Матрица прямоугольная пример: Виды матриц и операции над матрицами

Содержание

Прямоугольная матрица – Энциклопедия по экономике

Прямоугольная матрица Р моделирует размещение производства или потребления различных видов нефтепродуктов в районах страны. Буквами от а до z обозначают виды нефтепродуктов. Цифровые индексы у букв означают № районов, например, Ь2 означает объем потребления второго вида нефтепродуктов во втором районе и т. д. Каждая строка характеризует объем и номенклатуру нефтепродуктов всех отраслей производства в одном из районов каждый столбец модели характеризует объем и размещение потребления одного из видов нефтепродуктов по всем районам. Число столбцов обычно не равно числу строк.  [c.373]

Структура группирует по существенно важным признакам юридические и экономические отношения организации. Методология этой группировки носит статистический характер, и ее принципы позволяют сделать вывод о том, что бухгалтерский учет может рассматриваться как частный случай экономической статистики. При этом надо помнить, что модель структуры имеет форму прямоугольной матрицы, где по столбцам перечисляются дебетуемые счета, а по строкам — кредитуемые.

 [c.166]

Отметим, что четвертая группа уравнений в модели Вальраса является своеобразным прообразом модели В. Леонтьева затраты — выпуск , однако она еще представляет собой прямоугольную матрицу (nxm) элементов, в то время как у В. Леонтьева — квадратную матрицу (пхп) элементов. Кроме того, в модели Леонтьева структурирован валовой выпуск (он подразделяется на промежуточный и конечный продукт), показаны источники производства добавленной стоимости, имеется, раздел баланса с характеристиками использования элементов конечного продукта и раздел перераспределения доходов. Но все же самая существенная идея модели затраты — выпуск уже содержалась в выводах Вальраса.  [c.82]

Нечеткая прямоугольная матрица – это дважды индексированное  [c.33]

Две прямоугольные матрицы С = (с у) и С”= ( “t) размером т п назовем эквивалентными (С С”), если с” у = с + а,- +Ру- / =1, 2,. .., т j — 1, 2,. .., п. Задачи выбора, определяемые эквивалентными матрицами, являются эквивалентными, так как можно доказать, что множества оптимальных назначений двух задач выбора с эквивалентными матрицами совпадают.  [c.203]

Прямоугольная матрица 187 Прямоугольные игры 295 Прямые задачи управления 102 Прямые затраты 236, 295 Прямые инвестиции 121 Прямые налоги 210 Псевдослучайные величины 295 Псевдослучайные числа 295 Пуассоновский поток 270, 295 Пуассоновский случайный процесс 333 Пустое допустимое множество 237 Пустое множество 201 Путь 295  [c.485]

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу А. Матрица, получающаяся из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается А А  [c.58]

Крупноформатный электронный бланк — это совокупность объектов, активных в данный момент и обычно представляемых в виде прямоугольной матрицы элементов, похожей на бумажную таблицу или ведомость, используемую в бухгалтерском учете. Каждой клетке этой таблицы на экране соответствует одна запись в памяти. Запись определяет правило нахождения значения, простейший вид которого предусматривает обработку элемента-клетки, например числа или фрагмента текста.

Более сложное правило может предусматривать нахождение значения по какой-либо математической формуле в зависимости от значений других элементов с учетом их относительных или абсолютных позиций либо (что гораздо лучше) присвоенных им имен. Правило нахождения значения может предусматривать также проверку некоторого условия и установление значения своего элемента в соответствии с результатом проверки.  [c.101]

Как следует из определения, единичная матрица может быть только квадратной, прямоугольная матрица не может быть диагональной или единичной, так как у нее отсутствует ось симметрии, которой и является главная диагональ.  [c.367]

При транспонировании прямоугольных матриц происходит изменение их размера с mxn на nxm, при транспонировании квадратных матриц размер их не изменяется. Ниже приводятся примеры транспонирования прямоугольной и квадратных матриц  [c.374]

Значения / и J образуют две прямоугольных матрицы J+ и / . На пересечении г-й строки и /-го столбца первой матрицы стоит оценка обоснованности гипотезы сг=>+о/, а на том же месте во второй матрице — оценка обоснованности гипотезы с = о/.

 [c.184]

Теорема о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы элементарными преобразованиями. Ранг произведения матриц. Представление прямоугольной матрицы в виде произведения двух матриц полного ранга.  [c.11]

Если N > q, то естественно ожидать, что прямоугольная матрица Л имеет полный ранг по столбцам. Тогда условие d A = 0 возможно только если  [c.17]

Нечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы, нечеткие функции и операции над ними  [c.35]

Нечеткая прямоугольная матрица – это дважды индексированное конечное множество нечетких чисел, причем первый индекс пробегает М строк, а второй – N столбцов. При этом, как и в случае матриц действительных чисел, операции над нечеткими прямоугольными матрицами сводятся к операциям над нечеткими компонентами этих матриц. Например,  [c.35]

Введем в рассмотрение прямоугольные матрицы R T=[R I Rj )…. I Rn ], А = [I I A ,… I An ] и квадратные матрицы А вида  [c.307]

Понятие матрица пришло из математики. Матричный орган, связанный взаимными отношениями, составленными в прямоугольную схему, называется матрицей. В матричной системе имеются главные и поперечные функции.  [c.34]

Коэффициенты обычно располагаются в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из определенного количества строк и столбцов в зависимости от разнообразия переменных. Схема такой таблицы, называемой в линейной алгебре матрицей, следующая  [c.233]

Исходя из правил перемножения матриц, можно записать вектор потребностей как результат умножения прямоугольной нормативной матрицы  [c.37]

Таким образом, при использовании электронно-вычислительных машин процесс расчета потребности в нефтепродуктах на выполнение всего объема работ по плану может быть сведен к перемножению прямоугольной нормативной матрицы на вектор объемов работ.  [c.38]

Одним из факторов, влияющих на безотказность работы БИС ПЛМ является исключение возможности восстановления запрограммированной БИС, что обусловлено механизмом разрушения плавкой перемычки из нихрома в цепи запоминающего элемента (ЗЭ). Плавкая перемычка зажата в слоях из двуокиси кремния, сформированной на массивной кремниевой подложке и имеет форму, приведенную на рисунке. Для разрушения перемычки ЗЭ в матрице ПЛМ на нее воздействуют серией прямоугольных электрических импульсов, переводящих выбранный разряд в непроводящее состояние, что соответствует логическим О или 1 . Запрограммированная перемычка в процессе эксплуатации при воздействии на нее электрическими импульсами способна восстановиться. Одной, из причин восстановления перемычки является разброс геометрических параметров элементов ПЗУ при изготовлении.  [c.31]

Первый квадрант МОБ — это прямоугольная таблица межотраслевых материальных связей. Показатели таблицы представляют собой величины прямых межотраслевых потоков продукции и обозначаются как ху, где / и j — соответственно номера производящих и потребляющих отраслей. Таким образом, этот квадрант имеет вид квадратной матрицы л, сумма всех элементов которой равна годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

 [c.508]

Матрица А размера га х п (т х п матрица) — это прямоугольный массив вещественных чисел 1  [c.23]

Подматрица матрицы Л есть прямоугольный массив, полученный из Л вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Минором называется определитель квадратной подматрицы Л. Минором элемента а – называется определитель подматрицы Л, полученной вычеркиванием ее г-й строки и j-ro столбца. Алгебраическим дополнением а -, обозначаемым с -, называется произведение (— 1)г+-7 на минор aij. Матрица С = ( ij) называется матрицей алгебраических дополнений матрицы А. Транспонированная к С матрица называется присоединенной к Л и обозначается А . Имеем  [c.30]

Замечание. Допущение 3° может быть ослаблено и заменено следующим Матрицы Ли( (й 4) прямоугольные, ранг Аи равен числу строк элементы мат-  [c.245]

Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составим прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы — стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей. П  [c.25]

Сведение норм расхода (или удельных расходов) энергоресурсов, поступающих на предприятия со стороны, в прямоугольную матрицу, оличество строк соответствует количеству видов энергоресурсов, поступающих на предприятие со стороны, а количество и расположение столбцов то же, что и в матрице для энергоресурсов собственного производства (см. п. 2).  [c.198]

В результате обследования рынков формируется прямоугольная матрица X = = ( ..), t=l,…, т j = 1,. .., п, где х . — значение /-и характеристики г -го рынка. Отметим, что здесь не рассматриваются вопросы планирования эксперимента, в частности, какие именно характеристики и как измерять. Можно считать, что в данной матрице отражены все доступные наблюдению характеристики рынков или же только те из них, которые мы считаем наиболее информативными. В этом случае выбор осуществляется на основе показателя информативности каждой из характеристик либо на основе результатов сравнения матриц близости между объектамиD. = (dkl ), k, I = 1,…, т, где, например, dkl = xkj -x , j = 1,…, п.  [c.74]

Возможйые варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу — платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы — стратегиям игрока В, qtj называется ценой игры (табл. 8.23).  [c.150]

Как показывает практика, наиболее рациональна такая организация работ, при которой за каждой задачей закреп-ляется один ответственный. В предлагаемой модели принимается строгое разделение ответственности за выполнение каждой задачи за одной и той же задачей не должно быть назначено более одного ответственного ни одна задача не может не иметь ответственного. Условимся в матрице, учитывающей участие штатных категорий в выполнении задач, стоящих перед подразделением, ответственных за задачу обозначать знаком ++ . В общем случае функциональная схема многоцелевого подразделения (табл. 21) представляет собой прямоугольную таблицу размера N+n, где N — число задач, решаемых подразделением, п — число штатных категорий, принимающих участие в решении этих задач. Табл. 21 дает полную картину деятельности подразделения и взаимодействия отдельных штатных категорий в процессе ее. Так, например, рассматривая ыо строку таблицы, устанавливаем, что в решении  [c.218]

МАТРИЦА [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Таблица имеет следующий вид  [c.187]

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИГРЫ [re tangular games] — парные игры с нулевой суммой, имеющие седловую точку. Называются так, потому что их матрица игры прямоугольная.  [c.295]

В частности, столбцы ортогональной матрицы являются ортонормированны-ми. Прямоугольная (не квадратная) матрица может обладать одним из свойств А А = I или А А = /, но не обоими одновременно. Такая матрица называется полу ортогональной.  [c.26]

Матрицы Лiг( oi 1) прямоугольные, ранг Ац равен чрслу ее строк, элементы матрицы .((ш -1) и псевдообратной матрицы А (ш – >) неотрицательны и, кроме  [c.247]

Сепдовыми точками являются здесь все четыре угловых ситуации. То, что прямоугольное множество (Г) выглядит здесь несвязным, не имеет значения порядок строк и столбцов матрицы может быть произвольно изменен (см. п. 1. 9).  [c.35]

Матрицы Линейная алгебра Матрица Прямоугольная таблица чисел

Матрицы Линейная алгебра

Матрица Прямоугольная таблица чисел или символов, их заменяющих, из m строк (или n столбцов) одинаковой длины

Матрица размера m×n Аm×n=(aij) i =1. . m j =1. . n Элемент матрицы

Главная диагональ Элементы матрицы, у которых номер строки равен номеру столбца

Равные матрицы Матрицы называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц А=В i j aij = bij

Квадратная матрица Матрица, число строк которой равно числу столбцов Количество строк = = количество столбцов = n Квадратная матрица n-го порядка

Диагональная матрица Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю

Нулевая матрица Матрица, все элементы которой равны нулю

Единичная матрица Диагональная матрица, каждый элемент главной диагонали равен единице

Треугольная матрица Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю

Вектор Матрица, состоящая из одного столбца (вектор-столбец) или одной строки (вектор- строка)

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Транспонирование Меняем местами строки и столбцы

Пример

Сложение матриц Матрицы одного размера!!!

Пример

Умножение матрицы на число Получаем матрицу того же размера, что и исходная

Пример

Умножение матриц Количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй

Умножение матриц СТРОКА НА СТОЛБЕЦ

Пример

Задача Найти линейную комбинацию матриц -3 A +4 B

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

Элементарные преобразования матриц = эквивалентные преобразования матриц А~В

Перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы

Умножение всех элементов строки (столбца) на число ≠ 0

Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число

К первой строке прибавим вторую, умноженную на 10

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ

1. Коммутативность А+В=В+А Операция умножения матриц не является коммутативной А×В≠В×А

2. Ассоциативность (А + В) + С = А + (В + С) = =А+В+С (А × В) × С = А × (В × С) = =А×В×С

3. Дистрибутивность (А + В) = А + В ( + )А = А + А ( )А = ( А) А × (В+С) = А ×В + А ×С (А + В) × С = А ×С + В ×С (А × В) = ( А) × В

4. Наличие нейтрального элемента А+О=О+А=А А×Е=Е×А=А 1 ×А = А

5. Для операции транспонирования (А + Т В) (А × = Т А Т=ВТ В) + × Т В Т А

Канонический вид матрицы Матрица имеет канонический вид, если у неё в начале главной диагонали идут единицы, а все остальные элементы равны нулю

Любую матрицу с помощью эквивалентных преобразований можно привести к каноническому виду

Ранг матрицы Количество линейно независимых строк (столбцов) матрицы rang (A) или r(A)

Свойства ранга матрицы 1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется 2. Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (нулевой столбец), то её ранг не изменится 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы

Ранг канонической матрицы = количеству единиц на главной диагонали

След квадратной матрицы Сумма её диагональных элементов

Симметричная матрица Квадратная матрица, у которой i j aij = aji

Нежное введение в разложение по сингулярным числам для машинного обучения

Дата публикации 2018-02-26

Матричная декомпозиция, также известная как матричная факторизация, включает описание данной матрицы с использованием ее составляющих элементов.

Возможно, самый известный и широко используемый метод декомпозиции матрицы – это декомпозиция по сингулярному значению, или SVD. Все матрицы имеют SVD, что делает его более стабильным, чем другие методы, такие как собственное разложение. Как таковой, он часто используется в широком спектре приложений, включая сжатие, удаление шума и уменьшение объема данных.

В этом уроке вы обнаружите метод разложения по сингулярным значениям для разложения матрицы на составляющие ее элементы.

После завершения этого урока вы узнаете:

  • Что такое разложение по сингулярному значению и что в нем участвует.
  • Как рассчитать SVD и восстановить прямоугольную и квадратную матрицу из элементов SVD.
  • Как рассчитать псевдообратное и выполнить уменьшение размерности, используя SVD.

Давайте начнем.

  • Обновление март / 2018: Исправлена ​​опечатка в реконструкции. Для ясности изменено V в коде на VT. Исправлена ​​опечатка в псевдообратном уравнении.

Обзор учебника

Этот урок состоит из 5 частей; они есть:

  1. Разложение по сингулярному значению
  2. Рассчитать разложение по сингулярному значению
  3. Восстановить Матрицу из СВД
  4. СВД для псевдообратного
  5. SVD для уменьшения размерности

Разложение по сингулярному значению

Разложение по сингулярному значению, или сокращенно SVD, – это метод разложения матрицы, предназначенный для сведения матрицы к ее составным частям, чтобы упростить некоторые последующие вычисления матрицы. T – транспонирование матрицы nxn, где T верхний индекс.

Разложение по сингулярным значениям является основным моментом линейной алгебры.

– страница 371,Введение в линейную алгебру, Пятое издание, 2016.

Диагональные значения в сигма-матрице называются сингулярными значениями исходной матрицы A. Столбцы матрицы U называются лево-сингулярными векторами A, а столбцы V называются правосингулярными векторами A.

SVD рассчитывается с помощью итерационных численных методов. Мы не будем вдаваться в подробности этих методов. Каждая прямоугольная матрица имеет разложение по сингулярным значениям, хотя результирующие матрицы могут содержать комплексные числа, а ограничения арифметики с плавающей запятой могут привести к тому, что некоторые матрицы не будут аккуратно разлагаться.

Разложение по сингулярным значениям (SVD) предоставляет еще один способ разложить матрицу на сингулярные векторы и сингулярные значения. SVD позволяет нам обнаруживать некоторую информацию того же вида, что и собственное разложение. T (n x n)

Мы можем достичь этого путем создания новой сигма-матрицы со всеми нулевыми значениями, которая равна m x n (например, больше строк), и заполнить первую n x n часть матрицы квадратной диагональной матрицей, вычисленной с помощью diag ().

# Reconstruct SVD
from numpy import array
from numpy import diag
from numpy import dot
from numpy import zeros
from scipy.linalg import svd
# define a matrix
A = array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A)
# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)
# create m x n Sigma matrix
Sigma = zeros((A.shape[0], A.shape[1]))
# populate Sigma with n x n diagonal matrix
Sigma[:A.shape[1], :A.shape[1]] = diag(s)
# reconstruct matrix
B = U.dot(Sigma.dot(VT))
print(B)

При выполнении примера сначала печатается исходная матрица, а затем матрица, восстановленная из элементов SVD.

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

[[ 1.   2.]
 [ 3.  4.]
 [ 5.  6.]]

Вышеупомянутое усложнение с диагональю сигмы существует только в случае, когда m и n не равны. Диагональная матрица может быть использована непосредственно при восстановлении квадратной матрицы следующим образом.

# Reconstruct SVD
from numpy import array
from numpy import diag
from numpy import dot
from scipy.linalg import svd
# define a matrix
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(A)
# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)
# create n x n Sigma matrix
Sigma = diag(s)
# reconstruct matrix
B = U.dot(Sigma.dot(VT))
print(B)

При выполнении примера печатается исходная матрица 3 × 3 и версия, восстановленная непосредственно из элементов SVD.

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

[[ 1.  2.  3.]
 [ 4.  5.  6.]
 [ 7.  8.  9.]]

СВД для псевдообратного

Псевдообращение – это обобщение обратной матрицы для квадратных матриц на прямоугольные матрицы, где число строк и столбцов не равно. + = ( 0, 1/s22, 0) 0, 0, 1/s33

Псевдообращение обеспечивает один из способов решения уравнения линейной регрессии, в частности, когда строк больше, чем столбцов, что часто имеет место.

NumPy предоставляет функцию pinv () для вычисления псевдообращения прямоугольной матрицы.

Пример ниже определяет матрицу 4 × 2 и вычисляет псевдообратную форму.

# Pseudoinverse
from numpy import array
from numpy.linalg import pinv
# define matrix
A = array([
	[0.1, 0.2],
	[0.3, 0.4],
	[0.5, 0.6],
	[0.7, 0.8]])
print(A)
# calculate pseudoinverse
B = pinv(A)
print(B)

При выполнении примера сначала печатается определенная матрица, а затем вычисленная псевдообратная.

[[ 0.1  0.2]
 [ 0.3  0.4]
 [ 0.5  0.6]
 [ 0.7  0.8]]

[[ -1.00000000e+01  -5.00000000e+00   9.04289323e-15   5.00000000e+00]
 [  8.50000000e+00   4.50000000e+00   5. V

Полный пример приведен ниже.

# Pseudoinverse via SVD
from numpy import array
from numpy.linalg import svd
from numpy import zeros
from numpy import diag
# define matrix
A = array([
	[0.1, 0.2],
	[0.3, 0.4],
	[0.5, 0.6],
	[0.7, 0.8]])
print(A)
# calculate svd
U, s, VT = svd(A)
# reciprocals of s
d = 1.0 / s
# create m x n D matrix
D = zeros(A.shape)
# populate D with n x n diagonal matrix
D[:A.shape[1], :A.shape[1]] = diag(d)
# calculate pseudoinverse
B = VT.T.dot(D.T).dot(U.T)
print(B)

При выполнении примера сначала печатается определенная прямоугольная матрица, а псевдообратная функция, которая соответствует приведенным выше результатам, получается из функции pinv ().

[[ 0.1  0.2]
 [ 0.3  0.4]
 [ 0.5  0.6]
 [ 0.7  0.8]]

[[ -1.00000000e+01  -5.00000000e+00   9.04831765e-15   5.00000000e+00]
 [  8. Tk . A

Пример ниже демонстрирует сокращение данных с SVD.

Сначала определяется матрица 3 × 10 с большим количеством столбцов, чем строк. SVD рассчитывается и выбираются только первые две функции. Элементы рекомбинированы для точного воспроизведения исходной матрицы. Наконец, преобразование рассчитывается двумя разными способами.

from numpy import array
from numpy import diag
from numpy import zeros
from scipy.linalg import svd
# define a matrix
A = array([
	[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],
	[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],
	[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]])
print(A)
# Singular-value decomposition
U, s, VT = svd(A)
# create m x n Sigma matrix
Sigma = zeros((A.shape[0], A.shape[1]))
# populate Sigma with n x n diagonal matrix
Sigma[:A.shape[0], :A.shape[0]] = diag(s)
# select
n_elements = 2
Sigma = Sigma[:, :n_elements]
VT = VT[:n_elements, :]
# reconstruct
B = U. dot(Sigma.dot(VT))
print(B)
# transform
T = U.dot(Sigma)
print(T)
T = A.dot(VT.T)
print(T)

При выполнении примера сначала печатается определенная матрица, а затем восстановленное приближение, за которым следуют два эквивалентных преобразования исходной матрицы.

[[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
 [11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]
 [21 22 23 24 25 26 27 28 29 30]]

[[  1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.  10.]
 [ 11.  12.  13.  14.  15.  16.  17.  18.  19.  20.]
 [ 21.  22.  23.  24.  25.  26.  27.  28.  29.  30.]]

[[-18.52157747   6.47697214]
 [-49.81310011   1.91182038]
 [-81.10462276  -2.65333138]]

[[-18.52157747   6.47697214]
 [-49.81310011   1.91182038]
 [-81.10462276  -2.65333138]]

Scikit-learn предоставляет класс TruncatedSVD, который напрямую реализует эту возможность.

Может быть создан класс TruncatedSVD, в котором необходимо указать количество желаемых функций или компонентов, например, например. Tk), вызвав функцию fit (), затем примените ее к исходной матрице, вызвав функцию transform (). Результатом является преобразование A, названное T выше.

В приведенном ниже примере демонстрируется класс TruncatedSVD.

from numpy import array
from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
# define array
A = array([
	[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],
	[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],
	[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]])
print(A)
# svd
svd = TruncatedSVD(n_components=2)
svd.fit(A)
result = svd.transform(A)
print(result)

При выполнении примера сначала печатается определенная матрица, а затем преобразованная версия матрицы.

Мы видим, что значения соответствуют значениям, вычисленным вручную выше, за исключением знака некоторых значений. Мы можем ожидать некоторую нестабильность, когда дело доходит до знака, учитывая природу выполняемых вычислений и различия в используемых библиотеках и методах. Эта нестабильность знака не должна быть проблемой на практике, пока преобразование обучено для повторного использования.

[[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
 [11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]
 [21 22 23 24 25 26 27 28 29 30]]

[[ 18.52157747   6.47697214]
 [ 49.81310011   1.91182038]
 [ 81.10462276  -2.65333138]]

расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

  • Поэкспериментируйте с методом SVD на ваших собственных данных.
  • Исследуйте и перечислите 10 применений СВД в машинном обучении.
  • Примените SVD как метод сокращения данных в табличном наборе данных.

Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

  • Глава 12, Сингулярное значение и разложение Джордана,Линейная алгебра и матричный анализ для статистики2014
  • Глава 4, Разложение по единственному значению и Глава 5, Подробнее о SVD,Численная линейная алгебра, 1997.
  • Раздел 2.4. Разложение по сингулярным числам,Матричные вычисления2012.
  • Глава 7 Разложение по сингулярным числам (SVD),Введение в линейную алгебру, Пятое издание, 2016.
  • Раздел 2.8 Разложение по единственному значению,Глубокое обучение, 2016
  • Раздел 7.D Полярная декомпозиция и сингулярное разложение,Линейная алгебра сделано правильноТретье издание, 2015.
  • Лекция 3 Разложение по единственному значению,Численная линейная алгебра, 1997.
  • Раздел 2.6 Разложение по сингулярным значениям,Численные рецепты: искусство научных вычисленийТретье издание, 2007.
  • Раздел 2.9. Псевдообращение Мура-Пенроуза.Глубокое обучение, 2016

API

статьи

Резюме

В этом уроке вы обнаружили метод разложения по сингулярным значениям для разложения матрицы на составляющие ее элементы.

В частности, вы узнали:

  • Что такое разложение по сингулярному значению и что в нем участвует.
  • Как рассчитать SVD и восстановить прямоугольную и квадратную матрицу из элементов SVD.
  • Как рассчитать псевдообратное и выполнить уменьшение размерности, используя SVD.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Оригинальная статья

Матрицы и действия над ними

«Матрицы
и действия над
ними»
1. Определение матрицы
Прямоугольная таблица чисел вида
a11
a21
A

am1
a12
a22

am 2
… a1n
… a2 n
… …
… am n
называется матрицей.
aij – элементы матрицы (i – номер строки, j – номер
столбца)
Размер матрицы – m x n
Главная диагональ матрицы –
a11, a22…..amn
Пример:
Виды матриц
Матрица называется прямоугольной, если количество ее
строк не совпадает с количеством столбцов:
Матрица называется квадратной, если количество ее строк
совпадает с количеством столбцов:
Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые :
Квадратная матрица называется единичной, если элементы
по главной диагонали единицы, а остальные элементы
нулевые :
Квадратная матрица называется диагональной, если
элементы по главной диагонали отличны от нуля, а
остальные элементы нулевые:
Квадратная матрица называется симметричной, если
относительно главной диагонали для всех ее элементов
выполняется условие aij a ji :
Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются
равными, если a b
ij
ij
Квадратные матрицы вида
a11
a
n1
a1n
или
0
a11
0
a1n
ann
называются треугольными.
1 2 3
À 4 5 0
6 0 0
1
0
À
0
0
4
5 6 7
0 8 9
0 0 10
2 3
Прямоугольная матрица вида
a11
0
0
a12
a1m
a22
a2 m
0
amm
a1n
a2 n
amn
называется квазитреугольной (ступенчатая или
трапециевидная)
1
À 0
0
2
1
0
3
2
2
3
1
0
3
3
1
1
0
5
Матрица, состоящая из одной строки называется
матрицей-строкой или строчной матрицей.
Матрица, состоящая из одного столбца называется
матрицей-столбцом или столбцевой матрицей
Операции над матрицами
Линейные:
1) Сумма (разность) матриц;
2) Произведение матрицы на число.
Нелинейные:
1) Транспонирование матрицы;
2) Умножение матриц;
3) Нахождение обратной матрицы.
Сумма (разность) матриц
Для того, чтобы сложить две матрицы A и B (одинаковой
размерности) нужно сложить их соответствующие элементы.
Для того, чтобы найти разность матриц А и В (одинаковой
размерности) нужно из каждого элемента матрицы А
вычесть соответствующий элемент матрицы В.
Матрица -А называется матрицей противоположной А.
Пример:
Тогда
Пусть
2 5 6
A
,
0 4 1
1 7 10
A B
,
6
0 9
3 2 4
B
.
0 5 7
5 3 2
A B
,
0 1 8
2 5 6
A
.
0
4
1
Вычислите:
2
À 0
4
A B ?
A B ?
B A ?
3
5
4 , B 7
2
9
6
0
1
Ответ:
3
A B 7
6
7
A B 7
2
7
B A 7
2
9
4
10
3
4
8
3
4
8
Произведение матрицы на число
Для того, чтобы умножить матрицу А на число R нужно
каждый элемент матрицы умножить на число .
2 5 6
Пример: Пусть A
,
0 4 1
тогда
4 10 12
2 A
.
0 8 2
Вычислите:
2
À 0
4
3
5
4 , B 7
2
9
2A ?
3 B ?
4B 7 A ?
6
0
1
Ответ:
4 6
2A 0 8
8 18
15 18
3B 21 0
6
3
34 3
4 B 7 A 28 28
20 59
Линейные операции обладают следующими свойствами:
1) A B B A
2) A B C A B C
3) A 0 A
4) A A 0
5) 1 A A
6) A A
7) A B A B
8) A A A
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется матрицей,
транспонированной относительно данной.
Пример:
Свойства операции транспонирования:
1) A
T T
A
2) A B A B
T
T
3) A B B A
T
T
T
T
Матрица А называется согласованной с
матрицей В, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В:
Например:
1)
Àm n ,
Bn k
2)
À2 4 ,
B4 1
3)
Àm 2 ,
B2 k
Умножение матриц определяется для согласованных матриц.
Произведением
матрицы
называется матрица
на матрицу
, для которой
cij ai1 b1 j ai 2 b2 j … ain bnj
т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме
произведений элементов i-й строки матрицы А
на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример:
Свойства операции умножение матриц:
1. Свойство сочетательности или ассоциативности
AB C A BC
2.
AB A B A B
3.
Свойство распределительности (дистрибутивности)
справа и слева относительно сложения матриц
A B C AC BC
C A B CA CB
Вычислите:
2
À 0
4
A B ?
3
1
4 , B
0
9
B A ?
A B ?
B A ?
A B ?
B A ?
T
T
T
T
T
T
2
3

Прямоугольная матрица — определение, примеры, свойства, операции

Прямоугольная матрица — это матрица прямоугольной формы. Мы знаем, что элементы матрицы расположены в строках и столбцах. Если количество строк в матрице не равно количеству столбцов в ней, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Давайте узнаем больше о прямоугольной матрице вместе с определением, примерами, свойствами и операциями над ней.

Что такое прямоугольная матрица?

Прямоугольная матрица — это матрица, в которой количество строк НЕ равно количеству столбцов. Один из видов матриц. В геометрии прямоугольник — это четырехугольник, у которого длина отличается от ширины. Точно так же количество строк прямоугольной матрицы отличается от количества столбцов, отсюда и название «прямоугольная». Ниже приведена прямоугольная матрица порядка m x n (т. е. количество строк = m и количество столбцов = n).

Примеры прямоугольных матриц

Вот несколько прямоугольных матриц, и в каждой матрице количество строк НЕ равно количеству столбцов.

  • \(\left[\begin{массив}{llll}
    1 и 8 и 3 и 2 \\\
    5 и 3 и 0 и -6
    \end{array}\right]\) имеет 2 строки и 4 столбца — прямоугольная матрица порядка 2 x 4.
  • \(\left[\begin{массив}{llll}
    1 и 7 \
    2 и 4\\
    6 и 3 \
    -5 и 0
    \end{array}\right]\) имеет 4 строки и 2 столбца — прямоугольная матрица порядка 4 x 2.
  • \(\left[\begin{массив}{llll}
    1 и 7 и 8 и 2
    \end{array}\right]\) имеет 1 строку и 4 столбца — это прямоугольная матрица порядка 1 x 4.

Типы прямоугольных матриц

Могут быть два типа прямоугольных матриц: со строками меньше столбцов и со строками больше столбцов. Вот примеры для каждого из этих типов:

  • Прямоугольная матрица, в которой строк меньше, чем столбцов: \(\left[\begin{array}{llll}
    1 и 8 и 3 и 2 \\\
    5 и 3 и 0 и -6
    \конец{массив}\справа]\)
  • Прямоугольная матрица, в которой строк больше, чем столбцов: \(\left[\begin{array}{llll}
    1 и 7 \
    2 и 4\\
    6 и 3 \
    -5 и 0
    \конец{массив}\справа]\)

Операции над прямоугольной матрицей

Все матричные операции не всегда возможны на прямоугольных матрицах. Вот несколько операций, которые возможны с прямоугольными матрицами с небольшими ограничениями.

Сложение и вычитание прямоугольных матриц

Сложение и вычитание двух или более прямоугольных матриц возможно, если все они одного порядка. Например:

  • \(\left[\begin{массив}{llll}
    1 и 8 и 3 \\\
    5 и 3 и 0
    \end{массив}\right]_{2 \times 3}\) + \(\left[\begin{array}{llll}
    -2&3&5&2\\
    1 и 0 и -2 и -6
    \end{массив}\right]_{2 \times 4}\) НЕВОЗМОЖНО.
  • \(\left[\begin{массив}{llll}
    1 и 8 и 3 \\\
    5 и 3 и 0
    \end{массив}\right]_{2 \times 3}\) – \(\left[\begin{array}{llll}
    -2&3&5\\
    1 и 0 и -2
    \end{массив}\right]_{2 \times 3}\) возможно.

Умножение прямоугольных матриц

Умножение двух прямоугольных матриц А и В возможно только при выполнении следующего условия: количество столбцов матрицы А = количеству строк матрицы В.Другими словами, A и B должны быть порядка m x n и n x p. Произведение A и B в этом случае будет матрицей порядка m x p. Например:

  • \(\left[\begin{массив}{ll}
    а&б&в\
    c&d&e\
    \end{массив}\right]_{2 \times 3}\) · \(\left[\begin{array}{ll}
    х и у
    \end{массив}\right]_{2 \times 1}\) НЕВОЗМОЖНО.
  • \(\left[\begin{массив}{ll}
    а&б\
    с&д\
    е и ф
    \end{массив}\right]_{3 \times 2}\) · \(\left[\begin{массив}{ll}
    х и у
    \end{массив}\right]_{2 \times 1}\) возможно.

Произведение двух прямоугольных матриц может быть или не быть прямоугольной матрицей. Например, \(\left[\begin{array}{l}
1\
2\
6
\end{array}\right]_{3 \times 1}\) · [-1 2 3]\(_{1 \times 3}\) — матрица порядка 3 x 3, которая является квадратной матрицей.

Транспонирование прямоугольной матрицы

Транспонирование матрицы получается путем записи ее строк в виде столбцов (или записи ее столбцов в виде строк). Следовательно, если порядок прямоугольной матрицы m x n, то ее транспонированная матрица представляет собой прямоугольную матрицу порядка n x m. Например, транспонирование \(\left[\begin{array}{ll}
а&б&в\
c&d&e\
\end{массив}\right]_{2 \times 3}\) равно \(\left[\begin{array}{ll}
а и с \\
б&д\
с и е
\end{массив}\right]_{3 \times 2}\). Таким образом, прямоугольная матрица никогда не равна своей транспонированной и, следовательно, никогда не бывает симметричной.

Свойства прямоугольной матрицы

Вот свойства прямоугольной матрицы, основанные на ее определении.

  • В прямоугольной матрице количество строк и количество столбцов разное. Таким образом, порядок прямоугольной матрицы состоит из двух разных чисел.
  • Матрица строк или матрица столбцов с более чем одним элементом всегда является прямоугольной матрицей.
    Например, [1 2 3] — матрица-строка порядка 1 x 3 и, следовательно, прямоугольная.
  • Определитель прямоугольной матрицы НЕ определен. Следовательно, понятия сингулярной матрицы и невырожденной матрицы НЕ применимы к прямоугольной матрице.
  • Прямоугольная матрица не может иметь сопряженной.
  • Прямоугольная матрица не может иметь обратной, так как ее сопряженный и определитель НЕ определены.
  • Прямоугольная матрица не может быть симметричной. Потому что, например, транспонированная прямоугольная матрица порядка 2 x 3 является матрицей порядка 3 x 2 и, следовательно, они не могут быть равны.
  • Сложение и вычитание двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, если они одного порядка.
  • Умножение двух прямоугольных матриц A и B возможно только тогда, когда количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.
  • Произведение двух прямоугольных матриц не обязательно должно быть прямоугольным.
  • Прямоугольная матрица не может иметь собственных значений.
  • Тождественные матрицы, диагональные матрицы, скалярные матрицы, ортогональные матрицы, симметричные матрицы, сингулярные матрицы и т. д. никогда не бывают прямоугольными.

Похожие темы:

Часто задаваемые вопросы о прямоугольной матрице

Что такое определение прямоугольной матрицы?

Прямоугольная матрица — это тип матриц, в которых количество строк НЕ равно количеству столбцов. Например, \(\left[\begin{array}{ll}
-2 и 6\
3 и 2 \
-8 и 4\
0 и 2
\end{array}\right]\) — прямоугольная матрица порядка 4 x 2.

Что такое свойства прямоугольной матрицы?

Вот кратко свойства прямоугольной матрицы: прямоугольная матрица не может иметь определителя, сопряженной и, следовательно, обратной. Он также не может иметь собственных значений. Он не может быть сингулярным или симметричным. Дополнительные сведения о свойствах см. в разделе «Свойства прямоугольной матрицы» на этой странице.

Является ли квадратная матрица прямоугольной?

В геометрии мы говорим, что квадрат — это прямоугольник, но прямоугольник не обязательно должен быть квадратом. Точно так же мы можем сказать, что квадратная матрица является прямоугольной, но прямоугольная матрица не обязательно должна быть квадратной матрицей. Но в целом термин прямоугольная матрица используется только тогда, когда она имеет неравное количество строк и столбцов.

В чем разница между квадратной и прямоугольной матрицей?

Квадратная матрица и прямоугольная матрица — это два разных типа матриц.

  • В квадратной матрице количество строк равно количеству столбцов.
  • В прямоугольной матрице количество строк НЕ равно количеству столбцов.

Что такое собственные значения прямоугольной матрицы?

Собственные значения можно найти только для квадратных матриц. Таким образом, прямоугольная матрица не может иметь собственных значений.

Что такое транспонирование прямоугольной матрицы?

Транспонирование прямоугольной матрицы получается путем перестановки строк и столбцов.Транспонирование прямоугольной матрицы порядка p x q представляет собой прямоугольную матрицу порядка q x p.

Что такое порядок прямоугольной матрицы?

Порядок прямоугольной матрицы записывается как «количество строк x количество столбцов» и состоит из двух разных чисел. Например, порядок прямоугольных матриц может быть 2 х 3, 3 х 2, 4 х 5 и т. д.

Прямоугольная матрица

Матрица, у которой количество строк не равно количеству столбцов, называется прямоугольной матрицей.

Введение

Прямоугольная матрица — это один из типов матриц. В этой матрице элементы расположены в строках и столбцах. Расположение элементов в матрице представляет собой прямоугольник. Следовательно, она называется прямоугольной матрицей.

Например, у нас есть элементы, в которых $n$ элементов расположены в каждой строке. Таким образом, все элементы располагаются в $m$ рядов. Таким образом, элементы располагаются в $m$ строк и $n$ столбцов.

Теперь у нас есть матрица порядка $m \times n$, которую можно выразить в математической форме следующим образом.

$M$ $\,=\,$ $ {\ начать {bmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} & \cdots & e_{1n}\\ e_{21} & e_{22} & e_{23} & \cdots & e_{2n}\\ e_{31} & e_{32} & e_{33} & \cdots & e_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{m1} & e_{m2} & e_{m3} & \cdots & e_{mn} \end{bmatrix}}_{\displaystyle m \times n} $

Геометрически форма прямоугольника в матрице возможна, если количество строк отличается от количества столбцов. Это означает $m\ne n$.

Таким образом, при формировании прямоугольной матрицы возможны два случая: один — количество строк больше количества столбцов ($m > n$) и другой — количество строк меньше количества столбцов ( $м

Теперь давайте изучим концепцию прямоугольного расположения элементов на нескольких понятных примерах.

строк меньше, чем столбцов

$A$ — матрица порядка $3 \times 4$.

$А$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} 5 и -1 и 4 и 9\\ -7 и 1 и 3 и 2\\ 8 и 5 и 0 и -6 \end{bmatrix} $

В матрице $A$ элементы расположены по $3$ строк и $4$ столбцов.В этой матрице количество строк не равно количеству столбцов $(3\ne 4)$, но количество строк меньше количества столбцов $(3

Строки больше, чем столбцы

$B$ — другая матрица, и порядок этой матрицы $5 \times 2$.

$B$ $\,=\,$ $\begin{bmatrix} 2 и 6\\ 5 и 2\\ 9 и 4\\ 6 и 2\\ 7 и -6 \end{bmatrix} $

В матрице $B$ элементы расположены по $5$ строк и $2$ столбцов. Таким образом, количество строк не равно количеству столбцов $(5\ne 2)$ в этой матрице, но количество строк больше количества столбцов $(5 > 2)$.Это и есть истинная причина образования прямоугольной формы в этой матрице. Поэтому матрицу $B$ также называют прямоугольной матрицей.

Различные типы матриц

Типы матриц:

Существуют различные типы матриц, такие как прямоугольная матрица, нулевая матрица, квадратная матрица, диагональная матрица и т. д. В этом посте представлен обзор различных типов матриц.

 

(1) Матрица строк: Матрица строк — это тип матрицы, которая имеет только одну строку.Он может иметь несколько столбцов, но в матрице строк присутствует только одна строка. Пример матрицы строк может быть задан как

 

   

 , в котором всего одна строка, но три столбца.

 

Мы можем математически определить матрицу строк как:

Матрица вида

   

, где 1 представляет только одну строку, а n представляет количество столбцов.


 

(2) Матрица столбцов: Матрица столбцов — это тип матрицы, который имеет только один столбец.Он может иметь несколько строк, но в матрице столбцов присутствует только один столбец. Пример матрицы столбца может быть задан как:

 

   

, в котором всего один столбец, но три строки.

 

Мы можем математически определить матрицу столбцов как:

Матрица вида

   

 где m – количество строк, а 1 – только один столбец.


 

(3) Нулевая матрица: Нулевая матрица — это тип матрицы, в которой все элементы равны нулю.Пример нулевой матрицы может быть указан как 

.

   

. Мы также можем математически определить нулевую матрицу как :

.

 

   

, где

   

для всех i,j.


 

(4) Прямоугольная матрица: Прямоугольная матрица — это тип матрицы с неравным количеством строк и столбцов. Пример прямоугольной матрицы может быть задан как

.

 

   

, где у нас неравное количество строк и столбцов в матрице.Количество столбцов – 2, количество строк – 3.

 

Мы можем математически определить прямоугольную матрицу как матрицу формы

   

где

   

.


 

(5) Квадратная матрица: Квадратная матрица является типом матрицы , которая имеет равное количество строк и столбцов . Пример квадратной матрицы может быть задан как

 

   

, где у нас равное количество строк и столбцов, равное 3.

 

Мы можем математически определить квадратную матрицу как матрицу формы

   

где

   

.


 

(6) Диагональная матрица: Тип квадратной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, матрица

   

– диагональная матрица.

 

Мы можем математически определить диагональную матрицу как матрицу вида

   

, где

   

когда

   

.


 

(7) Матрица идентичности: Это тип квадратной матрицы, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все недиагональные элементы равны 0. Ее также называют единичной матрицей.

 

Пример единичной матрицы может быть задан как  

   

 

Мы можем математически определить единичную матрицу как матрицу формы

   

, где

   

вместо

   

и

   

вместо

   

.


 

(8) Скалярная матрица: Это квадратная матрица, в которой все элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю. Например,

   

— пример скалярной матрицы.

 

Мы можем математически определить скалярную матрицу как матрицу вида:

   

, где

   

вместо

   

и

   

вместо

   

, где k — любой скаляр.


 

(9) Верхняя треугольная матрица: Это тип квадратной матрицы, все элементы которой ниже главной диагонали равны 0. Например,

   

— пример верхней треугольной матрицы.

 

Мы можем математически определить верхнюю треугольную матрицу как матрицу вида:

   

, где

   

для i>j.


 

(10) Нижняя треугольная матрица: Это тип квадратной матрицы, все элементы которой выше главной диагонали равны 0.Например.

   

— пример нижней треугольной матрицы.

 

Мы можем математически определить нижнюю треугольную матрицу как матрицу вида:

   

, где

   

для j>i.


Прямоугольная матрица – обзор

1.6 Ранг внешней формы

Давайте рассмотрим форму Ω ∈ Λ K ( U ) на N -Dimence Vector Space U ( если не указано иное, мы всегда будем рассматривать конечномерное векторное пространство):

(1. 6.1)ω=1k!ωi1i2⋯ikfi1∧fi2∧⋯∧fik.

Выберем теперь некоторые линейные комбинации обратных базисных векторов в двойственном пространстве U * следующим образом

(1.6.2)gα=ciαfi,i=1,2,…,n;α=1,2, …, м.

c i α — некоторые скалярные коэффициенты. Будем считать, что векторы g α линейно независимы. Другими словами, ранг прямоугольной матрицы [ c i α ] должен быть m .Поэтому преобразования (1.6.2) будут иметь смысл, если только m n . Предположим, что эти преобразования приводят форму (1.6.1) к следующей k -форме

ω=1k!Ωα1α2⋯αkgα1∧gα2∧⋯∧gαk.

Найденное таким образом наименьшее целое число m , то есть r = min m , называется рангом вида ω . Для определения ранга формы необходимо искать нетривиальные линейно независимые решения следующих однородных уравнений

(1. 6.3)ωi1i2⋯ihi1=0,hi1∈U*.

Если мы найдем линейно независимую N R Solutions H A , A = R + 1, R + 2, …, N Мы можем тогда написать H a a = = α α H A , α = 1, 2, …, R . Следовательно, ранг прямоугольной матрицы [ γ α α ] должен быть r для векторов h α равнымМы увидим, что это число обозначает также ранг вида ω . Если r = n , то мы однозначно получаем h i = 0, i = 1,2,…, n . В этом случае мы не можем уменьшить количество базисных векторов или форм, фигурирующих в (1.6.1). Предположим теперь, что ранг формы удовлетворяет условию r < n . Из уравнений (1.6.3) следует, что

ωαi2⋯ikhα+ωai2⋯ikha=ωαi2⋯ikγαα+ωαi2⋯ikha=0.

Так как мы предполагали, что векторы h a линейно независимы, то получаем, что соотношения + 1,…, n ; i m = 1,…, n ; m ≥ 2, должно быть выполнено. Определим теперь линейно независимые векторы

(1.6.5)gα=fα−γααfa,α=1,2,…,r

и вставим векторы α  +  γ α α f a во внешнем произведении (1.6.1). На первом шаге мы получаем

ω=1k!ωi1i2⋯ikfi1∧fi2∧⋯∧fik=1k!ωα1i2⋯ikfα1+ωα1i2⋯ikfα1∧fi2∧⋯∧fik=1k!ωa1i2⋯ikgα1+γα1α1fα1 fi2∧⋯∧fik=1k!ωα1i2⋯ikga1+ωα1i2⋯ikγα1α1+ωα1i2⋯ikfα1∧fi2∧⋯∧fik=1k!ωα1i2⋯ikgα1∧fi2∧⋯∧fik

, где мы использовали соотношение (1.6.4). ) в четвертой строке. На втором шаге мы приходим к

ω=−1k!ωi2α1⋯ikgα1∧fi2∧⋯∧fik=−1k!gα1∧ωα2α1i3⋯ikgα2+ωα2α1i3⋯ikγα2α2+ωα2α1i3⋯kfα2∧fi3∧ !ωα1α2i3⋯ikgα1∧gα2∧fi3∧⋯∧fik.

Продолжая в том же духе, на k шаге

(1.6.6)ω=1k!ωα1α2⋯αkgα1∧gα2∧⋯∧gαk.

Это явно означает, что k -форма ω теперь порождена базисными формами gα1∧gα2∧⋯∧gαk. Мощность ( k r ) этого набора, конечно, меньше мощности ( k n ) исходного базиса. Если r = k , т. е. если ранг формы равен ее степени, то получаем ( k k ) = 1 и форма 90 ω может быть представлена (1.6.7)ω=ω1⋯kg1∧g2∧⋯∧gk.

Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что имеем !.Если мы напишем g˜1=ω1⋯kg1, (1.6.7) теперь станет

ω=g˜1∧g2∧⋯∧gk.

Таким образом, мы заключаем, что всякая k-форма, ранг которой равен ее степени, может быть сведена к простой форме . Наоборот, если k -форма проста, то ее можно записать в виде (1.5.8) следующим образом:

ω=ω1∧ω2∧⋯∧ωk

= Ω I I α F I , A = 1, ⋯, K , I = 1, ⋯, N , конечно, линейно линейно независимый. Следовательно, ранг прямоугольной матрицы [ ω i α ] должен быть k . Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему:

Теорема 1.6.1. Форма ω ∈ Λ k ( U ), k ≤ n является простой формой тогда и только тогда, когда ее ранг равен степени.

Применим теперь общий подход, развитый нами выше, к 2-форме в силу ее довольно простой структуры.Мы знаем, что произвольная форма Ω ∈ Λ 2 ( U ( N ) ) является выражена как

(1.6.8) ω = 12ωijfi∧fj

, где Ω IJ IJ представляет собой антисимметричную n × n матрицу действительных чисел. Чтобы найти ранг формы ω , нужно найти нетривиальные линейно независимые решения h i U* однородных уравнений

(1. 6.9)ωijhj=0.

Поскольку ω ij — антисимметричная матрица, ее ранг всегда является четным числом, скажем, r = 2 m , где m — натуральное число. Следовательно, размерность нулевого пространства линейного оператора, представленного матрицей ω ij , , или число линейно независимых векторов, охватывающих это подпространство, будет равно n − 2 m . Другими словами, 2 m векторов из n векторов, удовлетворяющих уравнениям (1.6.9) выражаются в виде линейных комбинаций оставшихся n − 2 m векторов. Таким образом, ранг формы ω становится 2 m . Если n — четное число, может случиться так, что ранг формы будет равен n . В этом случае уменьшить форму не получится. Однако если n — нечетное число, то 2 n , конечно, всегда будет меньше, чем n . Следовательно, в этом случае 2-форма всегда приводима.

Пример 1.6.1. Давайте сначала начнем с относительно простого случая n = 3. Используя существенные компоненты, мы можем выразить 2-форму следующим выражением

Очевидно, ранг этой формы 2. Действительно, уравнения ω IJ H J J = 0 теперь написаны в виде

Ω12H3 + ω13H4 = 0-Ω12H2 + ω23H4 =0−ω13h2−ω23h3=0

откуда по предположению ω 12 ≠ 0 получаем, что

h2=ω23ω12h4,h3=−ω13ω12h4.

Определим теперь 1-формы

g1=ω12f1−ω23ω12f3,g2=f2+ω13ω12f3.

Сразу видно, что форма ω сводится к

ω=g1∧g2

Пример 1.6.2. Чтобы исследовать немного более сложный случай, давайте теперь выберем n = 4. Используя существенные антисимметричные компоненты, мы можем выразить 2-форму следующим образом

ω=ω12f1∧f2+ω13f1∧f3+ω14f1 ∧f4+ω23f2∧f3+ω24f2∧f4+ω34f3∧f4.

Ранг формы ω теперь может быть либо 4, либо 2. Если ранг равен 4, то ω , очевидно, неприводимо. Рассмотрим уравнения

Ω12H3 + ω13H4 + ω14H5 = 0-Ω12H2 + ω23H4 + ω24H5 = 0-Ω13H2-ω23H3 + Ω34H5 = 0-ω14H2-ω24H3-ω34H4 = 0

δ = ( Ω 12 Ω 34 Ω – Ω – Ω 13 Ω 24 + Ω 14 Ω 29 ) 2 – определитель коэффициента этих линейных уравнений. Если ∆≠ 0, то ранг формы равен %.Если только ∆ = 0, то ранг снижается до 2. При ∆ = 0 решение приведенных выше однородных уравнений дается формулой 12 ≠ 0. Следовательно, преобразования

g1=ω12f1−1ω12ω23f3+ω24f4,g2=f2+1ω12ω13f3+ω14f4

приводят к выражению

ω=g1∧g2.

Можно ввести каноническую структуру для 2-форм, налагаемых их рангами.

Теорема 1.6.2. Пусть ω — 2 -форма ранга 2 m. Существуют линейно независимые 1 -форм G 1 , г , г 2 , . .., г 2 м 2 м Таким образом, что Ω выразим в следующей канонической форме

(1.6. 10)ω=g1∧gm+1+g2∧gm+2+⋯+gm∧g2m=∑i−1mg1∧gm+i

Мы можем легко доказать эту теорему, прибегая к математической индукции. Используя основные компоненты, мы можем записать форму ω следующим образом:

где Φ¯1 — квадратичная форма, зависящая только от базисных форм f 3 , f 4 ,…, f n .Перепишем его следующим образом:

(1.6.11)ω=f1∧ω12f2+ω13f3+⋯+ω1nfn+f2∧ω23f3+ω24f4+⋯+ω2nfn+Φ¯1.

Если мы предполагаем, что Ω 12 12 ≠ 0, мы можем определить 1-формы г 1 и г м + 1 на

(1.6.12) G1 = F1- 1ω12ω23f3+ω24f4+⋯+ω2nfngm+1=ω12f2+ω13f3+⋯+ω1nfn.

Подставляя формы (1.6.12) в выражение (1.6.11), после некоторых преобразований заключаем, что -ω1nfn∧ω23f3 + ω24f4 ⋯ + ω2nfn + Ф1 = g1∧gm + 1-1ω12gm + 1∧ω23f3 + ⋯ + ω2nfn + 1ω12gm + 1∧ω23f3 + ⋯ + ω2nfn-1ω12ω13f3 + ⋯ + ω1nfn∧ω23f3 + ⋯ + ω2nfn + & phiv; 1

или

ω=g1∧gm+1+Φ1.

Новый квадратический Formf 1 , очевидно, включает только N – 2 Количество 1-форм F 3 , F 4 , …, F N . Таким образом, его ранг будет не более 2 m − 2. Если это число не равно нулю, а именно, если Ф 1 ≠ 0, то повторяем эту операцию на этот раз для формы Ф 1 . Повторив эту операцию k раз, придем к выводу

ω=∑i−1kgi∧gm+i+Φk.

Ранг квадратичной формы Ф k в зависимости от n − 2 k числа 1-форм теперь будет не более 2 m − 2 k . Поэтому при повторении этой операции достаточное число раз форма Ф k в конце концов обратится в нуль, и мы придем к соотношению (1.6.10). □

Пример 1.6.3. Рассмотрим 2-форму на 4-мерном векторном пространстве, заданную своими существенными компонентами:

Число m теперь может быть не более 2. Определим, как выше,

g1=f1−1ω12ω23f3+ω24f4,g3=ω12f2+ω13f3+ω14f4.

Когда ω 12 ≠ 0, мы легко находим, что

ω=g1∧g3+ω12ω34−ω13ω24+ω14ω23ω12f3∧f4.

Запишем теперь

g2=ω12ω34−ω13ω24+ω14ω23ω12f3,g4=f4

, получим

ω=g1∧g3+g2∧g4.

с другой стороны, если соотношение Ω 12 12 Ω Ω 13 Ω 24 + Ω 14 Ω 23 = 0 выполняется, то ранг формы ω уменьшается до 2 и каноническая форма принимает вид

ω=g1∧g3.

Ввиду теоремы 1.6.2 теперь понятно, что любая 2-форма на векторном пространстве U ( n ) , ранг которой является четным числом, всегда выражается в следующей канонической форме

ω=∑α−1mga∧gm+α.

R = 2 м – это звание формы и г 1 , г 2 , . .., г 2 м – линейно независимые 1 формы. Теперь определим 2-формы

(1.6.13)ωα=gα∧gm+α∈Λ2U,α=1,2,…,m.

В силу свойств внешнего произведения сразу замечаем, что выполняются соотношения

(1.6.14)ωα¯∧ωα¯=0,ωα∧ωβ=ωβ∧ωα

. Теперь мы можем записать

ω=∑α−1mωα.

Далее рассмотрим форму ωk=ω∧ω∧⋯∧ω⏟k∈Λ2kU. Благодаря правилу коммутации (1.6.14) 2 легко понять, что известное полиномиальное разложение

(1.6.15)ωk=∑α−1mωαk=∑k1+k2+⋯+km−kk!k1!k2!⋯ km!ω1k1∧ω2ω2∧⋯∧ωmkm

будет правильным, как и в классической алгебре.Но если k α > 1, то в силу (1.6.14) 1 имеем ωαkα=0,α=1,2,…,m . Следовательно, только условия, соответствующие к 1 1 2 2 2 = ⋯ = к м = 1 и включают только экспоненты K α Встреча ограничения K 1 + k 2  + ⋯ +  k m  =  k выживет. Когда мы возьмем k = m , это разложение, конечно, даст

ωm=m!ω1∧ω2∧⋯∧ωm=m!g1∧gm+1∧g2∧gm+2∧⋯∧gm∧g2m .

Следовательно, ω m — простая форма. Этот результат следует ожидать, поскольку ранг формы ω m равен ее степени. Из соотношения (1.6.15) ясно следует, что ω m = 0, если k > m . Эта схема предлагает достаточно простой способ определения ранга квадратичной формы: если ω m ≠ 0, но ω m + 1 = 0, то ранг квадратичной формы ω r = 2 м .Если k < m , то из (1.6.15) следует, что

ωk=k!∑k-кратное внешнее произведение форм ω1,ω2,⋯,ωm

откуда с небольшой осторожностью выводим, что 1 k ω представлен как

ωk=k!∑α1−1m−k+1∑α2−α1+1m−k+2⋯∑αk−αk−1+1mωα1∧ωα2∧⋯∧ωαk=k!∑α1−1m −k+1∑α2−α1+1m−k+2⋯∑αk−αk−1+1mgα1∧gm+α1∧gα2∧gm+α2∧⋯∧gαk∧gm+αk.

В качестве приложения того, что мы получили, попробуем ответить на вопрос: при каких условиях квадратичная форма

ω=12ωijfi∧fj

выражается 2 , т.е.е., как внешнее произведение двух 1-форм? Для реализации этой ситуации ранг формы должен быть равен 2, а именно m = 1 и, следовательно, ω 2 = ω ω = 0. Тогда это соотношение дает Поднимитесь до

ω2 = 14ωijωklfi∧fj∧fk∧fl = 14ω [ijωkl] fi∧fj∧fk∧fl = 0

или Ω [ IJ Ω KL ] = 0. Используя использование соотношения (1.4.8) следует отметить, что можно записать

ω[ijωkl]=14!δijklpqrsωpqωrs.

Кроме того, это следует из определения обобщенного Кронекера, что мы приходим к разложению

δijklpqrs = δipδjpδkpδlpδiqδjqδkqδlqδirδjrδkrδlrδisδjsδksδls = δipδkqδjrδis-δkpδlqδjrδis-δlpδjqδkrδis + δjpδlqδkrδis + δkpδjqδlrδis-δjpδkqδlrδis-δlpδkqδirδjs + δkpδlqδirδjs + δlpδiqδkrδjs + δipδlqδkrδjs-δkpδiqδlrδjs-δipδkqδlrδjs + δlpδjqδirδks−δjpδlqδirδks+δlpδiqδjrδks−δipδlqδjrδks−δjpδiqδlrδks+δipδjqδlrδks−δkpδjqδirδls+δjpδkqδirδls−δkpδiqδjrδls−δipδkqδjrδls−δjpδiqδkrδls+δipδjqδlrδks−δkpδjqδirδls+δjpδkqδirδls−δkpδiqδjrδls−δipδkqδjrδls−δjpδiqδkrδls+

Таким образом, мы получаем

Q [ijωkl] = 124 (ωlkωji-ωklωji-ωljωki + ωjlωki + ωkjωli-ωjkωli-ωlkωij + ωklωij + ωliωkj-ωilωkj-ωkiωlj + ωikωlj + ωljωik-ωjlωik-ωliωjk + ωilωjk + ωjiωlk-ωijωlk −ωkjωil+ωjkωil+ωkiωjl−ωikωjl−ωjiωkl+ωijωkl)=13ωijωkl−ωikωjl+ωilωjk.

Следовательно, искомые условия оказываются

ωijωkl−ωikωjl+ωilωjk=0.

Невырожденная квадратичная форма Ω ∈ Λ 2 ( U ( U ) с максимальным рангом на линейном векторе U ( N ) называется Symplectic Form .Максимальность ранга означает, что r = n , если размерность n векторного пространства является четным числом, и r = n − 1, если это нечетное число. Невырожденность означает, что соотношение ω ( u ) = 0 для вектора u U , или в явном виде система уравнений

(1.6.16)ωijuj=0

имеет только тривиальное решение u = 0. Если n — четное число, то максимальный ранг будет означать существование невырожденности.Однако если n — нечетное число, то максимальный ранг должен быть меньше n , так что уравнениям (1.6.16) будет удовлетворять вектор u ≠ 0. Следовательно, форма ω будет быть дегенератом. Таким образом, мы заключаем, что симплектическая форма может быть определена только на векторных пространствах четной размерности.

Внешние формы обладают рядом других алгебраических свойств. Однако мы предпочитаем отложить рассмотрение их на дифференцируемых многообразиях позже в главе V в гораздо более общем контексте.

ДМРЭ

Что такое DMRE?

Data Matrix Code с дополнительными прямоугольными форматами.

В приведенном ниже примере кода показана расширенная прямоугольная матрица данных с размером модуля 8×64, хорошо вписывающимся в доступное пространство объекта:

Сообщение о DMRE от Денниса Придди, одного из первых разработчиков Datamatrix

“Мне это нравится! Ваша реализация Расширения не может быть более совершенной по своей простоте, исполнению и эффективности.И да, я немного горжусь тем, что Data Matrix все еще может помочь в решении реальных проблем — даже в руках очень умных людей.
Спасибо!
С уважением и наилучшими пожеланиями,
Деннис Придди”

Сообщение Анри Бартеля, председателя ISO/IEC JTC 1/SC31

«Мы только что опубликовали новый прямоугольный штрих-код DataMatrix (ISO/IEC 21471), который можно выгравировать на очень маленьких медицинских инструментах и ​​оборудовании для больничных операционных и использовать для их отслеживания.Мы также работаем над аналогичным подходом для прямоугольного QR-кода (ISO/IEC 23941)».

Источник: IEC e-tech

Текущие прямоугольные форматы Data Matrix (не DMRE)

 Матрица данных в соответствии с ISO16022 ECC200 уже имеет следующие прямоугольные форматы:

Примеры использования расширенных прямоугольных форматов Data Matrix

Следующие варианты использования требуют дополнительных прямоугольных размеров, если необходимо закодировать больший объем данных:

Маркировочная поверхность высокой прямоугольной формы

Обычно используется высота 8 модулей, и ее следует увеличить до большей ширины, если закодировано более 13 буквенно-цифровых символов. Верхний пример кодирует стандартный идентификатор продукта в соответствии с рекомендациями EDIFICE для электронных продуктов.

Криволинейная поверхность

 

Изогнутые поверхности, такие как трубы, должны иметь код минимальной высоты (обычно 8 модулей) и увеличенной ширины. В примере показан код PPN на препарате.

Высота кода ограничена технологией печати

Технология непрерывной струйной печати имеет ограничения по высоте печати, в то время как ширина печати может быть увеличена.

Следовательно, максимальная высота модуля 26 модулей не должна увеличиваться.Тем не менее, требования к объему данных для фармацевтических продуктов превышают объем символа 26×26, и поэтому прямоугольные символы помогают решить эту проблему.

В частности, различные проекты сериализации с процессами встроенной печати, в основном с использованием струйных технологий, показали явную потребность в этих новых прямоугольных форматах.

Стандарт ISO/IEC опубликован 03 февраля 2020 г. , его можно приобрести здесь:

https://www.iso.org/standard/70947.html

DMRE был разработан в рамках рабочей группы ISO/IEC 1 / SC 31 / WG 1 как проект 70947

.

https://sd.iso.org/projects/project/70947/обзор#

Я хочу поблагодарить очень активных членов этой группы, которые сделали это возможным.

Следующая презентация, представленная на ISO/IEC JTC1 SC31 WG1 13 апреля 2021 г., содержит некоторые типографские проблемы, которые будут исправлены в редакции 2 стандарта:

WG1_21471_DMRE_2021_Tokyo.pdf

Предыдущие версии DMRE, опубликованные AIM и входящие в DIN16587, имели другой набор выбранных форматов. Столбец «Стандарты» ниже включает документ, описывающий формат.

Форматы 24×32, 24×32 и 26×32 присутствовали в DIN16587 и не приняты ISO/IEC21471 из-за недостаточного отношения ширины к высоте.
Добавлены новые форматы с высотой 8 и 12, так как рассматриваются варианты использования для маркировки круглых объектов, особенно в рамках UDI.
Добавлены новые форматы высотой 20 и 22 для поддержки контактной струйной печати с дополнительной текстовой строкой под кодом.

Генерация кода DMRE

Веб-генератор

Этот веб-интерфейс можно использовать для генерации кодов DMRE, выбрав:

Базовый проект bwipp включает генерацию кода DMRE для многих приложений, включая интеграцию с SAP и т. д.

Автономный генератор

Программа Windows/Linux “zint” может использоваться для создания кодов DMRE:

Проект с открытым исходным кодом ZINT Bar Code Generator на SourceForge (внешняя ссылка)

Готовый двоичный файл Windows можно найти здесь:

https://sourceforge.net/projects/zint/files/zint/2.6.5/zint_2.6.5_win32.zip/download

На следующем рисунке показан пример кода, который можно получить, выбрав символику “DataMatrix” и размер DMRE (все доступные помимо стандартных размеров).

Продукты для создания штрих-кодов от dLSoft

Продукты для генерации штрихкодов dLsoft имеют DMRE:

https://www. dlsoft.com/barcode_types/DMRE.htm

 

NiceLabel 2017.3 поддерживает DMRE

Отличное полнофункциональное программное обеспечение для этикетирования NiceLabel поддерживает DMRE в версии 2017.3, выпущенной в октябре 2017 г.:

 


Бесплатный дизайнер этикеток “gLabels” поддерживает DMRE через zint: www.glabels.орг


Сканирование кода DMRE

Существуют следующие текущие возможности сканирования кодов DMRE:

Ручной сканер от Code Corporation

Ручной сканер от Code Corporation декодирует коды DMRE, начиная с прошивки 1096.

Пример сканера

 

Код управления: включить DMRE

Верификатор REA

REA 2D Matrix Code Verifier поддерживает DMRE.

Приложение Scandit

 Приложения Scandit для iOS и Android поддерживают DMRE. Вы можете активировать режим «Tiny-Code» в правом нижнем углу приложения.

Приложение CortexScan

Приложение

Code Corporation CortexScan для iOS и Android поддерживает DMRE, начиная с версии 1.5.

КортексДекодер

Code Corporation CortexDecoder поддерживает DMRE и может быть встроен в приложения в широком наборе систем.

Тахион IQ

Эмуляция клавиатуры Cortex Decoder и SDK поддерживают DMRE на различных платформах, включая iOS, Android, Linux, Xamarin и Windows.

Сканер штрих-кода с открытым исходным кодом zxing (Android, iPhone и другие)

Расширение DMRE (версия AIM) включено в zxing этой фиксацией. Этот запрос на включение внес изменения в версию ISO/IEC.

Сканер Datalogic

Все сканеры серии Matrix-N (210N, 300N, 410N) поддерживают DMRE, начиная с версии программного обеспечения 1.3.0.811.

DMRE фактически также доступен для QuickScan QD2430 через специальную прошивку SS5916 rel.1.00 (p/n 610119500). В случае заинтересованности обратитесь в службу технической поддержки Datalogic.

Сканер зебры

Компания Zebra успешно протестировала форматы DMRE ISO с помощью одного из своих сканеров.


Сканер Honeywell

Компания Honeywell внедрила форматы DMRE ISO в стандартный декодер, где следующие сканеры поддерживают DMRE (январь 2021 г.):

  • Voyager XP 1470g с уровнем прошивки EZ000227BAA или выше
  • Voyager XP 1472g с уровнем прошивки FK000179BAA / CU000069BAA или выше
  • Xenon XP 1950g с уровнем прошивки EV000359BAA или выше
  • Xenon XP 1952g с уровнем прошивки BK000547BAA/FF000152BAA или выше

Дополнительная информация о продукте на сайте https://sps.honeywell.com/
Прошивка доступна на https://hsmftp.honeywell.com/

Поддержка

DMRE для других 2D-камер будет доступна в следующем стандартном/обслуживающем выпуске.


Сканер Cognex

Все стационарные сканеры DataMan серий 370 и 470 оснащены DMRE с микропрограммой версии 6. 1.7 или выше.

Все ручные сканеры серии DataMan 8700 поддерживают DMRE с прошивкой 6.2.0 или выше.

DMRE также доступен для стационарных считывателей DataMan серий 50, 60, 170, 150 и 260 в виде специальной версии прошивки (5.7.0 cr23).

Дополнительную информацию о продукте можно найти на сайте http://www.cognex.com/

.

Верификатор Axicon

Верификаторы серии Axicon 15000 поддерживают DMRE с программным обеспечением версии 2.0.

Больше информации о продукте на https://www.axicon.com/


Визиотикс

SDK профессионального сканера штрих-кода Viziotix для Windows и Linux можно встраивать в приложения и решения для сканирования и декодирования кодов DMRE. Больше информации о продукте на https://www.viziotix.com/

Контактный телефон

В случае возникновения вопросов обращайтесь к Харальду Оэльманну по адресу электронной почты Diese ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige должен использовать JavaScript!

техническая поддержка https://elmicron. de

2.3 Типы матриц | Компаньон по матричной алгебре для статистического обучения (matrix4sl)

Типы матриц

Существуют различные виды матриц, которые обычно используются в методах статистического обучения. Кратко остановимся на некоторых из них.

Общая прямоугольная матрица

Самый общий тип матрицы — прямоугольная матрица. Это означает, что имеется произвольное количество \(n\) строк и \(p\) столбцов.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9 \\ 10 и 11 и 12 \\ \конец{массив}\справа] \]

Если в матрице больше строк, чем столбцов \(n > p\), иногда мы называем это вертикальной или высокой матрицей:

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9 \\ 10 и 11 и 12 \\ 13 и 14 и 15\ \конец{массив}\справа] \]

Напротив, если в матрице больше столбцов, чем строк, \(p > n\), иногда мы называем это горизонтальной, плоской или широкой матрицей:

\[ \left[\begin{массив}{cccc} 1 и 2 и 3 и 4 и 5 \\ 6 и 7 и 8 и 9 и 10 \\ 11 и 12 и 13 и 14 и 15 \\ \конец{массив}\справа] \]

Квадратная матрица

Квадратная матрица — это матрица с одинаковым количеством строк и столбцов, \(n = p\). \mathsf{T}}\).

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 4 и 5 и 6 \\ 7 и 8 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \]

Симметричная матрица

Симметричная матрица является частным случаем квадратной матрицы: соответствующие элементы соответствующих строк и столбцов равны. Другими словами, в симметричной матрице элемент \(x_{ij}\) равен \(x_{ji}\).

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 2 и 4 и 5 \\ 3 и 5 и 6 \\ \конец{массив}\справа] \]

Диагональная матрица

Диагональная матрица — это частный случай симметричной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны 0.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 2 и 0 \\ 0 и 0 и 3 \\ \конец{массив}\справа] \]

Другими словами, в симметричной матрице \(x_{ij} = 0\) для \(i \neq j\). Единственные элементы, которые не обязательно могут быть равны нулю, находятся на диагонали.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} х_{11} & 0 & 0 \\ 0 и х_{22} и 0 \\ 0 и 0 и х_{33} \\ \конец{массив}\справа] \]

Скалярная матрица

Скалярная матрица — это особый тип диагональной матрицы, в которой все диагональные элементы являются равными скалярами.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 5 и 0 и 0 \\ 0 и 5 и 0 \\ 0 и 0 и 5 \\ \конец{массив}\справа] \]

Идентификационная матрица

Единичная матрица — это частный случай скалярной матрицы, в которой все диагональные элементы равны единице. Эта матрица обычно обозначается буквой \(\mathbf{I}\). Чтобы указать размеры этой матрицы, мы обычно пишем ее с нижним индексом для количества строк (или столбцов). Например, \(\mathbf{I}_{n}\) представляет единичную матрицу размерности \(n \times n\).

\[ \mathbf{I}_{3} = \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив}\справа] \]

В матричной алгебре единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 в обычной или скалярной алгебре.

Треугольная матрица

Квадратная матрица, имеющая только 0 над или под диагональю, называется треугольной матрицей . Существует два вида матрицы этого типа: верхняя треугольная и нижняя треугольная.

Верхняя треугольная матрица имеет нули ниже диагонали.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ 0 и 5 и 6 \\ 0 и 0 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \quad \textsf{или} \quad \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 2 и 3 \\ & 5 & 6 \\ & & 9 \\ \конец{массив}\справа] \]

И наоборот, нижняя треугольная матрица имеет нули выше диагонали.

\[ \left[\begin{массив}{ccc} 1 и 0 и 0 \\ 4 и 5 и 0 \\ 7 и 8 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \quad \textsf{или} \quad \left[\begin{массив}{ccc} 1 & & \\ 4 и 5 и \\ 7 и 8 и 9 \\ \конец{массив}\справа] \]

Формы матриц

Чтобы обобщить различные типы матриц, описанные до сих пор, вот схема, изображающая их формы.Общий тип матрицы — это прямоугольная матрица, которую можно разделить на три типа: вертикальная или высокая (\(n > p\)), квадратная (\(n = p\)) и горизонтальная или широкая (\(n < п\)). Среди квадратных матриц понятие симметрии играет особую роль, а среди симметричных матриц можно сказать, что диагональные имеют наиболее базовую структуру.

Рисунок 2.2: Различные формы матриц


Сделать пожертвование

Если вы найдете этот ресурс полезным, подумайте о том, чтобы сделать разовое пожертвование в любой сумме. Ваша поддержка действительно имеет значение.

Найдите площадь наибольшего прямоугольника из единиц в двоичной матрице — Techie Delight

Дана прямоугольная бинарная матрица. Вычислите площадь наибольшего прямоугольника из единиц в ней. Предположим, что прямоугольник можно сформировать, переставив любое количество столбцов местами друг с другом.

Например,

Ввод:
 
[0, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 1, 1] , 1]
 
Вывод: Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна 9
 
Объяснение: Самый большой прямоугольник из единиц можно получить, поменяв местами столбец 3 и столбец 5.
 
[0, 1, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 1, 1]

 
Ввод:
 
[0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1]
[1, 1, 1, 1]
 
2 2 2 2 Выходные данные: Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна 6
 
Объяснение: Самый большой прямоугольник из единиц можно получить, поменяв местами столбец 2 на столбец 4 или столбец 3 на столбец 4.
 
[0, 0, 1 , 1]
[1, 1, 0, 0]
[1, 1, 0, 1]
[1, 1, 1, 1]
 
ИЛИ
 
[0, 1, 0, 1]
[1] , 0, 1, 0]
[1, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 1]

Попробуйте решить эту задачу

1.Идея состоит в том, чтобы создать вспомогательную матрицу aux того же размера, что и входная матрица, и заполнить ее числом последовательных единиц из , присутствующих в каждом столбце входной матрицы. Например, рассмотрим следующую входную матрицу:

[0, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 1, 1, 1]

Вот как будет выглядеть вспомогательная матрица после этого шага.

[0, 4, 0, 1, 4]
[3, 3, 0, 0, 3]
[2, 2, 0, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1]

 
2.Далее создайте счетную матрицу count , инициализированную 0's , и обновите ее, используя элементы вспомогательной матрицы aux в качестве индекса, т. е. для каждой ячейки (i, j) матрицы count выполните count [i][aux[i][j]] += 1 . Вот как будет выглядеть матрица счета после этого шага:

[0, 1, 0, 0, 2]
[0, 0, 0, 3, 0]
[0, 0, 4, 0, 0]
[0, 5, 0, 0, 0]

 
3. Поскольку вспомогательная матрица содержит «количество» последовательных единиц из в каждом столбце, а матрица счетчиков хранит информацию об общем количестве раз, которое «счетчик» появлялся в каждой строке, максимальная площадь каждой ячейки (i , j) можно вычислить, взяв произведение каждого элемента aux[i][j] во вспомогательной матрице на соответствующее ему значение count[i][aux[i][j]] в матрице количества .Вот как будет выглядеть матрица после этого шага.

[0, 8, 0, 1, 8]
[9, 9, 0, 0, 9]
[8, 8, 0, 8, 8]
[5, 5, 5, 5, 5]

Самая большая площадь прямоугольника 1 равна 9 , что является наибольшим значением в приведенной выше матрице.

 
Ниже приведена реализация вышеуказанного алгоритма на языках C, Java и Python. Решение оптимизировано для экономии места. Например, вместо построения вспомогательного массива входная матрица обновляется количеством последовательных 1 из .Вместо использования матрицы счетчиков для каждой строки используется массив счетчиков.

С


1

2

2

3

4

5

6

7

8

70002

8

9

10

11

12

13

12

14

13

14

15

16

17

18

19

20

20

21

22

23

240002 23

25

240002 26

25

27

26

27

28

29

28

30

31

30

32

31

32

33

34

34

36

37

38

39

39

41

42

43

42

43

45

44

45

44

45

46

47

48

49

49

50

51

51

53

54

55

55

56

57

57

58

59

60

61

62

63

9 0002 64

65

66

67

68

68

69

70

70002 70

70002 7000

72

73

74

75

76

7000

70002 77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

3

#include h>

#include

 

// Матрица M × N

#define M 4

#define N 5

 

// Вспомогательная функция для замены всех ненулевых значений в матрице на 1

void resetMatrix(int ​​mat[][N])

{

    for (int i = 0; i < M; i++)

    {

        for (int j = 0; j < N; j++)

        {

            if (mat[i][j] != 0) {

                       mat[i][j] = 1;

}

}

}

}

}

}

// Утилита Функция для поиска максимума двух номеров

INT MAX (INT X, INT Y) {

RETURNT (X> Y)? х : у;

}

 

// Функция для вычисления площади наибольшего прямоугольника из единиц, где разрешена замена

// столбцов

int findMaxRectArea(int mat[][N])

/ {

 

3

3 обновить матрицу, чтобы сохранить количество последовательных единиц, присутствующих в каждом столбце

    for (int j = 0; j < N; j++)

    {

        // обрабатывать каждый столбец снизу вверх

        for (int i = M – 2; i >= 0; i–)

        {

            if (mat[i][j] == 1) {

                       mat[i][j] = mat[i+1][j] ] + 1;

            }

        }

    }

 

    // отслеживание наибольшего найденного прямоугольника с единицами =

90 000 maxA;

 

    // обходим каждую строку модифицированной матрицы, чтобы найти максимальную площадь

        int count[M + 1] = { 0 };

// Процесс рядки `I`

для (int j = 0; j

{

IF (MAT [I] [J]> 0)

{

// увеличить значение в массиве count, используя текущий элемент

                // в качестве индекса

                         count[mat[i][j]] += 1;

 

                // площадь можно вычислить, умножив текущую

                 // элемент `mat[i][j]` с соответствующим значением

]]`

 

                maxArea = max(maxArea, mat[i][j] * count[mat[i][j]]);

            }

        }

    }

 

    // сбросить матрицу перед возвратом

    resetMatrix(mat);

 

    return maxArea;

}

int Main (void)

{

int mat [m] [n] =

{

{0, 1, 0, 1, 1},

{1, 1, 0, 0, 1 },

        { 1, 1, 0, 1, 1 },

        { 1, 1, 1, 1, 1 }

    };

 

    printf(“Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна %d”, findMaxRectArea(mat));

 

    возврат 0;

}

Загрузите код выполнения

Вывод:

Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна 9

Ява


1

2

2

3

4

5

6

7

8

70002

8

9

10

11

12

13

12

14

13

14

15

16

17

18

19

20

20

21

22

23

240002 23

25

240002 26

25

27

26

27

28

29

28

30

31

30

32

31

32

33

34

34

36

37

38

39

39

41

42

43

42

43

45

44

45

44

45

46

47

48

49

49

50

51

51

53

54

55

55

56

57

57

58

59

60

61

62

63

9 0002 64

65

66

67

68

68

69

70

70002 70

70002 7000

72

73

74

75

76

7000

70002 77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

3

class Main

{

    // Вспомогательная функция для замены всех ненулевых значений в матрице на 1 ; я < мат. длина; I ++)

{

{

для (int j = 0; j

{

, если (mat [i] [j]! = 0) {

Матем [I] [j] = 1;

}

}

}

}

}

}

// Функция для расчета площади наибольшего прямоугольника 1-х годов, где

// Подключение столбцов разрешено

Публичные статические int findmaxRectarea (int [] ] mat)

    {

        // базовый случай

        if (mat == null || mat.length == 0) {

            возврат 0;

        }

 

        // `M × N` матрица

        int M = mat.length;

        int N = mat[0].length;

// Обновите матрицу для хранения количества нынешних подходящих 1-го нынешнего

// в каждом столбце

для (int j = 0; j

{

// обрабатывать каждый столбец от Нижняя часть до

для (int i = m – 2; i> = 0; i–)

{

, если (mat [I] [j] == 1) {

Mat [I] [J] ] = мат[i+1][j] + 1;

}

}

}

}

// Следите за наибольшим прямоугольником 1 найденного настолько намного

INT Maxarea = 0;

 

        // обходим каждую строку в модифицированной матрице, чтобы найти максимальную площадь

            int[] count = new int[M + 1];

// Процесс рядки `I`

для (int j = 0; j

{

IF (MAT [I] [J]> 0)

{

// увеличить значение в массиве count, используя

                   // текущий элемент `mat[i][j]` в качестве индекса

// Область может быть рассчитана путем умножения тока

// Элемент `MAT [I] [J]` с соответствующим значением

// в массиве количества `COUNT [MAT [I] [J] ]]`

 

                           maxArea = Integer. max(maxArea, mat[i][j] * count[mat[i][j]]);

               }

            }

        }

 

        // сбросить матрицу перед возвратом

2  9

 

        return maxArea;

}

Общественная статическая пустота Main (строка [] args)

{

int [] [] mat = {

{0, 1, 0, 1, 1},

{1, 1 , 0, 0, 1 },

                { 1, 1, 0, 1, 1 },

                        { 1, 1, 1, 1, 1 }

 }     ;

 

        Система.out.println(“Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна ”

                + findMaxRectArea(mat));

    }

}

Загрузите код выполнения

Вывод:

Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна 9

Питон


1

2

2

3

4

5

6

7

8

70002

8

9

10

11

12

13

12

14

13

14

15

16

17

18

19

20

20

21

22

23

240002 23

25

240002 26

25

27

26

27

28

29

28

30

31

30

32

31

32

33

34

34

36

37

38

39

39

41

42

43

42

43

45

44

45

44

45

46

47

48

49

49

50

51

51

53

54

55

55

56

57

57

58

59

60

61

62

63

9 0002 64

65

66

67

68

# Вспомогательная функция для замены всех ненулевых значений в матрице на 1 ]))

            if mat[i][j] != 0:

                mat[i][j] = 1

 

 

# столбцы разрешены

def findmaxrectarea (мат):

# базовый чехол

если не коврик или не Лен (мат):

возврат 0

# `M × n` Matrix

M = len(mat)

    N = len(mat[0])

 

    # обновить матрицу, чтобы сохранить количество последовательных единиц, присутствующих в каждом столбце

    for j in range(N):

      каждый столбец снизу вверх

        для i в обратном порядке (диапазон (0, M – 1)):

            if mat[i][j] == 1:

                mat[i][j] = mat[i + 1][j] + 1

 

    # отслеживать самый большой прямоугольник из найденных единиц

Maxarea = 0

# Проверьте каждую строку в модифицированной матрице для поиска максимальной площади

для I в диапазоне (M):

# Создайте массив подсчета для каждой строки `i`

счет = [0] * (M + 1)

# Процесс ряд `i`

для j в диапазоне (n):

Если mat [i] [j]> 0:

# Значение увеличения в массиве количества с использованием текущего элемента

# как индекс

COUNT [MAT [I] [J]] + = 1

# область может быть рассчитана путем умножения тока

# элемент ` mat[i][j]` с соответствующим va lue in the

                # count array `count[mat[i][j]]`

 

                maxArea = max(maxArea, mat[i][j] * count[mat[i][j]])

# сброс матрицы перед возвратом

ResetMatrix (MAT)

возврата Maxarea

Если __name__ == ‘__main__’:

MAT = [

[0, 1, 0, 1, 1],

        [1, 1, 0, 0, 1],

        [1, 1, 0, 1, 1],

        [1, 1, 1, 1, 1]

9 0 0002]

 

    print(“Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна”, findMaxRectArea(mat))

 

Загрузите код выполнения

Вывод:

Площадь наибольшего прямоугольника из единиц равна 9

Временная сложность предлагаемого решения равна O(M × N), где M — общее количество строк, а N — общее количество столбцов во входной матрице.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.