Матрица теория и примеры: определение, свойства и примеры решения задач

Содержание

определение, свойства и примеры решения задач

Содержание:

Минор

Определение

Минором $M_{i j}$ к элементу $a_{i j}$ определителя $n$-го порядка называется определитель $(n-1)$-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием $i$-той строки и $j$-того столбца.

Пример

Задание. Найти минор $ M_{23} $ к элементу $ a_{23} $ определителя $ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {7} & {8} & {4}\end{array}\right| $ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда $ M_{23}=\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Ответ. $ M_{23}=\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Алгебраическое дополнение

Определение

Алгебраическим дополнением $ A_{i j} $ к элементу $ a_{i j} $ определителя $n$-го порядка называется число $ A_{i j}=(-1)^{i+j} \cdot M_{i j} $

Слишком сложно?

Минор и алгебраическое дополнение не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание.{5} \cdot \left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Ответ. $ A_{23}=-\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {7} & {8}\end{array}\right| $

Сумма произведений элементов “произвольной” строки на алгебраические дополнения к элементам $i$-ой строки определителя равна определителю, в котором вместо $i$-ой строки записана “произвольная” строка.

$$ b_{1} \cdot A_{11}+b_{2} \cdot A_{12}+b_{3} \cdot A_{13}=\left| \begin{array}{ccc}{b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right| $$

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

$$ a_{31} \cdot A_{11}+a_{32} \cdot A_{12}+a_{33} \cdot A_{13}=\left| \begin{array}{ccc}{a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=0 $$

Читать дальше: методы вычисления определителей.

Функциональное программирование на примере работы с матрицами из теории линейной алгебры

Вступление

В основе работы с матрицами (в данной статье мы будем рассматривать только двумерные матрицы) лежит мощная математическая теория из области линейной алгебры. Одно определение или действие следует из другого, одна функция вызывает другую. Поэтому для программной реализации функционала математических операций над матрицами функциональные языки подходят очень хорошо. В рамках данной статьи мы рассмотрим конкретные примеры на языке F# и дадим подробные комментарии, как это работает. Так как F# входит в семейство .NET, то полученный функционал можно без каким либо проблем использовать в других императивный языках, например C#.

Определение матрицы и реализация на F#

Матрицы являются базовой и важнейшей частью линейной алгебры. Матрицы часто используются в программировании, например в 3D-моделировании или гейм-девелопинге. Разумеется, велосипед уже давно изобретен и необходимые фреймворки для работы с матрицами уже готовы, и их можно и нужно использовать. Данная статья не ставит своей целью изобретение нового фреймворка, но показывает реализацию базовых математических операций для работы с матрицами в функциональном стиле с использованием языка программирования F#. По мере рассмотрения материала мы будем обращаться к математической теории матриц и смотреть, как ее можно реализовать в коде.


Для начала вспомним, что такое матрица? Теория говорит нам следующее


Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n

Матрицы, как правило, обозначаются прописными буквами латинского алфавита и записываются в виде

Или коротко

Для работы с матрицами в F# создадим запись, основанную на двумерной таблице, которую в дальнейшем будем расширять полезными методами для того, чтобы совершать необходимые математические операции над ней.

type Matrix = { values: int[,] }
    with
        // здесь будем добавлять методы
    end

Добавим вспомогательный метод для инициализации записи двумерным массивом

static member ofArray2D (values: int [,]) = 
    { values = values }

Входным аргументом функции будет двумерный массив, а на ее выходе — запись типа

Matrix

. Ниже приведем пример инициализации записи.

let a = array2D [[1;0;2]
                 [3;1;0]]
let A = Matrix.ofArray2D a

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е.
aij=bij
для всех i=1,2…,m и j=1,2…n

Для реализации этого правила будем использовать переопределенный оператор

==

и добавим пару полезных функций, которые также понадобятся нам в дальнейшем.

static member sizes matrix =
    let rows = matrix.values.[*,0].Length
    let cols = matrix.values.[0,*].Length
    (rows, cols)

static member isEquallySized matrix1 matrix2 =
    let dim1 = Matrix.sizes matrix1
    let dim2 = Matrix.sizes matrix2
    (dim1 = dim2)

static member (==) (matrix1, matrix2) =
    if not (Matrix.isEquallySized matrix1 matrix2) then false
    else
        not (matrix1.values
               |> Array2D.mapi (fun x y v -> if matrix2.values.[x, y] <> v then false else true)
               |> Seq.cast<bool>
               |> Seq.contains false)

Давайте подробнее рассмотрим код выше. Как можно заметить, здесь есть три функции. Первая функция

sizes

возвращает размерность матрицы в виде кортежа. Так как мы работаем только с прямоугольными матрицами, то для получения количества строк мы берем полный срез первой колонки и возвращаем ее длину.

let rows = matrix.values.[*,0].Length

Аналогичным способом работает определение количества колонок — получаем полный срез первой строки и возвращаем ее длину.

Следующая функция isEquallySized сравнивает размерность двух матриц и возвращает

true если они равны. Для этого она использует уже готовую функцию sizes и просто сравнивает результаты.

Оператор == для поэлементного сравнения двух матриц кажется сложнее, но сейчас вы увидите, что он также простой.

Перед тем, как сравнивать две матрицы, сравним их размерность. Если они не равны, то нет дальше смысла проводить проверку, так как уже понятно, что и матрицы будут не равны.

if not (Matrix.isEquallySized matrix1 matrix2) then false

Далее, на основе исходных матриц

matrix1

и

matrix2

мы формируем новую матрицу, заполненную

true

или

false

, в зависимости от того, совпадают ли соответствующие ячейки обеих матриц.

matrix1.values
|> Array2D.mapi (fun x y v -> if matrix2.values.[x, y] <> v then false else true

Функция

Array2D.mapi

перебирает все элементы

matrix1

и передает в обработчик три параметра


x

— индекс строки


y

— индекс колонки


v

— содержимое ячейки

Содержимое ячейки

v

мы сравниваем с соответствующей ячейкой

matrix2

и если они равны, то пишем

true

, иначе —

false

.

Если есть хоть одна ячейка с элементом false, то это означает, что матрицы не равны между собой.

Так как Array2D не содержит в себе методов для фильтрации или поиска, то реализуем это сами. Для этого разложим матрицу в линейный список

|> Seq.cast<bool>

И найдем хоть одно несовпадение

|> Seq.contains false

Функция

Seq.contains

вернет

true

если в разложенном списке будет найдено хоть одно значение

false

. Поэтому нам нужно инвертировать полученный результат, чтобы оператор

==

работал так, как мы хотим

else
    not (matrix1.values
           |> Array2D.mapi (fun x y v -> if matrix2.values.[x, y] <> v then false else true)
           |> Seq.cast<bool>
           |> Seq.contains false)

Матрица O называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
static member O rows cols =
    let array2d = Array2D.zeroCreate rows cols
    { values = array2d }

Пример использования этой функции

let AO = Matrix.O 5 5

Полагаю, что здесь нет ничего сложного, что требует пояснений, поэтому продолжаем.


Матрица, число строк которой равно числу столбцов и равно n, называется квадратной матрицей порядка n

Таким образом, квадратная матрица имеет вид.

В рамках этого правила мы создадим функцию, которая прямоугольную матрицу трансформирует в квадратную путем отсечения всех элементов, которые не попадают в квадрат.

static member toSquare matrix =

    // получаем размерность исходной матрицы
    let dim = Matrix.sizes matrix

    // получаем количество колонок
    let colCount: int = snd dim
    // получаем количество строк
    let rowCount: int = fst dim

    // находим размер минимальной стороны
    let length = System.Math.Min (colCount, rowCount)

    // создаем пустой квадратный массив с размерностью
    // равной наименешей стороне исходной матрицу
    let zero = Array2D.zeroCreate length length

    // копируем исходную матрицу в квадратную
    let square = zero |> Array2D.mapi (fun x y _ -> matrix.values.[x, y])

    // позвращаем полученную матрицу
    { values = square }

Комментариев в исходном коде поясняют принцип работы функции, поэтому продолжим.


Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид

Ниже приведен код функции, который преобразует исходную матрицу в треугольную. Но в нашей функции мы будем работать с прямоугольной матрицей, то есть она может быть не квадратной. Читатель легко может модифицировать код функции так, чтобы она возвращала квадратную треугольную матрицу, используя функцию, которую мы рассмотрели ранее.

static member T matrix = let values = matrix.values |> Array2D.mapi (fun x y v -> if y < x then 0 else v) { values = values }

Функция

Array2D.mapi

преобразовывает исходный двумерный массив в новый при помощи обработчика, который принимает три параметра

x — номер строки
y — номер колонки
v — содержимое ячейки

if y < x then 0 else v

Здесь мы делаем проверку, находится ли элемент ниже главной диагонали и если да, то заполняем ячейку 0. В противном случае — исходным значение из входной матрицы.

Ниже приведен пример использования этой функции.

let a = array2D [[1;2;3]
                 [4;5;6]
                 [7;8;9]
                 [10;11;12]]
let A = Matrix.ofArray2D a
let R = Matrix.triangular A
printfn "origin = \n %A" A.values
printfn "triangular = \n %A" R.values

Получаем следующий результат

origin = 
 [[1; 2; 3]
 [4; 5; 6]
 [7; 8; 9]
 [10; 11; 12]]
triangular = 
 [[1; 2; 3]
 [0; 5; 6]
 [0; 0; 9]
 [0; 0; 0]]

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю
static member D matrix =
    let diagonal = matrix.values |> Array2D.mapi (fun x y v -> if x <> y then 0 else v)
    { values = diagonal }

Эта функция очень похожа на предыдущую, отличается только условие проверки. Ниже пример использования

let a = array2D [[1;2;3]
                 [4;5;6]
                 [7;8;9]
                 [10;11;12]]
let A = Matrix.ofArray2D a
let R = Matrix.D A
printfn "origin = \n %A" A.values
printfn "diagonal = \n %A" R.values
origin = 
 [[1; 2; 3]
 [4; 5; 6]
 [7; 8; 9]
 [10; 11; 12]]
diagonal = 
 [[1; 0; 0]
 [0; 5; 0]
 [0; 0; 9]
 [0; 0; 0]]

Диагональная матрица является единичной и обозначается E, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице

Реализация такой матрицы на F# выглядит так

static member E rows cols =
    let array2d = Array2D.init rows cols (fun x y -> if x = y then 1 else 0)
    { values = array2d }

Операции над матрицами при помощи F#

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд действий, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые — специфические.


Суммой двух матриц Amn=(aij)и Bmn=(bij)одинаковых размеров называется матрица того же размера A+B=Cmn=(cij), элементы которой равны сумме элементов матриц A и B, расположенных на соответствующих местах

Пример, для заданных матриц

A

и

B

находим сумму

A+B

Рассмотрим код для сложения двух матриц

static member (+) (matrix1, matrix2) =
    if Matrix.isEquallySized matrix1 matrix2 then
        let array2d = matrix1.values |> Array2D.mapi (fun x y v -> matrix2.values.[x, y] + v)
        { values = array2d }
    else failwith "matrix1 is not equal to matrix2"

Перед тем, как складывать матрицы, нужно убедиться, что их размерность совпадает, в противном случае функция генерирует исключение. Ниже приведем пример использования данной функции

let a = array2D [[2;3]
                 [1;-5]
                 [0;6]]
let A = Matrix.ofArray2D a

let b = array2D [[-3;3]
                 [1;7]
                 [2;0]]
let B = Matrix.ofArray2D b

let R = A+B
printfn "A+B =\n %A" R.values
A+B =
 [[-1; 6]
 [2; 2]
 [2; 6]]

Произведением матрицы A=(aij) на число k называется матрица kA=(kaij) такого же размера, что и матрица A, полученная умножением всех элементов матрицы A на число k

Пример, для заданной матрицы

A

находим матрицу

3A

static member (*) (value, matrix) = 
    let array2d = matrix.values |> Array2D.mapi (fun _ _ v -> v * value)
    { values = array2d }

Матрицу

-A=(-1)*A

будем называть противоположной матрице

A

. Из этого определения плавно переходим к следующему


Разностью матриц A и B одинаковых размеров называется сумма матрицы A и матрицы, противоположной к B
static member (-) (matrix1: Matrix, matrix2: Matrix) = 
    if Matrix.isEquallySized matrix1 matrix2 then
        matrix1 + (-1)*matrix2
    else failwith "matrix1 is not equal to matrix2"

Две матрицы называются согласованными, если число столбцов первой равны числу строк второй

static member isMatched matrix1 matrix2 = 
    let row1Count = matrix1.values.[0,*].Length
    let col2Count = matrix2.values.[*,0].Length

    row1Count = col2Count

Проверка согласованности матриц требуется для их перемножения.


Произведением AB согласованных матриц Amn=(aij) и Bnp=(bjk) называется матрица Cmn=(cik), элемент cik которой вычисляется как сумма произведений элементов i-й строки матрицы A и соответствующих элементов k-го столбца матрицы B

Вычислить произведение матриц

Решение по определению произведения матриц

Рассмотрим код для умножения двух матриц

static member (*) (matrix1, (matrix2: Matrix)) =
    if Matrix.isMatched matrix1 matrix2 then
        let row1Count = matrix1.values.[*,0].Length
        let col2Count = matrix2.values.[0,*].Length

        let values = Array2D.zeroCreate row1Count col2Count

        for r in 0..row1Count-1 do
            for c in 0..col2Count-1 do
                let row = Array.toList matrix1.values.[r,*]
                let col = Array.toList matrix2.values.[*,c]

                let cell = List.fold2 (fun acc val1 val2 -> acc + (val1 * val2)) 0 row col
                values.[r,c] <- cell

        { values = values }

    else failwith "matrix1 is not matched to matrix2"

Давайте разберемся с кодом подробнее.

Перед умножением нужно убедиться, что матрицы являются согласованными

if Matrix.isMatched matrix1 matrix2 then

Итоговая матрица будет иметь размерность, в которой количество строк такое же, как у первой матрицы и количество столбцов такое же, как у второй матрицы

let row1Count = matrix1.values.[*,0].Length
let col2Count = matrix2.values.[0,*].Length

// формируем пустой двумерный массив для сохранения результатов умножения
let values = Array2D.zeroCreate row1Count col2Count

После этого мы последовательно перебираем все строки и все столбцы исходных матриц

for r in 0..row1Count-1 do
    for c in 0..col2Count-1 do
        let row = Array.toList matrix1.values.[r,*]
        let col = Array.toList matrix2.values.[*,c]

Вычисляем итоговое значение каждой ячейки

let cell = List.fold2 (fun acc val1 val2 -> acc + (val1 * val2)) 0 row col

Функция

List.fold2

на вход получает два списка (строку и колонку) и передает в обработчик следующие параметры

acc — аккумулятор, содержащий результат предыдущего вычисления
val1 — содержимое ячейки из первого массива. В нашем случае это строка из первой матрицы
val2 — содержимое ячейки из второго массива, то есть колонки второй матрицы

Так как матрицы являются согласованными, то мы уверены, что у нас не произойдет выхода за пределы массивов.

Обработчик добавляет к аккумулятору произведение ячеек из строк и столбца и полученное значение будет передано следующей итерации. Таким образом конечным итогом работы функции List.fold2 будет итоговое значение произведений двух матриц. Остается только заполнить им предварительно созданную пустую матрицу

values.[r,c] <- cell

Которая вернется как результат

{ values = values }

Ниже приведем пример использования данной функции

let a = array2D [[1;0;2]
                 [3;1;0]]
let A = Matrix.ofArray2D a

let b = array2D [[-1;0]
                 [5;1]
                 [-2;0]]
let B = Matrix.ofArray2D b

let R = A*B

printfn "A*B =\n %A" R.values
A1*B1 =
 [[-5; 0]
 [2; 1]]

Если k ∈ N, то k-й степенью квадратной матрицы Aназывается произведение k матриц A

Рассмотрим код на F# для произведения матрицы в степень. Здесь будет использоваться хвостовая рекурсия для того, чтобы не переполнить стек при больших значениях степеней.) (matrix, value) = // внутренняя функция, которая реализует хвостовую рекурсию // m – матрица // p = значение степени let inRecPow m p = // рекурсивная функция // acc – накопленный аккумулятор. имеет тип Matrix // p – значение степени для текущего кадра // с каждым кадром рекурсии это значение уменьшается на единицу let rec recPow acc p = // сравниваем текущую степень match p with | x when x > 0 -> // вычисляем новое значение аккумулятора // умножаем исходную матрицу на старый аккумулятор, то есть возводим в следующую степень let nextAcc = acc*m // рекурсивно вызываем функцию и передаем ей уменьшенное на единицу значение степени recPow nextAcc (x-1) // если степень достигла нуля, то возвращаем вычисленный аккумулятор | _ -> acc // создаем единичную матрицу, чтобы передать ее в качестве аккумулятор для вычисления степени let dim = Matrix.sizes matrix let colCount = snd dim let rowCount = fst dim let u = Matrix.E rowCount colCount // вызываем рекурсивную функцию и передаем ей единичную матрицу в качестве аккумулятора recPow u p // вызываем функцию, реализующую хвостовую рекурсию для получения результата let powMatrix = inRecPow matrix value // возвращаем итоговую матрицу { values = powMatrix.values }

Код содержит подробные комментарии о том, как он работает. Требует небольшого пояснения, зачем используется единичная матрица? Она нужна для первого кадра рекурсии и служит в качестве базового значения аккумулятора, в котором будет накапливаться итоговый результат.

Ниже рассмотрим пример использования нашей функции

Вычислим следующее произведение

Где

E

— это единичная матрица. Так как мы не можем к матрице прибавить число, то мы должны прибавлять

3E

.

// возвращает сумму матрицы и числа
static member (+) (matrix, (value: int)) =
    let dim = Matrix.2 + 3 =
 [[1; 0]
 [4; -3]]

Матрица AT, столбцы которой составлены из строк матрицы A с теми же номерами и тем же порядком следования элементов, называется транспонированной к матрице A
static member transpose matrix =
    let dim = Matrix.sizes matrix
    let rows = fst dim
    let cols = snd dim

    // создаем нулевую матрицу для вычисления результатов
    let tMatrix = Matrix.O cols rows
    // копируем в нее данные из исходной матрицы
    matrix.values |> Array2D.iteri(fun x y v -> tMatrix.values.[y, x] <- v)

    // возвращаем результат
    tMatrix

Пример использования

let a = array2D [[1;2;3]
                 [4;5;6]
                 [7;8;9]
                 [10;11;12]]
let A = Matrix.ofArray2D a
let R6 = Matrix.T A
printfn "origin = \n %A" A.values
printfn "transpose = \n %A" R.values
origin = 
 [[1; 2; 3]
 [4; 5; 6]
 [7; 8; 9]
 [10; 11; 12]]
transpose = 
 [[1; 4; 7; 10]
 [2; 5; 8; 11]
 [3; 6; 9; 12]]

Итоги

В этот статье мы рассмотрели примеры реализации и использования матриц из теории линейной алгебры. А также основных математических операций над ними, с использованием функционального подхода на языке F#. Я надеюсь, что читатель смог оценить ту гибкость, которую дают функциональные языки.

Полный исходный код модуля матриц, фрагменты которого были рассмотрены в рамках статьи, вы сможете найти на гитхабе.

Github Matrix.fs

теория и примеры. Типовые примеры Действия над матрицами

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

  1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
  2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
  3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
  4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,….,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,….,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица – матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица – матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы – это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T – Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.

Группа компаний «Оргпром» 2 МИССИЯ Мы содействуем развитию общества, помогая бизнесу и людям увидеть и реализовать свой потенциал через проведение корпоративных программ развития производственных систем Ведущий российский провайдер, оказывающий полный спектр услуг по развитию производственных систем на основе концепции «бережливое производство» (Lean Production, Lean Thinking, Toyota Production System, кайдзен)

Что такое политика Брокгауз и Ефрон: Политика (греч. politikó государственные или общественные дела, от pólis государство) – одна из социальных наук, а именно учение о способах достижения государственных целей. Ушаков: – Общий характер, отличительные черты деятельности или поведения (государства, общественной группы, отдельного лица в той или иной области). Держаться разумной политики. Недальновидная п. Твердая п. Нерешительная п. – перен. Хитрость и уловки в отношениях с людьми, хитрый, уклончивый образ действий (разг.). Я твою политику насквозь вижу. Отец протопоп Савелий начал своею политикой еще более уничтожать меня. Лесков. Словарь по экономике и финансам: Политика предприятия – формулировка целей предприятия и выбор средств для их реализации

«Хосин Канри» – «Развертывание политики», «Управление на основе политики» Типичные проблемы Финансы – Прошло уже полтора месяца! Что откуда? Почему? Клиенты, рынки – Труднодоступная информация Внутренние процессы – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу Персонал, инновации – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу

Что такое Хосин Канри? Стратегический инструмент исполнения и контроля хода выполнения при управлении изменениями в критичных бизнес процессах. Система развертывания стратегического плана по всей организации. Координирует усилия сотрудников и их деятельность со стратегическими планами.

Зачем развертывать политику? «Кто не знает, куда направляется, очень удивится, попав не туда» Марк Твен «Вы должны на что-то опираться, иначе вы в любом случае упадете» Следствие законов Ньютона и Мэрфи Компании, работники которых понимают их миссию и цели, имеют на 29% большую производительность, в сравнении с другими фирмами Watson Wyatt Work Study

Развертывание политики позволяет Сфокусироваться на разделяемых целях и приоритетах Согласовать цели и приоритеты среди всех лидеров Вовлечь каждого лидера в достижение целей и следование приоритетам Согласовать роль и ответственность каждого члена команды в достижении разделяемых целей Сделать программу РПС – востребованной и увязанной на всех уровнях с актуальными бизнес-целями («вытягивание» вместо «выталкивания»)


Происхождение «Хосин Канри» Словосочетание «Хосин Канри» состоит из четырех иероглифов: – Хо – направление,курс; – Син – игла, стрелка; «Хосин» – компас, направление стрелки компаса – Кан – контроль, управление; – Ри – логика, причина; «Канри» – менеджмент, развертывание, логика управления «Хосин Канри» – «Развертывание политики», «Управление на основе политики»

Развертывание политики Россия, XVII век Необходимо и младшим начальникам постоянно иметь его в мыслях, чтобы вести войска согласно с ним. Мало того, даже батальонные, эскадронные, ротные командиры должны знать его по той же причине, даже унтер-офицеры и рядовые. Каждый воин должен знать свой маневр. Александр Васильевич Суворов Не довольно, чтобы одни главные начальники извещены были о плане действия.

Развертывание политики от А.В. Сувоврова План операционный – в главную армию, в корпус, в колонну! Ясное распределение полков, везде расчет времени Ученье – свет, неученье – тьма За одного битого двух небитых дают Люби солдата, и он будет любить тебя – в этом вся правда Я командую вправо, ты видишь надо влево меня не слушай ты ближний!

Миссия = Предназначение Набор фундаментальных, глубинных причин существования компании\подразделения. Суть, душа. Отражает важность, которую люди придают работе – она определяет их, именно, идеалистические представления. Главная роль миссии – направлять и вдохновлять людей на долгие годы, и даже столетия.


Система ценностей Какими принципами и приоритетами при реализации миссии должны руководствоваться – Менеджмент – Сотрудники Кто заинтересованные стороны (в реализации миссии) – Что они ожидают? – Каков их вклад? ОСНОВА ДЕЛЕГИРОВАНИЯ – Наравне с обучением



Факторы успешности реализации миссии в аспекте баланса интересов 1. Финансы 2. Клиенты 3. Процессы 4. Развитие Качество Точно вовремя Сокращение потерь Качество Точно вовремя Сокращение потерь Безопасность Вовлеченность Развитие персонала Финансы / Рынки Акценты управления Вклад в экосферу

Ежедневный контроль прогресса в достижении результатов При реализации Хосин Ежедневный вал событий и ежеквартальный прессинг получения финансовых результатов не превалируют над стратегическими планами, Наоборот, эта оперативная работа определяется и направляется самими планами (по достижению стратегических целей). Йодзи Акао ДНМКГ ДНМКГ

Управление тремя потоками создания ценности Поток создания ценности Выход потока Потери в потоке Инструменты управления 1) Поток создания потребительской ценности Качество Доставка Себестоимость Довольный заказчик /потом довольные владельцы, сотрудники, поставщики, общество Работа без добавления потр.цен-ти (мура, 7 типов муда, мури) Инструменты Лин (VSM, Just-In-Time, Jidoka, 5S, TPM, VC, SOP, RCA), SCM, … 2) Поток развития талантов Безопасность Вовлеченность Рост Довольный сотрудник/ потом довольный заказчик и общество Работа с угрозой для здоровья или без обучения OHSAS, лидерство, хосин канри, A3, PDCA, SDCA, 5W2H, … 3) Поток создания эко-социума Дивиденды владельцам Сообщество Экологический статус-кво Гармоничный эко-социум/ Затем довольные владельцы, общество и будущие поколения Работа без определения интересов ЗС и их балансировки Отчетность GRI, Natural Step, регулярные совещания с ЗС, … + все вышеперечисленное

Матрица развертывания целей заместителя Гендиректора Оргпром Зам.Генерального директора Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Выполнение ГУК в срок Коэффициент качества DСроки Доля подразделений в графике (выполняющих суточные задания) Выполнение производственного плана (товар) Выполнение производственного плана (товар) Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Доля подразделений без дефектов и простоев Выполнение графика ОТМ Количество исполненныых проектов эффективности (расшитых “узких” мест) Количество комплектов на сотрудника Экономический эффект от реализации предложений, проектов и программ повышения эффективности SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Доля подразделений без нарушений ОТ и дисциплины Доля подразделений с улучшением оценки по условиям труда, 5С и безопасности Средняя оценка подразделений по условиям труда, 5С и безопасности Доля аттестованных рабочих мест IВовлеченность персонала Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол-во реализованных \ Кол- во поданных за последние 3 месяца, %) Доля подразделений с растущим уровнем подачи И реализации Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения (с учетом количества)Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение текущих графиков реконструкции и перевооружения Выполнение текущих графиков компьютеризации, автоматизации, механизации, роботизации AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей) Поток устойчивого развития бизнеса

Матрица развертывания целей начальника цеха Оргпром Начальник цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Количество принятых в работу новыхили усовершенствованных техпроцессов Коэффициент качества DСроки Доля выполняющих задание участков комплекты Выполнение плана номенклатурного Выполнение производственного плана Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Количество реализуемых и процент выполнения Доля расшитых “узких” мест Экономический эффект Количество комплектов на сотрудника SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Выполнение графика обходов Доля участков улучшивших свои показатели по безопастности и 5S Средний балл аудита по безопастности и 5S Доля рабочих мест без вредных условий и опасностей IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) Доля лидеров (подающих И реализующих предложения) Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения Количество наставников Доля рабочих мест, укомплектованных сотрудниками с соответствующими компетенциями Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение графика техперевооружения Доля механизированного труда Мощность цеха в комплектах в год AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Поток устойчивого развития бизнеса Перспекктива Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Матрица развертывания целей начальника участка Оргпром Начальник участка цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Доля стабилизированных процессов обработки деталей Выход годного с первого раза DСроки Выполнение сменно- суточных заданий (%) Выполнение плана по номенклатуре Выполнение производственного плана CСокращение потерь Коэффициент полной эффективности оборудования (ОЕЕ) Выполнение нормативного времени на переналадку оборудования (общее время переналадки станков/количество переналадок) SОхрана труда и безопасность Количество дней без травм Количество замечаний по ТБ (2 ступень) Оценка состояния рабочий зоны и рабочих мест (5С) IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) GРазвитие компетенций Доля операторов освоивших быструю переналадку Количество переходов в развитии компетенций (матрица компетенций) MИнтересы бизнеса AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экологияколичество невыходов по причине заболеваний Доля рабочих мест, соответствующих требованиям экологии и безопасности Поток устойчивого развития бизнеса Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Second Level Hoshin Kanri Primary Responsibility Secondary Responsibility RESOURCES ВТОРОЙ УРОВЕНЬ Danaher Business System Office – Hoshin Kanri 1998 Primary Responsibility Secondary Responsibility Resources ВЫСШИЙ УРОВЕНЬ – Хосин канри и показатели успешности (матрица Оргпрома) для достижения целей предприятия Цели, стратегии развития развернуты и доведены до подразделений Определены ключевые исполнители и индикаторы достижения целей Цели Заготовите льное Мех обработка Агрегатная сборка Сборка Испытания Х-матрицы Доска производственного анализа участка Доска показателей цеха Показатели цехов и участков раскрывают содержание деятельности и степень достижения развернутых целей Рекомендуется использовать в системе вознаграждения

Последовательность Хосин 1. Сформулируйте или уточните философию компании – Предназначение (миссию) Ради чего существует наша компания? – Систему Ценностей Что является и будет являться нашими приоритетами? – Принципы управления На основе каких принципов мы будем обеспечивать эти приоритеты? – Видение будущего компании Какой компанией мы хотим стать? 2. Доведите до персонала, партнеров, общества 3. Неустанно следуйте, согласуйте и сверяйте

Периодическая система управления устойчивым развитием бизнеса Устойчивое развитие бизнес- системы Формули рование и развертывание основ бизнеса Лидерская визуализа ция Гармониза ция и балансиро вка потоков Лидерская стандарти зация Непрерыв- ное обучение действием и решение проблем Формулиров ание и развертывание прорывного видения 1. Периодическое определение состава заинтересованных сторон (ЗС), определение и согласование их ценностей = интересов ЗС (целевых состояний) 2. Периодическое определение и лидерская визуализация потоков создания этих ценностей, потерь в них 3. Периодическая балансировка и гармонизация потоков создания ценностей через сокращение потерь 4. Периодический диалог ЗС и лидерская стандартизация для «вытягивания» соответствующих ценностей 5. Периодическая последовательность в непрерывном совершенствовании и развертывании прорывного видения


Матричным уравнением называется уравнение вида

A X = B

X A = B ,

где A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E – единичная матрица, то E X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

X A = B ,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

A X B = C ,

является

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

A X = B A и неизвестной матрицы X матрица A B A A .

A :

.

A :

.

A :

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A B на матрицу, обратную матрице A A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A .

Определители матриц – теория и примеры

Содержание

Определитель квадратной матрицы первого порядка
Определитель квадратной матрицы второго порядка
Схема вычисления определителя второго порядка
Примеры вычисления определителей второго порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
Правило треугольников нахождения определителя третьего порядка
Примеры вычисления определителей третьего порядка

Используя специальное правило каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое будем называть определителем (детерминантом) и обозначать или или

Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число

Заметим, что здесь выражение означает определитель, хоть внешне очень похоже на запись модуля числа Таким образом, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы, например для матриц

и

определители

и

Определителем квадратной матрицы второго порядка

называется число

Таким образом, для того, что вычислить определитель матрицы 2-го порядка нужно умножить элементы главной диагонали матрицы и от полученного произведения вычесть произведение элементов побочной диагонали матрицы. Схема вычисления определителя второго порядка представлена на рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим примеры, где требуется вычислить определитель второго порядка. У матриц

 

определители

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называется число

Как видим, для того чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка необходимо использовать достаточно сложную для запоминания формулу, однако, заучивать ее вовсе не обязательно. Гораздо легче понять и запомнить схему вычисления определителя третьего порядка (рис. 2) (ее еще называют правилом треугольников). Используя эту схему решаются задачи на вычисление определителей матриц 3×3, и с ее помощью всегда можно восстановить формулу нахождения определителя 3-го порядка.

Рис. 2

Как видно из схемы (рис. 2), для того чтобы найти определитель третьего порядка необходимо вычислить 6 чисел, каждое из которых представляет собой произведение трех чисел. Для нахождения первого числа требуется найти произведение элементов главной диагонали, второе и третье числа представляют собой произведения элементов, находящихся в вершинах равнобедренных треугольников (см. рис. 2), чьи основания параллельны главной диагонали матрицы. Аналогично, четвертое число в схеме есть произведение элементов второй (побочной) диагонали матрицы, а пятое и шестое числа находятся как произведения элементов-вершин равнобедренных треугольников с основаниями параллельными второй диагонали матрицы. Затем следует сложить первые три числа и из этой суммы вычесть сумму чисел с номерами 4 — 6.

Рассмотрим пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Определитель

Решение матриц. Объясняем, как решать матрицы. Решение матричных уравнений: теория и примеры

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=
(1)

Решение. По определению произведения матрица на число получаем:

D=

Задача № 2 . Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение. Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3. Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение. Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод: Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4 (устно). Даны матрицы
Существуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5. Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение. Приведенные матрицы вида
следовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6 . Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

    Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

    Найти произведение матриц:

    Найти произведение матриц:



7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А 2 +8А, если
.

9. Дана матрица
.Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А – диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

    Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

    Свойства определителей.

    Какая матрица называется невырожденной?

    Какая матрица называется единичной?

    Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

    Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

    Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

    Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель
:

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

в)

Задача № 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa 23 определителя
и вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М 23
; А 23

Задача № 3. Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4. Решить уравнение

Задача № 5. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Группа компаний «Оргпром» 2 МИССИЯ Мы содействуем развитию общества, помогая бизнесу и людям увидеть и реализовать свой потенциал через проведение корпоративных программ развития производственных систем Ведущий российский провайдер, оказывающий полный спектр услуг по развитию производственных систем на основе концепции «бережливое производство» (Lean Production, Lean Thinking, Toyota Production System, кайдзен)

Что такое политика Брокгауз и Ефрон: Политика (греч. politikó государственные или общественные дела, от pólis государство) – одна из социальных наук, а именно учение о способах достижения государственных целей. Ушаков: – Общий характер, отличительные черты деятельности или поведения (государства, общественной группы, отдельного лица в той или иной области). Держаться разумной политики. Недальновидная п. Твердая п. Нерешительная п. – перен. Хитрость и уловки в отношениях с людьми, хитрый, уклончивый образ действий (разг.). Я твою политику насквозь вижу. Отец протопоп Савелий начал своею политикой еще более уничтожать меня. Лесков. Словарь по экономике и финансам: Политика предприятия – формулировка целей предприятия и выбор средств для их реализации

«Хосин Канри» – «Развертывание политики», «Управление на основе политики» Типичные проблемы Финансы – Прошло уже полтора месяца! Что откуда? Почему? Клиенты, рынки – Труднодоступная информация Внутренние процессы – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу Персонал, инновации – Недостаточно знаний по выбору и мониторингу

Что такое Хосин Канри? Стратегический инструмент исполнения и контроля хода выполнения при управлении изменениями в критичных бизнес процессах. Система развертывания стратегического плана по всей организации. Координирует усилия сотрудников и их деятельность со стратегическими планами.

Зачем развертывать политику? «Кто не знает, куда направляется, очень удивится, попав не туда» Марк Твен «Вы должны на что-то опираться, иначе вы в любом случае упадете» Следствие законов Ньютона и Мэрфи Компании, работники которых понимают их миссию и цели, имеют на 29% большую производительность, в сравнении с другими фирмами Watson Wyatt Work Study

Развертывание политики позволяет Сфокусироваться на разделяемых целях и приоритетах Согласовать цели и приоритеты среди всех лидеров Вовлечь каждого лидера в достижение целей и следование приоритетам Согласовать роль и ответственность каждого члена команды в достижении разделяемых целей Сделать программу РПС – востребованной и увязанной на всех уровнях с актуальными бизнес-целями («вытягивание» вместо «выталкивания»)


Происхождение «Хосин Канри» Словосочетание «Хосин Канри» состоит из четырех иероглифов: – Хо – направление,курс; – Син – игла, стрелка; «Хосин» – компас, направление стрелки компаса – Кан – контроль, управление; – Ри – логика, причина; «Канри» – менеджмент, развертывание, логика управления «Хосин Канри» – «Развертывание политики», «Управление на основе политики»

Развертывание политики Россия, XVII век Необходимо и младшим начальникам постоянно иметь его в мыслях, чтобы вести войска согласно с ним. Мало того, даже батальонные, эскадронные, ротные командиры должны знать его по той же причине, даже унтер-офицеры и рядовые. Каждый воин должен знать свой маневр. Александр Васильевич Суворов Не довольно, чтобы одни главные начальники извещены были о плане действия.

Развертывание политики от А.В. Сувоврова План операционный – в главную армию, в корпус, в колонну! Ясное распределение полков, везде расчет времени Ученье – свет, неученье – тьма За одного битого двух небитых дают Люби солдата, и он будет любить тебя – в этом вся правда Я командую вправо, ты видишь надо влево меня не слушай ты ближний!

Миссия = Предназначение Набор фундаментальных, глубинных причин существования компании\подразделения. Суть, душа. Отражает важность, которую люди придают работе – она определяет их, именно, идеалистические представления. Главная роль миссии – направлять и вдохновлять людей на долгие годы, и даже столетия.


Система ценностей Какими принципами и приоритетами при реализации миссии должны руководствоваться – Менеджмент – Сотрудники Кто заинтересованные стороны (в реализации миссии) – Что они ожидают? – Каков их вклад? ОСНОВА ДЕЛЕГИРОВАНИЯ – Наравне с обучением



Факторы успешности реализации миссии в аспекте баланса интересов 1. Финансы 2. Клиенты 3. Процессы 4. Развитие Качество Точно вовремя Сокращение потерь Качество Точно вовремя Сокращение потерь Безопасность Вовлеченность Развитие персонала Финансы / Рынки Акценты управления Вклад в экосферу

Ежедневный контроль прогресса в достижении результатов При реализации Хосин Ежедневный вал событий и ежеквартальный прессинг получения финансовых результатов не превалируют над стратегическими планами, Наоборот, эта оперативная работа определяется и направляется самими планами (по достижению стратегических целей). Йодзи Акао ДНМКГ ДНМКГ

Управление тремя потоками создания ценности Поток создания ценности Выход потока Потери в потоке Инструменты управления 1) Поток создания потребительской ценности Качество Доставка Себестоимость Довольный заказчик /потом довольные владельцы, сотрудники, поставщики, общество Работа без добавления потр.цен-ти (мура, 7 типов муда, мури) Инструменты Лин (VSM, Just-In-Time, Jidoka, 5S, TPM, VC, SOP, RCA), SCM, … 2) Поток развития талантов Безопасность Вовлеченность Рост Довольный сотрудник/ потом довольный заказчик и общество Работа с угрозой для здоровья или без обучения OHSAS, лидерство, хосин канри, A3, PDCA, SDCA, 5W2H, … 3) Поток создания эко-социума Дивиденды владельцам Сообщество Экологический статус-кво Гармоничный эко-социум/ Затем довольные владельцы, общество и будущие поколения Работа без определения интересов ЗС и их балансировки Отчетность GRI, Natural Step, регулярные совещания с ЗС, … + все вышеперечисленное

Матрица развертывания целей заместителя Гендиректора Оргпром Зам.Генерального директора Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Выполнение ГУК в срок Коэффициент качества DСроки Доля подразделений в графике (выполняющих суточные задания) Выполнение производственного плана (товар) Выполнение производственного плана (товар) Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Доля подразделений без дефектов и простоев Выполнение графика ОТМ Количество исполненныых проектов эффективности (расшитых “узких” мест) Количество комплектов на сотрудника Экономический эффект от реализации предложений, проектов и программ повышения эффективности SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Доля подразделений без нарушений ОТ и дисциплины Доля подразделений с улучшением оценки по условиям труда, 5С и безопасности Средняя оценка подразделений по условиям труда, 5С и безопасности Доля аттестованных рабочих мест IВовлеченность персонала Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол-во реализованных \ Кол- во поданных за последние 3 месяца, %) Доля подразделений с растущим уровнем подачи И реализации Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения (с учетом количества)Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение текущих графиков реконструкции и перевооружения Выполнение текущих графиков компьютеризации, автоматизации, механизации, роботизации AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей) Поток устойчивого развития бизнеса

Матрица развертывания целей начальника цеха Оргпром Начальник цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Количество принятых в работу новыхили усовершенствованных техпроцессов Коэффициент качества DСроки Доля выполняющих задание участков комплекты Выполнение плана номенклатурного Выполнение производственного плана Выполнения плана квартального Выполнение плана годового CСокращение потерь Количество реализуемых и процент выполнения Доля расшитых “узких” мест Экономический эффект Количество комплектов на сотрудника SОхрана труда и безопасность Количество дней без несчастных случаев Выполнение графика обходов Доля участков улучшивших свои показатели по безопастности и 5S Средний балл аудита по безопастности и 5S Доля рабочих мест без вредных условий и опасностей IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) Доля лидеров (подающих И реализующих предложения) Среднее количество реализованных предложений на сотрудника GРазвитие компетенций Выполнение графика обучения Количество наставников Доля рабочих мест, укомплектованных сотрудниками с соответствующими компетенциями Средняя зарплата MИнтересы бизнеса Выполнение графика техперевооружения Доля механизированного труда Мощность цеха в комплектах в год AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экология Выполнение плана социальной работы Поток устойчивого развития бизнеса Перспекктива Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Матрица развертывания целей начальника участка Оргпром Начальник участка цеха 43 Миссия: Поток ДеньНеделя МесяцКвартал Год QКачество Количество дней без дефектов Доля стабилизированных процессов обработки деталей Выход годного с первого раза DСроки Выполнение сменно- суточных заданий (%) Выполнение плана по номенклатуре Выполнение производственного плана CСокращение потерь Коэффициент полной эффективности оборудования (ОЕЕ) Выполнение нормативного времени на переналадку оборудования (общее время переналадки станков/количество переналадок) SОхрана труда и безопасность Количество дней без травм Количество замечаний по ТБ (2 ступень) Оценка состояния рабочий зоны и рабочих мест (5С) IВовлеченность персонала Количество выявленных возможностей Количество поданных предложений Реализация предложений (Кол- во реализованных \ Кол-во поданных за последние 3 месяца, %) GРазвитие компетенций Доля операторов освоивших быструю переналадку Количество переходов в развитии компетенций (матрица компетенций) MИнтересы бизнеса AРазвитие партнеров EСоциальное развитие и экологияколичество невыходов по причине заболеваний Доля рабочих мест, соответствующих требованиям экологии и безопасности Поток устойчивого развития бизнеса Матрица Периодической Системы Управления Устойчивым Развитием Мы своевременно изготавливаем качественные фитинги для сборочных цехов Перспекктива Поток создания потребительсккой ценности (развитие процессов) Поток создания талантливых сотрудников (развитие людей)

Second Level Hoshin Kanri Primary Responsibility Secondary Responsibility RESOURCES ВТОРОЙ УРОВЕНЬ Danaher Business System Office – Hoshin Kanri 1998 Primary Responsibility Secondary Responsibility Resources ВЫСШИЙ УРОВЕНЬ – Хосин канри и показатели успешности (матрица Оргпрома) для достижения целей предприятия Цели, стратегии развития развернуты и доведены до подразделений Определены ключевые исполнители и индикаторы достижения целей Цели Заготовите льное Мех обработка Агрегатная сборка Сборка Испытания Х-матрицы Доска производственного анализа участка Доска показателей цеха Показатели цехов и участков раскрывают содержание деятельности и степень достижения развернутых целей Рекомендуется использовать в системе вознаграждения

Последовательность Хосин 1. Сформулируйте или уточните философию компании – Предназначение (миссию) Ради чего существует наша компания? – Систему Ценностей Что является и будет являться нашими приоритетами? – Принципы управления На основе каких принципов мы будем обеспечивать эти приоритеты? – Видение будущего компании Какой компанией мы хотим стать? 2. Доведите до персонала, партнеров, общества 3. Неустанно следуйте, согласуйте и сверяйте

Периодическая система управления устойчивым развитием бизнеса Устойчивое развитие бизнес- системы Формули рование и развертывание основ бизнеса Лидерская визуализа ция Гармониза ция и балансиро вка потоков Лидерская стандарти зация Непрерыв- ное обучение действием и решение проблем Формулиров ание и развертывание прорывного видения 1. Периодическое определение состава заинтересованных сторон (ЗС), определение и согласование их ценностей = интересов ЗС (целевых состояний) 2. Периодическое определение и лидерская визуализация потоков создания этих ценностей, потерь в них 3. Периодическая балансировка и гармонизация потоков создания ценностей через сокращение потерь 4. Периодический диалог ЗС и лидерская стандартизация для «вытягивания» соответствующих ценностей 5. Периодическая последовательность в непрерывном совершенствовании и развертывании прорывного видения


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.


Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки “+” и “–” у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

  1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
  2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
  3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
  4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,….,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,….,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Ответ на этот вопрос компания «Тойота», мировой лидер не только в автомобилестроении, но и в создании эффективных бизнес-систем, нашла для себя в инструменте Хосин Канри еще в 1950-1960-х годах. Это словосочетание можно перевести с японского языка как компас, а в более широком смысле — управление политикой. Практически все крупные мировые компании уже давно переняли этот инструмент и успешно его используют, в том числе в компании «Альстом». В качестве примера можно привести ОАО «РЖД», которое еще в прошлом году применило методику Хосин Канри на Октябрьской железной дороге.

Хосин Канри — это структурированный, регулярно повторяющийся процесс, результатом которого является документ, называемый Х-матрица, формулирующий основные направления развития компании. Развертывание стратегии происходит через встроенные друг в друга планы мероприятий (PDCA).

Схематически процесс Хосин Канри применительно для отдельного завода ТМХ может быть представлен на рис. 1.

Х-матрица каждого уровня состоит из четырех основных блоков: глобальные цели, стратегия, тактики и количественные цели. При этом стратегии и глобальные цели нижестоящих уровней неразрывно связаны с тактиками и количественными целями вышестоящих уровней.

Поэтому изменение, произведенное на одном из уровней, быстро транслируется и вызывает перемены на всех остальных. Принцип заполнения Х-матрицы схематически представлен на рис. 3 .

Внедрение Х-матриц на заводах холдинга

В настоящее время в холдинге происходит формирование технической стратегии развития предприятий. В эту работу также вовлечено и высшее руководство «Альстом Транспорт». Для всех заводов актуальными являются следующие стратегии: осуществление прорыва в области качества выпускаемой продукции, развитие персонала, внедрение проектного менеджмента и управление затратами, завершение реструктуризации предприятий.

Для обеспечения эффективного внедрения стратегии развития холдинга на предприятиях в феврале — апреле 2014 года группой по производственной системе были проведены двухдневные семинары по практическому обучению руководства заводов методологии работы с Х-матрицами. К сегодняшнему моменту обучен высший менеджмент семи предприятий: БМЗ, НЭВЗ, ТВЗ, КЗ, ЦСМ, ДМЗ, МВМ.

В рамках подготовки к семинару с каждым генеральным директором прорабатывалась Х-матрица уровня завода (уровень L1), которая основывалась в свою очередь на входящих данных из матрицы уровня холдинга. Обозначенные выше стратегии были дополнены тактическими инициативами завода. Так, для ЗАО «УК «БМЗ» были определены 19 тактик уровня завода, среди которых создание двух эталонных линий сборки основных продуктов, создание новой платформы (ТЭМ23), совершенствование системы производственного планирования, пересмотр системы мотивации персонала. Сам проект трансформации завода, реализация которого была начата ранее, получил громкий лозунг «БМЗ — первый в любом составе!».

В ходе семинара были построены Х-матрицы основных дирекций предприятия: дирекции по производству, технические дирекции и дирекции по материально-техническому обеспечению и логистике (уровень L2). Затем руководители представили стратегии развития их подразделений начальникам отделов (цехов), которые в свою очередь составили Х-матрицы уровня L3 с тактическими задачами отделов. Далее начальники отделов (цехов) «каскадировали» задачи начальникам бюро, которые составили очень конкретные планы мероприятий для достижения общей стратегии дирекции. Если в Х-матрицах дирекций и отделов горизонт планирования равен одному году, то в случае плана мероприятий для руководителей бюро — три месяца. Завершающим этапом семинара стало формирование стендов с индикаторами для управления деятельностью подразделения на каждом уровне.

Таким образом, была выстроена система управления трансформацией завода, включающая взаимосвязанные планы тактических и операционных задач, а также индикаторов, позволяющих оценить как процессы, так и степень реализации задач.

В настоящий момент заводы дорабатывают Х-матрицы, добиваясь полной взаимосвязанности между матрицами разных уровней. Особое внимание уделено работе с индикаторами процессов, большинство из которых можно найти в будущей единой панели индикаторов завода.

Связь Х-матриц и панели индикаторов

Для принятия обоснованных решений руководителям различных уровней необходимо полагаться на достоверную и своевременную бизнес-информацию. Панели индикаторов хранят данные о результативности и эффективности протекающих в организации бизнес-процессов. Эти данные используются для мониторинга, анализа, управления.

В 2013 году на НЭВЗ была проведена работа по внедрению ключевых показателей эффективности, и в качестве пилотного участка был выбран цех, где происходит сборка электропоездов ЭП20 «Олимп». Опыт оказался успешным, и руководство завода получило перекрестную систему КПЭ, благодаря которой можно быстро и эффективно проанализировать данные.

С начала 2014 года в холдинге ведется активная работа по формированию стандартной панели индикаторов для заводов, которая включит в себя все наиболее важные КПЭ предприятия и будет ежемесячно обновляться. Планируется официально включить в бизнес-план 2015 года помимо показателей результативности еще и показатели эффективности деятельности заводов.

Среди наиболее важных КПЭ , которые будут включены в панель, можно выделить следующие: эффективность производственных рабочих, отношение РСС и вспомогательных рабочих к основным рабочим, оборачиваемость сырья и материалов, оборачиваемость незавершенного производства, выработка нормо-часов в год с 1 м2 производственных площадей .

В 2014 году работа по построению Х-матриц была проведена под руководством группы по производственной системе, в следующем году такая работа должна стать обычной задачей по планированию деятельности предприятия на год.

Следующие шаги по развертыванию стратегии на заводах

Большинство российских предприятий, и заводы Трансмашхолдинга не исключение, имеют очень сложную иерархическую структуру с множеством уровней. Это значит, что каскадирование задач — долгий процесс, при котором важно обеспечить полную открытость и прозрачность направлений развития компании. Поэтому ключевым этапом в развертывании стратегии становится информирование всех сотрудников о предстоящих переменах. Информированность, понимание и вовлеченность — вот цепочка действий коллектива каждого предприятия. И здесь немаловажно участие корпоративных газет, которые должны регулярно транслировать ключевые решения руководства, работы по Х-матрицам, рассказывать о преобразованиях, происходящих на заводах.

Для успешной реализации стратегии нужна полная поддержка всех уровней, поэтому сейчас заводы работают над поиском запоминающегося названия проекта и его лозунга. Через заводские газеты, в ходе коллективных собраний, а главное — от непосредственных руководителей работники заводов должны не только узнать о планах предприятия, но и понять свою роль в этом процессе.

Александр Альбертович Василенко, генеральный директор ЗАО «УК «БМЗ»:

Для достижения указанных целей руководством предприятия определены тактические задачи, которые необходимо решить в 2014 году. Далее директора по направлениям на основании матрицы стратегии развития завода разработали матрицы по каждой службе и так до уровня отделов. Это позволило довести глобальные цели и тактические задачи ТМХ, определенные руководством, до конкретных исполнителей. Таким образом, все сотрудники стали понимать свою личную роль и вклад в стратегическое развитие предприятия. В настоящее время перед руководителями завода всех уровней стоит задача по ежемесячному анализу исполнения тактических задач и планов мероприятий для оперативного реагирования на возможные отклонения. Такой подход позволил систематизировать деятельность различных подразделений в рамках целей завода, установил целевые состояния процессов.

Дмитрий ДЬЯКОВ, заместитель начальника отдела производства ЗАО «УК «БМЗ»:

Можно предположить, что несколько веков назад Суворов уже занимался выстраиванием производственной системы… в армии. Ведь ему приписывают слова «Каждый солдат должен понимать свой маневр». Это как раз и есть принцип каскадирования. Когда командующий ставит цели, каждый солдат должен не только знать, но и понимать свой маневр. Применительно к нашему производству: оператор не просто пришел и сделал деталь, но и знает, почему сегодня такой уровень заказов, почему требуется оптимизация площадей, рационализация техпроцессов, внедрение системы 5С на рабочих местах и т. д. Это один из методов производственной системы, который позволяет создать команду, способную улавливать и видеть изменения обстановки, уметь их анализировать, вырабатывать на эти изменения комплекс действий и претворять их в жизнь.

Марк-Антуан Жювин, финансовый контролер Трансмашхолдинга, уже имевший опыт работы с данным инструментом, отмечает:

Использование в ТМХ Х-матриц именно сегодня отвечает на вызовы современной экономической среды, которая отличается высокой изменчивостью и непредсказуемостью. Вследствие этого нужно действовать коллективно, не нарушая равновесия всей системы.

Матричная теория Ансоффа Примеры бизнес-стратегий для будущего роста

Опубликовано: 2020-12-03

Чтобы любое решение принималось на корпоративном уровне, вам нужны правильные стратегические инструменты. Матрица Ансоффа – одна из них. Матрица Ансофф помогает фирме определить свой рост рынка, а также стратегии роста продукта. Матрица Ансофф может ответить на два вопроса: «Как мы можем расти на существующих рынках» и «Какие изменения можно внести в портфель продуктов для лучшего роста».

Из двух вышеупомянутых вопросов ясно, что матрица Ансоффа имеет дело со сценарием внешнего рынка компании, а также с портфелем продуктов, которым располагает фирма. Матрица разделена на два квадранта – квадрант продукта и квадрант рынка. Квадрант продукта на оси X далее делится на существующие продукты и новые продукты. Рыночный сценарий на оси Y делится на существующие рынки и новые рынки. Таким образом, матрица Ансоффа делит фирму на основе продуктов, которые у нее есть – существующие продукты или новые продукты, а также рынков, на которых она работает – существующих или новых рынков.

В зависимости от характеристик каждого определяется маркетинговая стратегия. Эти маркетинговые стратегии заключаются в следующем.

  • 1) Проникновение на рынок в матрице Ансоффа –
  • 2) Развитие рынка в матрице Ансоффа –
  • 3) Разработка продукта в Ansoff Matrix –
    • 4) Стратегия диверсификации Ансофф в матрице Ансофф
      • Хотите узнать больше о Matrix? читать –

1)

Проникновение на рынок в матрице Ансоффа

В матрице Ансоффа проникновение на рынок рассматривается как стратегия, когда у фирмы есть существующий продукт и требуется стратегия роста для существующего рынка. Лучший пример такого сценария – телекоммуникационная отрасль. Большинство телекоммуникационных продуктов существует на рынке, и они предназначены для обслуживания одного и того же рынка. Таким образом, в таких случаях конкуренция выше, и вам, возможно, придется изо всех сил стараться удовлетворить свой рынок или увеличить рыночную долю вашей фирмы.

При принятии стратегии проникновения на рынок необходимо учитывать несколько моментов. Используя проникновение на рынок, вы гарантируете, что используются только существующие ресурсы фирмы и не потребуется дополнительных затрат на создание нового подразделения. В то же время ваша нынешняя группа сотрудников лучше всех заметит любые возможности роста на существующем рынке. Таким образом, их необходимо использовать оптимально, предоставляя им нужную информацию в нужное время. Если вам нужно расти на существующем рынке с существующим продуктом, необходимо сочетание маркетинга и стимулирования сбыта.

Также прочтите Вертикальная интеграция – определение, типы, примеры

С другой стороны, проникновение на рынок может оказаться не той стратегией, которую вы ищете. Что, если рынок станет слишком насыщенным? Борьба за большую долю на насыщенном рынке ведет к более высоким расходам и более низкой прибыльности. Таким образом, анализ рынка должен быть точным, а стратегия проникновения на рынок должна быть принята только в том случае, если есть возможности для увеличения рыночной доли на существующем рынке.

2)

Развитие рынка в матрице Ансоффа

Развитие рынка – это вторая стратегия роста рынка, которая может быть принята в соответствии с матрицей Ансоффа. Стратегия развития рынка используется, когда фирма нацелена на новый рынок с существующими продуктами. Есть несколько примеров стратегии развития рынка, включая ведущие обувные фирмы, такие как Adidas, Nike и Reebok, которые начали выходить на международные рынки для расширения рынка. Каждый день мы слышим о том, что одна или другая компания думает о том, чтобы выпустить свою продукцию в новую страну. Это прекрасный пример развития рынка. Точно так же на микроуровне расширение с текущего рынка на другой рынок, где ваш продукт не существует, также является примером развития рынка.

Для развития рынка вы должны относиться к своему продукту как к новому игроку на рынке. Таким образом, есть несколько факторов, которые влияют на стратегию развития рынка фирмы. Если у продукта уже есть высокий капитал бренда, ему, возможно, просто нужны точки распространения на новом рынке (пример – Walmart). То же самое и в случае, если товар является товаром, пользующимся спросом и, как известно, имеет высокое качество. С другой стороны, если продукт не завоевал популярность на вашем текущем рынке, не рекомендуется начинать стратегию развития рынка. Сначала вам нужно обслужить существующие рынки.

Фактор риска стратегии развития рынка выше. Это связано с тем, что при выходе на новые рынки необходимо сделать много инвестиций. Вам необходимо рекламировать и продавать свой продукт, чтобы покупатели приняли его. Для того же вам нужно инвестировать в административные расходы, расходы на рекламу, возможно, новые производственные мощности и так далее и так далее. Таким образом, вам, возможно, придется разрабатывать новые стратегические бизнес-единицы, чтобы иметь сильное развитие рынка. Именно это и делается в международных компаниях, где единица в другой стране рассматривается как отдельная бизнес-единица или центр прибыли.

Также прочтите реализацию стратегии

3) Разработка продукта в Ansoff Matrix –

.Разработка продукта в матрице Ансофф относится к фирмам, которые имеют хорошую долю рынка на существующем рынке и, следовательно, могут нуждаться в выпуске новых продуктов для расширения. Разработка продукта в основном происходит, когда у вас есть хорошая клиентская база и вы знаете, что рынок для вашего существующего продукта достиг насыщения. Таким образом, вы не можете применить стратегию проникновения на рынок. Таким образом, вы можете выбрать новую стратегию разработки продукта, которая соответствует вашему существующему рынку.

Возьмем пример – почему такие фирмы, как P&G и HUL, продолжают представлять новые продукты в разных категориях? Это потому, что обе эти ведущие FMCG-компании уже присутствуют на рынке. Они только усиливают свои силы на существующем рынке за счет внедрения новых продуктов. Представьте, что сегодня HUL представит мыло. Она уже продает свои шампуни и мыло во всех продуктовых магазинах города. Таким образом, он начнет продавать этот новый продукт в том же канале сбыта и добьется вывода на рынок нового продукта, а также повышения прибыльности, просто используя свой текущий рынок.

Стратегия развития продукта, как и стратегия развития рынка, рискованна. Это потому, что разработка продукта включает в себя инвестиции в разработку совершенно нового продукта. Продукт также потребует дополнительных инвестиций для распределения, маркетинга и рабочей силы. Более того, предлагая неправильный продукт, который не получает признания на рынке, вы можете повлиять на капитал вашего бренда. Таким образом, определение вашей фирмы в правом квадранте матрицы Ансоффа становится критически важным.

4) Стратегия диверсификации Ансофф в матрице Ансофф

Диверсификация – это стратегия, используемая в матрице Ансоффа, когда продукт является совершенно новым и выводится на новый рынок. Лучшим примером диверсификации могут быть большие группы, такие как Tata или Reliance, которые изначально начинали с одного продукта, но расширились до совершенно несвязанных сегментов, представив новые или свои собственные продукты. Tata, например, имеет присутствие в производстве стали, двигателей, а теперь и в розничной торговле.

Также прочтите, что такое распространение инноваций? Теория Эверетта Роджерса

Однако диверсификацию следует рассматривать как последний вариант и применять только тогда, когда компания очень сильна в финансовом отношении. Как видно из двух приведенных выше стратегий, если продукт или рынок меняются, компания должна сделать серьезные инвестиции, чтобы добиться успеха. В случае диверсификации и продукт, и рынок являются новыми, и, следовательно, объем требуемых инвестиций будет высоким, что значительно увеличивает фактор риска. Таким образом, мы видим, что более крупные группы с глубокими карманами и множественные СБУ фактически используют процесс диверсификации.

Таким образом, в зависимости от вашего продукта и существующей клиентской базы вы можете решить, в какой квадрант вы попадаете в матрице Ансоффа. Как только вы узнаете свою позицию, матрица Ансоффа также наметит правильную стратегию, которую следует принять. Матрица Ансоффа особенно полезна для многопродуктовых организаций или организаций, которые планируют увеличить долю рынка.

Матрица Ансоффа, а также прочтите –

Матрица BCG.

Хотите узнать больше о Matrix? читать –

Матрица GE McKinsey.

Что такое нумерология и почему верить в неё стыдно

Многие думают, что число 13 — несчастливое. Некоторые же числа, наоборот, считаются удачными, например 3 и 7. Если задуматься, мы встречаем числа повсеместно: три богатыря и три поросёнка, четыре времени года и четыре стороны света, семь дней недели и семь смертных грехов, десять заповедей и десять пальцев на руках. Но действительно ли числа определяют нашу жизнь? Нумерологи считают, что да. Лайфхакер решил разобраться в данном вопросе.

Что такое нумерология

Нумерология — это эзотерическая концепция, согласно которой числа определяют нашу жизнь и существование всего, что нас окружает. Нумерологи интерпретируют числа, скрытые в дате рождения и имени человека, чтобы определить его характер и предсказать будущее. Нередко нумерология упоминается в одном ряду с астрологией, экстрасенсорикой, хиромантией и прочими предсказательными концепциями.

Доказывая существование мистических связей между жизнью человека и числами, нумерологи приводят совпадения, которые сложно объяснить. Известный пример такого мистического сходства чисел приводит в своей книге математик Мартин Гарднер. Он сравнивает биографии американских президентов Авраама Линкольна и Джона Кеннеди и находит в них множество соответствий:

  • Линкольн был избран в 1860 году, Кеннеди — в 1960-м.
  • Оба были убиты в пятницу. Линкольн — в театре Форда, Кеннеди — в автомобиле производства компании Ford.
  • Обоих на посту сменили члены демократической партии по фамилии Джонсон. Эндрю Джонсон родился в 1808 году, Линдон Джонсон — в 1908-м.
  • Секретарей Линкольна и Кеннеди звали Джон и Линкольн соответственно.
  • Убийцы президентов родились в 1839 и 1939 годах. Джон Уилкс Бут застрелил Линкольна в театре и сбежал на склад, а Ли Харви Освальд, убивший Кеннеди, стрелял из склада и скрывался в театре. Правда, насчёт этих сведений есть сомнения.
  • В именах обоих убийц на английском языке по 15 букв.

Верящие в нумерологию люди используют специальные техники, с помощью которых переводят слова и буквы в числа и цифры. Так, в трактовках нумерологов количество букв в названии Ветхого Завета на английском языке (Old Testament) переводится в число 39 (3 и 9 → 39), а Нового (New Testament) — в 27 (3 × 9 = 27). Именно столько книг входит в эти части Библии.

Как и когда зародилась нумерология

Люди с незапамятных времён интересуются числами и воспринимают их как что-то мистическое. На костях, которые пролежали в земле около 30 тысяч лет, находят царапины, возможно, изображающие фазы Луны — то есть лунный календарь. Числовой символизм характерен для многих древних культур: Вавилона, Древнего Египта, Китая .

Особое значение нумерология имеет в иудейской и, соответственно, христианской и арабской традициях. Вообще Библия — неиссякаемый источник нумерологических совпадений: семь дней творения как семь дней недели, 12 апостолов Христа как 12 месяцев. Но есть и более сложные сходства. Например, возраст Мафусала (969 лет) — это 17-е тетраэдральное число. Если к 1 прибавлять 2, 3 и так до 17, можно получить 153. Именно столько рыб вытащил сетью апостол Пётр, когда ученики Христа страдали от голода.

Огромное количество чисел в священной книге располагает к поиску их сакрального значения. Поэтому нумерологией интересовались такие значимые христианские мыслители, как Ириней Лионский, Амвросий Медиоланский, Августин Блаженный и Беда Достопочтенный. Во многом благодаря им широко известны число зверя (666) и число Христа (888).

Другие знаменитые числа, известные с давних пор, — это золотое сечение (1,618034) и числа Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13 и так далее; каждое из них, кроме первых двух, представляет собой сумму двух предыдущих). Золотое сечение позволяет образовать логарифмическую (равноугольную) спираль, а последовательность Фибоначчи часто можно наблюдать в растительном мире. Например, этим принципом можно описать расположение семян в головках подсолнухов и ромашек.

Семена в цветке подсолнечника. Фото: L. Shyamal / Wikimedia Commons

Само же слово «нумерология» появилось сравнительно недавно. Если верить Оксфордскому словарю, в английском языке оно стало употребляться с начала XX века.

На чём основаны принципы нумерологии

Современные нумерологи анализируют имя и дату рождения человека, чтобы понять его истинную природу. Чтобы интерпретировать слова, они присваивают каждой букве алфавита число. Для этого используют следующие концепции и приёмы.

Пифагореизм

Заимствуя элементы мистических учений о числах из разных культур, нумерология по большей часть основана на идеях последователей древнегреческого философа и математика Пифагора. Пифагорейцы верили, что весь мир можно представить в виде чисел и что с помощью расчётов можно объяснить все явления природы.

Число 1 у пифагорейцев символизировало единство и происхождение всего, так как из единицы можно получить любое число, повторив её достаточное количество раз. 2 и все чётные числа были приняты за женское начало, 3 и все нечётные — за мужское. 5 (2 + 3) обозначало брак, продолжение жизни; 4 — справедливость, а 10 (1 + 2 + 3 + 4) — совершенство, единство из множественности.

Также цифры увязывались с пространством: 1 — это точка, 2 — прямая линия, 3 — треугольник. Пифагорейцы признавали существование девяти небесных тел: Солнца, Луны, Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна и некоего Центрального огня. Число 10 было для них настолько сакральным, что они верили в существование «противоземия» — планеты, всё время скрытой от Земли Солнцем.

Изопсефия

Изопсефия — это метод перевода букв и слов в числа. Дело в том, что в древнегреческом алфавите все буквы были также и числами от 1 до 900. Кстати, таким же образом обозначаются числа и в церковнославянском языке.

Примеры записи чисел кириллицей. Изображение: Wikimedia Commons

Примеры записи чисел кириллицей. Изображение: Wikimedia Commons

Аналогичный метод, используемый для перевода в числа слов на латинице, был придуман немецким алхимиком, гуманистом, врачом и астрологом Генрихом Корнелиусом и называется методом Агриппы.

Таблица перевода латинских букв в числа Генриха Корнелиуса. Изображение: Wikimedia Commons

В 1612 году учёный-протестант Андреас Хельвиг перевёл латинские буквы ошибочно приписываемого папе римскому титула Наместник Сына Божьего (Vicarius Filii Dei) и получил 666 — «число зверя» в христианской догматике. Так Хельвиг пытался доказать, что Римская католическая церковь — это Сатана. При этом официальный титул папы римского — Наместник Иисуса Христа (Vicarius Iesu Christi).

То же число 666 образуют буквы имени Эллен Гулд Уайт, одной из основательниц Церкви адвентистов седьмого дня. При определённых трактовках 666 образуют имена Адольфа Гитлера и Мартина Лютера, а также словосочетание «папа Лев X».

Однако гораздо более известен так называемый пифагорейский метод, где каждой букве алфавита присваивается цифра от 1 до 9. Считается, что с помощью этой системы можно узнать сильные и слабые стороны человека по буквам его имени, каждая из которых соотносится с определённой цифрой. Например, единица ассоциируется с эгоизмом и лидерством, а тройка — с креативностью, гибкостью и идеализмом.

«Пифагорейская» таблица перевода букв в цифры. Источник: Wikimedia Commons

Перевод чисел

Часто нумерологии переводят числа в цифры, то есть заменяют многозначное выражение однозначным. Для этого используются разные методы. Самый простой — обычное сложение всех цифр:

12.04.1961 = 1 + 2 + 0 + 4 + 1 + 9 + 6 + 1 = 24 = 2 + 4 = 6

Это практика может применяться к чему угодно: к дате рождения, адресу, номеру телефона. В некоторых вариантах такие числа, как 11, 22 и 33, не сокращаются .

Арифмомантия

Перевод чисел — важный элемент арифмомантии (арифмантии), или гадания по числам. Её практиковали древние греки (платоники и пифагорейцы), халдеи (семитские племена Месопотамии) и последователи оккультного иудаистского учения каббалы. У последних она называлась гематрией. Математик, профессор Уорвикского университета Иэн Стюарт считает , что именно из арифмомантии родилась современная нумерология.

Арифмомантия вместе с изопсефией являются видом ономантии (onomancy) — популярной в Средние века практики гадания по имени.

Арифмомантию могли выбрать в качестве факультативного курса в Хогвартсе герои книг Джоан Роулинг о Гарри Поттере.

Почему нумерология не работает

При всей своей богатой истории нумерология не имеет ничего общего с научными математическими дисциплинами, такими как, например, теория чисел.

Реальных исследований, подтверждающих или опровергающих эффективность нумерологии, практически нет. Одним из таких можно считать опыт Гилада Диаманта, физика и программиста из Университета Тель-Авива, результаты которого опубликованы на его сайте.

Для своего эксперимента Диамант привлёк профессионального нумеролога Матти Стренберга и 200 добровольцев. Исследование должно было прояснить, можно ли с помощью чисел предсказать проблемы с обучаемостью: СДВГ, дислексию, дискалькулию и аутизм. Две попытки дали результат, граничащий со статистической погрешностью (меньше 5%). Поэтому, считает Диамант, нет никакой связи между нумерологическими формулами и реальностью.

Впрочем, и без экспериментов обоснованность нумерологии как достоверного знания вызывает вопросы.

Иэн Стюарт так описывает применение нумерологии по отношению к себе. Буквы его имени, переложенные на числа, дают сумму 130. Как это можно трактовать? За 130 лет до рождения математика, в 1815 году, произошла битва при Ватерлоо. Значит, его, как англичанина, ждёт великая победа над французом? Полученный результат исследователь трактует и по-другому: 130 = 13 × 10. 13 — «несчастливое» число, а 10 — число совершенства. Трактовать нумерологические расчёты можно как угодно.

Существует очень много числовых совпадений, которые трудно объяснить рационально. Поэтому нет ничего удивительного в том, что некоторые считают их таинственными. Причём чаще всего люди обращают внимание только на то, что подтверждает «мистичность» совпадений, а огромное количество противоречащих этому сведений игнорируется. Например, тот же Авраам Линкольн был убит 14 апреля 1865 года, а Джон Кеннеди погиб 22 ноября 1963 года. А Бут, скорее всего, родился в 1838 году, а не в 1839-м, и прятался в сарае, а не на складе.

Стоит понимать, что числа — это не порождение сверхъестественных сил, а абстракция, придуманная человеком для удобства. Возможно, в других условиях наши системы отсчёта были бы другими — например, двадцатеричными, как у майя.

Апелляции нумерологов к именам мудрецов прошлого не выдерживают никакой критики. Методы нумерологии (например, та же изопсефия) были популярны у первых математиков, когда научное и мифическое мировоззрения были очень близки друг к другу. Сегодня же никому не придёт в голову сравнивать алхимию с химией, а астрологию — с астрономией, но именно это происходит с нумерологией и математикой.

Нумерология — это суеверие и псевдонаука, использующая математику для создания иллюзии серьёзной концепции. Это пример того, как можно извратить даже точную науку. Не попадайтесь на эту удочку.

Читайте также ✋🧙‍♂️🔢

(PDF) 6.6 КОМБИНАТОРНАЯ МАТРИЧНАЯ ТЕОРИЯ

Печатные ресурсы:

[AhMaOr93] Р.К. Ахуджа, Т.Л. Магнанти и Дж. Б. Орлин, Сетевые потоки: теория,

Алгоритмы

и приложения, Прентис-Холл, 1993.

[An An. ] Т. Андо, “Полностью положительные матрицы”, Линейная алгебра и ее приложения 90

(1987), 165–219. (Обсуждает основные свойства вполне положительных матриц.)

[An14] Х. Антон, Элементарная линейная алгебра, 11-е изд., Wiley, 2014.

[Ba14] R.Б. Бапат, Графы и матрицы, 2-е изд., Springer, 2014. (Содержит введение в комбинаторную теорию матриц и спектральную теорию графов.)

[BaRa97] Р. Б. Бапат и Т. Е. Рагхаван, Неотрицательные матрицы и приложения,

Энциклопедия математических наук, № 64, Cambridge University Press, 1997.

[Be97] Р. Беллман, Введение в матричный анализ, 2-е изд., SIAM, 1997.

[BePl94] А. Берман и Р. Дж. Племмонс , Неотрицательные матрицы в математических

наук, СИАМ, 1994.(Второе исправленное издание аутентичного современного введения.)

[BlMi77] Н. Дж. Блох и Дж. Г. Майклс, Линейная алгебра, МакГроу-Хилл, 1977 г.

[Br06] Р.А. Бруальди, Комбинаторные матричные классы, Cambridge University Press, 2006.

(Подробно обсуждает матричные классы, такие как в A (R, S), и дважды стохастические матрицы.)

[BrRy91] Р.А. Брюальди и Х. Дж. Райзер, Комбинаторная матричная теория, Кембридж Uni-

versity Press, 1991. (Обсуждает комбинаторные результаты, относящиеся к матрицам и графам,

, а также перманентам.)

[БрШ09] Р.А. Бруальди, Б. Шейдер, Матрицы знаково-решаемых линейных систем, Cam-

bridge University Press, 2009. (Подробно описывает концепцию знаковой разрешимости.)

[Da10] Б. Н. Датта, Числовая линейная алгебра и приложения, 2-е изд., SIAM, 2010.

[DuErRe89] IS Du, AM Erisman, JK Reid, Direct Methods for Sparse Ma-

trices, 2nd ed., Oxford University Press, 1989.

[Ga59] FR Gantmacher, Theory of Матрицы, тома I и II, Челси, 1959.

(Первый том содержит введение в теорию матриц; второй обсуждает специальные

темы, такие как неотрицательные матрицы и полностью положительные матрицы.)

[GeLi81] А. Джордж и Дж. W-H. Лю, Компьютерное решение систем с большим разреженным положительным определением

, Прентис-Холл, 1981.

[GoVa12] Голубь Г.Х. и Ван Лоан, Матричные вычисления, 4-е изд., Johns Hop-

kins University Press, 2012. ( Обсуждает элементарные и расширенные задачи матричных вычислений

; замечательное сочетание теоретических аспектов и численных вопросов.)

[Ho13] Л. Хогбен, Справочник по линейной алгебре, 2-е изд., Chapman & Hall / CRC, 2013.

(Этот справочник дает отличный обзор линейной алгебры и подробно рассматривает комбинаторную теорию матриц

).

[HoJo90] Р.А. Хорн и С.Р. Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press,

1990. (Комплексное современное введение в теорию матриц.)

[Kn81] DE Knuth, «Постоянное неравенство», American Mathematical Monthly 88

(1981), 731–740.

[MaOlAr11] A.W. Маршалл, И. Олкин, B.C. Арнольд, Неравенства: Теория мажоризации

и ее приложения, 2-е изд., Springer, 2011. (Дает всестороннее введение в теорию мажорирования

и ее многочисленные приложения.)

[Mi84] Х. Минк, Перманентс, Кембриджский университет Press, 1984.

14

Основы и приложения теории случайных матриц в математике и физике – 24 августа – 18 декабря

Основы и приложения теории случайных матриц в математике и физике

Список участниковПросмотр видео

Организаторы: Алексей Бородин, Питер Форрестер, Ян Федоров, Алиса Гионнет, Джон Китинг, Марио Кибург и Якоб Вербааршот
24 августа – 18 декабря 2015 г.

Еженедельные переговоры проходят в SCGP Room 313 в 11:00.

Теория случайных матриц применялась во многих областях чистой и прикладной математики и в физике, начиная от корреляций между нулями функции Римана и распределения самых длинных возрастающих подпоследовательностей перестановок до пространственного распределения ядерных уровней и корреляций между ними. собственные значения оператора Дирака в квантовой хромодинамике. В этой программе мы обсудим недавние разработки теорий случайных матриц, выходящие за рамки десятикратной классификации в терминах больших симметричных пространств.В частности, мы сосредоточимся на следующих четырех областях: 1) Теории киральных случайных матриц с приложениями к калибровочным теориям и функции Римана. Непертурбативные свойства сильно взаимодействующих квантовых теорий можно понять с помощью теорий случайных матриц с той же моделью нарушения киральной симметрии. Недавние исследования показывают, что то же самое верно, если симметрии мягко нарушаются эффектами дискретизации или химическим потенциалом. Также будут обсуждаться приложения к нулям функции Римана, спектры Дирака в более низких размерностях и связи с топологическими изоляторами.2) Связь между интегрируемостью и теорией случайных матриц. Теории инвариантных случайных матриц могут быть решены из-за лежащих в их основе интегрируемых структур, таких как, например, уравнение цепочки Тоды. Более сложные ансамбли все еще могут быть решены, предполагая, что существует базовая интегрируемая структура, и мы надеемся исследовать такие отношения в этой программе. 3) Универсальные свойства на ансамблях неинвариантных случайных матриц. Примерами являются матрицы Вигнера, ансамбли разреженных матриц и ленточные матрицы.В частности, ленточные матрицы описывают переход между статистикой собственных значений Пуассона и Вигнера-Дайсона и используются для изучения масштабных свойств локализации. Основываясь на недавних исследованиях, показывающих, что эти свойства универсальны, мы надеемся добиться дальнейшего прогресса в этой области. 4) Теория случайных матриц и динамика. Это восходит к модели броуновского движения Дайсона для собственных значений случайных матриц, но в последнее время эта тема привлекла большое внимание в контексте неравновесной динамики и уравнения Кардара-Паризи-Жанга.Это также тема семинара Случайные матрицы, процессы случайного роста и статистической физики с 6 по 11 сентября, который является частью этой программы. Также будут обсуждаться связанные с этим вопросы, такие как эволюция Ланжевена спектров случайных матриц и отношения между стохастическим уравнением Лёвнера и теорией случайных матриц. Второй семинар, связанный с физическими приложениями теории случайных матриц, может быть организован позже в рамках программы.

Заявка на участие в программе закрыта.

Дата Динамик Название
8/28 Питер Форрестер Распределение Ренея и случайные матрицы
14 сентября Синсукэ Нишигаки, Университет Симанэ, Япония Распределение Трейси-Уидома и спонтанное
нарушение SUSY в матричной модели суперструн 2D IIA
9/16 Arno Kuijlaars, Universiteit van Leuven, Бельгия Произведения случайных матриц
18 сентября Лувенский университет имени Пьера ван Мобеке, Бельгия Процесс Tacnode GUE-Minor
30 сентября Мария Щербина, Институт физики низких температур,
National Ac.Sci. Украины
Центральная предельная теорема для линейной статистики собственных значений
случайных матриц с независимыми или слабо зависимыми элементами.
1/10 Ханс Вайденмюллер, Институт Макса Планка, Kernphysik, Гейдельберг, Ширина нейтронного резонанса и распределение Портера-Томаса
10/5 Тило Веттиг, Регенсбургский университет О подходе Цирнбауэра к индуцированной КХД
10/7 Марк Адлер, Университет Брандейса Двойные ацтекские ромбы и ромбовидные плитки с неровными границами
10/9 Гернот Акеманн, Университет Билефельда Последние достижения в произведениях случайных матриц
10/12 Франческо Меццадри (Бристольский университет) Глобальные колебания линейной статистики бета-ансамблей
10/14 Нина Снайт (Бристольский университет) Сочетание теории случайных матриц и теории чисел
10/16 Татьяна Щербина (г.Санкт-Петербургский государственный университет) Матрицы случайных полос: делокализация и универсальность
23/10 Томас Селигман, УНАМ Мексики и CIC Куэрнавака Случайные матричные ансамбли матриц плотности из первых принципов и из динамики случайных матриц. [1]
28/10 Манан Вьяс Теория случайных матриц для квантовых систем многих тел
10/30 Фабио Франкини, ICTP Триест Нарушение эргодичности в инвариантных матричных моделях
9/11 Марио Кибург, Университет Дуйсбург-Эссен Произведения случайных матриц и квантовой теории информации
11/11 Петр Варшот, Ягеллонский университет, Краков Корреляторы левых и правых собственных векторов неэрмитовых случайных матриц.
13/11 Джеймс Осборн, Аргоннская национальная лаборатория Решеточные фермионы Дирака и киральные эффективные теории
18/11 Мигель Тьерс, Мадридский университет Матричные модели в теории материи Черна-Саймонса
11/20 Ниведита Део, Делийский университет Подсчет складок РНК из случайных матричных моделей и сетей

Матрица выплат в экономике: теория и примеры – видео и стенограмма урока

Как выглядит матрица выплат

Теперь, прежде чем вы убежите играть в «Камень, ножницы, бумага» с самым близким человеком, которого вы можете найти (в образовательных целях!), Вам все равно нужно посмотреть, как выглядит матрица выплат.Вот пример матрицы выплат «Камень, ножницы, бумага»:

Матрица выплат состоит из трех основных частей:

Противники: В данном случае это Игрок 1 и Игрок 2.

Стратегии: Это камень, ножницы и бумага. Стратегии Игрока 1 расположены вдоль вертикальной стороны матрицы, а стратегии Игрока 2 – вдоль горизонтальной стороны матрицы.

Исходы: Возможные исходы для этой игры: победа, поражение, ничья.«Победа» обозначается 1, «проигрыш» обозначается -1, а «ничья» обозначается 0.

Чтобы определить результат игры, вы выберете строку стратегия, выбранная Игроком 1, и столбец стратегии, выбранной Игроком 2. В соответствующем поле 2 числа; первое число (красным) – результат для Игрока 1, а второе число (синее) – результат для Игрока 2. Таким образом, если Игрок 1 выбирает Камень, а Игрок 2 выбирает бумагу, результат будет -1,1, потому что Игрок 2 выиграет.

Анализ результатов

Эффективным методом анализа всех возможных результатов является определение совокупного результата каждой возможной стратегии. Совокупный результат определяется путем сложения двух результатов в одном поле. Если вы сделаете это для игры «Камень, ножницы, бумага», вы заметите, что все совокупные результаты равны 0. Совокупный результат 0 означает, что единственная возможность состоит в том, что один игрок выиграет, а другой проиграет, или что оба игрока сыграют вничью. .Это не относится ко всем процессам принятия решений. В большинстве реальных решений будут разные совокупные результаты. Это может помочь определить стратегию, которую может выбрать противник. Например, возьмите эту матрицу выплат:

Это гипотетическая ситуация, в которой вы, надеюсь, никогда не окажетесь. В этой ситуации вас и другого человека арестовывают за преступление. Полиция разделяет вас во время допроса, и они говорят вам, что если вы признаетесь в преступлении, а ваш партнер признается в преступлении, каждый из вас получит 1 год тюремного заключения.Если вы признаетесь, а ваш партнер откажется, то вы получите 3 года тюрьмы, и ваш партнер выйдет на свободу. Если вы оба будете отрицать, то каждый получит по 2 года тюрьмы.

Когда вы определите совокупные результаты, вы увидите, что возможны 4, 3 и 2. Мы предполагаем, что вы хотите, чтобы общее время, которое вы и ваш партнер провели в тюрьме, было как можно меньше; вы оба выбрали бы вариант, который дает нам результат 2, а именно: вы оба признаетесь в преступлении.Очевидно, что в реальном мире это не так, но он дает отличное представление о том, как применять совокупные результаты к принятию решений.

Резюме урока

Матрица выплат – это инструмент, который используется для упрощения всех возможных результатов стратегического решения. Это визуальное представление всех возможных стратегий и всех возможных результатов. В принятии решения вам может помочь анализ всех возможных результатов путем вычисления совокупного результата и прогнозирования того, какую стратегию может выбрать ваш оппонент.

Зачем нужна матрица выплат?

  • Матрица выигрыша – это визуальное представление возможных результатов стратегического решения.
  • Матрица выплат включает данные по противникам, стратегиям и результатам.
  • Матрица выплат может использоваться для вычисления совокупного результата и прогнозирования стратегии.

Результаты обучения

Процесс изучения различных аспектов матрицы выплат может подготовить вас к:

  • Определению и распознаванию матрицы выплат
  • Обрисуйте его три основные части
  • Реализовать метод анализа всех возможных результатов

Обзор теории матриц и матричных неравенств

Идея рассмотрения набора чисел (или других математических объектов) в виде прямоугольного массива используется многими людьми из различных областей математики, статистики, компьютерных наук и инженерии.Свойства таких массивов, которые мы называем матрицами, также лежат в основе последних достижений в комбинаторике, теории кодирования и многих других предметах.

Как видно из названия, рецензируемая книга представляет собой краткое изложение теории матриц, дающее быстрое, но убедительное представление о теории, в которой основное внимание уделяется неравенствам. Книга состоит из трех основных частей. В первой части дается обзор теории матриц. Он содержит различные списки результатов, многие из которых не имеют доказательств. В качестве основы для следующих двух частей этот обзор включает несколько разделов, в которых вводятся числа, относящиеся к матрицам, такие как определяющие, постоянные, следовые и характеристические корни (также известные как собственные значения).

Вторая часть, которая действительно является основной и сердцевиной книги, содержит различные неравенства, включающие приведенные выше числа для различных видов матриц. Их список можно найти в оглавлении. Выпуклость играет важную роль: это первая обсуждаемая тема, и два первых раздела посвящены ей. В процессе авторы делают краткий обзор важных классических неравенств, что кажется очень приятным для людей, работающих над теорией неравенства. В третьей части книги изучается расположение характерных корней, приводя несколько включающих их неравенств.

Книга содержит компактно изложенные сведения о многих классических теоремах, соотношениях и неравенствах для матриц. Это делает книгу удобной ссылкой для исследователей, занимающихся матрицами, особенно тех, кто работает с неравенством.

В книге нет упражнений, поэтому это не учебник. Но структура глав и метод изложения очень похожи на то, что можно найти в тексте. Я считаю, что если преподаватель учитывает некоторые факты, которые просто перечислены в качестве упражнений, то книгу можно использовать в качестве учебного пособия на продвинутом курсе для студентов или даже как часть некоторых курсов для аспирантов.

Я настоятельно рекомендую эту книгу всем, кто посещает курс, связанный с теорией матриц или использующий ее: нет сомнений, что они найдут очень хорошую и полезную информацию.


Мехди Хассани – преподаватель кафедры математики Зенджанского университета, Иран. Сфера его интересов – элементарная, аналитическая и вероятностная теория чисел.

Прогнозирование сродства белок-лиганд с помощью случайной матрицы матрицы

Значимость

Разработка вычислительных методов для скрининга лигандов против белковых мишеней является серьезной проблемой для открытия лекарств.Мы представляем надежную математическую основу, вдохновленную теорией случайных матриц, которая предсказывает связывание лиганда с мишенью с учетом известного набора лигандов этой мишени. Наш метод рассматривает прогноз связывания как проблему шумоподавления, признавая, что только некоторые из химически важных свойств, связанных с каждым лигандом, способствуют связыванию с конкретным рецептором. Мы используем корреляции между химическими признаками в известном наборе лигандов в сочетании с теорией случайной матрицы, чтобы устранить статистически незначимые корреляции.Наш метод превосходит существующие алгоритмы в литературе. Мы показываем, что наш алгоритм имеет физическую интерпретацию оценки энергии связи лиганд-мишень.

Abstract

Быстрое определение того, будет ли соединение-кандидат связываться с конкретным рецептором-мишенью, остается камнем преткновения в открытии лекарств. Мы используем подход, вдохновленный теорией случайной матрицы, чтобы разложить известный набор лигандов мишени с точки зрения ортогональных «сигналов» основных химических свойств и отличить их от гораздо большего набора химических свойств лигандов, которые не имеют отношения к связыванию с ним. конкретный целевой рецептор.После устранения шума, вызванного конечной выборкой, мы показываем, что сходство неизвестного лиганда с оставшимися очищенными химическими элементами является надежным предиктором сродства лиганд-мишень, работающего так же или лучше, чем любой алгоритм в опубликованной литературе. Мы интерпретируем наш алгоритм как получение модели энергии связи между целевым рецептором и набором известных лигандов, где лежащая в основе модель энергии связи связана с классической моделью Изинга в статистической физике.

Поиск новых лигандов, которые связываются с заданной мишенью, является одновременно важным шагом и главным камнем преткновения в открытии современных лекарств. Были предприняты многочисленные попытки разработать вычислительные алгоритмы для прогнозирования сродства связывания лиганда с данным рецептором, что позволило бы проводить скрининг потенциальных соединений in silico, снижая затраты и экономя время. В частности, в связи с обилием экспериментальных данных, которые существуют как внутри фармацевтических компаний, так и в свободно доступных онлайн-базах данных, таких как ChEMBL (1), все большее внимание привлекают подходы, которые пытаются «учиться» на этих данных (2).

Интуитивно понятный подход, основанный на данных, основан на гипотезе о том, что химические общие черты известного набора лигандов обнаруживают характерные особенности сайта связывания. Следствием этого является то, что лиганды со сходной химической функциональностью, как ожидается, будут иметь одинаковую аффинность связывания с конкретным рецептором (3, 4). Это предполагает, что известный набор лигандов данной мишени может быть использован для изучения критериев, которые предсказывают, будет ли новый лиганд связываться с мишенью. Этот подход, основанный на лигандах, представляет собой мощную парадигму, которая не требует структурной информации о рецепторе, которую потенциально сложно получить, в отличие от других более атомистических методов, таких как стыковка или молекулярная динамика.

Любой метод на основе лиганда требует способа количественной оценки химических функциональных возможностей лиганда, и были предложены различные химические дескрипторы. Примеры включают вектор измеренных или предсказанных физических свойств (5⇓⇓ – 8), вектор, перечисляющий наличие или отсутствие известных функциональных групп на лиганде (9, 10), векторное представление связностей в молекулярном графе (11, 12) (известные также как молекулярные отпечатки пальцев) и просто трехмерная форма лиганда (13⇓⇓ – 16). Существующие подходы затем берут дескриптор, связанный с каждым лигандом, и сравнивают лиганды друг с другом, например, с помощью коэффициента Танимото (17, 18).

Тем не менее, независимо от того, как количественно определены химические функции лиганда, без случайного априорного знания, какие свойства лиганда определяют связывание, большинство химических характеристик, описывающих лиганд, вероятно, не имеют значения. В то время как некоторые из характеристик дескриптора определяют связывание с интересующим рецептором, другие нет и просто добавляют фоновый шум. Более того, для любого конкретного рецептора известный набор лигандов, которые с ним связываются, часто меньше или того же порядка величины, что и количество потенциально значимых химических свойств.Таким образом, проблема прогнозирования связывания на основе лиганда может быть преобразована в проблему обработки сигналов – можем ли мы идентифицировать те химические свойства лиганда, которые определяют связывание (то есть «сигнал») среди множества нерелевантных («шум») в режиме, когда количество данных ненамного превышает количество измеряемых переменных?

Теория случайных матриц (RMT) обеспечивает естественную математическую основу для решения этой проблемы. Физические приложения RMT включают исследование Вигнером спектров тяжелых атомов (19).В контексте анализа данных RMT дает нулевую модель сходства между образцами (лигандами), которое можно ожидать случайно из-за конечной выборки (20). Мощные аналитические инструменты RMT определяют точный порог, который отличает сходство, которое можно ожидать случайно, от сходства, вызванного сигналом. Эти инструменты позволяют использовать эффективный и простой алгоритм шумоподавления, который позволяет нам восстанавливать статистически значимые сигналы. Этот алгоритм шумоподавления использовался в различных областях, от финансов (21⇓ – 23) до распознавания лиц (24, 25).

Эта статья содержит три основных результата. Во-первых, мы показываем, что для случайно выбранного набора молекул распределение собственных значений ковариационной матрицы химических дескрипторов согласуется с каноническим распределением Марченко – Пастура (26) RMT, ожидаемым при отсутствии какого-либо значимого сигнала. Во-вторых, если мы рассмотрим дескрипторы фармакологически похожих молекул, то есть тех, которые связываются с одним и тем же белковым рецептором, то часть спектра собственных значений согласуется с распределением MP, но, что очень важно, есть собственные значения, которые значительно отклоняются от него.Эти собственные значения и соответствующие им собственные векторы описывают статистически значимые сигналы. Наиболее распространенная субструктура этих собственных векторов соответствует фармакофорам. Используя эти два результата, мы можем предсказать с большей точностью, чем известные методы, когда неизвестный лиганд свяжется с рецептором, создавая уникальную модель для каждого рецептора белка. Наконец, мы обеспечиваем физическую интерпретацию успеха алгоритма, а именно, что он эффективно выводит модель энергии связывания лиганд-белок из ковариантной структуры отпечатков пальцев, которые связываются с целевым белком.Базовая математическая модель тесно связана с классической моделью Изинга в статистической физике.

Структура RMT

Чтобы мотивировать структуру RMT, мы сосредоточимся на популярном наборе дескрипторов, которые часто используются в хеминформатике. Молекулярные отпечатки пальцев обычно строятся, сначала представляя лиганд в виде двумерного молекулярного графа, а затем рассматривая все возможные пути связи внутри молекулы (11, 12). Набор путей связи, которые характеризуют каждую молекулу, уникален, так что только идентичные молекулы имеют точно такие же пути связи; похожие молекулы разделяют большинство путей связи.Поскольку набор всех возможных путей связи обширен, обычно отпечатки пальцев определяются, сначала рассматривая пути связи, которые ниже некоторой пороговой длины (т. Е. В пределах некоторого радиуса каждого атома структуры), а затем сопоставляя эти пути связи с битовой цепочкой определенной длины [молекулярный «отпечаток пальца» (27)] с помощью хеш-функции.

Основная цель состоит в том, чтобы обнаружить сходство между набором двоичных строк одинаковой длины, p , где каждый бит представляет присутствие или отсутствие молекулярного признака.В этих битовых цепочках присутствует значительный шум, потому что только некоторые из битов действительно информативны – для любого конкретного рецептора не все пути связывания одинаково важны для связывания лиганд-мишень. Если отдельные биты двоичных строк были выбраны случайным образом, без информации о связывании лиганд-мишень, тогда RMT предсказывает, что распределение собственных значений ковариационной матрицы битовых строк подчиняется определенной аналитической функции, известной как MP-распределение. Следовательно, высокоточным тестом для обнаружения наличия неслучайных общностей среди набора строк является сравнение спектра собственных значений их ковариационной матрицы с MP-распределением.Любое отклонение обязательно отражает наличие сигнала в данных, которые в данном случае представляют собой наборы молекулярных характеристик, которые характеризуют выбранное взаимодействие лиганд-мишень.

Математически мы представляем k -й лиганд, связанный с выбранным рецептором, как вектор-строку из битов fk, используя алгоритм отпечатка пальца Моргана с радиусом 3, реализованный с помощью пакета rdKit (28). Ансамбль лигандов N , которые связываются с выбранным рецептором, может быть организован в виде матрицы данных A = [f1; f2 ⋯ fN] ∈ℝN × p, где значение N будет варьироваться между рецепторами.Затем мы удаляем повторяющиеся столбцы матрицы данных, которые соответствуют избыточной информации, и преобразуем матрицу данных в оценки z , вычитая среднее значение столбца и нормализуя каждый столбец, чтобы получить единичную дисперсию. Это позволяет построить корреляционную матрицу N × N C = ATA / N. В общем, для хорошо отобранных данных большие записи в C будут указывать на отношения между конкретными молекулярными особенностями, предполагая, что эти особенности не встречаются независимо друг от друга в этом наборе данных.

Фундаментальный результат теории случайных матриц описывает распределение собственных значений корреляционной матрицы C аналитически – при определенных слабых предположениях, если элементы в A взяты из гауссовского распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, вероятность , имеющий собственное значение λ , задается распределением MP (26) ρ (λ) = [(1 + γ) 2 − λ] + [λ− (1 − γ) 2)] + 2πγλ, [1] где γ = p / N описывает, насколько хорошо отобран набор данных. Вероятность того, что случайная матрица имеет собственные значения больше, чем (1 + γ) 2 в отсутствие какого-либо сигнала, исчезающе мала.Таким образом, ключевое понимание, полученное из уравнения. 1 состоит в том, что эти собственные значения выше (1 + γ) 2 соответствуют статистически значимым сигналам.

Рис. 1 A показывает, что распределение собственных значений корреляционной матрицы 1000 лигандов, выбранных случайным образом из ChEMBL (1), количественно согласуется с распределением MP. Однако, если вместо этого мы выбираем лиганды неслучайно, выбирая наборы лигандов, связанные с конкретным белковым рецептором, мы обнаруживаем значительное количество собственных значений выше порога MP.В качестве примеров на фиг.1 B и C показано распределение собственных значений из наборов лигандов из ChEMBL, связанных с двумя рецепторами, связанными с G-белком, рецептором аденозина A2a (AA2AR) и β1-адренергическим рецептором (ADRB1).

Рис. 1. Распределение

MP (красная кривая) обеспечивает нулевую гипотезу для корреляций лиганд-лиганд, ожидаемых в отсутствие сигнала. Распределение собственных значений построено для корреляционной матрицы ( A ) случайной выборки из 1000 лигандов из ChEMBL и набора лигандов ( B ) AA2AR и ( C ) ADRB1.

Распределение MP, таким образом, предлагает интуитивно понятный алгоритм шумоподавления для лигандов, которые связываются с конкретным рецептором: только собственные векторы с собственными значениями, превышающими верхнюю границу MP, соответствуют статистически значимым характеристикам рецептора; другие собственные векторы просто отражают случайный шум, вызванный конечной выборкой. Таким образом, набор статистически значимых характеристик, представленных в виде ортонормированных собственных векторов, является ортогональными химическими характеристиками, имеющими отношение к связыванию лиганда. Другими словами, если существует m собственных значений, превышающих верхнюю границу MP, то линейное пространство, охватываемое m ассоциированными собственными векторами, V = span (v1, v2, ⋯ vm), является подпространством пространства химических признаков. что облегчает связывание с этим конкретным рецептором.

Классификация неизвестных лигандов

Интуитивно, если неизвестный лиганд достаточно похож на набор известных лигандов, которые связываются с рецептором, неизвестный лиганд, вероятно, также будет связываться с рецептором. Структура случайной матрицы дает точное математическое утверждение для этой интуиции: предполагается, что неизвестный лиганд свяжется с рецептором, если вектор битовой строки, соответствующий неизвестному лиганду (после преобразования в z , оценка путем вычитания среднего значения выборки и нормализации на выборочная дисперсия) лежит близко к подпространству V.

Пусть u будет вектором z баллов, соответствующих неизвестному лиганду. Проекция u на V задается формулой up = ∑i = 1m (vi⋅u) vi. [2] Здесь u лежит в подпространстве V тогда и только тогда, когда u = up. Таким образом, расстояние между u и up является количественным показателем сходства между неизвестным лигандом и набором лигандов, которые связываются с рассматриваемым рецептором. Предполагается, что лиганд связывается тогда и только тогда, когда u-up‖ <ϵ, [3] где ‖⋅‖ - евклидова норма, а ε - пороговый параметр. Уравнение 3 имеет химическую интерпретацию, заключающуюся в том, что можно быть уверенным, что лиганд будет связываться с рецептором, если он содержит фармакофоры, обнаруженные в известных лигандах, и минимально украшен другими функциональными группами.Фармакофор, как правило, представляет собой небольшой фрагмент (см. Рис. 4), и химические свойства полученной молекулы будут все больше отклоняться от свойств фармакофора по мере включения дополнительных функциональных групп. Параметр порога ε позволяет контролировать толерантность анализа к присутствию других функциональных групп и, следовательно, выбирать соответствующий компромисс между ложноположительными / ложноотрицательными результатами; это подробно обсуждается ниже.

Чтобы проверить это, мы рассматриваем человеческие рецепторы, связанные с G-белком (GPCR), о которых сообщается в ChEMBL.Считается, что лиганд связывается с данной мишенью, если его Ki, Kd, ​​IC50 или EC50 составляет 1 мкМ или меньше. Мы рассматриваем только GPCR с более чем 120 известными лигандами, указанными в ChEMBL. Мы случайным образом сортируем лиганды на обучающий набор (80%) и проверочный набор (20%). Для проверки на ложные срабатывания нам нужны соединения, которые не связываются с рецептором. Отрицательные результаты редко сообщаются, и разумный отбор ловушек по-прежнему является предметом интенсивных исследований (29). В нашем анализе мы используем случайный выбор из 1000 соединений из ChEMBL в качестве прокси.Среднее количество лигандов, связанных с каждым GPCR, составляет ~ 400; таким образом, даже если фактический набор лигандов на порядок больше, чем тот, который известен, он все равно составляет незначительную долю от 1 583 897 соединений в ChEMBL. Следовательно, случайный выбор 1000 лигандов из ChEMBL вряд ли будет содержать какой-либо лиганд, который связывается с конкретным GPCR.

Кривая рабочей характеристики приемника (ROC) отображает точность определения лигандов (истинно положительных результатов) как функцию ложноположительных прогнозов.Эта характеристика обычно используется для количественной оценки эффективности алгоритмов классификации. В частности, площадь под ROC (так называемая AUC) является решающим показателем качества: чем ближе AUC к 1, тем лучше классификатор. Рис. 2 A показывает, что наш алгоритм имеет среднее значение AUC 0,9, превосходя методы, обычно используемые в литературе, которые имеют среднее значение AUC 0,7-0,8 (30). Таким образом, наш алгоритм легко превосходит по эффективности обычно используемые методы.

Рис. 2.

Наш алгоритм, основанный на RMT, классифицирует лиганды с высокой точностью.( A ) Кривая ROC нашего алгоритма. AUC средней кривой ROC составляет 0,9. Заштрихованная область показывает 1 стандартное отклонение в истинно положительном результате, соответствующее AUC = 0,86–0,95. ( B ) Точность идентификации лигандов и отклонения ложных целей, построенная как функция процента обучающей выборки, отклоненной выбором порога ε.

Кривая ROC строится путем изменения ε, порогового параметра в уравнении. 3 . На рис. 2 B показан эффект изменения ε, представленный как процент обучающей выборки, приходящийся на каждый выбор ε.Строгий выбор ε соответствует тому, что большая часть обучающей выборки отклоняется порогом в формуле. 3 , что дает низкий уровень ложноположительных результатов, но высокий уровень ложноотрицательных результатов. И наоборот, значение ε, которое составляет большую часть обучающего набора, имеет более высокую частоту ложных срабатываний, но более низкую частоту ложноотрицательных результатов. В оставшейся части этой статьи мы выбираем ε так, чтобы 95% обучающей выборки лежало в пределах порога в формуле. 3 . При таком эвристическом выборе алгоритм выбирает 84% проверочного набора в качестве лигандов с 7% ложноположительной частотой (т.е., он отклоняет 93% случайно выбранных лигандов из ChEMBL).

Случайное матричное распределение (уравнение 1 ) имеет решающее значение для успеха нашего алгоритма. Рис. 3 показывает, что включение слишком большого количества собственных векторов в V увеличивает частоту ложных срабатываний, в то время как включение слишком малого количества собственных векторов снижает вероятность успешного выбора лигандов из проверочного набора. Баланс между переоборудованием и недостаточным подбором достигается близко к пределу MP (поскольку граница является вероятностной, ожидается небольшое отклонение от выборки к выборке).Хотя на рис. 3 показаны результаты только для AA2AR, ADRB1, опиоидного рецептора μ1 и каннабиноидного рецептора CB1, почти оптимальность связывания MP является общей.

Рис. 3. Ограничение

MP обеспечивает баланс между переоснащением и недостаточным оснащением. Процентная точность идентификации лигандов из проверочного набора и отклонения лигандов, случайно выбранных из ChEMBL, показана как функция количества собственных векторов, включенных в V для ( A ) AA2AR, ( B ) ADRB1, ( C ) μ1 опиоидный рецептор и ( D ) каннабиноидный рецептор CB1.

Мы также сообщаем, что статистически значимые собственные векторы, выбранные нашим алгоритмом, представляют фармакофоры. Формально отпечаток пальца нельзя инвертировать напрямую, чтобы получить уникальную химическую структуру, потому что несколько структур могут привести к одному и тому же отпечатку пальца. Тем не менее, мы можем вывести структурный мотив, который представляет собственный вектор, по общей субструктуре среди тех лигандов, которые лежат ближе всего к этому собственному вектору. На рис. 4 показан структурный мотив, соответствующий двум верхним собственным значениям AA2AR и ADRB1.Поразительно, что первым собственным вектором AA2AR является именно мотив аденина. Второй собственный вектор содержит мотив тимина, слитый с более сложным каркасом. Для ADRB1 верхним собственным вектором является структурный мотив β -блокаторов (например, пропранолола), класса успешных антагонистов, которые используются, например, для лечения гипертензии.

Рис. 4.

Химический мотив, соответствующий первому и второму собственному вектору AA2AR и ADRB1. Мотив получается путем вычисления общей структуры среди 20 верхних лигандов, упорядоченных по величине скалярного произведения между его отпечатком пальца и собственным вектором.

Физическая модель

Прежде чем закончить, мы рассмотрим вопрос, почему этот алгоритм может оказаться эффективным. Какая физика закодирована в этих собственных значениях, превышающих порог MP, и связанных с ними собственных векторах?

Самый ясный способ определить, какие лиганды связываются с данным белком, – это точно предсказать энергию связывания каждого возможного лиганда с этим белком. Набор лигандов белка затем задается набором лигандов со сродством связывания, превышающим некоторый порог.Точное определение этой энергии связи требует чрезвычайно больших вычислительных ресурсов. Тем не менее, даже без определения энергии связывания лиганда из первых принципов, мы все еще можем надеяться параметризовать модель связывания белок-лиганд, где параметры определяются из набора лигандов, которые связываются с данной белковой мишенью. Если такая модель энергии связывания достаточно точна, она потенциально может давать точные прогнозы относительно того, какие лиганды связываются с данным целевым белком.

Теперь мы демонстрируем, что существует естественный класс моделей связывания лигандов, в которых наш алгоритм точно выбирает набор прочно связывающихся лигандов. Для начала отметим, что, поскольку мы описываем лиганды через их отпечатки пальцев f, энергия связывания лиганда является функцией отпечатков пальцев, то есть E = E (f). Мы можем разложить E по степеням f так, чтобы в ведущем порядке E (f) = ∑i = 1p wifi + ∑i, j = 1p fiJijfj +…. [4] Здесь wi и Jij – специфичные для белка величины; они параметризуют, насколько хорошо лиганды (характеризуемые их отпечатками пальцев) связываются с карманом связывания рассматриваемого белка.Значения wi, Jij и p также зависят от природы отпечатков пальцев, которые мы используем для описания лигандов. Более подробные отпечатки пальцев имеют больше шансов на точное моделирование энергии связывания между лигандом и рецептором, чем те, которые не принимают во внимание части молекулы, которые связываются с рецептором. Тот факт, что использованные здесь отпечатки пальцев Morgan 3, как уже давно было показано, обладают предсказательной силой для ассоциации лиганд-мишень, означает, что они достоверно содержат достаточную информацию для моделирования энергии связывания.Примечательно, что, поскольку отпечатки пальцев представляют собой двоичные строки длиной p , модель в формуле. 4 эквивалентна модели Изинга, хорошо известной в статистической физике.

Можем ли мы вывести w и J из отпечатков тех лигандов, которые связываются с белком-мишенью? Здесь мы берем на вход корреляционную матрицу отпечатков пальцев, которые связываются с каждой рассматриваемой белковой мишенью. Действительно, определение матрицы взаимодействия модели Изинга J из корреляционной матрицы является классической задачей в статистической физике и биофизике (31–35).Теперь мы утверждаем, что наша процедура, основанная на случайной матрице, эффективно устраняет шум, вызванный конечной выборкой, из этой проблемы. Суть нашего алгоритма заключается в выводе модели энергии связывания для белка Дж .

Мы можем напрямую вычислить корреляционную матрицу отпечатков пальцев, которые связываются с данной белковой мишенью (характеризуемой wi, Jij), отметив, что наша модель подразумевает, что равновесная вероятность наблюдения отпечатка пальца f определяется как P (f) = e− βE (f) Z, [5] где β = (kBT) -1 характеризует температуру, а Z – статистическая сумма, суммирующая e-βE по всем возможным отпечаткам пальцев.Корреляционная матрица следует непосредственно из этой модели через Cij = 〈fifj〉 – 〈fi〉 〈fj〉, где 〈⋅〉 обозначает среднее значение по вероятностной модели в уравнении. 5 . Корреляционная матрица Cij является функцией температуры T : при высоких температурах, где βE≪1, все f равновероятны, и нетривиальные корреляции исчезают. При более низких температурах набор вероятных отпечатков пальцев будет отражать структуру матрицы взаимодействия J в уравнении. 4 .

Соответственно, связывание лиганд-белок-мишень происходит только в диапазоне температур, и мы предполагаем, что мы находимся в диапазоне температур, при котором связывание является эффективным.Наш алгоритм вычисляет корреляционную матрицу Cij не на основе средних значений равновесия, а путем усреднения по n выборкам, где n – количество лигандов, которые связываются с рассматриваемой мишенью. Важно отметить, что n имеет тот же порядок величины, что и длина отпечатка p , поэтому наша вычисленная ковариационная матрица не сходится к ожидаемому равновесию – она ​​искажена шумом. Наша процедура извлечения собственных значений выше порога MP соответствует оценке энергии связи из матрицы данных.

Чтобы увидеть это, на рис. 5 показан набор имитаций модели Изинга. Мы рассматриваем отпечатки пальцев длиной p = 50, взятые из распределения по формуле. 5 . Мы берем коэффициенты первого порядка равными нулю (wi = 0; в случае отпечатков пальцев это соответствует использованию оценки z ) и выбираем J = −αu′JuJ, где α> 0. Это матрица ранга 1, где uJ – (случайно выбранное) направление, которое по построению минимизирует энергию. Рис. 5 A показывает спектр результирующей корреляционной матрицы, сформированной с учетом n = 200 выборок из уравнения. 5 с βα = 0,1. Температура достаточно высока, чтобы отпечатки пальцев не коррелировали, поэтому спектр хорошо соответствует распределению MP (красная линия). На рис. 5 B показан соответствующий спектр корреляционной матрицы при βα = 0,6. Здесь объемный спектр хорошо согласуется с распределением МП (красная линия), но есть одно собственное значение, которое выходит из объема с λ≈9. Рис. 5 C показывает, что собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, очень хорошо коррелирует с uJ.

Рис. 5.

Спектр собственных значений n = 200 отпечатков пальцев длиной p = 50, взятых из P (λ) в уравнении. 5 , где w = 0 и J = −αu′JuJ матрица ранга 1, описанная в тексте. ( A ) Спектр с β α = 0,1 количественно согласуется с распределением МП (красная линия). При высокой температуре ковариационная структура J не имеет значения, и отпечатки пальцев не коррелированы до шума выборки. ( B ) Спектр с β α = 0,6 имеет объем, который согласуется с распределением MP (красная линия), но имеет одно собственное значение, выходящее из объема, вблизи λ≈9.( C ) Собственный вектор v, связанный с этим собственным значением, сильно коррелирует с uJ, направлением J .

Эта корреляция между собственным вектором и матрицей связи J дает физическую интерпретацию проекции на подпространство собственных векторов, которые ускользают от MP-распределения в уравнении. 2 : Мы использовали данные, чтобы получить модель энергии связывания лиганда в «координатах» отпечатка пальца, и чтобы определить, связывается ли произвольный лиганд с мишенью, мы просто оцениваем эту энергию связывания.Корреляционная структура теряется, когда мы используем набор данных случайных лигандов вместо тех, которые соответствуют одному рецептору белка, потому что в этом случае нет базовой модели энергии, которую нужно изучить. Хотя в нашем моделировании (рис. 5) для простоты используется ранг-1 J , если J имеет более высокий ранг, большее количество собственных векторов будет вытеснено за пределы MP-распределения. Действительно, исх. 36 показали, что шумоподавление случайной матрицы связано с предварительным указанием того, что ранг J (в нашем случае количество независимых фармакофоров) меньше количества переменных (2048 для отпечатка пальца Morgan 3).Отметим, что энергия Изинга в уравнении. 4 предоставляет другой способ оценки лигандов. Однако точность классификации существенно не улучшается, если энергия оценивается с использованием приближения среднего поля в главном порядке (37).

Хотя интерпретация нашего алгоритма в терминах функции энергии связи требует экспериментальной проверки путем измерения энергии связи, мы отмечаем, что эта интерпретация предлагает несколько концептуальных выводов. Во-первых, новые соединения-кандидаты могут быть обнаружены путем изучения ландшафта потенциальной энергии уравнения. 4 , и скачки между различными минимумами энергии могут быть связаны с «скачками каркаса» при открытии лекарств (38), поскольку минимумы будут соответствовать структурам с фармакофорами. Исследование топологии энергетического ландшафта и тех путей, которые соединяют отдельные бассейны (39), а также статистики минимумов энергии, может выявить свойства места связывания. Во-вторых, связь нашего алгоритма с энергией взаимодействия дает возможность расширить наш метод на задачи регрессии, такие как предсказание растворимости (40).

В-третьих, отметим, что химические отпечатки пальцев могут быть улучшены путем включения физически значимых терминов, таких как заряд и молекулярный объем. Этому способствует наш подход, который учитывает дополнительный шум, вносимый увеличением количества переменных отпечатка пальца. Наконец, интерпретация энергии связи подчеркивает важность высококачественных отрицательных данных, то есть того, какие молекулы не связываются с желаемым рецептором. Ref. 36 показывает, что включение отталкивающих паттернов может улучшить многомерный вывод с помощью обратных моделей Изинга / Хопфилда.Эмпирически для нашей системы отталкивающие паттерны (маленькие собственные значения), выведенные из данных, зашумлены и неинформативны. Это может быть решено либо путем идентификации гораздо большего числа лигандов, которые связываются с каждым белковым рецептором, либо, что, возможно, более эффективно, путем включения отрицательных данных в эту структуру.

Заключение

Мы разработали алгоритм классификации, который предсказывает, будет ли соединение связываться с конкретным представляющим интерес рецептором, учитывая известный набор лигандов этого рецептора.Наш алгоритм разлагает сигнал на шум, используя надежную границу, полученную из RMT. Применение нашего подхода к человеческим GPCR, о которых сообщается в ChEMBL, успешно идентифицирует 84% известных лигандов с 7% ложноположительной частотой, что дает среднее значение AUC 0,9. Разработанная здесь методология дополняет обширную литературу по оптимизации дизайна отпечатков пальцев, например, за счет использования данных высокопроизводительного скрининга (7) или за счет применения нейронных сетей к молекулярным графам (41). Описанная здесь структура случайной матрицы обеспечивает надежный порог для максимизации информации, извлеченной из корреляций между структурными особенностями, избегая при этом переобучения данных.Алгоритм имеет естественную интерпретацию как управляемую данными модель энергии связывания лигандов с целевым белком в координатах отпечатка пальца. Эта модель дает другой взгляд на достоверность и использует химические отпечатки пальцев как для прогнозов связывания лиганда, так и для других целей, таких как прогнозирование растворимости лиганда (40) или агрегации (42), а также для выявления идей в дизайне отпечатков пальцев.

Благодарности

Это исследование финансировалось за счет гранта компании Roche Pharmaceuticals.A.A.L. выражает признательность за поддержку Стипендии Фулбрайта. L.J.C. была поддержана стипендией нового поколения и грантом для карьерной интеграции Марии Кюри (Evo-Couplings, грант 631609). M.P.B. является исследователем Фонда Саймонса и также выражает признательность за поддержку со стороны Национального научного фонда через DMS-1411694.

Сноски

  • Вклад авторов: A.A.L., M.P.B. и L.J.C. разработал исследования, провел исследования, предоставил новые реагенты / аналитические инструменты, проанализировал данные и написал статью.

  • Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

  • Эта статья представляет собой прямое представление PNAS.

Теория случайных матриц и эволюция синхронизации бизнес-циклов, 1886–2006 – Электронный журнал по экономике

Бордо и Хелбинг (2003) исследуют деловой цикл в западных экономиках за период 1881–2001 годов. Они исследуют четыре различных периода в экономической истории и приходят к выводу, что существует светская тенденция к большей синхронизации на протяжении большей части 20-го века, и что она имеет место в этих различных режимах.Большинство аналитических методов, используемых в литературе по конвергенции бизнес-циклов, основаны на оценке эмпирической корреляционной матрицы данных временных рядов макроэкономических агрегатов в различных странах. Однако из-за конечного размера как количества экономик, так и количества наблюдений надежное определение корреляционной матрицы может оказаться проблематичным. В структуре корреляционной матрицы может преобладать шум, а не истинная информация. Теория случайных матриц была разработана в физике для решения этой проблемы и для того, чтобы можно было отличить истинную информацию в матрице от шума.Он успешно применяется при анализе финансовых данных. Используя набор данных, очень похожий на набор данных Бордо и Хелбинга, я использую теорию случайных матриц и связанный с ней метод агломеративной иерархической кластеризации, чтобы исследовать эволюцию конвергенции бизнес-цикла между капиталистическими экономиками. Результаты подтверждают, что существует очень четкая степень синхронизации бизнес-цикла между странами в период 1973–2006 годов. Напротив, в период, предшествующий Первой мировой войне, невозможно говорить о международном деловом цикле в каком-либо значимом смысле.Межстрановые корреляции годового роста реального ВВП неотличимы от корреляций, которые могут быть получены с помощью чисто случайной матрицы. Вопреки выводам Бордо и Хелбинга, не представляется возможным говорить о «светской тенденции» к большей синхронизации за период 1886-2006 гг. В целом. Периоды 1920–1938 и 1948–1972 действительно демонстрируют определенную степень синхронизации – на самом деле очень похожую в оба периода, – но она слабая. В частности, нельзя сказать, что циклы основных экономик синхронизированы в эти периоды.Такая синхронизация, которая существует в общем наборе данных, обусловлена ​​значимым совместным перемещением в подгруппах. Таким образом, степень синхронизации стремительно развивалась, и только в самый последний период, с 1973 по 2006 год, мы можем говорить о высоком уровне синхронизации деловых циклов между странами.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *