Матрица в математике это: Матрица (математика) – это… Что такое Матрица (математика)?

Матрицы

Краткая информация о матрицах в математике, видах матриц и действиях с ними.

Что такое матрица

Матрица – это прямоугольный массив элементов, записанных в виде набора строк и столбцов, количество которых определяют размер матрицы. Запись в виде прямоугольной таблицы, содержащая m – строк и n – столбцов, называется матрицей и записывается в виде:

$$ \left| \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right|, \ \left[ \begin{array}{rrr} a & f \\ c & d \end{array}\right], \ \left( \begin{array}{ccc} \cos\alpha \\ sin\alpha \\ sin(\alpha + \beta) \end{array}\right) $$

Запись данных в виде матрицы позволяет компактно предоставить набор данных (чисел, символов, переменных и т. д.) и в последующем выполнить математические операции над этими данными или математические преобразования записанных в матрице данных.

выше указанная первая матрица: $$ \left( \begin{array}{rrr} 0 & -33 & 58 & 45 \\ 23 & 0 & 7 & 5 \\ 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right) $$

• это матрица размерностью 3 × 43 – строки и 4 – столбца
• у матрицы три строки: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 & -33 & 58 & 45 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 23 & 0 & 7 & 5 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & -11 & 21 \end{array}\right), \ $
• у матрицы четыре столбца: $ \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 23 \\ 6 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} -33 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 58 \\ 7 \\ -11 \end{array}\right), \ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 5 \\ 21 \end{array}\right) $
• каждому элементу матрицы можно присвоить порядковый номер и записать в виде: $ a_{11}\!=\!0,\ a_{12}\!=\!-33,\ a_{13}\!=\!58,\ a_{14}\!=\!45,$ $ a_{21}\!=\!23,\ a_{22}\!=\!0,\ a_{23}\!=\!7,\ a_{24}\!=\!5,\ $ $ a_{31}\!=\!6,\ a_{32}\!=\!0,\ a_{33}\!=\!-11,\ a_{34}\!=\!21 $

Для выполнения математических операций над матрицами, необходимо четко и однозначно идентифицировать каждый элемент матрицы и его взаимное расположение в матрице относительного других элементов. Для этого, каждому элементу присваивается порядковый номер, состоящий из номера строки и номера столбца в которых расположен элемент. Например, элемент расположенный в первой строке и третьем столбце будет иметь порядковый номер: $ а_{13} $.

Используя указанное правило нумерации элементов матрицы, матрицу размерностью m – строк и n – столбцов, можно записать в виде:

$$ A = \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & a_{3n} \\ … & … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & … & a_{mn} \end{array}\right] $$

где элементом $ а_{ij} $ матрицы может быть любое действительное или комплексное число, функция, буква или слово или любой другой символ. Матрица может даже состоять из элементов, каждый из которых будет являться так же матрицей.

---

Существует несколько видов матриц, обладающих фиксированными параметрами. Например, матрица, состоящая только из строки или столбца, или матрица содержащая все нули. Запись матриц в подобном виде помогает упростить некоторые математические операции над матрицами.

Рассмотрим некоторые виды специальных матриц.

Специальные виды матриц

Нулевая матрица – это матрица произвольного порядка называется нулевой матрицей тогда и только тогда, когда каждый элемент матрицы равен нулю. $ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $

Матрица «вектор-строка» – это матрица, которая имеет только одну строку. $ \left( \begin{array}{rrr} 3x & 2y & 45xy & 9 \end{array}\right) $

Матрица «вектор-столбец» – это матрица, которая имеет только один столбец. $ \left( \begin{array}{ccc} 45 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) $

Над данными записанными в виде матрице можно выполнять следующие математические операции:

Над двумя и более матрицами, можно выполнить математические операции:

Матрицы – Введение

Каталин Дэвид

Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, содержащих числа.

Общий вид матрицы выглядит таким образом:

Элементы матрицы обозначаются $a_{n,m}$, где m – номер строки, а n – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Пример 1
$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 1 & 4\\ \end{pmatrix} $

A – матрица из 2 строк и 3 столбцов, в которой число 2 стоит в первой строке, третьем столбце.

Пример 2
$A= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\ 8 & 7 & 3\\ \end{pmatrix} $

B – матрица из 3 строк и 2 столбцов, в которой число 8 стоит во второй строке, втором столбце.

Матрица с равным числом строк и столбцов называется квадратной матрицей

.

Пример 3 $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 1\\ \end{pmatrix} $

C – матрица из 3 строк и 3 столбцов

D – общий вид квадратной матрицы.

$D= \begin{pmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & \color{blue}{a_{1,n}}\\ a_{2,1} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3} & . & \color{blue}{a_{2,n-1}} & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & \color{red}{a_{3, \color{blue}{3}}} & . & . & a_{3,n}\\ . & \color{blue}{a_{n-1,2}} & . & . & .& .\\ \color{blue}{a_{n,1}} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & \color{red}{a_{n,n}}\\ \end{pmatrix}$

Элементы главной диагонали выделены красным цветом, а на побочной диагонали – синим.

{T}=\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 3 & 9 \end{pmatrix}$

Статья по математике на тему: Матрица читать

Главная>Статьи по математике

Матрица

Матрицы уже давно стали неотъемлемой частью решения множества математических задач и вопросов. Они представляют собой прямоугольную или квадратную таблицу чисел, в зависимости от количества строк и столбцов в ней. Общепринятое обозначение количества строк в матрице – латинская буква m, и количество столбцов, в свою очередь, обозначается n. Таким образом, если в матрице m=n, значит это квадратная матрица порядка n. С матрицами можно выполнять стандартные алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Подразумевается как сложение, умножение, вычитание матрицы с одним числом, отличным от нуля и так же все эти операции между двумя матрицами. Однако их можно проделывать не с любыми матрицами, а лишь теми, что соразмерны друг другу. Все эти сведения общеизвестны и широко применяемы.

Но существуют так же и другие операции, специфические именно для матриц. Прежде, чем рассказать о них, обратимся к истории и узнаем некоторые факты о возникновении матриц.

История возникновения матриц.

Первые упоминания о матрицах дошли до нас ещё из Древнего Китая, а так же и из работ древних арабских математиков. В те давние времена матрицы называли «волшебными квадратами», и уже тогда стали зарождаться правила сложения двух и более матриц. Уже некоторое время спустя в XXVII в, когда появилась теория определетилей, выдающийся математик Габриэль Крамер опубликовал свое, по сей день известное и используемое «Правило Крамера». Приблизительно в этот же период появился не менее популярный «Метод Гауса». Ну а непосредственно введение самого термина «матрица» – заслуга Джеймса Сильвестра. Термин появился в 1850 году.

Определитель матрицы.
Сущeствует опрeделитель лишь для квадратной матрицы, т е для матрицы, в которой количество строк соответствует количеству столбцов (m=n). Матрицы в математике обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а определители, в свою очередь обозначаются как (det A, det B, det C)

Пример матрицы:

Пример опредeлителя матрицы:

Данное выражение является формулой, по которой вычисляется определитель:

Помимо простых алгебраических операции, над матрицами выполняются и другие специфические действия, для приведения матрицы к наиболее удобному виду для выполнения последующих операций над ней. Рас смотрим некоторые из них.

Транспонирование матриц.
При произведении этой операции матрица меняется таким образом, что первая ее строка заменяется первым столбцом, вторая строка вторым столбцом и так далее. В результате мы получаем, так называемую, транспонированную матрицу, которая обозначается так же, как и обычная матрица, только добавляется индекс T.

Обратная матрица.
Обратная матрица для матрицы А обозначается как А в степени -1. A^-1 При умножении матрицы на обратную ей получается единичная матрица (E), то есть матрица, все элементы которой нули, кроме чисел на главной диагонали (от верхнего левого угла до нижнего правого), которые равны 1.

см. также:
Все статьи по математике

Свойства матриц, с примерами

Элементы матрицы А обозначают буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т.е.

   

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, т.е. если и , то

   

где

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера , каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы на число , т.е.

   

где

Свойства линейных операций над матрицами

1. – коммутативность (переместительный закон) сложения;
2. – ассоциативность (сочетательный закон) сложения;
3. для любой матрицы А существует единственная нулевая матрица такая, что ;
4. для любой матрицы А существует единственная матрица , называемая противоположной, такая что , где – нулевая матрица;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .

Произведением матрицы А размера на матрицу В размера называется матрица размера , элемент которой, стоящий в -й строке и в -м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов -й строки матрицы A и -го столбца матрицы В:

   

Замечание. Для матриц А и В произведение определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

– матрицы,

1. – ассоциативность умножения;
2. ;
3. ;
4. ;
5. Если матрица имеет размер , то равенство справедливо, только если – единичные матрицы -го и -го порядка.

Матрица размера называется транспонированной к матрице размера , если в ней на месте стоит элемент матрицы , или, иначе, матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Таким образом, если

   

то

   

Свойства операции транспонирования матриц

– матрицы, ):

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

18. Элементарные матрицы – Контрольные работы по математике и другим предметам!

Определение 8. Элементарными матрицам называются такие матрицы, которые получаются с помощью одного элементарного преобразования из единичной матрицы.

Таким образом элементарные матрицы получаются из единичной матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: 1) перестановка двух строк (I-й и j-й) местами; 2) умножение какой-нибудь строки (I-й) на число С≠0; 3) прибавление к какой-нибудь строке (I-й) другой строки (J-й), умноженной на число С. Они имеют соответственно следующий вид (первой указана единичная матрица, из которой получены следующие за ней элементарные матрицы, в каждой матрице выделены I-я и j-я строки и I-й и j-й столбцы):

,,,.

Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.

1. Определители элементарных матриц не равны нулю и

.

2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:

.

3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.

Свойство 1 следует из свойств определителя, свойство 2 доказывается с помощью непосредственного вычисления обратных матриц по алгоритму из теоремы 5, свойство 3 проверяется с помощью умножения матрицы А Слева на элементарные матрицы.

Теорема 8. Для любой невырожденной матрицы А существует такая последовательность элементарных матриц Е1, Е2,. .., Еk , Что

. (12)

Доказательство. По теореме 2 парарафа 1 существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу А порядка N в матрицу С ступенчатого вида. Так как элементарные преобразования не обращают определитель матрицы в нуль, то никогда не получится матрица с нулевой строкой, и строки матрицы не будут выбрасываться. Поэтому матрица С квадратная матрица ступенчатого вида порядка N. Элементарным преобразованиям соответствуют элементарные матрицы Е1, Е2,…, Еu . Пусть J1 переводит матрицу А в А1, J2 переводит А1 в А2 , и т. д. JU переводит Аu-1 в Аu=B. Тогда

,(13),

Где В ступенчатая (треугольная) матрица вида:

Умножим строки этой матрицы соответственно на числа

И матрица В преобразуется к виду:

Приведем матрицу С к единичной матрице. Для этого умножим прибавим к 1-й, к 2-й, и т. д. к (N-1)-й строкам матрицы N-ю строку, умноженную соответственно на числа получим все нули в последнем столбце матрицы С кроме элемента N-й стоки (все остальные элементы матрицы С не меняются). Аналогично продолжая элементарные преобразования получим из матрицы С единичную матрицу.

Следовательно, существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу В порядка N к единичной матрице Е. Элементарным преобразованиям соответствуют элементарные матрицы Еu+1 , ЕU+2,…, Еk . Пусть JU+1 переводит матрицу B в B1, JU+2 переводит B1 в B2 , и т. д. JK переводит Bk-u в E. Тогда

.

Подставляя в это равенство формулу (13) находим, что

.

Теорема доказана.

Умножая обе части равенства (12) последовательно на находим, что и получаем следующее следствие.

Следствие 1. Любую невырожденную квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде произведения элементарных матриц порядка n.

Из равенства (12) в силу теоремы 6 находим, что

.

Отсюда видно, что если мы к матрице Е применим ту же самую цепочку элементарных преобразований строк, с помощью которой из матрицы А мы получили единичную матрицу, то из матрицы Е мы получим обратную матрицу А-1. Отметим, что эти преобразования можно выполнять одновременно, а для этого достаточно справа к матрице А приписать единичную матрицу того же порядка.

Исходя из этого мы приходим к следующему способу вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Приписываем к матрице А срава единичную матрицу Е того же порядка, разделив их вертикальной чертой. Затем матрицу А с помощью элементарных преобразований строк приводится к единичной матрице Е (если в преобразованной матрице появится нулевая строка, то detA=0 и обратная матрица А-1 не существует). Тогда на месте приписанной матрицы Е получается матрица А-1.

Пример 4. Вычислить обратную матрицу для матрицы

.

Припишем справа к матрице А единичную матрицу и приведем матрицу А элементарными преобразованиями к единичной матрице.

.

Таким образом

.

< Предыдущая		Следующая >

▶▷▶▷ гдз по матрицам

▶▷▶▷ гдз по матрицам

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	24-09-2019

гдз по матрицам – Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы wwwwebmathrupoleznoeformules_6_16php Cached Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам , прочитать все определения и свойства Список тем находится в правом меню 4 8 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите classramblerrutemy-gdz4-8-gdz-informatika-10 Cached ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите построить графы, соответствующие матрицам смежности Постройте графы, соответствующие матрицам смежности Шпаргалки Для 4 Класса По Математике – softprogrammy softprogrammyweeblycomblogshpargalki-dlya-4-klassa Cached Представляем вам великолепную шпаргалку по математике! формул и справочных таблиц за школьный курс по математике, с 5 по 11 классы Информатика 9 класс Угринович – учебник онлайн gdz-reshimruинформатика-9-класс Cached Пурышева физика 9 класс триактив-курс 2016 Пурышева физика 9 класс триактив-курс 2016 это не гдз по физике, а проверочный инструмент и учебно-практический курс, который направлен на Шпаргалка По Математике 4 Класс – moypsiholog palitrazdoroviyweeblycomblogshpargalka-po-matematike Cached На этой странице собраны все необходимые шпаргалки по математике, алгебре, геометрии, тригонометрии Шпаргалка по математике для 4 класса Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ГИА по 4 9 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Постройте графы classramblerrutemy-gdz4-9-gdz-informatika-10 Cached 36 вариантов ответов ЕГЭ по русскому языку 2017 И П Цыбулько Средний балл по предметам за ЕГЭ в 2017 году? Лабораторная 1 Физика 7 класс 10 вопросы к 1-3 Составьте в тетради таблицу Решебники по высшей математике (руководства по решению задач wwwdiaryrueekp47594145htm?from180 Cached т1 содержит краткий теоретический материал по определителям и матрицам , системам линейных уравнений, векторной и линейной алгебре, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве Матрицы: определение, история, применение матриц на практике wwwwebmathrupoleznoeformules_6_0php Cached Впервые матрица упоминается еще в Древнем Китае На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач Учебник По Английскому ЛИ Кравцова Решебник Онлайн ibc270weeblycombloguchebnik-po-anglijskomu-li Cached Пособие по английскому языку Авторы Гибкие условия доставки в любой л и кравцова английский язык гдз онлайн – ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по Английскому языку, решебник и Решебник журбенко математика в примерах и задачах – PDF docplayerru79260301-Reshebnik-zhurbenko Cached Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Гдз по истории 7 класс пчелов учебник ответы на вопросы 2016 Школьный Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox – the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 18,600

• Шпаргалка по высшей математике – Матрицы. Наш сайт тебе помог в решении задачи, сдачи курсовой или д
• иплома? Скачать бесплатно Oxford New Matrix – УМК английского языка для школы. New Matrix Students book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матри
• book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матрица английский язык учебник… Путь по матрице начинается в левом верхнем углу. За один ход можно пройти в соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (если она существует). ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510. Решение задач высшей математики – примеры интегралов, производных, матриц, рядов, пределов. Как решить быстро, а также получить ответ онлайн. Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 3655 файлов. Обновленые драйвера: 3988 файлов. Логин или e-mail: ГДЗ з англійської мови 11 клас? Легко, адже на GDZ4YOU є більше тисячі готових домашніх завдань з усіх предметів! Ми впевнені, що Ви знайдете те, що так довго шукали! Заходьте! Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 8992 файлов. Обновленые драйвера: 9601 файлов. Логин или e-mail: Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 7001 файлов. Обновленые драйвера: 7784 файлов. Логин или e-mail: Гдз по новому учебнику по геометрии погорелова 10 класс. Произведение матриц или перемножение матриц. А почему тогда я именно я должен на востоке сдохнуть. Главная Статьи Гдз 11 класс 11 класс английский язык. Отрывок из решебника по английскому языку для 11 класса, автор Карпюк:

рядов

що Ви знайдете те

• тригонометрии Шпаргалка по математике для 4 класса Можно использовать для сдачи ЕГЭ и ГИА по 4 9 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Постройте графы classramblerrutemy-gdz4-9-gdz-informatika-10 Cached 36 вариантов ответов ЕГЭ по русскому языку 2017 И П Цыбулько Средний балл по предметам за ЕГЭ в 2017 году? Лабораторная 1 Физика 7 класс 10 вопросы к 1-3 Составьте в тетради таблицу Решебники по высшей математике (руководства по решению задач wwwdiaryrueekp47594145htm?from180 Cached т1 содержит краткий теоретический материал по определителям и матрицам
• прочитать все определения и свойства Список тем находится в правом меню 4 8 ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите classramblerrutemy-gdz4-8-gdz-informatika-10 Cached ГДЗ Информатика 10 класс Поляков Помогите построить графы
• соответствующие матрицам смежности Постройте графы

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз по матрицам Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн webmathruformules__ Примеры решения задач с матрицами , более примеров нахождение определителя, обратной матрицы и ВГУЭС Сборник задач по высшей математике Глава a x Матрицы Даны матрицы А, В, С Онлайн решение задач по математике Матрицы Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Матрицы , примеры решений SolverBook rusolverbookcomprimeryresheniya На странице собраны примеры решения матриц умножение, сложение и др Каждая матрица содержит PDF Сборник задач и упражнений по высшей математике БГЭУ bseubyhmuchmsb_vmpdf Диагональная матрица , все элементы главной диагонали которой равны , называется единичной матрицей и Онлайн решение задач по математике Матрицы Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Решебник Абрамяна М Э на Pascal и С Двумерные Решебник Абрамяна Условие вида дана матрица размера M N означает , что вначале дается фактический Картинки по запросу гдз по матрицам DOC Определители и матрицы psturufilesfileResursOprMatrdoc Вычислить определитель высшего порядка Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы Решебник по матрице курс Wiruka net wirukanyboxemirrunet?hokwi Решебник по матрице курс Примеры решения задач с матрицами, более примеров На практике, они Обратная матрица онлайн Онлайнкалькулятор Нахождение обратной матрицы онлайн Решение прямо на сайте с оформлением Word Exponentaru Линейная алгебра для студентов задачи с oldexponentarueducatexamplesasp Вычисление определителя разложением по ой строке; Пример Вычисление определителей матриц и как решать матрицы YouTube авг теория изложена также на сайте в статье Обещанный онлайн myoutubecom Операции с матрицами онлайн Онлайнкалькулятор Матричный калькулятор Основные действия над матрицами умножение, сложение и вычитание решебник по матрицам и слау есть в интернете? ОтветыMailRu вот знатный сайт всегда можно себя проверить html ГДЗ Информатика класс Поляков Постройте gdz gdz ГДЗ Информатика класс Поляков Постройте графы, соответствующие весовым матрицам читайте на Линейная алгебра и аналитическая геометрия Матрицы и Матрицы _ В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, алгебра матриц Сборник задач по высшей математике Часть I Линейная windowedurucatalogpdftxt Матрицы и операции над ними Прямоугольная матрица размера m Ч n имеет вид таблицы, со стоящей из m Матрицы и определители, Белоусов ИВ, Nasholcom июл Подсчет ранга матрицы и Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Книги и РешеноРабота Упр ГДЗ Семакин класс по Дана прямоугольная матрица Найти строку с наибольшей и строку с наименьшей суммой элементов Вывести Гдз новая матрица класс chaiphooba Hugi Hlynsson aeraiciixahugihlynssoncomid Гдз новая матрица класс Национальная библиотека РК Алматы, которые должны быть озаглавлены Умножение матрицы на матрицу онлайн Матрицы Умножние_на_ Калькулятор матриц онлайн с возможностями нахождения определителя детерминанта, транспонирования Онлайн решебник матриц medcentrmonroru medcentrmonroruonlaynreshebnik Онлайн решебник матриц Определитель матрицы ОНЛАЙН Используется метод разложения по строкам и Линейная алгебра Матрицы Инфоурок мар Cкачать Методическая разработка по математике на тему Линейная алгебра Матрицы курс Гдз по английскому языку класс новая матрица tyzise pinterestcom Гдз по английскому языку класс новая матрица Решение задач по линейной алгебре Решатель Основными инструментами, которые применяются в линейной алгебре, являются матрицы , определители Решения задач по линейной алгебре bankzadachrulineynayaalgebrahtml Вычисление ранга матрицы Подробности Автор Определить ранг матрицы Подробности PDF СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ elibrarysguruuch_litpdf Вступительное слово оператора геометрически, в связи с чем теория λ матриц ста новится ненужной Однако Матричные уравнения Примеры решений Mathprofiru mathprofirumatrichnye_uravneniya_ дек Они устроены практически так же, только вместо чисел правильно матрицы и конечно, Определитель матрицы онлайн matematikamrumatricideterminantph Нахождение определителя матрицы детерминанта онлайн Подробное решение различными методами PDF МАТЕМАТИКА Линейная алгебра istuedulineynaya_algebr Если матрицы имеют одинаковый размер, то их можно складывать В результате получается матрица С того же Новая матрица книга ответ для ecgrafap Английский язык pinterestru Гдз марон класс онлайн Формат Файла, Реклама, Книжная Деятельность, Free Формат ФайлаРекламаКнижная гдз английский учебник матрица paul kelly and elena lebunenurogyruphp сен гдз английский учебник матрица paul kelly and elena khotuntseva Заказать учебник ангийский ГДЗ по английскому языку класс Матрикс рабочая тетрадь https gdz putinainfo gdz matriks ГДЗ готовые домашние задания к рабочей тетради по английскому языку класс New Matrix Матрикс Стайринг, Нахождение определителя матрицы Нахождение определителя матрицы с помощью его разложения вдоль строки столбца или обнуления строки Решебник по матрице nammirureshebnikpomatritsehtml Решебник по матрице Этот калькулятор позволяет транспонировать матрицу онлайн Онлайн калькулятор I решебник по математике матрица optomstockru optomstockruireshebnikpomatematik I Решебник По Математике Матрица Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной DOC линейная алгебра Кафедра высшей математики НИУ МЭИ kafvmsrvmpeiacruMMlaoodoc Задачи произведение линейной комбинации матриц на матрицу , Проверить вычисление обратных матриц Привести Зимина ОВ, Кириллов АИ, Сальникова ТА Решебник Высшая Матрица шпаргалка nevskayaovatsiyaru nevskayaovatsiyarumatritsashpargalka дек Матрица это таблица чисел, упорядоченных по строкам и столбцам Числа матрицы гдз миллениум класс i wwwrhkru gdz milleniumklassi сен гдз миллениум класс i Если порядок n матрицы равен единице, то эта матрица состоит из Решебник по математике матрицы vetrazcenterrureshebnikpomatematik по математике матрицы решебник Онлайн калькуляторы для решения математических задач с Матрицы Учебник Matrix Для Класса Ответы regulationswealth янв Учебник тетрадь ответы тесты решебник книга учителя new matrix підручник NEW MATRIX by Oxford учебники английского матрица английский язык учебник тетрадь Кузнецов ЛА Линейная алгебра Задача Решебник Ру wwwreshebnikrusolutions Кузнецов ЛА Линейная алгебра Задача Действия с операторами и их матрицами Постановка задачи Ответ Тестовый контроль ГДЗ Рабочая тетрадь по bio gdz rutestovyjkontrolhtml б эксперимента Среда жизни, характерная для человека б наземно воздушная Матрица ответов семинары__группа Кафедра высшей алгебры halgebramathmsusuсеминары_ дек гдз , а, а, б вычислить все натуральные степени матрицы , бв, а Примеры приведения матриц к жордановой форме timenun Алгоритм нахождения Жордановой формы матрицы Помогите решить Алгоритм построения жордановой Гдз по английскому языку класс новая матрица oopuneoph rueneifairoplataicomjo gdz po Считая наиболее приемлемой для характеристики статуса МЧП распространенную точку зрения о том, Решение системы линейных уравнений с помощью матриц leipohwohpapdiseicresheniesistemy Коран священная книга мусульман, решение системы линейных уравнений с помощью матриц решебник , ГДЗ по английскому языку класс рабочая тетрадь New Matrix gdz com gdz poanglijskomu ГДЗ решебник рабочая тетрадь Английский язык класс Новая матрица New Matrix Е Хотунцевой, Алгебра и начала анализа класс мордкович ozoofahtooldnlyymalgebrainachala Это были бедные печенеги , алгебра и начала анализа класс мордкович,денищева решебник онлайн, Запросы, похожие на гдз по матрицам матрицы примеры для самостоятельного решения решение матриц методом гаусса определитель матрицы обратная матрица умножение матриц матрицы упражнения определитель матрицы на задачи на матрицы программирование След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Шпаргалка по высшей математике – Матрицы. Наш сайт тебе помог в решении задачи, сдачи курсовой или диплома? Скачать бесплатно Oxford New Matrix – УМК английского языка для школы. New Matrix Students book, Workbook, Audio, Teachers book download free. Купить скачать бесплатно нью матрикс новая матрица английский язык учебник… Путь по матрице начинается в левом верхнем углу. За один ход можно пройти в соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (если она существует). ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510. Решение задач высшей математики – примеры интегралов, производных, матриц, рядов, пределов. Как решить быстро, а также получить ответ онлайн. Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 3655 файлов. Обновленые драйвера: 3988 файлов. Логин или e-mail: ГДЗ з англійської мови 11 клас? Легко, адже на GDZ4YOU є більше тисячі готових домашніх завдань з усіх предметів! Ми впевнені, що Ви знайдете те, що так довго шукали! Заходьте! Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 8992 файлов. Обновленые драйвера: 9601 файлов. Логин или e-mail: Гдз по матрице. Добавлено на сервер за неделю: 7001 файлов. Обновленые драйвера: 7784 файлов. Логин или e-mail: Гдз по новому учебнику по геометрии погорелова 10 класс. Произведение матриц или перемножение матриц. А почему тогда я именно я должен на востоке сдохнуть. Главная Статьи Гдз 11 класс 11 класс английский язык. Отрывок из решебника по английскому языку для 11 класса, автор Карпюк:

Учебник по дискретной математике. Матрицы и графы. Нахождение путей и сечений с помощью структурной матрицы

Трудно переоценить роль матриц в теории графов (в частности, матрицы полезны, чтобы данный граф более “легко” воспринимался компьютером). Перечислим наиболее известные матрицы.

1. Матрица смежности. Это квадратная матрица порядка п (п – число вершин), в которой нули стоят по главной диагонали (если в графе нет петель, а если петли есть в вершине k (и число этих петель равно р), то на главной диагонали в строчке с номером k стоит число р).  Если вершина i связана с вершиной j одним ребром, то элемент матрицы смежности a_ij равен 1, если эти вершины связаны s ребрами, то а_ij= s. Аналогичным образом строятся матрицы смежности для орграфов и для мультиграфов.

   Легко видеть, что матрица В =А² = АА составлена из целых чисел b_ij, которые равны числу путей длины 2, соединяющих вершины i и j. Понятно, что А³ составлена из чисел, равных числу путей длины 3 (т. е. путей из 3-х ребер) из вершины i в вершину jи т. д.

2. Матрица инциденций – это матрица размера nґ m, где n – число вершин, а m – число ребер графа, при этом ее элементы k_ij равны 1, если вершина с номером i является для ребра с номером j начальной или конечной (если ребро неориентировано) и начальной для ориентированных ребер. Заметим, что матрица инциденций сравнительно редко используется, так как в современных условиях (где число ребер часто очень велико) она имеет слишком большое число столбцов.
3. Структурная матрица. Именно эта матрица имеет особое значение в теории сетей связи. Структурная матрица – это символьная матрица порядка п. Она составляется следующим образом: на главной диагонали стоит 1, т. е. a_ii = 1, остальные элементы  – это символьные обозначения ребер (если вершины i и j не соединены ребром, то a_ii = 0). При этом, если при i<j вершины i и j соединены ребром а, то элемент s_ij = a, при i>j – это отрицание а, которое обычно отмечается чертой сверху. Если связи вершины i c вершиной j нет, то соответствующий элемент равен 0, структурная матрица может составляться и для орграфа и для мультиграфа без петель (здесь если два ребра а и b соединяют две вершины, то соответствующий элемент при i <j равен aЪ b, а при i>j этот элемент равен 

Отметим, что в учебных целях, когда действия с матрицами осуществляются студентами “вручную” (число вершин в графе невелико), можно обозначать ребра латинскими буквами без индексов a, b, c и т.  д., но при использовании компьютера гораздо удобнее обозначать ребра а(i,j), если это ребро соединяет вершины i и j при i<j и с чертой сверху, если i>j.

Теорема. Для того чтобы найти все пути (простые) из вершины i в вершину j достаточно раскрыть минор M(j,i) структурной матрицы методами булевой алгебры. При этом раскрытие минора производится обычными действиями с определителями, но при этом сложение заменяется дизъюнкцией, умножение – конъюнкцией, знаки умножения на числа не используются.

Подробно доказывать эту теорему не будем, но отметим, что определитель равен сумме (в данном случае дизъюнкции) элементов, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца с определенным знаком. В нашем случае знаки не присутствуют, а значит, любой член раскрытия определителя всей структурной матрицы S соответствует циклу в графе. Если же брать минор M(j,i), то его раскрытие соответствует тем членам определителя, в которых имелся элемент s(j,i), но без самого этого элемента (таким образом, индексы i и j встречаются вместо двух только один раз). Это и означает, что получаем маршрут от вершины с номером i к вершине с номером j.

Понятно, что раскрытие минора методами булевой алгебры предусматривает, что верны следующие соотношения: 1Ъ a = 1, (это свойство нужно, для того чтобы не проходить по одному ребру дважды в противоположных направлениях), а также используется правило простого поглощения (хЪ ху = х). Видно, что если не использовать правило поглощения, то получим все маршруты (без повторения ребер), связывающие вершины i и j.

Примечание. 1. Если граф не ориентирован, то миноры M(j,i) и M(i,j) совпадают.

2. После получения ответа, черточки над обозначениями ребер (т. е. отрицания) можно убрать (на самом деле “черта” над ребром означает, что ребро проходится от вершины с большим номером к вершине с меньшим номером). Затем рекомендуется записать каждый путь по порядку прохождения ребер (в этом случае удобны обозначения ребер с индексами вершин).

Сечением (разрезом) между вершинами i и j называется неизбыточный набор ребер, при удалении которых из графа теряется связь между данными вершинами (не существует пути из вершины i в вершину j). Заметим, что сечений между данными вершинами может быть много, и они могут содержать разное количество ребер.

Слово “неизбыточный” означает, что если любое ребро из сечения снова возвратить в граф, то связь восстановится.

Естественно, что если известны все пути из вершины i в вершину j, причем эти пути заданы в виде ДНФ, т. е. дизъюнктивной нормальной формы (а именно такой вид получается после раскрытия соответствующего минора структурной матрицы), то всесечения между этими вершинами можно получить отрицанием этих путей (по правилу де Моргана конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и наоборот), затем полученное выражение снова привести к ДНФ, используя раскрытие скобок по обычным правилам, при этом правило поглощения обеспечит неизбыточность набора ребер в каждом сечении. Ясно, что знаки отрицания (черточки над символами ребер) можно опустить. Пример на эту тему приведен в разд. 15 (примеры решения типовых задач).

матриц – как решить матрицу? Примеры

Матрицы – это матрица множественного числа, которая представляет собой прямоугольный массив или таблицу, в которой числа или элементы расположены в строках и столбцах. Матрицы могут иметь любое количество столбцов и строк. С матрицами могут выполняться различные операции – сложение матриц, скалярное умножение, умножение матриц, транспонирование и т. Д.

При выполнении этих матричных операций необходимо соблюдать определенные правила, например, матрицы можно складывать или вычитать, если только они имеют одинаковое количество строк и столбцов, тогда как их можно умножать, если только столбцы в первом и строки во втором точно такие же .Давайте подробно разберемся с различными типами матриц и этими правилами.

Что такое матрицы?

Матрицы, форма множественного числа матрицы, представляют собой расположение чисел, переменных, символов или выражений в прямоугольной таблице, которая содержит различное количество строк и столбцов. Матрицы представляют собой массивы прямоугольной формы, для которых определены различные операции, такие как сложение, умножение, транспонирование. Числа или записи в матрице известны как ее элементы.Горизонтальные записи для матриц называются строками, а вертикальные записи – столбцами.

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольный массив чисел, переменных, символов или выражений, определенных для таких операций, как вычитание, сложение и умножение. Размер матрицы – это количество строк и столбцов в матрице. Матрица с 6 строками и 4 столбцами представлена ​​как матрица 6 × 4 или матрица 6 на 4, где 6 × 4 – размер матрицы.Например, данная матрица B является матрицей 3 × 4 и записывается как \ ([{B}] _ {3 \ times 4} \):

\ (B = \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & 5 & 2 & 7 \\ 1 & -1 & -2 & 9 \ end {array} \ справа] \)

Обозначения матриц

Если матрица имеет m строк и n столбцов, то в ней будет m × n элементов. Матрица представлена ​​прописной буквой, в данном случае «А», а элементы в матрице представлены строчной буквой и двумя нижними индексами, представляющими позицию элемента в номере строки и столбца в том же порядке, в данном случае ‘\ (a_ {ij} \)’, где i – количество строк, а j – количество столбцов.Например, в данной матрице A элемент в 3-й строке и 2-м столбце будет \ (a_ {32} \), можно проверить в матрице, приведенной ниже:

\ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} … & A_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} … & a_ {2n} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} … & a_ {3n} \\: &: &: &: \\ a_ {m1 } & a_ {m2} & a_ {m3} … & a_ {mn} \ end {array} \ right] \)

Как решать матрицы?

Мы можем решать матрицы, выполняя над ними операции, такие как сложение, вычитание, умножение и так далее.

Общая матрица может выглядеть так:

\ [\ begin {bmatrix}
a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\
a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn}
\ end {bmatrix} \]

Например,

\ (\ begin {bmatrix}
1 и 2 и 3 \
4 и 5 и 6 \
\ end {bmatrix} \)

Мы узнаем об этих операциях подробно в следующих разделах.

Как решить систему уравнений с помощью матриц?

У нас есть две матрицы A и B, где A известна как матрица коэффициентов, а B известна как постоянная матрица. Есть третья матрица X, содержащая все переменные уравнений; эта матрица известна как переменная матрица. Матрица A имеет порядок m × n, а B – матрица-столбец порядка m × 1. Произведение матрицы A и матрицы X дает матрицу B; следовательно, X также является матрицей-столбцом порядка n × 1.

Матрицы расположены как:

A • X = B

Давайте разберемся, как решить систему уравнений с помощью матриц на примере. У нас есть система из двух уравнений, как показано ниже. Уравнения:

х + у = 8
2х + 3у = 10

• Расположите все коэффициенты, переменные и константы в матрице таким образом, чтобы всякий раз, когда мы находим произведение матриц, полученный результат должен приводить к уравнению.

Матрица A:

\ (A = \ begin {bmatrix}
1 и 1 \
2 и 3 \
\ end {bmatrix} \)

Матрица X:

\ (X = \ begin {bmatrix}
х \
у \
\ end {bmatrix} \)

Матрица B:

\ (B = \ begin {bmatrix}
8 \
10 \
\ end {bmatrix} \)

Чтобы решить уравнения, нам нужно найти матрицу X. {- 1}) B \).Чтобы найти обратный к A, нам понадобится определитель и сопряженный к матрице A. Чтобы найти определитель матрицы A, мы выполним следующие шаги:

\ (| A | = \ begin {vmatrix}
1 и 1 \
2 и 3 \
\ end {vmatrix} \)

Следовательно, | A | = 3 – 2 = 1
\ (\ потому что \) \ (| A | \ neq 0 \), можно найти обратную матрицу A.

Сопряженный к матрице A находится путем нахождения в ней каждого элемента.

Каждый элемент в матрице кофакторов называется второстепенным и определяется путем взятия определителя элементов, выходящих из строки и столбца, для которых нужно найти число.{-1} \) и B. Получаем,

\ [\ begin {bmatrix}
3 & -1 \
-2 и 1
\ end {bmatrix}
%
\ begin {bmatrix}
8 \
10
\ end {bmatrix}
\
=
\ begin {bmatrix}
14 \
-6
\ end {bmatrix}
\]

Следовательно, значение матрицы X равно

.

\ (X = \ begin {bmatrix}
14 \
-6 \
\ end {bmatrix} \)

Матрицы Формулы

Существуют различные формулы, связанные с матричными операциями, в зависимости от типа матрицы. 2

v) прил (AB) = (прил B) (прил A)

vi) прил (A ^м ) = (прил A) ^м ,

vii) прил (kA) = k ^n-1 (прил A), k ∈ R

viii) прил (I \ (_ n \)) = I \ (_ n \)

ix) прил 0 = 0

x) A симметрично ⇒ (adj A) также симметрично.

xi) A диагональна ⇒ (прил. A) также диагональна.

xii) A треугольное ⇒ adj A также треугольное.

xiii) A сингулярно ⇒ | adj A | = 0

ix) A ^-1 = (1 / | A |) прил A

x) (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1

Типы матриц

Существуют различные типы матриц в зависимости от количества элементов и расположения элементов в матрицах.

Матрица строк: Матрица, имеющая одну строку, называется матрицей строк. Пример: [1, −2, 4].

Матрица столбцов: Матрица с одним столбцом называется матрицей столбцов. Пример: [-1, 2, 5] ^T .

Квадратная матрица: Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной матрицей. Например: \ (B = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 6 & 1 \ end {array} \ right] \)

Прямоугольная матрица: Матрица, имеющая неравное количество строк и столбцов, называется прямоугольной матрицей.Например: \ (B = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] \)

Диагональные матрицы: Матрица, имеющая только диагональные элементы в качестве ненулевых чисел, известна как диагональная матрица.
Пример: \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \ end {array} \ right] \)

Матрицы идентичности: Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей.
Пример: \ (B = \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Симметричные и кососимметричные матрицы:
Симметричные матрицы: квадратная матрица D размера n × n считается симметричной тогда и только тогда, когда D ^T = D. Рассмотрим примеры двух матриц D и F: D = \ (\ left [\ begin {array } {lll} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 5 & 9 \ end {array} \ right] \)
D ^T = \ (\ left [\ begin {array} {lll} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 5 & 9 \ end {array} \ right] \)
Кососимметричные матрицы. Квадратная матрица F размера n × n считается кососимметричной тогда и только тогда, когда F ^T = – F.

\ (F = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & 3 \\ \\ -3 & 0 \ end {array} \ right] \)

F ^T = \ (\ left [\ begin {array} {cc} 0 & -3 \\ \\ 3 & 0 \ end {array} \ right] \)

-F = \ (\ left [\ begin {array} {cc} 0 & -3 \\ \\ 3 & 0 \ end {array} \ right] \)

Обратимая матрица: Любая квадратная матрица A называется обратимой матрицей, если существует другая матрица B, такая что,
AB = BA = \ (I_n \), где \ (I_n \) – единичная матрица с n × n.

Ортогональная матрица: Любая квадратная матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной,
А ^Т = А ^-1

Операции с матрицами

Любые две матрицы можно складывать, вычитать и умножать друг с другом в зависимости от количества строк и столбцов. Для сложения и вычитания количество строк и столбцов должно быть одинаковым, тогда как для умножения количество столбцов в первой и количество строк во второй матрице должно быть равным.Основные операции, которые можно выполнять с матрицами:

• Добавление матриц
• Вычитание матриц
• Скалярное умножение
• Умножение матриц
• Транспонирование матриц

Добавление матриц

Добавление матриц или сложение матриц возможно только в том случае, если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково. При добавлении двух матриц мы добавляем элементы в каждой строке и столбце к соответствующим элементам в строке и столбце следующей матрицы.Следовательно (A + B) = [a \ (_ {ij} \)] + [b \ (_ {ij} \)] = [a \ (_ {ij} \) + b \ (_ {ij} \ )], где i и j – количество строк и столбцов соответственно. Например: \ (\ begin {bmatrix} 2 & {-1} \\ \\ 0 & 5 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 & 2 \\ \\ 1 & -2 \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} 2 + 0 & {-1} +2 \\ \\ 0 + 1 & 5 + (- 2) \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ \\ 1 & 3 \ end {bmatrix} \)

Вычитание матриц

Вычитание матриц также возможно, только если количество строк и столбцов обеих матриц одинаково. Вычитая две матрицы, мы вычитаем элементы в каждой строке и столбце из соответствующих элементов в строке и столбце предыдущей матрицы. Следовательно, (A – B) = [a \ (_ {ij} \)] – [b \ (_ {ij} \)] = [a \ (_ {ij} \) – b \ (_ {ij} \)], где i и j – количество строк и столбцов соответственно. Например: \ (\ begin {bmatrix} 2 & {-1} \\ \\ 0 & 5 \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} 0 & 2 \\ \\ 1 & -2 \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} 2-0 & {-1} -2 \\ \\ 0-1 & 5 – (- 2) \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} 2 & -3 \ \ \\ -1 & 7 \ end {bmatrix} \)

Скалярное умножение

Произведение матрицы A с любым числом ‘c’ получается умножением каждого элемента матрицы A на c, i.е.,
(cA) \ (_ {ij} \) = c (A \ (_ {ij} \))

Свойства скалярного умножения в матрицах

Различные свойства матриц для скалярного умножения любых скаляров K и l с матрицами A и B задаются как,

• К (А + В) = КА + КБ
• (К + 1) А = КА + 1А
• (Kl) A = K (lA) = l (KA)
• (-К) А = – (КА) = К (-А)
• 1 · А = А
• (-1) А = -А

Умножение матриц

Умножение матриц определяется, только если количество столбцов в первой матрице и строк во второй матрице равны. Чтобы понять, как умножаются матрицы, давайте сначала рассмотрим вектор-строку

\ (R = \ left [{{r} _ {1}} \ {{r} _ {2}} … {{r} _ {n}} \ right] \)

Примечание. Вектор-строка – это матрица с одной строкой.

и вектор-столбец

\ (C = \ left [\ begin {align} \; \ {{c} _ {1}} \; \\ \; \ {{c} _ {2}} \; \\ \; \ \ \ vdots \; \ \\ \; \ {{c} _ {n}} \; \ \\ \ end {align} \ right] \)

Примечание. Вектор-столбец – это матрица с одним столбцом.

, которые имеют порядок n .Произведение R и C может быть определено как

\ (RC = \ left [{{r} _ {1}} \ \ {{r} _ {2}} \ \ … \ {{r} _ {n}} \ right] \ \ left [ \ begin {align} & \ {{c} _ {1}} \\ & \ {{c} _ {2}} \\ & \ \ \ vdots \ \\ & \ {{c} _ {n}} \ \\ \ end {align} \ right] \ \\ = [{{r} _ {1}} {{c} _ {1}} + {{r} _ {2}} {{c} _ { 2}} + … + {{r} _ {n}} {{c} _ {n}}] \)

Следовательно, RC – скалярная величина. Например,

\ (\ left [1 \ \ 3 \ \ 2 \ right] \ \ \ left [\ begin {align} & \ \ 2 \\ & -1 \\ & \ \ 4 \\ \ end {align} \ right ] = [7] \)

Теперь мы обсудим умножение матриц. Скоро станет очевидно, что для умножения двух матриц A и B и нахождения AB количество столбцов в A должно равняться количеству строк в B .

Пусть A будет порядка м × n и B будет порядка n × p . Матрица AB будет иметь порядок m × p и будет получена путем последовательного умножения каждого вектора-строки A на векторы-столбцы в B .Давайте разберемся в этом на конкретном примере: \ (A = \ left [\ begin {matrix} {{a} _ {1}} & {{a} _ {2}} & {{a} _ {3}} \\ {{b} _ {1}} & {{b} _ {2}} & {{b} _ {3}} \\ {{c} _ {1}} & {{c} _ {2 }} & {{c} _ {3}} \\\ end {matrix} \ right] B = \ left [\ begin {matrix} {{\ alpha} _ {1}} & {{\ beta} _ { 1}} \\ {{\ alpha} _ {1}} & {{\ beta} _ {2}} \\ {{\ alpha} _ {3}} & {{\ beta} _ {3}} \ \\ end {matrix} \ right] \)

Чтобы получить элемент \ (a_ {11} \) из AB, мы умножаем \ (R_1 \) из A на \ (C_1 \) из B:

Чтобы получить элемент \ (a_ {12} \) из AB, мы умножаем \ (R_1 \) из A на \ (C_2 \) из B:

Чтобы получить элемент \ ({{a} _ {21}} \) из AB, мы умножаем \ (R_2 \) из A на \ (C_1 \) из B:

Поступая таким образом, получаем все элементы AB.

Давайте обобщим это: если A имеет порядок m × n, а B порядка n × p, то для получения элемента \ (a_ {ij} \) в AB, мы умножаем \ (R_i \) в A на \ (C_j \) в B:

Свойства умножения матриц

Есть разные свойства, связанные с умножением матриц. Важные свойства перечислены ниже,

• AB ≠ BA, даны матрицы A и B.
• A (BC) = (AB) C, данные матрицы A, B и C.
• A (B + C) = AB + AC, для матриц A, B и C.
• (A + B) C = AC + BC, данные матрицы A, B и C.
• A \ (I_m \) = A = AI \ (_ n \), для данной матрицы A и единичных матриц I \ (_ m \) и I \ (_ n \).
• A \ (_ {m \ times n} \) O \ (_ {n \ times p} \) = O \ (_ {m \ times p} \), где A – матрица размера am × n, а O – матрица нулевая матрица.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы выполняется, когда мы заменяем строки матрицы столбцами и столбцы строками.Перестановка строк и столбцов называется транспонированием матриц. В приведенной ниже матрице у нас есть элементы строки, такие как строка-1: 2, -3, -4 и строка-2: -1, 7, -7. При транспонировании мы получим элементы в столбце-1: 2, -3, -4 и столбце-2: -1, 7, -7, мы можем проверить это на изображении, приведенном ниже:

Свойства транспонирования в матрицах

Существуют различные свойства, связанные с операцией транспонирования в матрицах для матриц A и B, заданных как,

• (A ^T ) ^T = A
• (A + B) ^T = A ^T + B ^T , A и B одного порядка.
• (KA) ^T = KA ^T , K – любой скаляр (действительный или комплексный).
• (AB) ^T = B ^T A ^T , A и B соответствуют продукту AB. (Это также называется законом обращения.)

Ранг матрицы

Ранг любой матрицы A определяется как максимальное количество линейно независимых векторов-строк (или столбцов) матрицы. Это означает, что ранг матрицы всегда будет меньше или равен количеству ее строк или столбцов.Ранг нулевой матрицы равен нулю, поскольку у нее нет независимых векторов строк или столбцов.

След матрицы

След любой матрицы A, Tr (A) определяется как сумма ее диагональных элементов. Некоторые свойства следа матриц,

• tr (AB) = tr (BA)
• tr (A) = tr (A ^T )
• tr (cA) = ctr (A)
• tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

Минор матрицы

Минор матрицы для определенного элемента в матрицах определяется как матрица, полученная, когда строка и столбец матрицы, в которой находится этот конкретный элемент, удаляются, а младший элемент элемента \ (a_ {ij} \) обозначается как \ (M_ {ij} \).Например, для данной матрицы минор \ (a_ {12} \) матрицы \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {array} \ right] \) равно:

\ (M_ {12} = \ left | \ begin {array} {ccc} a_ {21} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {array} \ right | \)

Аналогично, мы можем найти все миноры матрицы и получить минорную матрицу M данной матрицы A как:

\ (M = \ left [\ begin {array} {ccc} M_ {11} & M_ {12} & M_ {13} \\ M_ {21} & M_ {22} & M_ {23} \\ M_ { 31} & M_ {32} & M_ {33} \ end {array} \ right] \)

Кофактор матрицы

Кофактор матрицы A получается, когда минор \ (M_ {ij} \) матрицы умножается на (-1) ^{i + j} .{i + j} M_ {ij} \)

Найдя все сомножители матрицы, мы получим матрицу сомножителей C данной матрицы A:

\ (C = \ left [\ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \\ C_ {21} & C_ {22} & C_ {23} \\ C_ { 31} & C_ {32} & C_ {33} \ end {array} \ right] \)

Примечание. Будьте особенно осторожны с отрицательным знаком при вычислении сомножителя матрицы.

Определитель матриц

Определитель матрицы – это число, определенное только для квадратных матриц.Он используется при анализе линейных уравнений и их решении. Формула определителя помогает вычислить определитель матрицы, используя элементы матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведения элементов определенной строки или столбца с соответствующими сомножителями. Определитель матрицы A обозначается как | A |. Допустим, мы хотим найти определитель матрицы \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22 } & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {array} \ right] \)

Тогда определяющая формула матрицы A:

\ (a_ {11} (- 1) ^ {1 + 1} \! \! \ Left | \ begin {matrix} a_ {22} \! \! \! & A_ {23} \\ a_ {32} \ ! \! \! & a_ {33} \ end {matrix} \ right | \! \! + \! \! a_ {12} (- 1) ^ {1 + 2} \! \! \ left | \ begin { matrix} a_ {21} \! \! \! & a_ {23} \\ a_ {31} \! \! \! & a_ {33} \ end {matrix} \ right | \! \! + \! \! a_ {13} (- 1) ^ {1 + 3} \! \! \ Left | \ begin {matrix} a_ {21} \! \! \! & A_ {22} \\ a_ {31} \! \! \ ! & a_ {32} \ end {matrix} \ right | \)

Сопряжение матриц

Сопряжение матриц вычисляется путем нахождения транспонированных сомножителей элементов данных матриц.Чтобы найти сопряженную матрицу, мы должны вычислить кофакторы элементов матрицы, а затем транспонировать матрицу кофакторов, чтобы получить сопряженную матрицу. Сопряженный к матрице A обозначается adj (A). Давайте разберемся в этом на примере: у нас есть матрица \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \ конец {array} \ right] \)

Тогда младшая матрица M данной матрицы будет:

\ (M = \ left [\ begin {array} {ccc} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \ end {array} \ right] \ )

Мы получим матрицу кофакторов C данной матрицы A как:

\ (C = \ left [\ begin {array} {ccc} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \ end {array} \ right] \ )

Тогда транспонирование матрицы кофакторов даст сопряженное к данной матрице:

adj (A) = C ^T = \ (\ left [\ begin {array} {ccc} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \ конец {array} \ right] \)

Обращение матриц

Обращение любой матрицы обозначается как матрица, возведенная в степень (-1), т.е.е. для любой матрицы «A» обратная матрица обозначается как A ^-1 . Матрица, обратная квадратной матрице, имеет вид A ^-1 , только если: A × A ^-1 = A ^-1 × A = I . Есть вероятность, что иногда обратная матрица не существует, если определитель матрицы равен нулю (| A | = 0). Обратная матрица показана как A ^-1 . Матрицы, обратные или обратные матрицам, вычисляются по следующей формуле:

A ^-1 = (1 / | A |) (Adj A)

где

• | A | – определитель матрицы A и | A | ≠ 0.
• Adj A является сопряженным к данной матрице A.

Обратная матрица 2 × 2 \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {array} \ right] \) вычисляется по формуле: A ^-1 = \ (\ dfrac {1} {a_ {11} a_ {22} – a_ {12} a_ {21}} \ left (\ begin {matrix} a_ {22} & – a_ {12} \\ – a_ {21} & a_ {11} \ end {matrix} \ right) \)

Давайте найдем обратную матрицу 3 × 3, которую мы использовали в предыдущем разделе: \ (A = \ left [\ begin {array} {ccc}
2 и -1 и 3 \
0 и 5 и 2 \
1 и -1 и -2
\ end {array} \ right] \)

Так как adj (A) = \ (\ left [\ begin {array} {ccc}
-8 и -5 и -17 \
2 & -7 & -4 \\
-5 и 1 и 10
\ end {array} \ right] \)

И при вычислении определителя получим | A | = -33

Следовательно, A ^-1 = (1 / -33) × \ (\ left [\ begin {array} {ccc}
-8 и -5 и -17 \
2 & -7 & -4 \\
-5 и 1 и 10
\ end {array} \ right] \)

Следовательно, A ^-1 = \ (\ left [\ begin {array} {ccc}
0.24 и 0,15 и 0,51 \
-0,06 и 0,21 и 0,12 \
0,15 и -0,03 и -0,39
\ end {array} \ right] \)

Собственные значения и собственные векторы матриц

Если A – любая квадратная матрица порядка ‘n’, может быть сформирована матрица A – λI, где I – единичная матрица порядка n, такая, что число λ, называемое собственным значением, и ненулевым вектором v , называемые собственным вектором, удовлетворяют уравнению Av = λv. λ является собственным значением n × n-матрицы A тогда и только тогда, когда A – λI \ (_ n \) необратима, что эквивалентно Det (A – λI) = 0.

Матрицы

Советы и хитрости:

• Кофактор матрицы A получается, когда минор \ (M_ {ij} \) матрицы умножается на (-1) ^{i + j} .
• Матрицы представляют собой массивы прямоугольной формы.
• Матрица, обратная матрицам, вычисляется по следующей формуле: A ^-1 = (1 / | A |) (прил. A).
• Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда | A | 0.

Связанные темы:

Ознакомьтесь с этими интересными статьями, чтобы узнать больше о матрицах:

Часто задаваемые вопросы по матрицам

Что такое матрицы в математике?

Матрицы в математике – это комбинации чисел, переменных, символов или выражений в прямоугольной таблице, которая содержит различное количество строк и столбцов, для которых определены такие операции, как сложение, умножение, транспонирование и т. Д.

Как решать матрицы?

Мы можем решать матрицы, выполняя над ними операции, такие как сложение, вычитание, умножение и так далее.

Как решать системы уравнений с матрицами?

Чтобы решить систему уравнений с матрицами, мы будем следовать шагам, приведенным ниже.

• Расположите элементы уравнений в матрицах и найдите матрицу коэффициентов, матрицу переменных и постоянную матрицу.
• Запишите уравнения в форме AX = B.
• Возьмите обратное число к A, найдя сопряженный и определитель A.
• Умножить обратную матрицу A на матрицу B, таким образом найдя значение переменной матрицы X.

Что такое формула обратной матрицы 3 × 3?

Формула обратной матрицы для матрицы 3 × 3: A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0, где A = квадратная матрица, adj (A) = сопряженная квадратная матрица, A ^-1 = обратная матрица.

В чем особенность определяющей формулы для матриц?

Определитель матрицы определяется только для квадратных матриц, и это свойство формулы определителя делает ее уникальной.Кроме того, значение определителя можно вычислить, используя элементы любой строки или любого столбца.

Как вычислить определитель матрицы 2 × 2, используя формулу определителя?

Для вычисления определителя матрицы 2 × 2

• Шаг 1: Проверьте, является ли данная матрица квадратной матрицей, которая также является матрицей 2 × 2.
• Шаг 2: Определите все его строки и столбцы.
• Шаг 3: Поместите значения в формулу определителя, D = ad – bc.

Формула определителя для матрицы 2 x 2, \ (A = \ begin {pmatrix} a & b \\ \\ c & d \ end {pmatrix} \) задается как | D | = ad – bc.

Каковы условия возможности умножения матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы, т.е. умножение матриц допустимо, только если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Каковы свойства транспонирования матриц?

Для данных двух матриц, A и B, свойства транспонирования матриц могут быть объяснены следующим образом:

• (A ^T ) ^T = A
• (A + B) ^T = A ^T + B ^T , A и B одного порядка
• (KA) ^T = KA ^T , K – любой скаляр (действительный или комплексный)
• (AB) ^T = B ^T A ^T , A и B соответствуют продукту AB.(Это также называется законом обращения.)

Какова формула обратного преобразования матриц?

Формула обратной матрицы используется для определения обратной матрицы для любой заданной матрицы. Матрица, обратная квадратной матрице, равна A ^-1 . Формула обратной матрицы может быть задана как, A ^-1 = adj (A) / | A |; | A | ≠ 0, где A – квадратная матрица. Также для матрицы и ее инверсии A × A ^-1 = A ^-1 × A = I.

Как использовать формулу, обратную матрице?

Формулу обратной матрицы можно использовать, выполнив указанные шаги:

• Шаг 1: Найдите матрицу миноров для данной матрицы.
• Шаг 2: Преобразуйте полученную второстепенную матрицу в матрицу сомножителей.
• Шаг 3: Найдите сопряженную матрицу, транспонировав матрицу сомножителей.
• Шаг 4: Наконец разделите сопряженную матрицу на ее определитель.

Какие бывают типы матриц?

Существуют различные типы матриц в зависимости от свойств их свойств. Некоторые из них представлены как,

• Матрица строк и матрица столбцов
• Квадратная матрица и прямоугольная матрица
• Диагональная матрица
• Скалярная матрица
• Идентификационная матрица
• Нулевая матрица
• Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица
• Идемпотентная матрица
• Симметричная и кососимметричная матрица

Каковы свойства скалярного умножения в матрицах?

Даны матрицы A = [a \ (_ {ij} \)] \ (_ {m \ times n} \) и B = [b \ (_ {ij} \)] \ (_ {m \ times n } \) и скаляров K и l, различные свойства, связанные с умножением матриц, могут быть заданы как,

• К (А + В) = КА + КБ
• (К + 1) А = КА + 1А
• (Kl) A = K (lA) = l (KA)
• (-К) А = – (КА) = К (-А)
• 1 · А = А
• (-1) А = -А

Что такое матричный полином?

Для многочлена вида f (x) = a \ (_ 0 \) x ⁿ + a \ (_ 1 \) x ^n-1 + a \ (_ 2 \) x ^n-1 + .. . + a \ (_ {n-1} x \) + a \ (_ n \), и A как квадратная матрица порядка n. Тогда f (A) = a \ (_ 0 \) A ⁿ + a \ (_ 1 \) A ^n-1 + a \ (_ 2 \) A ^n-2 +. . . + a \ (_ {n-1} \) A + a \ (_ n \) A + a \ (_ n \) I \ (_ n \) называется матричным многочленом.

Что такое эшелонированная форма матриц?

Матрица A = (a \ (_ {ij} \) \ (_ {m \ times n} \) называется эшелонированной, если все ненулевые строки, если таковые имеются, предшествуют нулевым строкам и количество нулей, предшествующих первому ненулевому элементу в строке, меньше количества таких нулей в следующей строке.

Как выразить матрицу как сумму симметричной и несимметричной матрицы?

Любую квадратную матрицу A можно записать как A = P + Q, где P и Q – симметричные и кососимметричные матрицы соответственно, так что P = (A + A ^T ) / 2 и Q = (A – А ^Т ) / 2.

5.1: Что такое матрица?

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Без заголовков

Начнем с того, что матрица – это не что иное, как прямоугольное расположение набора элементов (на самом деле, это немного сложнее, но мы немного вернемся к матрицам более чем двух измерений).Прямоугольники имеют размеры, которые описываются количеством строк элементов и столбцов элементов, которые они содержат. Матрица «3 на 6» состоит из трех строк и шести столбцов; матрица «I на j» имеет I строк и j столбцов. Матрица, имеющая только одну строку, называется «вектор-строка». Матрица, содержащая только один столбец, называется “вектор-столбец”.

На рис. 5.1 показана матрица два на четыре. На рис. 5.2 показана матрица четыре на два. На данный момент игнорируйте содержимое ячеек (например, 1,1).

Рисунок 5.1. Пример матрицы «два на четыре»

1,1	1,2	1,3	1,4
2,1	2,2	2,3	2,4

Рисунок 5.2. Пример матрицы “четыре на два”

1,1	1,2
2,1	2,2
3,1	3,2
4,1	4,2

Элементы (ячейки) матрицы идентифицируются по их «адресам».«Элемент 1,1 – это запись в первой строке и первом столбце; элемент 13,2 находится в 13-й строке и является вторым элементом этой строки. Адреса ячеек были введены как элементы матрицы в двух приведенных выше примерах.

Матрицы часто представлены в виде массивов элементов, окруженных вертикальными линиями слева и справа или квадратными скобками слева и справа. На веб-страницах проще использовать «таблицы» для представления матриц. Матрицам можно давать имена; эти имена обычно пишутся заглавными полужирными буквами.Социологи, использующие матрицы для представления социальных сетей, часто обходятся без математических условностей и просто показывают свои данные в виде массива помеченных строк и столбцов. Этикетки на самом деле не являются частью матрицы, а служат просто для ясности изложения. Например, матрица на рисунке 5.3 представляет собой матрицу 4 на 4 с дополнительными метками.

Рисунок 5.3. Матрица четыре на четыре с дополнительными метками строк и столбцов

	A	B	С	D
А	—	1	0	0
B	1	—	1	0
С	1	1	—	1
D	0	0	1	—

Матрицы, используемые при анализе социальных сетей, часто являются «квадратными».«То есть они содержат одинаковое количество строк и столбцов. Но также используются« прямоугольные »матрицы, а также векторы строк и столбцов. Для всех этих вариантов применяются одни и те же соглашения.

Иногда аналитики социальных сетей используют «трехмерную» матрицу. Трехмерная матрица имеет строки, столбцы и «уровни» или «срезы». Каждый «фрагмент» имеет те же строки и столбцы, что и каждый другой фрагмент. UCINET рассматривает эти более сложные трехмерные массивы данных как набор двумерных матриц.

матриц (математика) | Encyclopedia.com

БИБЛИОГРАФИЯ

Реальные числа могут использоваться для передачи одномерной информации, например, общих расходов семьи за месяц. Однако, если кто-то хочет записать ежемесячные расходы двух семей (с индексом 1, 2) на три элемента – еду, развлечения и здоровье (с индексом 1, 2, 3), – тогда нужно использовать прямоугольный массив реальных числа или матрица. Матрица (A) определяется как прямоугольный массив чисел, параметров или переменных.Члены массива называются элементами матрицы и обычно заключаются в скобки, круглые скобки или двойные вертикальные линии.

Первая строка матрицы A предоставляет информацию о расходах первой семьи на еду, развлечения и здоровье, а вторая строка дает аналогичную информацию, относящуюся ко второй семье. Например, a ₂₃ – это расходы второй семьи на здоровье, а a ₁₂ – это расходы первой семьи на развлечения.Матрица – это концепция линейной алгебры, которая находит широкое применение во многих областях, включая экономику, статистику, компьютерное программирование, исследования операций, организацию производства и инженерию.

Подобно числам, элементарные операции, такие как сложение и умножение, также могут выполняться с матрицами. Типичный элемент в матрице A записывается как a _ij , который является элементом, расположенным в строке i и столбце j матрицы. Например, a ₁₃ – это элемент в первой строке и третьем столбце или расходы первой семьи на здравоохранение в первый месяц.Матрица A также записывается как { a _ij } _{2 × 3} , что просто означает, что A – это матрица с двумя строками и тремя столбцами, типичным элементом которой является a _ij Расходы двух семейств во второй месяц о еде, развлечениях и здоровье можно записать в виде другой матрицы: B = { b _ij } _{2 × 3} . Затем сумма двухмесячных расходов обеих семей по всем трем пунктам может быть записана в форме третьей матрицы C, которая представляет собой сумму соответствующих элементов A и B; он определяется как:

C = { a _ij + b _ij } _{2 × 3} = A + B

Предположим теперь, что в третьем месяце две семьи тратят ровно столько же денег на каждый предмет, сколько они потратили в первый месяц.Другими словами, матрица расходов в третьем месяце такая же, как матрица расходов в первый месяц. Затем мы можем написать матрицу D, которая сообщит нам общие расходы двух семей за три месяца по каждой из трех статей:

D = {2 a _ij + b _ij } _{2 × 3} = 2A + B.

2A называется скалярным умножением матрицы, в котором каждый элемент A умножается на скаляр 2.

Умножение двух матриц можно проиллюстрировать с помощью моделей ввода-вывода , используемых для иллюстрации теории производителей в экономике. Предположим, что есть две фирмы, каждая из которых производит три товара (индексируется 1, 2, 3) с двумя факторами производства (индексируется 1, 2). Пусть A = { a _ij } _{2 × 3} – матрица входных-выходных коэффициентов. Таким образом, a _ij – это величина фактора i , необходимая для производства одной единицы товара j. Первая фирма хочет производить X ₁ , X ₂ X ₃ , а вторая фирма хочет производить Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ количества трех товаров. Давайте определим матрицу этих выходов как:

Тогда умножение матриц A и Z может быть записано как:

Можно заметить, что A – это матрица 2 × 3, а Z – это матрица 3 × 2. Их произведение будет матрицей 2 × 2.Общее правило состоит в том, что если A равно m × n, а Z равно nXq, то их произведение будет матрицей порядка m × q. Количество столбцов A должно быть равно количеству строк Z. Если это условие не выполняется, умножение матриц невозможно. Смысл матрицы продукта (AZ) очень прост. Предположим, труд и капитал – два фактора производства. В первом столбце AZ приведены общие количества труда и капитала, использованные первой фирмой для производства всех трех товаров, а во втором столбце AZ приведены суммы всех факторов, использованных второй фирмой для производства этих трех товаров.

транспонирование матрицы A ^T получается путем перестановки строк и столбцов A. Строка i -й строки A – это i -й столбец A ^T . Например, транспонирование A, записанное как A ^T , будет:

Квадратная матрица – это матрица с равным количеством строк и столбцов. Эквивалент числа 1 – это единичная матрица I, которая представляет собой квадратную матрицу с 1 на главной диагонали и 0 на остальной части.Следующая единичная матрица имеет размерность 3 × 3:

Очевидно, что I ^T = I, AI = IA = A, для любой матрицы A, для которой эти продукты определены. Нулевая матрица (записанная как O) – это матрица, все элементы которой равны нулю.

Матричные операции удовлетворяют определенным математическим законам:

1. A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативный закон для сложения)
2. A (BC) = (AB) C (ассоциативный закон для умножение)
3. A + B = B + A (закон коммутативности)
4. c (A + B) = cA + cB, где c – скаляр (закон распределения для скалярных произведений)
5. C (A + B) = CA + CB, при условии, что продукты определены (закон распределения для умножения матриц)

Важнейшим применением матриц является то, что матричная алгебра может использоваться для решения системы линейных одновременных уравнений вида: AX = B.A – это матрица порядка m × n, элементы которой являются действительными числами, X – это матрица переменных размером n × 1, значения которых необходимо решить, а B – матрица m × 1 правой константы. члены m линейных уравнений. Пример этих уравнений для случая m = n = 3 следующий:

X + Y + Z = 4

3X + Y – Z = 6

X + Y – 2Z +4

В приведенной выше системе уравнений ,

То, что эквивалентно делению действительных чисел, в матричной алгебре называется обращением матриц .Инвертировать можно только квадратную матрицу. Если A – квадратная матрица порядка n × n, то ее обратная, A ^-1 , является такой матрицей, что A ^-1 = A ^-1 A = I . Если существует система линейных одновременных уравнений AX = B, где A равно n × n, X равно n × 1, а B равно n × 1, то решение будет X = A ^-1 B, при условии, что существует A ^-1 .

СМОТРИ ТАКЖЕ Холецкое разложение; Матрица Гессе; Матрица ввода-вывода; Обратная матрица; Матрица Якоби; Линейные системы; Математическая экономика; Программирование, линейное и нелинейное; Векторы

Chiang, Alpha C., и Кевин Уэйнрайт. 2005. Фундаментальные методы математической экономики . 4-е изд. Бостон: Макгроу Хилл / Ирвин.

Monica Das

Матрица (математика) Факты для детей

Для ссылок на конкретные элементы матрицы часто используются пары нижних индексов для чисел в каждой из строк и столбцов .

В математике матрица (во множественном числе: матрицы ) представляет собой прямоугольник чисел, расположенный в строках и столбцах .Каждая строка располагается слева направо (по горизонтали), а столбцы идут сверху вниз (по вертикали). Левая верхняя ячейка находится в строке 1, столбце 1 (см. Диаграмму справа) .

Матрицы часто представлены заглавными латинскими буквами, такими как [math] A [/ math], [math] B [/ math] и [math] C [/ math], ^[1] , и есть правила для сложения , вычитание и «умножение» матриц вместе, но правила другие, чем для чисел. ^[2] Например, произведение [math] AB [/ math] не всегда дает тот же результат, что и [math] BA [/ math], что имеет место при умножении обычных чисел. ^[3] Матрица может иметь более двух измерений, например трехмерная матрица. Кроме того, матрица может быть одномерной, в виде одной строки или одного столбца.

Матрицы используются во многих естественных науках. Во многих университетах курсы по матрицам (обычно называемые линейной алгеброй) преподаются очень рано, иногда даже на первом году обучения. Матрицы также очень распространены в информатике, инженерии, физике, экономике и статистике. ^[4]

Определения и обозначения

Горизонтальные линии в матрице называются строками , а вертикальные линии называются столбцами .Матрица с м строк и n столбцов называется матрицей м на n (или матрицей м × n ), а м и n называются ее размерами .

Места в матрице, где находятся числа, называются записями . ^[2] Запись матрицы A , которая находится в строке номер i и номер столбца j , называется записью i, j в A .Это записывается как A [ i, j ] или a _{i, j} .

Мы пишем [math] A: = (a_ {ij}) _ {m \ times n} [/ math], чтобы определить матрицу m × n A , с каждой записью в матрице, называемой a _{i, j} для всех 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n .

Пример

Матрица

[математика] \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 1 и 2 и 7 \\ 4 и 9 и 2 \\ 6 & 1 & 5 \ end {bmatrix} [/ math]

– это матрица 4 × 3.Эта матрица имеет m = 4 строки и n = 3 столбца.

Элемент A [2,3] или a _2,3 равен 7.

Операции

Дополнение

Основная статья: Добавление матрицы

Сумма двух матриц – это матрица, в которой ( i , j ) -я запись равна сумме ( i , j ) -й записи двух матриц:

[математика] \ begin {bmatrix} 1 и 3 и 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 и 2 и 2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 и 5 и 0 \\ 2 и 1 и 1 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 + 0 и 3 + 0 и 2 + 5 \\ 1 + 7 & 0 + 5 & 0 + 0 \\ 1 + 2 и 2 + 1 и 2 + 1 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 и 3 и 7 \\ 8 и 5 и 0 \\ 3 и 3 и 3 \ end {bmatrix} [/ math]

Две матрицы имеют одинаковые размеры.Здесь [math] A + B = B + A [/ math] верно (и верно в целом для матриц одинаковых размеров).

Умножение двух матриц

Основная статья: Умножение матриц

Умножение двух матриц немного сложнее:

[математика] \ begin {bmatrix} а1 и а2 \\ а3 и а4 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} b1 и b2 \\ b3 & b4 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} (a1 \ cdot b1 + a2 \ cdot b3) & (a1 \ cdot b2 + a2 \ cdot b4) \\ (a3 \ cdot b1 + a4 \ cdot b3) & (a3 \ cdot b2 + a4 \ cdot b4) \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Итак, с числами:

[математика] \ begin {bmatrix} 3 и 5 \\ 1 и 4 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 2 и 3 \\ 5 & ​​0 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} (3 \ cdot 2 + 5 \ cdot 5) и (3 \ cdot 3 + 5 \ cdot 0) \\ (1 \ cdot 2 + 4 \ cdot 5) и (1 \ cdot 3 + 4 \ cdot 0) \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 31 и 9 \\ 22 и 3 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

• Две матрицы можно перемножать друг с другом, даже если они имеют разные размеры, при условии, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. ^[3]
• Результатом умножения, называемым произведением, является другая матрица с тем же количеством строк, что и первая матрица, и тем же количеством столбцов, что и вторая матрица.
• Умножение матриц не коммутативно, что означает, что в общем случае [math] AB \ neq BA [/ math]. ^[4]
• Умножение матриц является ассоциативным, что означает, что [math] (AB) C = A (BC) [/ math]. ^[4]

Специальные матрицы

Есть несколько специальных матриц.

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет такое же количество строк, что и столбцы, поэтому m = n. ^[5]

Пример квадратной матрицы:

[математика] \ begin {bmatrix} 5 и -2 и 4 \\ 0 и 9 и 1 \\ -7 и 6 и 8 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

В этой матрице 3 строки и 3 столбца: m = n = 3.

Личность

Основная статья: Матрица идентичности

Каждый квадратный набор размеров матрицы имеет специальный аналог, называемый «единичной матрицей», представленный символом [math] I [/ math]. ^[1] В единичной матрице нет ничего, кроме нулей, кроме главной диагонали, где все единицы. Например:

[математика] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

– единичная матрица. Для каждого квадратного набора размерностей существует ровно , одна матрица идентичности . Идентификационная матрица является особенной, потому что при умножении любой матрицы на единичную матрицу результатом всегда будет исходная матрица без изменений.

Обратная матрица

Основная статья: Обратимая матрица

Обратная матрица – это матрица, которая при умножении на другую матрицу равна единичной матрице. Например:

[математика] \ begin {bmatrix} 7 и 8 \\ 6 и 7 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 7 & -8 \\ -6 и 7 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 и 1 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

[математика] \ begin {bmatrix} 7 & -8 \\ -6 и 7 \\ \ end {bmatrix} [/ math] является обратным [математика] \ begin {bmatrix} 7 и 8 \\ 6 и 7 \\ \ end {bmatrix} [/ math].

Формула, обратная матрице 2×2, [math] \ begin {bmatrix} x & y \\ z & v \ end {bmatrix} [/ math]:

[математика] \ left (\ frac {1} {\ det} \ right) \ begin {bmatrix} v & -y \\ -z & x \ end {bmatrix} [/ math]

Где [math] \ det [/ math] – определитель матрицы. В матрице 2×2 определитель равен:

[математика] {xv-yz} [/ математика]

Матрица с одним столбцом

Матрица, в которой много строк, но только один столбец, называется вектором-столбцом.

Детерминанты

Определитель берет квадратную матрицу и вычисляет простое число, скаляр. Чтобы понять, что означает это число, возьмите каждый столбец матрицы и нарисуйте его как вектор. Параллелограмм, нарисованный этими векторами, имеет площадь, которая является определяющим фактором. Для всех матриц 2×2 формула очень проста: [математика] \ det \ left ( \ begin {bmatrix} а & б \\ CD \\ \ end {bmatrix} \ right) = ad – bc [/ math]

Для матриц 3×3 формула более сложная: [математика] \ det \ left ( \ begin {bmatrix} a_1 и b_1 и c_1 \\ a_2 и b_2 и c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \ end {bmatrix} \ right) = a_1 (b_2 c_3 – c_2 b_3) – a_2 (b_1 c_3 – c_1 b_3) + a_3 (b_1 c_2 – c_1 b_2) [/ математика]

Не существует простых формул для определителей больших матриц, и многие программисты изучают, как заставить компьютеры быстро находить большие детерминанты.

Свойства детерминантов

Есть три правила, которым следуют все детерминанты. Эти:

• Определитель единичной матрицы 1
• Если две строки или два столбца матрицы меняются местами, то определитель умножается на -1. Математики называют это чередующимся .
• Если все числа в одной строке или столбце умножаются на другое число n , то определитель умножается на n .Кроме того, если матрица M имеет столбец v , который является суммой двух матриц столбцов [math] v_1 [/ math] и [math] v_2 [/ math], то определитель M является суммой определителей M с [math] v_1 [/ math] вместо v и M с [math] v_2 [/ math] вместо v . Эти два условия называются мультилинейностью .

Связанные страницы

Список литературы

1. ↑ ^{1.0 1.1} «Полный список символов алгебры» (на английском языке). 2020-03-25. https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/.
2. ↑ ^{2,0 2,1} «Матрицы». https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-introduction.html.
3. ↑ ^{3,0 3,1} «Как умножать матрицы». https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html.
4. ↑ ^{4,0 4,1 4,2} «Матрица | математика» (на английском языке).https://www.britannica.com/science/matrix-mat Mathematics.
5. ↑ Вайсштейн, Эрик В. «Матрица» (на английском языке). https://mathworld.wolfram.com/Matrix.html.

Другие сайты

История

Электронные книги

, http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html
 

Практическое применение матричной математики

Благодарю внимательного читателя за вопрос: « Каково практическое использование матриц в повседневной жизни? »Самый прямой ответ:« Это зависит от вашей повседневной жизни .«Давайте рассмотрим некоторые практические применения матричной математики в различных условиях, а также краткое введение в матрицы.

Приложения матричной математики

Матричная математика применяется к нескольким отраслям науки, а также к различным математическим дисциплинам. Начнем с компьютерной графики, затем коснемся естественных наук и вернемся к математике.

Мы видим результаты матричной математики в каждом сгенерированном компьютером изображении, которое имеет эффекты отражения или искажения, такие как свет, проходящий через рябь на воде.

До появления компьютерной графики в оптике использовалась матричная математика для учета отражения и преломления.

Матричная арифметика помогает нам рассчитать электрические свойства цепи, включая напряжение, силу тока, сопротивление и т. Д.

В математике одно применение матричной записи поддерживает теорию графов. В матрице смежности целые значения каждого элемента указывают, сколько соединений имеет конкретный узел.

Поле вероятности и статистики может использовать матричные представления.Вектор вероятности перечисляет вероятности различных исходов одного испытания. Стохастическая матрица – это квадратная матрица, строки которой являются векторами вероятности. Компьютеры запускают моделирование Маркова на основе стохастических матриц для моделирования событий, начиная от азартных игр и прогнозов погоды до квантовой механики.

Матричная математика упрощает линейную алгебру, по крайней мере, обеспечивая более компактный способ работы с группами уравнений линейной алгебры.

Введение в матричную арифметику

Матрица организует группу чисел или переменных с определенными правилами арифметики.Он представлен в виде прямоугольной группы строк и столбцов, например. Эта матрица «2×3» состоит из двух строк и трех столбцов; число ’23’ находится во второй строке третьего столбца.

Пример квадратной матрицы с переменными, а не числами. Это квадратная матрица, потому что количество строк равно количеству столбцов.

Мы можем добавлять только матрицы одинаковых размеров, потому что мы добавляем соответствующие элементы. .

Умножение матриц – совсем другое дело.Умножим матрицы MP = R. M – матрица размера mXn; P – это nXp; и результат R будет иметь размерность mXp. Обратите внимание, что количество столбцов левой матрицы M должно равняться количеству строк правой матрицы P. Например:

.

Матрица также может умножаться на вектор.

Удивительно, но все мы используем матрицу в повседневной жизни. Изображение Kkmann.

Использование математики в графике

Программное обеспечение

Graphic использует матричную математику для обработки линейных преобразований для рендеринга изображений.Квадратная матрица, содержащая ровно столько строк, сколько столбцов, может представлять линейное преобразование геометрического объекта. Например, в декартовой плоскости X-Y матрица отражает объект по вертикальной оси Y. В видеоигре это будет отображать перевернутое зеркальное изображение замка, отраженного в озере.

Если в видеоигре есть изогнутые отражающие поверхности, такие как блестящий серебряный кубок, матрица линейного преобразования будет более сложной, чтобы растянуть или уменьшить отражение.

Матрица идентичности и обратная матрица

Матрица идентичности – это квадратная матрица размера nXn с единицами на диагонали и нулями в другом месте. Это не вызывает абсолютно никаких изменений как линейное преобразование; очень похоже на умножение обычного числа на единицу. Размерность матрицы идентичности отображается нижним индексом, поэтому I ₂ = – это матрица идентичности 2X2.

Предположим, у нас есть две квадратные матрицы размера nXn, A и B, такие, что AB = I _n . Затем мы называем B обратной матрицей A и показываем ее как A ^-1 .Первый практический момент заключается в том, что обратная матрица A ^-1 обращает изменения, сделанные исходной матрицей линейного преобразования A.

Определитель

Другой важной задачей матричной арифметики является вычисление определителя квадратной матрицы 2X2. Для матрицы M = определитель равен | M | = а * г – Ь * с.

Если определитель M равен нулю, то нет , обратная матрица M ^-1 не существует.

С другой стороны, если мы применим M как линейное преобразование единичного квадрата U в U _M , то определитель | M | – это площадь преобразованного квадрата.В некотором смысле определяющим фактором является размер или «норма» квадратной матрицы.

Ежедневные матричные приложения

Матричная математика имеет множество приложений. Математики, ученые и инженеры представляют группы уравнений в виде матриц; тогда у них есть систематический способ делать математику. Компьютеры имеют встроенную матричную арифметику в алгоритмы обработки графики, особенно для визуализации отражения и преломления. Некоторые свойства матричной математики важны в теории математики.

Однако немногие из нас, вероятно, сознательно применяют матричную математику в нашей повседневной жизни.

Читатели, оставьте, пожалуйста, комментарий: как вы ежедневно пользуетесь матрицами?

Майк ДеХаан применяет свою степень бакалавра математики в области компьютерных наук, годы программирования на языке Cobol и контроля качества (включая тестирование расчета процентов по кредитным картам) для исследования и представления математической теории для непрофессионала.

Здесь, в Decoded Science, Майк занимается математикой.Он изучает основы математической теории, раскрывает парадоксы, применяет вычисления к популярным фильмам и сообщает о математических новостях.
Майк начал профессионально писать в 2010 году как единственный владелец DeHaan Services.

Найди Майка в Google+

Матрица (математика) Факты для детей

Для ссылок на конкретные элементы матрицы часто используются пары нижних индексов для чисел в каждой из строк , и , столбцов .

В математике матрица (во множественном числе: матрицы ) представляет собой прямоугольник чисел, расположенный в строках и столбцах .Каждая строка располагается слева направо (по горизонтали), а столбцы идут сверху вниз (по вертикали). Левая верхняя ячейка находится в строке 1, столбце 1 (см. Диаграмму справа) .

Матрицы часто представлены заглавными латинскими буквами, такими как, и, и существуют правила сложения, вычитания и «умножения» матриц вместе, но правила отличаются от правил для чисел. Например, произведение не всегда дает тот же результат, что и умножение обычных чисел.Матрица может иметь более двух измерений, например трехмерная матрица. Кроме того, матрица может быть одномерной, в виде одной строки или одного столбца.

Многие естественные науки довольно часто используют матрицы. Во многих университетах курсы по матрицам (обычно называемые линейной алгеброй) преподаются очень рано, иногда даже на первом году обучения. Матрицы также очень распространены в информатике, инженерии, физике, экономике и статистике.

Определения и обозначения

Горизонтальные линии в матрице называются строками , а вертикальные линии называются столбцами .Матрица с м строк и n столбцов называется матрицей м на n (или матрицей м × n ), а м и n называются ее размерами .

Позиции в матрице, где находятся числа, называются записями . Запись матрицы A , которая находится в строке номер i и номер столбца j , называется записью i, j в A .Это записывается как A [ i, j ] или a _{i, j} .

Мы пишем для определения матрицы m × n A , причем каждая запись в матрице называется a _{i, j} для всех 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n .

Пример

Матрица

– это матрица 4 × 3. Эта матрица имеет m = 4 строки и n = 3 столбца.

Элемент A [2,3] или a _2,3 равен 7.

Операции

Дополнение

Заглавная страница: Сложение матрицы

Сумма двух матриц – это матрица, в которой ( i , j ) -я запись равна сумме ( i , j ) -й записи двух матриц:

Две матрицы имеют одинаковые размеры. Здесь верно (и верно в целом для матриц одинаковой размерности).

Умножение двух матриц

Основная статья: Умножение матриц

Умножение двух матриц немного сложнее:

Не удалось выполнить синтаксический анализ (сбой преобразования PNG; проверьте правильность установки latex и dvipng (или dvips + gs + convert)): \ begin {bmatrix} a1 & a2 \\ a3 & a4 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} b1 & b2 \\ b3 & b4 \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} (a1 \ cdot b1 + a2 \ cdot b3) & (a1 \ cdot b2 + a2 \ cdot b4) \\ (a3 \ cdot b1 + a4 \ cdot b3) & (a3 \ cdot b2 + a4 \ cdot b4) \\ \ end {bmatrix}

Так с номерами:

• Две матрицы можно перемножать друг с другом, даже если они имеют разные размеры, при условии, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.
• Результатом умножения, называемым произведением, является другая матрица с тем же количеством строк, что и первая матрица, и тем же количеством столбцов, что и вторая матрица.
• Умножение матриц не коммутативно, что означает, что в общем случае.
• Умножение матриц ассоциативно, а это значит, что.

Матрицы специальные

Есть несколько специальных матриц.

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет такое же количество строк, что и столбцы, поэтому m = n.

Пример квадратной матрицы:

В этой матрице 3 строки и 3 столбца: m = n = 3.

Личность

Основная статья: Матрица идентичности

Каждый квадратный набор размеров матрицы имеет специальный аналог, называемый «единичной матрицей», представленный символом. В единичной матрице нет ничего, кроме нулей, кроме главной диагонали, где все единицы. Например:

– это единичная матрица. Для каждого квадратного набора размерностей существует ровно , одна матрица идентичности .Идентификационная матрица является особенной, потому что при умножении любой матрицы на единичную матрицу результатом всегда будет исходная матрица без изменений.

Обратная матрица

Основная статья: Обратимая матрица

Обратная матрица – это матрица, которая при умножении на другую матрицу равна единичной матрице. Например:

– это обратное значение.

Формула, обратная матрице 2×2:

Где определитель матрицы.В матрице 2×2 определитель равен:

Матрица с одним столбцом

Матрица, в которой много строк, но только один столбец, называется вектором-столбцом.

Детерминанты

Определитель берет квадратную матрицу и вычисляет простое число, скаляр. Чтобы понять, что означает это число, возьмите каждый столбец матрицы и нарисуйте его как вектор. Параллелограмм, нарисованный этими векторами, имеет площадь, которая является определяющим фактором. Для всех матриц 2×2 формула очень проста:

Для матриц 3×3 формула более сложная:

Нет простых формул для определителей больших матриц, и многие программисты изучают, как заставить компьютеры быстро находить большие детерминанты.

Свойства детерминантов

Есть три правила, которым следуют все детерминанты. Это:

• Определитель единичной матрицы 1
• Если две строки или два столбца матрицы меняются местами, то определитель умножается на -1. Математики называют это чередующимся .
• Если все числа в одной строке или столбце умножаются на другое число n , то определитель умножается на n .Кроме того, если матрица M имеет столбец v , который является суммой двух матриц столбцов и, то определитель M является суммой определителей M с вместо v и M вместо v . Эти два условия называются мультилинейностью .

Связанные страницы

Картинки для детей

• Схематическое изображение матричного продукта AB двух матриц A и B .

Применение матриц в областях науки, торговли и социальных наук

Что такое матрицы?

• Матрица определяется как прямоугольный массив чисел или символов, которые обычно расположены в строках и столбцах.

• Порядок матрицы можно определить как количество строк и столбцов.

• Записи представляют собой числа в матрице, известной как элемент.

• Множественное число матриц – это матрицы.

• Размер матрицы обозначается как матрица «n на m» и записывается как m × n, где n = количество строк и m = количество столбцов.

• Пример:

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 4 & 24 \\ 1 & -9 & 8 \ end {bmatrix} \]

Приведенная выше матрица имеет 2 строки и три столбца.

Типы матриц

Какие бывают типы матриц?

Существуют разные типы матриц. Вот они –

1) Матрица строк

2) Матрица столбцов

3) Нулевая матрица

4) Квадратная матрица

5) Диагональная матрица

6) Верхняя треугольная матрица

7) Нижняя треугольная матрица

8) Симметричная матрица

9) Антисимметричная матрица

Важные операции с матрицами:

1. Сложение матриц:

Предположим, что у нас есть две матрицы, а именно A и B.

Обе матрицы A и B имеют одинаковое количество строк и столбцов (то есть количество строк равно 2, а количество столбцов равно 3), поэтому их можно складывать. Проще говоря, вы можете легко добавить матрицу 2 x 3 с матрицей 2 x 3 или матрицу 2 x 2 с матрицей 2 x 2. Однако помните, что вы не можете добавить матрицу 3 x 2 с матрицей 2 x 3 или матрицу 2 x 2 с матрицей 3 x 3.

A = \ [\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \ end {bmatrix} \] B = \ [\ begin {bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \ end {bmatrix} \]

A + B = \ [\ begin {bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 & 3 + 7 \\ 7 + 3 & 8 + 4 & 9 + 5 \ end {bmatrix} \]

A ÷ B = \ [\ begin {bmatrix} 6 & 8 & 10 \\ 10 & 12 & 14 \ end {bmatrix} \]

Примечание. Помните, что порядок добавления матриц следующий. не важный; таким образом, мы можем сказать, что A + B равно B + A.

2. Умножение матриц:

Мы рассмотрим простое умножение матриц 2 × 2 A = \ [\ begin {bmatrix} 3 & 7 \\ 4 & 9 \ end {bmatrix} \] и другую матрицу B = \ [\ begin {bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \ end {bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить каждый из элементов матрицы произведения AB следующим образом:

• Произведение AB11 = 3 × 6 + 7 × 5 = 53

• Произведение AB12 = 3 × 2 + 7 × 8 = 62

• Произведение AB21 = 4 × 6 + 9 × 5 = 69

• Продукт AB22 = 4 × 2 + 9 × 8 = 80

Следовательно, матрица AB равна,

AB = \ [\ begin {bmatrix} 53 & 62 \\ 69 & 80 \ end {bmatrix} \]

Применение матриц

Матрицы имеют множество приложений в различных областях науки, торговли и социальных наук.

Матрицы используются в:

(i) компьютерной графике

(ii) оптике

(iii) криптографии

(iv) экономике

(v) химии

(vi) геологии

(vii) робототехнике и анимация

(viii) Беспроводная связь и обработка сигналов

(ix) Финансы

(x) Математика

Использование матриц в компьютерной графике

Раньше архитектура, мультфильмы, автоматизация делались вручную, но в настоящее время они сделано с использованием компьютерной графики.Квадратные матрицы очень легко представляют линейное преобразование объектов. Они используются для проецирования трехмерных изображений на двухмерные плоскости в области графики. В графике цифровое изображение изначально рассматривается как матрица. Строки и столбцы матрицы соответствуют строкам и столбцам пикселей, а числовые элементы соответствуют значениям цвета пикселей. Использование матриц для управления точкой – распространенный математический подход в графике видеоигр. Матрицы также используются для выражения графиков.Каждый граф можно представить в виде матрицы, каждый столбец и каждая строка матрицы – это узел, а значение их пересечения – это сила связи между ними. В графике используются такие матричные операции, как перемещение, вращение и запечатывание. Для преобразования точки мы используем уравнение

Использование матриц в криптографии

Криптография – это метод шифрования данных, так что только соответствующий человек может получить данные и связать информацию. Раньше видеосигналы не использовались для шифрования.Любой, у кого была спутниковая антенна, мог смотреть видео, что приводило к потере владельцев спутников, поэтому они начали шифрование видеосигналов, чтобы только те, у кого есть видеошифры, могли расшифровать сигналы. Это шифрование выполняется с использованием инвертируемого ключа, который не является инвертируемым, тогда зашифрованные сигналы не могут быть расшифрованы, и они не могут вернуться к своей исходной форме. Этот процесс выполняется с использованием матриц. Цифровой аудио- или видеосигнал сначала рассматривается как последовательность чисел, представляющая изменение во времени давления воздуха акустического аудиосигнала.Используются методы фильтрации, зависящие от умножения матриц.

Использование матриц в беспроводной связи

Матрицы используются для моделирования беспроводных сигналов и их оптимизации. Для обнаружения, извлечения и обработки информации, заложенной в матрицы сигналов, используются. Матрицы играют ключевую роль в задачах оценки и обнаружения сигналов. Они используются при обработке сигналов матрицы датчиков и разработке адаптивных фильтров. Матрицы помогают в обработке и представлении цифровых изображений.Мы знаем, что беспроводная связь и связь – важная часть телекоммуникационной отрасли. Обработка сигналов матрицы датчиков фокусируется на приложениях для подсчета сигналов и определения местоположения источников и имеет огромное значение во многих областях, таких как радиолокационные сигналы и подводное наблюдение. Основная проблема при обработке сигналов матрицы датчиков заключается в обнаружении и локализации источников излучения с учетом временной и пространственной информации, собранной с датчиков.

Использование матриц в науке

Матрицы используются в оптике для учета отражения и преломления.Матрицы также используются в электрических цепях и квантовой механике, а также в преобразовании электрической энергии через резисторы. Матрицы используются для решения уравнений сети переменного тока в электрических цепях.

Применение матриц в математике

Применение матриц в математике имеет обширную историю применения при решении линейных уравнений. Матрицы – невероятно полезные вещи, которые встречаются во многих различных прикладных областях. Применение матриц в математике применимо ко многим отраслям науки, а также к различным математическим дисциплинам.Инженерная математика применяется в нашей повседневной жизни.

Использование матриц в поиске области треугольника

Мы можем использовать матрицы, чтобы найти площадь любого треугольника, в котором были заданы вершины треугольника.