Матрицы a b: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера.

Первоначально находим определитель матрицы А и если он

равен нулю , то обратной матрицы не существует.

Если определитель отличен от нуля , то находим союзную

матрицу

состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Элементарные преобразования матриц.

Эквивалентные матрицы.

К элементарным преобразованиям относятся:

1. умножение любой строки матрицы на число , отличное от нуля;

пример

=

2. к любой строке можно добавить любую другую строку , умноженую на любое число;
3. перестановка двух строк.

Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований

называются эквивалентными

А~ В , В~ С , А~ С

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Расмотрим квадратную матрицу А и предположим , что

тогда используя элементарные преобразования эту матрицу

можно привести к единичной матрице .Таким образом единичная

матрица эквивалентна любой невырожденой матрице того же

порядка.

Теорема

Если элементарные преобразования:

переводят невырожденую матрицу А в единичную , то

те же самые преобразования, взятые в том же порядке, переводят

единичную матрицу в обратную для A.

Доказательство:

отсюда

назад | оглавление | вперёд

обратная матрица

Обратная матрица

Определение и примеры

Напомним, что функции f и g обратны, если

        f(g(x)) =  г (f (х))  =  х

Позже мы увидим, что матрицы можно рассматривать как функции из R ⁿ до R ^m и что матричное умножение равно состав этих функций. Обладая этим знанием, мы следующее:

Пусть А и B быть n x n матриц, то A и B являются обратными друг от друга, то

AB = BA = I _n

Пример

Рассмотрим матрицы

Мы можно проверить, что когда мы умножаем A и B в любом порядке мы получаем единичную матрицу. (Проверьте это.)

Нет у всех квадратных матриц есть обратные. Если матрица имеет обратную, мы называем ее не единственное число или обратимый . Иначе он называется единственное число . В следующем разделе мы увидим, как определить, матрица вырожденная или невырожденная.

Свойства инверсий

Ниже приведены четыре свойства инверсий.

1. Если А неособый, то и A ^-1 и

            

   (A ^-1 ) ^-1   =  А
2. Если А и Б невырожденные матрицы, то АБ неособый и (AB) ^-1   =  B ^-1 A ^{-1
   -1}
   
   
3. Если А неособо тогда (А ^Т ) ^-1   =  (А ^-1 ) ^Т
   
   
4. Если А и Б матрицы с АВ = I _п
   
   затем и Б являются инверсиями друг друга.

Обратите внимание, что четвертое свойство подразумевает, что если AB =  I затем BA  =  I.

Доказательство первых трех свойств элементарно, а четвертого слишком продвинутый для этого обсуждения. Докажем второе.

Доказательство того, что (AB) ^-1   =  B ^-1 А ^-1

По свойству 4 нам нужно только показать, что

        (AB)(B ^-1 A ^-1 )  =  I

У нас есть

        (AB)(B ^-1 A ^-1 )  =  A(BB ^-1 )A ^-1 ассоциативное свойство

= АИА ^-1      определение обратного

        =  АА ^-1      определение идентификационная матрица

       =  I определение обратного

Нахождение обратного

Теперь, когда мы поняли, что такое инверсия, мы хотели бы найти способ вычисление и обращение невырожденной матрицы. Мы используем определения обратное и матричное умножение. Пусть А — невырожденная матрица, а B — обратная к ней. Затем

        АВ =  Я

Напомним, что мы находим j ^-й столбец произведения путем умножения A на j ^th столбец B. Теперь некоторые обозначения. Позволять e _j быть м x 1 матрица, то есть j ^th столбец единичной матрицы и x _j быть й ^й столбец B. Затем  90 005

        Топор _j = е _j  

Мы можем записать это в расширенной форме

        [A|e _j ]

Вместо того, чтобы решать эти расширенные задачи по одной за раз, используя строку операций, мы можем решать их одновременно. Решаем

        [А | я]

Найти обратную матрицу

Раствор

обратная матрица — это правая часть окончательной расширенной матрицы

Это Пример показывает, что если A эквивалентна по строкам единичной матрице, то A неособый.

Линейные системы и инверсии

Мы можем использовать обратную матрицу для решения линейных систем. Предполагать что

        Топор =  б

Тогда так же, как мы делим на коэффициент, чтобы изолировать x, мы можем применить A ^-1 с обеих сторон для изолировать х.

        A ^-1 Топор =  А ^-1 б

        IX =  A ^-1 b        x =  А ^-1 б

Пример

Решить

х + 4z =  2
х + у + 6z = 3
-3x – 10z = 4

Раствор

Мы представить эту систему в матричной форме

Топор = b

с

Решение

        x  =  A ^-1 б

Мы уже вычислили обратное. Мы прибываем в

решение

х  =  -18        y  = -9        z  =  5

Уведомление что если b нулевой вектор, то

Топор =  0

может решить с помощью

х =  А ^-1 0  =  0

Это демонстрирует теорему

Теорема неособых эквивалентностей

Следующие эквивалентны (TFAE)

1. А неособый
2. Топор = 0 имеет только тривиальное решение
3. А является строковым эквивалентом I
4. линейная система Ax = b имеет единственный решение для каждой матрицы n x 1 б

Назад на главную страницу матриц и приложений

Назад на домашнюю страницу линейной алгебры

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

Определение умножения матриц

Видео с вопросами: Определение условий равенства двух матриц

Стенограмма видео

Рассмотрите показанные матрицы. Матрица 𝐴 равна единице, двум, трем, четыре. А матрица 𝐵 равна единице, двум, три, 𝑘. Можно ли выбрать 𝑘 такой что 𝐴𝐵 равно 𝐵𝐴? Если да, то чему должно быть равно 𝑘 к?

Итак, в этой задаче первым делом мы собираемся посмотреть, как мы перемножаем матрицы вместе. Так что у нас есть два на два матрицы. Итак, как бы мы умножили два матрицы два на два? Что ж, давайте посмотрим на это. У нас есть 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 один матрица, а 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ — другая матрица. Теперь, если мы посмотрим на первый элемент, у нас есть 𝑎𝑒 плюс 𝑏𝑔. Итак, что мы делаем, так это умножаем первый элемент первой строки первой матрицы на первый элемент первой столбец второй матрицы. А потом добавляем второй элемент первой строки первой матрицы, умноженный на второй элемент первый столбец второй матрицы. И тогда то, что мы делаем, завершено этот образец для других элементов нашей матрицы.

Хорошо, отлично. Итак, теперь нам нужно работать выяснить, возможно ли, чтобы 𝐴𝐵 было равно 𝐵𝐴, если у нас есть значение 𝑘. Ну, при первом осмотре вы может подумать, что 𝐴𝐵 будет таким же, как 𝐵𝐴, потому что если мы просто умножим вещи, неважно, в каком они направлении. Тем не менее, это похоже на уже показанное когда мы имеем дело с матрицами. Теперь есть два пути решения Эта проблема. Прежде всего, просто взглянув в наших двух матрицах мы, вероятно, могли видеть, каким должно быть значение 𝑘. Потому что, просто взглянув на наши матрицы, мы видим, что 𝑘 будет равно четырем. И почему так? Ну, причина, по которой 𝑘 будет равно четырем, потому что если 𝑘 равно четырем, то матрица 𝐴 и матрица 𝐵 равны идентичный. Поэтому, если мы умножим их вместе, либо 𝐴𝐵, либо 𝐵𝐴, это не повлияет на результат.

Но сейчас мы просто докажите это, заполнив 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴. Ну, если у нас есть 𝐴𝐵, это 𝐴 умножить на 𝐵. Итак, у нас есть один, два, три, четыре умножить на один, два, три, 𝑘. Итак, если мы воспользуемся правило умножения, которое мы показали ранее, то для первого элемента мы получили бы единицу. умножить на один плюс два умножить на три, то второй элемент, один умножить на два плюс два 𝑘. Тогда у нас было бы три, умноженное на один плюс четыре умножить на три, а затем три умножить на два плюс четыре 𝑘. Таким образом, мы можем сказать, что 𝐴𝐵 будет равно матрице два на два семь, два плюс два 𝑘, 15, шесть плюс четыре 𝑘.

Итак, теперь мы можем перейти к 𝐵𝐴. Ну, 𝐵𝐴 будет матрицей один, два, три, 𝑘 умножить на матрицу один, два, три, четыре. Тогда это будет равно единице умножить на один плюс два умножить на три, затем один умножить на два плюс два умножить на четыре, затем три умножить на один плюс три 𝑘 и, наконец, три умножить на два плюс четыре 𝑘. Таким образом, результат будет была матрицей два на два семь, 10, три плюс три 𝑘 и шесть плюс четыре 𝑘.

Хорошо, отлично. Так что бы мы сделали сейчас? Ну, что мы можем сделать, так это найти 𝑘 по приравнивая соответствующие элементы, а затем подставляя это обратно, чтобы увидеть, дает ли это получим тот же результат для 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴. Ну, если мы начнем с два плюс два 𝑘 равно 10, а затем вычтем два из каждой части уравнения, мы получим два 𝑘 равно восьми. Делим на два, получаем 𝑘 равняется четырем. Ладно, верно. Так что теперь, если мы заменим 𝑘 равно четыре в другие элементы, все мы получим то же самое для 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴. Ну, а если мы посмотрим на нижний левый элемент 𝐵𝐴, тогда у нас будет три плюс три 𝑘, что то же самое, что три плюс три, умноженное на четыре, если 𝑘 равно четырем, что будет равно 15. Отлично, вот что у нас получилось 𝐴𝐵.