косметики для гостиничных номеров из меламина
- Подносы из меламина белые
- Подставки под ашибори ( асибори ) полотенца из меламина
- Посуда из Меламина Бежево-голубая серия
- Посуда из меламина Бежево-синяя серия
- Посуда из меламина Песок с синим узором серия
- Посуда из меламина Турция
- Прямоугольные блюда и тарелки из Меламина
- Разные тарелки из меламина
- Разные товары из Меламина
- Салатники из Меламина
- Сахарницы из меламина
- Соусники из меламина
- Стаканы из меламина
- Тарелки из Меламина серии Бочка
- Тарелки квадратные из Меламина
- Тарелки круглые из Меламина
- Тарелки овальные из Меламина
- Тарелки с делениями из меламина
- Тарелки треугольные из меламина
- Фактурные тарелки из меламина
- Хлебницы из меламина
- Этажерки из меламина
- Всё для Гриля
- Посуда из Опалового стекла
- Посуда из Опалового стекла Трианон Франция
- Посуда из опалового стекла Китай
- Разная посуда из опалового стекла
- Скатерти и салфетки
- Посуда для детских садов и школ
- Бамбуковая посуда для детских садов и школ
- Все для холодильных витрин для Кулинарии
- Ложки раздаточные для кулинарной витрины
- Подносы для выкладки для Кулинарии Турция
- Тарелки фарфоровые для витрины
- Все для Кондитерской витрины и Пекарни
- Доски из меламина Цвет Дерево
- Колпаки и подставки для тортов производство Турция
- Мини-витрины для выпечки
- Подносы для выкладки производство Турция
- Подставки и колпаки для торта
- Подставки и колпаки прямоугольные
- Разносы (подносы) для выкладки выпечки
- Кассеты для посудомоечной машины
- Посуда для подачи снеков и закусок
- Посуда для подачи снеков и закусок из меламина
- Посуда из поликарбоната Белая
- Кружки для чая из белого поликарбоната
- Миски для супа из белого поликарбоната
- Овальные тарелки из поликарбоната белые с крышками и без
- Подносы для еды из поликарбоната
- Прямоугольные салатники из белого поликарбоната
- Разная посуда из белого поликарбоната
- Салатники квадратные из поликарбоната белые
- Салатники однопорционные из белого поликарбоната
- Тарелки глубокие для каши , пасты и прочих блюд
- Тарелки квадратные из белого поликарбоната
- Тарелки с бортом из белого поликарбоната
- Чайные и кофейные пары из белого поликарбоната
- Декор для торгового зала
- Искусственные фрукты и овощи
- Посуда из цветной керамики
- Чайные пары из цветной керамики и фарфора
- Подставки для рожков для мороженного
- Инвентарь для магазинов
) Мы в соц.
сетях:
2.3 Типы матриц | Matrix Algebra Companion for Statistical Learning (matrix4sl)
Существуют различные виды матриц, которые обычно используются в методах статистического обучения. Кратко остановимся на некоторых из них.
2.3.1 Общая прямоугольная матрица
Самый распространенный тип матрицы — прямоугольная матрица. Это означает, что имеется произвольное количество \(n\) строк и \(p\) столбцов.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9\\ 10 и 11 и 12 \\ \конец{массив}\справа] \]
Если в матрице больше строк, чем столбцов \(n > p\), иногда мы называем это вертикальной или
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9 \\ 10 и 11 и 12 \\ 13 и 14 и 15\ \конец{массив}\справа] \]
Напротив, если матрица имеет больше столбцов, чем строк, \(p > n\), иногда мы называем это горизонтальным, плоским или 9\mathsf{T}}\).
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \]
2.
3.3 Симметричная матрицаСимметричная матрица является частным случаем квадратной матрицы: соответствующие элементы соответствующих строк и столбцов равны. Другими словами, в симметричной матрице элемент \(x_{ij}\) равен \(x_{ji}\).
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 2 и 4 и 5 \\ 3 и 5 и 6 \\ \конец{массив}\справа] \]
2.3.4 Диагональная матрица
Диагональная матрица является частным случаем симметричной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны 0.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 2 и 0 \\ 0 и 0 и 3 \\ \конец{массив}\справа] \]
Другими словами, в симметричной матрице \(x_{ij} = 0\) для \(i \neq j\). Единственные элементы, которые не обязательно могут быть равны нулю, находятся на диагонали.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} х_{11} & 0 & 0 \\ 0 и х_{22} и 0 \\ 0 и 0 и х_{33} \\ \конец{массив}\справа] \]
2.3.5 Скалярная матрица
Скалярная матрица представляет собой особый тип диагональной матрицы, в которой все диагональные элементы являются равными скалярами.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 5 и 0 и 0 \\ 0 и 5 и 0 \\ 0 и 0 и 5 \\ \конец{массив}\справа] \]
2.3.6 Единичная матрица
Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы, в которой все диагональные элементы равны единице. Эта матрица обычно обозначается буквой \(\mathbf{I}\). Чтобы указать размеры этой матрицы, мы обычно пишем ее с нижним индексом для количества строк (или столбцов). Например, \(\mathbf{I}_{n}\) представляет единичную матрицу размерности \(n \times n\).
\[ \mathbf{I}_{3} = \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив}\справа] \]
В матричной алгебре единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 в обычной или скалярной алгебре.
2.3.7 Треугольная матрица
Квадратная матрица, имеющая только 0 над или под диагональю, называется треугольной матрицей . Существует два вида матрицы этого типа: верхняя треугольная и нижняя треугольная.
Верхняя треугольная матрица имеет нули ниже диагонали.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 0 и 5 и 6 \\ 0 и 0 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \quad \textsf{или} \quad \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ & 5 & 6 \\ & & 9 \\ \конец{массив}\справа] \]
И наоборот, нижняя треугольная матрица имеет нули выше диагонали.
\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 4 и 5 и 0 \\ 7 и 8 и 9\\ \конец{массив}\справа] \quad \textsf{или} \quad \left[\begin{массив}{ccc} 1 & & \\ 4 и 5 и \\ 7 и 8 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \]
2.3.8 Формы матриц
Чтобы обобщить различные типы матриц, описанные до сих пор, вот схема, изображающая их формы. Общий тип матрицы — это прямоугольная матрица, которую можно разделить на три типа: вертикальная или высокая (\(n > p\)), квадратная (\(n = p\)) и горизонтальная или широкая (\(n < п\)). Среди квадратных матриц понятие симметрии играет особую роль, а среди симметричных матриц можно сказать, что диагональные имеют наиболее базовую структуру. 9T\cdot\mathbf B = \mathbf I_n$$
Где $\mathbf I_n$ — единичная матрица $n\times n$.
Или, другими словами, возможно ли иметь прямоугольную матрицу, транспонированную слева?
Если да, то что это за матрица? Как можно построить такую матрицу?
- матрицы
- обратные
$\endgroup$
2
9009j$, где $\delta$ — символ Кронекера.Тогда матрица $B$, столбцами которой являются векторы ${\bf v}_1,…,{\bf v}_n$ (в любой системе координат), обладает требуемым свойством.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Любая матрица ортогональных вектор-столбцов обладает искомым свойством. Чтобы два вектора-столбца были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно 0. Об этом говорит ответ AdLibitum. На самом деле, математики используют его как сокращение от «вот матрица ортогональных векторов-столбцов».